de thi

[r]

I Tìm nghiệm nguyên phơng trình bËc nhÊt hai Èn

Xét phơng trình : ax + by = c (a, b, c Z , a, b, c không đồng thời không)

Khi giải phơng trình (1) ta ý đến định lý sau : Phơng trình ax + by = c có nghiệm nguyên c chia ht cho (a,b)

Ta xét số cách giải thông qua ví dụ sau Dùng phơng pháp tÝnh chia hÕt cđa mét Èn VÝ dơ 1: T×m nghiệm nguyên phơng trình sau : 35x + 20y = 600

Lêi gi¶i

(1) 7x + 4y = 120 (2) Ta thấy 120 (7,4) phơng trình cho có nghiệm ngun

Ta thấy 4y 4

120 4 nªn từ 7x + 4y = 120 Suy 7x 4  x 4 ( V× (7,4 ) = 1)

Đặt x = 4t ( t  Z)

Suy (1) có dạng 4t + 4y = 120 7t + y = 30

 y = 30 – 7t ( t  Z) Vậy phương trình có nghiệm

30

x t

y t

  

 

 ( t

Z) Dùng phơng pháp tách giá trị nguyên

Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên phơng trình ví dụ 1: Từ phơng trình (2) ta có y = 120

4 x



y = 30 x x

  §Ĩ y nguyên

4 x

phi nguyờn , đặt

4 x

= t Suy x = 4t ( t  Z) Do y= 30 – 2.4t +

4 t

y= 30 – 7t

Vậy phương trình có nghiệm xy430 7t t  

 ( t

Z) Phơng pháp tìm nghiệm riêng phơng trình

Ta cú nh lý sau : Phơng trình ax + by = c (a, b, c Z , a, b, c không đồng thời không) Nếu (x0 ; y0) nghiệm nguyên phơng

trình phơng trình có vơ số nghiệm nguyên đợc biểu diễn dới dạng :

0

x x bt y y at

  



  

( t  Z)

7x + 4y = 120 (1) Lêi gi¶i

DƠ thấy x= y= 23 nghiệm riêng phơng trình (1) nên tập hợp nghiệm nguyên phơng trình (1)

4 23

x t

y t

   

 

 ( t

 Z)

Hoặc : Ta thấy x=8 y=16 nghiệm riêng phơng trình (1) nên tập hợp nghiệm nguyên phơng trình (1)

16

x t

y t

   

 

 ( t

 Z) NhËn xÐt:

- Tuy nhiên sử dụng phơng pháp đồng chí cần ý đến định lí ( chứng mịh định lí ) thứ nhẩm nghiệm riêng Với phơng trình có hệ số lớn , phức tạp việc tìm nghiệm ngun khó khăn - Ta thấy có nhiều cơng thức biểu thị tập hợp nghiệm nguyên phơng trình bậc ẩn tu theo nghim riờng ta tỡm c

II PHƯƠNG TRìNH ĐA THứC Có MộT HOặC NHIềU ẩN

Phng trình đa thức phơng trình có dạng f(x, y, z…) = f(x, y, z…) đa thức biến x, y, z ,…

Ph¬ng trình đa thức thờng sử dụng phơng pháp giải sau: Đa phơng trình tích ( phơng trình íc sè )

2 Đa phơng trình tổng Phơng trình xét số d vế Phơng pháp dùng đẳng thức Phơng pháp tách giá trị nguyên Phơng pháp nhận xét số n

Ví dụ 1: Giải phơng trình:

x + y + xy = (1) (x, y Z) Cách 1: Đa phơng trình tích :

(1)  (x + 1).(y +1) = (2)

Do (x, y  Z) nên x + 1, y + Z x + 1, y +  Z (5) nªn ta cã b¶ng sau:

x + -5 -1 y + -1 -5 x -6 -2 y -2 -6 Vậy phơng trình có nghiệm (x, y) = ( 6; 2);( 2; 6);(0; 4);(4;0) 

Vì vai trò x y nh nên ta có nghiÖm: (x, y) = (4;0);( 2; 6);(0; 4);( 6; 2)

Cách 2: Phơng pháp tách giá trị nguyên (1) y.(x + 1) = – x (2)

+) XÐt y = suy (2) cã d¹ng = – x  x = Phơng trình có nghiệm (x; y ) = (4; 0)

+) XÐt x + = => x = -1 suy phơng trình (2) có dạng = +1 (vô lí )

+) XÐt y 0, x 1 Tõ (2) suy y =

1 x x

  =

5 ( 1) x x

 

 = -1 +

5 x

Do y  Z nªn

5

x  Z suy x +  Ư(5) Do ta có bảng sau:

x + -5 -1

x -6 -2

y = -1 +

5 x

-2 -6

Kết hợp trờng hợp ta có tập nghiệm Phơng pháp đa tổng

Ví dụ 2: Giải phơng trình sau:

x2 - 4xy + 5y2 = 169 (1) (x, y  Z )

Lêi gi¶i

(1) (x – 2y )2 + y2 = 169

Ta thÊy: 169 = 02 + 132 = 122 + 52

Do y  Z+ ,  x 2y  N

Nªn ta có khả sau: 2 2

13 x y y        

=> 26

13 x y     

2 2 13

0 x y y        

=> 13

0 x y      hc 13 x y    

 (lo¹i) 2 2 12

5 x y y        

=> 22

5 x y     

hc

5 x y      (lo¹i) 2 2

12 x y y        

=> 29

12 x y      hc 19 12 x y

Vậy phơng trình có nghiƯm (x, y) = (26;13);(22;5);(29;12);(12; 29)



Tỉng qu¸t : PT f1k(x,y…) + f2k(x,y…) +……… + fnk(x,y…) =

k

a +

k

a +

…+ k n

a

Bµi tËp vËn dơng:

Tìm nghiêm nguyên phơng trình: a) x2 +13y2 = 100 – 6xy

HD: Biến đổi pt thành: (x – 3y)2 + 2y2 = 100

b) x2 – x – = - y2

HD: Biến đổi pt thành: (2x – 102 + 4y2 = 25

c) x2 + 2y2 + z2 + 4xy + 2xz = 26 – 2yz

HD: Biến đổi pt thành: x2 + (x + y)2 + (x + y + z)2 = 26

Chú ý: Các phơng trình có dạng ax2 + bxy + cy2 + cb = (a, b, c

nguyên) giải đợc phơng pháp Ví dụ 3: Tìm nghiệm tự nhiên phơng trình sau:

x2 +y3 – 3y2 = 65-3y

Gi¶i:

+ NÕu y = => x2 = 65 => x = 65

+ NÕu y  => x2 + y3 -3y2 = 65 – 3y

 x2 + (y3 -3y2 + 3y - 1) = 64  x2 + (y-1)3 = 64

Mµ x, y –  N ; 64 = 02 + 43 = 82 + 02

Cách phân tích ta có:

+

1 x y       => x y     

+ xy1 08  

 =>

8 x y 

Vậy phơng trình có nghiệm:

1 x y     

=>

f1h(x,y…) + f2h(x,y… ………) + + fnh(x,y…) = a

( a N; fi (x,y…)N ; i = 1;n Th× ta viÕt a díi d¹ng:

+ a = m1k + m2k + … + mnk (mi N, i = 1;n )

Xét trờng hợp sảy Từ tìm nghiệm thích hợp * Dùng phơng pháp nhận xột s n:

VD4: Giải phơng trình sau: x + y + z = x.y.z (x,y,z  Z+)

Do vai trò x,y,z nh nhau, không tính tổng quát ta giả sử < x y z

Ta cã x.y.z = x + y + z ≤ 3z => x.y <3

NÕu x=y=z th× x3 = 3x  x2 =3  Z (lo¹i) nªn cã Ýt nhÊt hai ba

số x,y,z khơng Do đó: x.y.z <3z => x.y <3 => x.y = x.y =

+ NÕu x.y = mµ x,y Z+ => x= 1, y = => + z = z (vô lý)

+ Nếu x.y = mà x,y Z => x = 1; y = 2; z = hc x =2; y = 1; z = Vậy phơng trình có nghiệm (x,y,z) = (1;2;3) hoán vị

Phơng pháp dùng BĐT VD6:

Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình x6 + z3 -15 x2z = 3x2 y2z – ( y2 + 5)3

Lêi gi¶i

Phơng trình tơng đơng

( x2 )3 + (y2 +5)3 + z3 = 3x2z (5 + y2)

áp dụng BĐT cosi cho sè x2 , y2 +5, z ta cã:

( x2 )3 + (y2 +5)3 + z3 ≥ 3x2z (5 + y2)

DÊu “=” x¶y x2 = y2 +5 = z

+ XÐt x2 = y2 +5 => (x + y).(x – y) = 5

Vì x,y Z+ nên x y x y

  



  



2 x y

  

 

=> z =

Vậy nghiệm phơng trình là: (x, y, z) = (3; 2; 9) VD6 : T×m nghiệm không âm phơng trình sau: (x2 + 4y2 +28)2 =17 (x4+y4+14y2+49)