HH Lop 10

Các tiêu điểm trên oy, độ dài trục ảo bằng 6 và hai đường tiệm cận vuông góc với nhau.. e..[r]

PHẦN

1& ĐƯỜNG THẲNG Chuyên đề Phương trình đường thẳng

I Vectơ pháp tuyến vectơ phương

Định nghĩa 1: Một vectơ n VTPT đường thẳng (d)

( ) n

n d

    

  

  

Nhận xét: Một đường thẳng có vơ số VTPT

Định nghĩa 2: Một vectơ u VTCP đường thẳng (d)

/ /( ) u u d       

  

Nhận xét:  Một đường thẳng có vơ số VTCP

 n u( n a a( ; )1 2  u a a( 2; )1 )

II Phương trình đường thẳng

PTTQ đường thẳng (d): 0( ; )0

( ; ) qua M x y vtpt n a b 

   

 là: a x x(  0)b y y(  0) 0

PTTS đường thẳng (d): 0

( ; ) ( ; ) qua M x y vtcp u a a 

   



0

x x a t y y a t

  



  

PTCT đường thẳng (d): 0

1

x x y y

a a

 



 PT đường thẳng (d) qua điểm M x y0( ; )0 có hệ số góc k: y y k x x(  0)  PT đường thẳng (d) qua điểm M x y0( ; )0 , M x y1( ; )1 là:

0

1

x x y y

x x y y

 



 

VD1: Viết phương trình đường thẳng (d) biết: a) Đi qua điểm M(1;-2) có VTCP u(2; 1)

 b) Đi qua điểm N(1;3) có VTPT n(2; 3)

c) Đi qua A(3;2) song song với đường thẳng (): x2y1 0 d) Đi qua A(1;2) B(2:-3)

Giải

a) PTTS đường thẳng (d):

2

x t

y t

   

  

b) PTTQ đường thẳng (d):2(x1) 3( y 3) 0 hay 2x 3y 7 c) (d)//() nên có dạng x + 2y + m =

(d) qua A(3;2), ta có + 2.2 + m =  m7

Vậy phương trình đường thẳng (d) có dạng x2y 0 d) 5x y  7

VD2: Viết PTĐT (d) trường hợp sau: a Đi qua điểm M(-1;2) có hệ số góc k =

b Đi qua điểm A(3;2) tạo với hướng dương ox góc 450 c Đi qua điểm B(3,2) tạo với ox góc 600

ĐS: a) 3x - y + = 0; b) x - y -1= 0; 3x y  2 3 0 hoặc 3x y  2 3 0

I - Vị trí tương đối

Trong mp(oxy) cho hai đường thẳng  1, có phương trình

1 1

2 2

: :

a x b y c a x b y c

  

 

  



a) Hai đường thẳng cắt  1 2

0 a b

a b 

b) Hai đường thẳng song song với   1

2

0 a b

a b 

1 2

0 b c b c 

  1 2

0 a b

a b 

1 2

0 c a

c a 

c) Hai đường thẳng trùng 1 1 1

2 2 2

0

a b b c c a

a b b c c a 

Trong trường hợp a b c 2; 2, ta có  1 cắt

1 2

a b

a b

 

 1

2 2

/ / a b c

a b c

    

 1

2 2

a b c

a b c

    

VD: Xét vị trí tương đối hai đường thẳng  1, trường hợp sau: a) 1: 2x 3y 5 2:x3y 0

b) 1: 3 x2y 0 2: 6x 4y 0 c) 1: 2x y  0 2: 2x 2y 0 d) 1:mx y  2 0và 2:x my m   1

Chú ý: Nếu cho hai đường thẳng PTTS, để đơn giản ta nên chuyển chúng về PTTQ để thuận tiện cho việc tính tốn

VD: Xét vị trí tương đối hai đường thẳng 1: 2x 2y 9 (1)

1 :

3

x t

y t

    

 

 (2)

Cách 1: Thế PT (2) vào PT (1) để tìm t (nếu có) Thay trở lại PT(2) để tìm x, y Cách 2: Chuyển PTTQ, giải hệ PT

Trong mp(oxy) cho hai đường thẳng  1, có phương trình: 1:y k x m1 1; 2:y k x m2

     

 1 cắt  2 k1k2  1/ / 2 k1k m2; 1 m2    1 2 k1k m2; 1 m2     1 2 k k1 2 1

1 Khoảng cách

1.1 Cho hai đường thẳng : axby c 0 điểm M x( M;yM) Gọi d M ( ; ) khoảng cách từ M đến 

2

ax

( ; ) M byM c

d M

a b

 

 



VD: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng biết: a) M(1;1) :x y  0 ĐS 2

b) M(2;1) : 1

1

x y

 

 ĐS

2

c) M(1; 5) : x t y t      

 ĐS

5

1.2 Cho hai đường thẳng 1: a x b y c1   1; 2: a x b y c2   Phương trình đường phân giác góc tạo 1 2 là:

1 1 2

2 2

1 2

a x b y c a x b y c

a b a b

   



 

VD: Viết phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng: a) 1:x2y 1 2:x3y 3 ĐS

( 1) (2 3) ( 1) (2 3)

x y x y               

b) 1:

4 x t y t      



:x y

    ĐS 11

2 y x       

c)

3 : x t y t      

 : x u y u     

 ĐS

2

2 x y x y         

Chú ý: Khi giải toán nên chuyển PTĐT dạng TQ để tiện tính tốn

1.3 Cho hai điểm M x( M;yM), ( ;N x yN N) và: axby c 0, Khi đó:  M, N nằm phía   (axM byM c)(axN byN c) 0  M, N nằm khác phía   (axM byM c)(axNbyN c) 0

2 Góc hai đường thẳng

 1: a x b y c1  1  1; 2: a x b y c2  2  2 Gọi  = ( ; 1 2) Ta có 2 1 1 2 2

2 2

1 2 1 2

os

n n u u a b a b

c

n n u u a b a b

                                                                  

Nhận xét: Nếu   1 a b1 1a b2 0

 k k1, 2 hệ số góc đường thẳng Ta có 2 tan k k k k    

Nhận xét: Nếu   1 k k 1

VD: Cho hai đường thẳng 1:x 2y 5 2: 3x y 0 a) Tìm giao điểm của1 2

b) Tính góc 2và 2 (ĐS M(1;3);  

1; 45    )

Dạng 1: Xác định hình chiếu H điểm M đường thẳng   Viết PTĐT Mx: Qua M

Mx  

  

 Tọa độ H(x;y) nghiệm hệ: Mx

 

Dạng 2: Xác định M1 đối xứng với M qua đường thẳng 

 Xác định tọa độ hình chiếu H M  H trung điểm MM1

Dạng 3: Tìm đường thẳng : axby c 0 Điểm P cho tổng khoảng

cách từ P tới điểm A x y( ;A A) B x y( ;B B)là nhỏ

Xác định t tA B (axAbyAc)(axB byBc)

Trường hợp 1: t t  A B A, B nằm hai phía đường thẳng   Viết phương trình đường thẳng AB

 Gọi P0 AB   P x y0( ; )0 0

 Ta có PA PB AB Vậy (PA PB )min AB A B P, , thẳng hàng  P P

Trường hợp 2: t t  A B A, B nằm phía đường thẳng   Gọi A1 điểm đối xứng A qua đường thẳng   A x1( A1;yA1)

 Viết phương trình đường thẳng A B1  Gọi P0 A B1    P x y0( ; )0 0

 Ta có PA PB PA  1PB AB Vậy (PA PB )min AB A B P1, , thẳng hàng  P P

VD1: Tìm trục hồnh điểm P cho tổng khoảng cách từ P tới điểm A B nhỏ trường hợp sau:

a) A(1;1) B(2;-4) b) A(1;1) B(3;3) ĐS a)

4 ;0 P  

 ; b)

;0 P  

 

VD2: Cho hai điểm A(1;2) B(0;-1) đường thẳng d có phương trình tham số

2 x t

t   



 Tìm điểm M thuộc (d) cho:

a MA MB  nhỏ

b MA MB lớn ĐS a) 19;

15 15 M  

 ; b) M2;5

VD3: Cho hai điểm A(1;1) B(3;3) ; C(2;0) a Tính diện tích ABC

b Tìm điểm M oxsao cho góc AMB nhỏ ĐS a 2; M(0;0)

VD4: Trong mp(oxy) cho A(-1;3), B(1;1) :y2x a) Tìm C   để ABC

b) TìmC   để ABC cân ĐS a) Vơ nghiệm; b) Có điểm C

PHẦN II

Chuyên đề Phương trình đường trịn

1.1 Phương trình đường trịn tâm I x y( ; )0 bán kính R là:  (x x 0)2(y y 0)2 R2

 x2y2 2xx0 2yy0x20 y20  R2 0

I.2 Cho đường cong (C) có phương trình: x2 y2 2ax 2by c 0      (1) Thực phép biến đổi (1) (x a)2 (y b)2 a2 b2 c

       (2)

Nếu gọi I a b( ; ), M x y( ; )thì VT (2) IM2 Bởi ta có kết luận: PT (2) với a2 b2 c 0

   PT đường tròn tâm I( ; )a b , bán kính R a2b2  c VD: Trong phương trình sau, phương trình biểu diễn đường trịn? Tìm

tâm bán kính có: a) x2 y2 6x 8y 100 (1)

     ĐS (1) khơng đường trịn b) x2 y2 4x 6y 12 0

     (2) ĐS (2) có tâm I(-2;3) R= c) 2x2 y2 4x 7y 2 0

     (3) ĐS (3) có tâm I(1;-2) R = VD1: Lập phương trình đường trịn biết:

a) Tâm I(-1;3) có bán kính R = b) Đi qua điểm A(3;1) tâm I(1;2)

c) Đi qua điểm A(3;1), B(5,5) tâm I nằm trục hoành ĐS a) (x 2)2 (y 2)2 9

    ; b) (x1)2(y 2)2 5 ; c) (x10)2(y 2)2 50 VD2: Lập phương trình đường trịn biết:

a) Đi qua điểm A(0;1), B(1;0) tâm I nằm đường thẳng (d): x y  2 b) Đi qua điểm A(1;4), B(-4;0), C(-2;2)

c) Tâm I(1;1) tiếp xúc với đường thẳng (d):3x4y12 0 ĐS a) 2

2

x y  x y  ; b) x2y2 x y  20 0 ; c) (x1)2(y1)2 1 VD3: Lập phương trình đường trịn ngoại tiếp ABC, có ba cạnh nằm ba đường thẳng sau: 5y x  2; y x 2; y 8 x

ĐS x2 y2 4x 22 0

   

VD4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn 0xy xét hai điểm A(4;0); B(0;3) Viết phương trình đường trịn nội tiếp OAB

ĐS (x 1)2 (y 1)2 1

   

VD5: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng:2x y 1 0 ; 2x y  2 có tâm thuộc đường thẳng x y 1 0

ĐS: ( 5)2 ( 3)2 121;( 5)2 ( 3)2 121

2 20 2 80

x  y  x  y 

VD6: Cho đường trịn Cmcó phương trình: x2y2(m2)x (m4)y m  1

a) Chứng minh Cm đường tròn với giá trị m

b) Cm qua hai điểm cố định m thay đổi

c) Tìm điểm mp tọa độ mà họCm không qua với m

VD7: Cho phương trình x2 y2 2mx 4my 6m 1 (1)

     

a) Với giá trị m (1) phương trình đường trịn

b) Nếu (1) phương trình đường trịn tìm tọa độ tâm bán kính

Cho điểm M x y( ; )0 đường trịn (C) có phương trình: x2y2 2ax 2by c 0  ( )C có tâm I a b( ; ) bán kính R a2 b2 c

  

 Phương tích điểm M đường tròn (C) là:

2 2

/ 0 2 ( ; )0

M I

P MI  R x y  ax  by  c f x y

Nhận xét: - Nếu PM I/  0 M nằm đường tròn - Nếu PM I/  0 M nằm đường tròn - Nếu PM I/  0 M nằm ngồi đường trịn VD: Cho đường trịn (C) có phương trình: 2

2

x y  x y  Xét vị trí tương đối điểm M đường tròn (C) trường hợp sau:

a M(1;1) ; b) M(4;1); c) M(3;5) Trục đẳng phương hai đường tròn:

Cho hai đường tròn ( )C1 (C2) khơng tâm có phương trình: ( )C1 :

2 2

1 1 1

2 ( 0)

x y  a x b y c  a b  ( )C2 :

2 2

2 2 2

2 ( 0)

x y  a x b y c  a b 

Khi tập hợp điểm có phương tích với hai đường trịn ( )C1 (C2) đường thẳng (d) (d) gọi trục đẳng phương hai đường tròn

VD: Tìm trục đẳng phương hai đường trịn 2

1

( ) :C x y 3x0 ( ) :C2 x2y2 2x 2y 1 ĐS: 5x2y1 0

II Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn

Cho đường tròn đường trịn (C) có tâm I a b( ; ) bán kính R a2 b2 c

   đường thẳng (d) có phương trình:AxBy C 0

(A2 B2 0)

  Xét vị trí tương đối (d) với (C) ta làm sau:

Cách 1: Ta tính h d I d( ;( )) Aa 2Bb C2

A B

 

 



 h R ( ) ( )d  C 

  h R (d) tiếp xúc với (C)

 h R ( ) ( )d  C hai điểm phân biệt A, B

Cách 2: Xét hệ phương trình tạo (d) (C):

2 2 2 0

Ax

x y ax by c

By C

     



  

 (1)

- Nếu hệ (1) vô nghiệm ( ) ( )d  C 

- Nếu hệ có nghiệm kép (d) tiếp xúc với (C)

- Nếu hệ (1) có hai nghiệm phân biệt  ( ) ( )d  C hai điểm phân biệt A, B VD: Xét vị trí tương đối đường thẳng (d) đường tròn (C):

a) (d): x y  0 (C): x2y22x2y 1 b) (d): 3x4y12 0 (C): x2y2 2x 2y 1 c) (d): 2x y  0 (C): x2y2 20x50 0

Bài tốn1:

Phương trình đường trịn qua giao điểm đường thẳng (d): AxBy C 0

và đường tròn (C):x2 y2 2ax 2by c 0

     có dạng:

2 2 2

VD: Cho đường tròn (C): x2 y2 1 0

   đường thẳng (d):x y 1 0. Lập phương trình đường trịn (S) qua giao điểm (d) (C) trường hợp:

a (S) qua điểm A(2;1)

b ( S) có tâm thuộc đường thẳng: 2x y  0 c (S) tiếp xúc với đường thẳng:2x y  0

d (S) cắt đường: x y  0 hai điểm A B cho AB = ĐS: a) 2

2

x y  x y  ; b) x2y2 4x 4y 3 0; c) 2 2

3 3

x y  x y 

d) 2 8 0

3 3

x y  x y 

III Vị trí tương đối hai đường trịn

Cho hai đường trịn khơng đồng tâm ( )C1 và ( )C2 có phương trình:

( )C : 2 2

1 1 1

2 ( 0)

x y  a x b y c  a b 

( )C : 2 2

2 2 2

2 ( 0)

x y  a x b y c  a b 

Gọi I a b1( ; )1 , I a b2( ; )2 R R1; 2 tâm, bán kính ( )C1 và ( )C2 ta có:

- Nếu I I1 R1R2  ( )C1 ( )C2 khơng cắt ngồi nhau

- Nếu I I1  R1 R2  ( )C1 ( )C2 không cắt nồng nhau

- Nếu I I1 R1R2  ( )C1 ( )C2 tiếp xúc

- Nếu I I1 R1 R2  ( )C1 ( )C2 tiếp xúc

- Nếu R1 R2 I I1 2R1R2  ( )C1 và ( )C2 cắt hai điểm phân biệt. VD: Cho hai đường tròn( )C1 ( )C2 có phương trình:

x2 y2 1 0

   x2y2 2x 2y 1 Xét vị trí tương đối của( )C1 ( )C2 ĐS: ( ) ( )C1  C2  A(0;1); (1;0)B 

Bài toán2:

Phương trình đường trịn qua giao điểm hai đường tròn

( )C : 2

1 1

2

x y  a x b y c  ( )C2 :

2

2 2

2

x y  a x b y c  có dạng: 2

1 1

2

x y  a x b y c +m x( 2y2 2a x2  2b y c2  2) 0 VD

1 Cho hai đường trịn( )C1 ( )C2 có phương trình: x2 y2 1 0

   x2y2 4x0

a) Chứng minh rằng( )C1 ( )C2 cắt

b) Viết phương trình đường tròn qua giao điểm của( )C1 ( )C2 M(3;0) c) Viết phương trình đường trịn qua giao điểm của( )C1 ( )C2 tiếp xúc với

đường thẳng x y  0 ĐS: b) 11x2 11y2 32x 3 0

    ; c) dùng chùm đường tròn Cho họ đường tròn (Cm):x2 y2 2mx 2(m 1)y 2m 1 0

      

a) CMR m thay đổi, họ đường tròn(Cm) qua hai điểm cố định

3 Lập phương trình đường trịn qua điểm A(1;-2) giao điểm đường thẳng (d): x 7y10 0 với đường tròn (S): x2y2 2x4y 20 0

ĐS: x2 y2 x 3y 10 0      Cho hai đường tròn 2

1

( ) :C x y  2x4y 0 (C2) :x2y22x 2y14 0 a) CMR:( )C1 ( )C2 cắt

b) Viết phương trình đường trịn qua giao điểm của( )C1 ( )C2 qua M(0;1) ĐS: b) 16x2 16y2 28x 58y 74 0

    

5 Cho ba điểm A(-1;0), B(2;4); C(4;1)

a Chứng minh tập hợp điểm M thỏa mãn: 3MA2 MB2 2MC2

 

đường trịn (C) Tìm tọa độ tâm bán kính (C)

b Một đường thẳng  thay đổi qua A cắt (C) M N Hãy viết phương trình  Sao cho MN ngắn

ĐS: a  

2

2

9 107

1

2

x y

 

   

 

  ; b

7x 2y 7

IV Tiếp tuyến đường tròn

1 Tiếp tuyến đường tròn

Cho đường tròn (C): x2 y2 2ax 2by c 0

     (C) có tâm I(a;b) bán kính R Để viết phương trình tiếp tuyến (C) ta xét khả sau:

+ PT tiếp tuyến với (C) điểm M x y( ; ) ( )0  C là:

2

0

(x a x )(  a) ( y b y )(  b)R Chưa biết tiếp điểm

a Xét tiếp tuyến vng góc với ox, có dạng:x a R 

b Xét tiếp tuyến có dạng (d):y kx m  Lập HPT hai ẩn theo k m + PT(1) dựa vào điều kiện tiếp xúc

+ PT(2) dựa vào điều kiện đề bài: - (d) qua A x y( ;A A) yA kxAm

- (d) có phương cho trước  k

-(d) hợp với ( ) góc  2

tan

k k k k

 

 



-(d)  ( ) k k1 21

VD: Cho đường tròn (C): 2

2 8

x y  x y  Viết PTTT với (C) biết: a Tiếp tuyến qua M(4;0)

b) Tiếp tiếp tuyến qua A(-4;-6) ĐS: a) 3x 4y12 0

2 Cho đường tròn (C): x2 y2 2x 8y 8 0

     Viết PTTT với (C) biết: a Tiếp tuyến song song ( ) : x y 0

b Tiếp tuyến vng góc với( ) : 3 x 4y0 ĐS: a x y  2 0 ;x y  2 0 b.4x3y18 0 ; 4x3y8 0

3.Viết PTTT đường tròn (C): x2 y2 2x 6y 9 0.

     Biết tiếp tuyến tạo với ( ) : 2 x y 0một góc 450.

ĐS: (S): x 3y 8 10 0 ;x 3y 8 10 0 ; 3x y  6 10 0 ;3x y  6 10 0

2 Tiếp tuyến chung hai đường tròn

Cho hai đường tròn ( )C1 ( )C2 Để tìm tiếp tuyến chung ( )C1 ( )C2 ta xét hai trường hợp:

a Xét tiếp tuyến vng góc với ox, có dạng: x a R  b Xét tiếp tuyến có dạng:y kx m  Giải HPT kvà m VD

1 Cho hai đường tròn: (C): x2 y2 4x 3 0

    ( )C2 :x2y2 8x12 0 Viết PTTT hai đường tròn

(ĐS:x 3y0;x 3y0;x 35y 8 0;x 35y 8 0)

2 Cho đường tròn (C): x2 y2 2x 4y 4 0

     điểm A(3;5) a Hãy tìm tiếp tuyến kẻ từ A đến (C)

b Giả sử tiếp tuyến tiếp xúc với (C) M N Tính độ dài MN ĐS: a) y 0;24 x 7y 37 0 ; b) 24

3 Cho đường tròn (C): (x 1)2 (y 3)2 4

    M(2;4)

a Viết phương trình đường thẳng qua M cắt đường tròn (C) hai điểm A, B cho M trung điểm AB

b Viết phương trình tiếp tuyến đường trịn có hệ số góc k = ĐS: a) x y  2 0  ; x y  2 0 

4

a Cho đường tròn (C): (x a)2 (y b)2 R2.

    Chứng minh PTTT với (C) M x y( ; ) ( )0  C là:

2

0

(x  a x a)(  ) ( y  b y b)(  )R b Tìm PTTT hai đường trịn 2

10 24 56

x y  x y x2y2 2x 4y20 ĐS: b) ((14 10 7) 21  y35 10 0  ; (14 10 7) 21  y35 10 0 

5 Cho đường tròn (C): x2 y2 1

  (Cm) :x2y2 2(m1)x4my5

a CMR: Có hai đường trịn C Cm1; m2tiếp xúc với đường tròn (C)

b Xác định phương trình đường trịn tiếp xúc với hai đường trònCm1;Cm2 ĐS: a

2

2

( 1) 0;

5

x  y  x  y  

    ; b.2x y 3 0;2  x y  0 

Một số tốn quỹ tích

1 Viết phương trình đường trịn tiếp xúc với ox cắt oy điểm (0;1) Tìm quỹ tích tâm đường trịn

ĐS: x2 2x 1 0   

2 Cho họ đường trịn ( )Ca có phương trình ( )Ca :x2 y2 (a 2)x 2ay 1 0

     

a Tìm quỹ tích tâm đường tròn ( )Ca

b Chứng tỏ a thay đổi,( )Ca qua hai điểm cố định Tìm điểm đó. c Cho a = - điểm Q(3;0) Viết PTTT C2 kẻ từ Q

ĐS: a 2x y  2 0; b) M(-2;-1); N( 1;

5

 

 

 ;

c) (45 12 5) x (18 15 5) y135 0 ; (45 12 5) x (18 15 5) y135 0

3& ELIP

Chủ đề 1: Phương trình elip

1 Định nghĩa

( )E M MF| 1MF2 2a

- Hai điểm cố địnhF F1 ; 2 gọi hai tiêu điểm

- Khoảng cách F F1 2c gọi tiêu cự.

- Đường thẳng F F1 2: tiêu trục

- Trung điểm I F F1 2 tâm E

- Tâm sai (E): e c

a 

Phương trình tắc elip

Trong mp(oxy) chọn F1( ;0)c F c2( ;0) PT tắc (E) là: 22 22

x y

a b  với

2 2 b a  c

M x y ; ( )E ta ln có: MF1 a cx; MF2 a cx

a a

   

3 Hình dạng elip

a M x y( ; ) ( ) E  M1( ; ), x y M2( ;x y M x y ); 3( ; ) nên (E) nhận trục tọa độ làm trục đối xứng, gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

b  ( )E ox A1( ;0);a A a2( ;0) A A1 gọi độ dài trục lớn A A1 2a  ( )E oyB1(0;b B); 2(0; )b B B1 gọi độ dài trục nhỏ B B1 2b c HCN sở có đỉnh giao điểm đường thẳng xa yb

d

2 2

1 ( ; ) ( )

1 x

a x a a

M x y E

b x b y

b 



   



    

   

 

 

VD:

Cho ( )E có phương trình 16x2 25y2 100

 

a Tìm tọa độ đỉnh, tọa độ tiêu điểm, tính tâm sai của( )E .

b Tìm điểm thuộc (E) có hồnh độ tính khoảng cách từ điểm đến hai tiêu điểm

c Tìm b để đường thẳng(d):y x b  có điểm chung với (E) ĐS: b)

6 (2; );

5

M 

6 2;

5 M  

 ; c)

41

1 b

 

Cho ( )E có phương trình 4x2 9y2 36

 

a Tìm tọa độ đỉnh, tọa độ tiêu điểm, tính tâm sai của( )E .

b Cho M(1;1), lập phương trình đường thẳng qua M cắt (E) A, B MA = MB ĐS: 4x9y13 0

Trong mặt phẳng hệ tọa độ 0xy cho hai điểm F1( 4;0); F2(4;0)và A(0;3) a Lập phương trình tắc (E) qua A có tiêu điểm ( ; )F F1

b.Tìm tọa độ điểm M (E) cho MF2 2MF1 ĐS: a 2

25

x y

  ; b

25 119 25 119

; ; ;

12 12 12 12

M    M  

   

   

a Trục lớn thuộc ox, có độ dài 8, trục nhỏ thuộc oy có độ dài b Độ dài trục lớn 26, tâm sai 12

13

e  , hai tiêu điểm ox.

c (E) qua điểm M(4;0) N(0;3) ĐS : a 2

6

x y

  ; b

2

1 169 25

x y

  ; c

2

1

x y

 

Trong mặt phẳng tọa độ oxy, cho điểm A chạy ox, điểm B chạy oy độ dài đoạn AB a khơng đổi Tìm tập hợp điểm M thuộc đoạn AB cho MB = 2MA

Tìm điểm (E): 2

1

x y

  thỏa mãn

a Có bán kính qua tiêu điểm trái hai lần bán kính qua tiêu điểm phải b Nhìn hai tiêu điểm góc vng

c Nhìn hai tiêu điểm góc 60 ĐS: a ;

2 2

 



 

 ; b

3

; 2 2

 

 

 

 

 ; c

69 ; 2

 

 

 

 

 

Cho (E): 22 22

x y

a b  (a > b > 0) Gọi F F1; tiêu điểm A A1;

đỉnh trục lớn (E) M điểm tùy ý (E) có hình chiếu ox H Chứng minh

a) 2 2

MF MF OM a b b)  2  2

1

MF MF  OM  b c) 2

1 2

b

HM HA HA

a 

Cho (E): x22 y22

a b  (a > b > 0) Tính tỉ số c

a trường hợp sau:

a) Trục lớn ba lần trục nhỏ

b) Đỉnh trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm góc vng

c) Khoảng ách đỉnh trục nhỏ đỉnh trục lớn tiêu cự ĐS: a 2

3 c

a  ; b

2 c

a  ; c

2 c a 

Cho (E): 2 100 36

x y

 

Hãy viết phương trình đường trịn (C) có đường kính F F1 F F1; 2là hai tiêu điểm (E)

ĐS: x2 y2 1  

Chủ đề 2: TIẾP TUYẾN CỦA ELIP 1 Tiếp tuyến elip

Cho (E) có phương trình: 22 22

x y

a b  Để viết PTTT (E) ta xét khả năng:

Biết tiếp điểm

+ PTTT (E) điểm M x y( ; ) ( )0  E : 20 20

xx yy a  b 

Cách 1:

+ Giả sử tiếp điểm điểm M x y( ; )0 , tiếp tuyến có dạng: 20 20

xx yy

a  b  (1)

+ Ta có: 02 02

0 2

( ; ) ( ) x y

M x y E

a b

   

+ Sử dụng điều kiện để thiết lập thêm mối liên hệ x0và y0 + Giải HPT  x0và y0thay vào (1)

Cách 2:

a Tiếp tuyến vuông góc với ox, có dạng: xa b Tiếp tuyến vng góc với oy, có dạng: yb

c Xét tiếp tuyến có dạng: y kx m  Lập HPT hai ẩn k, m PT(1) điều kiện tiếp xúc

PT(2) suy từ đầu Ví dụ: - (d) qua A x y( ;A A) yA kxAm

- (d) có phương cho trước  k

- (d) hợp với ( ) góc  2

tan

k k k k

 

 



-(d)  ( ) k k1 21

Đường thẳng (d): AxBy C 0tiếp xúc với (E):

2

2 2 2 2

x y

C A a B b

a b    

Đường thẳng (d):y kx m  tiếp xúc với (E):

2

2 2 2

x y

m k a b

a b    

VD:

1 Cho (E): 2 16

x y

  Viết PTTT (E), biết:

a Tiếp tuyến qua A(4;0) b Tiếp tuyến qua điểm B(2;4)

c Tiếp tuyến song song với đường thẳng: x 2y 6 d Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng: x y 0 ĐS: a x  0 ; b 148 16 148

12

y  x  ; 148 16 148

16

y  x 

c x 2y 52 0 ; x 2y 52 0 ; d 3x y  85 0

2 Cho (E): 2

x y

  Viết PTTT với (E) qua A(3;2) Tìm tọa độ tiếp điểm

ĐS: y 0; (0;2) A ; x 0; B(3;0)

2 Tiếp tuyến chung hai elip

Cho hai elip có phương trình: ( ) :1 22 22

x y

E

a b 

2

2 2

( ) :E x y

c d  Để xác định tiếp

tuyến chung hai (E) Ta xét trường hợp:

a a = c tiếp tuyến chung vng góc với ox hai elip có dạng: xa b Xét tiếp tuyến có dạngy kx m  Lập HPT tìm k, m

VD

Viết PTTT chung hai (E): ( ) :1 2

9

x y

E  

2 2

( ) :

4

x y

ĐS: x y  13 0;

Lập phương trình cạnh HCN ngoại tiếp (E): 22 22

x y

a b 

ĐS: Ax+By C=0 ; Bx Ay D  0 3.Cho (E) có phương trình: 2

3

x y

  Viết phương trình cạnh hình vng

ngoại tiếp (E) ĐS: x y  3 Cho hai ( ) :1 2

9

x y

E  

2 2

( ) :

4 16

x y

E  

Xác định phương trình tiếp tuyến chung hai (E) (ĐS: 27 32 32

x y

   )

Biết (E) : 22 22

x y

a b  nhận đườngn thẳng ( ) : 3d1 x 2y 20 0

( ) :d2 x6y 20 0 làm tiếp tuyến Xác định a b (ĐS:

2

2

40 10

x y

  )

Cho (E): 2

x y

  Viết phương trình cạnh hình vng ngoại tiếp (E)

ĐS: x y  3

Viết phương trình tiếp tuyến chung hai (E): 2 25 16

x y

 

2

1 16 24

x y

 

ĐS: x y  41 0

Cho (E) có phương trình: 2 1

16 x

y

 

2

1

x y

 

a Viết PT đường tròn qua giao điểm hai (E) b Viết phương trình tiếp tuyến chung hai (E) ĐS: a 2 460

55

x y  ; b x 3 7y 55 0

CMR: Tích khoảng cách từ tiêu điểm tới tiếp tuyến (E) bình phương độ dài nửa trục nhỏ (E)

10 Một đường kính (E) cắt (E) hai điểm M N CMR tiếp tuyến (E) M N song song với

11 Cho hai điểm M, N tiếp tuyến (E), cho tiêu điểm F F1; (E) nhìn đoạn MN góc vng Hãy xác định vị trí M; N 12 Cho (E) Tìm tập hợp điểm từ kẻ hai tiếp tuyến vng góc với tới (E) (ĐS: x2 y2 a2 b2

   )

13 Cho (E): x22 y22

a b  Gọi A A1 2là trục lớn (E) Dựng tiếp tuyến AT A T1 1, 2

Một tiếp tuyến qua M( )E cắt AT A T1 1, 2 2 T T1; 2 a CMR: Tích AT A T1 2 không phụ thuộc vào M

ĐS:a.AT A T1 1, 2; b

2 2

2

4

x y

b

a  

14 Cho (E): 22 22

x y

a b  (0 b a) c

a Gọi (E) điểm tùy ý thuộc (E), chứng tỏ b OE a 

b Gọi A giao điểm đường thẳng y kx với (E) Tính OA theo a, b, k c Gọi A, B hai điểm tùy ý (E) cho OA OB CMR: 12 12

OA OB không đổi

ĐS: b OA ab 2 21 k2 2 a k b

 

 ; c

2

2 2

1 a b

OA OB a b



 

15 Cho (E): 9x2 25y2 225

  A(-5;0)

a Tìm tọa độ tiêu điểm tâm sai (E) Vẽ (E) HCN sở

b Viết PTĐT qua điểm M(1;1) cắt (E) hai M M1; cho MM1MM2 ĐS: 9x25y 34 0

16 Cho (E): 4x2 16y2 64

 

a Xác định tiêu điểm F F1; tâm sai vẽ (E)

b M điểm (E) Chứng tỏ tỉ số khoảng cách từ M đến F2 tới đường thẳng

3

x  có giá trị khơng đổi ĐS:

2 MF MH 

HYPERBOL Chủ đề 1: Phương trình Hyperbol

1 Định nghĩa:

Hyperbol (H) tập hợp điểm cho giá trị tuyệt đối hiệu khoảng cách tới hai điểm có định phân biệt F F1; 2bằng số không đổi 2a, nhỏ khoảng cách F F1;  H M MF/ 1 MF 2a

- Hai điểm cố định F1c;0 ; F20;c gọi hai tiêu điểm

- Đường thẳng F F1 tiêu trục - Tâm sai hypebol e c

a 

2 Phương trình tắc Hyperbol

2.1 Phương trình tắc Hypebol

22 22

x y

a  b  với

2 2 b c  a a

cx MF a

a

  ; MF2 a cx a

  với x >

b

cx

MF a

a

  ; MF2 a cx a

  với x < 2.2 Hình dạng Hypebol

a M x y( ; ) ( ) H  M1( ; );x y M x y M2( ; ); 3( ;x y ) thuộc (H)

M x y( ; ) ( ) E  M1( ; ),x y M2( ;x y M x y ); 3( ; ) nên (H) nhận trục tọa độ làm trục đối xứng, gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

b  ( )H ox A1(a;0);A a2( ;0) A A1 2 gọi độ dài trục thực A A1 2 2a  ( )H oyB1(0;b B); 2(0; )b  B B1 2 gọi độ dài trục ảo B B1 2 2b

c HCN sở có đỉnh giao điểm đường thẳng xa yb d

2

( ; ) ( ) x x a

M x y H

x a a

 

    

 

 M x y( ; ) ( ) H thỏa mãn x a gọi nhánh bên phải (H)  M x y( ; ) ( ) H thỏa mãn x a gọi nhánh bên trái (H) e M x y( ; ) ( )H y b x2 a2

a

   

 x   : (H) có đường tiệm cận y bx

a 

 x    : (H) có đường tiệm cận y bx

a 

VD

Cho (H) có phương trình: 2 20x  25y 100

a Tìm tọa độ đỉnh, tọa độ tiêu điểm, tính tâm sai (H)

b Tìm tung độ điểm thuộc (H) có hồnh độ x  10, tính khoảng cách từ điểm đến hai tiêu điểm

ĐS: a.y 2; M1( 10; 2); M2( 10; 2); b

1 34 10 ; 2 34 10

M F M F   M F M F   ; c b 1 Cho (H) có phương trình: 2

2

x  y 

a Tìm tọa độ đỉnh, tọa độ tiêu điểm, tính tâm sai (H)

b Cho M(3;1) lập phương trình đường thẳng qua M cắt (H) hai điểm A, B cho MA MB

ĐS: 3x 2y 0

3 Cho (H) có phương trình:x2 2y2 6

 

b Lập PT đường trịn (C) đường kính F F1 tìm giao điểm (C) với (H)\ c Viết PT tắc (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm (H) ngoại tiếp HCN sở (H)

ĐS: b 2 25 x y  ; c

2

1 40 15

x y

 

4 Cho (E): 2 16

x y

 

a Tìm tọa độ đỉnh, tọa độ tiêu điểm, tính tâm sai (E) b Lập PT Hypebol (H) có HCN sở với (E)

ĐS: b 2 16

x y

 

5 Trong mp 0xy cho hai điểm F 1( 4;0) F2(4;0)thuộc ox điểm A(2;0) a Lập phương trình (H) qua A có tiêu điểm F F1;

b Tìm tọa độ điểm M (H)n cho MF2 2MF1 ĐS: a 2

4 12

x y

  ; b M1( 3;  15);M2(3; 15) Lập phương trình tắc Hypebol biết:

a Trục thực thuộc ox, có độ dài 10, trục ảo thuộc oy có độ dài b Trục thực 8, tâm sai

4 e 

c Có tiêu điểm ox, độ dài tiêu cự 20 tiệm cận có phương trình 4x3y0

d Các tiêu điểm oy, độ dài trục ảo hai đường tiệm cận vng góc với

e Đi qua điểm M(6;4) đường tiệm cận tạo với ox góc 600 ĐS: a 2

16

x y

  ; b

2

1 16

x y

  ; c

2

1 36 64

x y

  ; d

2

1 9

x y

  ; e

2

1 36 64

x y

 

Chủ đề 2: TIẾP TUYẾN CỦA HYBEBOL 1 Tiếp tuyến Hypebol

Cho (H) có phương trình: x22 y22

a  b  Để xác định PTTT (H) ta xét hai khả

Cách 1:

Biết tiếp điểm

+ PTTT (H) điểm M x y( ; ) ( )0  H : 20 20

xx yy a  b 

Không biết tiếp điểm Cách 1:

+ Giả sử tiếp điểm điểm M x y( ; )0 , tiếp tuyến có dạng: 20 20

xx yy

+ Ta có: 02 02

0 2

( ; ) ( ) x y

M x y E

a b

   

+ Sử dụng điều kiện để thiết lập thêm mối liên hệ x0và y0 + Giải HPT  x0và y0thay vào (1)

Cách 2:

a Tiếp tuyến vng góc với ox, có dạng: xa b Tiếp tuyến vng góc với oy, có dạng: yb

c Xét tiếp tuyến có dạng: y kx m  Lập HPT hai ẩn k, m PT(1) điều kiện tiếp xúc

PT(2) suy từ đầu Ví dụ: - (d) qua A x y( ;A A) yA kxAm

- (d) có phương cho trước  k

- (d) hợp với ( ) góc  2

tan

k k k k

 

 



-(d)  ( ) k k1 21

Đường thẳng (d): AxBy C 0tiếp xúc với (H):

2

2 2 2 2

x y

C A a B b

a  b    

Đường thẳng (d):y kx m  tiếp xúc với (H):

2

2 2 2

x y

m k a b

a  b    

VD:

1 Cho (H): 2 16

x y

 

Viết phương trình tiếp tuyến (H), biết tiếp tuyến: a Đi qua điểm A(4;0)

b Đi qua điểm B(2;1)

c Song song với đường thẳng x y  6 d Vng góc với đường thẳng x y 0 ĐS: a x  0 ; b 31 31

6

y  x  ; 31 31

6

y  x 

c x y  0 ; d x y  0

2 Viết phương trình tiếp tuyến (H): 2 16

x y

  biết tiếp tuyến tạo với đường

thẳng 2x y 0 góc 450. ĐS: 3x y  135 0

2 Tiếp tuyến chung hai Hypebol:

Cho hai H1 H2 Để xác định phương trình tiếp tuyến chung làm sau:

a Xét tiếp tuyến vng góc với ox củaH1 H2

b Xét tiếp tuyến có dạng (d): y kx m  (1) Lập HPT hai ẩn  k; m VD:

1

(H ): 2

x y

  (H2):

2

1

x y

 

ĐS: x y  0

2 Cho (H) có trục trùng với trục tọa độ tiếp xúc với đường thẳng 5x 6y16 0;13 x10y 48 0 Hãy xác định phương trình (H)

ĐS: 2 16

x y

 

3 Viết phương trình tiếp tuyến (H): 2 16

x y

  Biết tiếp tuyến tạo với đường

thẳng (d): x2y0 góc 45

Một số tốn quỹ tích

1 Cho (H): x22 y22

a  b  CMR tích khoảng cách từ điểm (H) đến

các đường tiệm cận số ĐS: 22 22

a b h h

a b 



2 Cho (H): x22 y22 a  b 

a Tính độ dài phần đường tiệm cận chắn hai đường chuẩn b Tính khoảng cách từ tiêu điểm đến đường tiệm cận

c CMR chân đường vng góc hạ từ tiêu điểm tới đường tiệm cận nằm đường chuẩn

ĐS: a 2a; b h = b;

PARABOL Chủ đề 1: Phương trình Prabol

1 Định nghĩa

Parabol (P) tập hợp điểm mặt phẳng cách đường thẳng (d) cố định điểm F cố định không thuộc (d)

PM MF/ MH (H hình chiếu M khơng thuộc (d))

Điểm F gọi tiêu điểm

Đường thẳng (d) gọi đường chuẩn Phương trình tắc Hypebol

2

y  px (p > 0) Đỉnh S(0;0)

Tiêu điểm F(p/2;0) Đường chuẩn ( ) :

(P) nhận 0x làm trục đối xứng, đồ thị bên phải 0x VD:

1 Cho điểm F(3;0) đường thẳng (d): 3x 4y16 0

a Tính khoảng cách từ điểm F đến (d) từ suy phương trình đường trịn tâm F tiếp xúc với đường thẳng (d)

b Viết phương trình Parabol (P) có tiêu điểm F đỉnh gốc tọa độ CMR (P) tiếp xúc với (d) Tìm tọa tiếp điểm

ĐS: a h = 5; b y2 12x

 ; y216y64 0 ; 16;8

3 A 

 

Chủ đề 2: Tiếp tuyến Parabol. 1 Tiếp tuyến Parabol

Cho (P) có phương trình (P): y2 2px



Để xác định phương trình tiếp tiếp tuyến (P) ta xét hai khả năng: Khả 1: Biết tiếp điểm

Nếu biết tiếp điểm M x y( ; )0 , ta sử dụng phương pháp phân đôi tọa độ, phương trình tiếp tuyến (d): yy0 p x x(  0)

Khả 2: Không biết tiếp điểm, ta lựa chọn hai cách sau: Cách 1:

 Giả sử tiếp điểm M x y( ; )0 0 , phương trình tiếp tuyến có dạng: (d): yy0 p x x(  0)

Ta có: M x y( ; )0 0  y02 2px0

Sử dụng thêm điều kiện đầu lập thêm phương trình theo x0và y0 Giải HPT  x y0; 0, thay vào PTTT

Cách 2:

a Tiếp tuyến vng góc với 0x, dạng x = b Xét tiếp tuyến có dạng: y kx m 

- Lập HPT hai ẩn  k m; VD:

1 CMR: điều kiện cần đủ để đường thẳng (d): Ax By C 0(A2 B2 0)

     tiếp xúc với (P) là: pB2 2AC 0

 

2 CMR: điều kiện cần đủ để đường thẳng (d): y kx m  tiếp xúc với (P) là:

2

p km Cho (P) có phương trình: y2 2x

 Viết phương trình tiếp tuyến (P) biết: a Tiếp tuyến qua điểm A(2;2)

b Tiếp tuyến qua điểm B(-2;0)

ĐS: a x - 2y + = 0; b 1; 1

2

y x y x

4 Cho (P) có phương trình: y2 2px

 Viết phương trình tiếp tuyến (P) biết: a Tiếp tuyến song song với đường thẳng x 2y 6

b Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng x y 0\ c Tiếp tuyến tạo với đường thẳng: 2x y 0 góc

45

ĐS: a x 2y 2 0; b x2y 2 0; c 2x 6y 9 0;18x6y 1

2 Tiếp tuyến chung

 C1 : ( ; ) 0f x y  C2: ( ; ) 0g x y 

Để xác định tiếp tuyến chung hai Conic ta làm sau: a Xét tiếp tuyến chung vng góc với ox(nếu có)

b Xét tiếp tuyến có dạng (d):y kx m  Lập HPT hai ẩn k; m  PT(1) điều kiện tiếp xúc (d) ( )C1

 PT(2) điều kiện tiếp xúc (d) ( )C2 VD:

1 Viết phương trình tiếp tuyến chung của: (E): 2

9

x y

  (P): y2 2x ĐS: 2x6y9 0

2 Viết phương trình tiếp tuyến chung của: (H): 2

9

x y

  (P): y2 2x ĐS: 8x12y 9

3 Cho (P): y2 16x

 Viết phương trình tiếp tuyến (P) biết: a Đi qua điểm A1; 2

b Đi qua điểm B (1; 4)

c Vng góc với đường thẳng: 2x y  5 ĐS: a VN; b y2x 2; c x2y16 0 Cho (P): y2 16x

 Viết phương trình tiếp tuyến (P) biết tiếp tuyến : a Vng góc với đường thẳng 3x 2y16 0

b Đi qua điểm M ( 1;0)

ĐS: a 2x3y18 0 ; b y2x2; y2x

5 Viết phương trình tiếp tuyến chung hai (P)  P1 :y x 2 x 2;  P2 :y x 27x11

ĐS: y7x 2; y7x11

6 Lập phương trình tiếp tuyến chung (E) (P): (E):

2

2

1; ( ) : 12

x y

P y x

  

ĐS: 3

y x ; 3

2 y x Cho hai (P) có phương trình:

 P1 :y 8 2x 2x2  

2 : 2

P  x x Xác định giá trị a b đường thẳng (d): ax

y b tiếp tuyến  P1  P2 Xác định tọa độ tiếp điểm

ĐS: y6x10; A(1;4); B(2;-2)

8 Cho (P):

2

y x  x (d) đường thẳng có phương với đường thẳng y2x cho (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B

ĐS: a

y x ; b y2x79

Cho (P):

2

2 x

y  điểm 15 27; 8 A 

 

a Viết phương trình đường thẳng qua

1 ( 1; )

2

M  vng góc với tiếp tuyến (P) M1

b Tìm điểm (P) cho AM vng góc với tiếp tuyến (P) M ĐS: a 2x 2y 3 0; b

1 25

1; ; ; ; ;

2 8

M   M   M  

     

9 Cho Parabol (P): 2

y x đường thẳng (d):2mx 2y 1 0.

a CMR với giá trị m, (d) qua tiêu điểm F (P) cắt (P) hai điểm phân biệt M, N Tìm quỹ tích I trung điểm đoạn MN m thay đổi

b Tính góc tạo tiếp tuyến M N (P) ĐS: a

2

y x  ; b 90

10 Cho (P): y2 4x

 Một đường thẳng qua tiêu điểm (P) cắt (P) hai điểm

phân biệt A B CMR tích khoảng cách từ A B đến trục (P) đại lượng không đổi

ĐS: h h1 2y yA B 4

11 Cho điểm A(3;0) (P): y x2 

a M điểm thuộc (P) có hồnh độ xM a Tính độ dài AM, xác định a để AM ngắn

b Chứng tỏ đoạn AM ngắn nhất, AM vng góc với tiếp tuyến M (P) ĐS: a a = 1; M(1;1);

12 Lấy hai điểm M;N theo thứ tự thuộc (P) đường thẳng (d) có phương trình: (P): y2 64 ;x

 (d):4x3y46 0

a Xác định M; N để đoạn MN ngắn

b Với kết tìm câu a Chứng tỏ đường thẳng MN vng góc với tiếp tuyến M (P)