Hệ phơng trìnhChuyên đề: Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn A. Các kiến thức cần nhớ 1. Định nghĩa: Cho hai phơng trình bậc nhất hai ẩn ax +by=c và ax+by=c. khi đó ta có hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn: ax +by=c (1) ax+by=c(2) (I) - Nếu hai phơng trình (1) và (2) có nghiệm chung (x 0 ;y 0 ) Thì (x 0 ;y 0 ) gọi là nghiệm của hệ (I). khi đó : ax 0 +by o = c ax o +by o = c - Nếu hai phờng trình (1) và (2) không có nghiệm chung thì ta nói hệ vô nghiệm. 2. Quan hệ giữa số nghiệm của hệ phơng trình và đờng thẳng biểu diễn tập nghiệm Phơng trình (1) đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d) Phơng trình (2) đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d) - nếu (d) cắt (d) thì hệ có nghiệm duy nhất - Nếu (d) song song với (d) thì hệ vô nghiệm - Nếu (d) trùng với (d) thì hệ vô số nghiệm 3. Hệ phơng trình tơng đơng Hai hệ dợc gọi là tơng đơng với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm 4. Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng, phơng pháp thế. 4.1 Giải hệ bằng phơng pháp cộng Bớc 1: Dùng phép biến đổi tơng đơng làm cho hệ số của một trong hai ẩn bằng nhau hoặc đối nhau Bớc 2: Cộng hay trừ từng vế hai phơng trình của hệ phơng trình mới để đợc một hệ phơng trình tơng đơng, trong đó có một phơng trình là bậc nhất một ẩn số. Bớc 3: Giải phơng trình bậc nhất một ẩn, Thay giá trị của ẩn tìm đợc vào phơng trình kia. Bớc 4: Giải phơng trình bậc nhất đối với ẩn còn lại. 4.2. Giải hệ bằng phơng pháp thế 1 Hệ phơng trình Bớc 1: Từ một trong hai phơng trình, biểu diễn một ẩn ( x chẳng hạn) theo ẩn số kia rồi thế vào phơng trình thứ hai để đợc một phơng trình bậc nhất một ẩn mới. Bớc 2: Giải phơng trình bậc nhất một ẩn mới ( trong trờng hợp này là y) tìm đợc. Bớc 3: Thay giá trị của ẩn tìm đợc vào biểu thức đợc biểu diễn ở bớc 1 để tìm giá trị của ẩn còn lại. B. Các dạng bài tập 1. Hệ phơng trình đa về dạng hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn. 2. Giải hệ phơng trình bằng cách đặt ẩn phụ 3. Giải và biện luận hệ phơng trình. 4. Tìm giá trị của tham số để hai hệ phơng trình tơng đơng 5. Hệ phơng trình đa về phơng trình bậc hai C. Ví dụ: 1. ví dụ 1: Giải hệ phơng trình: 2x+3y=-2 (1) 3x-2y = - 5(2) Cách 1: Nhân hai vế phơng trình (1) với 3, nhân hai vế phơng trình (2) với -2 ta đ- ợc hệ phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho: 6x+9y=-6 (1) -6x+ 4y = 10 (2) Cộng từng vế hai phơng trình của hệ ta đợc: 13y= 4 y= 4/13 Thay y= 4/13 vào phơng trình (2) ta đợc 3x - 13 8 = 10 x= 46/13 Vậy hệ phơng trình có nghiệm là x=46/13 y=4/13 Cách 2 : Nhân hai vế phơng trình(1) với 3, nhân hai vế phơng trình (2) với 3 ta đợc hêj phơng trình tơng đơng với (I) : 6x+9y=-6 (1) 6x- 4y = - 10 (2) Rút 6x từ phơng trình(1) t a đợc : 6x= -9y-6 (3) Thay vào (2) ta đợc -13y= -4 y= 4/13 Thay y=4/13 vào (3) ta đợc x= 46/13 2 Hệ phơng trình 2. Ví dụ 2 : Giải hệ phơng trình : 10 11 5 3 =+ yx (1) 12 1 4 3 4 3 =+ yx (2) Đặt u= x 1 và v= y 1 ta có hệ: 10 1 5 3 =+ v u 6u+10v=1 12 1 4 3 4 3 =+ vu 9u+9v = 1 Giải ra ta tìm đợc u = 1/36 và v= 1/12 Từ 1/x= 1/36 x=36 Từ 1/y= 1/12 y = 12 * Tổng quát : ax +by=c (1) a.a.x +a.b.y = a.c ax+by=c(2) a.ax +a.b.y = a.c Trừ từng vế hai phơng trình của hệ ta đợc : (a.b-a.b)y = a.c-a.c ( *) Nếu ab- ab = 0 và ac-ac = 0 thì (*) có vô số nghiệm => hệ vô số nghiệm Nếu ab-ab =0 và ac-ac 0 thì (*) vô nghiệm => Hệ vô nghiệm Nếu ab-ab 0 thì hệ có một nghiệm duy nhất : x= baab bccb '' '' y= baab acca '' '' 3. ví dụ 3: Giải hệ phơng trình: x+y=1 (1) x 2 +xy+y 2 = 7 (2) Gợi ý: Rút x từ (1) thay vào (2), giải phơng trình bậc hai tìm đợc - Thay giá trị y tìm đợc vào (1) tìm y D. Bài tập Bài 1 : Giải hệ phơng trình a) 2x+3y=-2 b) 4x+3y=6 3x-2y= -3 2x +y = 0 7x+4y=74 9x+8y=6 c) 3x+2y= 32 d) 2x-y=2 Bài 2 : Giải hệ phơng trình 3 HÖ ph¬ng tr×nh a) 02 34 =−+ yx b) 3 1 35 −=+ yx 5x-y =11 4x-5y -10= 0 Bµi 3: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh a) 132 =− yx b) 1)31(5 =+− yx 23 =+ yx 15)31( =+− yx Bµi 4: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh a) 6(x+y) =8+5x-3y b) (x-1)(y-2)=(x+1)(y-3) 5(y-x) =5+3x +2y (x-5)(y+4)=(x-4)(y+1) B i 5à : Giải hệ ph¬ng tr×nh a) x-y+2 = 0 b) x-3y-1 =0 2x 2 -3y 2 +5x-2y+7=0 x 2 -8y 2 +2(3y+1) +5 =0 Bµi 6 : Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh 1 2 15 15 8 = + + − yx 12 1 2 1 1 1 = + + − yx Bµi 7: Cho hÖ ph¬ng tr×nh 3x+4y=12 mx+2y=5 a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi m=1 b) T×m m ®Ó hÖ v« sè nghiÖm Bµi 8 : Cho hÖ ph¬ng tr×nh 2mx+y=1 mx+(1-3m)y=-1 a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi m=2 b) T×m ®iÒu kiÖn ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. Bµi 9: Cho hÖ ph¬ng tr×nh: mx+2y=m+2 (2m-1)x+(m+1)y=2(m+1) 4 Hệ phơng trình a) Giải hệ phơng trình với m=3 b) Tìm giái trị của m dểhệ phơng trình có nghiệm Bài 10: Giải hệ phơng trình; 4x 2 +y 2 + 4xy=4 x 2 + y 2 -2(xy+8)=0 Bài 11: Cho hệ phơng trình 3x-4y=10 (I) mx+y=8-5n (II) 4x-y=9 6x+(2n-3m)y=16 a) Giải hệ phơng trình (I) b) Tìm m,n đểhệ phơng trình (I) tơng đơng với hệ phơng trình (II) Bài 12: Cho hệ phơng trình -2mx+y=4 2x+my=2 a) Giải hệ phơng trình với m=2 b) Tính các giá trị x;y theo m và từ đó tìm giá trị của m để S= x+y đạt giá trị lớn nhất. 5 . vào (1) tìm y D. Bài tập Bài 1 : Giải hệ phơng trình a) 2x+3y=-2 b) 4x+3y=6 3x-2y= -3 2x +y = 0 7x+4y=74 9x+8y=6 c) 3x+2y= 32 d) 2x-y=2 Bài 2 : Giải hệ. giái trị của m dể hệ phơng trình có nghiệm Bài 10: Giải hệ phơng trình; 4x 2 +y 2 + 4xy=4 x 2 + y 2 -2(xy+8)=0 Bài 11: Cho hệ phơng trình 3x-4y=10 (I) mx+y=8-5n