Đang tải... (xem toàn văn)
Sử dụng CS để sáng tạo chúng thì việc tìm ra lời giải không dễ như là làm chặt bằng Am-Gm qua bài toán 1 . NX: Bất đẳng thức này rất hay và khác hơn bất đẳng thức shur.[r]
(1)I LỜI NÓI ĐẦU
Bất đẳng thức lĩnh vực khó, yêu cầu óc quan sát, linh cảm thực tế sức sáng tạo người giải khơng gánh nặng lượng kiến thức.Chính hầu hết kì thi HSG thường có bất đẳng thức Có thể nói có nhiều phương pháp đại chẳng hạn SOS;… mà người VN ta tìm Để chứng minh bất đẳng thức sử dụng chúng giải được.Nhưng liệu khiđi thi cóđủ thời gian để sử dụng chúng khơng?Nên việc tìm lời giải đẳng thức cổ điển đánh giá cao đặc biệt người yêu bất đẳng thức Trong viết tơi nói hai bất đẳng thức quen thuộc: côsi (AM-GM) bunhia (Cauchy– swarchz) giải bất đẳng thức đại số Hai bất đẳng thứcnày nhiều ứng dụng để tìm chúng dễ dàng Tất qua lượng đáng kể ví dụ đa dạng, từ nhiều nguồn khác nhau, đặc biệt kì thi Olympic toán trang web làm cho viết trở nên vô sinh động
II HAI BẤT ĐẲNG THỨC: AM – GM; Cauchy– swarchz vàứng dụng 1 Bất đẳng thức AM – GM.
Với a1, a2…; an n số thực không âm ta có:
a1+ a2+ … + an-1 + an n n a1a2 an1an Dấu “=” a1 = a2 =…= an
Chứng minh bất đẳng thức có khoảng 40 cách nên xin dành lại cho bạn đọc
* Bất đẳng thức quen thuộc ứng dụng lớn nên bất đẳng thức mà bạn cần nhớ ý dấu “=” xảy :
a1+ a2+ … + an-1 = an
2 Bất đẳng thức Cauchy – swarchz (cs)
(2)( 2
2
1 a an
a ) ( 2
2
1 b bn
b ) (a1b1+a2+b2+ anbn)
Dấu “=” J số k cho aj = k.bj (Với J =1,n)
*Hệ quả: (dạng cộng mẫu số)
n n n
n
n x x x
a a a x a x
a x a
) (
2
2
1 2
2
1 (Với
i
x> , v =1,n) Bất đẳng thức cịn có tên gọi Engel hay Swarchz
Chứng minh bất đẳng thức (*) có nhiều cách có cách bạn nên nhớ:
2
1 )
(a a an (b12 bn2)- (a1b1+a2+b2+ anbn)
=
; n
i j
(ajbJ- aJbi)
3.Ứng dụng.
*Bài toán 1: cho a, b, c o CMR
2
a b
c a c
b c b
a
(*)(BĐT Nesbit) Cách 1:
BĐT: (*) ( 1) ( 1) ( 1)
2 2
a b c
b c ca a b
2 2
2
2
1 1
( ) ( ) ( )
2 2
( ) ( ) ( )
0
2( )( ) 2( )( ) 2( )( )
3 [( )( )( )]
2 [( )( )( )]
a b c
b c c a a b
a b b c c a
c a c b a b a c b a b c
a b c a b b c c a
b c c a a b a b b c c a
(Đúng)
Ta cịn sử dụng bất đẳng thức Am-Gm để làm chặt.Với cùngđiều kiện ta có bất đẳng thức khoẻ sau:
2
2
3 [( )( )( )]
2 [( )( )( )]
a b c a b b c c a
b c c a a b a b b c c a
(3)2 2
( )
( ) ( ) ( ) 2( )
a b c a b c a b c
b c c a a b a b c b c a c a b ab bc ca
(Cauchy– swarchz dạng Engel) Mà :
) (
2
)
(
ca bc ab
c b a
2
2(a2 + b2 + c2 – ab– bc– ca) (a-b)2 + (b– c)2 + (c– a)2
Đpcm
Cách 3: Từ nhận xét: )
(
c b
a
c b
a
1
1
c b
a c b
a
=
) (
4
c b a
c b a
Tương tự: b
ca
4( )
b c a a b c
;
c a b
8
4( )
c b a a b c Cộng ba bất đẳng thức lại ta có:
b a
c a c
b c b
a
3 )
(
)
( )
( )
(
c b a
b a c a c b c b a
Đpcm
Ngồi cách giải ta cịn có khoảng 30 cách để chứng minh bất đẳng thức Nesbit này.Lời giải CS hiệu việc chứng minh bất đẳng thức biến đối xứng
Bài toán 2: Cho a, b, c > CMR
b ca a bc c
ab
a + b + c
*Đây bất đẳng thức biến đối xứng với cách giải quen thuộc.Thơng thường ta nhóm số sử dụng Am-Gm Và ý dấu ‘=’a=b=c
*Lời giải:
(4)) (
2
a bc c
ab
b ac
bc ab
) (
2
b ca a bc
c
) (
2
c ab b
ca
a
Cộng lại ta Đpcm Bài toán 3: Cho a, b, c > CMR:
a c c b b
a 93
6
( )
abc a b c
Lời giải:
*Nhận thấy dấu ‘=’ a=b=c Đối với bấtđẳng thức hoan’ vị:
a c c b b a
ta cần phải sử dụng bất đẳng thức phụ để đưa đối xứng việc giải dễ dàng hơn
*Dự đốn.Nếu có:
a c c b b a
3 a b c
abc
(cũng có dấu ‘=’ a=b=c)
Thì theo AM– GM :
3 abc c b a
+
c b a
abc
9
Thì tốn chứng minh
Bây ta kiểm chứng ‘dự đoán’ xem bất đẳng thức cóđúng khơng ? Với x, y, z > ta có: x y z
y z x ) (
xyz z y x
Thật vậy:nếusử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:
3
3 3
x x y x x y x y y z y y z xyz
Tương tự:
y y z z z x
3 xyz
y
;
y x x z x
z
3 xyz
(5)Cộng chúng lại ta được:(
x z z y y x
)
3 (x y z)
xyz
Dự đốn hồn tồn xác !.Bài toán giải trọn vẹn
*Bài toán tương tự: (APMO 1998) CMR với x, y, z > ta có:
) )( )( (
x z z y y x
+
3
) (
2 xyz
z y x
(*) * Bất đẳng thức (*) sau khai triển ta được:
(
x z z y y x
) + (
y z x y z x
)
3
) (
2 xyz
z y x
Đến nhìn quen thuộc so với tốn
Thì ta sử dụng kết x y z
y z x (x y z)
xyz
toán “APMO 1998”
giải quyết.Lại lần cho thấy hiệu sử dụng Am-Gm Bài toán 4:Cho a;b;c>0.CMR:
3 3
2 2
2
3
a b c ab bc ca
abc a b c
*Nhận thấy:
3 3
2 2
1;
3
a b c ab bc ca
abc a b c
nên thường nghĩ đến việc sử dụng SOS
Chú ý:
3 3 2
2 2 2
( )
3 [(a-b) ( ) ( ) ]
2
[(a-b) ( ) ( ) ]
a b c
a b c abc b c c a
a b c ab bc ca b c c a
Nên bđt
2 2
1
( ) ( )
6 ( )
a b c a b
abc a b c
Thật may mắn cho đến không phảiđánh giá nhiều có ln
2 2
(6)Nhưng đằng sau toán tồn lời giải cổ điển việc phải tìm mà thơi
Nhận thấy:
3 3 3
3
2 2 2 2
( )( )
2
3 ( )
a b c ab bc ca a b c ab bc ca
abc a b c abc a b c
(Am-Gm)
Mà: 3 2 2
(a b c )(a b c ) (a b c ) (CS)
Và:
(ab bc ca ) 3abc a b c( )
Phép chứng minh hồn tất
Khơng dừng lại cịn có:
3 3
2 2
2
3
n
a b c ab bc ca
abc a b c
với n nguyên dương
Đến liệu phân tích SOS cịn khơng? Nhưng với ý nhỏ
là: n ab bc ca2 2 2 a b c
2
ab bc ca a b c
tốn giài
Qua phần thấy lợi hại việc chứng minh bất đẳng thức
Bài toán 5: Cho a, b, c > CMR:
2 2
2 2 2
a b c
a ab b b bc c c caa (*)
Ở ta sử dụng bất đẳng thức CS dạngEngel thì:
2 2 2 2
2 2 2 2
( )
1
a b c a b c
a ab b b bc c c ca a a a b a b
Nhưng
2 2
4 2
( )
1 a b c
a a b a b
lại khơng nên ta phải tìm cách
(7)BĐT: (*)
2
1
a b a b
+
2
1
b c b c
+
2
1
c a c a
*Đến ta đổi biến đặt
'; '; '
b c a
x y z
a b c ta có:x’.y’.z’=1
Nếu đổi biến lần nữacho: x=yz2;y zx2;z xy2
x y z để xem dung CS dạng Engel
còn khơng
Thì BĐT dạng:
4
4 2
x
x x y z y z
Áp dụng BĐT CS dạng Engel ta được:
VT
2 2
4 2
( )
( )
x y z
x xyz x y z x y
Và thật may mắn ta có:
2 2
4 2
( )
1
( )
x y z
x xyz x y z x y
(Do 2 2 )
(x y z x4 x2y2xyz(xyz)
2
y
x xyz (x + y + z)
2 2 2
) ( )
( ) (
x z y z y x y x
z )
Phép chứng minh hoàn tất
Bài tốn tốn khó.Việc tìm lời giải CS dễ ! * BĐT cịn phátbiểu dạng
* Với x, y, z > 0, xyz = CMR
1
2 x x
x
+
1
2 y y
y
+
1
2 z z
z
(8)
1 2
x
x +
1
y
y +
1 2
z
z
(Võ Quốc Bá Cẩn, Vascle Cutoaje) Bài toán 6: Cho a, b, c > 0; a + b + c =
CMR:
2
a bc
ac b
+
2
b ca
c ab
+
2
c ab
a bc
(*)
(Trần Quốc Anh) *Lời giải:
Để cho việc chứng minh dễ dàng ta thường đưa bất đẳng dạng đồng bậc
Nên đưa tất mẫu số bậc 2 Ta có: (b + ca) = (a + b + c) b + ca
Theo bất đẳng thức AM – GM : 2ca c2 + a2
Nên: (b + ca) (a + b + c) b + c2 + a2 + ca = a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca
Vậy:
2
a bc
ac b
+
2
b ca
c ab
+
2
c ab
a bc
2 2
2 2
3(a bc) 3(b ca) 3(c ab) a b c ab bc ca
=
Phép chứng minh hoàn tất
*Bài toán khéo léo việc sử dụng côsi lần cho thấy sức mạnh
Bài tốn 7:Cho số thực x;y;z khác thoả mãn tích chúng
CMR: 2
( ) ( ) ( )
1 1
x y z
x y z (IMO 2008)
Cách 1:
Đặt: ; ;
1 1
x y z
a b c
x y z
từ giả thiết xyz=1 nên:
( 1)( 1)( 1)
abc a b c suy a b c ab bc ca 1
Mà toán trở thành chứng minh:
2 2
a b c 2(a b c ab bc ca )-1
(9)Phép chứng minh hoàn tất
Nhưng liệu lời giải cổ điển cịn có hiệu không ? Cách 2: Chúng ta thử sử dụng CS xem sao!
Thông thường với điều kiện xyz=1 ta thường đổi biến để đưa đồng bậc
Đặt x =
a b; y =
c b
; z =
a c
; (xyz = 1)
BĐT (*)
2
)
(a b
a
+
2
) (b c
b
+ 2
) (c a
c
Áp dụng BĐT Cauchy – swarchz
VT: 2 2 2
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(ab ac bc ba ca cb
2
) ( ) ( )
(a c bb a c c b a
Đặt m = (a-b) (a-c); n (b-c) (b-a); p = (c– a) (c-b) Hiển nhiên mn + np + mp =
Dễ dàng chứng minh được:
2 ) ( )
(ab ac = (m + n + p)2 (1)
Lại có m + n + p = (ab)(ac)a(ac)b(ba)c(cb)
Nên: (m n p)2[a(a-c)+b(b-a)+c(c-b)]2]2 (2)
Từ (1) (2) toán giải
Lại lần cho ta thấy sức mạnh dung bđt cổ điển Bài toán 8: Cho a;b;c độ dài cạnh tam giác.CMR:
2 2 a ab bc ca b c a b c
Phạm Kim Hùng
Nhìn vào tốn nhiều người sử dụng ngaySOS
5 ( 2 2 2)
2
a ab bc ca b c a b c
(10)Với ý là:
2
3 ( )
2 2( )( )
a a b
b c c a c b
Và:
2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )
1
2( )
ab bc ca a b b c c a
a b c a b c
Nên bất đẳng thức chúng ta:
2 2
1
( ) ( )
( ) ( )( )
a b
a b c c a c b
2 2
( ) ( )
( )( )
ab bc ca a b a b
c a c b
0
Đến việc đánh giá khơng cịnđơn giản toán
Đặt
2
( )( )
c
ab bc ca a b S
c a c b
;
2
( )( )
b
ab bc ca a c S
b a b c
;
2
( )( )
a
ab bc ca b c S
a b a c
Giả sử: a b c Thì có:
2
( ) ( )
0
( )( ) ( )( )
a
ab bc ca b c b a b c b c ca S
a b a c a b a c
(1)
( ) ( )
0
( )( )
b
a b c a c b c S
b a b c
(2)
2 3 2 2 2 2 2
2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
( )( )( ) ( )( )( )
b c
a b c a b c abc b c a b bc c a b c abc b c b S c S
a b b c c a a b b c c a
(3)
Ta cần chứng minh:
2 2
( ) ( ) ( )
c b a
S a b S a c S b c (*) Mà:a c b
a b c
(4)
Xét a khác b từ (1);(2);(3);(4) ta suy được:
VT(*) 2
(a b) [S (a b c) Sb( )b Sc]
a b c
(11)*Lời giải SOS cồng kềnh phức tạp.Nhưng liệu bất đẳng thức cổ điển có giải tốn khơng?.Câu trả lời có :)
BĐT cần chứng minh:
3-( a ab bc2 2 ca2
b c a b c
)
2
2 2 2 ( 2 2 )22
2 2( )
b c a ab bc ca a b c
b c a b c a b c
Thật vậy: ( ) ( )( )
b c a a b c
b c b c a b c
Mà:(b c a b c )( )= 2 2(a b c )
Suy toán giải *Ẩn
* Lời giải vơ đẹp để tìm cần phải trải qua thời gian rèn luyện bất đẳng thức hàng ngày
4.Sáng tạo bất đẳng thức cách sử dụng bất đẳng thức cổ điển. Bài toán 9: Cho a, b, c > 0; a + b + c =
a (a-b) (a-c) + b(b-a) (b-c) + c(c-a) (c-b)
2 2
4 ( )
( )( )( )( )
abc a b
a b c a b b c c a
*Lời giải của: Nguyễn Đình Thi
VT = a3 + b3 + c3 + 3abc– ab (a+b)– bc (b+c)– ca (c+a) = a3 + b3 + c3- a (b2 – bc + c2)– b (c2 ca + a2)– c (a2 – ab + b2) = a3 + b3 + c3
-c b c b a )
( 3
-a c a c b )
( 3
-b a b a c )
( 3
= c b c a ac b a ab ) ( )
( 2 2
+ a c a b ba c b bc ) ( )
( 2 2
+ b a b c bc a c ca ) ( )
( 2 2
= ) )( ( ) )( ( a c c b b a b a ab + ) )( ( ) )( ( b c a c c b c b bc + ) )( ( ) )( ( c b b a a c a c ca = ) )( )( ( ) ( ) ( )
( 2 2 2
(12)=
) )( )(
(a b b c c a abc
[ c
b a2 2)2 (
+
a c b2 2)2 (
+
b a c2 2)2 (
] Áp dụng BĐT CS dạng Engel được:
c b a2 2)2 (
+
a c b2 2)2 (
+
b a c2 2)2 (
c b a
b a
4( 2) Đpcm
*Đây cách sáng tạo bất đẳng thức phổ biến làm mạnh bất đẳng thức Sử dụng CS để sáng tạo chúng việc tìm lời giải khơng dễ làm chặt Am-Gm qua toán 1
NX: Bất đẳng thức hay khác bất đẳng thức shur *BĐT shur là:
a (a-b) (a-c) + b (b-a) (b-c) + c (c-a) (c-b) Bài toán 10: (Lương Hải Đăng)
Cho a, b, c > a3b + b3c + c3a = CMR:
c b a
a c c b b a
)( )( )
(
+ 2 2 2 2
) (
24 a c c b b
a
16
*Ý tưởng nghĩ dựa vào bất đẳng thức quen thuộc: (a + b) (b + c) (c + a)
9
(a + b + c) (ab + bc + ca) từ dấu ‘=’ a=b=c=1.Thì ta suy được:
c b a
a c c b b a
)( )( )
(
c b a
ca bc ab c b a
)( )
(
=
9
(ab + bc + ca)
Đến ta dùng Am-Gm để chế tiếp .Nên phải cộng thêm
lượng x
ab bc ca nữa Và x=8 số để thoả mãn dấu “=” a=b=c=1
dung Am-Gm
Nếu toán dễ nên phải che đậy biểu thức: 2 242 2 2
(a b b c c a )
(13)Áp dụng CS ta có: (a3b + b3c + c3a) (ab + bc + ca) (a2b + b2c + c2a)2
2 2 2 2
) (
24 a c c b b
a abbcca
Mà: (a + b) (b + c) (c + a)
9
(a + b + c) (ab + bc + ca) ab (a + b) + bc (b + c) + ca (c + a) 6abc c (a - b)2 + b (a - c)2 + a (b– c)2
Vậy
c b a
a c c b b a
)( )( )
(
c b a
ca bc ab c b a
)( )
(
=
9
(ab + bc + ca) Nên theo AM– GM:
9
(ab + bc + ca) +
ca bc ab
8
13 Đpcm
Bài toán 11: Cho a, b, c > CMR:
2 2 2 2 2
3( )( )( )
8( )
a b b c c a a b c
+ (ab + bc + a– 1)
(Với a + b + c = 1)
(Lương Hải Đăng) *Lời giải:
Sử dụng BĐT sau: (x + y) (y + z) (z + x)
9
(x + y + z) (xy + yz + zx)
2 2 2 2 2
3( )( )( )
8( )
a b b c c a a b c
3( 2 2)
2 2 2
c b a
a c c b b a
2 2 222
) (
9
) (
c b a
ca bc ab
(Cauchy – swarchz)
Đặt x = ab + bc + ca 2 c b
a = 1– 2x x
3
Nên ta cần chứng minh:
2
) (
9 x
x
+ (1 – x)
2
(*)
(14)Mà x
3
3x–
Và : 64x2 + = 81x2 + 9– 17x2 54x– 17x2 (côsi hay AM – GM) Nên (24x2 – 64x2 + 45x– 9) 24x– 54x + 17x2 + 45x
= 24x3 – 9x + 17x2
2
17 24
(1 ) (1 ) x x x x 3x
(Đúng do:(0 1) x
Vậy: (3x – 1) (24x2– 64x2 + 45x– 9) Bài toán giải
Mình nghĩ dựa trên: (x + y) (y + z) (z + x)
9
(x + y + z) (xy + yz + zx) mà đưa biến để chứng minh
Bài toán 12: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác CMR:
a
( 1 ) bc a c
b (*)
(chọn đội dự tuyển sư phạm 2009)
BĐT (*) đưa dạng:
a c b
a
bc a + b + c
Cách 1: BĐT a ( a b)( a c)+
2
( a b) ab a b c( )
(15)Theo voirn_shur : a ( a b)( a c) b c a
0
=>ĐPCM
Cách 2: Chỉ hoàn tồn sử dụng cơsi với CS Đặt a = y + z; b = x + z; c = x + y Ta cần chứng minh
) )( (
2x x y x z z
y
(x + y + z)
( )( )
2x x y x z z
y
(x + y + z)
Theo Cauchy– swarchz thì: (xy)(xz) x yz
Nên ( )( )
2x x y x z z
y
(yz)(xx yz)
= (x + y + z) +
x yz z y ) (
Theo AM– GM:
x yz z
y )
(
x yz
2
Nên:
x z y
) )(
(xy xz (x + y + z) + 2
x z y
(x + y + z) Điều phải chứng minh
Lời giải trênđơn dùng bđt cổ điển thong qua cách ta thấy ưu việt việc sử dụng chúng
*Ngoài với điều kiện ta có tốn chặt sau:
2 2
3( )
a
bc a b c b c a
*Nhận xét: BĐT sử dụng hai bất đẳng thức quen thuộc.Các bạn thử ! Sau số ví dụ thấy phần sức mạnh hai bất đẳng thức cổ điển làm cho lời giải trở nên đẹp !
(16)Bài tốn 13: (MIC vịng 1)
Cho a, b, c khơng âm khơng có số CMR:
A = 2 2
2 c bc b
bc a
+ 2 2
2 a ca c
ca b
+ 2 2
2 b ab a
ab c
Nhận thấy dấu “=” có số số cịn lại .Ta đến với lời giải sau
*Lời giải: Cách 1:
Giả sử c = {a, b, c}
Do: a2 + bc a2 ; b2 + ca a2 ; c2 + ab ab
Và: b2 – bc + c2 = b2 + c (c– b) b2; c2– ca + a2 a2 Nên A 2
2 b a
+ 2
2 a b
+ 2 2
b ab a
ab
Áp dụng BĐT AM – GM thì:
2 b a
1
b a
; 2
2 a b
1
a b
A (2 1 b
a
) + (2 1) a
b
+ 2 2
b ab a
ab
= ( 2 2) ( 1)
2
a b b a b ab a
ab ab
b ab a
3 2
(AM – GM)
Bài toán giải Cách 2:
Sử dụng bất đẳng thựcCS ta có VT
2 2
2 2
( )
( )( )
a bc b ca c ab a bc b bc c
Ta cần chứng minh:
2 2
2 2
( )
3
( )( )
a bc b ca c ab a bc b bc c
(17)a47abc a b c( ) ab a( 2b2)
Mà theo shur ta có
4 2
( ) ( )
a abc a b c ab a b
Đpcm
Làm chặt bất đẳng thức
Ở cách ta đánh giá yếu.Rõ rang thừa hẳn lượng
2
ab a ab b
từ ta suy được toán đẹp sau
A = 2 2
2 c bc b
bc a
+ 2 2
2 a ca c
ca b
+ 2 2
2 b ab a
ab c
3+
2
2 2 2
( )
( )( )( )
abc
a ab b b bc c c caa
Một cách sáng tạo khác A
2
2 2 2
3( )
( )( )( )
abc
a ab b b bc c c ca a
(18)III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
1 Cho a, b, c > 0, abc = CMR:
a3 + b3 + c3 a bc + b ca + c ab
(JBMO 2002) Cho a, b, c; x, y, z > x + y + z = CMR:
ax + by + cz + (xy yzzx)(abbcca) a + b + c (Ukrame, 2001)
3 2 2
3 c bc b
a
+ 2
3 a ca c
b
+ 2
3 b ab a
c
( )
) (
3
c b a
ca bc ab
Với a, b, c >
4 Cho a, b, c > CMR:
a3 + b3 + c3 ab 2(a2b2) + bc 2(b2 c2) + ca 2(c2 a2)
5 (Việt Nam 2002) cho a, b, c số thực thỏa mãn a2 + b2+ c2 = CMR:
2(a + b + c)– abc 10 (vascle artoajre) Cho a, b, c > CMR:
b a
a
+
c b
b
+
a c
c
2
Bài 7: (Trần Quốc Anh) Cho a, b, c không âm thỏa mãn: a + 2b + 3c = CMR:
P(a,b,c) = (a2b + b2c + c2a + abc) (ab2 + bc2 + ca2 + abc) + Gợi ý: Dấu “=” a = 2, b = 1, c =
(19)9 Cho a, b, c a2 + b2+ c2 = CMR
2
3 c bc b
a
+ 2
3 c bc b
b
+ 2
3 a ac c
c
(Võ Quốc bá Cẩn) 10 Cho a, b, c, d CMR:
( 2 2 2
d c b
a
+ 2
d c a
b
+ 2
d b a
c
+ 2
c b a
d
) abcd
(Phạm Kim Thùng) 11 Cho a, b, c > abc = CMR:
1 a
b a
+
c b
c b
+
1 c
a
c
12 Cho a, b, c, d CMR:
a
b c + c a b
+ a b
c
(a b)(b c)(c a) abc
a
ba + b
c b + c ca
13 Cho a, b, c CMR:
(a + b)2 (b + c)2 (a2 + bc) (b2 + ca) (c2 + ab) + 32a2b2c2 14 Cho a, b, c > CMR:
2 ) (
) (
21
c b a
ca bc ab a
c c b b a
10