on thi lop 10 co hieu qua

BiÕt thêi gian xu«i dßng s«ng nhiÒu h¬n thêi gian ngîc dßng lµ 2 giê vµ vËn tèc khi xu«i dßng h¬n vËn tèc khi ngîc dßng lµ 6 km/h... Ngêi ta lµm lèi ®i xung quanh vên (thuéc ®Êt trong vê[r]

Đề cơng ôn tập thi vào 10 Phần I: đại số

Chủ đề 1: Căn thức – Biến đổi thức.

Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa thức có ngha. Ph

ơng pháp giải: A có nghÜa <=> A

Bài 1: Tìm x để biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ biểu thức sau) Dạng 2: Biến đổi đơn giản thc

Phơng pháp giải: áp dụng công thức

biến đổi thức 1        0 A Nếu A nếu A A A2

2 AB  A B Víi A  vµ B 

3

B A B A

 Víi A  vµ B >

4 A2B A B Víi B 

5           0 B vµ 0 A Víi 0 B vµ 0 A Víi B A B A B A 2

6 AB

B B

A

 Víi AB  vµ B 

7 B B A B A

 Víi B >

8 ( 2 )

B A B A C B A C   

 Víi A

 vµ AB2

9 B A B A C B A C    ) ( 

Với A  B  0, AB Ngoài ra: C2 D  A B

      D B A C B A .

Bài 1: Đa thừa số vào dấu

2 x x e) ; x 25 x 5) (x d) ; x c) 0); x (víi x x b) ; 5 a)   

Bµi 2: Thùc hiƯn phÐp tÝnh

3 3; 3 3 15 26 15 26 h) ; 14 20 14 20 g) 7 f) ; 10 : ) 450 200 50 (15 c) 11 11 e) ; 0,4) )( 10 ( b) ; 6 d) ; 7 ) 14 28 ( a)                        

Bµi 3: Thùc hiƯn phÐp tÝnh

10 15 c) : ) 15 14 b) ) 216 ( a)              

Bµi 4: Thùc hiÖn phÐp tÝnh

6 12 6,5 12 6,5 e) 7 d) 5 c) 5) (3 5) (3 b) 15 6) 10 )( 15 (4 )                     a

Bµi 5: Rót gän c¸c biĨu thøc sau:

5 5 d) 6 6 c) 1 3 1 3 b) 24 1 24 a)                    

Bµi 6: Rót gän biĨu thøc:

100 99 3 2 1 c) 10 48 5 b) 48 13 a)               

Bµi 7: Rót gän biĨu thøc sau:

4 3y 6xy 3x y x e) ) 4a 4a (1 5a 2a d) ; a a 2a a a c) a vµ a víi , a a a 1 a a a b) b a vµ b 0, a víi , b a : ab a b b a a) 2 2                                     

Bài 8: Tính giá trị cđa biĨu thøc

   a ) y )(1 x (1 xy biÕt , x y y x E e) x 2x x 2x 16 biÕt , x 2x x 2x 16 D d) 3; y y x x biÕt , y x C c) ; 1) 4( 1) 4( x víi 12x x B b) y ; x 2y, y 3x x A a) 2 2 2 2 2 3                                    

Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức kỹ tính toán. Phơng ph¸p:

+ Tìm đk để biểu thức có nghĩa + Quy đồng, trục thức mẫu

Bµi 1: Cho biÓu thøc

2 x x P    

a) Rót gän P

b) Tính giá trị P x = 4(2 - 3) c) Tính giá trị nhỏ P

Bµi 2: XÐt biĨu thøc

a a 2a a a a a A       

a) Rót gän A

b) BiÕt a > 1, h·y so s¸nh A víi A .

c) Tìm a để A =

d) Tìm giá trị nhỏ A

Bµi 3: Cho biĨu thøc

x x x 2 x C      

a) Rót gän biểu thức C b) Tính giá trị C với

9

x 

c) Tính giá trị x để

C 

Bµi 4: Cho biĨu thøc 2 2 2 2 2 2

b a a b : b a a b a a M               

b) Tính giá trị M b a



c) Tìm điều kiện a, b để M <

Bµi 5: XÐt biĨu thøc

2 x) (1 x x

2 x

x x P

2

      

  

 

 

  

a) Rót gän P

b) Chøng minh r»ng nÕu < x < th× P > c) Tìm giá trị lơn P

Bµi 6: XÐt biĨu thøc

x

1 x 2 x

3 x x x

9 x Q

  

    

 

a) Rót gän Q

b) Tìm giá trị x để Q <

c) Tìm giá trị nguyên x để giá trị tơng ứng Q số nguyên

Bµi 7: XÐt biÓu thøc  

y x

xy y

x : y x

y x y x

y x H

2

3

  

    

  

     

a) Rót gän H

b) Chøng minh H ≥ c) So s¸nh H víi H

Bµi 8: XÐt biĨu thøc

1 a a a a

a

a : a

a

A 

  

  

   

 

   

  

  

a) Rút gọn A

b) Tìm giá trị cña a cho A >

c) TÝnh giá trị A a2007 2006

Bµi 9: XÐt biĨu thøc

x

2 x x

1 x x x

3 9x 3x M

       

  

a) Rót gän M

b) Tìm giá trị ngun x để giá trị tơng ứng M số ngun

Bµi 10: XÐt biĨu thøc

3 x

3 x x

2 x 3 x x

11 x 15 P

  

    

 

a) Rót gän P

b) Tìm giá trị x cho

P

c) So s¸nh P víi

3

Chủ đề 2: Phơng trình bậc hai định lí Viét.

D¹ng 1: Giải phơng trình bậc hai. Phơng pháp:

1 XÐt xem hƯ sè a+b+c=0 hc a – b + c = Trong phơng trình có khuyết hƯ sè nµo? KiĨm tra hƯ sè b

Nếu b dùng ' ngợc lại dùng CTNTQ

Bài 1: Giải phơng trình

1) x2 – 6x + 14 = ; 2) 4x2 – 8x + = ;

3) 3x2 + 5x + = ; 4) -30x2 + 30x – 7,5 = ;

5) x2 – 4x + = ; 6) x2 – 2x – = ;

7) x2 + 2 2x + = 3(x + 2) ; 8) 2 3x2 + x + = 3(x + 1) ;

9) x2 – 2( 3 - 1)x - 2 3 = 10) x2 – 25 =

Bµi 2: Giải phơng trình sau cách nhẩm nghiệm:

1) 3x2 – 11x + = ; 2) 5x2 – 17x + 12 = ;

3) x2 – (1 + 3)x + 3 = ; 4) (1 - 2)x2 – 2(1 + 2)x + + 3

2 = ;

5) 3x2 – 19x – 22 = ; 6) 5x2 + 24x + 19 = ;

7) ( + 1)x2 + 3x + - = ; 8) x2 – 11x + 30 = ;

9) x2 – 12x + 27 = ; 10) x2 – 10x + 21 = 0.

Phơng pháp: Cho phơng trình: ax2+bx+c =

+ C \ m a.c < th× kết luận phơng trình có hai nghiệm trái dấu + C \ m

  

 



0 0

a

th× pt cã nghiÖm

+ C \ m

  

 



0 0

a

th× pt cã hai nghiƯm

+ C \ m

  

 



0 0

a

ptvn

Bài 1: Chứng minh phơng trình sau có nghiệm

1) x2 2(m - 1)x – – m = ; 2) x2 + (m + 1)x + m = ;

3) x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = ; 4) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 =

0 ;

5) x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + = ; 6) x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = ;

7) x2 – 2mx – m2 – = ; 8) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x –

3 + m =

9) ax2 + (ab + 1)x + b = 0.

Bµi 2:

a) Chøng minh r»ng víi a, b , c số thực phơng trình sau lu«n cã nghiƯm: (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) =

b) Chøng minh r»ng víi ba sè thức a, b , c phân biệt phơng trình sau cã hai nghiƯm ph©n biÕt: (Èn x)

c x

1 b x

1 a x

1

     

c) Chứng minh phơng trình: c2x2 + (a2 b2 – c2)x + b2 = v« nghiƯm víi a, b, c

là độ dài ba cạnh mt tam giỏc

d) Chứng minh phơng trình bËc hai:

(a + b)2x2 – (a – b)(a2 – b2)x – 2ab(a2 + b2) = lu«n cã hai nghiệm phân biệt.

Bài 3:

a) Chứng minh phơng trình bậc hai sau có nghiệm: ax2 + 2bx + c = (1)

bx2 + 2cx + a = (2)

cx2 + 2ax + b = (3)

b) Cho ph¬ng tr×nh (Èn x) sau:

x2 + 2ax + 4b2 = (1)

x2 - 2bx + 4a2 = (2)

x2 - 4ax + b2 = (3)

x2 + 4bx + a2 = (4)

Chøng minh r»ng c¸c phơng trình có phơng trình có nghiệm c) Cho phơng trình (ẩn x sau):

(3) c b

1 x b a

b a 2a cx

(2) b a

1 x a c

a c 2c bx

(1) a c

1 x c b

c b 2b ax

2 2

   

 

   

 

   

 

víi a, b, c số dơng cho trớc

Chứng minh phơng trình có phơng trình có nghiệm

Bài 4:

a) Cho phơng trình ax2 + bx + c = 0.

Biết a ≠ 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh phơng trình cho có hai nghiệm b) Chứng minh phơng trình ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) có hai nghiệm

a(a + 2b + 4c) < ; 5a + 3b + 2c =

Dạng 3: Tính giá trị biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm phơng trình bậc hai cho trớc ax2 + bx + c = 0

Phơng pháp:

nắm vững hÖ thøc viet

1 2

c x x a b x x a          

Chó ý: x12 + x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2

x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1+x2)

Bµi 1: Gäi x1 ; x2 lµ nghiệm phơng trình: x2 3x =

TÝnh:    4 3 1 2 2 2 x x F ; x x E ; x 3x x 3x D ; x 1 x C ; x x B ; x x A              

Lập phơng trình bậc hai có nghiệm lµ

1 x vµ x

1 

Bµi 2: Gäi x1 ; x2 hai nghiệm phơng trình: 5x2 3x = Không giải phơng

trình, tính giá trị biểu thức sau:

x 4x x 4x 3x x 5x 3x C ; x x 1 x x x x x x x x B ; x 3x 2x x 3x 2x A 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2                         Bµi 3:

a) Gäi p vµ q lµ nghiƯm phơng trình bậc hai: 3x2 + 7x + = Không giải phơng

trình hÃy thành lập phơng trình bậc hai với hệ số số mà nghiệm

1 p q q p  

b) LËp ph¬ng trình bậc hai có nghiệm

2 10 vµ 72 10  

Bài 4: Cho phơng trình x2 2(m -1)x m = 0.

a) Chứng minh phơng trình lu«n lu«n cã hai nghiƯm x1 ; x2 víi mäi m

b) Với m 0, lập phơng trình Èn y tho¶ m·n

1 2 1 x x y vµ x x

y .

Bài 5: Không giải phơng trình 3x2 + 5x = HÃy tính giá trị biểu thức sau:

  2 1 1 2 1 2 x x x x D ; x x C ; x x x x B ; 2x 3x 2x 3x A             

Bµi 6: Cho phơng trình 2x2 4x 10 = cã hai nghiƯm x

1 ; x2 Kh«ng giải phơng trình

hÃy thiết lập phơng trình ẩn y cã hai nghiƯm y1 ; y2 tho¶ m·n: y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 –

x1

Bài 7: Cho phơng trình 2x2 3x – = cã hai nghiÖm x

1 ; x2 HÃy thiết lập phơng trình

      

  

 

 

 

1 2 2 2

2 2 1 1

2 2

1 1

x x y

x x y b) 2 x y

2 x y a)

Bài 8: Cho phơng trình x2 + x – = cã hai nghiÖm x

1 ; x2 HÃy thiết lập phơng trình Èn

y cã hai nghiƯm y1 ; y2 tho¶ m·n:

   

   

   

     

  

  

0. 5x 5x yy

xx yy b) ; 3x 3x y y y y

x x x x yy a)

2 1 2 2 2 1

2 2 2 1 2 1

2 1 1 2

2 1

1 2

2 1 2 1

Bài 9: Cho phơng trình 2x2 + 4ax a = (a tham sè, a ≠ 0) cã hai nghiÖm x

1 ; x2 H·y

lËp phơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 tho¶ m·n:

2 2

1

1 x x

y y

1 vµ x

1 x

1 y

y      

Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghim, cú nghim kộp, vụ nghim.

Phơng pháp: Cho phơng trình: ax2+bx+c =

+ Nếu a = giải cụ thể

+ Nếu a.c < kết luận phơng trình có hai nghiệm trái dấu + Để pt có nghiệm

  

 



0 0

a

+ §Ĩ pt cã hai nghiÖm

  

 



0 0

a

+ §Ĩ ptvn

  

 



0 0

a

Bµi 1:

a) Cho phơng trình (m 1)x2 + 2(m – 1)x – m = (Èn x).

Xác định m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Cho phơng trình (2m – 1)x2 – 2(m + 4)x + 5m + =

Tìm m để phơng trình có nghiệm

- Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm

- Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Cho phơng trình: (a – 3)x2 – 2(a – 1)x + a – = 0.

Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phõn bit

Bài 2:

a) Cho phơng trình:   m m

1 x

x 2m 2x x

4x

2

4

    

 





Xác định m để phơng trình có nghiệm

b) Cho phơng trình: (m2 + m – 2)(x2 + 4)2 – 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = Xác định

m để phơng trình có nghiệm

Dạng 5: Xác định tham số để nghiệm phơng trình ax2 + bx + c = thoả mãn

®iỊu kiện cho trớc. Phơng pháp:

+ Tỡm K để pt có nghiệm + áp dụng hệ thức vi et



a c x x

a b x

x

   

2

2

Bµi 1: Cho phơng trình: x2 2(m + 1)x + 4m = 0

1) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép

2) Xác định m để phơng trình có nghiệm Tính nghiệm cịn lại 3) Với điều kiện m phơng trình có hai nghiệm dấu (trái dấu) 4) Với điều kiện m phơng trình có hai nghiệm dơng (cùng âm) 5) Định m để phơng trình có hai nghiệm cho nghiệm gấp đôi nghiệm 6) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 – x2 = -

7) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 cho A = 2x12 + 2x22 – x1x2 nhận

gi¸ trÞ nhá nhÊt

Bài 2: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức ra: a) (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + m – = ; (4x

1 + 1)(4x2 + 1) = 18

b) mx2 – (m – 4)x + 2m = ; 2(x

12 + x22) = 5x1x2

c) (m – 1)x2 – 2mx + m + = ; 4(x

12 + x22) = 5x12x22

d) x2 – (2m + 1)x + m2 + = ; 3x

1x2 – 5(x1 + x2) + =

Bài 3: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức ra:

a) x2 + 2mx – 3m – = ; 2x

1 – 3x2 =

b) x2 – 4mx + 4m2 – m = ; x

1 = 3x2

c) mx2 + 2mx + m – = ; 2x

1 + x2 + =

d) x2 – (3m – 1)x + 2m2 – m = ; x

1 = x22

e) x2 + (2m – 8)x + 8m3 = ; x

1 = x22

f) x2 – 4x + m2 + 3m = ; x

12 + x2 =

Bµi 4:

a) Cho phơnmg trình: (m + 2)x2 – (2m – 1)x – + m = Tìm điều kiện m để

phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 cho nghiệm gấp đôi nghiệm

b) Ch phơng trình bậc hai: x2 – mx + m – = Tìm m để phơng trình có hai

nghiƯm x1 ; x2 cho biĨu thøc

) x x 2(1 x

x

3 x 2x R

2

2

2

  



 đạt giá trị lớn Tìm giá

trị lớn

c) Định m để hiệu hai nghiệm phơng trình sau mx2 – (m + 3)x + 2m + = 0.

Bài 5: Cho phơng trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0)

Chứng minh điều kiện cần đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm gấp đơi nghiệm l 9ac = 2b2.

Bài 6: Cho phơng trình bËc hai: ax2 + bx + c = (a 0) Chứng minh điều kiện cần

v đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm gấp k lần nghiệm (k > 0) : kb2 = (k + 1)2.ac

Dạng 6: So sánh nghiệm phơng trình bậc hai với số (dạng to¸n khã dung BDHSG)

Bài 1:Cho phơng trình x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = Xác định m để phơng trình có

a) Cho phơng trình 2x2 + (2m – 1)x + m – = Xác định m để phơng trình có hai

nghiệm phân biệt x1 ; x2 thoả mÃn: - < x1 < x2 <

Bµi 2: Cho f(x) = x2 – 2(m + 2)x + 6m + 1.

a) Chứng minh phơng trình f(x) = cã nghiƯm víi mäi m

b) Đặt x = t + Tính f(x) theo t, từ tìm điều kiện m để phơng trình f(x) = có hai nghiệm lớn

Bµi 3: Cho phơng trình bậc hai: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0.

a) Với giá trị tham số a, phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt lớn

Bài 4: Cho phơng trình: x2 + 2(m – 1)x – (m + 1) = 0.

a) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm nhỏ nghiệm lớn

b) Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm nhỏ

Bài 5: Tìm m để phơng trình: x2 – mx + m = có nghiệm thoả mãn x

1 ≤ - x2

Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng trình bậc hai không phụ thuộc tham số.

Phơng pháp:

+ Chỉ phơng trình có nghiệm + áp dụng hệ thøc viet

+ giải hệ phơng trình sau làm tham số đa pt không chứa tham số

Bµi 1:

a) Cho phơng trình: x2 mx + 2m = Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm

phơng trình không phụ thuộc vào tham số m

b) Cho phơng trình bậc hai: (m 2)x2 – 2(m + 2)x + 2(m – 1) = Khi phơng trình

cú nghim, hóy tỡm hệ thức nghiệm không phụ thuộc vào tham số m c) Cho phơng trình: 8x2 – 4(m – 2)x + m(m – 4) = Định m để phơng trình có hai

nghiệm x1 ; x2 Tìm hệ thức hai nghiệm độc lập với m, suy vị trí

nghiệm hai số –

Bµi 2: Cho phơng trình bậc hai: (m 1)2x2 (m – 1)(m + 2)x + m = Khi ph¬ng trình

có nghiệm, hÃy tìm hệ thức nghiệm không phụ thuộc vào tham số m

Bài 3: Cho phơng trình: x2 2mx m2 – = 0.

a) Chøng minh r»ng ph¬ng trình có hai nghiệm x1 , x2 với m

b) Tìm biểu thức liên hệ x1 ; x2 không phụ thuộc vào m

c) Tỡm m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn:

2 x x x x

1 2

1  

Bài 4: Cho phơng trình: (m 1)x2 2(m + 1)x + m = 0.

a) Giải biện luận phơng trình theo m

b) Khi phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2:

- Tìm hệ thức x1 ; x2 độc lập với m

- T×m m cho |x1 x2|

Bài 5: Cho phơng trình (m – 4)x2 – 2(m – 2)x + m – = Chøng minh r»ng nÕu

ph-¬ng tr×nh cã hai nghiƯm x1 ; x2 th×: 4x1x2 – 3(x1 + x2) + =

D¹ng 8: Mối quan hệ nghiệm hai phơng trình bËc hai. KiÕn thøc cÇn nhí:

1/ Định giá trị tham số để phơng trình có nghiệm k (k ≠ 0) lần

nghiÖm phơng trình kia: Xét hai phơng trình:

ax2 + bx + c = (1)

a’x2 + b’x + c’ = (2)

trong hệ số a, b, c, a’, b’, c’ phụ thuộc vào tham số m

Định m để cho phơng trình (2) có nghiệm k (k ≠ 0) lần nghiệm ph-ơng trình (1), ta có th lm nh sau:

i) Giả sử x0 nghiệm phơng trình (1) kx0 nghiệm phơng trình

(*) 0 c' kx b' xk a'

0 c bx ax

0 2

0

   

  

  

Giải hệ phơng trình phơng pháp cộng đại số để tìm m

ii) Thay giá trị m vừa tìm đợc vào hai phơng trình (1) (2) để kiểm tra lại

2/ Định giá trị tham số m để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với Xét hai phơng trình:

ax2 + bx + c = (a ≠ 0) (3)

a’x2 + b’x + c’ = (a’ ≠ 0) (4)

Hai phơng trình (3) (4) tơng đơng với hai phơng trình có tập nghiệm (kể tập nghiệm rỗng)

Do đó, muỗn xác định giá trị tham số để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với ta xét hai trờng hợp sau:

i) Trờng hợp hai phơng trinhg cuùng vô nghiệm, tøc lµ:

   

 

 

0 0

)4 (

)3 (

Giải hệ ta tịm đợc giá trị tham số

ii) Trờng hợp hai phơng trình có nghiệm, ta giải hệ sau:

      

   

(4) (3)

(4) (3)

(4) (3)

P P

S S

0 Δ

0 Δ

Chú ý: Bằng cách đặt y = x2 hệ phơng trình (*) đa hệ phơng trình bậc ẩn

nh sau:

  

  

  

c' y a' x b'

c ay bx

Để giải tiếp toán, ta lµm nh sau:

- Tìm điều kiện để hệ có nghiệm tính nghiệm (x ; y) theo m - Tìm m thoả mãn y = x2.

- Kiểm tra lại kết

-Bi 1: Tỡm m để hai phơng trình sau có nghiệm chung: 2x2 – (3m + 2)x + 12 = 0

4x2 – (9m – 2)x + 36 = 0

Bài 2: Với giá trị m hai phơng trình sau có nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó: a) 2x2 + (3m + 1)x – = 0; 6x2 + (7m – 1)x – 19 = 0.

b) 2x2 + mx – = 0; mx2 – x + = 0.

c) x2 – mx + 2m + = 0; mx2 – (2m + 1)x – = 0.

Bµi 3: Xét phơng trình sau:

ax2 + bx + c = (1)

cx2 + bx + a = (2)

Tìm hệ thức a, b, c điều kiện cần đủ để hai phơng trình có nghiệm chung

Bài 4: Cho hai phơng trình:

x2 2mx + 4m = (1)

Tìm giá trị tham số m để phơng trình (2) có nghiệm hai lần nghiệm phơng trình (1)

Bµi 5: Cho hai phơng trình:

x2 + x + a = 0

x2 + ax + = 0

a) Tìm giá trị a hai phơng trình có nghiệm chung b) Với giá trị a hai phơng trình tơng đơng

Bµi 6: Cho hai phơng trình:

x2 + mx + = (1)

x2 + 2x + m = (2)

a) Định m để hai phơng trình có nghiệm chung b) Định m để hai phơng trình tơng đơng

c) Xác định m để phơng trình (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = có nghiệm phân biệt

Bµi 7: Cho phơng trình:

x2 5x + k = (1)

x2 – 7x + 2k = (2)

Xác định k để nghiệm phơng trình (2) lớn gấp lần nghiệm phơng trình (1)

Chủ đề 3: Hệ phơng trình.

A - HƯ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn:

Dạng 1: Giải hệ phơng trình đa đợc dạng

' ' '

ax by c a x b y c

 



Phơng pháp:

+ ThÕ

+ Cộng đại số

Bµi 1: Giải hệ phơng trình

  

 

  

 

 

  

  

 

  

 

 

1815y10x 96y4x 6) ; 142y3x 35y2x 5) ; 142y5x

024y3x 4)

106y4x 53y2x 3) ; 53y6x 32y4x 2) ; 5y2x

42y3x 1)

     

         

      

 

   

     

  

  

  

  

  

 

 

 

5 6y5x

103y-6x

8 3yx

2-5y7x 4) ; 7

5x6y y 3

1x

2x 4

27y 5 3

5x-2y 3)

; 121x 3y3 3y1x

543y 4x4 2y3-2x 2) ; 4xy5 y54x

6xy3 2y23x 1)

Dạng 2: Giải hệ phơng pháp đặt ẩn phụ

Phơng pháp: Đa dạng hpt (bằng cách đặt ản phụ)

Giải hpt sau vào phơng trình đặt để tìm x,y

 

  

  

  

  

  

 

 

      

   

    

      

   

    

     

   

   

13.4 4yy5 48x 4x2

72y3 1x5 5) ; 071 y22x x3

01y 2xx2 4)

; 4 2y 5 1x 2

7 2y 3y 1x 1x 3) ; 9 4y 5 1x 2x

4 4y 2 1x 3x 2) ; 1 2xy 3 2yx 4

3 2xy 1 2yx 2 1)

2 2

2 2

Dạng 3: Xác định giá trị tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trớc Phơng pháp:

Thay giá trị nghiệm ẩn vào pt ban đầu, sau giải hpt chứa tham số, tham số lúc đóng vai trị ẩn.

Bµi 1:

a) Định m n để hệ phơng trình sau có nghiệm (2 ; - 1)

   

  

   

   

3 2m 3ny x 2 m

n m y 1 n 2mx

b) Định a b biết phơng trình: ax2 - 2bx + = cã hai nghiƯm lµ x = vµ x = -2.

Bài 2: Định m để đờng thẳng sau đồng quy:

a) 2x – y = m ; x = y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m –

b) mx + y = m2 + ; (m + 2)x – (3m + 5)y = m – ; (2 - m)x – 2y = - m2 + 2m

Bài 3: Cho hệ phơng trình

số) tham là (m 4 my x

m 10 4y mx

  

 

  

a) Giải hệ phơng trình m =

b) Giải biện luận hệ theo m

d) Với giá trị ngun m hệ có nghiệm (x ; y) với x, y số nguyên dơng e) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) cho S = x2 – y2 đạt giá tr nh nht

(câu hỏi tơng tự với S = xy)

f) Chứng minh hệ có nghiệm (x ; y) điểm M(x ; y) nằm đờng thẳng cố định m nhận giá trị khác

Bµi 4: Cho hệ phơng trình:



  

   

5 m y 2x

1 3m my x 1 m

a) Giải biện luận hệ theo m

b) Với giá trị nguyên m hệ có nghiệm (x ; y) cho x > 0, y < c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) mà P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.

d) Xác định m để hệ có nghiệm (x ; y) thoả mãn x2 + 2y = (Hoặc: cho

M (x ; y) n»m trªn parabol y = - 0,5x2).

e) Chứng minh hệ có nghiệm (x ; y) điểm D(x ; y) ln ln nằm đờng thẳng cố định m nhận giỏ tr khỏc

Bài 5: Cho hệ phơng tr×nh:

  

 

 

1 2y mx

2 my x

a) Giải hệ phơng trình m =

b) Tìm số ngun m để hệ có nghiệm (x ; y) mà x > y <

c) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) mà x, y số nguyên d) Tìm m để hệ có nghiệm (x ; y) mà S = x – y đạt giá trị lớn

Dạng 4: Xác định giá trị tham số để hệ có nghiệm, vơ nghiệm, vơ số nghiệm Phơng phỏp:

Hệ phơng trình có nghiệm

' '

a b

a b

 

Hpt v« nghiƯm

' ' '

a b c

a b c

Hpt cã nghiÖm ' '

' ' '

a b

a b

a b c

a b c

    

  



Mét sã vÝ dụ sách hớng dẫn ôn thi vào lớp 10 cđa BGD&§T

B - Một số hệ bậc hai đơn giản:

Dạng 1: Hệ đối xứng loại I – tìm hai số u, v biết Phơng pháp:

Dùng hệ thức vi ét, đa phơng trình bậc hai

Ví dụ: Giải hệ phơng trình



  

   

  

28 y x 3 y x

11 xy y x

2

Bài tập tơng tự:

      

  

          

  

  

 

  

  

  

   

 

  

  

  

  

 

  

 

  

 

   

 

  

 

  

  

 

  

  

 

 

35yy xx

30xy yx 10) 5xyy x5

6yx yx 9)

yx7 yxyx

yx19 yxyx 8) 6y x

232 yxyx 7)

31xy yx

101y 1x 6) 17xy 1yy1 xx

81y 1x 5)

133y xy3x

1y 3xyx 4) 84xy yx

19yx xy 3)

2yxy x

4y xyx 2) 7xy yx

8yx yx 1)

22 2

2 2

2 2 2 22

2 2

2 2

2 2 2

2

2 2 22

22

Dạng 2: Hệ đối xứng loại II Phơng pháp:

Lấy hai phơng trình trừ cho đợc phơng trình giải phơng trình này nghiệm vào hai phơng ban đầu.

VÝ dơ: Gi¶i hƯ phơng trình

 

x

2 1 y

2y 1 x

3

Giải hệ phơng trình sau:

   

  

  

 

3x7y y

3y7x x 10) x3y y

y3x x 9)

3 3 2

2

   

 

  

     

 

 

     

 

  

  

  

  

   

  

  

  

 

 

   

  

  

 

8x3y y

8y3x x 8) y 3 x 1 2y

x 3 y 1 2x 7)

y x 43x y

x y 43y x 6) x2y 2xy

y2x 2y x 5)

1y xyx

1y xy x 4) x2y y

y2x x 3)

x2 xy

y2 yx 2) 3x1 y

3y1 x 1)

3 3 2

2 2 2

2 2 3

3

2 2

2 2 2

2

Dạng 3: Hệ bậc hai giải phơng pháp cộng đại số

Chủ đề 4: Hàm số đồ thị.

Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (d)

Phơng pháp: vẽ giao điểm đờng thẳng với hai trục toạ độ d cắt ox A b;0

a



 

 



d cắt oy B0;b

y = ax2 (p)

Phơng pháp: (p) nhận trục oy làm trục đối xứng Nếu a > bề lõm quay lên phía trên a < bề lõm quay xuống phía dới

Lập bảng giá trị

Bi 1: V thị hàm số sau:

a) y = 2x – ; b) y = - 0,5x +

Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 khi:

a) a = ; b) a = -

Dạng 2: Viết phơng trình đờng thẳng Bìa 1: Viết phơng trình đờng thẳng (d) biết:

a) (d) qua A(1 ; 2) B(- ; - 5)

b) (d) qua M(3 ; 2) song song với đờng thẳng () : y = 2x – 1/5 c) (d) qua N(1 ; - 5) vng góc với đờng thẳng (d’): y = -1/2x + d) (d) qua D(1 ; 3) tạo với chiều dơng trục Ox góc 300.

e) (d) qua E(0 ; 4) đồng quy với hai đờng thẳng f) (): y = 2x – 3; (’): y = – 3x điểm

g) (d) qua K(6 ; - 4) cách gốc O khoảng 12/5 (đơn vị dài)

Bài 2: Gọi (d) đờng thẳng y = (2k – 1)x + k – với k tham số a) Định k để (d) qua điểm (1 ; 6)

b) Định k để (d) song song với đờng thẳng 2x + 3y – = c) Định k để (d) vuông góc với đờng thẳng x + 2y =

d) Chứng minh khơng có đờng thẳng (d) qua điểm A(-1/2 ; 1)

e) Chứng minh k thay đổi, đờng thẳng (d) qua điểm cố định

Dạng 3: Vị trí tơng đối đờng thẳng parabol Phơng pháp:

+ ( ) ( )d  P A (d) tiếp tuyến (p) (tức pt hoành độ giao điểm hai đồ thị

cã nghiÖm kÐp)

+ ( ) ( )d  P A B, (d) cắt (P) điểm (Tức pt hoành độ giao điểm hai đồ thị

cã2 nghiÖm)

+ ( ) ( )d  P (d) không cắt (P)(Tức pt hoành độ giao điểm hai đồ thị vơ

nghiƯm) Bµi 1:

a) Biết đồ thị hàm số y = ax2 qua điểm (- ; -1) Hãy tìm a vẽ đồ thị (P) đó.

b) Gọi A B hai điểm lần lợt (P) có hồnh độ lần lợt - Tìm toạ độ A B từ suy phơng trình đờng thẳng AB

Bµi 2: Cho hµm sè x2

2

y 

a) Khảo sát vẽ đồ thị (P) hàm số

b) Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua A(- 2; - 2) tiếp xúc với (P)

Bµi 3:

Trong cïng hƯ trơc vu«ng gãc, cho parabol (P): x2

4

y đờng thẳng (D): y = mx - 2m -

a) Vẽ độ thị (P)

b) T×m m cho (D) tiÕp xóc víi (P)

Bµi 4: Cho hµm sè x2

2

y 

a) Vẽ đồ thị (P) hàm số

b) Trên (P) lấy hai điểm M N lần lợt có hồnh độ - 2; Viết phơng trình đờng thẳng MN

c) Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị (D) song song với đờng thẳng MN cắt (P) điểm

Bµi 5:

Trong hệ trục toạ độ, cho Parabol (P): y = ax2 (a  0) đờng thẳng (D): y = kx + b.

1) Tìm k b cho biết (D) qua hai điểm A(1; 0) B(0; - 1) 2) Tìm a biết (P) tiếp xúc với (D) vừa tìm đợc câu 1) 3)Vẽ (D) (P) vừa tìm đợc câu 1) câu 2)

4) Gọi (d) đờng thẳng qua điểm    

 

1

;

C vµ cã hƯ số góc m a) Viết phơng trình (d)

b) Chứng tỏ qua điểm C có hai đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) (ở câu 2) vng góc với

Chủ đề 5: Giải tốn cách lập phơng trình, hệ phơng trình.

Dạng 1: Chuyển động (trên đờng bộ, đờng sông có tính đến dịng nớc chảy) Phơng pháp:

VËn dụng công thức s = v.t

Bài 1:

Một ôtô từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến sớm Tính quãng đờng AB thời gian dự định lúc đầu

Bµi 2:

Một ngời xe máy từ A đến B cách 120 km với vận tốc dự định trớc Sau đợc

3

quãng đờng AB ngời tăng vận tốc thêm 10 km/h quãng đờng lại Tìm vận tốc dự định thời gian xe lăn bánh đờng, biết ngời đến B sớm dự định 24 phút

Bµi 3:

Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30 km/h, sau lại ngợc từ B trở A Thời gian xi thời gian ngợc 20 phút Tính khoảng cách hai bến A B Biết vận tốc dòng nớc km/h vận tốc riêng canơ lúc xi lúc ngợc

Bµi 4:

Một canô xuôi khúc sông dài 90 km ngợc 36 km Biết thời gian xuôi dòng sông nhiều thời gian ngợc dòng vận tốc xuôi dòng vận tốc ngợc dòng km/h Hỏi vận tốc canô lúc xuôi lúc ngợc dòng

Dạng 2: Toán làm chung riêng (toán vòi nớc) Phơng pháp:

………

Bµi 1:

Hai ngời thợ làm chung công việc 12 phút xong Nếu ngời thứ làm ngời thứ hai làm hai ngời làm đợc

4

cơng việc Hỏi ngời làm cơng việc xong?

Bµi 2:

Nếu vòi A chảy vòi B chảy đợc

5

hồ Nếu vòi A chảy vòi B chảy 30 phút đợc

2

hồ Hỏi chảy mỗI vòi chảy đầy hồ

Hai vòi nớc chảy vào bể sau đầy bể Nếu vòi chảy cho đầy bể vòi II cần nhiều thời gian vòi I Tính thời gian vòi chảy đầy bĨ?

Dạng 3: Tốn liên quan đến tỉ lệ phần trăm. Bài 1:

Trong tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy Trong tháng hai, tổ I vợt mức 15%, tổ II vợt mức 12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy Tính xem tháng giêng tổ sản xuất đợc chi tit mỏy?

Bài 2:

Năm ngoái tổng số dân hai tỉnh A B triệu ngời Dân số tỉnh A năm tăng 1,2%, tỉnh B tăng 1,1% Tổng số dân hai tỉnh năm 045 000 ng ời Tính số dân tỉnh năm ngoái năm nay?

Dạng 4: Toán có nội dung hình học. Bµi 1:

Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi 280 m Ngời ta làm lối xung quanh vờn (thuộc đất vờn) rộng m Tính kích thớc vờn, biết đất cịn lại vờn để trồng trọt 4256 m2.

Bài 2:

Cho hình chữ nhật Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên m diện tích tăng 500 m2 Nếu giảm chiều dài 15 m giảm chiều rộng m diện tích giảm

600 m2 Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu.

Bài 3:

Cho tam giác vuông Nếu tăng cạnh góc vuông lên cm cm diện tích tam giác tăng 50 cm2 Nếu giảm hai cạnh cm diện tích giảm 32 cm2.

Tính hai cạnh góc vuông

Dạng 5: Toán tìm số. Bài 1:

Tỡm mt s t nhiên có hai chữ số, tổng chữ số 11, đổi chỗ hai chữ số hàng chục hàng đơn vị cho số tăng thêm 27 đơn vị

Bµi 2:

Tìm số có hai chữ số, biết số gấp lần chữ số hàng đơn vị số cần tìm chia cho tổng chữ số đợc thơng số d

Bµi 3:

Nếu tử số phân số đợc tăng gấp đôi mẫu số thêm giá trị phân số

4

NÕu tư sè thªm mẫu số tăng gấp giá trị phân sè b»ng

24

Tìm phân số ú

Bài 4:

Nếu thêm vào tử mẫu phân số giá trị phân số giảm Nếu bớt vào tử mẫu, phân số tăng

2

Tìm phân số Chủ đề 6: Phơng trình quy v phng trỡnh bc hai.

Dạng 1: Phơng trình có ẩn số mẫu. Phơng pháp:

+ tỡm đk để mẫu có nghĩa + Quy đồng mẫu thức

+ khử mẫu, giải phơng trình

+ Th nghiệm vừa giải đợc thay vào điều kiện Giải phơng trình sau:

1 t

5t 2t t t

t c)

1 2x

3 x x

1 2x b)

6 x

3 x x

x a)

2

    

    

    

               2 B A 0 B B A Lo¹i B A 0) (hayB 0 A B A Lo¹i

Lo¹i A B C

              2 0 C AB B A C B A

Hc dïng pp Đặt ẩn phụ

Giải phơng trình sau:

 

  

     14 5

                 x -x f) 3x x x e) x 2x x d) x 3x 2x c) 14 5x 3x x b) x 11 3x 2x a) 2 2 2

Dạng 3: Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Phơng pháp: A A    

-AnÕu A <

nÕu A

NÕu A = B th×

0 B A B A B           

Nếu A + B = C lập bảng bỏ dấu giá trị tuyệt đối Giải phơng trình sau:

3x 4x x x d) 4x x x x 2x x c) 2x x 2x x b) x x x a) 2 2 2                 

Dạng 4: Phơng trình trùng phơng. Phơng pháp:

Đặt x2 = t 0

Gi¶i pt Èn t 

Thay giá trị t thoả mãn vào pt đặt Giải phơng trình sau:

a) 4x4 + 7x2 – = ; b) x4 – 13x2 + 36 = 0;

c) 2x4 + 5x2 + = ; d) (2x + 1)4 – 8(2x + 1)2 = 0.

Dạng 5: Phơng trình bậc cao. Phơng pháp:

Phân tích đa thúc thành nhân tö

Nhẩm nghiệm hệ thức viet bậc cao Chia hai đa thức đợc xếp

Giải phơng trình sau cách đa dạng tích đặt ẩn phụ đa phơng trình bậc hai:

Bµi 1:

a) 2x3 – 7x2 + 5x = ; b) 2x3 – x2 – 6x + = ;

c) x4 + x3 – 2x2 – x + = ; d) x4 = (2x2 – 4x + 1)2.

Bµi 2:

    3x x 3x x k) x 2x 13x 5x 2x 2x i) x x 10 x 48 x h) 24 3x 2x 3x 2x g) 4x x 10 4x x 21 f) x x 3x x x x e) 23 x x 16 x x d) x x x x c) 2 2 2 2 2 2 2 2                                                                Bµi 3:

a) 6x5 – 29x4 + 27x3 + 27x2 – 29x +6 = 0

b) 10x4 – 77x3 + 105x2 – 77x + 10 = 0

c) (x – 4,5)4 + (x – 5,5)4 = 1

d) (x2 – x +1)4 – 10x2(x2 – x + 1)2 + 9x4 = 0

Bài tập nhà:

Giải phơng trình sau:

3x x 2x x 2x x d) x x x 2x c) x x x 4x b) 1 x x a) 2 2                     

a) x4 – 34x2 + 225 = 0 b) x4 – 7x2 – 144 = 0

c) 9x4 + 8x2 – = 0 d) 9x4 – 4(9m2 + 4)x2 + 64m2 = 0

e) a2x4 – (m2a2 + b2)x2 + m2b2 = (a ≠ 0)

3

a) (2x2 – 5x + 1)2 – (x2 – 5x + 6)2 = 0

b) (4x – 7)(x2 – 5x + 4)(2x2 – 7x + 3) = 0

c) (x3 – 4x2 + 5)2 = (x3 – 6x2 + 12x – 5)2

d) (x2 + x – 2)2 + (x – 1)4 = 0

e) (2x2 – x – 1)2 + (x2 – 3x + 2)2 = 0

4

a) x4 – 4x3 – 9(x2 – 4x) = 0 b) x4 – 6x3 + 9x2 – 100 = 0

c) x4 – 10x3 + 25x2 – 36 = 0 d) x4 – 25x2 + 60x – 36 = 0

5

a) x3 – x2 – 4x + = 0 b) 2x3 – 5x2 + 5x – = 0

c) x3 – x2 + 2x – = 0 d) x3 + 2x2 + 3x – = 0

e) x3 – 2x2 – 4x – = 0

6

a) (x2 – x)2 – 8(x2 – x) + 12 = 0 b) (x4 + 4x2 + 4) – 4(x2 + 2) – 77 = 0

c) x2 – 4x – 10 - 3 x2x 6 = 0 d) 3 0

2 x 2x x 2x                   

e) x 5 x  x5 x 5

a) (x + 1)(x + 4)(x2 + 5x + 6) = 24 b) (x + 2)2(x2 + 4x) = 5

c) 26

x x 16 x x

3 2

               

 d)

x x x x

2 2

                 x x x x f) x x 4x 4x e) x 3x x d) x 6x 2x c) x x 2x b) 14 x 4x x a) 3 2 2                          

9 Định a để phơng trình sau có nghiệm

a) x4 – 4x2 + a = b) 4y4 – 2y2 + – 2a = 0

c) 2t4 – 2at2 + a2 – = 0.

Lý thuyÕt:

D¹ng 1: Chứng minh quan hệ hai đoạn thẳng, hai góc, hai cung A, cm hai đoạn thẳng nhau

- hai đoạn thẳng có số đo

- hai đoạn thẳng đoạn thẳng thö 3

- Hai đoạn thẳng tổng hoặchiệu hai đoạn thẳng từng đôi một

- Hai tam gi¸c b»ng nhau

- Hai cạnh bên tam giác cân

- trung điểm đoạn thẳng, đờng trung trực, đờng trung tuyến một tam giác

- bán kính đờng trịn

- ĐN, TC hình tứ giác, đờng trịn b cm hai góc nhau

- Sử dụng yếu tố đốgc - hai tam giác nhau - Tính chất hình

D¹ng 2: Chøng minh: Quan hệ song song, vuông góc A, Hai đoạn th¼ng song song

- Xét cặp đồng vị, so le, phía bù nhau - hai đờng thẳng song vng góc

- Tính chất đờng trung bình tam giác, hình thang - Định lý ta lột o

B, Hai đoạn thẳng vuông gãc

- Góc tạo hai đờng thẳng vng góc

- đờng thẳng vng góc với hai đờng thẳng song song - Đờng cao, đờng trung trực

- hai cạnh hình cn, hv - hai đờng chéo ht, hv - định lý pytago đảo

- đờng kính qua trung điểm dây cung không qua tâm - đờng kính qua điểm cung

- TiÕp tuyÕn

- đờng nối tâm đờng trịn cắt nhau - góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn

Dạng 3: Chứng minh điểm thẳng hàng, đờng đồng quy A, điểm thẳng hàng

- Tạo thành nột góc 180 độ

- điểm nằm đờng thẳng qua điểm cịn lại - hai đầu đờng kính tâm đờng tròn

- hai tâm đờng tròn tiếp xúc tiếp điểm B, cm đờng thẳng đồng quy

- giao điểm đờng thẳng nằm đờng thẳng lại - ba đờng trung tuyến, phân giác, trung trực tam giác Dạng 4: cm điểm nằm đờng tròn

- chỉ điểm cách đỉnh tứ giác - hai góc đối tứ giác bù nhau

- một góc tứ giác góc ngồi đỉnh đối diện - tứ giác hình thang cân

- hai đỉnh liên tiếp tứ giác nhìn đoạn thẳng nối hai đỉnh cịn lại dới góc bằng nhau

Chủ đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện hình.

Bµi 1:

Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O D E lần lợt điểm cung AB AC DE cắt AB I cắt AC L

a) Chøng minh DI = IL = LE

b) Chứng minh tứ giác BCED hình chữ nhật

c) Chứng minh tứ giác ADOE hình thoi tính góc hình

Bài 2:

a) Chứng minh từ I ta hạ đờng vng góc xuống cạnh tứ giác đ-ờng vng góc qua trung điểm cạnh đối diện cạnh

b) Gọi M, N, R, S trung điểm cạnh tứ giác cho Chứng minh MNRS hình chữ nhật

c) Chứng minh đờng trịn ngoại tiếp hình chữ nhật qua chân đờng vng góc hạ từ I xuống cạnh tứ giác

Bµi 3:

Cho tam giác vng ABC ( A = 1v) có AH đờng cao Hai đờng trịn đờng kính AB AC có tâm O1 O2 Một cát tuyến biến đổi qua A cắt đờng tròn (O1) (O2) lần

lợt M N

a) Chứng minh tam giác MHN tam giác vuông b) Tứ giác MBCN hình gì?

c) Gi F, E, G ln lợt trung điểm O1O2, MN, BC Chứng minh F cách

®iĨm E, G, A, H

d) Khi cát tuyến MAN quay xung quanh điểm A E vạch đờng nh nào?

Bµi 4:

Cho hình vng ABCD Lấy B làm tâm, bán kính AB, vẽ 1/4 đờng trịn phía hình vng.Lấy AB làm đờng kính , vẽ 1/2 đờng trịn phía hình vng Gọi P điểm tuỳ ý cung AC ( không trùng với A C) H K lần lợt hình chiếu P AB AD, PA PB cắt nửa đờng tròn lần lợt I M

a) Chứng minh I trung điểm AP b) Chứng minh PH, BI, AM đồng qui c) Chứng minh PM = PK = AH

d) Chøng minh tø gi¸c APMH hình thang cân

) Tỡm v trớ điểm P cung AC để tam giác APB

Chủ đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm nằm một đờng trịn.

Bµi 1:

Cho hai đờng trịn (O), (O') cắt A, B Các tiếp tuyến A (O), (O') cắt (O'), (O) lần lợt điểm E, F Gọi I tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác EAF

a) Chứng minh tứ giác OAO'I hình bình hành OO'//BI b) Chứng minh bốn điểm O, B, I, O' thuộc đờng trịn

c) KÐo dµi AB vỊ phÝa B đoạn CB = AB Chứng minh tứ giác AECF néi tiÕp

Bµi 2:

Cho tam giác ABC Hai đờng cao BE CF cắt H.Gọi D điểm đối xứng H qua trung điểm M BC

a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp đợc đờng tròn.Xác định tâm O đ-ờng trịn

b) Đờng thẳng DH cắt đờng tròn (O) điểm thứ I Chứng minh điểm A, I, F, H, E nằm đờng trịn

Bµi 3:

Cho hai đờng tròn (O) (O') cắt A B Tia OA cắt đờng tròn (O') C, tia O'A cắt đờng tròn (O) D Chứng minh rằng:

a) Tø gi¸c OO'CD néi tiÕp

b) Tứ giác OBO'C nội tiếp, từ suy năm điểm O, O', B, C, D nằm đ-ờng trịn

Bµi 4:

Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đờng trịn đờng kính AD Hai đờng chéo AC BD cắt E Vẽ EF vng góc AD Gọi M trung điểm DE Chứng minh rằng:

a) Các tứ giác ABEF, DCEF nội tiếp đợc b) Tia CA tia phân giác góc BCF c)* Tứ giác BCMF nội tiếp đợc

Bµi 5:

Từ điểm M bên ngồi đờng trịn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đờng tròn Trên cung nhỏ AB lấy điểm C Vẽ CD  AB, CE  MA, CF  MB

Gọi I giao điểm AC DE, K giao điểm BC DF Chứng minh rằng: a) Các tứ giác AECD, BFCD nội tiếp đợc

b) CD2 = CE CF

c)* IK // AB

Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) Từ A vẽ tiếp tuyến xy với đờng tròn Vẽ hai đ-ờng cao BD CE

a) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E nằm đờng trịn b) Chứng minh xy// DE, từ suy OA  DE

Bµi 7:

Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) Trên cung nhỏ AB lấy điểm M Đờng thẳng qua A song song với BM cắt CM N

a) Chứng minh tam giác AMN tam giác b) Chứng minh MA + MB = MC

c)* Gọi D giao điểm AB CM Chøng minh r»ng:

MD MB

1 AM

1

 

Bµi 8:

Cho ba điểm A, B, C cố định với B nằm A C Một đờng tròn (O) thay đổi qua B C Vẽ đờng kính MN vng góc với BC D ( M nằm cung nhỏ BC).Tia AN cắt đờng tròn (O) Tại điểm thứ hai F Hai dây BC MF cắt E Chứng minh rằng:

a) Tứ giác DEFN nội tiếp đợc b) AD AE = AF AN

c) Đờng thẳng MF qua điểm cố định

Bµi 9:

Từ điểm A bên ngồi đờng trịn ( O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn Gọi M trung điểm AB Tia CM cắt đờng tròn điểm N Tia AN cắt đờng tròn điểm D

a) Chøng minh r»ng MB2 = MC MN

b) Chøng minh r»ng AB// CD

c) Tìm điều kiện điểm A tứ giác ABDC hình thoi Tính diện tích cử hình thoi

Bµi 10:

Cho đờng trịn (O) dây AB Gọi M điểm cung nhỏ AB Vẽ đờng kính MN Cắt AB I Gọi D điểm thuộc dây AB Tia MD cắt đờng tròn (O) C

a) Chứng minh tứ giác CDIN nội tiếp đợc

b) Chứng minh tích MC MD có giá trị khơng đổi D di động dây AB c) Gọi O' tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD

Chøng minh r»ng MAB =

2

 AO'D

d) Chứng minh ba điểm A, O', N thẳng hàng MA tiếp tuyến đờng trịn ngoại tiếp tam giác ACD

Bµi 11:

Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC), đờng cao AH Trên đoạn thẳng HC lấy D cho HD = HB Vẽ CE vng góc với AD ( E  AD)

a) Chøng minh AHEC tứ giác nội tiếp

b) Chng minh AB tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AHEC c) Chứng minh CH tia phân giác góc ACE

d) Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng CA CH cung nhỏ AH đờng trịn nói biết AC= 6cm, ACB = 300.

Bµi 12:

Cho đờng trịn tâm O có đờng kính BC Gọi A Một điểm thuộc cung BC ( AB < AC), D điểm thuộc bán kính OC Đờng vng góc với BC D cắt AC E, cắt tia BA F

a) Chøng minh r»ng ADCF lµ tø gi¸c néi tiÕp

b) Gọi M trung điểm EF Chứng minh AME = ACB c) Chứng minh AM tiếp tuyến đờng tròn (O)

d) Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng BC, BA cung nhỏ AC đờng tròn (O) biết BC= 8cm, ABC = 600.

Bµi 13:

Cho nửa đờng trịn tâm O, đờng kính AB = 2R Điểm M thuộc nửa đờng trịn Vẽ đờng tròn tâm M tiếp xúc với AB ( H tiếp điểm) Kẻ tiếp tuyến AC, BD với đờng tròn (M) ( C, D tiếp điểm)

a) Chứng minh C, M, D thẳng hàng

b) Chứng minh CD tiếp tuyến đờng trịn (O) c) Tính tổng AC + BD theo R

d) TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c ABDC biÕt AOM = 600.

Cho tam giác vuông cân ABC (A = 900), trung ®iĨm I cđa c¹nh BC XÐt mét ®iĨm D

trên tia AC Vẽ đờng tròn (O) tiếp xúc với cạnh AB, BD, DA điểm tơng ứng M, N, P

a) Chứng minh điểm B, M, O, I, N nằm đờng tròn b) Chứng minh ba điểm N, I, P thẳng hàng

c) Gäi giao ®iĨm cđa tia BO víi MN, NP lần lợt H, K Tam giác HNK tam giác gì, sao?

d) Tỡm hợp điểm K điểm D thay đổi vị trí tia AC

Chủ đề 3: Chứng minh điểm thẳng hàng, đờng thẳng đồng quy.

Bµi 1:

Cho hai đờng tròn (O) (O') cắt hai điểm A B Đờng thẳng AO cắt đờng tròn (O) (O') lần lợt C C' Đờng thẳng AO' cắt đờng tròn (O) (O') lần lợt D D'

a) Chøng minh C, B, D' thẳng hàng b) Chứng minh tứ gi¸c ODC'O' néi tiÕp

c) Đờng thẳng CD đờng thẳng D'C' cắt M Chứng minh tứ giác MCBC' nội tiếp

Bµi 2:

Từ điểm C ngồi đờng trịn ( O) kể cát tuyến CBA Gọi IJ đờng kính vng góc với AB Các đờng thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đờng tròn (O) M, N

a) Chứng minh IN, JM AB đồng quy điểm D

b) Chứng minh tiếp tuyến đờng tròn (O) M, N qua trung điểm E CD

Bµi 3:

Cho hai đờng tròn ( O; R) ( O'; R' ) tiếp xúc A ( R> R' ) Đờng nối tâm OO' cắt đờng tròn (O) (O') theo thứ tự B C ( B C khác A) EF dây cung đờng trịn (O) vng góc với BC trung điểm I BC, EC cắt đờng trịn (O') D

a) Tø gi¸c BEFC hình gi?

b) Chứng minh ba điểm A, D, F thẳng hàng

c) CF ct ng tròn (O’) G Chứng minh ba đờng EG, DF CI đồng quy d) Chứng minh ID tiếp xúc với đờng trịn (O’)

Bµi 4:

Cho đờng trịn (O) (O’) tiếp xúc ngồi C AC BC đờng kính (O) (O’), DE tiếp tuyến chung (D  (O), E  (O’)) AD cắt BE M

a) Tam gi¸c MAB tam giác gì?

b) Chứng minh MC lµ tiÕp tun chung cđa (O) vµ (O’)

c) Kẻ Ex, By vng góc với AE, AB Ex cắt By N Chứng minh D, N, C thẳng hàng d) Về phía nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ nửa đờng trịn đờng kính AB OO’ Đờng thẳng qua C cắt hai nửa đờng tòn I, K Chứng minh OI // AK

Chủ đề 4: Chứng minh điểm cố định.

Bµi 1:

Cho đờng tròn (O ; R) Đờng thẳng d cắt (O) A, B C thuộc d (O) Từ điểm P cung lớn AB kẻ đờng kính PQ cắt AB D CP cắt (O) điểm thứ hai I, AB cắt IQ K

a) Chøng minh tø gi¸c PDKI néi tiÕp b) Chøng minh: CI.CP = CK.CD

c) Chøng minh IC phân giác tam giác AIB

d) A, B, C cố định, (O) thay đổi nhng qua A, B Chứng minh IQ qua điểm cố định

Bµi 2:

Cho tam giác ABC nội tiếp (O ; R) M di động AB N di động tia đối tia CA cho BM = CN

a) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt (O) A D Chứng minh D cố định b) Tính góc MDN

c) MN cắt BC K Chứng minh DK vng góc với MN d) Đặt AM = x Tính x để diện tích tam giác AMN lớn

Bµi 3:

a) Chứng minh tứ giác OACB nội tiếp đờng tròn tâm K

b) Chứng minh: (K) qua hai điểm cố định O H cát tuyến quay quanh M c) CH cắt AB N, I trung điểm AB Chứng minh MA.MB = MI.MN

d) Chøng minh: IM.IN = IA2.

Bµi 4:

Cho nửa đờng trịn đờng kính AB tâm O C điểm cung AB M di động cung nhỏ AC Lấy N thuộc BM cho AM = BN

a) So s¸nh tam gi¸c AMC BCN b) Tam giác CMN tam giác gì?

c) Kẻ dây AE//MC Chứng minh tứ giác BECN hình bình hành

d) ng thng d i qua N vng góc với BM Chứng minh d ln qua điểm cố định

Bµi 5:

Cho đờng tròn (O ; R), đờng thẳng d cắt (O) hai điểm C D Điểm M tuỳ ý d, kẻ tiếp tuyến MA, MB I trung điểm CD

a) Chứng minh điểm M, A, I, O, B thuộc đờng tròn b) Gọi H trực tâm tam giác MAB, tứ giác OAHB hình gì? c) Khi M di đồng d Chứng minh AB qua điểm c nh

d) Đờng thẳng qua C vuông góc với OA cắt AB, AD lần lợt E K Chøng minh EC = EK

Chủ đề 5: Chứng minh hai tam giác đồng dạng chứng minh đẳng thức hình học.

Bµi 1:

Cho đờng trịn (O) dây AB M điểm cung AB C thuộc AB, dây MD qua C a) Chứng minh MA2 = MC.MD.

b) Chøng minh MB.BD = BC.MD

c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD tiếp xúc với MB B

d) Gọi R1, R2 bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác BCD ACD Chứng minh

R1 + R2 không đổi C di động AB

Bµi 2:

Cho nửa đờng trịn tâm O, đờng kính AB = 2R điểm M nửa đờng tròn (M khác A, B) Tiếp tuyến M nửa đờng tròn cắt tiếp tuyến A, B lần lợt C E

a) Chøng minh r»ng CE = AC + BE b) Chøng minh AC.BE = R2.

c) Chứng minh tam giác AMB đồng dạng với tam giác COE

d) Xét trờng hợp hai đờng thẳng AB CE cắt F Gọi H hình chiếu vng góc M AB

+ Chøng minh r»ng:

FB FA HB HA



+ Chứng minh tích OH.OF khơng đổi M di động nửa đờng trịn

Bµi 3:

Trên cung BC đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC lấy điểm P Các đ-ờng thẳng AP BC cắt Q Chứng minh rằng: PQ1 PB1 PC1 .

Bµi 4:

Cho góc vng xOy Trên tia Ox đặt đoạn OA = a Dựng đờng tròn (I ; R) tiếp xúc với Ox A cắt Oy hai điểm B, C Chứng minh hệ thức:

a) 2 2 2

a AC

1 AB

1





b) AB2 + AC2 = 4R2.

Chủ đề 6: Các tốn tính số đo góc số đo diện tích.

Bµi 1:

Cho hai đờng tròn (O; 3cm) (O’;1 cm) tiếp xúc A Vẽ tiếp tuyến chung BC (B  (O); C  (O’))

a) Chøng minh r»ng gãc O’OB b»ng 600.

b) Tính độ dài BC

c) Tính diện tích hình giới hạn tiếp tuyến BC cung AB, AC hai đờng tròn

Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10 cm, CB = 40 cm Vẽ phía AB nửa đờng trịn có đờng kính theo thứ tự AB, AC, CB có tâm theo thứ tự O, I, K Đờng vng góc với AB C cắt nửa đờng tròn (O) E Gọi M, N theo thứ tự giao điểm EA, EB với nửa đờng tròn (I), (K)

a) Chøng ming r»ng EC = MN

b) Chứng minh MN tiếp tuyến chung nửa đờng trịn (I), (K) c) Tính độ dài MN

d) Tính diện tích hình đợc giới hạn ba nửa đờng trịn

Bµi 3:

Từ điểm A bên ngồi đờng trịn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đờng tròn Từ điểm M cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt hai tiếp tuyến P Q

a) Chứng minh rằng: Khi điểm M chuyển động cung BC nhỏ chu vi tam giác APQ có giá trị khơng đổi

b) Cho biết BAC = 600 bán kính đờng trịn (O) cm Tính độ dài tiếp

tuyến AB diện tích phần mặt phẳng đợc giới hạn hai tiếp tuyến AB, AC cung nhỏ BC

Bµi 4:

Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I tâm đờng tròn nội tiếp , K tâm đờng trịn bàng tiếp góc A, O trung điểm IK

a) Chứng minh rằng: điểm B, I, C, K thuộc đờng tròn b) Chứng minh rằng: AC tiếp tuyến đờng trịn (O)

c) Tính bán kính đờng trịn (O) biết AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm

Bµi 5:

Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB = 2R E điểm đờng tròn mà AE > EB M điểm đoạn AE cho AM.AE = AO.AB

a) Chứng minh AOM vuông O

b) OM cắt đờng tròn C D Điểm C điểm E phía AB Chứng minh ACM đồng dạng với AEC

c) Chứng minh AC tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác CEM d) Giả sử tỉ số diện tích hai tam giác Acm AEC

3

Tính AC, AE, AM, CM theo R Chủ đề 7: Tốn quỹ tích.

Bµi 1:

Cho tam giác ABC cân (AB = AC) nội tiếp đờng tròn (O) M điểm di động đờng trịn Gọi D hình chiếu B AM P giao điểm BD với CM

a) Chøng minh BPM c©n

b) Tìm quỹ tích điểm D M di chuyển đờng trịn (O)

Bµi 2:

Đờng trịn (O ; R) cắt đờng thẳng d hai điểm A, B Từ điểm M d đờng tròn (O) kẻ tiếp tuyến MP, MQ

a) Chứng minh góc QMO góc QPO đờng tròn ngoại tiếp tam giác MPQ qua hai điểm cố định M di động d

b) Xác định vị trí M để MQOP hình vng?

c) Tìm quỹ tích tâm đờng tròn nội tiếp tam giác MPQ M di động d

Bµi 3:

Hai đờng trịn tâm O tâm I cắt hai điểm A B Đờng thẳng d qua A cắt đờng tròn (O) (I) lần lợt P, Q Gọi C giao điểm hai đờng thẳng PO QI

a) Chøng minh r»ng c¸c tø gi¸c BCQP, OBCI néi tiÕp

b) Gọi E, F lần lợt trung điểm AP, AQ, K trung điểm EF Khi đờng thẳng d quay quanh A K chuyển động đờng nào?

c) Tìm vị trí d để tam giác PQB có chu vi lớn Chủ đề 8: Một số toán mở đầu hình học khơng gian.

Bµi 1:

Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ Biết AB = cm; AC = cm A’C = 13 cm Tính thể tích diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật

Bµi 2:

Cho hình lập phơng ABCDABCD có diện tích mặt chéo ACCA b»ng 25 cm2

Bµi 3:

Cho hình hộp nhật ABCDA’B’C’D’ Biết AB = 15 cm, AC’ = 20 cm góc A’AC’ 600 Tính thể tích diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật đó.

Bµi 4:

Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ Tính diện tích xung quanh thể tích biết cạnh đáy dài cm góc AA’B 300.

Bµi 5:

Cho tam giác ABC cạnh a Đờng thẳng d vng góc với mặt phẳng (ABC) trọng tâm G tam giác ABC Trên đờng thẳng d lấy điểm S Nối SA, SB, SC

a) Chøng minh r»ng SA = SB = SC

b) Tính diện tích toàn phần thĨ tÝch cđa h×nh chãp S.ABC, cho biÕt SG = 2a

Bµi 6:

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a đờng cao

2

a .

a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác b) Tính thể tích diện tích xung quanh hình chóp

Bµi 7:

Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy cạnh bên a a) Tính diện tích tốn phần hình chóp

b) TÝnh thĨ tÝch cđa h×nh chãp

Bµi 8:

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có chiếu cao 15 cm thể tích 1280 cm3.

a) Tính độ dài cạnh đáy

b) TÝnh diƯn tÝch xung quanh cđa h×nh chãp

Bµi 9:

Một hình chóp cụt diện tích đáy nhỏ 75 cm2, diện tích đáy lớn gấp lần diện tích đáy

nhỏ chiều cao cm Tính thể tích hình chóp cụt

Bµi 10:

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = a SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD)

a) TÝnh thĨ tÝch h×nh chãp

b) Chứng minh bốn mặt bên tam giác vuông a) Tính diện tích xung quanh hình chóp

Bµi 11:

Một hình trụ có đờng cao đờng kính đáy Biết thể tích hình trụ 128 cm3, tính

diƯn tÝch xung quanh cđa nã

Bµi 12:

Một hình nón có bán kính đáy cm diện tích xung quanh 65 cm2 Tính

thể tích hình nón

Bµi 13:

Cho hình nón cụt, bán kính đáy lớn cm, đờng cao 12 cm đờng sinh 13 cm

a) Tính bán kính đáy nhỏ

b) Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón cụt

Bµi 14: