Một hình chữ nhật sẽ được xác định một cách duy nhất bởi hai cặp số (s, t), (u, v), trong đó s < t là số của các đường dọc tương ứng với biên trái và biên phải, u < v là số của các[r]
(1)Bài đề Giải phương trình
2
2 1 2 1
2
1 x x x x
Lời giải Điều kiện để phương trình có nghĩa |x| Đặt x = cost, t [0, ]
phương trình trở thành
) sin( 2 sin ) sin( ) cos(
sin
2
t t t t t
t/2 = 2t + /4 + 2k t/2 = - 2t - /4 + 2k t = -/6 – 4k/3 t = 3/10 + 4k/5
Do t thuộc [0, ] nên có giá trị t thoả mãn t = 3/10 Vậy nghiệm phương
trình x = cos(3/10)
Bài đề Cho dãy {xn} xác định e n
n x n
1 Chứng minh dãy {xn} có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn
Đáp số: 1/2 Hướng dẫn: Chứng minh bất đẳng thức x – x2/2 < ln(1+x) < x – x2/2 + x3/3 dùng giới hạn kẹp Có thể chuyển sang hàm số dùng quy tắc L’Hopitale
Bài đề Tìm tất đa thức f(x) với hệ số nguyên cho với n nguyên dương ta có f(n) ước 2n – 1.
Hướng dẫn Nếu f(x) đa thức khơng tồn n cho |f(n)| > Gọi p ước số nguyên tố f(n) Ta có p | f(n) | 2n-1 Mặt khác p | f(n+p) | 2n+p-1 Suy p | 2n+p-2n = 2n(2p-1) Do (2n-1, 2n) = nên từ suy p | 2p-1 Nhưng theo định lý Fermat p | 2p – Như từ suy p | Mâu thuẫn Vậy f(x) phải đa thức Đáp số f(x) 1, f(x) -1
Bài đề Tìm tất cặp số nguyên dương (a, b) cho 2a + 3b bình phương số nguyên
Lời giải Giả sử 2m 3n a2
a số lẻ a2 2m3n ( 1) (mod 3)m , 0,1(mod3)
a nên suy m phải số chẵn Tiếp theo,
( 1) n 2m3n a 1(mod 4), nên n phải số lẻ, đặt n2 ,k k 1 2m (a3 )(k a )k ,
3k ,r 3k (s 0, )
a a r s r s m
Thì 2.3k 2r 2s s 1, vaäy 2r1 3k
(2)1
2
2
r r
k
Do hiệu hai nhân tử hai số không chia hết 2 21 1 1 3
r
r
nên k 1 Vậy cặp ( , ) (4, 2)m n
nghiệm phương trình
Dễ thấy số thỏa mãn yêu cầu toán
Bài đề Tại hội nghị có 100 đại biểu Trong số có 15 người Pháp, mỗi người quen với 70 đại biểu 85 người Đức, người quen với không 10 đại biểu Họ phân vào 21 phòng Chứng minh có phịng khơng chứa cặp quen
Lời giải Mỗi người Pháp phải quen với 70 – 14 = 56 người Đức Suy số cặp (Pháp, Đức) quen 15 x 56 = 840
Gọi n số người Đức quen đại biểu người Pháp (gọi Đ1) ta có: 840 (85-n).10 + n.9 Suy n 10 Những người Đức lại (Đ2) quen 10 đại biểu người Pháp, khơng thể quen với người Đức
Vì có 21 phịng có 15 người Pháp nên có phịng có tồn người Đức Vì có nhiều 10 người Đức quen nên theo nguyên lý Dirichlet, phịng có phịng có nhiều người Đức thuộc Đ1 Phịng phịng cần tìm
Bài đề Cho < x0, x1, …, x669 < số thực đôi khác Chứng minh tồn cặp (xi, xj) cho
2007 ) (
0xixj xj xi
Hướng dẫn Sắp xếp số thực theo thứ tự tăng dần, sau áp dụng bất đẳng thức 3ab(b-a) < b3 – a3 với b > a.
Bài đề Cho dãy số {an} xác định a1 = 1, a2 = an+2 = 2an+1 – an + với n Chứng minh với m, amam+1 số hạng dãy số Lời giải Ta có
an+2 = 2an+1 – an + Thay n n-1, ta
an+1 = 2an – an-1 +
Trừ hai đẳng thức vế theo vế, ta an+2 – 3an+1 + 3an – an-1 =
Phương trình đặc trưng x3 – 3x2 + 3x – = có nghiệm bội x
1,2,3 = nên ta có nghiệm tổng quát an có dạng an = an2 + bn + c Thay n = 1, 2, ta
(3)9a + 3b + c =
Từ giải a = 1, b = -2, c = Vậy an = n2 – 2n + = (n-1)2+1 Do amam+1 = ((m-1)2+1)(m2+1) = (m2 – m + 1)2 + = a_{m2-m+2}
Bài đề Tìm tất hốn vị (a1, a2, …, an) (1, 2, …, n) cho 2(a1+… +ak) chia hết cho k+1 với k=1, 2, …, n
Hướng dẫn Chứng minh quy nạp có hốn vị thoả mãn điều kiện (1, 2, 3…, n) (2, 1, 3, …, n)
Bài Chứng minh đa thức P(x) = xn + 29xn-1 + 2009 với n số nguyên dương lớn hay phân tích thành tích đa thức với hệ số nguyên có bậc lớn hay
Hướng dẫn Sử dụng tiêu chuẩn Eisenstein mở rộng sau
Cho đa thức P(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 Z[x] Giả sử tồn số nguyên tố p số nguyên dương k thoả mãn đồng thời điều kiện sau
1) an không chia hết cho p
2) a0 chia hết cho p không chia hết cho p2 3) a1, a2, …, an-k chia hết cho p
Khi đó, P(x) = Q(x).S(x) với Q(x), S(x) đa thức với hệ số nguyên hai đa thức Q(x), S(x) có bậc nhỏ k
Bài đề Cho tam giác ABC với O, I theo thứ tự tâm đường tròn ngoại, nội tiếp tam giác Chứng minh ·AIO 900 AB AC 2BC Kéo dài AI cắt đường trịn (O) D
Ta có DB DC , ra:
· · · ·
2
B B
DBI DBC BAD DIB nên tam giác DBI cân D, nên DB DI Áp dụng định lý Ptoleme cho tứ giác ABDC ta được:
( )
( )
AD BC AB DC BD AC AD BC BD AB AC
AD BC DI AB AC
Vậy · 900
2
AD
AIO DI tương đương với AB AC 2BC
D I
O
C B
(4)Bài đề Hình vng chia thành 16 hình vng nhau, thu được tập hợp gồm 25 đỉnh Hỏi cần phải bỏ đỉnh tập hợp để khơng có đỉnh tập hợp lại đỉnh hình vng với cạnh song song với cạnh hình vng ban đầu?
Hướng dẫn Chứng minh phản chứng.
Bài đề Giải hệ phương trình
2 2
( )
( )
( )
x y z x y z x y z x y z
Ta có:
( )
( )
( )
x y z x y z x y z x y z
, đặt
; ; , ,
2 2
a b a c b c
ax y z b x y z c x y z z y x
Thay vào nhận được:
15 15
5
( )
15 15
( )
3
( )
15 15
a a
a b c ab
b c a ac b b
a b c bc
c c
Từ ta có tập nghiệm là:
2 15 15 15 15 15 15
( , , ) , , , ,
3 15 15
x y z
Bài đề Hàm số f :¡ ¡ thoả mãn điều kiện f(cot ) sin 2x xcos 2x với x thuộc (0, ) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số
:[ 1,1]
g ¡ , g x( )f x f( ) (1 x). Ta có (cot ) cot2 22cot
cot
x x
f x
x
với
(0; )
x , đặt t cotx ta
2
2
( ) ,
1
t t
f t t
t
(5)Khi
2
2
(1 ) (1 ) ( ) ( ) (1 )
(1 ) (1 )
x x x x
g x f x f x
x x x x
Xét [ 1,1] , đặt
(1 ) 2,
4
tx x t
, hàm số g x( )thành
2
8
( )
2
t t
h t
t t
Khảo sát hàm
số 2,1
t
, ta được:
1 2,
4
max ( ) 4h t 34
2,1
1 ( )
25
h t
Vậy max ( ) 41,1 g x 34
1,1
1 ( )
25
g x
Bài đề Tìm tất đa thức P(x) thoả mãn điều kiện P2(x) – P(x2) = 2x4. Lời giải vắn tắt Đặt P(x) = anxn + R(x) với R(x) đa thức bậc r < n Khi P2(x) – P(x2) = (a
n2 – an)x2n + 2anxnR(x) + R2(x) – R(x2) Từ suy P2(x) – P(x2) có bậc 2n an có bậc n+r an = Từ suy n Hơn nữa,
n = an = r = n = an = r =
Từ đây, dùng phương pháp hệ số bất định, dễ dàng tìm nghiệm là: x4+1, x3+x, 2x2 –x2.
Ghi chú: Hãy mở rộng toán!
Bài đề Cho tam giác cân ABC với AB = AC P điểm nằm trong hay nằm cạnh tam giác ABC Chứng minh PA2 + PB.PC
AB2
Hướng dẫn Vẽ đường trịn (C) tâm A bán kính AB Nối BP cắt (C) C’ Khi BP.PC’ = AB2 – PA2 ta cần chứng minh PC
PC’ xong
Bài đề Cho A tập hợp gồm phần tử Tìm số lớn tập gồm phần tử A cho giao tập tập tập hợp gồm phần tử
(6)Mâu thuẫn Nếu j > 2, chẳng hạn j = {a, a1, a2} {a, a3, a4} = {a, a1}, mâu thuẫn!
Như phần tử thuộc không tập hợp Suy số lần xuất tất phần tử A tập chọn không x = 24 lần Vì tập có phần tử nên số tập không 24/3 = Suy n
Ta chứng minh số lớn cách tập Điều làm dễ dàng thông qua bảng sau
1
1 X X X
2 X X X
3 X X X
4 X X X
5 X X X
6 X X X
7 X X X
8 X X X
Bài đề Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện :
54 27 11
6 3 2
1 z x
z y
z y x
Tìm giá trị lớn 12 20082 20092
z y
x
P
Hướng dẫn Dùng công thức khai triển Abel.
Bài đề Cho dãy số thực {xn} xác định x0 1,xn1 2 xn 1 xn với
mọi n N Ta xác định dãy {yn} công thức
n i
i i
n x n N
y
1
*.
,
2 Tìm cơng
thức tổng qt dãy {yn} Lời giải Ta có
2 12 1 ( 1 1)
n n n
n x x x
x
Từ tính
1/2 2
2
1 21 , 1 , , 2 1
n
n x x
x
(7)n n
n
x x x x
2 /
/
8 /
/
4 /
1
2 2
1
2
2 2
, 2
1
Nhân đẳng thức đầu với 2, đẳng thức thứ hai với 22, đẳng thức thứ ba với 23 … đẳng thức thứ n với 2n cộng vế theo vế, ý đến giản ước, ta
2 ) ( 2
2 1/2 1/2
n n n n n
n
y
Bài đề Tìm tất số nguyên dương lẻ n cho tồn số nguyên lẻ x1, x2, …, xn thoả mãn điều kiện x12 + x22 + … + xn2 = n4
Lời giải tóm tắt Nếu x số nguyên lẻ x2
mod Từ đó, n số
nguyên dương thoả mãn u cầu xét hai vế theo mơ-đun 8, ta suy n đồng dư mô-đun 8, tức n = 8k + Với n = 8k+1, ta chọn x1 = n2 – 2, x2 = 2n – 1, cịn 8k-1 số cịn lại có 3k số 5k-1 số tổng bình phương xi
(n2-2)2 + (2n-1)2 + 27k + 5k-1 = n4.
Bài đề Tìm tất hàm số f: R R thoả mãn điều kiện
f(f(x) + y)) = f(f(x) – y) + 4f(x)y với x, y thuộc R
Lời giải Thay y = f(x) ta f(2f(x)) = f(0) + 4f2(x) Thay y 2f(y) – f(x) ta
f(2f(x) – 2f(y)) = f(2f(y)) – 4f(x)(2f(y)-f(x)) = f(0) + 4f2(y) + 4f(x)(2f(y)-f(x)) = f(0) + (2f(x)-2f(y))2.
Nếu tồn x0 với f(x0) với x thuộc R ta có x = 2f(f(x0) + x/8f(x0)) – 2f(f(x0)-x/8f(x0)), nên f(x) = x2 + f(0).
Bài đề Cho tam giác ABC có BC > AB > AC cosA + cosB + cosC = 11/8. Xét điểm X thuộc BC Y thuộc AC kéo dài phía C cho BX = AY = AB
a) Chứng minh XY = AB/2
b) Gọi Z điểm nằm cung AB đường tròn ngoại tiếp tam giác không chứa C cho ZC = ZA + ZB Hãy tính tỷ số ZC/(XC+YC)
(8)Bài đề Cho n số nguyên dương lớn hay Kí hiệu A = {1, 2, …, n} Tập B tập A gọi tập "tốt" B khác rỗng trung bình cộng phần tử B số nguyên Gọi Tn số tập tốt tập A Chứng minh Tn – n số chẵn
Hướng dẫn Có n tập tốt có phần tử Với tập tốt cịn lại, ta bắt cặp chúng sau Các tập tốt phần tử {a, b} cho tương ứng với tập tốt phần tử {a, (a+b)/2, b)} Sẽ có tập tốt phần tử không “sinh ra” cách nêu trên, tức khơng có dạng {a, b, c} với b = (a+c)/2 Các tập lại cho tương ứng với tập tốt phần tử {a, b, c, (a+b+c)/3} …
Bài đề Giải hệ phương trình
z xy y xz x yz z y
x2 2 2 18
Bài đề Cho số thực a dãy số thực {xn} xác định bởi:
x1 = a xn+1 = ln(3+cosxn + sinxn) – 2008 với n = 1, 2, 3, …
Chứng minh dãy số {xn} có giới hạn hữu hạn n tiến đến dương vô
Lời giải Đặt f(x) = ln(3+sinx+cosx) – 2008 x
x x x x
f
cos sin
3
sin cos )
( '
Từ đó, sử dụng đánh giá |cosx sinx| 2, |sinxcosx| ta suy
1
3 | ) ( '
|
q
x f
Áp dụng định lý Lagrange cho x, y thuộc R, ta có f(x) – f(y) = f’(z)(x-y)
Từ suy |f(x) – f(y)| q|x – y| với x, y thuộc R
Áp dụng tính chất với m > n N, ta có
|xm – xn| = |f(xm-1) – f(xn-1)| q|xm-1-xn-1| … qn-1|xm-n+1 – x1| qN-1|xm-n+1 – x1|
Do dãy {xn} bị chặn q < nên với > tồn N đủ lớn để qN-1|xm-n+1 – x1| < Như dãy {xn} thoả mãn điều kiện Cauchy hội tụ
Bài đề Vì a b a2 b2 a b
b a ab
số nguyên, suy (a2b2 a b) chia hết cho ab(1)
Đặt d ( , )a b , ab d 2(2) a2b d2 2(2)
Từ (1) (2) suy a2 b2 a b d2
(3) Từ (2) (3) suy a b d2
(9)Bài đề Cho a, b, c > 0, a + b + c = Chứng minh rằng
2 2 2
1 1
c b a c b
a
Do 2
1 1 1
ab bc ca
a b c nên ta cần chứng minh:
2 2 2
1 1 a b c abc a( b c ) 3
ab bc ca
Đặt x ab bc ca từ (ab bc ca )23abc a b c( ) suy
2
9
x
abc Mặt khác:
2 2 ( )2 2( ) 2
a b c a b c ab bc ca x Do ( 2 2) 3 2(9 ) 3 ( 3) (22 3) 0
9
x x x
abc a b c x
Bài đề Trên bàn cờ vua kích thước 8x8 chia thành 64 vng đơn vị, người ta bỏ ô vuông đơn vị vị trí hàng thứ m cột thứ n Gọi S(m;n) số hình chữ nhật tạo hay nhiều ô vuông đơn vị bàn cờ cho khơng có trùng với vị trí bị xóa bỏ ban đầu Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn S(m;n)
Lời giải vắn tắt Đánh số đường dọc từ trái sang phải từ 1-9, đánh số các đường ngang từ xuống từ đến Một hình chữ nhật xác định cách hai cặp số (s, t), (u, v), s < t số đường dọc tương ứng với biên trái biên phải, u < v số đường ngang tương ứng với biên biên Từ số hình chữ nhật tạo vuông đơn vị
9 9.C
C .
Bây giả sử ta bỏ ô (m, n) Ta đếm số hình chữ nhật số hình chữ nhật nói chứa Rõ ràng lúc u có n cách chọn v có 9-n cách chọn Tương tự, s có m cách chọn t có 9-m cách chọn Suy số hình chữ nhật chứa (m, n) n(9-n)m(9-m)
Từ suy ( , ) (9 ) (9 )
2
9 C m m n n
C n m
S
Đáp số: S(m,n)min = S(4, 4) = S(4, 5) = S(5, 4) = S(5, 5) S(m,n)max = S(1,1) = S(1, 8) = S(8, 1) = S(8,8)
Bài đề Cho dãy số {an} xác định công thức truy hồi a1 = 1/2,
1
2
n n
n n
a a
a
a .
(10)1 1 1 1 ) ( 1 1
n n n n n n n
n b b b b b b b
b Suy n
i i i n
n i i n b b b b a a a
1 1
1 1 1 1 1 1
Bài đề (a) Cho trước số nguyên dương n Chứng minh tồn số nguyên dương phân biệt x, y cho x + k chia hết cho y + k với k = 1, 2, …, n
(b) Chứng minh với số nguyên dương x y ta có x + k chia hết cho y + k với số nguyên dương k x = y
Bài đề Tìm tất đa thức P(x) với hệ số thực thoả mãn điều kiện P2(x) = P(x2) – 2P(x).
Hướng dẫn Đặt Q(x) = P(x) + Q2(x) = Q(x2) Chứng minh Q(x) = xn đa thức bậc n thoả mãn phương trình Từ suy nghiệm tốn xn-1 đa thức đồng số P(x)
P(x) -
Bài đề Lục giác lồi ABCDEF có ABF tam giác vng cân A, BCEF là hình bình hành AD = 3, BC = 1, CD + DE = 2 Tính diện tích lục giác
Hướng dẫn Xét phép tịnh tiến biến B thành C, F thành E A thành A’ Sau đó áp dụng bất đẳng thức Ptolemy cho tứ giác A’CDE
Bài đề Cho X = {1, 2, …, n} Tìm số tất cặp thứ tự (A, B) với A, B tập X cho A tập B B tập A
Lời giải Có 2n tập E Từ số tập thứ tự (A, B) tập E 2n x 2n = 4n Ta đếm số (A, B) mà A
B B A Ta có
|{(A, B)| A B B A }|
= |{(A, B)| A B}| + | (A, B)| B A } - |{(A, B)| A B B A}|
Rõ ràng
|{(A, B)| A B B A}| = |{(A, B)| A = B}| = 2n
Để tính |{(A, B)| A B}| ta lý luận sau: Nếu |B| = k (k=0, 1, …, n) có Cnk
cách chọn B Sau B chọn, có 2k cách chọn A Từ
n k n k k n C B A B A | } | ) , {( |
(11)Bài đề Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: 1 c b a c b
a
Chứng minh
abc c b a c b a
Ta có a b c 1 a b c
a b c a b c
Ta viết lại bất đẳng thức sau:
2 1
(a b c)
ab bc ca
Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz:
2
1 1 1
2 ( )
3 a b c
ab bc ca a b c
Do ta cần phải chứng minh:
2 2
( ) ( ) ( )
3
a b c a b c a b c a b c
Bài đề Tìm tất hàm số f: R R thỏa mãn điều kiện: ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) 1; , (1)
f x f y f f y xf y f x x y¡ .
Lời giải:
Từ (1) thay xf y( ) ta được: f(0)f f y( ( )) f y f y( ) ( ) f f y( ( )) 1, y ¡ nên:
2
1
( ( )) ( ( )) ,
2
a
f f x f x x ¡ (*)
Từ (1) thay xf x( ) ta được: f(f(x) f(y))f(f(y)) f(x)f(y) f(f(x)) 1 2 )) ( ( ) ( ) ( 2 )) ( ( )) ( ) ( ( 2
f f x f y f y a f x f y f x a a y f x f y f x f
f
)) ( ) ( (( )) ( ) ( (
Nhận xét f(x)0 không thỏa (1) nên
) (
:
0
y f y Từ (1), ta có f(x f(y0)) f(x)f(f(y0))xf(y0)1 Vế trái hàm bậc theo x nên có tập giá trị ¡ Suy vế phải có tập giá trị ¡
x a v f u f v f u f f x f v f u f x v u
x
( ( ) ( )) , )) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( : , , Hay ( ( )) ( ( )) ,
f f x f x a x (**)
Từ (*) (**), ta có
1
a a
a vậy ( ) 1;
2
f x x x ¡ Thử lại thấy thỏa
điều kiện
Vậy hàm thỏa mãn điều kiện ( ) 1;
f x x x ¡
Bài Các đường chéo hình thang ABCD cắt điểm P Điểm Q nằm hai đáy BC AD chọn cho AQD = CQB Điểm P Q nằm
(12)Hướng dẫn Xét phép vị tự tâm P biến A thành C, D thành B, Q thành Q’ Khi đó
BQ’C = AQD = CQB suy tứ giác BCQQ’ nội tiếp Suy Q’QB = Q’CB = QAD
Bài Tìm tất số nguyên dương n biểu diễn dạng n = [a, b] + [b, c] + [c, a]
trong a, b, c số nguyên dương ([a, b] ký hiệu bội số chung nhỏ số nguyên dương a, b)
Lời giải Gọi X tập hợp số n biểu diễn dạng Với a = b = 1, c = k, ta n = 2k + Suy số lẻ lớn thuộc x Vì [2a, 2b] = 2[a, b] nên n thuộc X 2n thuộc X Suy tất số có dạng 2u.(2k+1) thuộc X Chỉ cịn lại số có dạng 2k Ta chứng minh số dạng không thuộc X Thật vậy, giả sử n = 2k số nhỏ biểu diễn dạng n = [a, b] + [b, c] + [c, a] Khi a, b, c khơng thể đồng thời chẵn (khi n/2 biểu diễn được) khơng thể đồng thời lẻ (khi n lẻ) Trường hợp số hai lẻ, số chẵn khơng thể xảy n lẻ Cuối cùng, trường hợp a lẻ, b, c chẵn, ta có
n = [a, b] + [b, c] + [c, a] = [2a, b] + [b, c] + [c, 2a] suy n/2 = [a, b/2] + [b/2, c/2] + [c/2, a]
Bài Tìm tất đa thức hai biến P(x, y) cho P(a,b).P(c,d) = P(ac+bd,ad+bc) với a, b, c, d thuộc R
Bài Hãy xác định dạng tứ giác ABCD diện tích S, biết S tồn tại điểm O cho 2S = OA2 + OB2 + OC2 + OD2.
Bài Với số nguyên dương n > xét S = {1, 2, 3, …, n} Tô số S 2 màu, u số màu đỏ v số màu xanh Hãy tìm số (x, y, z) thuộc S3 cho
a) x, y, z tô màu; b) x + y + z chia hết cho n
(13)bộ ba nói Như cặp thuộc R x B cho tương ứng lần Từ suy số hai màu 3.u.v đáp số toán n2 – 3uv = (u+v)2 – 3uv = u2 – uv + v2
Cách Giả sử R = {a1, a2, …, au}, B = {b1, b2, …, bv} tương ứng tập hợp số tô màu đỏ màu xanh R B = S
Đặt
B b
b R
a
a Q x x
x x
P( ) , ( ) xét đa thức H(x) = P3(x) + Q3(x) Để ý rằng
3
3 ( , , )
3 )
, , (
3( ) , ( ) ,
B x b a
c b a R
x b a
c b
a Q x x
x x
P
Nên số (x, y, z) thuộc S3 cho x, y, z màu x + y + z chia hết cho n tổng hệ số xn, x2n, x3n H(x).
Mặt khác, H(x) = P3(x) + Q3(x) = (P2(x) – P(x)Q(x) + Q2(x))(P(x) + Q(x)) = (P2(x) – P(x)Q(x) + Q2(x))(x + x2 + …+ xn) Giả sử
G(x) = P2(x) – P(x)Q(x) + Q2(x) = a
0 + a1x + … + amxm
Chú ý với số tự nhiên k, tồn suy i thuộc (1, 2, …, n) cho k+i chia hết cho n Do tổng hệ số xn, x2n, x3n H(x) tổng các hệ số G(x) G(1) = u2 – uv + v2.