2. Chøng minh tø gi¸c IEBF lµ tø gi¸c néi tiÕp.. Chøng minh AM lµ tia tiÕp tuyÕn chung cña hai ® êng trßn. Dùng h×nh b×nh hµnh ABCD. AC lín nhÊt... Tiếp tuyến với nửa đường tròn tâm[r]
(1)I-Các kiến thức cần nhớ
2
( , 0)
( 0; 0)
1
0; ( ) ; ( )
A B A B A B
A A
A B
B B
A B A B A
A B
B B
A A A A A A
A xxác định A 0
-Điều kiện phân thức xác định mẫu khác
- Khö mÉu biểu thức lấy trục thức mÉu
- Cỏc đẳng thức đáng nhớ
II-Một số ý giải toán biểu thức
1) Tìm ĐKXĐ ý : Trong 0 ,Mẫu , biểu thức chia 0 2)Rót gän biĨu thøc
-Đối với biểu thức thức th ờng tìm cách đ a thừa số dấu căn .Cụ thể :
+ Số phân tích thành tích số ph ơng
+Phần biến phân tích thành tích luỹ thừa với số mũ ch½n
-Nếu biểu thức chứa phép cộng trừ thức ta tìm cách biến đổi đồng dạng
- Nếu biểu thức tổng , hiệu phân thức mà mẫu chứa ta nên trục thức ở mẫu tr ớc,có thể khơng phải quy đồng mẫu nữa.
-Nếu biểu thức chứa phân thức ch a rút gọn ta nên rút gọn phân thức tr ớc -Nếu biểu thức có mẫu đối ta nên đổi dấu tr ớc khi
-Ngoài cần thực thứ tự phép tính ,chú ý dùng ngoc ,du - , cỏch vit
căn
Chú ý : Một số toán nh : Chứng minh đẳng thức , chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến… quy Rút gn biu thc
3) Tính giá trị biểu thøc
(2)-Cần rút gọn biểu thức tr ớc.Nếu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối nên thay giá trị biến vào rút gọn tiếp
-Nếu giá trị biến cịn phức tạp nghĩ đến việc rút gọn tr ớc thay vào tính
4) Tìm biến để biểu thức thoả mãn điều kiện đó
-CÇn rót gän biĨu thøc tr íc
-Sau tìm đ ợc giá trị biến phải đối chiếu với KX
III-Các dạng tập
Dng 1: Bi tập rút gọn biểu thức chứa đơn giản
1) 2 2 149 76 457 384 2) 1
3) 1 48 75 33 5 11
2 11 3
4) 9a 16a 49a Víia 0
5) a ab a b
b b a
6) 9 5 9 80
7) 2 3 48 75 243
8) 32 2 6 4 2
9) 4 8. 2 2 2. 2 2 2
10)8 2 2 2 2
3 2 2 1 2
11) 6 11 6 11
Dạng : Bài tập rút gän biĨu thøc h÷u tØ 1
2
2x 2x x
A
x 3x x 4x 3 x 1
2.
2
x 2 4x
B
x 2 x 2 4 x
3.
2
1 x 1 2x x(1 x)
C
3 x 3 x 9 x
4. 2
5 4 3x
D 3
2x 6x x 9
5.
2 2
3x 2 6 3x 2
E
x 2x 1 x 1 x 2x 1
6.
2
5 10 15
K
x 1 x (x 1) x 1
D¹ng 3: Bài tập tổng hợp
Bài Cho biÓu thøc A =
1 1
x x
x x x x x
: x
a Tìm điều kiện xác định b Chứng minh A =
1
x
x
c Tính giá trị A x = - 28 d T×m max A
Bµi2 Cho biĨu thøc P =
n 4 n n n n n
( víi n
; n4)
a Rót gän P
(3)Bµi3 Cho biĨu thøc M = ( a b)2 ab a b b a
a b ab
( a , b > 0) a Rót gän biĨu thøc M
b Tìm a , b để M = 2006
Bµi 4: Cho biĨu thøc : M =
x x
x x x x x x x 1 :
a) Rót gän M
b) Tính giá trị M x = +
c) T×m x cho M =1/2
Bµi 5: Cho biĨu thøc : P =
2 : x x x x x x x x
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị P x =
5
8
Bµi 6 Cho biĨu thøc : B =
: 1 1 x x x x x x x
a) Rót gän B
b) Tìm x để : 2.B <
c) Với giá trị x B x = 4/5
Bµi 7: Cho biĨu thøc : M =
1 : x x x x x x x
a) Rót gän M
b) Tìm số nguyên x để M số nguyên c) Tìm x cho : M >
Bµi 8: Cho biĨu thøc : A = :
1 1 2 x x x x x x x x
a) Rót gän A
b) Tính giá trị A x = -
c) Tìm giá trị nhỏ A
Bµi 9: Cho biĨu thøc : P =
1 : 1 1 x x x x x x x x
a) Rót gän P
b) Tính giá trị P x =
2 7
c) T×m x cho P = 1/2
Bµi 10: Cho biĨu thøc : A =
3
2 1
1
1
x x x x
x
x x x
x
(4)b) TÝnh gi¸ trÞ cđa A nÕu x =
2 2
Bµi 11: Cho biĨu thøc : A =
: 1
1 x x x x x x x x
a) Rút gọn A b) Tìm x để A <
Bµi 12: Cho biĨu thøc : B =
2 : 1 x x x x x x x x
a) Rút gọn B
b) Tính giá trị B x = +
c) Tìm x ngun để B ngun
Bµi 13: Cho biĨu thøc : A =
x x x x x
a) Rút gọn A
b) Tính giá trị cña A nÕu x =
3
2
c) Tìm x nguyên để A nguyên
Bµi 14: Cho biĨu thøc : M =
x x x x x x x 2
a) Rút gọn M b) Tìm x để M <
c) Tìm số tự nhiên x để M ngun
Bµi 15: Cho biĨu thøc : A =
: 3 x x x x x x x x
a) Rút gọn A b) Tìm x để A >
Bµi 16: Cho biĨu thøc : P =
3 : 2 4 2 x x x x x x x x x x
a) Rót gän P
b) Tìm số nguyên x để P chia hết cho
Bµi 17: Cho biĨu thøc : M =
x x
x x x x x x
x :
1
a) Rót gän M
b) Tìm số tự nhiên x để M số nguyên c) Tìm x thoả mãn M <
Bµi 18: Cho biĨu thøc : P =
x x x x x x x x : 1
(5)b) Tính giá trị P x =
5
8
c) Tìm x nguyên để P số tự nhiên d) Tìm x để P < -1
Bµi 19: Cho biÓu thøc : B =
x x
x x x x x x x x 2 : 3
a) Rót gän B
b) Tính giá trị B x = -
c) T×m x cho B.( x – ) = x
Bµi 20: Cho biÓu thøc : M =
1 1 : 1 1 xy x xy xy x xy x xy xy x
a) Rót gän M
b) Tính giá trị M x = - vµ y =
3 1
Bµi 21: Cho biĨu thøc : B =
6 3 y x xy xy y x xy y x
a) Rót gän B
b) Cho B= ( 10)
10 10 y y y
Chøng minh :
10
y x
Bài 22 : Cho biểu thức :
: 2 x x x x x x x x x P
a) Rót gän P
b) Tìm x để
2 P
B i 23à : Cho biÓu thøc : 1 2 x x x x x x x x x P
a) Rót gän P
b) Tìm giá trị nhỏ P c) Tìm x để biu thc
P x
Q2 nhận giá trị số nguyên
Bi 24: Cho biu thc :
2 2 1 1 x x x x x x P
a) Rót gän P
b) Tìm x để 2
x P
Bài 25: Cho biểu thức :
2 : x x x x x x x x P
a) Rót gän P
(6)Bµi26: Cho biĨu thøc A =
2
x
1 x x
1 x
1
1 Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa Rút gn biu thc A
3 Giải ph ơng trình theo x A = -
PhÇn thøhai
A>kiÕnthøc cÇn nhí
-Hàm số bậc : y = ax + b đồng biến a > Khi Đths tạo với rrục hồnh ox góc nhọn Nghịch biến ng c li
-ĐK hai đ ờng thẳng song song lµ : '
' a a b b
-ĐK hai đ ờng thẳng cắt : a a
-ĐK hai đ ờng thẳng vuông góc tích a.a = -1
-Đt hs y=ax( a 0) qua gốc toạ độ
-Đths y=ax+b (a 0,b 0)không qua gốc toạ độ.Nó tạo với ox,oy tam giác
B> Bµi tËp
Bµi : Cho hµm sè y = (m + 5)x+ 2m – 10
a) Với giá trị m y hàm số bậc b) Với giá trị m hàm số đồng biến c) Tìm m để đồ thị hàm số điqua điểm A(2; 3)
d) Tìm m để đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ e) Tìm m để đồ thị qua điểm 10 trục hoành
f) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = 2x -1 g) Chứng minh đồ thị hàm số qua điểm cố định với m h) Tìm m để khoảng cách từ O tới đồ thị hàm số lớn
Bài : Cho đờng thẳng y=2mx +3-m-x (d) Xác định m để: a) Đờng thẳng d qua gốc toạ độ
b) §êng thẳng d song song với đ ờng thẳng 2y- x =5 c) Đờng thẳng d tạo với Ox góc nhọn
d) Đờng thẳng d tạo với Ox gãc tï
e) Đờng thẳng d cắt Ox điểm có hồnh độ
f) Đờng thẳng d cắt đồ thị Hs y= 2x – điểm có hồnh độ
(7)g) Đờng thẳng d cắt đồ thị Hs y= -x +7 điểm có tung độ y =
h) Đờng thẳng d qua giao điểm hai đ ờng thảng 2x -3y=-8 y= -x+1
Bài : Cho hàm số y=( 2m-3).x+m- a) Vẽ đồ thị với m=6
b) Chứng minh họ đ ờng thẳng qua điểm cố định m thay đổi c) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục toạ độ tam giác vng cân
d) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hồnh góc 45o
e) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hồnh góc 135o
f) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hồnh góc 30o , 60o
g) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đ ờng thẳng y = 3x-4 điểm 0y h) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đ ờng thẳng y = -x-3 điểm 0x
Bài4 (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Hải D ơng năm 2000,2001) Cho hàm số y = (m -2)x + m + a)Tìm điều kiện m để hàm số luôn nghịch biến
b)Tìm điều kiện m để đồ thị cắt trục hồnh điểm có hồnh độ
c)Tìm m để đồ thị hàm số y = -x + 2, y = 2x –1 y = (m - 2)x + m + đồng quy
d)Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục tung trục hồnh tam giác có diện tớch bng
Bài (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Hải D ơng năm 2004)
Trong h trục toạ độ Oxy, cho hàm số y = 2x + m (*) 1)Tìm m để đồ thị hàm số (*) qua điểm
a)A(- ; 3) ; b) B( 2 ; -5 2 ) ; c) C(2 ; -1)
2) Xác định m để đồ thị hàm số (*) cắt đồ thị hàm số y = 3x – góc phần t thứ IV
Bµi :Cho (d
1) y=4mx- ( m+5) ; (d2) y=( 3m2+1).x + m2-4
a) Tìm m để đồ thị (d
1)®i qua M(2;3)
b) Cmkhi m thay đổi (d
1)luôn qua điểm A cố định, (d2) qua B cố định
c) Tính khoảng cách AB d)Tìm m để d
1 song song víi d2
e)Tìm m để d
1 c¾t d2 Tìm giao điểm m=2
Bài Cho hµm sè y =f(x) =3x –
a)Tìm toạ độ giao điểm đths với hai trục toạ độ
b) TÝnh f(2) ; f(-1/2); f( 7 24 )
c) Các điểm sau có thuộc đths kh«ng? A(1;- 1) ;B(-1;1) ;C(2;10) ;D(-2;-10)
d)Tìm m để đths qua điểm E(m;m2-4)
e)Tìm x để hàm số nhận giá trị : ; -3
g)Tính diện tích , chu vi tam giác mà đths tạo với hai trục toạ độ h)Tìm điểm thuộc đths có hồnh độ
k) Tìm điểm thuộc đths có tung độ -4
(8)PhÇn thø ba
A>kiÕnthøc cÇn nhớ
1)Các phơng pháp giải HPT
a) Phng pháp : Thờng dùng giải HPT có phơng trình ẩn , có hệ số ẩn hệ chứa tham số
b) Phơng pháp cộng : Phải biến đổi tơng đơng HPT dạng sau xét hệ số ẩn phơng trình :- Nếu đối cộng Nếu trừ Nếu khác nhân
Nếu kết phức tạp vòng
c) Phơng pháp đặt ẩn phụ : Dùng để “đa ” HPT phức tạp HPT bậc hai ẩn 2)Một số dạng toán quy giải HPT:
- Viết phơng trình đờng thẳng ( Xác định hàm số bậc nhất) - Ba điểm thẳng hàng
- Giao điểm hai đờng thẳng(Toạ độ giao điểm hai đờng thẳng nghiệm HPT) - Ba đờng thẳng đồng quy
- Xác định hệ số a thc , phng trỡnh
3)Giải phơng trình bậc ẩn
B> Các dạng tập
I-Dạng 1: Giải HPT không chứa tham số ( Chủ yếu dùng phơng pháp cộng đặt ẩn phụ ) Bài tập nhiều SGK,SBT có th t
II-Dạng : Hệ phơng trình chøa tham sè 1)Cho HPT :
9
x my o mx y m
a) Gi¶i HPT với m = -2
b) Giải biện luËn HPT theo tham sè m
c) Tìm m để HPT có nghiệm (x ; y) thảo mãn 4x – 5y = d) Tìm m để HPT có nghiệm âm
e) Tìm m để HPT có nghiệm ngun
f) Tìm đẳng thức liên hệ x,y độc lập với m
Chú ý: Việc giải biện luận HPT theo tham số quan trọng Nó giúp ta tìm đợc điều kiện tham số đề HPt
cã nghiÖm ,VN,VSN
2) Cho hệ ph ơng trình: mx + y = 3
9x + my = 2m + 3
a Giải ph ơng tr×nh víi m = 2, m = -1, m = 5
b Tìm m để ph ơng trình có nghiệm, vơ nghiệm, vơ số nghiệm c Tìm m để 3x + 2y = , 2x + y >
d Tìm m để ph ơng trình có nghiệm d ơng e Tìm m để ph ơng trình có nghiệm ngun âm
(9)3)Cho hệ ph ơng trình
2 y) 1 m ( x
m y x) 1 m (
; cã nghiÖm nhÊt (x ; y)
a) Tìm đẳng thức liên hệ x y khụng ph thuc vo m;
b) Tìm giá trị m thoả mÃn 2x2 - 7y =
c) Tìm giá trị m để biểu thức A =
y x
y x
nhận giá trị nguyên
4)Cho hệ ph ơng trình
2 my x
1 y mx
a.Giải hệ ph ơng trình theo tham sè m
b.Gọi nghiệm hệ ph ơng trình (x,y) Tìm giá trị m để x +y = c.Tìm đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m
5)Cho hệ ph ơng trình : ( 1)
a x y a x y a
a) Gi¶i hƯ víi a 2
b) Xác định giá trị a để hệ có nghiệm thoả mãn x + y >
6)Cho hệ ph ơng trình 2
3 5
mx y x my
a) Tìm giá trị m để hệ có nghiệm x = 1, y = 3 1
b) Chøng minh hƯ lu«n cã nghiƯm nhÊt víi mäi m
7)Cho hƯ ph ¬ng tr×nh :
a y x
a y x
2 3 3 2
a)T×m a biÕt y=1
b)Tìm a để : x2+y2 =17
8)Cho hệ ph ơng trình ( 1)
2
m x my m
x y m
a) Giải hệ ph ơng tr×nh víi m =
b) Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) mà S = x2+y2 đạt giá trị nhỏ
D¹ng Mét sè toán quy HPT
1) Viết ph ơng trình đ ờng thẳng qua điểm A(2;5) B(-5;7) 2) Cho hµm sè y = (3m-1)x + 4n -2
Tìm m,n biết đồ thị hàm số qua điểm (5 ;-3) cắt trục hoành im cú hong l -2
3)Tìm giao điểm hai đ ờng thẳng 4x-7y=19 6x + 5y =
4) Cho đ ờng thẳng: d
(10)d
2: (m - 1)x + 2ny =
a Xác định m,n biết d
1 cắt d2 điểm (2;- 4)
b Xác định ph ơng trình đ ờng thẳng d
1 biết d1 qua điểm (-1; 3) c¾t ox
điểm có hồnh độ - c Xác định ph ơng trình đ ờng thẳng d
2 biÕt d2 ®i qua ®iĨm oy song
song với đ ờng thẳng y - 3x =
5) Giả sử đ ờng thẳng (d) có ph ơng trình y = ax+ b
Xác định a, b để (d) qua hai điểm A (1;3) B (-3; 1) 6) Tìm giá trị m để đ ờng thẳng sau cắt điểm:
y = - 4x ; y =
4
3x ; vµ y = (m – 1)x + 2m.
7)Trong hệ trục toạ độ Oxy, cho hàm số y = 2x + m (*) a)Tìm m để đồ thị hàm số (*) qua điểm
A(-1 ; 3) ; B( 2 ; -5 2) ; C(2 ; -1)
b) Xác định m để đồ thị hàm số (*) cắt đồ thị hàm số y = 3x – góc phần t thứ IV
8)Cho hµm sè: y = (2m-3)x +n-4 (d) (
2 m )
1 Tìm giá trị m n để đ ờng thẳng (d) : a) Đi qua A(1;2) ; B(3;4)
b) Cắt oytại điểm có tung độ y3 1 cắt ox điểm có hồnh độ x 1 2
2 Cho n = 0, tìm m để đ ờng thẳng (d ) cắt đ ờng thẳng (d/) có phơng trình x-y+2 =
điểm M (x;y) cho biểu thức P = y2-2x2 đạt giá trị lớn
9)Cho hµm sè y = (m -2)x + m +
a)Tìm điều kiện m để hàm số ln ln nghịch biến
b)Tìm điều kiện m để đồ thị cắt trục hồnh điểm có hồnh độ
c)Tìm giá trị m để đồ thị hàm số y = -x + 2, y = 2x –1 y = (m - 2)x + m + đồng quy
10) Chøng minh điểm A(1 ;3) , B( -2;-3) ,C( 3;7) thẳng hàng
11)Tìm m để ba điểm A(4;5) ,B( 2m ; m2) ,C(-3 ;- 2) thẳng hàng
12)Chøng minh ® êng th¼ng : 3x + 7y = 13 , 2x -5y = -1 y = 4x- cắt điểm
Phần thứ t
A.Phân loại ph ơng pháp giải
Loi : Phơng trình bậc ẩn phơng trình đa đợc dạng ax = c
Phơng pháp giải: Biến đổi tơng đơng phơng trình dạng: ax = c
-Nếu a khác phơng trình có nghiÖm: x = c/a
-NÕu a = phơng trình vô nghiệm c khác , v« sè nghiƯm c = 0 -NÕu a cha rõ ta phải xét tất trờng hợp (biện luËn)
Chú ý : Trong trình biến đổi : -Nếu có ngoặc thờng phá ngoặc –Nếu có mẫu thờng quy đồng khử mẫu -Nếu mẫu lớn quy đồng tử – Chuyển vế hạngtử phải đổi dấu -Chỉ đợc nhân ,chia 1số khỏc
(11)Loại 2; phơng trình bËc 2:
Phơng pháp giải : Biến đổi tơng đơng Pt dạng ax2 + bx + c =
- D¹ng khuyÕt ax2 + bx = đa dạng phơng trình tích x(ax + b) = 0
- D¹ng khuyÕt ax2 + c = đa dạng x2 = m
- NÕu a+ b + c = th× x = ; x = c/a - NÕu a - b + c = th× x =-1 ; x= -c/a - NÕu b = 2b/ th× dïng CTNTG
- Còn lại dùng CTN
Loi : phơng trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối
Dạng 1: PT Chứa dấu giá trị tuyệt đối
Phơng pháp giải : 1)Xét dấu biểu thức giá trị tuyệt đối ngồi chứa ẩn 2)Nếu ngồi khơng chứa ẩn đa PT dạng /f(x)/ = m
Chú ý : -Đối chiếu ĐK – dạng đặc biệt /f(x)/ = f(x) /f(x)/ =- f(x)
Dạng 2: PT chứa dấu giá trị tuyệt đối
Phơng pháp giải: 1) Xét dấu biểu thức giá trị tuyệt đối 2) Lập bảng xét dấu xét khoảng giá trị ẩn
Chú ý : -Đối chiếu ĐK – Dạng đặc biệt /f(x)/ = /g(x)/ f(x;y)/ + /g(x;y)/ =0
Dạng 3: PT chứa dấu giá trị tuyệt đối trở lên : lập bảng xét dấu …hoặc đa HPT
Lo¹i : phơng trình chứa ẩn dấu (PT vô tỉ)
Giải PT vô tỉ trớc hết phải tìm ĐKXĐ
Dng 1: = g (x) (1) õy dạng đơn giản ph ơng trình vơ tỉ. Sơ đồ cách giải:
= g (x) g(x) 0 (2).
f(x) = [g(x)]2 (3).
Giải phơng trình (3) đối chiếu với điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp suy ra nghiệm phơng trình (1).
D¹ng 2: §a vỊ PT chøa dÊu GTT§ :
-Nếu viết đợc dứa dạng bình phơng đa phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Dạng3 : Đặt ẩn phụ : -Nếu bên biến đổi đợc giống đặt ẩn phụ ( ĐK ẩn phụ khơng âm)
D¹ng : Dùng phơng pháp bình phơng vế :
Chỳ ý : Khi bình phơng vế phải lập thức đạt điều kiện vế không âm
-Dạng A B A B m thờng bình phơng 2vế
Loại : Phơng trình chứa ẩn ë mÉu
Gi¶i PT chøa Èn ë mÉu tríc hết phải tìm ĐKXĐ
Phng phỏp gii : 1) Thơng thờng - Tìm ĐKXĐ -Quy đồng ,khử mẫu ,giải PT ,đối chiếu ,kết luận 2) Đặt ẩn phụ : -Nếu PT chứa phân thức giống nghịch o
3) Nhóm hợp lý ( việc QĐ khó khăn có phân thức trở lên)
Loại : Phơng trình bậc cao -Đa Pt tích -Đặt ẩn phụ
B.Bài tập
(12)b 3
4
x x
i 7(x+4)-3(6-x)=0
c (2x - 3)2 - (x + 2)(4x - 1) = k x 2x1 + x 2x 1 =
d x2 - ( 3 + 1)x = - 3 l (x2 + x + 1) (x2 + x + 12) = 12
e
4 22 2
3 2
2
x x x x
x m
2
5
1 2
2
x x x
x = 6
g x + 7x2 = n x2- 3x +
x
x = 1
p x2 (x2)2 4 q 4x2 – =
r
4 x
24 x x x
1 x x
3 x
2
t
1 x x
= 20085 u) =
Phần thứ năm
A.Các dạng tập ph ơng pháp giải
Dạng 1: Điều kiện PHB2 cã nghiƯm ,v« nghiƯm
Cã thĨ xảy tr ờng hợp
-Muốn chứng minh PTB2 lu«n cã nghiƯm , cã nghiƯm pb , vô nghiệm ta chứng minh Luôn không âm ,luôn d ơng , âm
-Mun tỡm iu kiện để PTB2 có nghiệm ,vơ nghiệm ta giải bất ph ơng trình …
D¹ng ; TÝnh giá trị biểu thức nghiệm
Phơng pháp giải : - Kiểm tra điều kiện có nghiƯm TÝnh tỉng ,tÝch nghiƯm theo VIÐT
-Biến đổi biểu thức dạng tồn Tổng ,Tích nghiệm
Chú ý Nếu gặp Hiệu ,Căn tính bình ph ¬ng råi suy
-Nếu biểu thức khơng đối xứng dùng
1
ax bx c ; ax22bx2 c
-Nếu mũ lớn nhẩm nghiệm
Ngoài khó cần khéo léo vËn dơng linh ho¹t
Dạng : Viết hệ thức liên hệ nghiệm độc lập với tham số
B íc : TÝnh tỉng vµ tÝch nghiƯm theo ViÐt
B íc : Rút tham số từ tổng thay vào tích ng ợc lại
Chỳ ý : Nu bc ca tham số tổng tích trở lên ta phải khử bậc cao tr ớc bẳng cách nh phơng pháp cộng giải HPT
(13)Dạng ; Tìm tham số biết hệ thức liên hệ nghiệm
B ớc1 : Tìm ĐK có nghiệm Tính tổng vµ tÝch nghiƯm theo ViÐt
B ớc : Biến đổi t ơng đơng hệ thức dạng tồn Tổng ,Tích nghiệm .Nếu khơng đ ợc giải hệ ( Hệ thức có bậc )
Chú ý : -Phải đối chiếu với ĐK có nghiệm - Nếu hệ thức chứa Hiệu ,căn bình ph ơng ,chứa dấu giả trị tuyệt đối thành phần
D¹ng : Lập ph ơng trình bậc biết nghiệm
Khi lËp PT B2 cÇn biÕt nghiƯm vµ Èn
- Mn lËp PTB2 cã nghiƯm x x1, 2 ta lµm nh sau :
TÝnh x1x2 S x x, 1 2 P VËy PTB2 cÇn lập : x2- Sx+ P =0
Dạng6 :Tìm số biết tổng tích :Dủng ph ơng pháp đ a PTB2
Dạng7 :Xét dấu nghiệm PT
Xét phơng trình bậc hai: 0
bx c
ax (a0)
Cã b2 4ac
P =
a c x x1 2
S =
a b x x1
Trong nhiều tr ờng hợp ta cần so sánh nghiệm ph ơng trình bậc hai với số cho tr -ớc xét dấu nghiệm ph ơng trình bậc hai mà khơng cần giải ph ơng trình đó, ta ứng dụng định lí Viét
1 Phơng trình có nghiệm d ơng
0 0
0
S P
2 Phơng trình có nghiệm âm
0 0
0
S P
(14)Nhiều tốn địi hỏi tìm điều kiện để ph ơng trình bậc có nghiệm khơng âm Thờng có cách giải:
C¸ch : Cã P ( Trêng hợp có nghiệm d ơng nghiệm không âm) Hoặc P = Tr ờng hợp tồn nghiệm
Hoặc: 0 0 0 S P
Thì hai nghiệm d ơng
C¸ch 2:
Trớc hết phải có 0khi ph ơng trình có nghiệm khơng âm :
0
S ( Trêng hỵp tồn nghiệm d ơng)
Hoặc S = ( Tr ờng hợp tồn nghiệm không âm)
Hoặc S ,0P0 ( Trờng hợp có nghiệm không âm nghiệm âm)
Tuỳ theo đầu mà chọn cách xét biểu thức P hay S
Dạng 8: Nghiệm chung ph ơng trình Dạng 9:Hai ph ơng trình t ơng đ ơng
Học sinh hay nhầm lẫn vấn đề sau: Khi tìm hai ph ơng trình vơ nghiệm th ờng vội kết luận hai ph ơng trình khơng t ơng đơng với nhau:
VD3: Tìm m để hai ph ơng trình x2 – mx + 2m -3 = (1); x2 – (m2 + m - 4)x + 1=
0 (2) tơng đơng
H ớng dẫn : Hai phơng trình t ơng đơng hai tr ờng hợp
* Tr ờng hợp : PT(1) PT(2) vô nghiệm
0 0 0 4 4 0 12 8 2 m m m m 2 1 2 3 6 2 m m m
(không xảy ra)
* Tr ờng hợp : PT(1) PT(2) có nghiệm x
1; x2 theo định lý Vi-ét ta có:
2 04 2 04 132 . 4 2 21 2 21 m m m mx x mm mx x
(15)Với loại toán ta cần l u ý học sinh: Khi hai ph ơng trình vơ nghiệm hai ph ơng trình hai ph ơng trình t ơng đơng Cho nên với số toán ta phải xét hai tr ờng hợp, tr ờng hợp hai ph ơng trình vơ nghiệm tr ờng hợp hai ph ơng trình có tập hợp nghiệm
VD4 : Tìm m, n để ph ơng trình x2 – (m + n)x -3 = (1)
và phơng trình x2 – 2x + 3m – n – = (2) t ơng đơng
H íng dÉn :
PT(1) cã m n2 12 0 m,n
nên PT(1) có hai nghiệm phân biƯt x1; x2
Do PT(1) PT(2) t ơng đơng hai ph ơng trình có tập hợp nghiệm nghĩa là:
1 1 23 2 53
3. 2
21 21
n m nm nm nm xx
nmx x
VËy m =1 vµ n =1 giá trị cần tìm
Vi bi toỏn ta đ ợc ph ơng trình ln có hai nghiệm phân biệt, nên
hai phơng trình t ơng đơng ph ơng trình cịn lại phải có hai nghiệm giống hai nghiệm
của phơng trình áp dụng định lý Vi-ét tổng tích hai nghiệm ta tìm đ ợc m, n
B bµi tËp
Bµi :Cho phơng trình mx2+(2m-1)x+(m-2)=0
1 Giải phơng trình với m =
2 Tìm m để ph ơng trình cho có hai nghiệm phân biệt x
1,x2 thoả mÃn x12+x22=2006
3 Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào m
Bài : Cho phơng trình (m- 1)x2 + 2mx + m =
a) Giải phơng tr×nh m =
a) Tìm m để ph ơng trình có nghiệm phân biệt
b) Tìm m để ph ơng trình có nghiệm x = 16, tìm nghiệm cịn lại
Bµi : Cho ph ơng trình: x2-(m+1)x + m =
a) giải phơng trình với m =
a) Tìm m để tổng bình ph ơng nghiệm 17
b) Lập hệ thức độc lập nghiệm không phụ thuộc vào m
c) Giải phơng trình tr ờng hợp tổng bình ph ơng nghiệm đạt giá trị nhỏ
Bµi : Cho ph ơng trình: x2- 2mx + 2m – =
(16)a) Tìm m để tổng bình ph ơng nghiệm 10
b) lập hệ thức độc lập nghiệm khơng phụ thuộc vào m c) Tìm m cho : 2(x
12+x22)- 8x1x2 = 65
Bài : Cho phơng trình : x2-(2k+1)x +k2 +2 =
a) Tìm k để ph ơng trình có nghiệm gấp đơi nghiệm a) Tìm k để ph ơng trình có x
12+x22 nhá nhÊt
Bài6 : Cho phơng trình x2+mx+m-1=0
a) Giải phơng trình với m=3
b) Chứng minh ph ¬ng tr×nh cã nghiƯm víi mäi m c) TÝnh tỉng tích nghiệm ph ơng trình
Bài : Cho phơng trình: x2+( 2m+1 ).x+m2 +m-2=0
a) Giải phơng trình với m=
b) Chứng minh ph ơng trình có nghiệm với m c) Gọi x
1,x2 nghiệm ph ơng tr×nh TÝnh theo m: ( x1+1) ( x2+1)+ 7x1x2
Bài : Cho x2-4x-( m2+2m)=0
a) Giải phơng trình với m=5
b) Chứng minh ph ơng trình cã nghiƯm víi mäi m
c) TÝnh x2
1+x22+8( x1x2+1) theo m
d) Tìm m để x2
1+x22=5( x1+x2)
Bài : Cho phơng trình 2x2+6x+m=0
a)Tìm m để ph ơng trình có nghiệm phân biệt
b) Xác định m để ph ơng trìnhcó nghiệm thoả mãn
1 2
x x x x Bµi 10 : Cho x2-2( m- 1)x +m-3=0
a) Chứng minh ph ơng trình ln có nghiệm với m b) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm khơng phụ thuộc m c) Tìm m để x
1-3x2=5
Bài 11 :Cho phơng trình : x2 – (m + 5)x – m + = 0, với m tham số Tìm m để hai
nghiÖm x
1 , x2 tho¶ m·n : 2x1 + 3x2 = 13
Bài 12 : Cho phơng trình: x2 - 2mx + m =
a Giải ph ơng trình với m = 7, m = - 4, m = 3
b Cm ph ơng trình có nghiệm ph©n biƯt víi m
c Viết hệ thức liên hệ x1, x2 độc lập với m Tính x
1 theo x2
d TÝnh theo m: 3
1
x +
x , 3x
2
1 - 2mx1 + 2x
2
(17)e Tính m để ph ơng trình có nghiệm trái dấu, nghim d ng
g Với điều kiện cđa m th× x1 x2 = ; 2x1 + x2 = ;
(x
1 + 3x2)(x2 + 3x1) = ; x
2 - (2m + 1)x2 - x1 + m >
h Tìm giá trị lớn A = x
, 1(x2 – x1) - x 2
Lập phơng trình bậc có nghiệm số đối nghiệm ph ơng trình
Bµi 13 : Gäi x
1 ; x2 hai nghiệm ph ơng trình x2 – 2(m- 1)x – =0
( m lµ tham sè )
Tìm m để x1 + x2 =
Bµi 14 : Cho ph ơng trình:
x2 3x + = cã nghiÖm x
1, x2 TÝnh:
a x
1 + x
2 d x
5
1 + x
5
2 h
2 1
x x
+
1
x x
b x13 + x32 e x1 x2 i) x
1 x2 + x2 x1
c x14 + x 42 g x
1 x1 + x2 x2 k x1(2x1- 3) + x 2
Bài 15 Cho phơng trình:
x2 - 2x + m - = 0
* Tìm m để ph ơng trình : a Có nghiệm kép Tìm nghiệm kép b Có nghiệm x
1, x2 tho¶ m·n:
b
1 (x1 + 3x2)( x2 + 3x1) = b2 3x1 + 5x2 =
b
3 x + x
2
2 - x1x2 =
* Biết ph ơng trình có nghiệm x
1 = Tìm m x2
Bài 16 Cho phơng trình x2 (m+4)x + 3m+3 = ( m lµ tham sè)
a Xác định m để ph ơng trình có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại b Xác định m để ph ơng trình có hai nghiệm x
1 , x2 tho¶ m·n x13 + x23
Bài 17 Cho phơng trình bậc x.
(m + 1)x2 - 2(m - 1)x + m - = (3)
a Chøng minh ph ơng trình (3) luôn có hai nghiệm phân biệt với giá trị củ m khác -
b- Tìm giá trị m để ph ơng trình có hai nghiệm dấu
c Tìm giá trị m để ph ơng trình có hai nghiệm dấu hai nghiệm có nghiệm gấp đơi nghiệm
Bµi 18 Cho phơng trình : (m2 + 1)x2 + 2(m2 + 1)x – m = 0, víi m lµ tham sè Tìm giá trị lớn
nhất giá trị nhá nhÊt cña : A = x
(18)Xét hai ph ơng trình: x2+x+k+1 = (1) x2- (k+2)x+2k+4 = (2)
a) Giải phơng tr×nh (1) víi k = - 1; k = -
b) Tìm k để ph ơng trình (2) có nghiệm 2 ?
c) Với giá trị k hai ph ơng trình t ơng đơng ?
Bµi 19 XÐt hai ph ơng trình: x2+x+k+1 = (1) x2- (k+2)x+2k+4 = (2)
a)Giải phơng trình (1) với k = - 1; k = -
b)Tìm k để ph ơng trình (2) có nghiệm 2 ?
c)Với giá trị k hai ph ơng trình t ơng đơng ?
Bµi 21 : Cho hai ph ơng trình : x2 (2m + n)x -3m = (1)
x2 – (m + 3n)x - = (2) Tìm m, n để hai ph ơng trình
tơng ng
Bài 22: Cho hai ph ơng trình : x2 +(m + 1)x +1 = (3)
x2 + x + m+ = (4)
a) Tìm m để ph ơng trình (3) có tổng bình ph ơng hai nghiệm đạt giá trị nhỏ b) Tìm m hai ph ơng trình t ơng đơng
Bài 23: Tìm m để hai ph ơng trình : x2 + 2x - m = (5)
2x2 + m x + = (6) t ơng đơng
Bµi 24 : Cho ph ơng trình x2 - 2(m + 1)x + m - =
a) Chứng minh ph ơng trình ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Tìm m để ph ơng trình có hai nghiệm trái dấu
c) Chøng minh r»ng biÓu thøc H = x
1(1 - x2) + x2(1 - x1) không phụ thuộc vào m
d) Tìm giá trị biểu thức x
1 - x2 ; x12 - x22 ; x13 - x23
Bµi 25 :
a) Định m để ph ơng trình mx2 - (12 - 5m)x - 4(1 + m) = có tổng bình ph ơng nghiệm 13
b) Định m để pt mx2 + (2m - 1)x + (m - 2) = có tổng bình ph ơng nghiệm 2005
Bµi 26 : Cho ph ơng trình x2 - 2(m + 1)x + m2 - 4m + =
a) Định m để ph ơng trình có nghiệm
b) Định m để ph ơng trình có hai nghiệm phõn bit u d ng
Phần thứ sáu
Bài 1: Hai xe ô tô khởi hành lúc từ Hà Nội vào Thanh Hoá .Xe thứ nhanh xe thứ hai 10km nên đến Thanh Hoá sớm xe thứ hai 30 phút.Tính vận tốc xe,biết quãng đ ờng Hà Nội –Thanh Hoá dài 150 km
Bài 2: Một xe tải từ A đến B cách 120 km Nửa sau xe máy chạy từ A để đến B chạy chậm xe tải km/h nên đến B chậm 70 phút so với xe tải.Tính vận tốc xe ?
Bài 3: Hai bến sông AB cách 80km Hai ca nô khởi hành lúc chạy từ A đến B , ca nô thứ chạy chậm ô tô thứ hai 4km/h Trên đờng ca nô thứ hai dừng lại nghỉ 1giờ chạy tiếp đến B Tính vận tốc ca nô , biết ca nô thứ đến B trớc ca nô thứ hai 20 phút
Bài 4: Một ca nơ xi dịng 90km , ngợc dòng 36 km Biết thời gian xi dịng nhiều ngợc dịng vận tốc xi dịng lớn ngợc dịng 6km/h Tính thời gian ca nơ hết qng đờng AB
Bài 5: Một tàu thuỷ chạy khúc sông dài 54km Cả lẫn giê 15 TÝnh vËn tèc cđa dßng n-íc , biết vận tốc riêng tàu nn-ớc yên lặng lµ 21km/h
(19)Bµi 6: Hai ca nô khởi hành từ hai bến A B cách 60km ngợc chiều Sau 1giờ 20 phút gặp Tính vận tốc riêng ca nô , biết vận tốc ca nô xuôi lớn vận tốc ca nô ngợc 9km/h vận tốc dòng nớc 3km/h
Bi 7:Mt ca nơ xi dịng từ A đến B cách 24km, lúc có bè trơi theo dòng n ớc từ A hớng B Sau ca nơ đến B quay trở lại gặp bè trơi đợc 8km Tính vận tốc riêng ca nô, biết vận tốc bè vận tốc dịng nớc 4km/h
Bài 8: Một tô dự định từ A đến B cách 120 km thời gian định.Khi đ ợc nửa quãng đờng xe bị chắn xe hoả phút Vì để đến B hạn xe phải tăng tốc 2km/h qng đờng cịn lại Tính vận tốc dự định
Bài 9:Một xe tải xe khởi hành từ C đến D Xe tải với vận tốc 30km/h, xe với vận tốc 45km/h Sau đợc 3/4 quãng đờng CD, xe tăng vận tốc thêm 5km/h qng đờng cịn lại đến D sớm xe tải 2giờ 20 phút.Tính quãng đờng CD
Bài 10: Một ngời xe đạp dự định hết quãng đờng AB dài 20km thời gian định Nhng thực tế , sau đợc với vận tốc dự định, ngời giảm vận tốc 2km/h quãng đờng lại Vì đến B chậm dự kiến 15 phút.Tính vận tốc dự định thời gian lăn bánh đờng
Bài 11:Một ô tô dự định hết quãng đờng AB dài 150 km thời gian định Sau đợc , ngời lái xe định tăng tốc thêm 2km/h quãng đờng cịn lại Do đến B sớm dự kiến 30 phút Tính vận tốc tơ đoạn đờng đầu ?
Bài 12: Một ngời dự định xe đạp từ A đến B cách 36 km thời gian định.Sau đợc nửa quãng đờng , ngời dừng lại nghỉ 30 phút Vì quãng đờng lại tăng tốc thêm 2km/h song đến đến B chậm dự kiến 12phút Tính vận tốc ngời xe đạp đoạn đờng cuối đoạn AB
Bài 13: Một ô tô từ tỉnh A đến tỉnh B cách 120 km Cùng lúc có xe máy chạy từ B trở A gặp xe ô tô tỉnh C cách hai điểm khởi hành 75km Tính vận tốc xe ,biết vận tốc hai xe không đổi xe máy khởi hành trớc tơ 48 phút gặp quãng đờng
Bài 14: Một ô tô từ địa điểm A đến điểm B với vận tốc xác định Nếu vận tốc tăng 20km/h so với dự định thời gian đến B giảm 1giờ, nh ng vận tốc giảm 10km/h thời gian đến B tăng thêm Tính vận tốc thời gian dự định ô tô
Bài 15 : Một bè nứa trôi tự (với vận tốc vận tốc dòng nước) ca nơ dời bến A để xi dịng sơng Ca nơ xi dịng 144 km quay trở bến A ngay, lẫn hết 21 Trên đường ca nô trở bến A, cịn cách bến A 36 km gặp bè nứa nói Tìm vận tốc riêng ca nơ vận tốc dịng nước
Bài 16: Theo dự kiến , công nhân dự định làm 70 sản phẩm thời gian định Nhng thực tế , áp dụng khoa học kỹ thuật nên tăng suất sản phẩm Do khơng hồn thành trớc thời hạn 40 phút mà cịn vợt mức 10 sản phẩm Tính suất dự kiến
Bài 17: Một công nhân dự định làm 33 sản phẩm thời gian định Trớc làm việc xí nghiệp giao thêm cho 29 sản phẩm Do ngời làm tăng sản phẩm song hoàn thành chậm dự kiến 30 phút Tính suất dự kiến
Bài 18: Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào bể chứa thời gian định phải bơm đợc 10 m3 Sau bơm đợc 1/3 thể tích bể chứa , ngời cơng nhân vận hành cho máy hoạt động với công suất
lớn 5m3 so với ban đầu. Do , so với qui định bể chứa đợc bơm đầy trớc 48 phút Tính thể tích
bĨ chøa
Bài 19: Một xí nghiệp giao cho cơng nhân làm 120 sản phẩm thời gian qui định Sau làm đợc , ngời cải tiến kỹ thuật nên tăng đợc 4sản phẩm/ so với dự kiến Vì thời gian qui định khơng hồn thành kế hoạch mà cịn vợt mức 16 sản phẩm Tính suất làm lúc đầu
Bài 20: Một công nhân dự định làm 36 sản phẩm thời gian định.Sau đợc nửa số lợng đợc giao , ng-ời dừng lại nghỉ 30 phút Vì làm thêm sản phẩm với nửa số sản phẩm cịn lại song hồn thành cơng việc chậm dự kiến 12phút Tính suất dự kiến
Bài 21:Hai vòi nớc chảy vào bể chứa khơng có nớc sau 30 phút đầy bể Nếu mở vòi thứ chảy 15 phút khố lại, mở tiếp vịi thứ hai chảy 20 phút đợc 20% bể Hỏi để vịi chảy sau bể đầy
(20)Bài 23:Hai công nhân làm công viƯc sau ngµy hoµn thµnh BiÕt r»ng nÕu làm xong việc ngời thứ làm nhanh ngời thứ hai ngày Tính thời gian ngời làm xong công việc
Bài 24: Trong buổi liên hoan, lớp học sinh mời 15 khách tới dự Vì lớp có 40 học sinh nên phải kê thêm dãy ghế dãy ghế phải xếp thêm ngời đủ chỗ ngồi.Hỏi ban đầu lớp học có dãy ghế, biết dãy có số ngời ngồi nh không ngời
Bài 25:Trong trang sách thêm dòng dịng bớt 1chữ số chữ trang tăng thêm chữ Nhng bớt dịng dịng thêm chữ số chữ trang khơng thay đổi Tính số chữ , số dòng trang sách lúc đầu
Bài 26: Theo dự kiến, đội xe đự định điều động số lợng xe để chuyên chở 420 hàng Nhng thực tế đội điêù động thêm xe Do xe chuyên chở ban đầu so với dự kiến Tính số l ợng xe mà đội điều động chuyên chở
Bài 27:Tổng chữ số hàng đơn vị hai lần chữ số hàng chục số có hai chữ số 10 Nếu đổi chỗ chữ số hàng chục hàng đơn vị cho đợc số nhỏ số ban đầu 18 đơn vị Tìm số có hai chữ số
Bài 28:Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi 280m Ngời ta làm lối xung quanh vờn thuộc đất vờn
rộng 2m , diện tích đất cịn lại để trồng trọt 4256m2 Tính kích thớc vờn
Bài 29:Trên miếng đất hình thang cân chiều cao 35m, hai đáy lần lợt 30m, 50m ngời ta làm hai đoạn đờng có chiều rộng Các tim đờng lần lợt đờng trung bình hình thang đoạn thẳng nối hai trung điểm hai đáy.Tính chiều rộng đoạn đờng biết diện tích làm đờng chiếm 0,25 diện tích hình thang
Bài 30 : Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm thời gian định Do áp dụng kĩ thuật nên tổ I vượt mức 18% tổ II vượt mức 21% Vì thời gian quy định họ hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm giao tổ theo kế hoạch ?
Bài 31 : Hai ôtô khởi hành lúc quãng đường từ A đến B dài 120 km Mỗi ôtô thứ chạy nhanh ôtô thứ hai 10 km nên đến B trước ôtô thứ hai 2/5 Tính vận tốc ơtơ ?
Bài 32 : Một ca nơ xi dịng từ bến sơng A đến bến sông B cách 24 km ; lúc đó, từ A B bè nứa trơi với vận tốc dịng nước km/h Khi đến B ca nô quay lại gặp bè nứa địa điểm C cách A km Tính vận tốc thực ca nơ
Bài 33 :Để hồn thành cơng việc, hai tổ phải làm chung Sau làm chung tổ hai điều làm việc khác, tổ hồn thành cơng việc cịn lại 10 Hỏi tổ làm riêng sau làm xong cơng việc ?
Bài 34 : Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài 7/4 chiều rộng có diện tích 1792m2 Tính chu vi khu vườn
Phần thứ bảy
Bài1- Cho hàm số y = x
2
ở đời có ba điều đáng tiếc:Một hôm bỏ qua ,
(21)a Vẽ đồ thị hàm số
b Tính giá trị hàm số x = 2 + 3
c Các điểm A(- 1; -
2
1 ), B(4;8) , C(
2;1) có thuộc đồ thị hàm số khơng?
d M, N điểm thuộc đồ thị hàm số có hồnh độ 2, - Viết ph ơng trình đ ờng thẳng MN
e Tìm giao điểm đ ờng thẳng y = x + với đồ thị hàm số
g Viết ph ơng trình đ ờng thẳng qua điểm (3; 4) tiếp xúc với đồ thị hàm số
h Chứng minh đ ờng thẳng y = mx + m + cắt đồ thị hàm số với
m Gọi giao điểm A, B Tìm m để:
x2
A + x
2
B - xAxB = - ; xA + xB =
k Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ gấp đơi hồnh độ
Bµi2 : Cho hµm sè f(x) = x2 - x +2
a Tính giá trị hàm số x =
2
1 vµ x = -3
b Tìm giá trị x f(x) = vµ f(x) = 14
Bài : (1,5 điểm) Vẽ parabol y = - x2/2 (P) : đường thẳng (D) : y = 3x hệ trục tọa độ Tìm tọa độ giao điểm (P) (D) phép tính
Bµi :Cho y m 5 2.x2
a) Vẽ đồ thị hàm số với m=6
b) Tìm m để hàm số đồng biến với x<0
c) Tìm m để đồ thị hàm số qua A( -2:12)
Bài Cho ( P): y=-x2 Đờng thẳng y =m cắt ( P) A; B Tìm m để tam giác AOB tính
diƯn tích tam giác ABO
Bài : Cho Parabol ( P) :
x
y đờng thẳng(d):
2
x
y
a) Vẽ ( P) ( d) hệ trục toạ độ
b) Gọi A, B giao điểm ( P) ( d) Tìm M cung AB cña ( P) cho S
M A B
lớn
c) Tìm N trục hoành cho NA+NB nhá nhÊt
Bài : Cho Parabol ( P): y=3x2 hệ trục toạ độ Oxy Tìm m để đ ờng thẳng y=x+m cắt ( P’)
(22)Bµi : Cho Parabol y = 2
x
điểm M(1, -2)
1 Chøng minh r»ng: Ph ¬ng trình đ ờng thẳng qua M có hệ số góc k cắt Parabol
điểm ph©n biƯt A, B víi k
b Gäi x
A, xB lần l ợt hoành độ A B, xác định k để ( )
2
B A B A B
A x x x x x
x t giỏ tr
lớn Tìm giá trÞ Êy
Bài : Vẽ đồ thị hàm số : y = - x2/4 (P) đường thẳng (D) : y = 2x + hệ trục tọa độ Tìm tọa độ giao điểm (P) (D) phép tính
Bµi 10 : Cho hµm sè y = ax2 (1)
a) Xác định a biết đồ thị (1) qua điểm A 2 ;2 2
b) Vẽ đồ thị hàm só (1) với a vừa tìm đ ợc
c) Tìm giá trị lớn hàm số x [ - ; ] ; x [ ; ]
d) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ cđa hµm sè x [ - ; ]
Bµi 11 : Cho hai hµm sè
y x vµ y 2x
2
a) Vẽ đồ thị hai hàm số mặt phẳng tọa độ Oxy b) Tìm tọa độ giao điểm hai đồ thị
Bài 12** : Tam giác AOB nội tiếp parabol y = ax2 đỉnh O gốc tọa độ đáy AB
song song với trục Ox, A B nằm parabol Hãy tính tung độ điểm B
Bµi 13 : Cho đ ờng thẳng (d): y = k(x - 1) vµ parabol (P): y = 1x2
2
Với giá trị k (d): a) TiÕp xóc víi (P)
b) Cắt (P) điểm có tung độ hồnh độ d ơng Tìm tọa độ giao điểm (P) v (d)
KHI CHứNG MINH HìNH CầN KHAI THáC GIả THIếT
Và PHÂN TíCH ĐI LÊN Từ KếT LUậN
A.Khai thác giả thiết
-Khi chng minh Hình cần khai thác điều có đ ợc từ đầu ,những điều chứng minh đợc.Đặc biệt cần ý điều sau:
I.NÕu cã điểm thuộc đ ờng tròn nghĩ tới
1, C¸c b¸n kÝnh b»ng 2, Tø gi¸c néi tiÕp
3,Các góc với đ ờng tròn.Đặc biệt có đ ờng kính có góc vuông
II Nếu có Tứ giác nội tiếp nghĩ tới
1,Các góc đối bù
2, cỈp gãc néi tiÕp b»ng nhau(nÕu nèi ® êng chÐo)
3, Góc góc ngồi đỉnh đối( Phải chng minh)
(23)4, Điểm thuộc đ êng trßn
5, Bài tốn “Ph ơng tích” ( Nếu có giao điểm đ ờng chéo cạnh đối)
III NÕu cã TiÕp tuyÕn th× nghÜ tíi
1,Các tính chất Vng góc , cách , phân giác 2, Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung
IV Quan hệ Góc - Cung – Dây – Khoảng cách từ tâm đến dây
V Nếu có tam giác cân, tam giác , hình bình hành , hình chữ nhật , hình thoi, hình vng…thì nghĩ tới
TÝnh chÊt cđa hình
VI.Nếu có góc vuông , tam giác vuông nghĩ tới
nh lý Pi ta go hệ thức l ợng tam giỏc vuụng
VII.Nếu có đ ờng thẳng song song nghĩ tới
Định lý Ta Lét cặp góc So le , Đồng vị
VIII.Nếu có đ ờng phân giác , đ ờng trung tuyÕn , ® êng cao , trung trùc tam giác nghĩ tới tính chất chúng
B.phân tích lên từ kết luận(Dựa vào phÐp chøng minh)
I - C h ø n g m i n h c ¸ c y Õ u t è b » n g n h a u
1 Chøng minh hai gãc b»ng
C1 Thờng CM chúng hai góc t ơng ứng hai tam giác đồng dạng
C2/ Nếu hai góc tam giác th ờng CM chúng hai góc đáy tam giác cân.
C3/ Nếu hai góc đối tứ giác ta th ờng CM tứ giác hình bình hành.
C4/ NÕu lµ hai gãc kỊ mét tø gi¸c th êng CM tø gi¸c hình thang cân.
C6/ Nu l hai gúc So le trong đồng vị th ờng chứng minh hai đờng thẳng song song.
C7/ NÕu lµ hai góc đ ờng tròn ta th ờng chuyển chứng minh cung , dây tơng ứng bn
C8/ Ngoµi ta cã thĨ sư dơng: hai gãc cã số đo (tính cụ thể), tính chất tia phân gi¸c,
hai góc đối đỉnh, cặp góc có cạnh t ơng ứng vng góc hay song song,…
*Chó ý: Nếu không chứng minh đ ợc trực tiếp Ta nghÜ tíi viƯc sư dơng gãc thø lµm trung gian ( CM chóng cïng b»ng , cïng bï ,cïng phơ víi gãc .Hay gãc cïng b»ng tỉng ,hiƯu cđa hai gãc b»ng nhau.)
2 Chứng minh hai đoạn thẳng
C1/ Thông th ờng gắn vào hai cạnh t ơng ứng hai tam giác nhau.
C2/ CM hai cạnh bên tam giác cân hình thang c©n.
C3/ CM hai cạnh đối hình bình hành (HCN, Hình thoi, Hình vng)
C4/Sửdụngđịnh nghĩa:Trung điểm đ ờng trung tuyến, đ ờng trung trực,bán kính , tiếp tuyến
C5/ Sử dụng định lí thuận đảo đờng trung bình tam giác, hình thang.
C6/ Nếu đờng chéo tứ giác th ờng CM tứ giác Hình thang cân, HCN, HV
C7/ Nếu dây cung đ ờng tròn th ờng chuyển dây , góc , kc đến tâm tơng ứng
*Chó ý : Ngoµi ta cã thĨ chøng minh b»ng c¸ch:
+ Biến đổi đại số đoạn thẳng + Chứng minh hai đoạn thẳng có số đo
+ Sư dơng tÝnh chÊt b¾c cầu hay CM phản chứng
II - C h ø n g m i n h h a i ® ê n g t h ¼ n g s o n g s o n g h ® ê n g t h ¼ n g v u « n g gã c
1 Chøng minh hai ® êng th¼ng song song
C1/CM song song vng góc với đờng thẳng thứ ba C2/ CM cặp góc SLT đ v bằng nhau , cặp TCP bù nhau.
C3/ NÕu cạnh tứ giác th ờng CM tứ giác Hình bình hành
C4/ Nu cú đoạn thẳng tỉ lệ: ta sử dụng định lí đảo định lí Talét.
(24)2 Chứng minh hai đ ờng thẳng vuông góc
C1/ Chứng minh chúng hai tia phân giá c hai góc kề bù hay hai đ ờng thẳng cắt t¹o
ra gãc b»ng 900
C2/ Sử dụng tính chất đồng qui ba đờng cao tam giác Sử dụng tính chất đờng cao
ứng với cạnh đáy tam giác cân đờng trung trực
C3/ Sử dụng tính chất góc nội tiếp chắn nửa đ ờng trịn Đờng kính ng trũn i qua
trung điểm dây cung hay tÝnh chÊt cđa tiÕp tun
C4/ Nếu có độ dài: Sử dụng định lí đảo định lí Pytago.
C5/ Nếu 2 đờng chéo tứ giác th ờng chứng minh tứ giác hình thoi
C6/ Chứng minh đ ờng thẳng vuông góc với đờng thẳng song song với đờng song
song với đờng thẳng vng góc với đờng
II I - c h ø n g mi n h b a ®i Ĩ m t h ¼ n g h µ n g , b a ® ên g t h ¼ n g ® ån g q u i Chứng minh ba điểm thẳng hµng: ( Cï n g t h u é c m ộ t đ ờn g t hẳ n g )
Cần chứng minh ba điểm: A, B, C thẳng hàng :
C1/ AB + BC = AC (hc AC + CB = AB, BA + AC = BC)
C2/ Chøng minh gãc ABC = 1800
C3/ CM: AB, AC cùng song song với đ ờng thẳng ( Sử dụng tiên đề Ơclit).Hoặc cùng
vuông góc với đ ờng thẳng
C4/ Dùng tính chất : Trung điểm đ ờng chéo đầu đ ờng chéo kia hình bình hành
thẳng hàng Đờng kính qua tâm.
2 Chứng minh ba đ ờng thẳng đồng qui
C1/ Chứng minh đ ờng thẳng thứ ba qua giao ®iĨm cđa hai ® êng th¼ng
C2/ Sử dụng tính chất đ ờng thẳng đồng qui tam giác: đ ờng cao đồng qui, đờng trung tuyến đồng qui, đ ờng phân giác đồng qui, đ ờng trung trực đồng qui
C3/ Dùng tính chất : Các đ ờng kính đồng quy tâm Các đờng chéo hình bình
hành có chung đ ờng chéo đồng quy
C4/ Đ a chứng minh ba điểm thẳng hµng
I V - c h ø n g m i n h c c h ì n h c b ản Chứng minh tam giác cân
C1/ CM tam giác có hai góc nhau.
C2/ CM tam giác có hai cạnh nhau.
C3/ CM tam giác có một đờng qua đỉnh đồng thời đ ờng khác tam giác
2 Chứng minh tam giác
C1/ CM tam giác có ba cạnh nhau.
C2/ CM tam giác có hai góc 600.hoặc gãc b»ng nhau.
C3/ CM tam giác cân có góc 600.hoặc cạnh bên cạnh đáy.
3 Chứng minh tam giác vuông
C1/ S dụng định lí đảo định lí Pytago (nếu có độ dài)
C2/ CM tam gi¸c cã mét gãc b»ng 900.
C3/ CM tam giác có đờng trung tuyến 1/2 cạnh t ơng ứng
4 Chứng minh đ ờng thẳng đặc biệt
§Ĩ chøng minh đ ờng thẳng là: Đ ờng cao, đ ờng phân giác, đ ờng trung tuyến, đ ờng trung trực, đ ờng trung bình, tam giác Ta chøng minh:
C1/ Sử dụng tính chất đồng qui đ ờng tam giác
C2/ Sử dụng tính chất đ ờng Êy:
VÝ dô :
+ Điểm cách hai cạnh góc thuộc tia phân giác góc
(25)I v - C h ø n g m i n h t ø gi ¸ c n é i t i Õ p ® ê n g t r ß n
C1/ CM bốn đỉnh cách một điểm (gọi tâm đ ờng tròn)
C2/ CM tứ giác có tổng hai góc đối 1800.
C3/ Từ hai đỉnh liên tiếp nhìn cạnh tạo hai đỉnh cịn lại d ới hai góc nhau.
C4/ CM tứ giác có tổng góc đối nhau
C5/Cm góc góc ngồi nh i.
C6/CM tứ giác hình chữ nhật hình thang cân
C7/ Chứng minh 2 điểm thuộc đ ờng tròn đ ờng kính đoạn thẳng nối điểm lại
Chỳ ý : Nu CM điểm trở lên thuộc đ ờng tròn Ta chọn ba điểm cố định chon điểm thứ 4, sau CM điểm thuộc đ ờng trịn Sau CM t ơng tự với điểm lại
V I - c h ø n g m i n h h Ö t h ø c , t Ø l Ö t h ø c
C1/ Gắn vào tam giác đồng dạng
C2/ Nếu có đ ờng thẳng song song thờng dùng định lý Ta Lét
C3/NÕu cã gãc vu«ng th êng dïng hƯ thức l ợng tam giác vuông
C4/ Nếu có phân giác th ờng dùng tính chất đ ờng phân giác
Chú ý: Nếu không chứng minh đ ợc trực tiếp dùng tính chất bắc cầu
V I I - C h ø n g m i n h m é t ® ê n g t h ẳ n g l t i Õ p t u y Õ n c ñ a ® ê n g t r ß n C1/ Chứng minh đ ờng thẳng vuông góc với bán kính đầu thuộc đ ờng tròn
C2/ Chng minh khoảng cách từ tâm đến đ ờng thẳng bán kính
VIII-các tr ờng hợp đồng dạng tam giác.
A)B»ng nhau: c c c ; c g.c ; g.c.g
B)§ång d¹ng : g g ; c.c.c ; c.g.c
IX-Khi giải tập tính toán cần ghi nhí
1.C«ng thøc tÝnh chu vi diện tích hình
2.Din tớch tam giác tam giác cân có góc 1200
3.Hệ thức l ợng tam giác vuông ( định lý Pi- ta – go) tỉ số l ợng giác góc nhọn
X-Khi giải toán quỹ tích
(T h n g c h o d i d n g K h i m ộ t ể m c h u y ể n đ ộ n g t hì đ i ể m ? d i c h u y ể n t r ê n đ“ ờ ng n o h o ặ c c h ứ n g m i n h đ i ể m ? d i c h u y ể n t r ê n m ộ t đ ng t r ò n c u n g t r ò n h a y đ n g t h ẳ ng c ố đị n h )”
cần xét xem điểm có tính chất sau: Nhìn đoạn thẳng cố định góc vng đ ờng trịn đ ờng kính Cách điểm cố định khoảng không đổi đ ờng trịn tâm Nhìn đoạn thẳng cố định góc khơng đổi cung chứa góc
4 Cách đờng thẳng cố định khoảng không đổi đ ờng thẳng song song ( vng góc)
5 Cách điểm cố định đ ờng trung trực đoạn thẳng Cách cạnh góc cố định tia phận giác cuả góc
Chú ý : Quỹ tích ( cịn gọi tập hợp) phải gắn với yếu tố cố định
XI-Khi giải toán giá trị lớn ,nhỏ nhất
trong hình học cần ghi nhớ:
1.Trong tam giác vuông cạnh huyền lớn cạnh góc vuông 2.Trong hình thang vuông cạnh xiên lớn cạnh vuông
C.Một số dạng hình bản
I,Từ điểm nằm nghoài (O) kẻ tiếp tuyến , cát tuyến
II,Đa giác nội tiếp đ ờng tròn (Đ ờng tròn ngoại tiếp) III, Hai đ ờng tròn cắt
(26)VI,Đờng tròn nội tiếp Đa giác VII,Không có đ ờng tròn
BàI tËp
Dạng : Từ điểm đ ờng tròn kẻ tiếp tt, cát tuyến đến đ ng trũn
Bài : Từ điểm M nằm (O) kẻ hai cát tuyến MAB,MCD a) Chứng minh MA.MB = MC.MD
b) AD cắt BC N Chøng minh NA.ND = NB.NC
c) KỴ tiÕp tuyÕn MP Chøng minh MP2 = MA.MB = MC.MD
Bài ( Đề năm 02-03)
Cho đờng trịn tâm O M điểm ngồi đ ờng tròn Qua M kẻ tiếp tuyến MP, MQ (Q, P hai tiếp điểm) cát tuyến cắt đ ờng tròn A B
a Gọi I trung điểm AB Chứng minh ®iĨm P, Q, O, I n»m trªn mét ® êng tròn
b PQ cắt AB E Chứng minh MP = ME MI
c Qua A kỴ đ ờng thẳng song song với MP cắt PQ, PB lần l ợt H,K.Chứng minh Tứ giác AHIQ néi tiÕp vµ KB = HI
Bài ( Đề năm 06-07)Cho điểm A bên đ ờng tròn tâm O Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn (B, C tiếp điểm) M điểm cung nhỏ BC (MB, M C ) Gọi D, E, F tơng ứng hình chiếu vng góc M đ ờng thẳng AB, AC, BC; H giao điểm MB DF; K giao điểm MC EF
Chøng minh : a) MECF ,MHFK lµ tø gi¸c néi tiÕp
b) MF2 = MD.ME
b) MF vu«ng gãc víi HK
c) DF tiếp tuyến đ ờng tròn đ ờng kính MC
Bài 4: Cho tam giác ABC cân A Đ ờng tròn (O) tiếp xúc với hai cạnh AB,AC lần l ợt B,C.Qua C kẻ đ ờng thẳng song song với AB cắt (O) D .AD cắt (O) E .Chøng minh:
a) AE.AD = OA2 – OD2
b)CE cắt AB G Chứng minh :
GA2 = GE.GC
c) Chøng minh : GA= GB
Bài : Từ điểm M nằm ngoại (O) kẻ hai tiếp tuyến MA,MB cát tuyến MCD .Tia phân giác góc CAD cắt CD I Chøng minh
a) MI = MA
b) BI tia phân giác góc CBD
Bài : Từ điểm M nằm ngoại (O) kẻ cát tuyến MCD Tiếp tuyến với (O) C,D cắt A.Gọi H hình chiếu A OM Chøng minh:
a) ®iĨm C,D,O,A,H cïng thc mét đ ờng tròn b) MH.MO = MC.MD
c) Kẻ tiÕp tuyÕn MB
(27)Từ H cố định d)* A,H,B thẳng hàng e)*AH cắt (O) E Cm ME tiếp tuyến (O)
Bài : cho (O) đ ờng thẳng d cắt (O) Tại A,B M thuộc đ ờng thẳng d nằm (O) Kẻ tiếp tuyến MC,MD Chứng minh: a)Đờng tròn ngoại tiếp tam giác
MCD qua điểm cố định b)Xác định vị trí M để tam giác MCD vng
Bài : Cho đường trịn (O) có bán kính R điểm S ngồi đường trịn (O) Từ S vẽ hai tiếp tuyến SA, SB với đường tròn (O) (A, B hai tiếp điểm) Vẽ đường thẳng a qua S cắt đường tròn (O) hai điểm M, N với M nằm hai điểm S N (đường thẳng a không qua tâm O)
a) Chứng minh SO vng góc với AB
b) Gọi H giao điểm SO AB, gọi I trung điểm MN Hai đường thẳng OI AB cắt điểm E Chứng minh IHSE tứ giác nội tiếp
c) Chứng minh OI.OE = R2
d) Cho biết SO = 2R MN = Tính diện tích tam giỏc ESM theo R
Dang2 : Đa giác nội tiếp đ ờng tròn
Bi 9: ( 06-07) Tứ giác ABCD nội tiếp đ ờng tròn đ ờng kính AD Hai đ ờng chéo AC, BD cắt E Hình chiếu vng góc E AD F Đ ờng thẳng CF cắt đ ờng tròn điểm thứ hai M Giao điểm BD CF N Chứng minh
a) CEFD tứ giác nội tiếp
b) Tia FA tia phân giác góc BFM c) BE DN = EN BD
Bµi 10: Cho tam giác PQR nội tiếp đ ờng tròn tâm O, đ ờng phân giác góc P cắt cạnh QR D đ ờng tròn ngoại tiếp I
a)Chứng minh OI vuông góc với c¹nh QR
b)Chứng minh đẳng thức QI2 = PI.DI
c)Gọi H hình chiếu vuông góc P
trên cạnh QR Cm Q P H = RP O
d)Chøng minh gãc H Pˆ O = |Q - R|
Bài11: Cho tam giác ABC vuông A nội tiếp đ ờng tròn tâm O, kẻ ® êng kÝnh AD a) Chøng minh tø gi¸c ABDC hình chữ nhật
(28)c) Xác định tâm đ ờng tròn ngoại tiếp tam giỏc MHN
d) Gọi bán kính đ ờng tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác vuông ABC r vµ R
Chøng minh : r + R AB.AC
Bài 12 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) Đ ờng cao AH Kẻ đ êng kÝnh AD Chøng minh: a) AB.AC = AH.AD
b) DiƯn tÝch tam gi¸c ABC = ( AB.AC.BC):(4.OA)
Bài 13 Cho tam giác ABC cân A nội tiếp (O) .Tia phân giác góc B , C cắt E cắt (O) lần l ợt F,D Chứng minh:
a) AD // BF
b) Tứ giác ADEF hình thoi c) Qua E kẻ đ ờng thẳng song song với AC cắt AB G Chứng minh tứ giác BEGD nội tiếp DF cắt AC H Chứng minh
H thuộc đ ờng tròn ngoại tiếp tam giác CEF
Bµi 14 : Cho ABC nhän, néi tiÕp đ ờng tròn tâm O Từ B, C kẻ tiếp tuyến với đ ờng tròn,
chúng cắt D Từ D kẻ c át tuyế n s ong s ong với AB cắt đ ờng tròn E, F cắt AC I
a) Chứng minh gãc DOC b»ng gãc BAC
b) Chøng minh bốn điểm O, I, D, C nằm đ êng trßn c) Chøng minh IE=IF
d) Chøng minh ID phân giác góc BIC
e) Cho B,C cố định , A chuyển động cung BC lớn I di chuyển đờng ?
Bài15 :Cho tam giác ABC nội tiếp đ ờng tròn(O) D,E điểm cung AB, AC DE cắt AB AC H,K
a) Chứng minh rằng: tam giácAHK cân
b) BE cắt CD I, Chứng minh AI vuông góc víi DE c) Chøng minh r»ng:CEKI néi tiÕp
d) Chøng minh r»ng IK//AB
e) tam gi¸c ABC cã thêm điều kiện ? AI//EC
Bài 16 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đ ờng tròn P điểm cung AB( phần không chứa C,D) Hai PC, PD lần l ợt cắt dây AB E F Các dây AD, PC kéo dài cắt I Các dây BC,PD kéo dài cắt K Chøng minhr»ng:
a) Gãc CID b»ng gãc CKD b) Tứ giác CDEF nội tiếp đ ợc c) PC.PE = PD.F
d) IKCD néi tiÕp e) IK//AB
(29)Bài 17 : Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đ ờng tròn (O) Tiếp tuyến C với đ ờng tròn cắt AB,AD kéo dài lần l ợt E F
a) Chứng minh AB.AE=AD.AF hai ph ơng pháp
b) Gọi M trung điểm EF Chứng minh AM vuông góc với BD
c) Tiếp tuyến B D với đ ờng tròn (O) cắt EF lần l ợt I, J Chứng minh I J lần l ợt trung điểm CE CF
d) Tính diện tích phần hình tròn giới hạn dây AD cung nhỏ AD, biết AB=6 AD=6
3
Bài 18 :Cho tứ giác ABCD nội tiếp đ ờng tròn đ ờng kính BD(AC cắt BO) Kéo dài AB DC cắt E;CB DA cắt F
a) Chứng minh DB vuông góc với EF( gọi chân đ ờng vuông góc G) b) Chứng minh BCGF , ABGF néi tiÕp
c) Chøng minh:BA.BE=BC.BF=BD.BG
d) Chøng minh B tâm đ ờng tròn nội tiếp tam gi¸c ACG
e) Cho góc ABC 1350, tính độ dài AC theo BD
Bµi 19 :Cho tam giácABC cân A( góc A<900) nội tiếp đ ờng tròn (O) Một điểm M tuỳ ý
cung nhá AC Tia Bx vu«ng gãc víi AM cắt tia CM D Chứng minh rằng: a) Góc AMD góc ABC
b) Tam giác BMD cân
c) Khi M di động cung nhỏ AC D chạy cung trịn cố định độ lớn góc BDC khơng đổi
D¹ng : Hai đ ờng tròn cắt nhau Bài20( Đề 03-04)Cho hai đ ờng tròn (O
1) (O2) cắt A B, tiếp tuyến chung víi hai
đờng trịn (O
1) vµ (O2) phía nửa mặt phẳng bờ O1O2 chứa điểm B, có tiếp điểm thứ tự E
F Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt đ ờng tròn O
1, O2 thứ tự C, D Đ ờng thẳng CE
và đờng thẳng DF cắt I
1 Chøng minh IA vu«ng gãc víi CD
2 Chøng minh tứ giác IEBF tứ giác nội tiếp Chứng minh đ ờng thẳng AB qua trung điểm EF
Bài 21: Cho hai đ ờng tròn (O
1) (O2) cắt A B.Qua B vẽ cát tuyến chung CBD
vuông góc víi AB , vÏ c¸t tun chung EBF bÊt kú ( C,E thuéc (O
1) ,E thuéc cung BC )
a)Chøng minh A, O
1, C thẳng hàng AD qua O2
b) Gọi K giao điểm đ ờng thẳng CE FD .Chứng minh tứ giác AEKF nội tiếp K thuộc đ ờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD
c) Khi E di chun trªn cung BC K di chuyển đ ờng
Bài 22 : Cho tam giác ABC vuông A Đ ờng tròn tâm I đ ờng kính AB cắt đ ờng tròn tâm K đ -ờng kính AC điểm thứ hai H Qua A kẻ cát tuyến EF ( E thuộc (I) Gọi M trung điểm EF ,N trung điểm BC Chứng minh
a) B,H,C thẳng hàng
b) điểm A , I , H , N , K, M cïng thuéc đ ờng tròn c) AB tiếp tuyến (K) vµ AC lµ tiÕp tun cđa (I)
(30)e) Hỏi vị trí cát tuyến EF có độ dài lớn
D¹ng : Hai đ ờng tròn tiếp xúc ngoài
Bài 23: Cho (O;R) (I;r) tiếp xúc A Gäi BC lµ mét tiÕp tuyÕn chung ngoµi BC OI cắt (O) D cắt (I) t¹i E Chøng minh
a) A , B , C cïng thuéc mét ® êng
b) B thuéc đ ờng tròn nội tiếp tam giác CDE
c) OI tiếp tuyến đ ờng tròn đ ờng kính BC ng ợc lại
d) Cho R=6 cm ; r =2 cm tÝnh diƯn tÝch cđa h×nh giới hạn đoạn thẳng BC với cung AB, AC
Bài 24: Cho (O) (P) tiếp xúc A Đ ờng thẳng OP cắt (O) , (P) lần l ợt B,C Tiếp tuyến chung MN ( M thuộc (O) ) cắt tiếp tuyến chung A I .Chứng minh: a) I thuộc đ ờng trịn đờng kính OP
b) MN2 = OA.PN
c) BM vu«ng gãc víi CN
d) AM cắt (O) E AN cắt (P) t¹i F chøng minh : BC2 = ME2 + NF2
Bài 25 : Hai đờng tròn (O; R) (O’;r) tiếp xúc điểm A (R > r) Gọi BC tiếp tuyến
chung ngoµi
(B (O) ; C (O) M trung điểm OO, H hình chiếu M BC
a) TÝnh gãc OHO’
b) Chøng minh OH tia phân giác góc AOB
c) Chng minh AH tiếp tuyến chung hai đ ờng tròn (O) (O’) d) Cho R = cm ; r = cm Tính độ dài BC ; AM
Bài 26 : Cho hai đ ờng tròn (O
1),(O2) tiếp xúc A Một đ ờng thẳng (d) tiếp xúc với
(O
1),(O2) lần l ợt B, C
a) Chứng minh tam giác ABC vuông
b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh AM tia tiếp tuyến chung hai đ ờng tròn c) Chøng minh gãc O
1MO2 b»ng 900
d) Các tia BA, CA lần l ợt cắt (O
1),(O2) giao điểm thứ hai D, E Chøng minh diƯn
tÝch tam gi¸cADE b»ng diƯn tÝch tam giác ABC
Dạng : Nửa đ ờng tròn
Bài 27: Cho M thuộc nửa đ ờng tròn tâm O đ ờng kính AB .Từ A B kẻ tiếp tuyến Ax By .Tiếp tuyến M cắt Ax , By lần l ợt C ,D .Các đ ờng thẳng AD, BC c¾t ë N .Chøng minh : a) CD - AC = BD b) Tam giác CDO vuông
c) MN // AC d) CD.MN = CM.DB e) Xác định vị trí M để Diện tích đ ờng trịn đ -ờng kính CD nh nht
g) MN cắt AB H Chøng minh : MN = NH
Bµi 28 : Cho C thuộc nửa đ ờng tròn đ ờng kính AB I điểm cung AC .AI cắt BC M Chứng minh : a) MI.MA = MC.MB b) tam giác ABM cân
c) AC cắt BI H ,MH cắt AB N .Chứng minh H tâm đ ờng tròn nội tiếp tam giác NIC d) Gọi K điểm đối xứng với H qua I .Chứng minh KA tiếp tuyến đ ờng trịn đ ờng kính AB
Bài 29 :Cho nửa đ ờng tròn đ ờng kính AB Lấy điểm D tuỳ ý nửa đ ờng tròn
(D A D B) Dựng hình bình hành ABCD Từ D kẻ DM vuông góc với đ ờng thẳng AC
M từ B kẻ BN vuông góc với đ ờng thẳng AC N
a Chứng minh bốn điểm D, M, B, C nằm đ ờng tròn b Chøng minhAD ND = BN DC
(31)Bài 30 : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R C trung điểm đoạn thẳng AO, đường thẳng Cx vng góc với đường thẳng AB, Cx cắt nửa đường tròn I K điểm nằm đoạn thẳng CI (K khác C ; K khác I), tia AK cắt nửa đường tròn cho M Tiếp tuyến với nửa đường tròn tâm O điểm M cắt Cx N, tia BM cắt Cx D
1) Chứng minh bốn điểm A, C, M, D nằm đường tròn 2) Chứng minh ΔMNK cân
3) Tính diện tích ΔABD K trung điểm đoạn thẳng CI
4) Chứng minh : Khi K di động đoạn thẳng CI tâm đường trịn ngoại tiếp ΔAKD nằm đường thẳng cố định
Bµi 31 : Cho nửa đ ờng tròn tâm O, đ ờng kính AB=2R điểm M nằm nửa đ ờng tròn (M khác A B) Đ ờng thẳng d tiếp xúc với nửa đ ờng tròn M cắt đ ờng trung trực đoạn AB I.D ờng tròn tâm I tiếp xúc với AB cắt đ ờng thẳng d C D (D n»m gãc BOM)
a) Chøng minh tia OC,OD tia phân giác gãc ACM vµ BOM b) Chøng minh CA vµ DB vu«ng gãc víi AB
c) Chøng minh AC.BD=R2
d) Tìm vị trí M nửa đ ờng tròn (O) để tổng AC+BD đạt giá trị nhỏ nht? Tỡm giỏ tr ú theo R
Các kh¸c
Bài 32 : Cho đờng trịn (O) đ ờng kính AB, điểm M di động đ ờng tròn Gọi N điểm đối xứng với A qua M, P giao điểm thứ hai đ ờng thẳng BN với đ ờng tròn (O); Q.R giao điểm đ ờng thẳng BM lần l ợt với AP tiếp tuyến A đ ờng tròn (O)
a) Chứng minh điểm N ln ln nằm đ ờng trịn cố định tiếp xúc với đ ờng tròn (O) Xác định tâm BK đ ờng trịn
b) Chøng minh RN tiếp tuyến đ ờng tròn (B;AB) c) Tứ giác ARNQ hình ? Tại ?
Bài 33 : Cho đờng tròn (O) đ ờng kính AB Dây CD khơng qua O vng góc với AB H Dây CA cắt đ ờng tròn đ ờng kính AH E đ ờng trịn đ ờng kính BH cắt dây CB F Chứng minh rng :
a) CEHF hình chữ nhật
b) EF tiếp tuyến chung đ ờng tròn đ ờng kính AH đ ờng kính BH c)
2 2
1 1
CB CA
EF
Bµi 34 Cho tam giác vuông ABC ( C = 900), O trung điểm AB D điểm cạnh
AB ( D không trùng với A, O, B ) Gọi I J thứ tự tâm đ ờng ngoại tiếp tam giác ACD BCD
1 Chøng minh OI song song víi BC
2 Chøng minh ®iĨm I, J, O, D n»m đ ờng tròn
3 Chứng minh CD phân giác góc ACB OI = OJ
Bµi 35 : Cho tam giác vuông MNP ( M = 900), Đờng cao MH (H cạnh NP) Đ ờng tròn đ
(32)1) Chứng minh AB đ ờng kính đ ờng tròn đ ờng kính MH 2) Chứng minh tứ giác NABP tứ giác nội tiếp
3) Từ M kẻ đ ờng thẳng vuông góc với AB cắt cạnh NP I Chứng minh IN = IP
Bài36: Cho tam giác vuông ABC (AC > AB, A = 900) Gọi I tâm đ ờng tròn nội tiếp tam
giác ABC, tiếp điểm đ ờng tròn nội tiếp với cạnh AB , BC , CA lần l ợt M , N , P Chøng minh tø gi¸c AMIP hình vuông
2 Đờng thẳng AI cắt PN D Chứng minh điểm M, B, N, D, I nằm đ ờng tròn 3* Đờng thẳng BI CI kéo dài cắt AC , AB lần l ợt E F
Chứng minh BE CF = BI CI
B i 37à :Cho đờng tròn tâm(O) AB dây cố định đ ờng trịn khơng qua tâm M điểm dây cung lớn AB cho tam giác MAB tam giác nhọn Gọi D C thứ tự điểm cung nhỏ MA, MB, đ ờng thẳng AC cắt đ ờng thẳng BD I, đ ờng thẳng CD cắt cạnh MA MB thứ tự P, Q
1 Chứng minh tam giác ADI tam giác cân Chứng minh tứ giác ADPI tứ giác nội tiÕp Chøng minh PI = MQ
4 Đờng thẳng MI cắt đ ờng tròn N Khi M chuyển động cung lớn AB trung điểm MN chuyển động đ ờng
Bài 38 Cho điểm A, B , C thẳng hàng ( theo thứ tự ấy) Gọi (O) đ ờng tròn qua B C Từ A vẽ tiếp tuyến AE AF với đ ờng tròn (O) ( E F tiếp điểm ) Gọi I trung điểm BC
a) Chứng minh năm điểm A, E, O, I, F
b) Đờng thẳng FI cắt đ ờng tròn (O) G Chøng minh EG // AB c) Nèi EF c¾t AC t¹i K, Chøng minh AK AI = AB AC
B i39:à Cho đ ờng trịn(O;R) dây AC cố định khơng qua tâm B điểm
đờng trịn (O;R) ( B khơng trùng với A C).Kẻ đ ờng kính BB , Gọi H trực tâm của tam
gi¸c ABC
1) Chøng minh AH//BC
2) Chøng minh r»ng HB®i qua trung ®iĨm cđa AC
3) Khi điểm B chạy đ ờng trịn (0; R) (B khơng trùng vớiA C) Chứng minh điểm H nằm đ ờng tròn cố định
Bài 40 : Cho đờng trịn tâm O, bán kính OA=R Vẽ dây BC vng góc với OA trung điểm H ca OA
a) Tứ giác ABOC hình g× ?
b) Gọi K điểm đối xứng với O qua A Chứng minh rằng:KBOC tứ giác nội tiếp KB,KC tiếp tuyến (O)
c) Tam giác KBC tam giác gì?
d) Trc tâm tam giác ABC điểm hình vẽ ? e) Tính độ dài BC
f) TÝnh diƯn tích phần trung hình tròn(O;R) hình tròn ngoại tiếp tứ giác KBOC
Bài 41 : Cho (O;R) dây AB<2R Trên tia AB lấy C cho AC>AB.Từ C kẻ hai tiếp tuyến với (o)tại P,K Gọi I trung điểm AB
(33)b) Chøng minh r»ng: C,P, I, O, K cïng nằm đ ờng tròn
c) Chng minh tam giác ACP đồng dạng với tam giác PCB suy CP2=CB.CA
d) gäi H trùc t©m tam gi¸c CPK.TÝnh PH theo R
e) Giả sử PA//CK Chứng minh tia đối tia BK phân giác góc CBP
Bài 42 : Cho đờng trịn (O;R) đ ờng kính AB, kẻ tia tiếp tuyến Ax lấy điểm P cho AP>R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với đ ờng tròn M
a) Chøng minh APMO néi tiÕp b) Chứng minh BM//OP
c) Đờng thẳng vuông góc với AB O cắt tia BM N Chứng minh tứ giác OBNP hình bình hành
d) Chứng minh PNMO hình thang cân
e) Biết AN cắt OP K, PM cắt ON I, PN OM kéo dài cắt J Chứng minhI, J, K thẳng hàng
Bài 43 : Cho đoạn AB M nằm A.B Trên nửa mặt phẳng bờ AB dựng hình vuông AMCD, MBEF AF cắt BC N
a)Chøng minh r»ng:AF vu«ng gãc víi BC,suy N nằm hai đ ờng tròn ngoại tiếp AMCD, MBEF
b) Chứng minh: D, N,E thẳng hàng MN vu«ng gãc víi DE
c)Cho AB cố định M di động Chứng minh:MN qua điểm cố định,
Bài 44 :Cho đờng trịn (O) đ ờng kính AB=2R điểm M di động nửa đ ờng tròn Ngời ta vẽ đ ờng tròn tâm E tiếp xúc với nửa đ ờng tròn (O) M tiếp xúc với đ ờng kính AB N Đ ờng cắt MA, MB lần l ợt điểm thứ hai C, D
a) Chøng minh CD//AB
b) Chøng minh MN lµ tia phân giác góc AMB đ ờng thẳng MN qua điểm
K c nh
c) Chứng minh:tích KM.KN khơng đổi
d) Gọi giao điểm tia CN,DN với KB,KA lần l ợt C,,D,.Tìm vị trí M để chu vi
tam giác NC,D, đạt giá trị nhỏ
Bài 45 :Cho tam giác ABC vuông A Đ ờng cao AH Đ ờng tròn đ ờng kính AH cắt cạnh AB,AC, lần l ợt E,F
a) Chứng minhtứ giác AEHF hình chữ nhËt
b) Chøng minhAE.AB=AF.AC
c) Chøng minh BEFC nội tiếp
d) Đờng thẳ ng qua Avuông góc với EF cắt BC I, Chứng mi nh I trung điểm đoạn BC
e) Chứng minh diện tích ABC gấp đơi diện tích hình chữ nhật AEHF tam
gi¸c ABC vuông cân
(34)a) tứ giác OMNP nội tiếp đ ợc
b) Tứ giác CMPO hình bình hành c) Tứ giác OMNP nội tiếp
d) Tích CM.CN không phụ thuộc vào vị trí cđa ®iĨm M
e) Khi M di động đoạn AB P chạy đoạn thẳng cố định
Bài 47 : Cho ba điểm A, B, C đ ờng thẳng theo thứ tự đ ờng thẳng d vng góc với AC A Vè đ ờng tròn đ ờng kính BC lấy điểm M Tia CM cắt đ -ờng thẳng d D; Tia AM cắt đ -ờng tròn điểm thứ hai N; tia DB cắt đ -ờng tròn điểm thứ hai P
a) Chøng minh ABMD néi tiÕp
b) Chứng minh tích CM.CD không phụ thuộc vào vị trí điểm M c) Tứ giác APND hình ?tại ?
d) Chng minh trng tõm G tam giác MAC chạy đ ờng trịn cố định M di động
Bµi 48 : Cho tam giác vuông cân ABC (góc C=90),E điểm tuỳ ý cạnh BC Qua B kẻ tia v ơng góc với tia AE H cắt tia AC K Chứng minh rằng:
a) Tø gi¸c BHCA néi tiÕp b) KC KA=KH.KB
c) Độ lớn góc CHK không phụ thuộc vào vị trí điểm E
d) Khi E di chuyển cạnh BC BE.BC+ AE AH khơng đổi
Bài 49 : cho đờng tròn tâm O dây AB Gọi M điểm cảu cung nhỏ AB C điểm nằm đoạn AB Tia MC cắt đ ờng tròn điểm th hai D Chứng minh :
a) MA2 = MC.MD
b) MB.BD = BC.MD
c) Đờng tròn ngoại tiếp BCD tiếp xúc với MB B
d) Tổng bán kính hai đ ờng trịn ngoại tiếp BCD ACD khơng đổi C di ng
trên đoạn AB
Bi 50 : Cho ABC có góc A > 90o Đờng trịn (O), đ ờng kính AB cắt đ ờng trịn (O/) ng kớnh
AC giao điểm thứ hai H Một đ ờng thẳng (d) quay quanh A cắt Đ ờng tròn (O), đ ờng tròn
(O/) lần l ợt M, N cho A nằm M N
a) Chứng minh H thuộc cạnh BC tứ giác BCNM hình thang vuông b) Chøng minh tû sè
HN
HM không đổi.
c) Gọi I trung điểm MN, K trung điểm BC Chứng minh bốn điểm A, H, K, I thuộc đ ờng tròn I di chuyển cung tròn cố định
d) Xác định vị trí đ ờng thẳng (d) để diện tích HMN lớn
Bµi 51 :Cho đoạn thẳng AB điểm P nằm A B.Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ tia Ax, By vuông góc với AB lần l ợt hai tia dó lấy hai điểm C vµ D cho : AC.BD=AP.PB (1)
(35)b) Chứng minh góc CPD 900 Từ suy ta cách dựng hai điểm C;D thoả mãn (1)
c) Gọi M hình chiếu P CD, chøng minh gãc AMB b»ng 900
d) Gäi AM cắt CP I, BM cắt PD K Chøng minh IK // AB
e) Chứng minh điểm M chạy nửa đ ờng tròn cố định C;D lần l ợt di động Ax, By nhng thoả mãn (1)
Bµi 52 : Cho tam giác ABC vuông A điểm D nằm A B Đ ờng tròn đ ờng kính BD cắt BC E.Các đ ờng thẳngCD, AE lần l ợt cắt đ ờng tròn điểm thø hai F, G Chøng minh:
a) tam giácABC đồng dạng với tam giácEBD b) Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp đ ợc c) Chứng minh AD.AB = AG.AE
d) AC//FG
e) Các đờng thẳng AC, DE, BF đồng quy
Bài53 Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm A O cho AI = 2/3AO Kẻ dây MN vng góc với AB I Gọi C điểm tùy ý thuộc cung lớn MN, cho C không trùng với M, N B Nối AC cắt MN E
a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp đường tròn b) Chứng minh ΔAME đồng dạng với ΔACM AM2 = AE.AC c) Chứng minh AE.AC - AI.IB = AI2
d) Hãy xác định vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ
Bài 54 : Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A vẽ nửa đường trịn đường kính BH cắt AB E nửa đường trịn đường kính CH cắt AC F Chứng minh :
a) Tứ giác AEHF hình chữ nhật
b) EF tiếp tuyến chung hai đường tròn đường kính BH CH c) Tứ giác BCFE nội tiếp
Bài 55 Cho đường trịn tâm O bán kính R, hai điểm C D thuộc đường tròn, B trung điểm cung nhỏ CD Kẻ đường kính BA ; tia đối tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) M ; MD cắt AB K ; MB cắt AC H
a) Chứng minh Đ BMD = Đ BAC, từ => tứ giác AMHK nội tiếp b) Chứng minh : HK // CD
(36)Bài 56 : Cho đường trịn (O) bán kính R, đường thẳng d khơng qua O cắt đường trịn hai điểm A, B Từ điểm C d (C nằm ngồi đường trịn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với đường tròn (M, N thuộc (O)) Gọi H trung điểm AB, đường thẳng OH cắt tia CN K
a) Chứng minh bốn điểm C, O, H, N nằm đường tròn b) Chứng minh KN.KC = KH.KO
c) Đoạn thẳng CO cắt đường tròn (O) I, chứng minh I cách CM, CN MN
d) Một đường thẳng qua O song song với MN cắt tia CM, CN E F Xác định vị trí C d cho diện tích tam giác CEF nhỏ
Bµi :a Cho x, y > Chøng minh r»ng :
y x y x
4 1
b Cho a,b >0 tho¶ mÃn a+ b =1 Tìm giá trị nhỏ :
ab b a
A 2 2 Bài : Chứng minh bất đẳng thức:
a) a c2 b d2 a2 b2 c2 d2
b) c.a c cb c ab víi a c 0, b c
c) ab cd ad .bc víi a, b, c, d >
Bµi : Chøng minh r»ng : x y x y xy
2
2
2
Bài : Tìm giá trị nhá nhÊt cña:
3 16
x x
A víi x >0
Bµi :
a) Chứng minh bất đẳng thức : ax by a2 b2. x2 y2
b) Tìm giá trị lớn cđa : A x 2 4 x
c) Gi¶i phơng trình : 2 4 6 11
x x x
x
d) Giải phơng trình: x1 y1 z1 2xyz1
Bµi :
Chứng minh bất đẳng thức : a xy + yz + zx x2 + y2 +z2
(37)b 3 2 2 z y x z y
x
2 Cho x + y + z =
a Tìm giá trị nhỏ D = x2 + y2 +z2
b Tìm giá trị lớn nhÊt cña T = xy + yz + zx
Bài : Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc :
A= x2 –4x +
B = 3x2 –6x -1
C = x2 +3x +
D =3 x2 –2x +
Bài : Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc :
A = x2 –4xy + 5y2 + 10x –22y + 30
B = x2 + 26y2 – 10xy + 14x – 76y + 100
C = 5x2 – 12xy + 9y2 – 4x +4
D = x2 + y2 – xy –x –y +1
Bài : Tìm giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc :
A= - 4x2 –4x +
B=5 - 8x- x2
C= + 6y – 5y2 – 12xy – 9x2
D = 15 – 10x – 10x2 + 24xy – 16y2
Bài 10 : Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức :
1 2 x x x A x x B 2 x x C 27 x x D
Bµi 11 : Cho x, y, z tho¶ m·n :
6 2 6 3 4 2 4 z y x z y x
Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ cđa biĨu thøc :T = 5x – 6y + 7z
Bµi 12 : Cho x, y, z N tho¶ m·n :
101 4 3 21 2 2 2 z y x t y x
Tìm giá trị nhỏ M = x2 + y2 + 2z2 + t2
(38)F = x + y + z + xy + yz + zx
Bµi 14 : Chøng minh r»ng : a)
k k k
1 1
2
víi k N vµ k
b)
n n
1
1
1
1 2 2 2 víi n N vµ n
c)
1
1
25
2
n víi n N vµ n
Bµi 15 : Cho hai sè x, y tho¶ m·n x > y vµ x.y = Chøng minh :
0 2 2
y x
y x
Bài 16 : Cho a ,b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh :