10 .Cho hình bình hành ABCD.Trên đường chéo AC lấy điểm O.Qua O kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của hình bình hành cắt AB và DC tại M và N, cắt AD và BC tại E và F.. Chứng mi[r]
(1)Đại cương vectơ
1.Cho hai hình bình hành ABCD ABEF Dựng vectơ EH FG AD Chứng minh CDGH hình bình hành
2.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), H trực tâm tam giác a)Gọi D điểm đối xứng A qua tâm O Chứng minh BD = HC b)Gọi K trung điểm AH I trung điểm BC,chứng minh OK = IH
3.Cho hình bình hành ABCD Gọi E F trung điểm hai cạnh AB CD Đường chéo BD cắt AF CE M N chứng minh : DM = MN = NB
4.Gọi G trọng tâm tam giác ABC Dựng AD = GC DE = GB Chứng minh GE =
5.Từ điểm A nằm đường tròn (O) ta kẻ tiếp tuyến AB AC với (O) Gọi H giao điểm AO BC.Trên đường trung trực đoạn AH lấy điểm M.Từ M kẻ tiếp tuyến MD với (O) Chứng minh : |MA| = | MF |
Các phép toán vectơ
1.Rút gọn biểu thức sau:
a)OM – ON + AD + MD + EK – EP – MD b)+ – + + +
c) + + – + – +
2 Chứng minh a) + = +
b) + = + c) + + = +
d) + + = + + = + + e) + + + = + +
3.Cho hình bình hành ABCD điểm M tùy ý Chứng minh : + = +
4.Cho tam giác ABC, Bên tam giác ta vẽ hình bình hành ABIJ ,BCPQ ,CARS Chứng minh : + + =
5.Cho tam giác ABC có trung tuyến AM.Trên cạnh AC lấy hai điểm E F cho AE = EF = FC Gọi N giao điểm AM BE.Tính tổng
+ + +
6.Cho tam giác ABC cạnh a.Tính độ dài vectơ + , + , –
7.Cho hai vectơ Tìm điều kiện để: a) = + b) =
8.Cho điểm O,A,B không thẳng hàng.Với điều kiện vectơ + nằm đường phân giác góc AOB
9 Chứng minh : = trung điểm hai đoạn thẳng AD BC trùng
10.Cho hình bình hành ABCD.Trên đường chéo AC lấy điểm O.Qua O kẻ đường thẳng song song với cạnh hình bình hành cắt AB DC M N, cắt AD BC E F Chứng minh :
a) + = + b) = +
11.Cho tam giác nội tiếp đường tròn tâm O a)Hãy xác định điểm M ,N ,P cho: = + ; = + ; = +
b)Chứng minh + + =
12.Cho tam giác ABC Gọi A’ điểm đối xứng với B qua A ;B’ điểm đối xứng với C qua B ;C’ điểm đối xứng với A qua C Chứng minh với điểm O ta có : + + = + +
13.Cho n điểm mặt phẳng Bạn An ký hiệu chúng A1, A2, …, An Bạn
Bình ký hiệu chúng B1, B2, …, Bn
Chứng minh : ++ +=
14.Cho tứ giác ABCD, gọi I J trung điểm AC BD a)Chứng minh + =
b)Xác định điểm M cho + + 2= c)Xác định điểm N cho +++=
15.Cho hai hình bình hành ABCD A’B’C’D’ Gọi M ,N ,P ,Q trung điểm AA’,BB’ ,CC’ ,DD’ Chứng minh MNPQ hình bình hành
16.Cho hai điểm phân biệt A B.Tìm quĩ tích điểm M thỏa mãn: =
17.Cho tam giác ABC
a)Xác định điểm I cho : + = b)Xác định điểm K cho : + =
18.Cho tam giác ABC
(2)c)Tìm điểm K thoả mãn :+ + + = d)Tìm điểm M thoả mãn :+ – = e)Tìm điểm N thoả mãn :+ + = f)Tìm điểm P thoả mãn : – + =
19.Cho hình bình hành ABCD Tìm điểm M thoả mãn: 4= + +
20.Cho lục giác ABCDEF Tìm điểm O thoả mãn : +++ ++ =
21.Cho tam giác ABC
a)Xác định điểm D,E thoả mãn: – = ; + 2= b)Tìm quĩ tích điểm M thoả mãn: |4 – | = |+ 2|
22.Cho hai điểm phân biệt A,B a)Hãy xác định điểm P,Q,R thoả: + = ; – + = ; – =
b)Với điểm O bất kỳ,chứng minh : = + ; = 2– ;= – +
23.Cho tam giác ABC,xác định điểm G,P,Q,R,S cho + + = ;2+ + = ;+ 3+ =
– + = ; 5– 2– =
24.Cho hình bình hành ABCD, chứng minh + = +
25.Cho lục giác ABCDEF , M điểm tuỳ ý Chứng minh + + = + +
26.Cho tam giác ABC, Gọi M ,N ,P trung điểm BC, CA ,AB Chứng minh : + + =
27.Cho ngũ giác ABCDE Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DE Gọi I J trung điểm MP NQ
Chứng minh : IJ // AE IJ = AE
28.Cho hai tam giác ABC A’B’C’ có trọng tâm G G’ a)Chứng minh : + + =
b)Từ suy điều kiện để hai tam giác có trọng tâm
29.Cho ngũ giác ABCDE Gọi M, N, P, Q, R trung điểm cạnh AB, BC, CD, DE, EA Chứng minh hai tam giác MPE NQR có trọng tâm
30.Cho hai hình bình hành ABCD AB’C’D’ có đỉnh A Chứng minh :
a) + + =
b) hai tam giác BC’D B’CD’ có trọng tâm
31.Cho tam giác ABC Gọi M ,N ,P điểm xác định sau: = ; = ; =
a)Chứng minh : = – O
b)Chứng minh hai tam giác ABC MNP có trọng tâm
32.Cho tam giác ABC Gọi M điểm cạnh BC cho MB = 2MC Chứng minh : = +
33.Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I trung điểm đoạn thẳng AG K điểm nằm cạnh AB cho AB = 5AK
a)Tính vectơ ,,,theo hai vectơ
b)Chứng minh điểm C,I ,K thẳng hàng
34.Cho điểm phân biệt A, B, C
a)Chứng minh có điểm I số t cho = t+ (1 – t) điểm M ta có : = t+ (1 – t)
b)Chứng minh : = t+ (1 – t) A, B, C thẳng hàng
35.Cho điểm O cố định đường thẳng d qua hai điểm A B cố định Chứng minh điểm M d có số cho: = + (1 – )
Với điều kiện M đoạn thẳng AB
36.Cho tam giác ABC Các điểm M, N, P chia đoạn thẳng AB, BC, CA theo tỉ số m, n, p Chứng minh :
a)M, N, P thẳng hàng m.n.p = (định lý Mênêlauýt)
b)AN, CM, BP đồng qui song song m.n.p = – 1(định lý Xêva)
37.Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm AB N điểm cạnh AC cho NC = 2NA Gọi K trung điểm MN
a)Chứng minh : = +
b)Gọi D trung điểm BC,chứng minh : = +
38.Cho tam giác ABC ,M điểm tuỳ ý Chứng minh vectơ = – 3+ không phụ thuộc vào vị trí điểm M
39.Cho tam giác ABC.Trên cạnh BC ,CA ,AB lấy điểm M,N,P cho BM = MC , CN = NA , AP = BP
a)Chứng minh : = (2+ ) ; = (2+ ) = (2+ )
b)Chứng minh : + + =
(3)+ + + + =
41*.Cho tam giác ABC Gọi M,N,P trung điểm cạnh BC ,CA ,AB Đặt = ; = Tính vectơ ; ; theo vectơ
42* Cho tam giác ABC Đặt = ;= Lấy điểm A’ B’ cho = m ; = n Gọi I giao điểm A’B B’A Hãy tính vectơ theo hai vectơ
43*.Cho tam giác ABC với cạnh AB = c, BC = a, CA = b
a)Gọi CM đường phân giác góc C Hãy tính vectơ theo vectơ
b)Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh : a + b+ c=
44*.Cho tam giác ABC trung tuyến AM Một đường thẳng song song với AB cắt đoạn thẳng AM, AC, BC D, E F Một điểm G nằm cạnh AB cho FG//AC Chứng minh = Suy hai tam giác ADE BFG có diện tích
45*.Cho hình thang ABCD có cạnh đáy AB CD Chứng minh cho trước điểm M nằm cạnh AD tìm điểm N nằm cạnh BC cho AN//MC DN//MB
46*.Cho tam giác ABC Trên cạnh BC, CA, AB lấy điểm A’, B’, C’ cho A’B = 2A’C; B’C = 2B’A; C’A = 2C’B Gọi M = AA’BB’;
N = AA’CC’; P = BB’CC’
a)So sánh đoạn thẳng AM, MN, NA’ b)So sánh diện tích hai tam giác ABC MNP
47*.Cho tam giác ABC tâm O M điểm tuỳ ý bên tam giác Gọi D,E,F hình chiếu M xuống cạnh Chứng minh :
+ + =
48*.Cho tam giác ABC điểm M tuỳ ý
a)Chứng minh vectơ = + – khơng phụ thuộc vị trí điểm M b)Dựng điểm D cho = ,CD cắt AB K Chứng minh + = =
49*.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), H trực tâm tam giác , gọi D điểm đối xứng A qua tâm O
a) Chứng minh HBDC hình bình hành b) Chứng minh + + =
+ + =
c)Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh =
Kết luận ba điểm O, H ,G
50*.Trong đường tròn (O) cho dây cung song song AA1 ,BB1 ,CC1 Chứng
minh trực tâm ba tam giác ABC1 ,BCA1 ,và CAB1 thẳng hàng
51*.Cho hai điểm A B cố định, M điểm tuỳ ý P điểm xác định : = +
Chứng minh đường thẳng MP qua điểm cố định
52*.Cho tam giác ABC Gọi M ,N ,P điểm xác định bởi: = k ; = k ; = k (k 1)
a)Vẽ điểm M,N,P k =
b)Với k tuỳ ý khác 1,chứng minh : (k – 1) = k – với O điểm tuỳ ý c)Chứng minh k 1,hai tam giác ABC MNP có trọng tâm
53*.Gọi I J trung điểm đoạn AB CD ,M N điểm xác định + k = ; + k = (k – 1).Gọi O trung điểm MN
a)Chứng minh : = ( + ) = ( + )
b)Từ chứng minh : + k = Kết luận ba điểm O , I , J ? c)Gọi P Q hai điểm xác định + k = + k =
Chứng minh O trung điểm đoạn PQ
54.Cho tam giác ABC đường thẳng d Tìm điểm M d cho vectơ = + + 2có độ dài nhỏ
55*.Cho tứ giác ABCD Với số k tuỳ ý,ta lấy điểm M N cho = kvà = k.Tìm tập hợp trung điểm I đoạn MN
56.Gọi G trọng tâm tam giác ABC ,chứng minh : a) + + = b) = (+ )
57.Cho ba vectơ ;; có độ dài + + = Tính góc AOB ;BOC ;COA
58.Gọi G,G’ trọng tâm tam giác ABC A’B’C’ a)Chứng minh : + + =
b)Gọi M,N,P điểm thoả: = , = , =
Chứng minh tam giác ABC tam giác MNP có trọng tâm
59.Cho tam giác ABC Gọi M,N,P điểm chia đoạn thẳng AB,BC,CA theo tỉ số k Chứng minh hai tam giác ABC MNP có trọng tâm
60.Cho tam giác ABC hai điểm M,N thoả: 2+ =
(4)61.Cho tam giác ABC vectơ cố định ;; Với số t R,lấy điểm A’, B’ ,C’ cho = t, = t, = t.Tìm quĩ tích trọng tâm G tam giác A’B’C’ t thay đổi
62.Cho tam giác ABC điểm O Chứng minh điểm M ta ln tìm số , , cho: + + =
= + + .Nếu điểm M trùng với trọng tâm tam giác ABC số , , bao nhiêu?
63.Cho tam giác ABC A’B’C’ có trọng tâm G Gọi G1,G2,G3 lần
lượt trọng tâm tam giác BCA’ ; CAB’ ; ABC’ Chứng minh G trọng tâm tam giác G1G2G3
64.Cho tam giác ABC, M điểm đối xứng trọng tâm G qua B Phân tích theo
65.Cho tam giác ABC có trọng tâm G.Gọi D E điểm xác định bởi: = ; =
a)Tính theo
b)Chứng minh điểm D,E,G thẳng hàng
c)Gọi K trung điểm DE M điểm xác định = x Tính ; theo ; x xác định x để A,K,M thẳng hàng
66 Cho tam giác ABC có trọng tâm G.Gọi H điểm đối xứng với G qua C K điểm đối xứng với A qua B
a)Chứng minh rằng: 3= – b)Chứng minh rằng: = +
c)Gọi M điểm xác định = x xác định x để H,K,M thẳng hàng
67.Cho tam giác ABC M điểm cho = ,N điểm cho = 3, L điểm cho = x Xác định x để M,N,L thẳng hàng
68.Cho tam giác ABC , M điểm thỏa mãn = – N điểm thỏa = x – a)Xác định x để A ,M ,N thẳng hàng
b)Xác định x để MN qua trung điểm I BC.Tính tỉ số
69.Cho tam giác ABC Điểm I cạnh AC cho CI = CA, J điểm thỏa = –
a)Chứng minh : = –
b)Chứng minh B ,I ,J thẳng hàng c) Dựng điểm J thỏa mãn điều kiện tốn
70.Cho hình bình hành ABCD, cạnh AB lấy điểm E cho AE = AB ,F điểm cạnh AC cho AF = AC Chứng minh E,D,F thẳng hàng
71.Cho tam giác ABC có trực tâm H,các đường cao AA’ ,BB’ ,CC’ Chứng minh :
a) tanB + tanC = b) tanA + tanB + tanC =
72.Cho hình bình hành ABCD, hai điểm M ,N thỏa = , =
a) Tính theo
b) Gọi I J hai điểm thỏa = , = Tính , theo , ,
73.Cho tam giác ABC, M điểm AC cho = ,G trọng tâm tam giác ABC, MG cắt đường thẳng AB N.Tính
74.Cho tg ABC.Tìm tập hợp điểm M thỏa a) = b) + – =
Toạ độ trục
1.Trên trục x’Ox cho điểm A,B,C có toạ độ 2,– 3,1 a)Tính , – ,
b)Tìm toạ độ trung điểm I AB
c)M điểm đối xứng với A qua B, N điểm đối xứng với M qua A Tìm N
2.Trên trục x’Ox cho điểm A,B,C có toạ độ 1,– 3,5 a)Tìm toạ độ điểm D cho =
b)Tìm toạ độ điểm M cho + + = c)Tìm toạ độ điểm N cho – + =
3.Trên trục x’Ox cho điểm A,B,C I trung điểm BC,chứng minh : a) + =
b) = 2 – 2
c) 2 + 2 = 2(2 + 2 )
d) 2 – 2 = 2.
4.Trên trục x’Ox cho điểm A,B,C,D , chứng minh : a) + + =
b) AB2 + AC2 + AD2 + = 0
5.Trên trục x’Ox cho điểm A,B có toạ độ – 1, a)Tìm toạ độ điểm C,D cho : = – =
(5)AB2 + CD2 = 4IJ2 ; IA2 = ; =
Tọa độ Oxy
1.Cho = (1;3), = (2;– 5), = (4;1) a)Tìm tọa độ vectơ = – + b)Tìm tọa độ vectơ cho + = – c)Tìm số k h cho = k + h
2.Cho = 2– = k + Tìm giá trị k để hai vectơ phương
3.Cho vectơ = (– 1;4),= (2;– 3),= (1;6) Phân tích theo
4.Cho vectơ = (m;m) , = (m – 4;1) , = (2m + 1;3m – 4) Tìm m để + phương với
5.Xét xem cặp vectơ sau có phương khơng?Nếu phương có hướng khơng?
a) = (2;3) , = (– 10;– 15) b) = (2;3) , = (– 10;– 15) c) = (0;7) , = (0;8) d) = (– 2;1) , = (– 6;3) e) = (0;5) , = (3;0)
6.Cho vectơ = (3;1) , = (2;1) = (4;1) Tìm số x,y cho x.+ y + =
7.Cho điểm A(– 3;2) ,B(2;4) ,C(3;– 2) a)Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC
b)Tìm tọa độ điểm D cho C trọng tâm tam giác ABD c) Tìm tọa độ điểm E cho ABCE hình bình hành
8.Cho điểm A(– 2;– 3) ,B(2;1) ,C(2;– 1) a)Tìm điểm D cho ABCD hình bình hành
b)Gọi E điểm đối xứng với D qua A Chứng minh ACBE hình bình hành
9.Cho tam giác ABC có A(– 1;1), B(5;– 3), đỉnh C nằm trục Oy trọng tâm G nằm trục Ox Tìm toạ độ đỉnh C
10Cho tam giác ABC biết trọng tâm G(1;2),trung điểm BC D(– 1;– 1), trung điểm cạnh AC E(3;4).Tìm toạ độ đỉnh A,B,C
11.Cho điểm A(2;3) ,B(9;4) ,M(x;– 2) Tìm x để điểm A,B,M thẳng hàng
12.Cho điểm A(1;1) ,B(3;2) ,C(m + 4;2m + 1),Tìm m để A ,B ,C thẳng hàng
13.Cho điểm A(– 1;8) ,B(1;6) ,C(3;4) Chứng minh rằng: A ,B ,C thẳng hàng
14.Cho điểm A(0;1) ,B(1;3) ,C(2;7), D(0;3) Chứng minh rằng: hai đường thẳng AB CD song song
15.Cho điểm A(– 2;– 3) ,B(3;7) ,C(0;3), D(– 4;– 5) Chứng minh rằng: hai đường thẳng AB CD song song
16.Cho điểm A(– 4;5) , B(1;2) ,C(2;– 3)
a)Chứng minh rằng: ba điểm A ,B ,C tạo thành tam giác b)Tìm tọa độ điểm D cho = – +
c)Tìm tọa độ điểm E cho O trọng tâm tam giác ABE
17.Cho tam giác ABC ,các cạnh BC ,CA ,AB có trung điểm M(– 2;1) ,N(1;– 3) ,P(2;2)
a)Tìm tọa độ đỉnh A ,B ,C
b)Chứng minh rằng: tam giác ABC MNP có trọng tâm trùng Đề kiểm tra
Đề 1(CB)
1.Cho hình bình hành ABCD tâm O.Tính vectơ sau: a) + + + b) + + c) –
2.Cho tứ giác ABCD Gọi M,N,P,Q trung điểm cạnh AB ,BC ,CD ,DA Chứng minh rằng:
a) = b = +
3.Cho tg ABC có trọng tâm G.Gọi M ,N ,P trung điểm cạnh AB ,BC ,CA Chứng minh rằng: + + =
4.Xét ba điểm sau có thẳng hàng không: A(2;– 3) , B(5;1) , C(8;5)
Đề 2(CB)
1.Cho hình chữ nhật ABCD tâm O a) Chứng minh rằng: =
b)Với điểm M tùy ý,chứng minh rằng: + = +
2.Cho tam giác ABC.Gọi I trung điểm BC ,K trung điểm BI Chứng minh rằng: = +
3.Cho tam giác ABC cá cạnh 1,điểm O trùng với gốc tọa độ, cạnh AB song song với Ox,A điểm có tọa độ dương.Tính tọa độ hai đỉnh A B
(6)1 Cho hai hình bình hành ABCD AB’C’D’ có đỉnh A Chứng minh :
a) + =
b) hai tam giác BC’D B’CD’ có trọng tâm
2.Trong mo Oxy cho hai điểm A(1;4) B(2;2) Đường thẳng qua hai điểm A B cắt trục Ox M cắt trục Oy N.Tính diện tích tam giác OMN
Đề 4(NC)
1.Cho tam giác OAB.Đặt = , = Gọi C ,D ,E điểm cho = , = ; = a)Hãy biểu thị vectơ ,, qua vectơ
b)Chứng minh rằng: ba điểm C ,D ,E thẳng hàng
2.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm G(1;2).Tìm tọa độ điểm A Ox điểm B Oy cho G trọng tâm tam giác OAB
Tích vơ hướng
1.Cho hai vectơ Chứng minh :
.=
2
b a b
a =
2 2
b a b
a
=
ab2 a b2
2.Cho hai vectơ , có = , = 12 = 13.Tính tích vơ hướng ( + ) suy góc hai vectơ +
3.Cho tam giác ABC cạnh a Gọi H trung điểm BC,tính a) b) c)
4.Cho hình vng ABCD tâm O,cạnh a.Tính: a) b) c)
5 Tam giác ABC có AC = ,BC = ,C = 90o ,tính 6 Tam giác ABC có AB = ,AC = ,A = 120o
a)tính b) Gọi M trung điểm AC tính
7 Tam giác ABC có AB = ,BC = ,CA = a)Tính suy giá trị góc A
b)Tính
c)Gọi D điểm cạnh CA cho CD = CA Tính
8.Cho hai vectơ thỏa mãn || = , || = (,) = 120o
Với giá trị m hai vectơ + m – mvng góc
9 Tam giác ABC có AB = ,AC = góc A = 60o Trên tia AC lấy điểm M
và đặt = k.Tìm k để BM vng góc với trung tuyến AD tam giác ABC
10.Cho tam giác ABC cân đỉnh A, cạnh bên = a hai trung tuyến BM, CN vng góc Tính cosA
11 Tam giác ABC có AB = 6,AC = 8,BC = 11 a)Tính
b)Trên cạnh AB lấy điểm M cho AM = 2.Trên cạnh AC lấy điểm N cho AN = 4.Tính
12.Cho O trung điểm AB,M điểm tuỳ ý Chứng minh : = OM2 – OA2
13.Cho hình vng ABCD tâm O, M điểm thuộc cạnh BC.Tính
14.Cho tứ giác ABCD , I trung điểm BC, chứng minh : a) = IA2 – IB2
b) = (AB2 + AC2 – BC2)
c) = (AD2 + BC2 – AC2 – BD2)
15.Cho tam giác ABC có trọng tâm G Chứng minh : MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2
16.Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a,b,c Gọi G trọng tâm,hãy tính: a) b) c) + +
d) Chứng minh : + + = – (a2 + b2 + c2)
e)Tính AG theo a ,b ,c
17.Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AD, BE, CF Chứng minh : + + =
18.Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R.Gọi M, N hai điểm (O) I = AM∩BN Chứng minh :
a) = b) = c) + = 4R2
19.Cho điểm A,B,C,D tuỳ ý a) Chứng minh : + + =
b)Từ chứng minh tam giác,ba đường cao đồng qui
20.Cho tam giác ABC cân A.Gọi H trung điểm BC,và D hình chiếu H AC, M trung điểm HD Chứng minh AM BD
21.Cho hình vng ABCD Gọi M N trung điểm BC CD Chứng minh : AN DM
(7)E D
I
H
A
B C
23.Cho hình thang ABCD vng A B AB = h, cạnh đáy AD = a, BC = b Tìm điều kiện a ,b ,h để
a) AC BD b) IA IB với I trung điểm CD
24.Cho tam giác ABC có AB = ;AC = A = 45o Gọi L chân đường
phân giác góc A a)Tính
b)Tính theo độ dài AL
c)M điểm cạnh AC cho AM = x Tìm x để AL BM
25.Cho tam giác ABC có AB = 2a ,AC = a A = 120o
a) Tính BC
b)Gọi N điểm cạnh BC cho BN = x Tính theo ,x c)Tìm x để AN BM
26.Cho tứ giác ABCD,chứng minh rằng: AB2 – BC2 + CD2 – DA2 = 2.
27.Cho tam giác ABC có H trực tâm M trung điểm BC Chứng minh : = BC2
28.Cho tứ giác ABCD Hai đường chéo cắt O Gọi H ,K trực tâm tam giác ABO CDO; I J trung điểm AD BC
Chứng minh HK IJ
28.Cho đường trịn (O;R) hai dây cung AA’ ,BB’ vng góc S Gọi M trung điểm AB chứng minh rằng: SM A’B’
29.Cho tam giác ABC Tìm quĩ tích điểm M thoả mãn : a) =
b) MA2 + + = 0
c) MA2 =
d) (+ ).(+ ) = e) ( – ).(2 – ) =
30.Cho điểm A cố định nằm ngồi đường thẳng , H hình chiếu A .Với điểm M , ta lấy điểm N tia AM cho = AH2 Tìm quĩ
tích điểm N
31.Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD vng góc với M,gọi P trung điểm đoạn thẳng AD
Chứng minh MP BC =
32* Xác định dạng tam giác ABC biết rằng: (.) + (.) +(.) =
33.Cho hình vuông ABCD,điểm M nằm đoạn thẳng AC cho AM = N trung điểm đoạn thẳng DC,chứng minh BMN tam giác vuông cân
34.Cho AA’ dây cung đường tròn (O) M điểm nằm dây cung Chứng minh 2.= MA(MA – MA’)
35.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) điểm M cho góc AMB ,BMC ,CMA 120o Các đường thẳng AM ,BM ,CM cắt
đường tròn (O) A’ ,B’ ,C’ Chứng minh rằng: MA + MB + MC = MA’ + MB’ + MC’
36*.Cho tam giác ABC có cạnh Gọi D điểm đối xứng với C qua đường thẳng AB , M trung điểm cạnh CB
a)Xác định đường thẳng AC điểm N cho tam giác MDN vng D.Tính diện tích tam giác
b)Xác định đường thẳng AC điểm P cho tam giác MPD vuông M.Tính diện tích tam giác
c) Tính cosin góc hợp hai đường thẳng MP PD
37.Cho hình chữ nhật ABCD tâm O, M điểm tuỳ ý,chứng minh : a) + = +
b) =
c) MA2 + MC2 = MB2 + MD2
d) MA2 + = 2.
38.Cho tam giác ABC hình vuông ABED, ACHI ,BCGH Chứng minh :
a) (+ ).= b) (+ + ).= c) + + =
d) + + =
39.Cho tam giác ABC vuông A, AB = c, AC = b Gọi M điểm cạnh BC cho CM = 2BM, N điểm cạnh AB cho BN = 2AN
a) Tính vectơ vàtheo hai vectơ
b)Tìm hệ thức liên hệ b c cho AM CN
40.a)Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O,R) M điểm tuỳ ý đường tròn Chứng minh rằng: MA2 + MB2 + MC2 = 6R2
b) Tổng quát toán cho đa giác n cạnh
41*.Cho lục giác A1A2…A6 nội tiếp đường tròn (O,R) điểm M
(8)a) cosMOˆA1 + cosMOˆA2 + …+ cosMOˆA6=
b) MA12 + MA22+ …+ MA62 số ( = 12R2)
42*.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O,R) ,M điểm đường tròn
a)Chứng minh : MA2 + MB2 + MC2 = 6R2
b)Chứng minh : MA2 + = 3R2
c)Suy M cung nhỏ BC MA = MB + MC
43.Cho tam giác ABC có A = 60o ,AB = ,AC = , gọi M trung điểm BC
a)Tính độ dài đoạn AM độ dài đường phân giác góc A
44* Tam giác ABC có tính chất gì,biết rằng: (.)+ (.)+ (.) =
45.Cho tam giác ABC có AB = AC = , góc BAC = 120o nội tiếp đường
tròn tâm I Gọi D trung điểm AB E trọng tâm tam giác ADC a)Tính
b)AH đường cao tam giác ABC.Tính theo c)Chứng minh IE CD
46.Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M ,N ,P ,Q trung điểm đoạn thẳng AC, BD, BC AD Đặt = , = , =
a)Chứng minh : = ( + – ) ; = ( + – )
b)Chứng minh :nếu MN = PQ AB CD.Điều ngược lại có khơng?
47.Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a ,b ,c Gọi D trung điểm AB I điểm thỏa + – =
a)Chứng minh BCDI hình bình hành b)Tính theo a ,b ,c
c)M điểm tùy ý, chứng minh :
MA2 + 3MB2 – 2MC2 = 2MI2 + IA2 + 3IB2 – 2IC2
d)Khi M chạy đường thẳng (d) cố định,hãy tìm vị trí M để biểu thức MA2 + 3MB2 – 2MC2 nhỏ
48.Cho tam giác ABC điểm M tuỳ ý
a)Chứng minh vectơ = + – khơng phụ thuộc vị trí điểm M
b) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, chứng minh : 2MA2 + MB2 – 3MC2 = 2.
c)Tìm quĩ tích điểm M cho 2MA2 + MB2 = 3MC2
49.Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(– 1;1) ,B(1;3) ,C(1;– 1)
Chứng minh rằng: tam giác ABC vuông cân A
50 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(2;4) ,B(– 3;1) ,C(3;– 1) a)Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành
b)Kẻ đường cao AH Tìm tọa độ chân đường cao H
51.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A,B,C,D với A(– 1;1) ,B(0;2) ,C(3;1) D(0;– 2) Chứng minh rằng: tứ giác ABCD hình thang cân
52.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A,B,C với A(– 1;– 1) ,B(3;1) ,C(6;0) a)Chứng minh rằng: điểm A ,B ,C tạo thành tam giác
b)Tính góc B tam giác ABC
53.Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A,B với A(5;4) ,B(3;– 2).Một điểm M thay đổi trục hồnh.Tìm giá trị nhỏ
54.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(3;4) ,B(4;1) ,C(2;– 3) ,D(– 1;6) Chứng minh rằng: tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn
55.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(– 8;0) ,B(0;4) ,C(2;0) ,D(– 3;– 5) Chứng minh rằng: tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn