Bài soạn Khai thác từ một bài toán

tích lũy: Khai thác từ một bài toán Hình thành các bài toán mới từ một bài toán cơ bản 1) từ dễ đến khó, tuy xa mà gần! Bài toán A( dễ): Cmr: m 2 - mn + n 2 0 với mọi n, m. H ớng dẫn : m 2 - mn + n 2 = (m 2 - mn + 2 4 n ) + 2 3 4 n = 2 2 3 0 2 4 n n m + ữ . Nhận ra rằng nếu cho m = x - 1; n = 1 - y thì có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 0x x y y + 2 2 2 1 1 1 2 0x x x xy y y y + + + + + 2 2 3 3 3 0x y xy x y+ + + Ta đến với bài toán 1: Bài toán 1: Cmr: 2 2 3 3 3 0x y xy x y+ + + Và nếu cho m = x - 2, n = 1 - y thì ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 0x x y y + 2 2 4 4 2 2 1 2 0x x x xy y y y + + + + + 2 2 5 4 7 0x y xy x y+ + + Ta đến với bài toán 2: Bài toán 2: Cmr: 2 2 5 4 7 0x y xy x y+ + + Tiếp tục cho m = a, n = -b thì ta có a 2 - a(-b) + (-b) 2 0 a 2 + ab + b 2 0 Mà (a - b) 2 0 với mọi a, b Do đó (a 2 + ab + b 2 )(a - b) 2 0 ( ) ( ) ( ) 2 2 0a ab b a b a b + + ( ) ( ) 3 3 0a b a b 4 3 3 4 0a a b ab b + 4 4 3 3 a b a b ab+ + Ta đến với bài toán 3: Bài toán 3: Cmr: 4 4 3 3 a b a b ab+ + với mọi a, b. Từ bài toán 3 nếu cho a = x 2 , b = y 2 và x, y khác 0, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 3 3 2 2 2 2 2 2 x y x y x y+ + 8 8 6 2 2 6 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y x y x y x y + + 6 6 4 4 2 2 x y x y y x + + Cho ta bài toán: Bài toán 4: Chứng tỏ rằng với x, y khác 0, BĐT sau đúng x 4 + y 4 < 6 6 2 2 x y y x + . ZZZ 2) Về một bài toán (Lớp 6) Nguyễn Trọng Hiếu 1 tích lũy: Khai thác từ một bài toán A/*Ta đi từ bài toán: Bài toán cơ bản: Tìm số tự nhiên k để 3.k là số nguyên tố. Lời giải: * Với k = 0 thì 3.k = 0 không là số nguyên tố. * Với k = 1 thì 3.k = 3 là số nguyên tố. * Với k 2 thì 3.k là hợp số vì ngoài các ớc là 1 và chính nó số 3.k còn có ớc là 3. Dễ thấy rằng thay số nguyên tố 3 bởi các số nguyên tố khác bất kì, ta có các bài toán mới. Chẳng hạn: Bài 1: Tìm tất cả các số tự nhiên k để: a) 17k là số nguyên tố; b) 101k là số nguyên tố. Từ lời giải bài toán, ta còn có các bài toán sau: Bài 2: Tìm số tự nhiên k để 3.k là: a) Hợp số; b) Không là số nguyên tố. Thay k bởi n - 15 cho ta bài toán Bài 3: Tìm số tự nhiên n để 7(n - 15) là số nguyên tố. Còn nếu để ý đến: Với x, y N, ta có: 3 - x = 1 thì x = 3 - 1 = 2, 3 - x là số nguyên tố thì 3 - x = 2; 3 nên x = 1; 0 và 7 - y là số nguyên tố thì 7 - y = 2; 3; 5; 7 nên y = 5; 4; 2; 0. Cho ta bài toán Hay và Khó sau: Bài 4: Tìm các số tự nhiên x, y để (3 - x).(7 - y) là số nguyên tố. B/*Ta đi từ bài toán: Bài toán cơ bản: Tổng sau có chia hết cho 3 không? A = 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 + 2 10 . Lời giải: A = (2 + 2 2 ) + (2 3 + 2 4 ) + (2 5 + 2 6 ) + (2 7 + 2 8 ) + (2 9 + 2 10 ) = 2(1 + 2) + 2 3 (1 + 2) + 2 5 (1 + 2) + 2 7 (1 + 2) + 2 9 (1 + 2) = 2.3 + 2 3 . 3 + 2 5 .3 + 2 7 .3 + 2 9 .3 Vậy A chia hết cho 3. Từ lời giải bài toán, ta còn có các bài toán sau: Bài 1: Tổng sau có chia hết cho 3 không? a) A = 2 + 2 2 ; b) B = 2 + 2 2 + 2 3 . Giải: a) A = 2(1 + 2) = 2.3 Vậy A chia hết cho 3. b) B = 2 + 2 2 (1 + 2) = 2 + 2 2 .3 Do 2 2 .3 chia hết cho 3, còn 2 không chia hết cho 3 nên B không chia hết cho 3. Bài 2: Chứng tỏ rằng C = 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + + 2 2002 chia hết cho 3. Giải: C = (2 + 2 2 ) + (2 3 + 2 4 ) + + (2 2001 + 2 2002 ) = 2(1 + 2) + 2 3 (1 + 2) + + 2 2001 (1 + 2) = 2.3 + 2 3 . 3 + + 2 2001 . 3 Nguyễn Trọng Hiếu 2 tích lũy: Khai thác từ một bài toán Vậy C chia hết cho 3. Từ lời giải các bài toán, ta có thể đề xuất bài toán tổng quát: Bài toán tổng quát 1: Chứng tỏ rằng a) S 1 = 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + + 2 2k chia hết cho 3 với k N * b) S 2 = 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + + 2 2k + 1 không chia hết cho 3 với k N * (Chứng minh tổng quát nh bài toán 1) Bài toán tổng quát 2: Tìm điều kiện của số tự nhiên n 0 để tổng A = 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + + 2 2n chia hết cho 3. Chứng minh đợc chia ra hai trờng hợp là n N * , n chẵn và n N * , n lẻ. Vậy với n là số tự nhiên chẵn khác không thì A chia hết cho 3. C/*Ta đi từ bài toán SGK: Bài toán cơ bản: Tính tổng sau 1 + 2 + 3 + + 98 + 99 + 100 Lời giải: 1 + 2 + 3 + + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + + (50 + 51) = 101 101 . 101+ + + 1 4 44 2 4 4 43 = 101.50 = 5050 Lời giải trên cũng là lời giải của nhà toán học Đức Gau-Xơ (Gauss; 1777-1855) lúc lên 7 tuổi. Ghép 1 + 2 = 3; 3 + 4 = 7; 5 + 6 = 11; ; 99 + 100 = 199. Cho ta bài toán1: Bài 1: Cho biết 1 + 2 + 3 + 4 + + 99 + 100 = 5050. Hãy tính nhanh tổng sau: 3 + 7 + 11 ++ 199. Và nh vậy ta đề xuất đợc nhiều bài toán tơng tự bài toán 1. Và ta có bài toán ngợc Bài 2: Tìm x N biết rằng: 1 + 2 + 3 + 4 + + x = 5050. D/*Ta đi từ bài toán: Bài toán cơ bản: Chứng tỏ rằng: a) Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3; b) Tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho 4. Đây là bài toán khó chỉ dành cho Hs giỏi. Lời giải bài toán này nh sau: a) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là a; a + 1; a + 2 (a N) Ta có: a + (a + 1) + (a + 2) = 3a + 3 chia hết cho 3. b) Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là a; a + 1; a + 2; a + 3 (a N) Ta có: a + (a + 1) + (a + 2) + (a + 3) = 4a + 6 không chia hết cho 4. Nh vậy ta có bài toán Hơn một chút Bài 1: Chứng tỏ rằng: a) Tổng của năm số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 5; b) Tổng của sáu số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho 6. Và và từ ý tởng nh vậy ta đề xuất giải bài toán tổng quát: Bài toán tổng quát: Chứng tỏ rằng: a) Tổng của n số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho n, nếu n lẻ. b) Tổng của n số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho n, nếu n chẵn. Lời giải: Gọi n số tự nhiên liên tiếp là: a; a + 1; ; a + n - 1 Nguyễn Trọng Hiếu 3 50 Số hạng tích lũy: Khai thác từ một bài toán Ta có: a + (a + 1) + (a + 2) + + (a + n -1) = ( ) ( ) . 0 1 2 3 . 1a a a a n+ + + + + + + + + + 1 4 44 2 4 4 43 = ( ) ( ) . 0 1 . : 2 . 1 : 2 .n a n n n a n n+ + = + a) Nếu n lẻ thì n - 1 chẵn nên (n - 1): 2 là số tự nhiên, do đó ( ) . 1 : 2 .n a n n+ chia hết cho n. b) Nếu n chẵn thì n - 1 lẻ nên (n - 1): 2 không là số tự nhiên, do đó ( ) . 1 : 2 .n a n n+ không chia hết cho n. E/*Ta đi từ bài toán: Bài 1: Chứng tỏ rằng 12 1 30 2 n n + + là phân số tối giản (n N) Gợi ý: Vì n N nên muốn chứng tỏ 12 1 30 2 n n + + là phân số tối giản thì cần chứng tỏ 12n + 1 và 30n + 2 là hai số nguyên tố cùng nhau. Lời giải: Gọi d là ớc chung lớn nhất của 12n + 1 và 30n + 2. Ta có: (12n + 1) M d và (30n + 2) M d. Do đó 5(12n + 1) - 2(30n + 2) = 1 M d. Vậy d = 1 nên 12n + 1 và 30n + 2 nguyên tố cùng nhau. Do đó 12 1 30 2 n n + + là phân số tối giản. Từ đây ta cũng có lời giải cho các bài toán cùng dạng sau: Bài 2: Chứng tỏ rằng 14 3 21 4 n n + + là phân số tối giản (n N) Bài 3: Chứng tỏ rằng 18 5 24 7 n n + + là phân số tối giản (n N) Thật ra nếu chỉ cần tìm đợc các số tự nhiên a, b, c, d, e, g sao cho ( ) ( ) 1a bn c d en g+ + = tức là ab = de, 1ac dg = thì chúng ta sẽ có bn c en g + + và en g bn c + + là các phân số tối giản (với n N). F/*Ta đi từ bài toán: Bài 1: Tìm các số tự nhiên a sao cho a chia hết cho 15 và 0 < a 40. Lời giải: a M 15 a = 15k (k N) mà 0 < a 40 0 < 15k 40 k = 1, 2. Vậy a = 15; a = 30. Mở rộng số các số chia trong phép chia cùng với việc khai thác về số tự nhiên a ta có bài toán: Bài 2: Tìm các số tự nhiên a nhỏ nhất có 3 chữ số biết rằng nó chia hết cho 5 và 12. Nguyễn Trọng Hiếu 4 n số hạng tích lũy: Khai thác từ một bài toán Lời giải: a M 5; a M 12 a BC (5,12) mà (5,12) = 1 a = 60k (k N). Vì a là số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số nên 60k > 100 và k nhỏ nhất k = 2. Vậy a = 120. Khai thác bài toán 1 và bài toán 2 về số d ta có bài toán: Bài 3: Tìm các số tự nhiên a nhỏ nhất biết rằng khi chia nó cho 2, 3, 4 ta đợc số d lần lợt là: 1, 2, 3. Lời giải: Vì a chia cho 2, 3, 4 có số d lần lợt là 1, 2, 3 nên a + 1 chia hết cho 2, 3, 4 a + 1 BC (2, 3, 4) mà BCNN (2, 3, 4) = 12 a + 1 = 12k (k N * ).Vì a nhỏ nhất k = 1 nên a + 1 = 12 a = 11. Thay đổi hình thức yêu cầu của bài toán 3, nâng cao sự đa dạng của các số d trong các phép chia ta đợc bài toán: Bài 4: Một số tự nhiên a khi chia cho 4 d 3, chia cho 17 d 9, chia cho 19 d 13. Hỏi khi chia a cho 1292 thì có số d là bao nhiêu? Lời giải: Vì a chia cho 4 d 3, chia cho 17 d 9, chia cho 19 d 13 nên a + 25 chia hết cho 4, 17, 19 a + 25 BC (4, 17, 19) mà (4, 17, 19) = 1 a + 25 = 4.14.17k (k N * ). a = 1292k - 25 a = 1292(k - 1) + 1267 .Vậy a chia cho 1292 thì có số d là 1267. Tiếp tục nâng cao hơn nữa sự đa dạng trong các phép chia ta có bài toán: Bài 5:Tìm số con vịt (tìm x) biết x chia cho 3 d 1; x chia cho 5 d 4; x chia hết cho 7. Biết số vịt cha đến 200 con. Lời giải: x chia cho 3 d 1; x chia cho 5 d 4; x chia hết cho 7 nên x + 56 chia hết cho 357 x + 56 = 105k (k N) vì x < 200 105k - 56 < 200 105k < 256 k = 1, 2 (Theo cách hiểu của dân gian thì số vịt phải gần 200 con nên loại k = 1) Vậy số vịt cần tìm là 154 con. Tới đây ta có thể đa ra tổng quát sau: Cho a chia m d r 1 , a chia cho n d r 2 , a chia cho p d r 3 a - r 1 M m; a - r 2 M n; a - r 3 M p Ta phải tìm số tự nhiên t sao cho r 1 + t M m; r 2 + t M n; r 3 + t M p. Khi đó a - r 1 + (r 1 + t) M m; a - r 2 + (r 2 + t) M n; a - r 3 + (r 3 + t) M p a + t BC (m, n, p). Rõ ràng ở bài toán 1, 2 ta tìm đợc t = 0; còn ở bài toán 3: t = 1; bài toán 4: t = 25; bài toán 5: t = 56. Vậy trong các bài toán sau: Bài 1: Tìm a N biết a M 5, a : 7 d 2, a : 9 d 4 và 600 < a < 700. Bài 2: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất biết a) a : 2 d 1, a : 3 d 1, a : 5 d 4. b) a : 2 d 1, a : 3 d 2, a : 5 d 4 , a M 7. Thì t bằng bao nhiêu từ đó rút ra phơng hớng tổng quát về cách tính t nhanh chóng nh thế nào? ZZZ 3) Về một bài toán (Lớp 7) A/*Ta đi từ bài toán: Viết các số 2 27 và 3 18 dới dạng các lũy thừa có số mũ là 9. Tìm tòi lời giải Nguyễn Trọng Hiếu 5 tích lũy: Khai thác từ một bài toán Ta đã biết (x m ) n = x m.n và nh vậy cho ta nghĩ đến 27 = 3.9; 18 = 2.9. Giúp ta đến với lời giải bài toán. Giải: 2 27 = 2 3.9 =(2 3 ) 9 = 8 9 ; 3 18 = 3 2.9 = (3 2 ) 9 = 9 9 . Đến đây ta có thể nhận ra bài toán tổng quát của bài toán trên. Bài 1: Viết các số 3 2n và 2 3n dới dạng các lũy thừa có số mũ là n (Với n * N ) Thay 3 và 2 ở bài toán bởi 4 và 5 cho ta bài 2. Bài 2: Viết các số 4 45 và 5 36 dới dạng các lũy thừa có số mũ là 9; Cũng có Bài 3: Viết các số 4 5n và 5 4n dới dạng các lũy thừa có số mũ là n (Với n * N ). Hơn nữa, ta còn có 8 9 < 9 9 . Do đó 2 27 < 3 18 . Giúp ta có bài toán mới Bài 4: Trong hai số 2 27 và 3 18 , số nào lớn hơn? (SGK - 7) Còn với n N thì sẽ nh thế nào? Ta nhận ra rằng 2 3n = 3 2n nếu n = 0 và 2 3n < 3 2n , nếu n 0, giúp ta đến với bài toán Hay và Khó hơn sau Bài 5: Cho n N, so sánh 2 3n và 3 2n . Ta còn có (-2) a = 2 a (nếu a chẵn), (-3) b = 3 b (nếu b chẵn). Do vậy, ta có bài toán mới Bài 6: So sánh (-2) 300 và (-3) 200 . Ta cũng có bài toán hơn chút nữa Bài 7: So sánh (-2) 6n và (-3) 4n (với n N). B/*Ta đi từ bài toán: Thu gọn đa thức sau: Q = 2x 4 y 2 7x 3 y 5 + 2x 3 y 5 - 1 2 x 4 y 2 + 5x 3 y 5 . Đây là một bài toán dễ đối với Hs lớp 7. Kết quả là Q = 3 2 x 4 y 2 . Ta nhận ra rằng bậc của đa thức Q là 6. Giúp ta có bài toán mới Bài toán 1: Cho đa thức Q = 2x 4 y 2 7x 3 y 5 + 2x 3 y 5 - 1 2 x 4 y 2 + 5x 3 y 5 . Thu gọn đa thức và tìm bậc của đa thức Q. Và và nh vậy ta cũng có bài tập trắc nghiệm: Bài toán 2: Chọn câu trả lời đúng. Bậc của đa thức 2x 4 y 2 7x 3 y 5 + 2x 3 y 5 - 1 2 x 4 y 2 + 5x 3 y 5 là: A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 Mà 3 2 x 4 y 2 0 với mọi x, y, từ đó ta có bài toán Hay và Khó sau: Bài toán 3: Chứng tỏ đa thức Q không âm với mọi x, y. Biết rằng: Q = 2x 4 y 2 7x 3 y 5 + 2x 3 y 5 - 1 2 x 4 y 2 + 5x 3 y 5 . Ta nhận ra rằng nếu Nguyễn Trọng Hiếu 6 tích lũy: Khai thác từ một bài toán A = 2x 4 y 2 7x 3 y 5 ; B = 2x 3 y 5 - 1 2 x 4 y 2 ; C = 5x 3 y 5 thì Q = A + B + C = 3 2 x 4 y 2 . Từ đó cho ta bài toán mới sau: Bài toán 4: Cho A = 2x 4 y 2 7x 3 y 5 ; B = 2x 3 y 5 - 1 2 x 4 y 2 ; Q = 3 2 x 4 y 2 . Tìm đa thức C cho biết A + B + C = Q. Bài toán 5: Cho A = 2x 4 y 2 7x 3 y 5 ; C = 5x 3 y 5 ; Q = 3 2 x 4 y 2 . Tìm đa thức B cho biết A + B + C = Q. Bài toán 6: Cho B = 2x 3 y 5 - 1 2 x 4 y 2 ; C = 5x 3 y 5 ; Q = 3 2 x 4 y 2 . Tìm đa thức A cho biết A + B + C = Q. Hơn nữa vì 3 2 x 4 y 2 0 do đó A + B + C 0, do đó A, B, C có ít nhất một số không âm. Cho ta bài toán mới sau: Bài toán 7: Cho các đa thức sau: A = 2x 4 y 2 7x 3 y 5 ; B = 2x 3 y 5 - 1 2 x 4 y 2 ; C = 5x 3 y 5 . Chứng tỏ rằng A, B, C có ít nhất một đa thức có giá trị không âm với mọi giá trị của x, y. C/*Ta đi từ bài toán: Chứng tỏ rằng nếu a + b + c = 0 thì x = 1 là một nghiệm của đa thức ax 2 + bx + c Lời giải: Ta có a.1 2 + b.1 + c = a + b + c = 0 Vậy x = 1 là một nghiệm của đa thức ax 2 + bx + c. Và nếu đặt f(x) = ax 2 + bx + c ta có f(-1) = a - b + c; f(2) = 4a + 2b + c; f(-2) = 4a - 2b + c. Giúp ta có đợc các bài toán mới. Bài toán 1: Chứng tỏ rằng nếu a - b + c thì x = -1 là một nghiệm của đa thức ax 2 + bx + c Bài toán 2: Chứng minh rằng nếu 4a + 2b + c = 0 thì đa thức f(x) = ax 2 + bx + c có một nghiệm bằng 2. Bài toán 3: Chứng minh rằng nếu 4a - 2b + c = 0 thì đa thức f(x) = ax 2 + bx + c có một nghiệm bằng -2. Mở rộng kết quả của bài toán, ta có bài toán tổng quát sau: Bài toán 4: Chứng tỏ rằng nếu a n + a n-1 + + a 0 = 0 thì x = 1 là một nghiệm của đa thức a n x n + a n-1 x n-1 + + a 1 x + a 0 Ta còn có f(1) = f(-1) a + b + c = a - b + c b = 0 Giúp ta đến với bài toán sau: Bài toán 5: Cho đa thức f(x) = ax 2 + bx + c và f(1) = f(-1). Tìm b. Nguyễn Trọng Hiếu 7 tích lũy: Khai thác từ một bài toán Bài toán 6: Cho đa thức f(x) = ax 2 + bx + c và f(1) = f(-1). Chứng tỏ rằng f(x) = f(-x) với mọi x. Bài toán 7: Cho đa thức f(x) = ax 2 + bx + c và f(1) = f(-1); f(1996) = -2004. Tính f(-1996) ZZZ 4) về một Bài toán (Lớp 8) A/*Ta đi từ bài toán: Bài toán 1: Cho các số dơng a, b, c có a + b + c = 1. Cmr: 1 1 1 9 a b c + + Có thể giải: Vế trái (a + b + c) 1 1 1 a b c + + ữ . Và a, b, c là các số dơng suy ra (a + b + c) 3 3 abc (1), 3 1 1 1 1 3 a b c abc + + (2)(Theo theo BĐT Cosi) Nhân (1) với (2) ta đợc 1 1 1 9 a b c + + . Từ đây Ta có thể hình thành các bài toán sau: Bài toán 2: (Mở rộng các số a, b, c) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1. Cmr: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 1 1 1 9 3 3a b c b a b a c c a b a c + + + + + + + + H ớng dẫn : Đặt x = a 3 + b 3 + c 3 , y = 3b(a + b)(a + c), z = 3c(a + b)(a + c) Ta có x + y + z = (a + b + c) 3 = 1. Bài toán trở về bài toán 1 Từ cách giải ở bài toán 1 ta thấy rằng Tích của tổng ba số với tổng nghịch đảo của chúng 9.Từ đây ta hình thành bài toán mới: Bài toán 3: Cmr nếu a > b > c > 0 thì ( ) 1 1 1 2 2 9a c a b b c a c + + ữ H ớng dẫn : Vì a > b > c > 0 suy ra 0, 0, 0a b b c a c . Ta có 2 2a c a b b c a c = + + Từ đó ta đa về bài toán 1. Tơng tự nếu thay đổi điều kiện cho bài toán ta có bài toán mới nữa: Bài toán 4: Cho a, b, c > 0. Cmr: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 9 3 3 3 a b c b c a c a b a b c + + + + + + + ữ ữ ữ ữ H ớng dẫn : Ta biến đổi 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 a b c b c a c a b a b c + + + + + = + + ữ ữ ữ Ta đa về bài toán 1. Nguyễn Trọng Hiếu 8 tích lũy: Khai thác từ một bài toán Nếu giữ nguyên điều kiện của a, b, c thay đổi điều kiện a + b + c = 1 thì BĐT của bài toán 1 có xảy ra không. Từ đó ta có bài toán: Bài toán 5: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác và a + b + c = 2p. Cmr: 2 2 2 9 p p p a b c b c a a c b + + + + + H ớng dẫn : Đặt a + b - c = x, b + c - a = y, a + c - b = z. Ta có x + y + x = a + b + c = 2p. Ta đ- a về bài toán 1. B/*Ta đi từ bài toán: Bài toán 1: Cmr: n 3 - n M 6 với mọi số nguyên n. H ớng dẫn : n 3 - n = n(n - 1)(n +1). Ta chứng minh đợc trong 3 số nguyên liên tiếp luôn có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3 mà(2, 3) = 1 nên n 3 - n M 6. Qua bài toán trên ta thấy n 3 và n đồng d khi chia cho 2, cho 3 và cho 6, từ đó ta có bài toán tơng tự: Bài toán 2: Cmr: m 3 + n 3 M 6 m + n M 6 ( ,m n Z ). H ớng dẫn : Ta biến đổi (m 3 + n 3 ) - (m + n) = (m 3 - m) + (n 3 - n) Theo bài 1 ta có (m 3 - m) M 6, (n 3 - n) M 6 suy ra (m 3 - m) - (n 3 - n) M 6. Nh vậy: - nếu m 3 + n 3 M 6 thì m + n M 6 - Nếu m + n M 6 thì m 3 + n 3 M 6 Bài toán 3: Cho các số nguyên dơng thỏa mãn đẳng thức x 3 + y 3 + x 3 = 3269. Tìm số d của phép chia x + y + z cho 3. H ớng dẫn : (x 3 + y 3 + z 3 ) - (x + y + z) = (x 3 - x) + (y 3 - y) + (z 3 - z) Vì (x 3 - x) M 3, (y 3 - y) M 3, (z 3 - z) M 3 nên (x 3 + y 3 + z 3 ) - (x + y + z) M 3 suy ra (x + y + z) đồng d với (x 3 + y 3 + z 3 ) khi chia cho 3. Ta có 3269 chia cho 3 d 2 x + y + z chia cho 3 d 2. Bài toán 4: Cho A = 1 3 + 2 3 + 3 3 + + 99 3 . Cmr: A M 6. H ớng dẫn : Gọi S = 1 + 2 + 3 + + 99 Ta có: A - S = (1 3 + 2 3 + 3 3 + + 99 3 ) - (1 + 2 + 3 + + 99) = (1 3 - 1) + (2 3 - 2) + (3 3 - 3) + + (99 3 - 99) Theo bài toán 1 thì vế phải chia hết cho 6, do đó A - S M 6 (1) Mặt khác S = 1 + 2 + 3 + + 99 = 99.(99 1) 99.50 6.33.25 2 + = = S M 6 (2) Từ (1) và (2) suy ra A M 6 Bài toán 5: Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn đẳng thức a + b + c = 222 111 . Cmr: (a 2 + ab + bc) 3 + (b 2 + ab + ac) 3 + (c 2 + bc + ac) 3 chia hết cho 6. H ớng dẫn : Đặt x = a 2 + ab + bc; y = b 2 + ab + ac; z = c 2 + bc + ac. Ta có: x + y + z = a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab +bc + ac) = (a + b + c) 2 (1) Vì 222 M 6 222 111 M 6 a + b + c M 6 (2) Từ (1) và (2) suy ra x + y + z M 6 x 3 + y 3 + z 3 M 6 (đpcm) Nguyễn Trọng Hiếu 9 tích lũy: Khai thác từ một bài toán Bài toán 6: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình (x + y) 3 + (y + z) 3 = x + 2y + z + 2005 3 . H ớng dẫn : (x + y) 3 + (y + z) 3 = x + 2y + z + 2005 3 (x + y) 3 - (x + y) + (y + z) 3 - (y + z) = 2005 3 Với mọi số nguyên x, y, z ta luôn có (x + y) 3 - (x + y) M 6; (y + z) 3 - (y + z) M 6 (Theo bài toán 1) Do đó vế trái luôn chia hết cho 6. Nhng 2005 3 M 6 Suy ra phơng trình không có nghiệm nguyên. C/*Ta đi từ bài toán: Bài toán 1: Thực hiện phép tính: 2 3 : : 1 1 2 x x x x x x + + + + + . Lời giải: Cách 1: 2 3 : : 1 1 2 x x x x x x + + + + + = 2 3 : : 1 1 2 x x x x x x + + ữ + + + = 1 3 . : 1 2 2 x x x x x x + + ữ + + + = 3 : 2 2 x x x x + + + = 3 x x + Cách 2: 2 3 : : 1 1 2 x x x x x x + + + + + = 1 3 . . 1 2 3 x x x x x x + + + + + = 3 x x + Và và nh vậy ta có bài toán tổng quát 2 3 4 : : : : .: 1 1 2 3 1 x x x x x n x x x x x x n x n + + + + = + + + + + + . Với n N và n 2. Từ đó cho ta bài toán mới Bài toán 1: Thực hiện các phép tính sau: a) 2 3 4 : : : 1 1 2 3 x x x x x x x x + + + + + + + b) 2 3 2004 : : : .: 1 1 2 2003 x x x x x x x x + + + + + + + c) 2 3 4 : : : : .: 1 1 2 3 1 x x x x x n x x x x x n + + + + + + + + + Với n N và n 2. Ta còn có : 1 3 3 x x x x = + + , giúp ta có bài toán: Bài toán 2: Thực hiện các phép tính 2 3 : : : 1 1 2 3 x x x x x x x x + + + + + + Và . thế là ta cũng có lời giải của bài toán sau: Bài toán 3: Đố em điền đợc vào chổ trống của dãy phép chia dới đây những phân thức với tử lớn hơn mẫu một đơn vị: 2 3 : : : .: 1 1 2 6 x x x x x x x x + + + + + + Nguyễn Trọng Hiếu 10 [...]...tích lũy: Khai thác từ một bài toán Và nếu để ý đến điều kiện xác định của bài toán 3 Mx + 3 giúp ta có bài toán mới: x x+2 x+3 : : Bài toán 4: Cho M = x +1 x +1 x + 2 Tìm các giá trị nguyên của x để M có giá trị nguyên x là số nguyên xMx + 3 x+3 D/*Ta đi từ bài toán: Bài toán 1: Cho a và b là các số dơng a b Chứng tỏ: + 2 b a Hớng dẫn:... cho nhiều số ta có bài toán: Bài toán 4: Cho a, b, c, d là các số dơng 1 1 1 1 Chứng tỏ: ( a + b + c + d ) + + + ữ 16 a b c d Bài toán 5: Cho a, b, c, d, e là các số dơng 1 1 1 1 1 Chứng tỏ: ( a + b + c + d + e ) + + + + ữ 25 a b c d e Tới đây ta nghĩ đến bài toán tổng quát sau : Bài toán 6: Cho n số dơng a1, a2, a3, a4, , an Nguyễn Trọng Hiếu 11 tích lũy: Khai thác từ một bài toán 1 1 1 1 1 2 Chứng... 3abc Từ bài toán 1 ta có thể đề xuất bài toán sau: Bài toán 2: Cho a + b + c = 0 Chứng minh: a3 + b3 + c 3 chia hết cho 3 Hoặc: Bài toán 3: Cho a + b + c = 0 (a, b, c Z; abc 0) Chứng minh rằng : a3 + b3 + c 3 không phải là số nguyên tố Hoặc thêm điều kiện cho a (hoặc b, c): Bài toán 4: Cho a + b + c = 0 Biết a là số chẵn Chứng minh rằng: a3 + b3 + c 3 chia hết cho 6 Dạng tổng quát của bài này: Bài toán. .. để giải Từ bài toán 1 giúp ta giải đợc các bài toán sau: Bài toán 2: Cho a và b là các số dơng 1 1 Chứng tỏ: ( a + b ) + ữ 4 a b Xét bài toán 2 ta thấy: tổng của 2 số dơng bất kì nhân với tổng các nghịch đảo của chúng luôn không nhỏ hơn 4 Vậy câu hỏi đặt ra là: tổng của 3 số dơng bất kì nhân với tổng các nghịch đảo của chúng luôn không nhỏ hơn mấy? Trả lời câu hỏi này ta đợc bài toán sau: Bài toán 3:... nếu từ bài toán 1, ta thay a = x - y; b = y - z; c = z - x Khi đó hiển nhiên a + b + c = x - y + y - z + z - x = 0 Ta có bài toán sau: 3 3 3 Bài toán 6: Chứng minh rằng: ( x y ) + ( y z ) + ( z x ) = 3 ( x y ) ( y z ) ( z x ) 1 1 1 Nếu thay a = ; b = ; c = ta có bài toán: y x z 1 1 yz xz xy 1 Bài toán 6: Cho + + = 0 Tính giá trị của biểu thức: M = 2 + 2 + 2 y x y z x z Lời giải: áp dụng bài toán. .. 1 xyz xyz xyz 1 1 3 =3 Ta có M = 2 + 2 + 2 = 3 + 3 + 3 = xyz 3 + 3 + 3 ữ = xyz x y z x y z y z xyz x ZZZ 4) Khuyến khích đ ợc học sinh sáng tạo (toán 9) A/*Ta đi từ bài toán: Dạng bài tập viết tiếp 12 Nguyễn Trọng Hiếu tích lũy: Khai thác từ một bài toán Thí dụ 1: Chứng tỏ rằng ( 2 1 )2 = 9 8 Hãy viết tiếp ( ( ) 5) 5 4 6 Giải: * ( 2 1 )2 = ( *( * ) 3) 3 2 4 ( *( Viết tiếp: 2 2 ( ( 2 2 4 2 2 =... lũy: Khai thác từ một bài toán Viết tiếp: * 25 + 16 = 25 16 * 36 + 25 = 36 25 Sau khi giải đợc bài toán trên, các em có thể khái quát: 2 ( a + 1) 2 + a 2 = ( a + 1) a 2 ( a N ; a 1) ? Chứng minh: Thật vậy, với a N ; a 1, ta có: ( a + 1) 2 + a 2 = a + 1 + a = 2a + 1 Và ( a + 1) a 2 = a 2 + 2a + 1 a 2 = 2a + 1 2 Vậy ( a + 1) 2 + a 2 = ( a + 1) a 2 (đpcm) Nh vậy ta có thể bổ sung vào bài tập... a2, a3, a4, , an Nguyễn Trọng Hiếu 11 tích lũy: Khai thác từ một bài toán 1 1 1 1 1 2 Chứng tỏ rằng: (a1 + a 2 + a 3 + a 4 + + a n ) + + + + + ữ n an a1 a2 a3 a4 * Với n N và n 2 E/*Ta đi từ bài toán: Bài toán 1: Cho a + b + c = 0 Chứng minh: a3 + b3 + c 3 = 3abc Lời giải: Ta có: a3 + b3 + c 3 - 3abc = (a + b)3 - 3a2b - 3ab2 - 3abc + c3 2 2 = (a + b)3 + c3 - 3ab(a + b + c) = (a + b + c) ( a + b... 120 Sau khi giải đợc bài toán trên, các em có thể khái quát: ( a +1 a Hay ( ) 2 = ( a + 1) + a ( a + 1) + a 1 ( a N ; a 1) ? a +1 a 2 ) 2 = ( 2a + 1) 2 2 4a ( a + 1) ( a N ; a 1) ? Chứng minh: Thật vậy, với a N ; a 1, ta có: ( a +1 a ) =( 2 ) 2 a + 1 2 a + 1 a + = 2a + 1 - 4a ( a + 1) = ( a) ( 2a + 1) 2 2 4a ( a + 1) (đpcm) Nh vậy ta có thể bổ sung vào bài tập trên Với ( a N . tích lũy: Khai thác từ một bài toán Hình thành các bài toán mới từ một bài toán cơ bản 1) từ dễ đến khó, tuy xa mà gần! Bài toán A( dễ): Cmr: m. Hiếu 2 tích lũy: Khai thác từ một bài toán Vậy C chia hết cho 3. Từ lời giải các bài toán, ta có thể đề xuất bài toán tổng quát: Bài toán tổng quát 1: