Vậy ta được tất cả 16 cặp số thoả mãn đẳng thức đã cho.[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HỘI AN
TRƯƠNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM BỒI DƯỠNG HS GIỎI / TOÁN Chuyên đề:
I GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ
A.KIẾN THỨC:
Giá trị tuyệt đối số lưu ý tính chất sau giải tốn :
1/ GTTĐ số khơng âm / x / x
2/ GTTĐ số lớn số / x / x
3/ GTTĐ tổng không lớn tổng GTTĐ /x + y /
/
x
/
/
y
/
Hiệu không nhỏ hiệu GTTĐ / x-y//x/ - /y/ 4/ GTTĐ : Với a > thì: /x / = a <=> x = a
/ x / > a <=>
a x
a x
/ x/ < a <=> -a< x< a B LUYỆN TẬP:
Dạng: Tính giá trị Biểu thức :
Bài : Tính Gía trị biểu thức A = x2
x với /x / = 0,5
Giải: / x / = 0,5 <=> x = 0,5 x = - 0,5 - Nếu x = 0,5 A = 0,75
- Nếu x = - 0,5 A = 2,75
Dạng : Rút gọn Biểu thức có chứa dấu Giá trị tuyệt đối
Bài : Rút gọn biểu thức A = ( 2x - ) - / x - /
Giải : với x - <=> x / x -5 / = x - với x –5 < <=> x < / x – / = - x +
(2)
b/ Nếu x < A = ( 2x – ) – ( -x + ) = 7x –
Dạng: Tính giá trị biến Đẳng thức có chứa dấu GTTĐ:
Bài : Tìm x Biết / 3x – / + + 5
Giải : Ta có / 3x - / = Nên 3x – = +2 -2 Xét hai trường hợp :
a/ 3x – = => x = b/ 3x - = => x = -31
Bài4 : Với giá trị a,b ta có đẳng thức : /a ( b – ) / = a ( – b )? Giải : Ta biến đổi /a (b – )/ = / a ( – b )/ (1) /A/ = /-A/ / A / = A <=> A Do (1) xảy trường hợp : a/ a = b tùy ý
b/ b = a tùy ý
c/ a > b < d/ a < b >
Bài : Tìm số a , b cho a + b = / a / - / b / (1) HD: Xét trường hợp :
a/ a 0, b > (1) a + b = a – b <=> b = - b (không xảy ) b/ a 0, b (1) a = b = a + b <=> Đẳng thức nầy luôn đúng.Vậy : a 0, b thỏa mãn toán
c/ a < , b > (1) a + b = -a – b <=> a = - b Vây a < b = -a thỏa mãn toán
d/ a < , b (1) a + b = -a + b <=> a = -a ( không xảy ) Kết luận : Các giá trị a,b phải tìm a 0, b a < , b >
4 Dạng Tìm GTNN , GTLN biểu thức chứa dấu GT tuyệt đối :
Bài 6: a/Tìm GTNN A = / 3x – / -
Với x ta có / 3x – / => / 3x – / Do / 3x - / - -
(3)b/ Tìm GTNN B= 1,5 + /2 - x / HD: B đạt GTNN 1,5 tại=2
c/ Tìm GTNN C = /x-3/
HD:Ta có x0/x 3/0GTNN 0
Bài 7: a/ Tìm GTLN B = 10 - / x - /
Với x ta có / x – / => - / / x - / 10 Do 10- - / x - / 10
Vậy GTLN B = 10 x =
b/ Tìm GGLN B = -/ x+2 /
HD: C= - /x+2/0GTLN 0khix2
c/ Tìm GTLN C= - /2x-3/
HD: D = 1-/2x-3/1GTLNlla0khix3/2
Bài 8: Tìm GTNN C = / 6/ 3
x với x số nguyên
- Xét / x / > => C >
- Xét / x / < => / x / = 0;1hoặc => c = -2 ;-3 -6 Vậy GTNN C = -6 <=> x = ; -2
Bài Tìm GTLN d = x - / x /
- Xét x => C = x - x = (1) - Xét x < => C = x – (- x ) = 2x < (2) Từ (1) (2) ta thấy C
Vậy GTLN C = <=> x
Bài 10 : Tìm giá trị biểu thức :
a/ A = x3 2/ /
x x với x = -2/3 (đs 20/9)
(4)
Bài 11 : Rút gọn biểu thức : a/ (x - ) – / x + / (đs :x – với x 3 ;5x+ với x < 3)
b/ / x – / - / 4x - / (đs: = 2x+5 với x < ¼ ; Bằng -6x+7 với ¼ x < 3và -2x -5 với x Bài 12 : Tìm GTNN biểu thức :
a / A = / 3x – / - => GTNN A = -1 <=> x = 2/3 b/ B = / – 4x / - => GTNN B = -1 <=> x = 1/4 c/ C = x2 + / y – / - => GTNN C = -1 <=> x = ; y = 2
d/ D = x + / x / ( xét x > ;c < 0) => GTNN D = <=> x Bài 13: Tìm GTLN biểu thức :
e/ E = - / 2x - / => GTLN E = <=> x = 1/2 f/ F = / 12/ 3
x => GTLN F =1/3 <=> x =2
g/ G =
/ /
2
x
x
với x số nguyên HD : Xét TH : * x 2C 1
* x = <=> C = * x 1Gxx2 12x
Ta thấy G lớn 2x nhỏ Mà 2x lớn <=> x nhỏ tức x = G = => GTLN G = <=> x=
BÀI 14: Tìm x cho : a/ / x - / <
(5)Bài 15: Cho A = /x- / / /
2 x Tìm khoảng gía trị x biểu
thức A không phụ thuộc vào biến x ?
HD: Ta lập bảng xét dấu :
x 1/2 3/2
x - 1/2 - / + + x -3/2 - - / +
Xét trường hợp:
x<1/2 => A =(1/2 - x) - (3/2-x ) = -1 1/2 x3/2 => A = (x -1/2 )-(3/2 - x ) = 2x -2
X >3/2 => A = (x -1/2)-(x - 3/2) =
Vậy với x < 1/2 x > 3/2 giá trị biểu thức A khơng phụ thuộc vào biến x
II.
GÍA TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ XẢY RA ĐẲNG THỨC
HOẶC BĐT CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1/Phương pháp chung :
Để tìm giá trị biến đẳng thức Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối xét khoảng giá trị biến để lập bảng xét dấu khử dấu giá trị tuyệt đối
Ví dụ 16: Tìm x Biết : a/ x 1 x 6 (1)
GIẢI:
(6)
x
x - - + / + x - - / - +
Đẳngthức (1) (-x+1)+(-x+3)=6 (x-1)+(3-x)= (x-1)+(x-3) = -2x=2 0x = 2x = 10 x=-1 (khơng có giá trị x = (giá trị nầy thuộc thoả mãn (1) ( giá tri nầy thuộc khoảng xét) khoảng xét) Vậy x = -1 x = thoả mãn (1)
b/ x2 x 7
x -2
x+2 - + / + x-5 - / - +
* Xét khoảng x <2 Ta -2x = <=> x= -2 (loại)
Xét khoảng-2x5 Ta 0x = -0 với x khoảng
đang xét Vậy -2x5
Xét khoảng x >5 Ta đựoc 2x=10 <=> x = ( loại)
Kết luận: -2x5
c/ x3 2x x
x -3
x+3 - + / + x- - / - +
*Xét khoảng x < ta -2x = <=> x= -3,5( thuộc khoảng xét) *Xét khoảng -3x4 ta 0x = 1=> khơng có giá trị x thoả
mãn
* Xét khoảng x>4 Ta -2x = -7 <=>x = 3,5 không thuộc khoảng xét
(7)Ví dụ 17: Tìm x , Biết: x 1 x x1 (2)
Tương tự:
Xét khoảng x< Ta có (2)
=>(1-x)+*3-x)<x+1<=>-3x<-3<=>x>1( Giá trị nầy không thuộc khooảng xét)
Xét khoảng 1x3 (2)=>(x-1)+(3-x)<x+1<=>2<x+1<=>x>1 =>
Ta có giá trị 1<x 3 (3)
Xét khoảng x >3 => ta có (x-1)+(x-3)<x+1<=>x<5
Ta có giá trị : 3<x<5 (4)
Kết luận: Từ (3) (4) giá trị cần tìm : 3<x<5
2/ Sau ta xét số dạng đặc biệt Trong dạng nầy; để tìm x ngồi phương pháp chung nêu ta giải cách khác đơngiản
Dạng f (x) = a ( a số dương) <=>f(x)=a
Dạng f (x) = g(x) <=>1/g(x)0 & 2/f(x)=
) (x g
Dạng f(x) g(x) hay f (x) - g(x) = <=>f(x)=
) (x g
Dạng f (x) + g(x) = <=> f(x)=0 g(x) =
Dạng f (x) < a ( a số dương ) <=>-a< f(x)<a
Dạng f (x) > a ( a hừng số dương) <=>a<f(x)<-a
Cách giải dạng sau :
Dạng f(x) = a ( a số dương)
Ta xét f(x) = a f(x) = -a
Mỗi lần tìm giá trị x ta đáp số BÀI 18: Tìm x Biết :
a/ 5x4726
HD: Ta có : 5x+4 = 19 5x+4 = -19 5x = 15 5x = -23
x = x = -23/5 = -4,6 Vậy x = ; -4,6
(8)
b/ 39 2x 1716
HD: <=> x=-1 x = 10
c/ - 45 6x 7
HD:5 6x 1 Khơng có giá trị x thoả mãn
d/ x5 3
Hướng dẫn: - Ta có: x5 43
- Xét xx55 4433xx55712x;124;6
Dạng f (x) = g(x)
Ta phải tìm x phải thoả mãn hai điêù kiện: 1/ g(x)
2/ f(x) = g(x) f(x) = - g(x) Bài 19: Tìm x
a/ Biết: x 2x
- Xét điều kiện thứ nhất: 2x-5 0x2,5
- Xét điều kiện thứ hai
)1(
(2
)1(/
(4
52
1
52
1
khongtmdk
x
mdkt
x
x
x
x
x
Vậy x =
b/ Biết: 9 7x 5x
- Xét điều kiện thứ 5x-3 0x53
- Xét điều kiện thứ hai
)1(
(3
)1(
(1
5
3
7
9
3
5
7
9
tmdk
x
tmdk
x
x
x
x
x
Vậy x = ; c/ Biết: 8x 4x1x2
(9)Dạng f(x) g(x) hay f(x) - g(x) =
Ta phải tìm x thoả mãn hai điều kiện f(x) = g(x) f(x) =-g(x)
BÀI 20 : Tìm x
a/ Biết: 17x 5 17x5 0
HD: Ta có 17x-5 = 17x +5 Hoặc 17x-5 = -17x - 17x-17x = 5+5 17x+17x = -5+5
x = 10 34x = Vô nghiệm x = Vậy x =
b/ Biết: / 3x+ / = / 2x - /
HD: 3x4 22x <=> x =22
Dạng f(x) g(x) 0
Ta phải tìm x thoả mãn điều kiện f(x)=0 g(x)=0 BÀI 21 : Tìm x Biết :
a/
7 14
13
x
x
HD: a/
7 14
13
x
x <=> hai số hạng đồng thời 0. x + 13/14 = <=> x = -13/14 x- 3/7 = <=>x=3/7 Vậy x = &73
14 13
b/ Tìm cặp số x,y thoả mãn :
(10)
HD: b/ <=>
1,2
38,1
02,42
038,1
0/2,412/
0/38,1/
y
x
y
x
y
x
c/ ( 1)( 3)
x x x
x
HD: c/
3
31
30
0)3)(1
(
0)3(
x
hoacx
hoacx
xx
xx
d/ Tìm cặp số thực x ; y thoả mãn:
/ 2x-0, (24) / + / 3y + 0,1 (55) / = 0
HD: <=> / 2x- 0,1(5)/
10 / 99 24 y
<=> /
9 10 / / 99 24
/ x y
<=> / 2x - /
45 / / 33 y
Vì: /2x-
(11)Nên: /2x-338 /+/3y+ / 45
7
<=>
45
7
33
4
0
45
7
3
0
33
8
2
y
x
y
x
Dạng f(x) aa f(x)a ( a số dưong)
BÀI 22 : Tìm x
a/ Biết 3x1 5
HD : a/ 3x 5<=> -5 < 3x - <
-4 < 3x < -4/3 < x <
b/ Biết 10x7 37
HD:b/ <=> -37 < 10x+7 < 37 <=> -4,4 < x < c/ Biết 3 8x 19
.<=>-19 3-8x
4 11
19
x
Dạng f(x) a f(x) > a
(12)
a/ Biết; 15x 31
HD: <=>
2 15
32 31
1 15
31 15
x x x
x
b/ Tìm x Biết 2x 425
.<=>
8
13
21
5
2
21
5
2
x
x
x
x
Bài 24 Có cặp số nguyên (x;y) thoả mãn điều kiện sau : a/ x y 4
HD: Nếu x =0 y = 4 ta cặp số (0;4)và(0;-4)
Nếu x=1 y = ta cặp số ((1;3);(-1;-3); (1;-3);(-1;3) Nếu x=2 y = ta cặp số : Nếu x=3 y = ta cặp số :
Nếu x=4 y = ta cặp số Vậy ta tất 16 cặp số thoả mãn đẳng thức cho
b/ x y 4
HD Tương tự có tất + 10 +6+2 = 25 cặp số thoả mãn BĐT cho
BÀI 25:
a/ Tìm x thoả mãn : ( x + 2/3 ) ( 1/4 - x ) > HD:
(13)(x + 2/3 )( 1/4 - x) > 0<=>
)
(
4/1
3/2
04/
1
03/2
4/1
3/2
04/
1
03/2
a
ngthoixayr
khongthedo
x
x
x
x
x
x
x
x
<=> -2/3 < x < 1/4
Cách 2: Lập bảng xét dấu:
Giá trị x -2/3 1/4
dấu x+3/2 - + / + dấu 1/4-x + / + -dấu B.thức 2/3 + 1/4
Vậy Biểu thức > -2/3 < x < 1/4
b/ Tìm x thoả mãn:
3
x x
(14)
2/13
3
2/1
03
012
0
3
12
)(
4/1
2/1
03
012
0
3
12
x
x
x
x
x
x
x
yrakhongthexa
x
x
x
x
x
x
Vậy biểu thức < -3 < x < 1/2