Để góp phần định hướng cho việc dạy học ở các trường nhất là việc ôn tập, rèn luyện kĩ năng cho học sinh sát với thực tiễn giáo dục của tỉnh nhà nhằm nâng cao chất lượng các kì thi tuyển sinh, Sở GDĐT Hà Tĩnh phát hành Bộ tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT và THPT chuyên gồm 3 môn: Toán, Ngữ văn và Tiếng Anh. Môn Ngữ văn được viết theo hình thức tài liệu ôn tập. Về cấu trúc: Hệ thống kiến thức cơ bản của những bài học trong chương trình Ngữ văn lớp 9 (riêng phân môn Tiếng Việt, kiến thức, kĩ năng chủ yếu được học từ lớp 6,7,8). Các văn bản văn học, văn bản nhật dụng, văn bản nghị luận được trình bày theo trình tự: tác giả, tác phẩm (hoặc đoạn trích), bài tập. Các đề thi tham khảo (18 đề) được biên soạn theo hướng: đề gồm nhiều câu và kèm theo gợi ý làm bài (mục đích để các em làm quen và có kĩ năng với dạng đề thi tuyển sinh vào lớp 10). Về nội dung kiến thức, kĩ năng: Tài liệu được biên soạn theo hướng bám Chuẩn kiến thức, kĩ năng của Bộ GDĐT, trong đó tập trung vào những kiến thức cơ bản, trọng tâm và kĩ năng vận dụng. Môn Tiếng Anh được viết theo hình thức tài liệu ôn tập, gồm hai phần: Hệ thống kiến thức cơ bản, trọng tâm trong chương trình THCS thể hiện qua các dạng bài tập cơ bản và một số đề thi tham khảo (có đáp án). Môn Toán được viết theo hình thức Bộ đề ôn thi, gồm hai phần: một phần ôn thi vào lớp 10 THPT, một phần ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên dựa trên cấu trúc đề thi của Sở. Mỗi đề thi đều có lời giải tóm tắt và kèm theo một số lời bình. Bộ tài liệu ôn thi này do các thầy, cô giáo là lãnh đạo, chuyên viên phòng Giáo dục Trung học Sở GDĐT; cốt cán chuyên môn các bộ môn của Sở; các thầy, cô giáo là Giáo viên giỏi tỉnh biên soạn. Hy vọng đây là Bộ tài liệu ôn thi có chất lượng, góp phần quan trọng nâng cao chất lượng dạy học ở các trường THCS và kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, THPT chuyên năm học 20112012 và những năm tiếp theo. Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ của đội ngũ những người biên soạn, song không thể tránh khỏi những hạn chế, sai sót. Mong được sự đóng góp của các thầy, cô giáo và các em học sinh trong toàn tỉnh để Bộ tài liệu được hoàn chỉnh hơn. Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất trong các kỳ thi sắp tới
GV Tốn : Nguyễn Thế Bình - Call/Sms/Zalo : 0989488557 Gia sư Thăng Long Th ếB ìn h Điện thoại (Zalo) 0989488557 N gu yễ n ĐỀ CƯƠNG HỌC KÌ MƠN TỐN LỚP Hà Nội, ngày 28 tháng năm 2021 GV Toán : Nguyễn Thế Bình - Call/Sms/Zalo : 0989488557 ĐỀ CƯƠNG TỐN 7-HK2-NGUYỄN TẤT THÀNH I PHẦN TRẮC NGHIỆM A –3,5 x y ; x y ; 2 − x3 y B – x y; x y ; x y C –5 x y ; x y ; 2 − x2 y3 D –3 x y ; 4 y z ; − x z Tổng đơn thức 3x y ; − x y ; x y là A −2x y Câu Câu B − x y A x + x + x – x + B x + x + x – x + C x5 – x + x3 + x + D x + x + x – x + Đa thức x + x3 + x5 – 3x – 10 xếp theo lũy thừa tăng dần biến C x + x3 + x5 – x – 10 Câu yễ n B −1 B C D N gu C 10 D −7 Thu gọn đa thức P = − x y − xy + x y + xy 2 kết A P = x y B P = − x y C.= P x y + 14 xy D P = − x y − 14 xy Bậc đa thức Q = x3 − x y + xy + x y − 11 A Câu D –10 – x + x + x3 + x5 Hệ số tự đa thức A( x) =−7 x + − x3 + 3x + A Câu B x + x – x – 10 + x3 Hệ số cao đa thức M = 3x3 − x5 + x + 10 A 10 Câu D 9x y Đa thức 3x + x3 + x5 – 3x + xếp theo lũy thừa giảm dần biến A x3 + x5 – x – 10 + x Câu C x y ìn h Câu Nhóm gồm đơn thức đồng dạng với Th ếB Câu B Giá trị x = nghiệm đa thức A f ( x )= + x B f ( x= ) x2 − C D C f ( x )= x − D C x = 0; x = −2 D x = ; x = ±2 f (= x ) x ( x + 2) Câu 10 Đa thức P ( x ) = x3 – x có nghiệm A x = B.= x 0; = x 2 GV Tốn : Nguyễn Thế Bình - Call/Sms/Zalo : 0989488557 Câu 11 Cho tam giác ABC cân A , kẻ AH vng góc với BC H , ( H ∈ BC ) Khẳng định sau sai? A H trung điểm cạnh BC B AH tia phân giác BAC C ∆AHB = ∆AHC (cạnh huyền – góc vng) D AB = AH + HC2 Câu 12 Cho tam giác ABC vuông B , biết A 7cm B 100cm AB = ; BC − AB = 2cm Độ dài cạnh AC BC C 14cm D 10cm −N = 20° Số đo góc N Câu 13 Cho tam giác MNP cân N , biết 2M B 40° C 100° D 80° ìn h A 68° = 40° , tia phân giác ACB cắt cạnh AB Câu 14 Cho tam giác ABC cân A có BAC D Số đo ADC B 70° C 105° Th ếB A 40° D 75° = Câu 15 Cho tam giác XYZ vuông Y có X 60°, YZ = 4cm , YH ⊥ ZX ( H ∈ ZX ) Khẳng định sau sai ? A Z= 30° B XZ = 8cm C ZH = 6cm D YH = 2cm yễ n Câu 16 Trong tam giác, điểm cách ba cạnh tam giác B giao điểm ba đường trung trực C giao điểm ba đường phân giác D giao điểm ba đường cao N gu A giao điểm ba đường trung tuyến Câu 17 Trong tam giác, tâm đường tròn qua ba đỉnh tam giác A giao điểm ba đường trung tuyến B giao điểm ba đường trung trực C giao điểm ba đường phân giác D giao điểm ba đường cao Câu 18 Nếu AM đường trung tuyến G trọng tâm tam giác ABC A AM = AB B AG = AM C AG = AB D AM = AG Câu 19 Cho góc vng xOy A, B hai điểm thuộc hai tia Ox, Oy Đường trung trực OA đường trung trực OB cắt I Gọi H , K trung điểm OA, OB Khẳng định sau sai ? A IH = IK B AIB = 180° C OI = AB D IA = IB = 50° Phát biểu Câu 20 Cho ∆ABC có H giao điểm hai đường cao BB' CC' ; A sau sai ? GV Toán : Nguyễn Thế Bình - Call/Sms/Zalo : 0989488557 A AH ⊥ BC B Điểm A trực tâm ∆HBC = ACH = 40° C ABH + HCB = D HBC 130° II PHẦN TỰ LUẬN Bài Thu gọn đa thức xếp theo lũy thừa tăng biến, Tìm hệ số cao hệ số tự đa thức: A= (x B= x + x3 − x − x − x3 − + x 2 ) ( ) + x + −5 x5 + x5 + x3 − x − Cho P ( x ) =1 + x + x3 + x5 + + x199 + x 201 Tính giá trị đa thức x = ; x = −1 Bài − x5 + x − x3 + = − x − x + x + Tìm đa Cho f ( x ) = x5 − 3x + x − g ( x ) = ìn h Bài g ( x) a) f ( x ) + h ( x ) = f ( x) b) g ( x ) + h ( x ) = Bài Cho f ( x ) = 3x + x − Chứng minh x = −1 x = thức f ( x ) hai nghiệm đa Tìm nghiệm đa thức f(x) biết a) f ( x) = −3 x + yễ n Bài Th ếB thức h ( x ) cho: −1 x + x +1; N gu c) f ( x) = e) f (= x) x + b) f ( x= ) x2 + 5x d) f ( x= ) x2 − f) f ( x) = x + 3x + Bài Chứng minh f ( x) = x + x + vô nghiệm Bài Cho đa thức f ( x) = ax + bx + c chứng minh f (0); f (1); f (−1); f ( ) số nguyên a; b; c số nguyên Bài Cho đa thức f ( x) = x3 + ax + bx + c với a; b; c số nguyên.Chứng minh Nếu nghiệm nguyên f(x) c x0 Bài Cho tam giác ABC đều, AB = 4cm Trên cạnh AC cạnh BC lấy điểm M , N ( M N không trùng với đỉnh ∆ABC ) cho CM = BN Gọi G giao điểm AN BM GV Tốn : Nguyễn Thế Bình - Call/Sms/Zalo : 0989488557 a) Kẻ CH vng góc với AB H Tính CH ; b) Chứng minh AN = BM Tính góc AGM Bài 10 Cho tam giác ABC vuông A , M trung điểm BC a) Chứng minh rằng: AM = BC ; = 30° AB = BC b) Chứng minh rằng: Nếu C Bài 11 Cho tam giác ABC vng A , kẻ AH vng góc với BC H Trên cạnh BC lấy điểm cho CM = CA , cạnh AB lấy điểm N cho AN= AH Biết AB = 3cm , BC = 6cm a) Tính độ dài cạnh AC ; BCD đều; Bài 12 Th ếB = MAN MN ⊥ AB c) Chứng minh MAH ìn h b) Trên tia đối tia AB lấy diểm D cho AD = AB Chứng minh tam giác Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD, CE cắt H , AH cắt BC M , Chứng minh rằng: = ECB a) AM vng góc với BC ; BAM yễ n = KCB b) Lấy điểm K cho AB trung trực HK Chứng minh KAB Bài 13 Cho tam giác ABC có AB < AC Hai đường cao AD BE cắt H N gu AD = BE ( D ∈ BC ; E ∈ AC ) Chứng minh rằng: a) Tam giác ABC cân C ; b) Đường thẳng CH đường trung trực đoạn thẳng AB ; c) DE song song với AB Bài 14 Cho tam giác ABC vuông A , ABC > ACB, trung tuyến AM Trên tia đối tia CB lấy Bài 15 điểm D cho C trung điểm MD Trên tia đối tia BA lấy điểm E cho BE = BA Trên tia đối tia MA lấy điểm N cho MN = MA a) Chứng minh tam giác AMB tam giác NMC NC vng góc với AC ; b) Gọi I trung điểm DE Chứng minh ba điểm A, M , I thẳng hàng; c*) So sánh AD BC GV Tốn : Nguyễn Thế Bình - Call/Sms/Zalo : 0989488557 Bài 16 Cho ∆ABC có ba đường trung tuyến AD, BE , CF cắt G Chứng minh rằng: a ) AD < AB + AC b) BE + CF > c) BC ( AB + BC + AC ) < AD + BE + CF < AB + BC + AC HẾT C B Th ếB ìn h BẢNG ĐÁP ÁN D D C B 10 A B C D 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B B A D yễ n C D D C C C HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Nhóm gồm đơn thức đồng dạng với N gu Câu A –3,5 x y ; x y ; 2 − x3 y B – x y; x y ; x y C –5 x y ; x y ; 2 − x2 y3 D –3 x y ; 4 y z ; − x z Lời giải Chọn C Các đơn thức có phần biến x y Câu Tổng đơn thức 3x y ; − x y ; x y là A −2x y B − x y C x y Lời giải Chọn B ( ) x y + −5 x y + x 2 y3 = − x2 y3 D 9x y GV Toán : Nguyễn Thế Bình - Câu Call/Sms/Zalo : 0989488557 Đa thức 3x + x3 + x5 – 3x + xếp theo lũy thừa giảm dần biến A x + x + x – x + B x + x + x – x + C x5 – x + x3 + x + D x + x + x – x + Lời giải Chọn D Câu Đa thức x + x3 + x5 – 3x – 10 xếp theo lũy thừa tăng dần biến A x3 + x5 – x – 10 + x B x + x – x – 10 + x3 C x + x3 + x5 – x – 10 D –10 – x + x + x3 + x5 Lời giải Hệ số cao đa thức M = 3x3 − x5 + x + 10 B −1 A 10 C Th ếB Câu ìn h Chọn D D Lời giải Chọn C Câu Hệ số tự đa thức A( x) =−7 x + − x3 + 3x + B yễ n A Câu N gu Chọn B C 10 D −7 Lời giải Thu gọn đa thức P = − x y − xy + x y + xy được kết A P = x y B P = C.= P D P = − x y − 14 xy x y + 14 xy − x2 y Lời giải Chọn A Câu Bậc đa thức Q = x3 − x y + xy + x y − 11 A B C Lời giải Chọn B Câu Giá trị x = nghiệm đa thức D GV Toán : Nguyễn Thế Bình A f ( x )= + x Call/Sms/Zalo : 0989488557 B f ( x= ) x2 − C f ( x )= x − D f (= x ) x ( x + 2) Lời giải Chọn C Câu 10 Đa thức P ( x ) = x3 – x có nghiệm A x = B.= x 0; = x C x = 0; x = −2 D x = ; x = ±2 Lời giải Chọn D ( ) ìn h P ( x) x=0 x = = x – x =0 ⇔ x x − =0 ⇔ ⇔ x =2 x −4= x = −2 định sau sai? Th ếB Câu 11 Cho tam giác ABC cân A, kẻ AH vng góc với BC H, ( H ∈ BC ) Khẳng A H trung điểm cạnh BC B AH tia phân giác BAC C ∆AHB = ∆AHC (cạnh huyền – góc vng) N gu Chọn C yễ n D AB = AH + HC2 Lời giải ∆AHB = ∆AHC (cạnh huyền – cạnh góc vuông) Câu 12 Cho tam giác ABC vuông B, biết A 7cm B 100cm AB = ; BC − AB = 2cm Độ dài cạnh AC BC C 14cm D 10cm Lời giải Chọn D = AB 6cm = ; BC 8cm Áp dụng định lý Pitago tam giác vuông ABC ta có AC2 = AB2 + BC2 = 62 + 82 = 100 ⇒ AC = 10cm −N = 20° Số đo góc N Câu 13 Cho tam giác MNP cân N, biết 2M A 68° B 40° C 100° D 80° GV Tốn : Nguyễn Thế Bình - Call/Sms/Zalo : 0989488557 Lời giải Chọn D Vì ∆MNP cân N nên M = P = M −N = 20° (gt) Suy N + M = 180° (định lý tổng ba góc tam giác) mà 2M ⇒ N= (180° − 20° ) : 2= 80° = 40° , tia phân giác ACB cắt cạnh AB Câu 14 Cho tam giác ABC cân A có BAC D Số đo ADC A 40° B 70° C 105° D 75° Lời giải ìn h Chọn C Th ếB A 40° yễ n ? C B N gu Vì ∆ABC cân A (gt) ⇒ ABC= ACB= cân) D (180° − 40° ) : 2= 70° (tính chất tam giác Vì CD phân giác ACB nên ACD = 70° : = 35° Áp dụng định lý tổng ba góc tam giác ACD ta có ADC= 180° − 35° − 40= ° 105° = Câu 15 Cho tam giác XYZ vuông Y có X 60°, YZ = 4cm , YH ⊥ ZX ( H ∈ ZX ) Khẳng định sau sai ? A Z= 30° B XZ = 8cm C ZH = 6cm Lời giải Chọn C D YH = 2cm GV Tốn : Nguyễn Thế Bình - Call/Sms/Zalo : 0989488557 X H 60° Y Z 4cm Tam giác XYZ vuông Y có X + Z= 90° ⇒ Z= 90° − 60°= 30° Trong ∆YHZ vng H có Z= 30° nên cạnh YH đối diện với Z= 30° nửa cạnh huyền YZ, hay YH = 2cm Áp dụng định lý Pytago ∆YHZ vuông H có 12 ( cm ) ìn h YZ2 = YH + HZ2 ⇒ HZ2 = 42 − 22 = 16 − = 12 ⇒ HZ = Vậy chọn đáp án C Th ếB Câu 16 Trong tam giác, điểm cách ba cạnh tam giác A giao điểm ba đường trung tuyến B giao điểm ba đường trung trực C giao điểm ba đường phân giác D giao điểm ba đường cao Lời giải yễ n Chọn C Câu 17 Trong tam giác, tâm đường tròn qua ba đỉnh tam giác B giao điểm ba đường trung trực C giao điểm ba đường phân giác D giao điểm ba đường cao N gu A giao điểm ba đường trung tuyến Lời giải Chọn B Câu 18 Nếu AM đường trung tuyến G trọng tâm tam giác ABC A AM = AB B AG = AM C AG = AB D AM = AG Lời giải Chọn B Câu 19 Cho góc vng xOy A, B hai điểm thuộc hai tia Ox, Oy Đường trung trực OA đường trung trực OB cắt I Gọi H, K trung điểm OA, OB Khẳng định sau sai ? 10 GV Toán : Nguyễn Thế Bình - Call/Sms/Zalo : 0989488557 B AIB = 180° A IH = IK C OI = AB D IA = IB Lời giải Chọn A x A H I O K B y ìn h = 50° Phát biểu Câu 20 Cho ∆ABC có H giao điểm hai đường cao BB' CC' ; A sau sai ? Th ếB A AH ⊥ BC B Điểm A trực tâm ∆HBC = ACH = 40° C ABH N gu Chọn D yễ n + HCB = D HBC 130° Lời giải A 50° B' C' H B C = 50° nên ABC + ACB Trong ∆ABC có A = 180° − 50= ° 130° (định lý tổng ba góc) + HCB < 130° Suy HBC Vậy chọn đáp án D 11 GV Toán : Nguyễn Thế Bình - Call/Sms/Zalo : 0989488557 II PHẦN TỰ LUẬN Bài Thu gọn đa thức xếp theo lũy thừa tăng biến, Tìm hệ số cao hệ số tự đa thức: A= (x B= x + x3 − x − x − x3 − + x 2 ) ( ) + x + −5 x5 + x5 + x3 − x − Lời giải A= (x ) ( ) + x + −5 x5 + x5 + x3 − x − B= x + x3 − x − x − x3 − + x 2 B= (x 3 1 − x + −4 x + x + x − x − 2 ) ( ) B =− x − x − x − Th ếB Hệ số cao A 3, hệ số tự -7 ìn h A = 3x7 − 3x5 + x3 − 3x − Hệ số cao B -1, hệ số tự -5 Bài Cho P ( x ) =1 + x + x3 + x5 + + x199 + x 201 Tính giá trị đa thức x = ; x = −1 Lời giải yễ n P ( x ) =1 + x + x3 + x5 + + x199 + x 201 P (1) = 1 + 1 + + + 1 = 101 101 soá N gu P ( −1) =1 − 1 − − − =−100 101 soá Bài − x5 + x − x3 + = − x − x + x + Tìm đa Cho f ( x ) = x5 − 3x + x − g ( x ) = thức h ( x ) cho: g ( x) a) f ( x ) + h ( x ) = f ( x) b) g ( x ) − h ( x ) = Lời giải a) Cho f ( x ) = x5 − 3x + x − g ( x) = − x5 + x − x3 + = − x5 − x3 + x + f ( x) + h ( x) = g ( x) ⇒ h ( x) = g ( x) − f ( x) 12 GV Toán : Nguyễn Thế Bình - − Call/Sms/Zalo : 0989488557 g ( x) = − x5 − x + x + f ( x ) = x5 − 3x + x − h ( x) = g ( x) − f ( x) = −2 x5 − x3 + x + f ( x) b) g ( x ) + h ( x ) = ⇒ h ( x) = f ( x) − g ( x) h ( x ) = x5 + x3 − x − Bài Cho f ( x ) = 3x + x − Chứng minh x = −1 x = hai nghiệm đa thức f ( x ) Lời giải Cho f ( x ) = 3x + x − Ta có: f ( −1) = ( −1) + ( −1) − ìn h = − −1 = Tìm nghiệm đa thức f(x) biết b) f ( x= ) x2 + 5x N gu a) f ( x) = −3 x + yễ n Bài Th ếB 1 1 1 f = 3 + −1 3 3 3 = + −1 = 3 Nên x = −1 x = hai nghiệm đa thức f ( x ) −1 x + x +1; e) f (= x) x + c) f ( x) = a) Cho −3x + = ⇒ x = f) f ( x) = x + 3x + d) f ( x= ) x2 − Lời giải 1 Vậy x = nghiệm f(x) 6 b) Cho x + x =0 ⇒ x( x + 5) =0 Bài x = x = −5 Vậy x ∈ {0;5} nghiệm f(x) −1 −1 x + x + =0 ⇒ + ) x =−1 ⇒ x =−1 ⇒ x =−4 4 Vậy x = −4 nghiệm f(x) 1 d) Cho x − =0 ⇒ x = ⇒ x =± 4 c) Cho 13 GV Tốn : Nguyễn Thế Bình - Call/Sms/Zalo : 0989488557 −1 nghiệm f(x) 2 Vậy x ∈ ; e) Ta có x ≥ ⇒ x + ≥ > với ∀x ∈ R Vậy f(x) vơ nghiệm f) Ta có x + x + =0 ⇒ x + x + x + =0 ⇒ x( x + 2) + ( x + 2) =0 ⇒ ( x + 1).( x + 2) =0 x+2= x + =0 x = −2 x = −1 Vậy x ∈ {−2; −1} nghiệm f(x) Bài Chứng minh f ( x) = x + x + vô nghiệm Lời giải Ta có x + x + = x + x + x + + = x( x + 2) + 2( x + 2) + = ( x + 2).( x + 2) + = ( x + 2) + ≥ > Với ∀x ∈ R Vậy f(x) vô nghiệm Bài Cho đa thức f ( x) = ax + bx + c chứng minh f (0); f (1); f (−1); f ( ) số ìn h Bài Th ếB nguyên a; b; c số nguyên Lời giải Ta có f (0)= a.02 + b.0 + c= c f (0) nguyên nên c nguyên f (1) = a.12 + b.1 + c = a + b + c ; f (−1) = a.(−1) + b.(−1) + c = a − b + c Vì f (1); f (−1) nguyên ⇒ f (1) −= f (−1) 2b nguyên ⇒ b nguyên Bài Vì f (1); f (−1) nguyên ⇒ f (1) + f (−1) = 2a + 2c nguyên ⇒ a nguyên Vì c nguyên yễ n Bài Nếu N gu Bài 10 Vậy a; b; c số nguyên Bài Cho đa thức f ( x) = x3 + ax + bx + c với a; b; c số nguyên.Chứng minh x0 ≠ nghiệm nguyên f(x) c x0 Lời giải Ta có x0 ≠ nghiệm nguyên f(x) ⇒ f ( x0 ) = ⇒ x03 + ax0 + bx0 + c = ⇒ c = − x03 − ax0 − bx0 = x0 (− x0 − ax0 − b) x0 Vậy x0 ≠ nghiệm nguyên f(x) c x0 Bài Cho tam giác ABC đều, AB = 4cm Trên cạnh AC cạnh BC lấy điểm M , N (M N không trùng với đỉnh ∆ABC ) cho CM = BN Gọi G giao điểm AN BM a) Kẻ CH vng góc với AB H Tính CH ; b) Chứng minh AN = BM Tính góc AGM Lời giải 14 GV Tốn : Nguyễn Thế Bình - Call/Sms/Zalo : 0989488557 A H M G B C N Áp dụng định lý pytago cho tam giác vuông AHC ta có: BN = CM (gt) ⇒ ∆ABN = ∆BCM ( c.g c ) Th ếB ìn h HC = AC − AH = 42 − 22 = 12 ⇒ HC = 12 cm b) Xét ∆ABN ∆BCM có AB = BC (tam giác ABC đều) =C (tam giác ABC đều) B ⇒ AN = BM (Hai cạnh tương ứng) = (2 góc tương ứng) Và ∆ABN = ∆BCM ⇒ BAN MBC + BAN = GBA + MBC = AGM = GBA ABC = 60° Cho tam giác ABC vuông A , M trung điểm BC N gu Bài 10 yễ n Theo tính chất góc ngồi tam giác ta có: a) Chứng minh rằng: AM = BC ; b) Chứng minh rằng: Nếu góc C 300 AB = BC Lời giải A C B M D Trên tia đối tia MA lấy D cho MA = MD suy AM = AD (1) 15 GV Toán : Nguyễn Thế Bình - Call/Sms/Zalo : 0989488557 Xét ∆ABM ∆CMD có AM = MD (theo cách vẽ) (2 góc đối đỉnh) AMB = CMD BM = CM (gt) ⇒ ∆AMB = ∆DMC ( c.g c ) ⇒ AB = CD (Hai cạnh tương ứng) ⇒ + ∆AMB = ∆DMC ⇒ ABC = DCM ABC + ACB = DCM ACB ⇒ ACD = 90° Xét ∆ABC ∆DCA có AB = CD (cmt) = BAC ACD=( 90°) Cạnh AC chung Từ (1) (2) ta có : AM = BC BC ; BM = ⇒ AM = BM ⇒ ∆ABM cân 2 Th ếB Vì AM = BC ìn h ⇒ ∆ABC = ∆CDA ( c.g c ) ⇒ BC = AD ( ) (Hai cạnh tương ứng) BC = 30° ⇒ Nếu C (t/c tam giác đều) ABC= 60° ⇒ ∆ABM ⇒ AB = AM = BC Bài 11 Cho tam giác ABC vuông A , kẻ AH vng góc với BC H Trên cạnh BC suy : AB = yễ n lấy điểm M cho CM = CA , cạnh AB lấy điểm N cho AN= AH Biết AB = 3cm , BC = 6cm N gu a) Tính độ dài cạnh AC ; b) Trên tia đối tia AB lấy diểm D cho AD = AB Chứng minh tam giác BCD đều; = MAN MN ⊥ AB c) Chứng minh MAH 16 GV Toán : Nguyễn Thế Bình - Call/Sms/Zalo : 0989488557 Lời giải a)Tính độ dài cạnh AC Xét tam giác vuông ABC theo Py-ta-go ta có AC2 = BC2 - AB2 = 62 - 32 = 27 Vậy AC = 27cm b) Trên tia đối tia AB lấy diểm D cho AB = AD Chứng minh tam giác BCD đều; Xét tam giác ∆CAB ∆CAD có CAB = CAD = 90o , AD=AB , CA cạnh chung ⇒ ∆CAB=∆CAD (c-g-c) Suy CB = CD mặt khác BD = 2AB =2.3= = CB Vậy CB = CD = BD tam giác BCD tam giác = MAN MN ⊥ AB c) Chứng minh MAH 180o − ACM Theo giả thiết CA = CM nên ∆CAM cân C , suy CAM = CMA = 180o − 30o =180o − AHM − AMH = 75o Xét tam giác vng AHM ta có MAH = 180o − 90o − 75o = 15o MAH ìn h = Th ếB =180o − AHB − HBA = 180o − 90o − 60o = 30o Xét tam giác AHB ta có HAB − MAH = 30o − 15o = 15o Vậy MAH Mặt khác MAN = MAN = 15o = MAB = MAN cạnh AM chung Suy Ta có ∆MAN=∆MAH (c-g-c) AN = AH , MAH yễ n Chứng minh rằng: = ECB a) AM vng góc với BC ; BAM N gu Bài 12 = AHM = 90o Vậy MN ⊥ AB ANM Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD, CE cắt H , AH cắt BC M , = KCB b) Lấy điểm K cho AB trung trực HK Chứng minh KAB Lời giải 17 GV Tốn : Nguyễn Thế Bình - Call/Sms/Zalo : 0989488557 = ECB a) Chứng minh AM vuông góc với BC ; BAM Theo gải thiết ta có CH ⊥ AB; BH ⊥ AC nên H trực tâm tam giác ABC Suy AH vng góc với BC hay AM ⊥ BC Xét tam giác BAM ta có = 90o − MBA (1) =180o − AMB − MBA 180o − 90o − MBA BAM Xét tam giác BCE ta có = 90o − MBA (2) = 180o − CEB − MBE = 180o − 90o − MBA ECB = ECB Từ (1), (2) ta suy BAM = KCB b) Lấy điểm K cho AB trung trực HK Chứng minh KAB Xét hai tam giác vuông AKE AHE có EK=EH , AE cạnh chung Vậy = HAE mà ∆AKE=∆AHE (Hai cạnh góc vng nhau) Suy KAE = KCB theo ý a HAE ìn h = KCB Vậy KAB Bài 13 Cho tam giác ABC có AB < AC Hai đường cao AD BE cắt H Th ếB AD = BE ( D ∈ BC ; E ∈ AC ) Chứng minh rằng: a) Tam giác ABC cân C ; b) Đường thẳng CH đường trung trực đoạn thẳng AB ; c) DE song song với AB Lời giải N gu yễ n C E D H A a) Xét ∆ADE ∆BED có AD = BE (GT ) AED = BDE = 90 AB chung ⇒ ∆ADE = ∆BED(ch − cgv) = ⇒ EAB ABD (hai góc tương ứng) ⇒Tam giác ABC cân C ; B 18 GV Tốn : Nguyễn Thế Bình - Call/Sms/Zalo : 0989488557 b) Tam giác ABC cân C (cma) ⇒ CA = CB ⇒ C thuộc đường trung trực AB = (hai góc tương ứng) ∆ADE = ∆BED(cma ) ⇒ EBA DAB ⇒Tam giác HAB cân H ; ⇒ HA = HB (ĐN tam giác cân) ⇒ H thuộc đường trung trực AB ⇒ Đường thẳng CH đường trung trực đoạn thẳng AB ; c) Tam giác ABC cân C (cma) Mà hai góc vị trí đồng vị ⇒ ED / / BA Th ếB ⇒ CA − AE = CB − BD ⇒ CE = CD ⇒ Tam giác CED cân C 180 − ACB = ⇒ CED = ⇒ CAB CED ìn h 180 − ACB = ⇒ CAB ∆ADE = ∆BED(cma ) ⇒ AE = BD (hai cạnh tương ứng) yễ n Bài 14 Cho tam giác ABC vuông A , ABC > ACB, trung tuyến AM Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho C trung điểm MD Trên tia đối tia BA lấy điểm E cho BE = BA Trên tia đối tia MA lấy điểm N cho MN = MA N gu a) Chứng minh tam giác AMB tam giác NMC NC vng góc với AC ; b) Gọi I trung điểm DE Chứng minh ba điểm A, M , I thẳng hàng; c*) So sánh AD BC Lời giải GV Tốn : Nguyễn Thế Bình - Call/Sms/Zalo : 0989488557 D C N I M B a) Xét ∆AMB ∆NMC có MC = MB (GT ) Th ếB ( hai góc đối đỉnh) AMB = NMC MA = MN (GT ) ⇒ ∆AMB = ∆NMC (c.g c) = (hai góc tương ứng) ⇒ MAB MNC E ìn h A Mà hai góc vị trí so le yễ n ⇒ CN / / AB BA ⊥ CA ⇒ CN ⊥ CA b) B trung điểm AE ⇒ DB đường trung tuyến ∆DAE N gu 19 DC =CM ; CM =MB ⇒ DM = DB ⇒ M trọng tâm ∆DAE I trung điểm DE ⇒ AI đường trung tuyến ∆DAE ⇒ M ∈ AI ⇒ ba điểm A, M , I thẳng hang ∆NMC (cmt) c) Vì ∆AMB = ⇒ AB = NC ( cạnh tương ứng ) Xét ∆ACN ∆CAB có = Cạnh CA chung ; CAB ACN = 900 , CN = AB (cmt) ⇒ ∆ACN = ∆CAB (c − g − c) ⇒ AN = BC ( cạnh tương ứng ) 1 ⇒ AN = BC 2 20 GV Tốn : Nguyễn Thế Bình - Call/Sms/Zalo : 0989488557 ⇒ AM = MC = MB ⇒ ∆AMC ∆AMB cân M Theo tính chất góc ngồi tam giác ta có =2 AMB = ACB + CAM ACB =2 AMC = ABC + BAM ABC Mà ACB < ABC ⇒ AMB < AMC Mà AMC hai góc kề bù AMB ⇒ AMC góc tù Xét ∆AMB có AMD góc tù ⇒ AMD > DAM ìn h ⇒ AD > MD ( quan hệ góc cạnh đối diện) Lại có MB = MC = CD ⇒ MB + MC = MC + CD Hay BC = MD Do BC = MD (dpcm) Bài 15 Cho ∆ABC có ba đường trung tuyến AD, BE , CF cắt G Chứng minh Th ếB rằng: AB + AC b) BE + CF > BC c) ( AB + BC + AC ) < AD + BE + CF < AB + BC + AC Lời giải yễ n a ) AD < A N gu a) Trên tia đối tia DA lấy điểm H cho DA = DH Xét ∆ADB ∆HDC có F BD = CD (D trung điểm BC) (đối đỉnh) ADB = HDC AD = HD (cách dựng) ⇒ ∆ADB = ∆HCD(c.g c) B ⇒ AB = HC (2 cạnh tương ứng) * Xét ∆ACH ta có AC + HC > AH (bất đẳng thức tam giác) AB + AC ⇒ AC + AB > AD hay AD < b) Ta có AD, BE , CF cắt G nên G trọng tâm ∆ABC 2 ⇒ BG = BE , CG = CF , AG = AD 3 Xét ∆BGC ta có BG + CG > BC (bất đẳng thức tam giác) E G C D H GV Tốn : Nguyễn Thế Bình - Call/Sms/Zalo : 0989488557 ( BE + CF ) > BC 3 ⇒ BE + CF > BC c) * Xét ∆AGB ta có AG + BG > AB (1) (bất đẳng thức tam giác) Xét ∆AGC ta có AG + CG > AC (2) (bất đẳng thức tam giác) Xét ∆BGC ta có BG + CG > BC (3)(bất đẳng thức tam giác) ⇒ Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta được: yễ n Th ếB ìn h AG + BG + AG + CG + BG + CG > AB + AC + BC 2 2 2 ⇒ AD + BE + AD + CF + BE + CF > AB + AC + BC 3 3 3 4 ⇒ AD + BE + CF > AB + AC + BC 3 3 ⇒ ( AB + BC + AC ) < AD + BE + CF AB + AC * Theo câu a) ta có AD < AB + BC BC + AC Chứng minh tương tự ta có BE < , CF < 2 AB + AC AB + BC BC + AC ⇒ AD + BE + CF > + + 2 ⇒ AD + BE + CF < AB + BC + AC Vậy ( AB + BC + AC ) < AD + BE + CF < AB + BC + AC N gu 21 ... Nguyễn Thế Bình - Call/Sms/Zalo : 09894885 57 Lời giải a)Tính độ dài cạnh AC Xét tam giác vng ABC theo Py-ta-go ta có AC2 = BC2 - AB2 = 62 - 32 = 27 Vậy AC = 27 cm b) Trên tia đối tia AB lấy diểm D... diện với Z= 30° nửa cạnh huyền YZ, hay YH = 2cm Áp dụng định lý Pytago ∆YHZ vng H có 12 ( cm ) ìn h YZ2 = YH + HZ2 ⇒ HZ2 = 42 − 22 = 16 − = 12 ⇒ HZ = Vậy chọn đáp án C Th ếB Câu 16 Trong tam... =0 x = ? ?2 x = −1 Vậy x ∈ {? ?2; −1} nghiệm f(x) Bài Chứng minh f ( x) = x + x + vơ nghiệm Lời giải Ta có x + x + = x + x + x + + = x( x + 2) + 2( x + 2) + = ( x + 2) .( x + 2) + = ( x + 2) + ≥ >