tài liệu ôn thi « cao học kinh tế

Baøi 13 : Moät loâ haøng goàm a saûn phaåm loaïi I vaø b saûn phaåm loaïi II ñöôïc ñoùng gôùi ñeå göûi cho khaùch haøng. Nôi nhaän kieåm tra laïi thaáy thaát laïc 1 saûn phaåm. Choïn [r]

ƠN THI CAO HỌC MƠN TỐN KINH TẾ (Biên soạn: Trần Ngọc Hội - 2007)

PHẦN II: XÁC SUẤT

A- CÁC CƠNG THỨC CƠ BẢN

§1 ƠN VỀ TỔ HỢP

1.1 Định nghĩa: Một tổ hợp chập k n phần tử nhóm khơng có thứ tự gồm k phần tử phân biệt rút từ n phần tử cho

Ví duï: Các tổ hợp chập phần tử x, y, z là: {x,y}; {x,z}; {y,z}

1.2 Cơng thức tính tổ hợp: Gọi Cnk số tổ hợp chập k n phần tử Ta có cơng thức:

!

! !

k n

n C

k n k

Ví dụ: 206 20! 38760. 6!14!

C

Chú ý: Trên máy tính có phím chức nCr, ta tính C206 cách bấm 20 nCr =

1.3 Bài tóan lựa chọn:

Một lơ hàng chứa N sản phẩm, có NA sản phẩm loại A N- NA

sản phẩm lọai B Chọn ngẫu nhiên n sản phẩm (0 < n < N) Với số

nguyên k thỏa k NA, n-k N-NA Tìm số cách chọn n sản phẩm,

trong có k sản phẩm loại A

Lời giải

Để chọn n sản phẩm, có k sản phẩmloại A ta tiến hành bước:

Bước 1: Chọn k sản phẩm loại A từ NA sản phẩm loại A Số cách chọn

A

k N

C

Bước 2: Chọn n-k sản phẩm loại B từ N-NA sản phẩm loại B Số cách chọn

laø

A

n k N N

C

Theo nguyên lý nhân ta có số cách n sản phẩm, có k sản phẩm loại A là:

.

A A

k n k

N N N

C C

§2 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT 2.1. Phép thử biến cố

1) Phép thử là thí nghiệm thực điều kiện xác định Một phép thử cho nhiều kết khác nhau, kết gọi một biến coá

Ví duï: Thực phép thử tung xúc xắc đồng chất mặt Các biến cố xảy là: Xuất mặt chấm; Xuất mặt có chấm chẵn,… 2) Biến cố tất yếu, kí hiệu (Ơmêga), biến cố thiết phải xảy thực phép thử

Ví dụ: Khi tung xúc xắc mặt, biến cố “Xuất mặt có số chấm không 6” biến cố tất yếu

3) Biến cố bất khả, kí hiệu , biến cố khơng xảy thực phép thử

Ví duï: Khi tung xúc xắc mặt, biến cố “Xuất mặt có số chấm lớn 6” biến cố bất khả

4) Biến cố ngẫu nhiên biến cố xảy không xảy thực phép thử Ta thường dùng kí tự A, A1, A2, B, C,… để

biến cố ngẫu nhiên

Ví duï: Khi tung xúc xắc mặt, biến cố “Xuất mặt chấm” biến cố ngẫu nhiên

Trong ví dụ minh họa sau, tung xúc xắc mặt, ta gọi Aj (j =

1,2,…,6) biến cố “Xuất mặt j chấm”

5) Biến cố tổng hai biến cố A B, kí hiệu A + B (hay A B) biến cố định bởi:

A + B xảy A xảy B xảy

Ta mở rộng khái niệm tổng n biến cố A1, A2,…, An sau:

A1 + A2 +…+ An xảy Có n biến cố A1, A2,…, An xảy

Ví dụ: Tung xúc xắc mặt, gọi A biến cố “Xuất mặt có số chấm không 2” B biến cố “Xuất mặt có số chấm chẵn”, ta có:

A = A1 + A2

B = A2 + A4 + A6

6) Biến cố tích hai biến cố A B, kí hiệu AB (hay A B) biến cố định bởi:

AB xảy A xảy B xảy

Như vậy, biến cố tích AB xảy hai biến cố A B đồng thời xảy

Minh hoïa:

Ta mở rộng khái niệm tích n biến cố A1, A2,…, An sau:

A1A2…An xảy Tất n biến cố A1, A2,…, An đồng thời xảy

Ví dụ: Tung xúc xắc mặt, xét biến cố sau: A : Xuất mặt có số chấm chẵn

B : Xuất mặt có số chấm lớn hay C: Xuất mặt có số chấm nhỏ hay Ta có: AB = A6 ABC =

Ta xem biến cố sơ cấp nguyên tử nhỏ phân chia đươc Một biến cố A tổng số biến cố sơ cấp đó, ta gọi biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A Như vậy, biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố tất yếu, biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố bất khả

Ví duï: Khi tung xúc xắc mặt, ta có tất biến cố sơ cấp Aj (j =

1,2,…,6) Gọi A biến cố xuất mặt có số chấm lẻ Khi đó: A = A1 + A3 + A5

Do dó có biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A A1, A3, A5

8) Hai biến cố A B gọi xung khắc AB = , nghĩa A B không đồng thời xảy phép thử

Ví duï: Tung xúc xắc mặt, xét biến cố : A : Xuất mặt có số chấm chẵn

B : Xuất mặt chấm

C : Xuất mặt có số không

Ta có A B xung khắc A C không (AC = A2)

9) Biến cố đối lập biến cố A, kí hiệu A, biến cố định A xảy A không xảy

Minh hoïa:

Như vậy, A A xung khắc, A + A = , nghĩa thiết phải có hai biến cố A A xảy thực phép thử Ví dụ: Tung xúc xắc mặt, xét biến cố

A : Xuất mặt có số chấm chẵn B : Xuất mặt có số chấm lẻ

Ta thấy B biến cố đối lập A

10) Các biến cố đồng khả năng biến cố có khả xảy thực phép thử

2.2 Định nghóa xác suất.

Giả sử tiến hành phép thử ø, có tất n biến cố sơ cấp đồng khả xảy ra, có mA biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A

Tæ soá n mA

gọi xác suất biến cố A, kí hiệu P(A) Như vậy,

P(A) =

ra xảy thể có cấp sơ cố biến số

Tổng

A cho lợi thuận cấp

sơ cố biến ố

S

2.3 Cơng thức tính xác suất lựa chọn

Xét lơ hàng chứa N sản phẩm, dó có NA sản phẩm loại A,

cịn lại loại B Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng n sản phẩm (0< n < N) Khi đó, với k NA thỏa n-k N-NA, xác suất để n sản phẩm

chọn có k sản phẩm loại A là:

A A

k n k N N N

n n

N

(k) C C

p

C

§3 CƠNG THỨC CỘNG XÁC SUẤT 3.1 Cơng thức cộng xác suất

1) Công thức cộng xác suất thứ

Với A B hai biến cố xung khắc, ta có

P(A+B) = P(A) + P(B)

Mở rộng: Với A1, A2, …, An n biến cố xung khắc đơi, ta có:

P(A1 + A2 + …+ An) = P(A1) + P(A2) +…+ P(An)

2) Hệ quả:

Với A biến cố bất kỳ, ta có

P(A) P(A)

3) Công thức cộng xác suất thứ hai:

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)

Ví dụ 1: Một lô hàng chứa 15 sản phẩm gồm 10 sản phẩm tốt sản phẩm xấu Chọn ngẫu nhiên từ lơ hàng sản phẩm Tính xác suất để sản phẩm chọn có:

a) Số sản phẩm tốt không số sản phẩm xấu b) Ít sản phẩm xấu

Lời giải

Gọi Aj (j = 0,1,…,4) biến cố có j sản phẩm tốt (4-j) sản phẩm xấu có

trong sản phẩm chọn Khi A0, A1,…,A4 xung khắc đơi theo

Cơng thức tính xác suất lựa chọn với N = 15, NA = 10, n = (ở loại A

loại tốt), ta có:

C C Cj j j A P 4 15 10 ) (

Từ ta tính được:

. 1365 210 ) ( ; 1365 600 ) ( 1365 450 ) ( ; 1365 100 ) ( ; 1365 5 ) ( A P A P A P A P A P

a) Gọi A biến cố số sản phẩm tốt không số sản phẩm xấu Ta có: A = A4 + A3 + A2

Từ tính xung khắc đơi A2, A3, A4, Cơng thức cộng thứ

cho ta: 9231 , 0 1365 450 1365 600 1365 210 ) ( ) ( ) ( )

(A P A4 P A3 P A2

P

8462 , 0 1365

210 1

) ( 1 ) ( 1 )

(B P B P A4

P

Ví dụ 2: Một lớp học có 100 sinh viên, có 60 sinh viên giỏi Tốn, 70 sinh viên giỏi Anh văn 40 sinh viên giỏi hai mơn Tốn Anh văn Chọn ngẫu nhiên sinh viên lớp Tìm xác suất để chọn sinh viên giỏi hai mơn Tốn Anh văn

Lời giải

Goïi

- A biến cố sinh viên chọn giỏi mơn Tốn - B biến cố sinh viên chọn giỏi mơn Anh văn Khi

- AB biến cố sinh viên chọn giỏi hai mơn Tốn Anh văn

- A + B biến cố sinh viên chọn giỏi hai mơn Tốn Anh văn

Do

. 9 , 0 100

40 100

70 100

60 )

( ) ( ) ( )

(A B P A P B P AB

P

§4 CƠNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT 4.1 Xác suất có điều kiện

1) Định nghĩa: Xác suất có điều kiện biến cố A biết biến cố B xảy ra, kí kiệu P(A/B), xác suất biến cố A tính trường hợp biến cố B xảy

Ví duï: Thảy xúc xắc đồng chất mặt Xét biến cố sau:

- A biến cố xuất mặt có số chấm chẵn

- B biến cố xuất mặt có số chấm lẻ

- C biến cố xuất mặt có số chấm nhỏ hay

- D biến cố xuất mặt có số chấm lớn hay Khi

- P(A/B) =

- P(A/C) = 2/4 = 0,5

- P(A/D) = 2/3

Nhận xét: Trong ví dụ ta có xác suất biến cố A P(A) = 3/6 = 0,5 Do

Điều cho thấy xác suất có điều kiện biến cố A nhỏ hơn, lớn xác suất thơng thường P(A) Đặc biệt, ta thấy xác suất để biến cố A xảy 0,5 không phụ thuộc vào việc biết hay chưa biết biến cố C xảy Ta nói biến cố A độc lập với biến cố C theo định nghĩa sau:

2) Tính độc lập: Nếu P(A/B) = P(A), nghĩa xuất biến cố B không ảnh hưởng đến xác suất biến cố A, ta nói A độc lập với B

4.2 Công thức nhân xác suất thứ

Nếu biến cố A độc lập với biến cố B B độc lập với A ta có P(AB) = P(A) P(B)

Mở rộng: Với A1, A2, …, An n biến cố độc lập đôi, nghĩa với

mọi i j n , Ai Aj độc lập, ta có:

P(A1A2 …An) = P(A1)P(A2)… P(An)

4.3 Công thức nhân xác suất thứ hai

Với A, B hai biến cố bất kỳ, ta có

P(AB) = P(A) P(B/A) = P(B)P(A/B) Mở rộng: Với A1, A2, …, An n biến cố , ta có:

P(A1A2 …An) = P(A1)P(A2/ A1)… P(An/ A1 A2 …An-1)

Chẳng hạn:

P(ABC) = P(A)P(B/A)P(C/AB)

Ví dụ: Có hai lơ hàng, lơ chứa 15 sản phẩm, lơ I gồm 10 sản phẩm tốt, sản phẩm xấu; lô II gồm sản phẩm tốt sản phẩm xấu Chọn ngẫu nhiên từ lơ sản phẩm

a) Tính xác suất để sản phẩm chọn có sản phẩm tốt sản phẩm xấu

b) Giả sử chọn sản phẩm tốt sản phẩm xấu Tính xác suất

Lời giải

Gọi Ai , Bi (i = 0, 1, 2) biến cố có i sản phẩm tốt (2 - i)

sản phẩm xấu có sản phẩm chọn từ lơ I, lơ II Khi

- A0, A1, A2 xung khắc đơi ta có:

. 105 45 ) ( ; 105 50 ) ( ; 105 10 ) ( 15 10 2 15 10 15 10 C C C CC C CC C A P A P A P

- B0, B1, B2 xung khắc đôi ta có:

. 105 28 ) ( ; 105 56 ) ( ; 105 21 ) ( 15 2 15 15 CC C CC C CC C B P B P B P

- Ai Bj độc lập

a) Gọi A biến cố chọn sản phẩm tốt sản phảm xấu Ta có: A = A0 B2 + A1B1 + A2 B0

Do tính xung khắc đôi, Công thức cộng xác suất cho ta: P(A) = P(A0 B2) + P(A1B1) + P(A2 B0)

. 3651 , 0 . 105 21 . 105 45 105 56 . 105 50 105 28 . 105 10 ) )P(B P(A ) )P(B P(A ) )P(B P(A

P(A) 0 2 1 1 2 0

b) Giả sử chọn sản phẩm tốt sản phẩm xấu Khi biến cố A xảy Do xác suất để chọn sản phẩm tốt sản phẩm xấu từ lô I trường hợp xác suất có điều kiện P(A1/A)

Theo Công thức nhân xác suất thứ hai, ta có

/A) P(A)P(A

A)

P(A1 1

Suy P(A) A) P(A /A) P(A 1

Mặt khác A1A = A1B1

Vì hai biến cố A1 B1 độc lập nên theo Cơng thức nhân thứ ta có:

. 2540 , 0 105 56 . 105 50 ) ( ) ( ) ( )

(A1A P A1B1 P A1 P B1

P

Do xác suất cần tìm là:

0,6957. 0,3651 0,2540 P(A) A) P(A /A) P(A 1

§5 CƠNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ VÀ CƠNG THỨC BAYES 5.1 Hệ biến cố đầy đủ xung khắc đôi

Các biến cố A1, A2,…, An gọi hệ biến cố đầy đủ xung khắc

đơi hai tính chất sau thỏa:

- A1 + A2 +… + An = ;

- i j n, AiAj = ,

nghĩa biến cố A1, A2,…, An xung khắc đơi thiết phải có

và biến cố Aj xảy thực phép thử

Nhận xét: Với A1, A2,…, An hệ đầy đủ xung khắc đơi ta có

Ví dụ: Có hai hộp, hộp chứa 10 viên bi, hộp I gồm bi đỏ, bi trắng; hộp II gồm đỏ, trắng.Từ hộp, chọn bi Xét biến cố sau:

- Ai (i = 0, 1,2 ) biến cố có i bi đỏ 2-i bi trắng có bi lấy từ

hoäp I

- Bj (j = 0, 1,2 ) biến cố có j bi đỏ 2-j bi trắng có bi lấy từ

hộp II

Khi ta có hệ sau hệ đầy đủ, xung khắc đôi: - A0 , A1 , A2

- B0 , B1 , B2

- A0B0 , A0B1 , A0B2 , A1B0 , A1 B1 , A1B2, A2 B0 , A2B1 , A2B2

- A0B0 , A0B1 + A1B0, A0B2 + A1B1 + A2B0 , A1B2+ A2B1 , A2B2

5.2 Công thức xác suất đầy đủ

Cho A1, A2,…, An hệ biến cố đầy đủ xung khắc đơi

Khi đó, với A biến cố bất kỳ, ta có:

n

j j

j

P(A) P(A )P(A/A ) 5.3 Công thức Bayes:

Với giả thiết 4.2, ta có với k n:

k k k k

k n

j j

j

P(A )P(A/A ) P(A )P(A/A ) P(A /A)

P(A)

P(A )P(A/A )

Ví dụ Có hai lơ hàng, lơ chứa 15 sản phẩm, lơ I gồm 10 sản phẩm tốt, sản phẩm xấu; lô II gồm sản phẩm tốt sản phẩm xấu Chọn ngẫu nhiên từ lô I sản phẩm bỏ sang lơ II, sau từ lơ II lấy sản phẩm

a) Tính xác suất để sản phẩm chọn từ lơ II có sản phẩm tốt sản phẩm xấu

b) Giả sử chọn sản phẩm tốt sản phẩm xấu từ lơ II Tính xác suất chọn sản phẩm tốt sản phẩm xấu từ lô I

Lời giải

Goïi

- A biến cố chọn sản phẩm tốt sản phẩm xấu từ lô II

- Aj (j = 0, 1, 2) biến cố có j sản phẩm tốt (2 - j) sản phẩmxấu có

Khi A0, A1, A2 hệ đầy đủ, xung khắc đơi ta có: . 105 45 ) ( ; 105 50 ) ( ; 105 10 ) ( 15 10 2 15 10 15 10 CC C CC C CC C A P A P A P

a) Yêu cầu toán tính xác suất P(A) Theo Cơng thức xác suất đầy đủ ta có:

P(A) = P(A0) P(A/A0) + P(A1) P(A/A1) + P(A2) P(A/A2)

Ta coù: 136 72 ) / ( 2 17 CC C A A P 136 70 ) / ( 136 72 ) / ( 17 10 2 17 CC C CC C A A P A A P

Suy xác suất biến cố A

5231 , 0 . 136 70 . 105 45 136 72 . 105 50 136 72 . 105 10 ) / ( ) ( ) / ( ) ( ) / ( ) ( )

(A P A0 P A A0 P A1 P A A1 P A2 P A A2

P

b) Giả sử chọn sản phẩm tốt sản phẩm xấu từ lơ II Khi biến cố A xảy Do xác suất cần tìm xác suất có điều kiện P(A1/A) p dụng Cơng thức Bayes sử dụng kết vừa tìm câu a)

0,4819. 0,5231 136 72 . 105 50 P(A) ) )P(A/A P(A /A)

P(A 1

1

§6 CƠNG THỨC BERNOULLI 6.1 Công thức Bernoulli

Tiến hành n phép thử độc lập trong những điều kiện nhau Giả sử phép thử, biến cố A xảy với xác suất p không đổi, không xảy với xác suất q = – p Khi đó, với k n, ta có Cơng thức Bernoulli tính xác suất để n phép thử, biến cố A xảy k lần là:

k k n k

n n

P (k) C p q

6.2 Hệ quả: Với giả thiết ta có:

- Xác suất để n phép thử biến cố A không xảy lần qn

- Xác suất để n phép thử biến cố A luôn xảy pn

Ví dụ Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại tốt 60% Cho máy sản xuất sản phẩm Tính xác suất để sản phẩm thu có:

a) sản phẩm tốt

b) Ít sản phẩm tốt

Lời giải

Gọi Ak (k = 0,1,…,5) biến cố có k sản phẩm tốt (5-k) sản phẩm xấu

có sản phẩm thu p dụng Cơng thức Bernoulli với n = 5, p = 0,6, q = 0,4 ta có:

k k k k n k k n

k C p q C

A

P

5(0,6) (0,4)

) (

a) Xác suất để sản phẩm thu có sản phẩm tốt là:

. 3456 , 0 ) 4 , 0 ( ) 6 , 0 ( )

( 3

5

3 C

A P

b) Xác suất để sản phẩm thu có sản phẩm tốt P(A3 + A4 + A5) Ta có:

B - ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN - PHÂN PHỐI XÁC SUẤT §1 KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

1.1 Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên đại lượng nhận giá trị thực tùy theo kết phép thử

Ta dùng kí tự: X, Y, Z,… đại lượng ngẫu nhiên Các kí tự: x, y, z,… giá trị đại lượng ngẫu nhiên

1.2 Phân loại:

a) Loại rời rạc: Là loại đại lượng ngẫu nhiên nhận hữu hạn vô hạn đếm giá trị

Ví duï: Tiến hành n thí nghiệm Gọi X số thí nghiệm thành cơng Khi X đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận n+1 giá trị 0; 1; ; n

b) Loại liên tục: Là loại đại lượng ngẫu nhiên nhận vô hạn không đếm giá trị mà thông thường giá trị lấp kín đoạn tập số thực

Ví dụ: Gọi T nhiệt độ đo địa phương Ta có T đại lượng ngẫu nhiên liên tục

1.3 Luật phân phối:

a) Trường hợp rời rạc:

Với X đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị tăng dần : x0, x1,…,xn ta lập bảng:

X x0 x1 ……… xn

P p0 p1 ……… pn

trong đó:

- pk = P(X = xk) với k = 0,1, …, n

- n k

k

p 1, nghóa p0 + p1 +…+ pn =

Ví duï: Một lơ hàng chứa 10 sản phẩm, có sản phẩm tốt sản phẩm xấu Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng sản phẩm Gọi X số sản phẩm tốt có sản phẩm chọn Tìm luật phân phối X

Lời giải

. 3 1 )

2 (

; 15

8 )

1 (

; 15

2 )

0 (

2 10

0

2 10

1

2 10

2

CC C

C C C

CC C

X P p

X P p

X P p

Vậy luật phân phối X laø

X P 2/15 8/15 1/3

b) Trường hợp liên tục:

Trường hợp X liên tục, thay cho việc liệt kê giá trị X dòng trên, ta đoạn [a;b] mà X nhận giá trị đoạn (a, b hữu hạn vơ hạn) Cịn thay cho xác suất p0, p1,…, pn ta đưa hàm mật đoä

f(x) thoả tính chất sau:

- f(x) với x [a;b]

-b

a

dx x

f ( ) 1.

- P( X ) f (x)dx.

§2.CÁC ĐẶC SỐ CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

2.1 Mode: Mode đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu Mod(X), giá trị x0 X xác định sau:

- Nếu X rời rạc x0 giá trị mà xác suất P(X = x0) lớn

trong số xác suất P(X = x)

- Nếu X liên tục x0 giá trị mà hàm mật độ f(x) đạt giá trị

lớn

Như vậy, Mod(X) giá trị tin X, tức giá trị mà X thường lấy Chú ý Mod(X) nhận nhiều giá trị khác

Ví duï: Xét lại ví dụ trên, ta có

2.2 Kỳ vọng (hay Giá trị trung bình)

1) Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu M(X), số thực xác định sau:

- Nếu X rời rạc có luật phân phối

X x0 x1 ……… xn

P p0 p1 ……… pn

thì

n

k k k

p x X

M

0

)

( , nghóa

M(X) = x0p0 + x1p1+…+ xnpn

- Nếu X liên tục với hàm mật độ f(x) có miền xác định [a;b]

b

a xf x dx

X

M( ) ( ) .

Ví duï: Xét lại ví dụ xét , ta có X có phân phối sau: X

P 2/15 8/15 1/3 Do kỳ vọng X

M(X) = 0.2/15 + 1.8/15 + 2.1/3 = 1,2

2) Tính chất: Kỳ vọng có tính chất sau:

Tính chất 1: Kỳ vọng đại lượng ngẫu nhiên hằng số đó, nghĩa là:

M(C) = C (C: Const)

Tính chất 2: Với k số ta có

M(kX) = kM(X)

Tính chất 3: M(X + Y) = M(X) + M(Y)

Tính chất 4: Với hai lượng ngẫu nhiên độc lập X Y ta có M(XY) = M(X)M(Y)

2.3 Phương sai độ lệch chuẩn

D(X) = M((X - )2)

trong = M(X) kỳ vọng X

Căn bậc hai phương sai gọi độ lệch chuẩn, kí hiệu

)

(X Vaäy

) ( )

(X D X

2) Cơng thức tính phương sai:

Từ định nghĩa phương sai ta có cơng thức khác để tính phương sai sau:

D(X) = M(X2) – [M(X)]

trong M(X2), M(X) kỳ vọng X2 X

Nhö vậy,

- Nếu X rời rạc có luật phân phối

X x0 x1 ……… xn

P p0 p1 ……… pn

thì cơng thức trở thành

n n

2 2

k k k

k

k k

D(X) x p ( x p )

- Nếu X liên tục với hàm mật độ f(x) có miền xác định [a;b]

b a b

a x f x dx xf x dx

X

D( ) ( ) ( ( ) )2

Ví dụ: Xét lại ví dụ xét trên, ta có X có phân phối sau: X

P 2/15 8/15 1/3

và kỳ vọng X M(X) = 1,2ø Suy phương sai X là:

D(X) = M(X2) – [M(X)] 2 = 02.2/15 + 12.8/15 + 22.1/3 - (1,2)2 = 32/75 0,4267

Độ lệch chuẩn X là:

. 6532 , 0 4267 , 0 )

( )

(X D X

3) Tính chất: Phương sai có tính chất sau:

Tính chất 1: Phương sai đại lượng ngẫu nhiên C 0, nghĩa là:

D(C) =

D(kX) = k2(D(X)

Tính chất 3: Với X, Y hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập ta có: D(X + Y) = D(X) + D(Y)

Chú yù: Ta sử dụng phần mềm thống kê máy tính bỏ túi CASIO 500MS, 570MS, ) để tính kỳ vọng , phương sai độ lệch chuẩn đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

Ví duï: Xét đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có phân phối sau: X

P 2/15 8/15 1/3

1) Vào MODE SD: Bấm MODE… bấm số ứng với SD, hình lên chữ SD

2) Xóa nhớ thống kê: Bấm SHIFT MODE 1(Scl) = AC Kiểm tra lại: Bấm REPLAY Up Down thấy n = góc số xóa 3) Nhập số liệu: xi; pi M+ (DATA)

0 ; (baám SHIFT ,) ab/c 15 M+

1 ; ab/c 15 M+

2 ; ab/c M+

4) Kiểm tra sửa số liệu sai:

Bấm REPLAY Down để kiểm tra việc nhập số liệu Thấy số liệu sai để hình số liệu đó, nhập số liệu bấm = số liệu thay cho số liệu cũ

Ví dụ: Nhập sai ; ab/c M+ (DATA) Khi kiểm tra ta thấy:

- x1 = (đúng)

- Freq1 = 2/5 (sai)

Sửa sau: Để hình Freq1 = 2/5, bấm ab/c 15 = nhận

được số liệu Freq1 = 2/15

Số liệu bị nhập dư để hình số liệu bấm SHIFT M+ tịan số liệu (gồm giá trị X tần số tương ứng) bị xóa

Chẳng hạn, nhập dư ; ab/c M+ (DATA) Khi kiểm tra ta thấy x

4 = (dư)

Ta để hình số liệu bấm SHIFT M+ tịan số liệu dư

(gồm giá trị X = xác suất tương ứng 1/3) bị xóa

Chú ý: Sau kiểm tra việc nhập số liệu xong, phải bấm AC để xóa hình thóat khỏi chế độ chỉnh sửa

5) Đọc kết quả:

- Bấm SHIFT 2 (x n) = ta độ lệch chuẩn (X) 0, 6532.

- Suy phương sai D(X) = [ (X)]2= (0,6532)2= 0,4267

Chú yù: Đối với máy CASIO 500A, có số thay đổi sau: Bấm MODE để vào MODE SD

Xóa nhớ thống kê cách bấm SHIFT AC = Kiểm tra lại cách bấm SHIFT thấy xóa

Khi nhập số liệu, ta thay ;

§3 PHÂN PHỐI SIÊU BỘI

3.1 Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên X gọi có phân phối siêu bội, kí hiệu X H(N, NA, n), N, NA, n số nguyên dương , < n,

NA < N, X rời rạc nhận giá trị k nguyên từ max{0; n + NA - N} đến

min{n; NA} theo Cơng thức tính xác suất lựa chọn:

C C C

n N

k n

N N k

NA A

k X P( )

3.2 Các đặc số phân phối siêu bội

Giả sử X có phân phối siêu bội X H(N, NA, n) Khi X có đặc

số sau:

a) Kỳ vọng:

N N p

ới A

v np X

M( )

b) Phương sai

p q

v N

n N npq X

D 1

1 )

( ới

Ví duï Một hộp chứa 12 bi gồm bi đỏ bi xanh Chọn ngẫu nhiên từ hộp bi Gọi X số bi đỏ có bi chọn Hãy tìm luật phân phối X xác định kỳ vọng, phương sai X

Lời giải

Ta thấy X có phân phối siêu boäi

X H(N, NA, n) với N = 12; NA = 8, n =

Do X nhận giá trị k nguyên từ max {0; 4+8-12} = đến min{4; 8} = với xác suất định bởi:

CC

Ck k

k X

P 4

12 4

) (

Từ ta tính

P(X = 3) = 224/495; P(X = 4) = 70/495 Vậy luật phân phối X là:

X

P 1/495 32/495 168/495 224/495 70/495 Kỳ vọng X

M(X) np 4. 8 2,667.

12

Phương sai X

D(X) npqN - n (1 12 - 4) 0,6465

N -1 12 12 12 -1

§4 PHÂN PHỐI NHỊ THỨC

4.1 Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên X gọi có phân phối nhị thức, kí hiệu X B(n,p), n số nguyên dương , < p < 1, X rời rạc nhận n + giá trị nguyên 0,1,…, n với xác suất tính theo theo Cơng thức Bernoulli:

. )

( k k n k

n p q

k X

P C

Trường hợp n = 1, ta cịn nói X có phân phối Bernoulli, kí hiệu X B(p)

4.2 Các đặc số phân phối nhị thức

Giả sử X có phân phối nhị thức X B(n,p) Khi X có đặc số sau:

a) Mode: Mod(X) = k, k số nguyên thỏa np – q k np – q + b) Kỳ vọng: M(X) = np

c) Phương sai: D(X) = npq

Ví duï: Một lơ hàng chứa nhiều sản phẩm, tỉ lệ sản phẩm loại tốt 60% Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng sản phẩm Gọi X số sản phẩm tốt có sản phẩm chọn Hãy tìm luật phân phối X Xác định kỳ vọng phương sai X Hỏi giá trị tin X bao nhiêu?

Lời giải

Ta thấy X có phân phối nhị thức X B(n,p) với n = 5, p = 0,6 Suy X nhận giá trị nguyên 0,1,…, với xác suất tính theo theo Cơng thức Bernoulli:

. ) 4 , 0 ( ) 6 , 0 ( )

(

5

k k

k k

n k k

n C

C p q k

X P Từ ta tính

P(X = 3) = 0,3456; P(X = 4) = 0,2592; P(X = 5) = 0,07776 Vaäy luật phân phối X là:

X

P 0,01024 0,0768 0,2304 0,3456 0,2592 0,07776 - Kỳ vọng X M(X) = np = 5.0,6 =

- Phương sai X laø D(X) = npq = 5.0,6 0,4 = 1,2

- Giá trị tin X Mod(X): Mod(X) = k với k số nguyên thỏa

np – q k np – q + 0,6 – 0,4 k 0,6 – 0,4 + 2,6 k 3,6

k = Vậy giá trị tin X laø k =

4.3 Định lý: Cho X đại lượng ngẫu nhiên có phân phối siêu bội X H(N, NA, n) Giả sử n nhỏ so với N Khi xấp xỉ X

bằng đại lượng ngẫu nhiên Y có phân phối nhị thức X Y, Y B(n,p) với p NA

N , nghóa laø:

k k n k n

P (X k) C p q (k = 0, 1, …)

Ví duï: Một lơ hàng chứa 10000 sản phẩm, có 8000 sản phẩm tốt 2000 sản phẩm xấu Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng 10 sản phẩm Tính xác suất chọn sản phẩm tốt

Lời giải

Gọi X số sản phẩm tốt có 10 sản phẩm chọn Khi X có phân phối siêu bội X H(N, NA, n) với N = 10000; NA= 8000; n =10 Vì

n = 10 nhỏ so với N = 10000 nên ta xem X có phân phối nhị thức X B(n,p) với n = 10; p = NA/N = 8000/10000 = 0,8 Do xác suất chọn

được sản phẩm tốt là:

7

10

§5 PHÂN PHỐI POISSON

5.1 Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên X gọi có phân phối Poisson, kí hiệu X P(a), số a > 0, X rời rạc nhận vô hạn đếm giá trị nguyên k = 0,1,…, với xác suất định bởi:

. ! ) ( k a e k X P k a

5.2 Các đặc số phân phối Poisson

Giả sử X có phân phối Poisson X P(a) Khi X có đặc số sau:

a) Kỳ vọng: M(X) = a b) Phương sai D(X) = a

5.3 Tính chất: Giả sử X1, X2 độc lập, có phân phối Poisson

X1 P(a1), X2 P(a2) Khi X1 + X2 có phân phối Poisson:

X1 + X2 P(a1+ a2)

5.4 Định lý Poisson: Cho X đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức X B(n,p) Giả sử n lớn p bé (thông thường p < 0,1) Khi xấp xỉ X đại lượng ngẫu nhiên Y có phân phối Poisson: X Y, Y P(a) với a = np, nghĩa là:

! ) ( k a e k X P k a

(k = 0, 1, …)

Ví duï: Một máy dệt có 1000 ống sợi Xác suất để máy hoạt động có ống sợi bị đứt 0,2% Tìm xác suất để có khơng q ống sợi bị đứt

Lời giải

Gọi X tổng số ống sợi bị đứt hoạt động máy X có phân phối nhị thức X B(n,p) với n = 1000, p = 0,002 Vì n = 1000 lớn p = 0,002 bé nên ta xem X có phân phối Poisson:

X P(a) với a = np = 1000.0,002 =

Xác suất để có khơng q ống sợi bị đứt hoạt động máy là: 6767 , ! 2 ! ! ) ( ) ( ) ( ) ( 2

2 e e

§6 PHÂN PHỐI CHUẨN

6.1 Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên X gọi có phân phối chuẩn, kí hiệu X N( , 2), , số > 0, X

liên tục có hàm mật độ xác định R định bởi:

. 2

1 )

(

2

2 ) ( ,

x

e x

f

6.2 Các đặc số phân phối chuẩn

Giả sử X có phân phối chuẩn X N( , 2) Khi X có đặc số

nhö sau:

a) Mode: Mod (X) = b) Kỳ vọng: M(X) = c) Phương sai: D(X) =

6.3 Hàm Gauss: Hàm Gauss f(x) hàm mật độ đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn tắc X N(0,1):

. 2

1 )

(

2

x

e x

f

Hàm Gauss hàm số chẵn (nghóa f(-x) = f(x)), liên tục R

Người ta lập bảng giá trị hàm Gauss, ghi giá trị f(x) đoạn [0;3,99] Khi x > 3,99, hàm Gauss giảm chậm, ta xấp xỉ:

x > 3,99, f(x) f(3,99) 0,0001

Ví dụ: Tra bảng giá trị hàm Gauss ta có: f(1,14) 0,2083;

f(-2,15) = f(2,15) 0,0396

f(-6,12) = f(6,12) f(3,99) 0,0001

6.4 Haøm Laplace

Hàm laplace (x) hàm số xác định R định bởi:

. 2

1 )

(

0

2

dt e x

x t

Hàm Laplace y = (x) hàm số lẻ (nghóa (-x) = - (x)), liên tục R

Người ta lập bảng giá trị hàm Laplace, ghi giá trị (x) đoạn [0; 5] Khi x > 5, hàm Laplace tăng chậm, ta xấp xỉ:

Ví duï: Tra bảng giá trị hàm Laplace ta có: (1,14) 0,3729;

(-2,15) = - (2,15) - 0,4842 (-6,12) = - (6,12) - (5) -0,5

6.5 Cơng thức tính xác suất phân phối chuẩn

Cho X đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn X N( , 2) Khi

đó, xác suất để X lấy giá trị thuộc [a;b] là:

b a

P(a X b) ( ) ( ) (1)

trong (x) hàm Laplace

Đặc biệt, với k > 0, ta có:

Ví dụ: Trọng lượng loại sản phẩm đại lương ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trọng lượng trung bình 50kg phương sai 100kg2 Một sản

phẩm xếp vào loại A có trọng lượng từ 45kg đến 55kg Tính tỉ lệ sản phẩm loại A loại sản phẩm

Lời giải

Gọi X trọng lượng loại sản phẩm cho Từ giả thiết ta suy X có phân phối chuẩn X N( , 2) với = 50, 2 = 100 ( = 10) Vì sản

phẩm xếp vào loại A có trọng lượng từ 45kg đến 55kg nên tỉ lệ sản phẩm loại A xác suất P(45 X 55)

Aùp dụng công thức ta có

. 383 , 0

1915 , 0 . 2

) 5 , 0 ( 2

) 5 , 0 ( ) 5 , 0 (

) 10

50 45 ( ) 10

50 55 ( ) 55 45

( X

P

(Tra bảng giá trị hàm Laplace ta (0,5) = 0,1915) Vậy tỉ lệ sản phẩm loại A 38,3%

bằng đại lượng ngẫu nhiên Y có phân phối chuẩn: X Y, Y N( ,

2) với = np, npq (q = 1-p) nghĩa là:

a) P(X k) 1 f(k ). (k = 0,1,2,…)

b) ( ) ( ) ( )

2

k k

k X k

P ( k1 < k2)

trong f(x) hàm Gauss; (x) hàm Laplace

Ví duï Sản phẩm nhà máy sản xuất đóng thành kiện, kiện gồm 10 sản phẩm, có sản phẩm tốt sản phẩm xấu Khách hàng chọn cách kiểm tra sau: Từ kiện chọn ngẫu nhiên sản phẩm; thấy có sản phẩm tốt nhận kiện đó, ngược lại loại kiện Kiểm tra 140 kiện nhiều kiện Tính xác suất để có:

a) 93 kiện nhận

b) Từ 90 đến 110 kiện nhận

Lời giải

Trước hết ta tìm xác suất để kiện nhận khách hàng kiểm tra kiện Theo giả thiết kiện chứa 10 sản phẩm gồm sản phẩm tốt sản phẩm xấu, khách hàng chọn ngẫu nhiên sản phẩm; thấy có sản phẩm tốt chọn kiện.Do theo Cơng thức tính xác suất lựa chọn ta có xác suất để kiện nhận là:

. 3 2 )

3 ( )

2 ( )

3 2

( 3

10

10

4

3

CC C CC

C P

P k

P p

Gọi X tổng số kiện hàng nhận 140 kiện kiểm tra, X có phân phối nhị thức X B(n,p) với n = 140, p = 2/3 Vì n = 140 lớn p = 2/3 không gần khơng q gần nên ta xem X có phân phối chuẩn sau:

X N( , 2)

với = np = 140.2/3 = 93,3333, npq 140.2/3.1/3 5,5777. a) Xác suất để có 93 kiện nhận là:

1 93 1 93 93, 33

P (X 93) f ( ) f ( )

5,5777 5, 5777

1 f ( 0, 06) 1 f (0, 06) 0, 3982 0, 0714.

5, 5777 5,5777 5, 5777

(Tra bảng giá trị hàm Gauss ta f(0,06) = 0,3982)

110 90

P (90 X 110) ( ) ( )

110 93,3333 90 93,3333

( ) ( )

5,5777 5,5777

(2,99) ( 0,6)

(2,99) (0,6)

0,498625 0,2257 0,724325

(Tra bảng giá trị hàm Laplace ta (2,99) = 0,498625; (0,6) = 0,2257)

BAØI TẬP

Bài 1: Có ba súng I, II III bắn độc lập vào mục tiêu Mỗi bắn viên Xác suất bắn trúng mục tiêu cuả ba I, II III 0,7; 0,8 0,5 Tính xác suất để

a) có bắn trúng b) có bắn trúng c) có bắn trúng d) bắn trúng

e) thứ ba bắn trúng biết có trúng

Bài 2: Có hai hộp I II hộp chứa 10 bi, hộp I gồm bi đỏ, bi trắng; hộp II gồm bi đỏ, bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi

a) Tính xác suất để bi đỏ

b) Tính xác suất để bi đỏ bi trắng c) Tính xác suất để bi đỏ bi trắng

d) Giả sử lấy bi đỏ bi trắng Hãy tìm xác suất để bi trắng có hộp I

Bài 3: Một lô hàng chứa 10 sản phẩm gồm sản phẩm tốt sản phẩm xấu Khách hàng kiểm tra cách lấy sản phẩm sản phẩm tốt dừng lại

a) Tính xác suất để khách hàng dừng lại lần kiểm tra thứ b) Tính xác suất để khách hàng dừng lại lần kiểm tra thứ

b) Giả sử khách hàng dừng lại lần kiểm tra thứ Tính xác suất để lần kiểm tra thứ khách hàng gặp sản phẩm xấu

a) bi trắng, bi xanh bi đỏ b) khơng có bi trắng rút

Bài 5: Sản phẩm X bán thị trường nhà máy gồm ba phân xưởng I, II III sản xuất, phân xưởng I chiếm 30%; phân xưởng II chiếm 45% phân xưởng III chiếm 25% Tỉ lệ sản phẩm loại A ba phân xưởng I, II III sản xuất 70%, 50% 90%

a) Tính tỉ lệ sản phẩm lọai A nói chung nhà máy sản xuất

b) Chọn mua ngẫu nhiên sản phẩm X thị trường Giả sử mua sản phẩm loại A Theo bạn, sản phẩm có khả phân xưởng sản xuất nhiều nhất?

c) Chọn mua ngẫu nhiên 121 sản phẩm X (trong nhiều sản phẩm X) thị trường

1) Tính xác suất để có 80 sản phẩm loại A

2) Tính xác suất để có từ 80 đến 85 sản phẩm loại A

Bài 6: Có ba cửa hàng I, II III kinh doanh sản phẩm Y Tỉ lệ sản phẩm loại A ba cửa hàng I, II III 70%, 75% 50% Một khách hàng chọn nhẫu nhiên cửa hàng từ mua sản phẩm

a) Tính xác suất để khách hàng mua sản phẩm loại A

b) Giả sử mua sản phẩm loại A Theo bạn, khả người khách hàng chọn cửa hàng nhiều nhất?

Bài 7: Có hai hộp I II hộp chứa 12 bi, hộp I gồm bi đỏ, bi trắng; hộp II gồm bi đỏ, bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ hộp I ba bi bỏ sang hộp II; sau lấy ngẫu nhiên từ hộp II bốn bi

a) Tính xác suất để lấy ba bi đỏ bi trắng từ hộp II

b) Giả sử lấy ba bi đỏ bi trắng từ hộp II Tìm xác suất để ba bi lấy từ hộp I có hai bi đỏ bi trắng

Bài 8: Có ba hộp hộp đựng viên bi hộp thứ có bi trắng, bi đen; hộp thứ hai có bi trắng, bi đen; hộp thứ ba có bi trắng, bi đen a) Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi

1) Tính xác suất để bi trắng 2) Tính xác suất bi đen, bi trắng

3) Giả sử viên lấy có bi trắng.Tính xác suất để bi trắng hộp thứ

b) Chọn ngẫu nhiên hộp từ hộp lấy ngẫu nhiên bi Tính xác suất bi đen

Tỉ lệ phế phẩm xí nghiệp 2%, 4% 5% Lấy ngẫu nhiên hộp chọn ngẫu nhiên sản phẩm từ hộp

a) Tính xác suất để sản phẩm chọn có phế phẩm

b) Giả sử sản phẩm chọn có phế phẩåm Tính xác suất để phế phẩm xí nghiệp I

Bài 10: Có 10 sinh viên thi, có thuộc lọai giỏi, trung bình Trong số 20 câu hỏi thi qui định sinh viên lọai giỏi trả lời tất cả, sinh viên trả lời 16 câu cịn sinh viên trung bình 10 câu Gọi ngẫu nhiên sinh viên phát phiếu thi gồm câu hỏi trả lời câu hỏi Tính xác suất để sinh viên thuộc lọai

Bài 11: Có hai hộp I II, hộp I chứa 10 bi trắng bi đen; hộp II chứa bi trắng bi đen Từ hộp rút ngẫu nhiên bi bỏ đi, sau bỏ tất bi lại hai hộp vào hộp III (rỗng) Lấy ngẫu nhiên bi từ hộp III Tính xác suất để bi lấy hộp III có trắng, đen

Bài 12: Có hai hộp cỡ Hộp thứ chứa bi trắng bi xanh, hộp thứ hai chứa bi trắng bi xanh Chọn ngẫu nhiên hộp từ hộp lấy bi bi trắng Tính xác suất để viên bi lấy từ hộp lại bi trắng

Bài 13 : Một lô hàng gồm a sản phẩm loại I b sản phẩm loại II đóng gới để gửi cho khách hàng Nơi nhận kiểm tra lại thấy thất lạc sản phẩm Chọn ngẫu nhiên sản phẩm thấy sản phẩm loại I Tính xác suất để sản phẩm thất lạc thuộc loại I

Bài 14: Có hộp phấn, hộp I chứa 15 viên tốt viên xấu, hộp II chứa 10 viên tốt viên xấu, hộp III chứa 20 viên tốt 10 viên xấu Ta gieo xúc xắc cân đối Nếu thấy xuất mặt chấm ta chọn hộp I; xuất mặt chấm chọn hộp II, cịn xuất mặt cịn lại chọn hộp III Từ hộp chọn lấy ngẫu nhiên viên phấn Tìm xác suất để lấy viên tốt

Bài 15: Có hai kiện hàng I II Kiện thứ chứa 10 sản phẩm, có sản phẩm loại A Kiện thứ hai chứa 20 sản phẩm, có sản phẩm loại A Lấy từ kiện sản phẩm Sau đó, sản phẩm thu chọn ngẫu nhiên sản phẩm Tính xác suất để sản phẩm chọn sau có sản phẩm loại A

a) Tính xác suất để mục tiêu bị diệt

b) Giả sử mục tiêu bị diệt Tính xác suất có 10 viên trúng

Bài 17: Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại A 60% Một lô hàng gồm 10 sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại A 60% Cho máy sản xuất sản phẩm từ lô hàng lấy sản phẩm

a) Tính xác suất để số sản phẩm loại A có sản phẩm máy sản xuất số sản phẩm loại A có sản phẩm lấy từ lô hàng

b) Giả sử sản phẩm thu có sản phẩm loại A Tính xác suất để sản phẩm loại A máy sản xuất

Bài 18: Nước giải khát chở từ Sài Gòn Vũng Tàu Mỗi xe chở 1000 chai bia Sài Gòn, 2000 chai coca 800 chai nước trái Xác suất để chai loại bị bể đường tương ứng 0,2%; 0,11% 0,3% Nếu không chai bị bể lái xe thưởng

a) Tính xác suất có chai bia Sài Gịn bị bể b) Tính xác suất để lái xe thưởng

c) Lái xe phải chở chuyến để xác suất có chuyến thưởng không nhỏ 0,9?

Bài 19: Một máy tính gồm 1000 linh kiện A, 800 linh kiện B 2000 linh kiện C Xácsuất hỏng ba linh kiện 0,02%; 0,0125% 0,005% Máy tính ngưng hoạt động số linh kiện hỏng nhiều Các linh kiện hỏng độc lập với

a) Tính xácsuất để có linh kiện B bị hỏng b) Tính xác suất để máy tính ngưng hoạt động

c) Giả sử máy có linh kiện hỏng Tính xác suất để máy tính ngưng hoạt động

Bài 20: Trọng lượng loại sản phẩm quan sát đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 50kg phương sai 100kg2

Những sản phẩm có trọng lượng từ 45kg đến 70kg xếp vào loại A Chọn ngẫu nhiên 100 sản phẩm (trong nhiều sản phẩm) Tính xác suất để

a) có 70 sản phẩm loại A b) có khơng q 60 sản phẩm loại A c) có 65 sản phẩm loại A

Bài 21: Sản phẩm nhà máy đóng thành kiện, kiện gồm 14 sản phẩm có sản phẩm loại A sản phẩm loại B Khách hàng chọn cách kiểm tra sau: từ kiện lấy sản phẩm; thấy số sản phẩm thuộc loại A nhiều số sản phẩm thuộc loại B nhận kiện đó; ngược lại loại kiện Kiểm tra 100 kiện (trong nhiều kiện) Tính xác suất để

b) có từ 40 đến 45 kiện nhận c) có 42 kiện nhận

Bài 22: Sản phẩm nhà máy đóng thành kiện, kiện gồm 10 sản phẩm Số sản phẩm loại A hộp X có phân phối sau:

X

P 0.9 0.1

Khách hàng chọn cách kiểm tra sau: từ kiện lấy sản phẩm; thấy sản phẩm loại A nhận kiện đó; ngược lại loại kiện Kiểm tra 144 kiện (trong nhiều kiện)

a)Tính xác suất để có 53 kiện nhận

b)Tính xác suất để có từ 52 đến 56 kiện nhận

c) Phải kiểm tra kiện để xác suất có kiện nhận không nhỏ 95%?

Bài 23: Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn 80% máy khác sản xuất loại sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn 60% Chọn ngẫu nhiên máy cho sản xuất 100 sản phẩm Tính xác suất để

a) có 70 sản phẩm đạt tiêu chuẩn

b) có từ 70 đến 90 sản phẩm đạt tiêu chuẩn c) có khơng 70 sản phẩm đạt tiêu chuẩn

Bài 24: Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm 1% máy khác sản xuất loại sản phẩm nầy với tỉ lệ phế phẩm 2% Chọn ngẫu nhiên máy cho sản xuất 1000 sản phẩm Tính xác suất để

a)có 14 phế phẩm

b)có từ 14 đến 20 phế phẩm

Bài 25: Một xí nghiệp có hai máy I II Trong ngày hội thi, công nhân dự thi phân máy với máy sản xuất 100 sản phẩm Nếu số sản phẩm loại A khơng 70 cơng nhân thưởng Giả sử công nhân X, xác suất sản xuất sản phẩm loại A với máy I II 0.6 0,7

a) Tính xác suất để cơng nhân X thưởng

b) Giả sử công nhân X dự thi 50 lần Số lần thưởng tin bao nhiêu?

lên trúng bia thưởng Giả sử chiến sĩ A, xác suất bắn viên trúng bia súng loại I 60% súng loại II 50%

a) Tính xác suất để chiến sĩ A thưởng

b) Giả sử chiến sĩ A dự thi 10 lần Hỏi số lần thưởng tin bao nhiêu?

c) Chiến sĩ A phải tham gia hội thi lần để xác suất có lần thưởng không nhỏ 98%?

Bài 27: Một người thợ săn bắn viên đạn Biết xác suất trúng đích viên đạn bắn 0,8 Gọi X đại lượng ngẫu nhiên số viên đạn trúng đích

a) Tìm luật phân phối X

b) Tìm kỳ vọng phương sai X

Bài 28: Có hai lơ hàng I II, lô chứa nhiều sản phẩm Tỉ lệ sản phẩm loại A có hai lô I II 70% 80% Lấy ngẫu nhiên từ lô sản phẩm

a) Tính xác suất để số sản phẩm loại A lấy từ lô I lớn số sản phẩm loại A lấy từ lô II

b) Gọi X số sản phẩm loại A có sản phẩm lấy Tìm kỳ vọng phương sai X

Bài 29: Cho hai hộp I II, hộp có 10 bi; hộp I gồm bi đỏ, bi trắng hộp II gồm bi đỏ, bi trắng Rút ngẫu nhiên từ hộp hai bi a) Tính xác suất để hai bi đỏ hai bi trắng

b) Gọi X đại lượng ngẫu nhiên số bi đỏ có bi rút Tìm luật phân phối X

Bài 30: Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm 10% Một lô hàng gồm 10 sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm 30% Cho máy sản xuất sản phẩm từ lô hàng lấy sản phẩm Gọi X số sản phẩm tốt có sản phẩm a) Tìm luật phân phối X

b) Không dùng luật phân phối X, tính M(X), D(X)

Bài 31: Cho hai hộp I II, hộp có 10 bi; hộp I gồm bi đỏ, bi trắng hộp II gồm bi đỏ, bi trắng Rút ngẫu nhiên từ hộp I hai bi bỏ sang hộp II, sau rút ngẫu nhiên từ hộp II ba bi

a) Tính xác suất để ba bi trắng

b) Gọi X đại lượng ngẫu nhiên số bi trắng có ba bi rút từ hộp II Tìm luật phân phối X Xác định kỳ vọng phương sai X

a) Chọn ngẫu nhiên lô từ lơ lấy sản phẩm Tính xác suất để sản phẩm lấy có sản phẩm loại A

b) Từ lô lấy sản phẩm Gọi X tổng số sản phẩm loại A có sản phẩm lấy Tìm luật phân phối X tính Mod(X), M(X), D(X) Bài 33: Một người thợ săn có viên đạn Người săn với nguyên tắc: bắn trúng mục tiêu ngay, khơng săn Biết xác suất trúng đích viên đạn bắn 0,8 Gọi X đại lượng ngẫu nhiên số viên đạn người sử dụng săn

a) Tìm luật phân phối X

b) Tìm kỳ vọng phương sai cuûa X