Mot so bai toan lien quan den khao sat ham so

[r]

Một số toán liên quan đến khảo sát hàm số

* T×m giao ®iĨm cđa hai ® êng

Bµi toán 1: Tìm giao điểm hai đ ờng

Giả sử hàm số y= f(x) có đồ thị (C) hàm số y=g(x) có đồ thị (C1) Hãy tìm giao điểm (C)và (C1)

Giải : M

0(x0 ;y0) giao điểm (C) vµ (C1) vµ chØ

(x0 ;y0) lµ nghiƯm cđa hƯ y = f(x)

y = g(x)

Do để tìm hồnh độ giao điểm (C) (C1) ta giải ph ơng trình : f(x) = g(x) (1)

Nếu x0, x1là nghiệm (1) điểm M0(x0; f(x0)) ;

ví dụ : Biện luận theo m số giao điểm đồ thị hàm

sè y =

2 x 3 x 6 x2   

Vµ y= x- m

Giải :

Xét ph ơng trình : x m

2 x 3 x 6 x2     

( X  - )  x2-6x+3 = (x-m)(x+2) (x  - )  x2-6x+3 = x2+ (2-m)x-2m (x  - )

 (8-m)x-3-2m = (2) (x  -

2 )

BiÖn luËn

* m=8 : (2) cã dạng 0x-19 =

(2) vô nghiệm

* m  : ph ¬ng tr×nh (2) cã nghiƯm nhÊt m 8 m 2 3 x

nghiệm khác -2 , v× nÕu 2

m 8 m 2 3    

 3+2m =-16 +2m  3= -16 (v« lý )

VËy tr ờng hợp , có giao điểm (x;y) víi :

m 8 m 2 3 x  

 ; y = x- m

y

x

-1 1

-2

-4 -2

-3 2 3

1

Ví dụ a, Khảo sát hàm số : y =x3 + 3x2 - 4

b, Dùng đồ thị biện luận số nghiệm ph ơng trình : x3 + 3x2 - =m (*)

Gi¶i

a, Ta có đồ thị sau (C)

b, Số nghiệm ph ơng trình (*) số giao điểm (C) đ ờng thẳng y = m

y

0

-1 1

-2

-4 -2

-3 2 3

1

KÕt luËn :  Cã giao ®iĨm  (*) cã nghiÖm

y

x

-1 1

-2

-4 -2

-3 2 3

1 +

+ m =

m = -  Cã giao ®iĨm  (*) cã nghiÖm

+ - < m < 0  Cã giao ®iĨm  (*) cã nghiƯm

y= m

Bài toán : Viết ph ơng trình tiếp tuyến

Cho hàm số y = f(x) Gọi (C) đồ thị , viết ph ơng trình tiếp tuyến (C) bit :

Tr ờng hợp 1 : Tiếp điểm M0(x0 ; y0) (C)

Giải : Ph ơng trình tiếp tuyến (C) M0(x0 ; y0) :

y - y0 = f ’ (x0) (x -x0)

Tr ờng hợp : Đi qua điểm M1(x1; y1 ) Giải : - Đ ờng thẳng d ®i qua M

1(x1; y1 ) vµ cã hƯ số góc k có ph

ơng trình : y-y1 = k(x-x1)  y= k (x-x1) + y1 - §Ĩ cho d lµ tiÕp tun cđa (C) hƯ sau cã nghiÖm :

f(x) = k(x-x1) + y1 f ’(x) = k

+ x0  y0 ; f’(x0) + y0  x0 ; f’(x0) + f’(x0)  x0 ; y0

(y0= f(x0) )

Ví dụ : Cho đ ờng cong y=x3 Viết ph ơng trình tiếp tuyến đ ờng cong :

a, Tại điểm (-1 ;-1 )

b, Biết hƯ sè gãc cđa tiÕp tun b»ng Gi¶i : a, y’=3x2  y’ (-1) = 3

Ph ơng trình tiếp tuyến cần tìm : y+1 =3(x+1)

 y = 3x +2

b , Giải ph ơng trình : 3x2 = 3  x = 

Cđng cè

Có thể mở rộng xét vấn đề hai đồ thị tiếp xúc với điểm chung : Cho hai hàm số y =f(x) y =g(x) có đồ thị t ơng ứng (C) và(C’)

Hai đồ thị (C) (C’) đ ợc gọi tiếp xúc với

điểm chung ,nếu điểm chúng có tiếp tuyến, diểm chung đ ợc gọi tiếp điểm

Nh ,hai đồ thị (C ) (C’) tiếp xúc với

chỉ hệ ph ơng trình sau có nghiệm : f(x)=g(x)

Bµi tËp vỊ nhµ : ;4 ; ôn tập ch ơng