Nhi thuc Newton

1) Duøng coâng thöùc nhò thöùc Newton ñeå khai trieån nhò thöùc.. 2) Tìm soá haïng khoâng chöùa bieán, soá haïng toång quaùt thöù k+1, soá haïng chính giöõa,… trong khai trieån nhò thöù[r]

VẤN ĐỀ 2

NHỊ THỨC NEWTON

A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ:

II)Tam giác Pascal: (Hệ số đa thức công thức Newton)

B/ CÁC DẠNG TOÁN CẦN LUYỆN TẬP:

1) Dùng công thức nhị thức Newton để khai triển nhị thức Chủ đề IV: ĐẠI SỐ TỔ HỢP

46

I)Công thức nhị thức Newton:

1)Với số tự nhiên n 1 với cặp số(a;b), ta có:

  nn n nn n

1 k thứ quát tổng hạng Số

k k n k n

2 n n n n n n

n C a C a b C a b C a b C ab C b

b

a          

 

 

    

2)Dùng dấu , ta viết cơng thức nhị thức Newton dạng sau:

   



 



 



n k

k n k k n n

0 k

k k n k n

n C a b C a b

b a

3)Vài khai triển nhị thức Newton thường gặp:

  n

n n n k

n k n

n n n n n n

n C x C x C x C x C x C

x            

      n

n n k

n k n k

n n n n n n

n C x C x C x 1 C x 1 C

1

x            

1 xn Cn0  C1nxC2nx2   1kCknxk  1nCnnxn

II)Tính chất:

1)Số số hạng công thức n+1

2)Tổng số mũ a b số hạng số mũ nhị thức (n -k) + k = n 3)Số hạng tổng quát thứ k+1 có dạng Tk 1 Cknankbk

  (k = 0,1,….,n)

4) + n chẵn: Số hạng T2n1

+ n lẻ: Hai số hạng

2 n T  &

1

1 n T

 

5)Các hệ số nhị thức cách hai số hạng đầu cuối

6)   n

n k

n

n n n

n 1 1 C C C C

2        

(Tổng hệ số số hạng khai triển nhị thức 2n).

7)       n

n n k

n k

n n

n C C 1 C 1 C

1

0         

C C C

C

n n

n

n    



(Tổng tất hệ số đứng vị trí lẻ tổng tất hệ số đứng vị trí chẵn)

1)Dạng 1:

15 20 15 : n

1 10 10 : n

1 : n

1 : n

1 : n

1 : n

1 : n

      

2)Daïng 2:

15 20 15 : n

1 10 10 : n

1 : n

1 : n

1 : n

1 : n

1 : n

2) Tìm số hạng khơng chứa biến, số hạng tổng quát thứ k+1, số hạng giữa,… khai triển nhị thức

3) Dùng công thức nhị thức Newton để tính tổng chứng minh đẳng thức chứa số tổ hợp

BÀI TẬP Bài 1: Khai trieån x 2y6;

x

x 

  

 

 ; 3x 24 2x15  x16;  x 16

Bài 2: Tìm hệ số x3 khai triển biểu thức :

(x + 1)2 + (x + 1)3 + (x + 1)4 + (x + 1)5 + (x + 1)6

Bài 3: Trong khai triển nhị thức x x1n     

 , hệ số số hạng thứ ba lớn hệ số số hạng

thứ hai 35 Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nói (Đề thi TN THPT Kì I 1996-1997)

Bài : Tìm số hạng khơng chứa ẩn x, số hạng khai triển nhị thức Niu-Tơn:

12

1    

 

 x

x (Đề thi TN THPT Kì I 2000-2001)

Bài 5: Tính tổng

5 5 5

5 2C C C C C

C     

Bài 6: Chứng minh :

1) n 4n 5n

n C n n C n C n C

1        

2) C1n 2C2n3C3n 4Cn4 (1)n1nCnn 0

3)

n

1 n n

n n C

3 n C

2 n C 1

1 n C n C

            

Bài 7: Tổng hệ số khai triển nhị thức 2nx2 3n nx

2 

  

 

 64 Hãy xác định số hạng không chứa x

Bài 8: Với giá trị x, số hạng thứ ba khai triển  lgx 5

x

x  baèng 100?

Bài : Tìm số hạng khơng chứa ẩn x, khai triển luỹ thừa: x x610   

 





Bài 10 : Tìm số hạng thứ năm khai triển 3 1n

2

2 

 , số hạng cuối

sự khai triển

8 log

3

3

9

1     

 .

Bài 11: Tìm số tự nhiên n, biết dạng khai triển x 21n     

 thành đa thức biến

x, hệ số x6 bốn lần hệ số x4

Bài 12: 1) Tìm hệ số đầu khai triển nhị thức Newton

n

1

x

x 

  

  

  x 0

2) Xác định số mũ n, biết hệ số nói lập thành cấp số cộng theo thứ tự

Bài 13: Cho khai triển nhị thức: 

                            

  



   

 

3 x n

1 x n n

1 x n n

x

1 x

2

C

C

2

2

x n n n

x

1 x n

n 2 C

C



                        

 

 

 (n số nguyên dương ) Biết khai triển

đó

n

n 5C

C  số hạng thứ tư 20n, tìm n x.(ĐH KHỐI A 2002) Chủ đề IV: ĐẠI SỐ TỔ HỢP

Bài 14: Tìm số nguyên dương n cho C 2C 4C Cn 243

n n

n n

n      (ĐH KHỐI D 2002)

Bài 15: Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển nhị thức Niutơn

n

1 x x

 



 

  , bieát

raèng n n

n n

C  C 7(n 3)

     (n số nguyên dương, x >0, k n

C số tổ hợp chập k n phần tử).(ĐH KHỐI A 2003)

Baøi 16: Cho n số nguyên dương Tính tổng :

2 n

0 n

n n n n

2 2

C C C C

2 n



  

   



( k n

C số tổ hợp chập k n phần tử )(ĐH KHỐI B 2003)

Bài 17: Với n số nguyên dương, gọi a3n-n hệ số x3n – khai triển thành đa thức

( x2 + )n ( x + )n Tìm n để a

3n-n = 26.(ĐH KHỐI D 2003)

Bài 18: Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển thành đa thức 1 x x2 

   

 

(ĐH KHỐI A 2004)

Bài 19: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức Niu-Tơn của:

7

4

1 x

x

 



 

  với

x > (ĐH KHỐI D 2004)

Chủ đề IV: ĐẠI SỐ TỔ HỢP