Đang tải... (xem toàn văn)
GIÁ TR Ị LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.. I..[r]
(1)GIÁ TR Ị LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
I MỤC ĐÍCH CHUYÊN ĐỀ
- Chuyên đề trình bày cho bạn phương pháp tìm giá trị lớn hàm số như: dung đạo hàm để tìm GTLN, GTNN ; dùng phương pháp chiều biến thiên hàm số, pp miền giá trị…
- Các bạn nắm vững pp thường gặp để tìm GTLN, GTNN cách dùng hàm số
II KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 Lý thuyết
a Định nghĩa:
Giả sử F(x) hàm số xác định miền D Số M gọi giá trị lớn F(x) miền D thỏa mãn điều kiện sau:
1/ F(x) ≤ M
2/ Tồn x0 ∈M cho F(x0) = M
Khi ta sử dụng ký hiệu: M = max F(x)
Số m gọi giá trị nhỏ F(x) miền D thỏa mãn điều kiện sau:
1/ F(x) ≥ M
2/ Tồn x0 ∈M cho F(x0) = m
Khi ta sử dụng ký hiệu: m = F(x)
Chú ý:
Trang
(2)- Định nghĩa có phần ko xem nhẹ phần nào Nói bạn học sinh thường bỏ qua phần thứ định nghĩa Nói rõ hơn:Từ F(x)≤ M x M chưa thể suy M = max F(x)
∀ ∈
Xét VD sau:
Cho F(x,y,z) =
+
x
y z +
+
y z
x + +
y x z+
+
x z
y + +
z
y x +
+
x y
z
Trên miền D = { x>0, y > 0, z > 0} Nếu bạn làm:
+
x
y z +
+
y z
x ≥
+
y x z+
+
x z
y ≥
+
z
y x+
+
x y
z ≥
Từđó F(x,y,z) ≥ Với x>0, y > 0, z > ∀ Vì thế: Max F(x,y,z) = với x,y,z ∈D Chúng tơi nói bạn sai Vì sao?
Đơn giản bạn thử lấy x = y = z =1 Khi F(1,1,1) = 7,5 > Lý sai từ phần định nghĩa suy kết luận
- Các bạn cần phân biệt khái niệm:
(3)Xét VD sau:
Cho hàm số F(x) = x3 – 3x2 miền D = {-2 ≤ x ≤ 4} Ta có: F’(x) = 3x2 – 6x
Lập bảng biến thiên sau:
x -2
F’(x) + - +
F(x) -20 -4 12
Ta thấy hàm số có cực đại (0,0) => giá trị cực đại =
Hàm số có cực tiểu (2,-4) => giá trị cực tiểu= -4 Trong dề thấy:
Max F(x) = 12 Min F(x) = -20
x ∈D x ∈D
Trong VD này:
+ Giá trị lớn F(x) miền > giá trị cực đại hàm số + Giá trị nhỏ F(x) miền < giá trị cực tiểu hàm số
Như ta nói rằng: Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số miền D mang tính tồn cục; giá trị cực đại, giá trị cực tiểu hàm số mang tính địa phương
Dân gian có câu: “ Xứ mù thằng chột làm vua” Có thể lấy câu ví von làm VD chứng minh cho tính địa phương giá trị cực đại
(4)- Để tìm Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số F(x) miền D ta sử dụng đạo hàm kết hợp với việc so sánh giá trị cực đại, cực tiểu với giá trịđặc biệt (ta gọi giá trị tới hạn)
- Giá trị tới hạn thường giá trị đầu mút đoạn (mà cần tìm Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số) giá trị hàm số điểm mà không tồn đạo hàm
- Lược đồ chung phương pháp sử dụng đạo hàm để tìm Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số F(x) miền D cho trước sau:
+ Tìm đạo hàm F’(x) từđó tìm cực đại, cực tiểu F(x) (dĩ nhiên ta quan tâm tới cực đại, cực tiểu thuộc miền D)
+ So sánh giá trị cực đại, cực tiểu với giá trị tới hạn miền D + Từđó suy kết luận cần tìm
1 Các tốn đơn tìm GTLN GTNN hàm số:
Ví dụ 1: Cho x + y = 1, x ≥ 0, y ≥ Tìm Giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: P = 32x + 3y
Từ x + y = => y = – x Thay vào P ta có:
P = 32x + 31-x = 32x + x
3
Do x ≥ 0, y ≥ 0, x + y = => ≤ x ≤ => ≤ 3x≤
Đặt t = 3x, ta đưa tốn về: Tìm giá trị mã, hàm số:
F(t) = t2 +
(5)Ta có: F’(t) = 2t -
3 t
= −
2
2t
t
Lập bảng xét dấu với ý: ≤ t ≤ :
t 3
2
F’(t) - +
F(t) 33
4 10
Từđó suy ra:
Min F(t) = F(3
2) =
39
4 với ≤ t ≤
Max F(t) = max {f(1), f(3)} = max {4,10} = 10 với ≤ t ≤ Vậy
Max P = Max F(t) = 10
≤ t ≤
Min P = Min F(t) = ≤ t ≤
33
4
Giá trị lớn P đạt t = <=> 3x = <=> x = 1, y = Giá trị nhỏ P đạt
t = 33
2 <=>
x = 3
(6)Suy ra: x= log3 3
2 = 3log3
33
2
y = -
3log3
3
2
Nhận xét: Người ta hay dung phương pháp đổi biến trình tìm giá trị max, hàm sốđể đưa tốn có cấu trúc đơn giản Chỉ lưu ý điều: Khi đổi biến phải đổi miền xác định toán
Như VD miền xác định cũ là: ≤ x ≤ Khi chuyển sang biến t (do t= 3x) miền xác định là: ≤ t ≤
Ví dụ 2: Cho hàm số:
y= Sin +
2x
1 x
+ Cos
+
4x x
+ 1, Với x ∈R
Tìm giá trị max, hàm số R
áp dụng cơng thức Cos2u= – 2sin2u, ta có thểđưa hàm số F(x) dạng:
F(x) = -2Sin2 +
2x
1 x + Sin +
2x x
+
Đặt t = Sin
+
2x x
,
Với x ∈R ta có: -1 ≤
+
2x x
≤
-Sin1 ≤ t ≤ Sin1
(Do [-1,1] ∈[-π
2,
π
2] nên ta có điều trên)
(7)F(t) = -2t2 + t + với -Sin1 ≤ t ≤ Sin1 Ta có: F’(t) = -4t +
Lập bảng biến thiên:
t -Sin1
4 Sin1
F'(t) /// ///
F(t) /// ///
(bạn có biết ta có – Sin1 < 1/4 < Sin1 khơng?) Từđó suy ra:
Max F(t) = F(1/4) = 17/8
t ≤ Sin1
Min F(t) = Min {F(Sin1); F(-Sin1)}
t ≤ Sin1 = Min {-2Sin21 – Sin1 + 2; -2Sin21 + Sin1 + }
= -2Sin21 – Sin1 + Tóm lại:
Max F(x) = Max F(t) = F(1/4) = 17/8 x ∈R t ≤ Sin1
(8)x ∈R t ≤ Sin1 = -2Sin21 – Sin1 +
Giá trị nhỏ F(x) đạt t = - Sin1 = Sin(-1)
Tức là: Sin +
2x
1 x
= Sin (-1)
<=>
+
2x
1 x
= -1 (Chú ý: -1 ≤
+
2x
1 x
≤ 1)
<=> (x+1)2 =
<=> x =
Giá trị lớn F(x) đạt nào, bạn tự tính
2 Bài toán giá trị lơn nhất, giá trị nhỏ chứa tham số:
- Trong toán này, giá trị max, hàm số F(x) miền D phụ thuộc vào tham số m Khi m biến thiên, nói chung giá trị thay đổi Cần nhấn mạnh phương pháp dùng đạo hàm tỏ có hiệu lực rõ rệt với loại tốn
- Có loại tốn chinhs thường gặp:
+ Tìm giá trị max, hàm số F(x) miền D theo tham số m + Xét toán khác sau tìm xong giá trị max,
Chúng ta xét VD sau:
Ví dụ 3: Cho hàm số :
(9)Ta có y = –
2Sin
22x + m
2 Sin2x
Đặt t = Sin2x Bài tốn quy về: Tìm giá trị max, hàm số :
F(t) = -1
2t
2 + m
2 t +1 với -1 ≤ t ≤
F'(t) = -t + m
2
Xét khả sau:
1) Nếu m ≥ (khi m
2 ≥ 1) Ta có bảng biến thiên sau:
t -1 m
2
F'(t) + ///
F(t) ///
Ta có: Max F(t) =
t ≤
F(1) = m+1
Min F(t) =
t ≤
F(-1) = − +m
(10)t m
2 -1
F'(t) /// - F(t) ///
Ta có: Max F(t) =
t ≤
F(-1) = − +m
Min F(t) =
t ≤
F(1) = m+1
3) Nếu -2 < m < (Khi -1 < m
2 < 1) Ta có bảng biến thiên sau:
t -1 m
2
F'(t) + - ///
F(t) ///
Max F(t) =
t ≤
F(m
2 ) =
+
2
m
(11)Min F(t)
t ≤
= Min{f(-1); f(1)}
Nếu ≤ m ≤
= Min{− +m
2 ;
+
m
2 }
= ⎧ − ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎨⎪ + ⎪⎪ ⎪⎪⎩
1 m
2
1 m
2
Nếu -2 ≤ m ≤
Tóm lại ta đến kết sau:
+
1 m
2 Nếu ≤ m
+
8 m
8 Nếu -2 < m <
Max y x ∈R
=
−
1 m
2 Nếu -2 ≤ m
Nếu ≤ m Min y
x ∈R
= ⎧ − ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎨⎪ + ⎪⎪ ⎪⎪⎩
1 m
2
1 m
2 Nếu m <
Chú ý: Có thể viết đáp số gọn hơn: VD Min y = 1+ m
2
Ví dụ 4: Cho hàm số F(x) = 4x2 – 4ax + a2 – 2a, Xét -2 ≤ x ≤ Tìm a để: Min F(x): = 2?
-2 ≤ x ≤
Ta có: F'(x) = 8x – 4a =>F'(x) = x = a
(12)Xét khả sau:
1) Nếu a > (tức a
2> 0) Ta có bảng biến thiên sau:
x -2 a
2
F'(x) - /// F(x) ///
Vì thế: Min F(x) = F(0) = a2 – 2a -2 ≤ x ≤
Min F(x) = <=> a2 – 2a =
<=> ⎡ = +⎢⎢
= − ⎢⎣
a
a
Vì a> nên lấy giá trị: a = 1+
2) Nếu a < -4 (Tức a
2< -2) Ta có bảng biến thiên sau:
x a
2 -2
F'(x) /// + /// F(x) /// ///
(13)-2 ≤ x ≤
Min F(x) = <=> a2 – 6a + 16 = <=> a2 – 6a + 14 =
∆ = – 14 = -5 < PT vô nghiệm
3) Nếu -4 ≤ a ≤ (Tức -2 ≤ a
2 ≤ 0) Ta có bảng biến thiên sau:
x -2 a
2
F'(x) // - + /// F(x) // ///
Vì thế: Min F(x) = F(a
2) = – 2a
-2 ≤ x ≤
Min F(x) = <=> –2a =
<=> a = -1
Giá trị a = -1 thỏa mãn điều kiện -4 ≤ a ≤ nên chấp nhận
Tóm lại giá trị cần tìm tham số a là: a = -1 a = 1+
(14)Xét tốn tìm giá trị lớn nhỏ hàm số f(x) …? Một miền D cho…? Gọi yo giá trị tùy ý f(x) D, hệ sau (của x) có nghiệm
( ) (1)
(2)
f x y x D
= ⎧ ⎨ ∈ ⎩
Tùy dạng hệ (1) (2) mà ta có điều kiện có nghiệm tương ứng Trong nhiều trường hợp, điều kiện (sau biến đổi) đưa dạng α ≤ y0 ≤β(3) Vì yo giá trị bất
kì f(x), nên từ (3) ta có ( ) ; ( )
x D x D
Min f x α Max f x β
∈ = ∈ = Như sử dụng phương pháp
này để tìm giá trị lớn hàm số, thực chất ta qui việc tìm điều kiện để phương trình (thường làm có thêm điều kiện phụ) có nghiệm
Xét thí dụ sau:
Thí dụ
Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số ( ) 2sin osx+1, ?i x R sinx-2cosx+3
x c
f x = + v ∈
Bài giải:
Để ý
3− sinx-2cosx+3 3≤ ≤ + 5,∀x, nên f(x) xác định xác định toàn R Gọi yo giá
trị tùy ý f(x), ta có phương trình sau (của x) 0 2sin osx+1(1) sinx-2cosx+3
x c
y = + có nghiệm
Dễ thấy (1) <=> 2sinx + cosx + = yo sinx - 2yo cosx + yo
<=> (2 - yo)sinx + (1 + yo)cosx = yo - (2)
Vì (2) có nghiệm, nên ta có
2 2 2
0 0 0 0
1
(2 ) (1 ) (3 1) 2(3)
2
y y y y y y y y
− + + ≥ − ⇔ − − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤ Từ (3) suy ( ) 1; ( )
2
x R x R
Min f x Max f x
∈ = − ∈ =
Chú ý
Nếu thay yo = vào (2) ta có 5cosx = <=> cosx = <=> x=2kπ Vậy Maxf(x) đạt
khi x=2k k Zπ, ∈ (Xét tương tự cho Min(fx)
(15)Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: ( ) 22 23, 10
x x
f x x R
x x
+ +
= ∈
+ +
Bài giải:
Gọi yo giá trị tùy ý hàm số, phương trình sau (của x)
2
0
2 23 (1) 10 x x y x x + + =
+ + có
nghiệm
Dễ thấy
0 0
(1)⇔(y −2)x +(2y −7)x+10y −23 0(2)=
Xét khả năng:
+ Nếu yo = 2, (2) <=> -3x – = => phương trình sẽ…? có nghiệm
+ Nếuy0 ≠2, (2) có nghiệm 02 0
3
0 16 15
2
y y y
⇔ Δ ≥ ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤
Tóm lại (2) có nghiệm 0 y
⇔ ≤ ≤
Vì yo giá trị tùy ý f(x), nên ( ) 3; ( )
2
x R x R
Min f x Max f x
∈ = ∈ =
Thí dụ 3:
Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P x= 2+y2,với x, y thỏa mãn
{ 2 2 2 }
( , )x y ∈ =D (x −y +1) +4x y −x −y =0
Bài giải:
Gọi to giá trị tùy ý P, ( , )x y ∈D Vậy hệ sau (của x,y) 2
0
2 2 2 2
(1)
( 1) 0(2)
x y t
x y x y x y
⎧ + = ⎪
⎨
− + + − − =
⎪⎩ có nghiệm Hệ (1),(2) tương đương với hệ sau:
2 2
0
2
2 2 2
0
(3)
3 (4
( ) 3( )
x y t x y t
t t x
x y x y x
(16)Để (4) (của x) có nghiệm ta cần có 02 30 0 5(5
2
t − t + ≤ ⇔ − ≤ ≤t + )
Với điều kiện (5) Gọi x nghiệm (4), thay vào (3) ta có:4x2+4y2 =4t0 ⇔ −t02+3t0− +1 4y2 =4t0 ⇔4y2 =t02+ +t0 1(*)
(*) chắn có nghiệm t02+ +t0 1>0
Vậy (5) điều kiện cần đủ để hệ (3), (4) có nghiệm Từđó suy
( , ) ( , )
3 5
;
2
x y DMin P∈ x y DMax P∈
− +
= =
Thí dụ 4
Tìm giá trị lớn nhỏ P x= 2−xy−3y2,trên miền D={( , ) :x y x2+xy y+ ≤3}
Bài giải:
Gọi { } { }
{ }
2 2
1
2
2
( , ) : 3, ( , ) : 3,
( , ) : 3,
D x y x xy y y x y x y
D x y x xy y y
= + + ≤ = = ≤ = + + ≤ ≠
=
Ta có
2
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
Max P=Max Max P, Max P ,(1) Min P=Min Min P, Min P (2)
x y D x y D x y D
x y D x y D x y D
∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭
Từ ( , )x y ∈D1thì P x= 2,
1 ( , )
( , )x yMax P=3; M in P=0∈D x y ∈D (3)
Xét biểu thức
2
2 2
2 2
3 3 1 x x y y
x xy y t t
S
x xy y x x t t
y y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − − = = = + + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Gọi α giá trị tùy ý S, tức phương trình (ẩn t)
2 (4) t t
t t α
− − =
+ + có nghiệm Dễ thấy
2
(17)+ Nếu α = (5) có nghiệm t = -2
+ Nếu α ≠1 (5) có nghiệm Δ ≥ ⇔0 (α+1)2−4(α −1)(α+ ≥ ⇔ −3) 3α2−6α− ≥11
2
( 1)
3 3
3 13 (6)
3 α
α α α
≠
− − − + ⇔ + − ≤ ⇔ ≤ ≤
Thử lại (5) có nghiệm 3
3 α
− − − + ⇔ ≤ ≤
Ta có P (x2 xy y2)x22 xy 3y22 (x2 xy y S)
x xy y − −
= + + = + +
+ +
2
x +xy y+ ≤
Do ( 2) ( ,x y)∈D2⇒ − −3 3≤ ≤ − +P ∀( , )x y ∈D2
Rõ ràng hệ phương trình
2
2
2
3
3
x xy y x xy y x xy y
⎧ − − − + = ⎪
+ + ⎨
⎪
+ + = ⎩
3
có nghiệm
Như
2
( , )x y DMax P∈ = − +3 (7) Tương tự ( , )
3 (8)
x y DMin P∈ = − − Từ (1), (2), (3), (7), (8) suy
2
( , )x y DMax P∈ = − +3 3;( , )x y DMin P∈ = − −3
3 Phương pháp chiều biến thiên
Phương pháp kết hợp việc sử dụng đạo hàm để khảo sát tính đồng biến nghịch biến hàm số, với việc so sánh giá trị đặc biệt hàm số (các điểm cực trị, điểm tới hạn) Xét thí dụ minh họa sau:
Thí dụ
Tìm giá trị nhỏ P x y z 1 x y z
= + + + + + miền
3 ( , , ): 0, 0, 0,
2
D=⎧⎨ x y z x> y> z> x y z+ + ⎫⎬
⎩ ≤ ⎭
Bài giải:
(18)
1 1
( )
1 1
9 (1)
x y z
x y z x y z x y z P x y z
x y z
⎛ ⎞ + + ⎜ + + ⎟≥ ⎝ ⎠ ⇒ + + ≥ + + ⇒ ≥ + + + + +
Đặt t = x + y + z 0<t
⇒ ≤ Xét hàm số ( ) 9,0
f t t t t
= + < ≤ ; f t'( ) 92
t = −
Ta có bảng biến thiên sau:
0 t f ’(t) f (t) -3 3
Vậy
3 f(t)=f 2 t Min < ≤ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
5 Từ (1) suy 15
2
P≥ (2) Mặt khác với
x= = =y z (khi
2
x y z+ + = thỏa mãn điều kiện
2
x y z+ + ≤ ), ta có 15
2
P= Từ kết hợp với (2) suy
15
MinP=
Chú ý: Nếu viết P x y z 6(*)
x y z
⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ + ⎟+⎜ + ⎟+⎜ + ⎟≥
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Tuy nhiên dấu (*) có <=> x = y = z = Nhưng 3
2
x y z+ + = > Vậy khơng có dấu (*)!
Thí dụ
Tìm giá trị lớn nhỏ
1
x y
P
y x
= +
+ + với ( , )x y ∈D={x y, ≥0,x y+ =1}
Bài giải:
Đưa P dạng 2 ( )2 (
1 ( )
)
x x y y x y xy x y P
xy x y x y xy
+ + + + − + +
= =
+ + + + + +
(19)Đặt t = xy, ( )2
4
x y
xy + t
≤ ≤ ⇒ ≤ ≤
0
Xét hàm số ( ) 2 t f t t − =
+ với
1
4
t ≤ ≤
Ta có '( ) 2 (2 )
f t
t
− =
+ , nên có bảng biến thiên (các em tự vẽ hình) dẫn đến kết luận:
Vậy
( , ) ( , )
2 1;
3
x y DMax P∈ = x y DMin P∈ = Chú ý:
Max P đạt
0 0, 1 1, , xy x y
t x y
x y x y = ⎧ = = ⎡ ⎪ ⇔ = ⇔⎨ + = ⇔⎢ = = ⎣ ⎪ ≥ ⎩
Min P đặt 1
4
t x y
⇔ = ⇔ = = Thí dụ
Tìm giá trị lớn nhỏ f x( )=x6+4(1−x2)3 x∈ −[ 1,1]
Bài giải
Đặt x2 =t, 0≤ ≤t Ta có
6 4(1 3) 4(1 )3 4(1 3 3 3) 33 12 12 4 x + −x = +t −t = +t − +t t −t = − t + t − t+ Vậy
1 x ( ) t ( ); x ( ) t ( )
Max f x Max F t Min f x Min F t
− ≤ ≤ = ≤ ≤ − ≤ ≤ = ≤ ≤
Ởđây F t( )= −3t3+12t2−12t+4 với 0≤ ≤t
Ta có F t'( )= −9t2+24 12t− có bảng xét dấu sau:
4
0
t 0
(20)Vậy
1 1
4 ( ) 4; ( )
9
x x
Max f x Min f x
− ≤ ≤ = − ≤ ≤ =
III CỦNG CỐ KIẾN THỨC
Bài
Tỉm giá trị lớn nhỏ P=32x +3y, ( , )x y ∈ =D {x≥0,y≥0,x y+ =1}
Bài giải:
Khi ( , )x y ∈ ⇒ = −D y x, ởđây 0≤ ≤x 1, 32 31 32 3
x x x
x
P= + − = +
Đặt t=3x, 1≤ ≤t 3(do 0≤ ≤x 1), P t2 t3 t t
+ = + = Xét hàm số f t( ) t3
t
+
= với 1≤ ≤t
Ta có f t'( ) 2t32
t −
= Lập bảng xét dấu sau:
t f ’(t) f (t)
1
4 1
3
2
3
3
Từđó suy
{ } { }
( , )
3
( , )
( ) (1), (3) 4,0 10
3
( )
2
x y D t
x y D t
Max P Max f t Max f f Max Min P Min f t f
∈ ≤ ≤
∈ ≤ ≤
= = =
⎛ ⎞ = = ⎜⎜ ⎟⎟=
⎝ ⎠
=
Bài
(21)Do f x( ) 0,≥ ∀ ∈x Rnên ta có ( ) 2( ); ( ) 2( )(1)
x R x R x R x R
Max f x Max f x Min f x Min f x
∈ = ∈ ∈ = ∈
Ta thấy f2( ) (s inx+cosx)+2 1+(sinx+cosx)+sinxcosxx = +
Đặt s inx+cosx( - t 2) sinxcosx=t -12
t= ≤ ≤ ⇒
Xét hàm số: ( ) 2 2 2
2
t t
F t = + +t + +t − = + +t + +t
'( ) ( 1)
F t = + t+ = + t+ Do '( ) ,
1 ,
t F t
t ⎧ + − ≤ ≤ ⎪
= ⎨
− − ≤ ≤ ⎪⎩ −1 Vì có bảng biến thiên sau:
t F’(t)
F(t)
2
− -1
4 2− 2+
0
Từđó có { ( ) ( )} { }
2
( ) ( ) , 2, 2 2
( ) ( ) ( 1)
x R t
x R t
Max f x Max F t Max F F Max Min f x Min F t F
∈ ≤
∈ ≤
= = − = − + = +
= = − =
Bài 3: (Đại học-Cao đẳng khối A.2003)
Cho x y z, , >0 x+y+z v ≤ Tìm giá trị nhỏ P x2 12 y2 12 z2 12
x y z
= + + + + +
(22)Áp dụng với u x,1 ,v y,1 , w z,1 ,
x y z
⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
G G G
ta có
2
2 2
2 2
1 1 1
( )
x y z x y z
x y z
x y z
⎛ ⎞
+ + + + + ≥ + + +⎜ + + ⎟ ⎝ ⎠ (1)
Ta có
2
2 1 1
(x y z) 81(x y z) 80(x y z) (2)
x y z x y z
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + +⎜ + + ⎟ = + + +⎜ + + ⎟ − + +
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
Theo bất đẳng thức CơSi, thì:
2
2 1 1 1 1
81(x y z) 81(x y z) 18(x y z)
x y z x y z x y z
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + +⎜ + + ⎟ ≥ + + ⎜ + + ⎟ = + + ⎜ + + ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Lại theo bất đẳng thức sở có: (x y z) 1
x y z
⎛ ⎞
9
+ + ⎜ + + ⎟≥
⎝ ⎠ Vì có:
2 1
81(x y z) 162
x y z
⎛ ⎞
+ + ⎜ + + ⎟ ≥
⎝ ⎠ (3)
Do (x y z+ + ≤ ⇒) 1 80(x y z+ + )2 ≤80 (4) Từ (3), (4) (1), (2) suy ra: P≥ 82 (5)
Lấy 82
3
x= = = ⇒ =y z P
Từđó đến: Min P = 82
2
2 1 1 1 1
81(x y z) 81(x y z) 18(x y z)
x y z x y z x y z
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + +⎜ + + ⎟ ≥ + + ⎜ + + ⎟ = + + ⎜ + + ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Lại theo bất đẳng thức sở có: (x y z) 1
x y z
⎛ ⎞
9
+ + ⎜ + + ⎟≥
⎝ ⎠ Vì có:
2 1
81(x y z) 162
x y z
⎛ ⎞
+ + ⎜ + + ⎟ ≥
⎝ ⎠ (3)
(23)Từ (3), (4) (1), (2) suy ra: P≥ 82 (5)
Lấy 82
3
x= = = ⇒ =y z P
Từđó đến: Min P = 82
Bài 4: (Đại học – Cao đẳng khối B 2002)
Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: f x( )= +x 4−x2
Ta có:
2
4 '( )
4
x x x
f x
x x
− −
= − =
− −
Lập bảng xét dấu sau:
x '( )
f x
( )
f x
-2 2
+ + -
2 2
-2
(Chú ý: f x'( ) 0> − ≤ ≤2 x biến thiên) Từđó có:
2
ax f(x)=2
x M
≤
{ } { }
2 f(x) = f(-2);f(2) 2;2
x Min
≤ = − =
Chú ý: Ta giải phương pháp bất đẳng thức sau:
1/ Ta có: ( ) 2
( 2)
f x x x
x
f
⎧⎪ = + − ≥ − ≥ − ⇒ ⎨
− = − ⎪⎩
Vậy
2 f(x) =
x Min
(24)( )2 ( )2
2 2
2 ( )
4 (1 )
8 x ( ) 2
2
x x x
f f x
⎡ ⎤
⇒⎢ + − ⎥ + ≥ + −
⎣ ⎦
⇒ ≥ ⇒ ≤
x
Lại có: f( 2) 2= ⇒max (x)=2 2f
IV BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1:Tìm giá trị lớn hàm số f x( )= 41−x2 +41− +x 41+x miềnD={x: 1− ≤ ≤x 1}
Đáp số: Mx D∈ax ( ) 3f x =
Bài 2: Tìm giá trị bé biến thiên: 1
( 1) x y z
P xyz x y
x y z y z x
⎛ ⎞
= + ⎜ + + ⎟+ + + − − −
⎝ ⎠ z miền D={( , , ) :x y z x>0;y>0;z>0}
Đáp số: minP=6
Bài 3: Tìm giá trị lớn biến thiên: P xyz= miền
1 1
( , , ) : 0; 0; 0;
1 1
D x y z x y z
x y z
⎧ ⎫
=⎨ ≥ ≥ ≥ + + ⎬ + + +
⎩ = ⎭
Đáp số: ax P=1
m
Bài 4: Tìm giá trị lớn của: P x y= (4− −x y) miền D={( , ) :x y x≥0;y≥0;x y+ ≤6} Đáp số: Max P = 4; Min P = - 64
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhỏ của: P x2 2(x )2y x y
− − =
+ miền
{( , ) : 2 0}
D= x y x +y >
(25)Bài 6: Tìm giá trị lớn nhỏ của: 2 22
x y P
x y + + =
+ + ; x y R, ∈
Đáp số: ax P =
M ; P = 14
Min −
Bài 7: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số:
( ) 18
f x = + +x − −x + x−x miềnD={x: 3− ≤ ≤x 6}
Đáp số: ;
x Dax f(x) =
M
∈ x D
9 f(x) =
2
Min ∈
−
Bài 8: Cho f x( ) 4= x2−4ax a+ 2−2a xét miền D={x: 2− ≤ ≤x 0} Tìm a để
x D f(x) =
Min ∈