Đang tải... (xem toàn văn)
trong c¸c hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ.. ViÕt c¸c ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn Êy.. BiÓu thøc ®èi xøng cña cùc trÞ: Bµi 5.. VÞ trÝ cña C§ vµ CT trong mÆt ph¼ng Oxy.. B¶ng nguyªn hµm cñ[r]
(1)Bài Đạo hàm ứng dụng Một số kiến thức cần nắm vững:
Cỏc quy tắc tính đạo hàm
Bảng đạo hàm hàm số thờng gặp Đạo hàm cấp cao
1 Đạo hàm cấp n: PP tính đạo hàm cấp n:
+ Bớc 1: Tính đạo hàm cấp 1, 2, + Dự đốn cơng thức tổng quát; + Chứng minh quy nạp; + Kết luận
* Một số cơng thức tính đạo hàm cấp n:
( )
1
1
( )
( )
( )
1 ( 1) !
( )
( 1) ( 1)!
ln( )
( )
sin sin
2
cos cos
2 n n n
n n n n
n
n
n
a n
y y
ax b ax b
a n
y ax b y
ax b n
y x y x
n
y x y x
VÝ dơ Cho hµm sè y = 1 x a) TÝnh y’, y’’, y’’’
b) Chøng minh r»ng: ( ) ! 1 (1 ) n
n n y
x
Ví dụ Tính đạo hàm cấp n hàm số: a) y = 22
1 x
x ; b) y =
2008
5
x x x
2 ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức:
PP: Để chứng minh f(x) > g(x) x (a; b) ta đặt (x) = f(x) - g(x)
+ XÐt xù biÕn thiªn hàm y = (x) (a; b) + Dựa vào biến thiên chứng tỏ (x) > 0, x (a; b)
* Chú ý: Đôi ta phải chọn hàm số (x) để có điều cần chứng minh
VÝ dô Chøng minh r»ng: a) ln(1 + x) > x -
2
2 x
, x > b) sin , (0; )
2 x
x x
HD:
a) Đặt f(x) = ln(1 + x) - x +
2
2
x víi x > 0.
Cã
2
1
'( ) 0,
1
x
f x x x
x x
f(x) > f(0) = víi x > đpcm b) Đặt f(x) = sinx
x víi x (0; )2
Cã f x'( ) xcosx2 sinx x
Đặt g(x) = xcosx - sinx
g’(x) = -xsinx < víi (0; )
x g(x) lµ hµm NB trªn (0; )
2
g(x) < g(0) víi (0; ) x f(x) hàm số NB (0; )
2
f(x) > f(
) =
, x (0; )2
Bµi tËp lun tËp: Chøng minh BĐT:
a) ex > x + víi x > 0; b) x > ln(1 + x) víi x > 0.
c) (x + 1)lnx > 2(x - 1) víi x > 1; d) cosx
-2
2 x
víi x > 0; e) sinx x
-3
6 x
với x>0; 3 ứng dụng định nghĩa đạo hàm để tính giới hạn.
0
0
0
( ) ( )
lim '( )
x x
f x f x
f x x x
PP: Để tính giới hạn hàm số định nghĩa đạo hàm điểm ta làm theo bớc:
+ Bớc 1: Đa giới hạn cần tính cơng thức:
0
( ) ( ) lim
x x
f x f x x x
+ Bíc 2: XÐt hµm sè y = f(x) TÝnh f(x0), f’(x) vµ f’(x0)
+ Bíc 3: KÕt luËn
0
0
( ) ( )
lim '( )
x x
f x f x
f x x x
Chú ý: Một số trờng hợp ta phải biến đổi dạng:
0
0
0
0
0
( ) ( )
'( ) lim
( ) ( ) '( )
x x
f x f x
x x f x
g x g x g x x x
VÝ dô Tính giới hạn: a)
3
0
1
lim x
x x
x
;
HD: §Ỉt f(x) = x 1 1 x
giới hạn có dạng:
0
( ) (0) lim
0 x
f x f x
Do đó:
3
0
1
lim '(0)
x
x x
f x
Cã 2
3
1
'( )
2 ( 1)
f x
x x
; f’(0) =
1
3 2 6 VËy
3
0
1
lim
6 x
x x
x
b)
3
7
9
lim
7 x
x x
x
; §S: 96 c)
3
1
(2 1)
lim
1 x
x x x
x
; §S: d)
3
0
1
lim
1 cos x
x x
x x
(2)HD:
3
3
0
1
1
lim lim
1 cos cos
x x
x x
x x x
x x x x
x
e)
3
0
1
lim x
x x
x
; f)
2
5
lim
1 x
x x
x
; 4 ứng dụng đạo hàm để tìm GTLN, GTNN * Bài tốn 1: GTLN, GTNN hàm số khoảng
PP: + Lập BBT hàm số khoảng cần tìm + Nếu khoảng hàm số có điểm cực tiểu GTNN
+ Nếu khoảng hàm số có điểm cực i thỡ ú l GTLN
* Bài toán 2: Tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn
PP: + Tìm TXĐ, tìm điểm tới hạn x1, x2, x3,
f(x) đoạn [a; b]
+ TÝnh f(a), f(x1), f(x2), , f(b)
+ T×m sè lín nhÊt M vµ sè nhá nhÊt m số kết luận
M = max ( )[ ; ]a b f x , m = ( )[ ; ]a b f x
* Bài toán 3: Xác định tham số để phơng trình bất phơng trình có nghiệm
+ F(x) = m m [MaxF(X); minF(x)] + F(x) > m víi mäi x <=> m < minF(x)
+ F(x) > m có nghiệm <=> m<MaxF(x) Chú ý: đổi biến phải tìm ĐK biến có
thĨ sư dơng phơng pháp miền giá trị Các ví dụ
Bài 1: Tìm GTLN, GTNN hàm số
1
2
x x
y
đoạn [-1;2]
Bài 2: Tìm GTLN,GTNN hàm số
x x y ln2 đoạn [1;e3]
Bài 3: Tìm GTLN, GTNN hàm sè
3 4(1 x )
x
y đoạn [-1;1]
Bi 4: Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm với x thuộc [-1/2;3]
) ( )
3 ).(
(
x x m x x
HD Đặt t= (12x).(3 x) Từ miền xác đinh x
suy
4 ;
t
Biến đổi thành f(t) = t2 + t > m + 2.
Tìm miền giá trị VT m < -6
Bài 5: Tìm a nhỏ để bất phơng trình sau thoả mãn với x thuộc [0;1]
2
2
) (
)
.(x x x x
a
HD Đặt t = x2 + x dùng miền giá trị suy a = -1.
Bài 6: Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm
2 1 1
x x x x m
HD: m
Bài 7: Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm với x
4 2
3cos x 5.cos3x 36.sin x15cosx36 24 m12m HD Đặt t = cosx BBT m
Bài 8: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm [-/2; /2]
2 ) cos ( sin
2 xm x
Bài 9: Tìm GTLN, GTNN hµm sè
x x
y 2sin8 cos42
HD : vµ 1/27
Bµi 10: Tìm GTLN, GTNN hàm số 2x x (4x )x
y
víi 0 x 1
Bµi 11: T×m GTLN, GTNN cđa hs y x 4 x2
* PP t×m GTLN, GTNN hàm số miền giá trị hàm số
Ví dụ:
Tìm GTLN, GTNN hµm sè: a)
2
3 12 x y
x x
; b) 28
1 x y
x x
; c) 2sin
cos
x y
x
; d)
sin cos sin 2cos
x x
y
x x
Bµi 2: TiÕp tuyÕn, tiếp xúc và tơng giao
1 Phng trỡnh tip tuyến hàm số. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) * Tiếp tuyến điểm M(x0; y0) (C):
y - y0 = f’(x0)(x - x0)
* TiÕp tuyÕn cã hÖ sè gãc k cho tríc:
+ Gọi x0 hồnh độ tiếp điểm Ta có f’(x0) = k
+Giải phơng trình ta tìm đợc x0, tìm y0 = f(x0)
Từ ta viết đợc phơng trình Chú ý: Nếu tiếp tuyến và: + // d: y = ax + b k = a
+ d: y = ax + b k = -1/a
+ hỵp víi trơc Ox mét gãc k = tg()
+ hỵp víi tia Ox mét gãc k = tg()
* TiÕp tun ®i qua mét ®iĨm A(x1; y1).
Cách 1: Gọi x0 hoành độ tip im
PTTT x0 là: y = f(x0)(x - x0) + f(x0)
A TT y1 = f(x0)(x1 - x0) + f(x0)
Giải phơng trình ẩn x0 tìm f(x0), f(x0)
Cách 2: Đờng thẳng ®i qua A cã hƯ sè gãc k cã ph-ơng trình: y = k(x - x1) + y1
lµ tiÕp tun cđa (C) hƯ PT sau cã nghiÖm:
1
( ) ( )
'( )
f x k x x y f x k
giải hệ phơng trình phơng pháp để tìm k 2 Điều kiện tiếp xỳc ca hai th:
Đồ thị hàm sè y = f(x) vµ y = g(x) tiÕp xóc hệ phơng trình sau có nghiệm:
( ) ( ) '( ) '( ) f x g x f x g x
nghiệm hệ hoành độ tiếp điểm
Đặc biệt đồ thị hàm số y = f(x) tiếp xúc với trục Ox hệ phơng trình sau có nghiệm
3 Điểm cố định họ đờng cong.
Điểm cố định điểm có to (x0; y0) nghim ỳng
phơng trình: y0 = f(x0, m) Vì vậy: muốn tìm điểm cố
định mà họ đờng cong (Cm) qua ta làm theo hai bớc
(3)*
0
0
0 A
Am Bm C m B
C
* 0
0 A
Am B m
B
+ Giải hệ điều kiện ta tìm đợc điểm cố định 4 Tiếp tuyến cố định
* PP:
Dạng 1: Họ đờng cong qua điểm cố định: Ta tìm điểm cố định M(x0; y0), chứng minh f’(x0) =
h»ng sè víi m
Dạng 2: Họ đờng cong không qua điểm cố định: áp dụng điều kiện tiếp xúc đồ thị hai hàm số, ta có hệ phơng trình sau có nghiệm với m:
( ) '( )
f x ax b f x a
5 T¬ng giao
Hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y = f(x) y = g(x) nghiệm phơng trình: f(x) = g(x)
Chú ý tốn tìm số giao điểm đồ thị hàm số với trục honh
* Đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d cắt trục hoành
tại điểm lập thành cấp số cộng hàm số có cực trị điểm uốn nằm trục hoành
' 0
uốn
cã hai nghiƯm ph©n biƯt y
y
* Đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c cắt trục hoành
điểm lập thành cấp số cộng phơng trình: at2 + bt + c = cã nghiƯm d¬ng t
1 < t2 tho¶ m·n t2 =
9t1
Các tập luyện tập:
a) Các tập phơng trình tiếp tuyến:
Bi Cho hm số y = x3 - 2x2 + 2x có đồ thị (C).
1) ViÕt PTTT cña (C) biÕt tiếp tuyến vuông góc với đ-ờng thẳng y = -x +1
2) Chứng minh (C) điểm mà tiếp tuyến với (C) hai điểm vuông góc với HD: 1) ĐS: y = x, y = x + 2/27
2) CM: y’ > víi x
Bài Viết PTTT điểm uốn đồ thị hàm số y = x3
- 3x2 CMR tiếp tuyến có hệ sè gãc nhá nhÊt
trong hệ số góc tiếp tuyến đồ thị HD: ĐS: y = -3x +
CMR y’ - víi x
Bµi Cho hµm sè y = x3 - 3x + ViÕt PTTT víi (C)
biết tiếp tuyến qua điểm A(1; 6) ĐS: y = 9x - 15
Bµi Cho hµm sè y = x x
CMR tiếp tuyến điểm đồ thị cắt hai đờng tiệm cận tam giác tạo thành có diện tích khơng đổi
HD: + Giao với TCĐ
0
4
(2; )
2 x A
x
, giao víi TCN t¹i
0
(2 2;1) B x
Bµi Cho hµm sè y = f(x) = ( ) ( ) u x v x
1) CMR hÖ sè góc tiếp tuyến giao điểm x = x0
của đồ thị với trục hoành k =
0
'( ) ( ) u x
v x 2) Tìm m để đồ thị hàm số y =
2 2
2
x x m
x
cắt trục hoành điểm mà tiếp tuyến đồ thị điểm vng góc với
§S: m = 2/5
b) Các toán tiếp tuyến cố định: Bài CMR với m0 đồ thị hàm số
(m 1)x m y
x m
tiếp xúc với đờng thẳng cố định
HD: điểm cố định (0; 1), y’(0) = Bài Chứng minh đồ thị hàm số
2
(m 2)x (m 2m 4) y
x m
tiếp xúc với hai đờng thẳng cố định
HD: G/s tiếp tuyến cố định y = kx + b Ycbt hệ:
2
4
( )
m kx b
x m k x m
cã nghiƯm víi m
§S: y = x + 3, y = x - c) Các toán tiếp xúc:
Bài Tìm m để hàm số y = x3 - 3mx + m + tiếp xúc
với trục hoành ĐS: m =
Bi Cho (C): y= (x2 - 1)2 (P): y = ax2 - Tìm a để
(C) vµ (P) tiÕp xóc ViÕt PT c¸c tiÕp tun chung cđa (C) vµ (P)
HD: a = 2, tiÕp ®iĨm lµ x = 2
Bài 10 Tìm m để (P): y = x2 + m tiếp xúc với đồ thị
hµm sè:
2
1 x x y
x
ĐS: k = -1
d) Các toán tơng giao:
Bi 11 Tỡm m đề đồ thị hàm số y = x3 - 3mx2 + 4m3 ct
trục hoành điểm lËp thµnh mét CSC HD: m = 0, m =
2
Bài 12 Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 - 2(m + 1)x2 +
2m + c¾t trục hoành điểm lập thành CSC ĐS: m = 4, m = -4/9
HD: Ycbt trung điểm đoạn thẳng thuộc đờng thẳng y = x
Bµi 13: Cho hµm sè (1) 1
x x y
1) Tìm m để đờng thẳng D: y= 2x + m cắt (C ) điểm phân biệt A,B cho tiếp tuyến (C ) A, B song song với
2) Tìm tất điểm M thuộc (C ) cho khoảng cách từ M đến giao điểm đờng tiệm cận ngắn
Bµi 14: Cho hµm sè (1)
1
(4)Gọi I giao điểm đờng tiệm cận (C ) Tìm điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến M vng góc với d-ờng thẳng IM
Bµi 15: Cho hµm sè (1)
2
x m x mx y
Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ dơng
Bµi 16: Cho hµm sè (1)
x mx m
y Tìm m để
đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt Bài 17: Cho hàm số (1)
1 2
2
x x x y
Tìm toạ độ điểm A,B nằm (C ) đối xứng qua đờng thẳng x - y - =
Bµi 18: Cho hµm sèy x4 4x2 m (1)
Giả sử đồ thị cắt trục hoành điểm phân biệt Hãy xác định m cho hình phẳng giới hạn đồ thị (C) trục hồnh có diện tích phần phía phần phía dới trục hồnh
HD: ĐK cắt 0<m<4 vẽ minh hoạ gọi x1, x2, x3, x4,
là nghiệm
Strên= Sduói<=>
3
3
0
( ) ( )
x x
x
f x dx f x dx
Vận dụng tính chất đối xứng , định ly viét m=20/9 Bài 19: Cho hàm số (1)
2
2
x x x y
Xác định m để (d) y = m(x - 5) + 10 cắt đồ thị (C ) điểm phân biệt nhận I(5;10) trung điểm
Bµi 20 Cho hµm sè
2
2
(1)
x x y
x
CMR tích khoảng cách từ M thc (C ) dÕn tiƯm cËn cđa (C ) không phụ thuộc vào vị trí M
Các tập tự luyện:
Bài (39.I): Cho y = x3 + 3x2 + 3x + 5.
1 CMR: Trên đồ thị không tồn hai điểm mà hai tiếp tuyến vng góc với
2 Tìm k để đồ thị có điểm mà tiếp tuyến vng góc với đờng thẳng y = kx Bài 2: Tìm điểm M đồ thị hàm số y =
2
2 x x
x
cho tiếp tuyến M cắt trục toạ độ A B tạo thành tam giỏc vuụng cõn OAB
Bài : Tìm tiÕp tun cã hƯ sè gãc nhá nhÊt cđa y = x3
+ 3x2 - 9x + 5.
Bµi : ViÕt tiÕp tun víi y = -x3 + 3x2 biÕt tiÕp tun
vu«ng gãc víi y = 9x Bµi 5: ViÕt pttt qua M(2
3; 1) víi y = -x
3 +3x -1.
Bài 7: CMR đồ thị y = 3 x x
tiếp tuyến qua giao hai tiệm cËn
Bµi 8: Qua A(-2; 5) cã mÊy tiÕp tuyÕn víi y = x3 - 9x2 +
17x +
Bài Tìm m để đồ thị hàm số y = (x - 1)(x2 + mx + m)
tiÕp xóc víi trơc hoµnh
Bµi 12 Cho hµm sè
2 2
x mx m
y
x m
có đồ thị Cm Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục Ox hai điểm tiếp
tuyến hai điểm vng góc với
Bài 13 Cho hàm số y = x3 - 3x2 + có đồ thị (C) Qua
A(1; 0) kẻ đợc tiếp tuyến tới (C) Viết phơng trình tiếp tuyến Chứng minh khơng có tiếp tuyến đồ thị song song với tiếp tuyến qua A(1; 0)
Bài 14 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 + mx2 + tiếp
xúc với đờng thẳng d có phơng trình y =
Bài 15 Tìm m để đờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = x4 - 2x2 điểm phân biệt.
Bài 16 Tìm m để đồ thị (C) hàm số y = 1 x x
cắt đờng thẳng d: y = mx + điểm thuộc nhánh khác đồ thị
Bài 17 Tìm m để đờng thẳng y = m cắt đồ thị (C) hàm số y =
2
3
2( 1)
x x
x
hai điểm A, B cho AB =
Bài 18 Tìm m để đờng thẳng y = m cắt đồ thị (C) hàm số y =
2
1
x mx m x
hai điểm phân biệt A, B cho OA OB
Bài 19 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 + mx2 - m cắt
trục hoành điểm lập thành cấp số cộng Bài 20 Tìm m đề đồ thị hàm số y =
4
2
2
x
mx m
cắt trục hoành điểm lập thành cấp số cộng Bài Tính đơn điệu cực trị
Một số kiến thức cần nắm vững: 1 Tính đơn điệu hàm số:
Hµm sè y = f(x) §B/(a; b) f’(x) x (a; b) Hµm sè y = f(x) NB/(a; b) f’(x) x (a; b) Chó ý:
Cho tam thøc bËc 2: f(x) = ax2 + bx + c (a 0).
+ f(x) x 0 a
; f(x) 0 x 0 a
2 Cực trị hàm số.
Cn nm vững hai quy tắc để tìm cực trị * Cho hàm số y = f(x).
+ Hàm số đạt cực đại x = x0
0
'( ) ''( ) f x f x
+ Hàm số đạt cực tiểu x = x0
0
'( ) ''( ) f x f x
* §èi víi hµm sè y = ax3 + bx2 + cx + d.
+ Hàm số có cực trị y’ = có nghiệm phân biệt Khi hàm số có CT CĐ
+ Khi chia y cho y’ ta đợc: y = y’.g(x) + r(x)
Nếu x0 điểm cực trị yCT = r(x0) y = r(x) chÝnh lµ
đờng thẳng qua điểm cực trị * Đối với hàm số y = ax4 + bx2 + c:
+ Hàm số có điểm cực trị nằm trục tung + Vì y = 2x(2ax2 + b) nên hàm số có cực trị phơng
(5)+ Do tính chất đối xứng nên hàm số có cực trị ln có cực trị đối xứng qua trục Oy
* Đối với hàm số
2
' '
ax bx c y
a x b
:
+ Hàm số có cực trị y = có nghiƯm ph©n biƯt '
' b a
Khi hàm số có CT CĐ + Hàm số có cực trị trái dấu
' 0
cã nghiệm phân biệt vô nghiệm
y y
+ Hµm sè cã cùc trÞ cïng dÊu '
0
cã nghiƯm ph©n biƯt cã nghiƯm ph©n biƯt y
y
+ Nếu hàm số đạt cực trị x0 y(x0) =
2 ' ax b
a
+ Đờng thẳng qua điểm cực trị
' '
a b
y x
a a
Mét sè vÝ dô :
* Các ví dụ tính đơn điệu hàm số: Ví dụ Cho hàm số y = x3 - 3x2 + mx + 1.
1) Tìm m để hàm số ĐB R 2) Tìm m để hàm số ĐB với x > HD:
1) §K y’ víi x g(x) = 3x2 - 6x + m víi
x ’ - 3m m
2) §K y’ víi x > XÐt trêng hỵp:
+ TH1: ’ m y’ x y’ víi x >
+ TH2: ’>0 th× y’ víi x > g(x) cã nghiƯm x1, x2 tho¶ m·n: x1 < x2
§S: m
Cách 2: Dùng PP hàm số Ví dụ Tìm m để hàm số y =
2 5 6
3
x x m
x
ĐB khoảng (1; +)
HD: Hàm số xác định với x(1; +)
2
2
6
'
( 3)
x x m
y
x
§K y’ víi x > g(x) = x2 + 6x + - m2 0
víi x > m2 x2 + 6x + x > m2 mint(x)
= x2 + 6x + x >
§S: -4 m
Ví dụ Tìm m để hàm số
2
2
2
x mx m
y
x m
đồng biến khoảng (1; +)
HD: Hàm số xác định với x > 2m m 1/2
2
2
4 '
( )
x mx m
y
x m
§K y’ víi x > g(x) = x2 - 4mx + m2
víi x > XÐt trêng hỵp: + TH1: ’ m = + TH2: ’>0 m < - 3 * Các ví dụ cực trị cđa hµm sè:
Dạng Tìm m để hàm số có cực trị:
Bµi Cho hµm sè y = x3 - 3x2 + 3(2m - 1)x + 1.
Tìm m để hàm số có CĐ CT HD: y’ = 3x2 - 6x + 3(2m - 1).
§K y’ = cã nghiƯm ph©n biƯt y’ > m >
-1
Bµi Cho hµm sè:
y = ( 2) (5 4) 3x m x m x m Tìm m để hàm số có CĐ, CT x1 < -1 <x2
HD: §K 1.f’(-1) < m < -3 Bµi Cho hµm sè:
3 2
1
( 2) (3 1)
3
y x m m x m x Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x = -2 ĐS: m =
Bµi Cho hµm sè
3
y x mx x m Tìm m để hàm số có CĐ, CT khoảng cách chúng nhỏ
HD: y’ = x2 -2mx - 1, y’ = x2 -2mx - = (1) Cã
= m2 + > m hàm số có CĐ CT.
Chia y cho y’ ta đợc:
2
1 2
' ( ) ( 1) ( 1)
3 3
yy x m m x m
Gọi điểm cực trị là: A(x1; y1), B(x2; y2) víi x1, x2 lµ
nghiƯm cđa (1) th×:
y1 = 1
2
( 1) ( 1)
3 m x 3m
;
y2 = 2
2
( 1) ( 1)
3 m x 3m
;
AB2 = (x
2 - x1)2 + (y2 - y1)2 = (4m2 + 4)[1+ 2
4
( 1)
9 m ] 4(1 4) 52
9
AB 13
3 ; AB m = Dạng Biểu thức đối xứng cực trị: Bài Tìm m để hàm số y =
2
3
x x m
x
có CĐ, CT yCD yCT
HD: y’ =
2
2
8 12
( 4)
x x m
x
HS cã C§ CT y = có nghiệm phân biƯt kh¸c
4
16 32 12
m
m m
Gäi (x1; y1), (x2; y2) điểm cực trị thì:
y1 = -2x1 +3, y2 = -2x2 +
2
1 2 ( 2) 4
y y x x x x x x m =
Bài Tìm m để hàm số y =
2
2
2
x x m
x
(6)§S: m 0;9
Bài Tìm m để hàm số : y =
2 ( 1) 4 2
1
x m m m
x
có CĐ, CT yCĐ.yCT nhỏ
§S: yC§.yCT nhá nhÊt = -4/5 m = 7/5
Bµi CMR hµm sè y =
2
1 x mx m
x
ln có CĐ, CT khoảng cách chỳng khụng i
Dạng Vị trí CĐ CT mặt phẳng Oxy. Bài Cho hàm sè
2
3
1
mx mx m m
y
x
Tìm m để hàm số có CĐ, CT nằm hai phía trục Ox HD:
2
2
2
'
( 1)
mx mx m
y
x
;
§K ' 0
có nghiệm phân biệt vô nghiÖm
y y
§S: < m <
Bài 10 Tìm m để hàm số y =
2 ( 1) 1
x m x m
x m
cã
cực trị phía ĐK '
0
cã nghiƯm ph©n biƯt cã nghiƯm ph©n biƯt y
y
Các tập tự luyện:
Bài 1: Cho hµm sè (1)
1 2
2
x mx x
y
Tìm m để hàm số (1) có điểm cực trị A, B CMR đờng thẳng AB song song với đờng thẳng 2x - y -10 =
Bµi 2: Cho hµm sè y (x m)3 3x (1)
Tìm m để hàm số cho đạt cực tiểu điểm có hồnh độ x =
Bµi 4: Cho hµm sè 2 (1)
x m x y
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị đỉnh tam giác vuông
Bµi 5: Cho hµm sè (1)
1
1 )
1 (
2
x
m x m x y
CMR với m đồ thị ( Cm ) ln ln có điểm cực
trị khoảng cách điểm 20 Bài 6: Cho hàm số 2 (1)
x m x
y
1) Khảo sát biến thiên đồ thị hàm số m=1
2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị đỉnh tam giác vng cân
Bµi 7: Cho hµm sè y=mx3-(2m-1)x2 + (m-2)x -
1) Khảo sát m =
2) Tìm m để hàm số đồng biến với x Bài 8: Cho hàm số y =
2
2
1
x x m
x
1) Khảo sát m =
2) Tìm m để hàm số đồng biến với x (3, +) Bài 9: Cho hàm số y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx - Tìm m
để hàm số có cực trị
Bµi 10: Cho hµm sè y = x3 + mx2 + 3mx +
Tìm m để hàm số có cực trị
Bµi 11: Cho hµm sè y = x3 + mx2 + 7x +
1) Khảo sát m=
2) Tìm m để hàm số có cực trị, viết phơng trình đờng thẳng qua hai điểm cực trị
Bài 12: Cho hàm số y = x4 - 2mx2 + m4 Tìm m để hàm
số có ba cực trị điểm cực trị tạo thành tam giác
Bài 10 Biện luận số nghiệm phơng trình đồ thị
Một số kiến thức cần nắm vững:
biện luận số nghiệm phơng trình F(x, m) = ta biến đổi dạng: f(x) = g(m), y = f(x) hàm số khảo sát dễ dàng khảo sát cịn y = g(m) đờng thẳng phụ thuộc tham số m
Với phơng pháp ta ý tới cách vẽ đồ thị hàm số có chứa dấu giá tr tuyt i:
* Đồ thị hàm số y = f(|x|):
Đồ thị hàm số y = f(|x|) đợc suy từ đồ thị hàm số y = f(x) cách:
+ Giữ nguyên phần đồ thị phía bên phải trục Oy + Bỏ phần đồ thị phía bên trái trục Oy lấy đối xứng phần bờn phi qua trc Oy
* Đồ thị hàm sè y = |f(x)|:
Đồ thị hàm số y = |f(x)| đợc suy từ đồ thị hàm số y = f(x) cách:
+ Giữ nguyên phần đồ thị phía trục Ox
+ Bỏ phần đồ thị phía dới trục Ox lấy đối xứng phn phớa di qua trc Ox
* Đồ thị hµm sè
2
' '
ax bx c y
a x b
đợc suy từ đồ thị hàm số
2
' '
ax bx c y
a x b
(1) b»ng c¸ch:
+ Giữ nguyên phần đồ thị hàm số (1) với ' ' b x
a + Bỏ phần đồ thị hàm số (1) với '
' b x
a
lấy đối xng phn ú qua trc Ox
Bài tập áp dụng:
Bài Khảo sát y = (x + 1)2(x - 1)2 (C) BiÖn luËn sè
nghiÖm cña (x2 - 1)2 - 2m +1 = (1)
HD: y = x4 - 2x2 + 1.
Bài Khảo sát y = x3 -3x2 + BiƯn ln sè nghiƯm
cđa PT: x3 -3x2 + = 2(
1 m
m
)
HD:
2
1 1
2
m
m m
m m m
2
1
m
m hc
2
1
m
m
Bài Khảo sát y =
2
2 x x
x
BiÖn luËn sè nghiÖm của:
(7)HD: Đặt cosx = t (-1 t 1) th× (1) t2 - (m -1)t + m + =
2
2
t t
t = m
Bài Khảo sát y =
2
2
x x x
BiÖn luËn sè nghiÖm
phơng trình:
2
2
x x x
= m Bµi Khảo sát y =
2
3
2
x x
x
BiƯn ln sè nghiƯm cđa PT: x2 + 3x + 2kx - 1= (1).
HD: (1)
2
3
2
x x
k
x
Bài Khảo sát y =
2
1 x
x
BiƯn ln sè nghiƯm cđa PT
2
1 x
k x
Bài Khảo sát y = -x3 + 3x2 - BiÖn luËn sè nghiÖm:
x3 - 3x2 + m = 0.
Bài Khảo sát y = 4x3 - 3x - (C) Tìm m để phơng
tr×nh 4 x3 3 x m cã nghiƯm ph©n biƯt
Bµi 10 Cho hµm sè (1)
2
2
x m x x y
a) Khảo sát biến thiên đồ thị hàm số m=1
b) Xác định m để hàm số (1) nghịch biến đoạn [-1;0]
c) Tìm a để phơng trình sau có nghiệm:
2
1 1
9 t (a 2).3 t 2a
(2)
HD:
Đặt x = 1 1
3 t §iỊu kiÖn x (2) x2 - (a + 2)x + 2a + =
2
2
2
x x
a x
XÐt hµm sè
2 2 1
2
x x
y x
trªn [3; + ) DS: m
Bài Phơng trình hệ phơng trình mũ - Lôgarit
1 Một số kiến thức cần nhớ: * Mét sè phÐp to¸n vỊ l thõa:
( ) ; ; ;
; ;
m
n m n
a a
ab a b a a a
b b
a
a a a a a
a
* Một số công thức biến đổi logarit:
1 2
1
1
2
log log
log ;
log ( ) log log ;
log log log ;
1
log log ; log log ;
log ln lg
log ;
log ln lg
1
log ; ;
log
log log log log
b b
x
a
a a a
a a a
a a a a
b a
b
c a
a
b
a b c a
a b x b
x x x x
x
x x
x
x x x x
x x x
x
a a a
b a c
a
b c x x
2 Phơng trình mũ: a) Dạng bản:
( )
( ) ( )
0 ( ) log
( ) ( ) f x
a f x g x
b
a b
f x b
a a f x g x
b) cã sè cã chøa Èn:
( ) ( )
( ) ( ), ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
cã nghÜa
f x g x
h x f x g x
h x h x
h x
f x g x
3 Một số phơng pháp thờng dùng giải phơng trình mũ:
+ Đa phơng trình dạng + Lấy lôgarit hai vế;
+ Đặt ẩn phụ (chú ý điều kiện ẩn phụ);
+ Đánh giá: Dùng BĐT, hàm số, đoán nghiệm chứng minh nghiệm nhất,
4 Phơng trình logarit: a) Dạng bản:
0
log ( )
( )
( ) 0( ( ) 0) log ( ) log ( )
( ) ( ) hc
a b
a a
a f x b
f x a
f x g x
f x g x
f x g x
b) C¬ sè cã chøa Èn:
( ) ( )
0 ( )
log ( ) log ( )
( ) ( )
f x f x
f x
g x h x
g x h x
5 Một số phơng pháp thờng dùng giải phơng trình logarit:
+ §a vỊ cïng c¬ sè;
+ Đặt ẩn phụ để giải phơng trình bậc hai; + Đặt ẩn phụ để giải phơng trình mũ; + Đa dạng tích bng 0;
+ Đáng giá: Dùng BĐT, Hàm số, đoán nghiệm chứng minh nghiệm nhất,
Một số ví dụ:
Bài Giải phơng trình sau: a) 5x3 x2 x1 4000;
b) 5x2 3x21 5 x21 3x22
(8)c) x 3x2x (x 3) ;2
d) 5 1 5
4x x 12.2x x
;
e) 6.9x 13.6x 6.4x 0;
§S: x = 1;
f) (5 24)x (5 24)x 10;
§S: x = 1;
g) 5 21x 7 5 21x 2x3
;
g) ( 15)x 1 4x
; §S: x =
h) 23x 32x 7x 14x 2
;
Bài Giải phơng trình sau: a) logx 2.log (2 x 6) 1 ; b) log (9 ) 32 x
x ;
c) log3x7(4x212x9) log 2x3(6x223x21) 4 d) log22 x(x1) log2x 6 ;x
e) 27log2xxlog 32 30; f) log5xlog (7 x2);
g)
6
2 log ( x x) log x; h) log (3 x2 3x13) log 2x; i) log (3 x2 x 1) log 3x2x x 2; j)
2
2
3
3
log
2
x x
x x
x x
;
Bài Giải hệ phơng trình sau: a) log (3 )
log (3 ) x
y
x y
y x
;
b)
2 2
3 3
3
log log log
2
log 12 log log
3 x
x y y
y
x x y
c) log (2 2 ) log (3 )
x y x y
x y
;
d) 2 2 (log2 log )(2 1)
x y
e e y x xy
x y
; Mét sè bµi lun tËp:
Bài 1: Cho phơng trình
0 log
log
3
3 x x m
1) Giải phơng trình m=2
2) Tìm m để phơng trình có nghiệm thuộc
1;3 3.
HD: m thuéc [0;2]
Bµi 2:
4 log log
2
5 ) (
log
2
2 2
y x
y x
đs (4,4)
Bài 3: log ( 1) log (4 )
4 ) ( log
2
4
2 x x x
HD: ĐK x>0 Và x 1 ĐS x=2 , x2 3.
Bài 4: log5 x.log3 xlog5x.log3 x
HD: dỉi c¬ sè x=1 va x=15 Bµi 5:
2
log ( ) log
2
9 3( ) (1)
3 (2)
xy
xy
x y y x
DH: lôgarit hai vế phơng trình (1) theo sè Bµi 6:
x
x
1) ( log3
2
HD: §K x>-1
TH1: -1<x<=0 phơng trình vn. TH2: x>0 dặt y=log3(x+1)
Suy
3
y y PP hµm sè.
Bµi 7:
2
2
1
log x x
x x
HD: VP <= víi x >0 BBT. VT >=1 C«si loggrit ĐS x =1.
Bài 8:
y y y
x x x
x
2 2
2 4
4 5 2
1
§S (0,1) (2,4)
Bài 9: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm thuộc [32, +)
log 3
3 log
log
4
2
2x x m x
HD: Đặt t = log x2 (t 5.)
2
0
1
1 m
m t
m t
Bµi 10
3 2 2
log log
y x
x
y xy y
HD ĐK x,y>= khác 1 BĐ (1) đợc
TH1: y=x thay vµo (2) cã nghiƯm. TH2:
1
y
x thay vµo (2) CM vô nghiệm chia thành miền y >1 0<y<1.
Các tập tự luyện:
1) x x x
x
3
3
3 log
2 log log
log
2) 2log 2 log3 log3( 1)
(9)3)
0 log log
0 3 4
2
4x x
y x
§K x, y1 (1,1)(9,3)
4)
3 ) 5 3 2 ( log
3 ) 5 3 2 ( log
2
2
x y y y
y x x x
y x
5)
25
1 ) 1 ( log ) ( log
2
4
1 x y
y x
y
KA 2004 (3,4)
6) log (2 1).log (2 2)
2
2
x
x §S x=log
23
7) logxlog3(9x 6) 1
8) Giải phơng trình log ( 1) log ( 2 )
2
3 x x x x
9)
x y
x y y x
x y
x
2
2 2
10)
0 6
) (8
1 3
). (
4
4
y x x y
y x
y x
11) Tìm m để phơng trình 4log log
2
2 x xm
cã nghiƯm thc kho¶ng (0;1) 12) Gi¶i hƯ phơng trình:
2
1
1
log (1 ) log (1 )
log (1 ) log (1 )
x y
x y
y y x x
y x
Bài 6: Bất phơng trình hệ bất phơng trình mũ - lôgarit
Một số kiến thức cần nhớ: * Bất phơng trình mũ:
( ) ( ) 1: ( ) ( )
0 1: ( ) ( )
f x g x a f x g x
a a
a f x g x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ( ) 1][ ( ) ( )]
f x g x h x
h x h x
h x f x g x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ( ) 1][ ( ) ( )]
f x g x h x
h x h x
h x f x g x
* Bất phơng trình logarit:
1: ( ) log ( )
0 1: ( )
1: ( ) log ( )
0 1: ( )
b
a b
b
a b
a f x a
f x b
a f x a
a f x a
f x b
a f x a
1: ( ) ( ) log ( ) log ( )
0 1: ( ) ( )
a a
a f x g x
f x g x
a f x g x
( ) ( )
log ( ) log ( ) ( )
[ ( ) 1][ ( ) ( )] f x g x f x h x
f x
f x g x h x
Mét sè vÝ dô:
VÝ dô Giải bất phơng trình sau: a) 5 6
1
; 3 x x x
b) (4x2 2x 1)x2x 1
;
c) 9x 3x 2 3x 9 ; d) 2.49x2 9.14x2 7.4x2 0;
e)
1
2
0
2
x x
x
;
Ví dụ Giải bất phơng trình sau:
a)
5
log (x 6x8) 2log ( x 4) 0 ; b) log log (3x 9 x 9) 1;
c) 1
2
log (4x 4) x log (2x 3)
;
d) 2
4
log (2x 3x2) log (2 x 3x2); e)
6
log log
6 x x x 12
;
Bµi tËp lun tËp:
Bài 1: Tìm k để hệ phơng trình sau có nghiệm
3
2
2
1 (1)
1
log log ( 1) (2)
2
x x k
x x
HD: ĐK x > Giải (2) 1< x ≤
BBT: f(x) = (x -1)3 -3x ĐS k > -5
Bài 2:
0 log ) ( log
log 2
4
1 x x
Bµi 3:
1 )) 27 ( (log
logx 3 x Bµi 4:
log ( )
log
2
x x
x
Bµi 5: ( 1)log (2 5)log
2
2
1
x x x
x
(10) đặt t log x coi phơng trình bậc ẩn t
Chú ý so sánh trờng hợp t1, t2 §S (0;2] v (x 4)
Bài 6: Giải bất phơng trình x x x log2
2 log
2
2
2
Lấy logarit vế theo số Bài Tìm m để phơng trình:
m9x (2m 1)6x m.4x (1)
nghiệm với x [0; 1] Bài 8: Giải bất phơng trình
0
) ( log ) (
log
3
2
x
x x
Bài 9: Giải bất phơng trình 2
4
1
log (x )x log (3x1) Bài 10 Giải bất phơng trình
3
2
2
x x x
x
Bài 11 Giải bất phơng trình:
2 2
1
9 12
3
x x
(1)
Tìm m để nghiệm (1) nghiệm bất phơng trình:
2x2 + (m + 2)x + - 3m < (2)
Bài 12 Giải bất phơng trình:
xlg(x2 x 6) lg( x2)
TÝch ph©n - diƯn tÝch- thĨ tÝch Một số kiến thức cần nắm vững:
1 Bng nguyên hàm hàm số. 2 Các phơng pháp tính tích phân: a) Phơng pháp đổi biến số:
* Lo¹i 1:
D¹ng: a2 x dx2
,
2
dx a x
đặt x = asint
D¹ng: 2dx 2 x a
đặt x = atgt, 2 2
( )
dx ax b c
đặt tg
ax b c t
* Lo¹i 2: ( ( )) '( ) b
a
f u x u x dx
Đặt t = u(x)
+ Nhiu phải biến đổi xuất u’(x)dx + Ta biến đổi:
( ( )) '( ) ( ( )) ( ( ))
b b
a a
f u x u x dx f u x d u x
b) Phơng pháp tích phân phần: Dạng: ( )sin ,
b
a
P x xdx
( )cos ,
b
a
P x xdx
( ) ,
b
x a
P x e dx
Đặt
u = P(x), dv = sinxdx (dv = cosxdx, dv = exdx)
D¹ng: 2 , 2 ,
cos sin
b b
a a
x x
dx dx
x x
Đặt u = x, dv = 2 cos
dx
x hc dv =
sin dx
x 3 Mét sè tÝch ph©n thờng gặp:
a) Tích phân hữu tỉ: ( ) ( ) b
a P x
dx Q x
P(x), Q(x) đa thøc
+ Nếu bậc P(x) bậc Q(x) chia P(x) cho Q(x) + Nếu bậc P(x) < bậc Q(x) dùng phơng pháp đổi biến phơng pháp hệ số bất định
b) Tích phân chứa hàm số lợng giác + Nắm vững công thức biến đổi c) Tích phân hồi quy:
D¹ng sin , b
x a
e xdx
cos
b x a
e xdx
Đặt u = sinx (u = cosx), dv = exdx Tích phân phần
2 lần
D¹ng: sin(ln ) , cos(ln )
b b
a a
x dx x dx
Đặt u = sin(lnx) (u = cos(lnx)), dv = dx Tích phân phần lần
d) Tích phân hàm số chẵn, lẻ:
Nếu y = f(x) liên tục đoạn [-a; a] và: + y = f(x) chẵn
0
( ) ( )
a a
a
f x dx f x dx
+ y = f(x) lỴ th×: ( ) a
a
f x dx
e) Tích phân dạng ( ) x f x
dx a
f(x) hàm số chẵn
Cách giải: Tách thành tích phân :
0
0
( ) ( ) ( )
1 1
x x x
f x f x f x
dx dx dx
a a a
XÐt tÝch ph©n
0
( ) x f x
dx a
đổi biến số x = -t
Kết ta đợc
0
( )
( )
x f x
dx f x dx a
f) Tích phân dạng:
0
( ) ( )
a a
f a x dx f x dx
f(x) hàm số liên tục [0; a] Đổi biÕn x = a - t
C¸c vÝ dơ
Bài 1: Tính tích phân
1
0
3
1dx x
x I
(11)Bµi 2: TÝnh tÝch ph©n
3 ln
0 ( 1)3
dx e
e I
x x
HD: đa dạng b
a u du
§S I 2 1
Bài 3: Tính tích phân
0
1
3
2 1 )
(e x dx x
I x
HD Tách thành tích phân. ĐS I=3/4e-2 - 4/7
Bài 4: Tính tích ph©n
2
0
5 61 cos3 .sin .cos
dx x
x I
HD: t =6
1 cos x cos3x = 1- t6 §S I =12/91
Bài 5: Tính tích phân
3
5
1
dx x
x I
HD: nhân tử mẫu với x đặt 4
x
t
§S I=1/4.ln5/3 Bài 6: Tính tích phân
4
01 cos2
dx x x I
HD:Đa dạng tích phân phần. ĐS I = /8-1/4.ln2
Bài 7: Tính tÝch ph©n
1
0
2
3 1 x dx
x I
Bµi 8: Cho hµm sè bxex
x a x
f
) ( )
( 3
T×m a,b biÕt
r»ng f’(0) = -22 vµ
1
0
5 ) ( dxx f
Bµi 9: TÝnh tÝch ph©n
3
4
2
cos cos
dx x x
tgx I
HD: Biến đổi dạng
3
2
4
cos
tg tg x
I dx
x x
Đặt t 1 tg2x
Bài tập áp dụng
1) TÝnh tÝch ph©n
3
1
1 dx x x I
2) TÝnh tÝch ph©n
8 ln
3 ln
2
1e dx e
I x x
3) TÝnh tÝch ph©n
2
0
2
cos ) (
xdx x
I
4) TÝnh tÝch ph©n
3
1
1 ln ln e
dx x x
x I
5) TÝnh tÝch ph©n
2
0
sin cos )cos
(
xdx x
e
I x
6) TÝnh tÝch ph©n
2
0
4 1dx x
x x I
7) TÝnh tÝch ph©n
7
0
2 dx x x I
8) TÝnh tÝch ph©n
4
0
sin cos )
(
dx x e
tgx
I x
9) TÝnh tÝch ph©n
3
0
2 . .
sin
dx tgx x I
10) TÝnh tÝch ph©n
2
0
cos sin2 .
dx x e
I x
11) TÝnh tÝch ph©n
0
2
cos
sin
dx x x x I
12) TÝnh tÝch ph©n
3
0
3
1 dx x
x x I
13) TÝnh tÝch ph©n e
dx x x I
1
2ln .
14) TÝnh tÝch ph©n
1
2
0
4 I x x dx
15) TÝnh tÝch ph©n
0
sin cos cos
x x
I dx
x
16) TÝnh tÝch ph©n:
1
2
sin
x x
I
x
17) TÝnh tÝch ph©n
2
sin 2x
x
I dx
18) TÝnh tÝch ph©n
1
2
( x sin )
I e x e x dx
19) TÝnh tÝch ph©n
1
1
1 x
x
I dx
e
20) TÝnh tÝch ph©n 2
0
sin cos
x x
I dx
x
4 DiƯn tÝch:
* Bài tốn 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) đoạn [a; b] Trong phơng trình: f(x) - g(x) = vơ nghiệm [a; b]
( ) ( ) b
a
Sf x g x dx
(12)đó phơng trình: f(x) - g(x) = có nghiệm x = x0 [a; b]
0
0
( ) ( ) ( ) ( )
x b
a x
Sf x g x dxf x g x dx
* Bài tốn 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x)
GPT: f(x) - g(x) = 0, đợc nghiệm x = a, x = b ( ) ( )
b
a
Sf x g x dx ThÓ tÝch:
* Quay quanh Ox:
2
( ) víi
b
a
V y dx yf x * Quay quanh Oy:
2 ( )
víi b
a
V x dx x g y C¸c vÝ dơ :
Bài 1: Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh phép quay xung quanh trục ox hình phẳng giới hạn trục Ox đờng y 2sinx(0x)
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng :
3 ,
3
2
x x y x
y
Bài 3: Tính diện tíc hình phẳng giới hạn đờng
4 , 4
2
2 x
y x
y
§S:
Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P): y = -x2 + 6x - 8, tiếp tuyến đỉnh (P) Oy.
Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x3 - 3x tiếp tuyến với đồ thị điểm có hoành
độ x = -1
Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số tiếp tuyến đồ thị kẻ từ điểm 5;
2 M
M Bài Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo nên hình phẳng giới hạn đờng sau quay quanh Ox:
1) y = x3, y = 0, x = 0, x = 1.
2) y = -3x2 + 3x + 6, y = 0.
Bài 13 Hình học phẳng Một số kiến thức cần nắm vững: + Toạ độ vectơ, điểm;
+ Tích vơ hớng hai vectơ, góc hai vectơ, độ dài vectơ, độ dài đoạn thẳng
+ Phơng trình đờng thẳng;
+ Các đờng bậc hai mặt phẳng: Đờng trịn, elíp, hypebol, parabol Với đờng cần nm vng:
Dạng phơng trình tắc, yÕu tè;
Phơng trình tiếp tuyến đờng, điều kiện để đờng thẳng tiếp tuyến đờng Một số tập luyện tập:
PHẦN 1: ĐƯỜNG THẲNG
Bài 1: Cho tam giác ABC: A(2;0), B(4; -1), C(1; 2).
a) Tính góc BAC Tìm chu vi tính diện tích tam giác
b) Tìm toạ độ trọng tâm G, trực tâm H, tâm ngoại I Chứng minh G, H, I thẳng hàng
HD: a) ABC 143 '48''0 , 2p = 2 2
, S = b) G(7/3; 1/3), H(-2; -4), I(-9/2; -5/2)
Bài 2: Trong mp Oxy cho điểm B đường thẳng x + = điểm C đường thẳng x–3 =0
a) Xác định tọa độ B C cho tam giác OBC vuông cân đỉnh O
b) Xác định tọa độ B; C cho OBC tam giác
HD: a) B(-4; -3), C(3; -4) vµ B(-4; 3), C(3; 4) b)
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(5 ; 5), B(1 ; 0), C(0; 3) Viết phương trình đường thẳng d trường hợp sau:
a) d qua A cách B khoảng b) d qua A cách hai điểm B, C HD: a) x - = vµ 9x - 40y +165 = b) y = vµ 5x - 3y -10 =
Bài 4:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d: x + 2y – = , d’: x – 3y +9 =
a) Tính góc tạo d d’ Tính khoảng cách từ M(5;3) đến hai đường thẳng d d’
b) Viết phương trình đường phân giác góc tạo d d’ Tìm phân giác góc nhọn c) Tìm tọa độ giao điểm d d’ Tìm phương trình d’’ đối xứng với d qua d’
HD: a) (d; d’) = 450; d(M, d) = 5; d(M, d’)= 5
2 b) ( 1) (2 3) (1)
( 1) (2 3) (2)
x y
x y
;
LÊy N(6; 0) d; d(N, (1)) < d(N, (2)) (1) phân giác cña gãc nhän
c) I(0; 3); d’’: 2x - y + = (d’’ đờng thẳng qua I hợp với d’ góc 450).
Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng a: 3x – 4y + 25 = 0, b: 15x + 8y – 41 = a) Viết phương trình đường phân giác góc hợp hai đường thẳng a, b
b)Gọi A, B giao điểm a, b với Ox, I giao điểm a, b Viết phương trình phân giác góc AIB
(13)HD: a) 25 15 41
5 17
x y x y
b) A(-25/3; 0), B(41/15; 0) So sánh vị trí A, B với hai đờng phân giác
c)
3 83
3
70 14 3 83
3
70 14 x y
x y
Bài 6: Tam giác ABC có A(-1 ; - 3), đường cao có phương trình BH: 5x + 3y –25 = 0; CH: 3x + 8y – 12 = Viết phương trình cạnh tam giác ABC đường cao lại
HD: AB: 8x - 3y - = 0, AC: 3x - 5y - 12 = 0; BC: 5x + 2y - 20 = AH: 2x - 5y - 13 =
Bài 7: Trong hệ tọa độ Oxy cho hai đểm A(1 ; 6), B(-3; -4), C(4 ; 1) đường thẳng d: 2x – y – = a) Chứng minh A, B nằm phía; A, C khác phía đường thẳng d
b) Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d
c) Tìm M thuộc d cho MA + MB nhỏ nhất, |MA - MB| lớn
HD: b) M giao điểm A'B với d ĐS: M(0; -1) c) MA MB ABdÊu "=" x¶y M, A, B thẳng
hàng M giao ®iĨm cđa AB víi d M(-9; -19)
Bài 8: Cho A(1 ; 1), B(-1 ; 3) đường thẳng d: x + y + =
a) Tìm điểm C d cách hai điểm A, B
b) Với C vừa tìm được, tìm D cho ABCD hình bình hành Tính diện tích hình bình hành
HD:a) chun d vỊ PT tham sè b)
Bài 9:
a) Tìm phương trình đường thẳng qua A(8 ; 6) tạo với hai trục toạ độ tam giác có diện tích 12 b) Lập phương trình đường thẳng qua A(2 ; 1) tạo với đường thẳng 2x + 3y + = góc 450.
Bài 10: Cho tam giác ABC cân A có BC: 3x – y + = 0, AB: x + 2y – = Lập phương trình AC biết AC qua điểm M(-1 ; 3)
PHẦN 2: ĐƯỜNG TRÒN
Bài 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường trịn (T) có phương trình: x2 + y2 – 4x – 2y – = 0.
a) Tìm tọa độ tâm tính bán kính đường trịn (T)
b) Với giá trị b đường thẳng y = x + b có điểm chung với đường trịn (T)
c) Viết phương trình tiếp tuyến với đường trịn song song với đường phân giác góc x’Oy
d) Viết phương trình tiếp tuyến với (T) qua điểm M (5 ; -3)
Bài 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(1 ; 2), B(5 ; 3), C(-1 ; 0)
a) Viết phương trình đường tròn tâm B tiếp xúc với đường thẳng AC
b) Tìm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tâm tính bán kính đường trịn
c) Viết phương trình đường trịn qua A, C có tâm Ox
d) Viết phương trình đường trịn qua A, B tiếp xúc với trục Oy
Bài 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(5 ; 4), B(2 ; 7), C(-2 ;-1)
a) Tìm tọa độ trựïc tâm H DABC viết phương trình đường cao AE, BF
b) Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tứ giác ABEF
Bài 14: Cho đường trịn (T) có phương trình: x2 + y2 –
2x + 4y – 20 =
a) Viết phương trình tiếp tuyến (T) điểm A(4 ; 2), B(-3 ; -5)
b) Viết phương trình tiếp tuyến (T) qua C( ; 5)
c) Viết phương trình tiếp tuyến chung (T) (T’) có pt: x2 +y2 -10x + = 0.
d) Với giá trị m (T) tiếp xúc với đường trịn (T’’) có pt: x2 + y2 – 2my = 0.
HD:
PHAÀN 3: CONIC
Bài 15 : Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho Elíp (E) có
phương trình:
4 25 ,
2
y
x
a) Tìm tọa độ đỉnh, tọa độ tiêu điểm, tính tâm sai,viết phương trình đường chuẩn Elíp b) Tìm tung độ điểm thuộc (E) có x = tính khoảng cách từ điểm tới hai tiêu điểm c) Tìm giá trị b để đường thẳng y = x + b có điểm chung với Elíp
d) Viết phương trình tiếp tuyến với (E) song song với đường thẳng 2x – y + =
e) Viết phương trình tiếp tuyến với (E) qua M (
5 ;
- ).
Bài 16: a) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy viết phương trình tắc elíp (E) có tiêu điểm F2(5 ; 0)
(14)b) Hãy tìm tọa độ đỉnh tiêu điểm F1 tính
tâm sai (E)
c) Tìm điểm M (E) cho MF1= MF2
Bài 17 : Cho Elíp 2 18
x y
+ = (E), với F F1, theo thứ
tự tiêu điểm trái, phải (E) a) Tìm MỴ ( )E cho MF1 =5MF2
b) Tìm M Ỵ ( )E cho ·
1 60
F MF =
Bài 18 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm F1(-7 ; 0), F2(7 ; 0) điểm A(- ; 12)
Viết phương trình tắc Elíp qua A có tiêu điểm F1, F2
Bài 9:
Tìm quỹ tích điểm M từ kẻ hai tiếp tuyến vng góc với tới (E):
3
2
y x
Bài 14: Hình học không gian
Một số kiến thức cần nắm vững Cho hai vectơ: a x y z( ; ; ), ( ; ; )1 1 1 b x y z 2 2 2
+ TÝch v« híng: a b x x 1 2y y1 2z z1 2
+ Gãc hai vectơ 2 22 21 2 22 2
1 1 2
cos( , )
x x y y z z a b
x y z x y z
+ TÝch cã híng cđa hai vect¬:
1 1 1
2 2 2
[ , ]a b y z , z x , x y
y z z x x y
+ K/c điểm A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB):
2 2
B A B A B A
AB = (x - x ) +(y - y ) +(z - z ) + DiÖn tÝch ABC: 1|[ , ] |
2 ABC
S AB AC
+ §êng cao AH cđa ABC: AH | [AB AC, ] | BC
+ ThĨ tÝch h×nh hép: VABCD A B C D ' ' ' ' [AB AC AA, ] '
+ ThĨ tÝch tø diƯn ABCD: [ , ]
ABCD
V AB AC AD
+ mp() cã cỈp vtcp u x y z u x y z( ; ; ), '( '; '; ') cã vtpt:
, ' ; ;
' ' ' ' ' '
y z z x x y
n u u
y z z x x y
+ Đờng thẳng có pttq: Ax + By + Cz + D = A'x + B'y + C'z + D' =
cã vtcp: B C ; C A ; A B B' C' C' A' A' B'
u
+ K/c từ điểm M(x0; y0; z0) đến mp():
Ax + By + Cz + D =
0 0
2 2
| Ax + By + Cz + D | d(M, ( )) =
A + B + C
+ K/c từ điểm M1 đến đường thẳng qua M0 có vtcp u
: d(M , ) =1 | [M M , ] |0
| u | u
+ Khoảng cách hai đường thẳng chéo ’:
'
' '
'
0
| [ , ].M M | d( , ) =
| [u, ] | u u
u
+ Đờng tròn (C)là giao mặt cầu (S) mp():
2 2
( ) ( ) ( )
0
x a y b z c R
Ax By Cz D
Cã tâm H hình chiếu I mp(), có b¸n kÝnh r = R2 d2 víi d d I( ,( ))
Mét sè bµi tËp lun tËp: Bµi 1: Trong hƯ trơc Oxyz cho
1
1
)
(d1 x y z ( 2) 1
1
x y z
d
1) CMR đờng thẳng chéo vng góc với
2) Viết phơng trình đờng thẳng (d) cắt đờng thẳng song song với đờng thẳng
2
7
4 ) (
x y z
Bài 2: Trong không gian với hệ toạ Oxyz cho
đ-ờng thẳng
2 1 :
1
z y x
d
t z
t y
t x
d
1 2 1 :
2
a) Xét vị trí tơng đối đờng thẳng
b) Tìm toạ độ điểm M thuộc d1, N thuộc d2 cho
MN song song với mặt phẳng (P) x-y+z=0
2
MN
ĐS:
Bài 3: Trong hệ trục Oxyz cho mặt cầu: (S) ( 1)2 ( 1)2 ( 1)2
y z
x mặt phẳng:
(P) 2x + 2y + z - m - 3m = 0.
Tìm m để (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) Với m tìm đợc xác định toạ độ tiếp điểm
Bài 4: Trong hệ trục Oxyz cho A(0;1;1) B(1;0;0) C(1;2;-1) Tìm toạ độ tâm đờng trịn ngoại tiếp tam giác ABC
Bµi 5: Oxyz cho ( ) /
2
x y z
d
(S) 2
y z s y m
x
Tìm m để mặt cầu (S) cắt đờng thẳng (d) M,N cho MN =
Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(2;0;0) B(2;2;0) S(0;0;m)
a) Khi m=2, tìm toạ độ điểm C đối xứng với gốc toạ độ O qua mặt phẳng SAB
(15)Bài 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(1;1;1) B(1;2;0) mặt cầu (S) có pt:
x2y2z2 6x 4y 4z13 0
a) Viết phơng trình mặt phẳng chứa AB tiếp xúc với (S)
b) Tìm mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S), song song với AB khoảng cách (P) AB nhỏ (lớn nhất)
HD: + sử dụng phơng pháp chùm mặt phẳng qua AB +T×m M thuéc (S) cho k/c (M,AB) nhá nhất, (P) tiếp xúc với (S) M
Bài 8: Trªn hƯ trơc Oxyz cho A(2a;0;0) B(0;2b;0) C(0;0;2c) a,b,c>0
a) Tính khoảng cách từ O tới mặt ph¼ng (ABC)
b) Tính thể tích khối tứ diện OABE với E chân đờng cao từ E tam giác ABC
Bài 9: Oxyz cho hình chóp tứ giác S.ABCD Biết S(3;2;4) B(1;2;3) D(3;0;3)
a) Lập phơng trình đờng vng góc chung AC v SD
b) Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Lập phơng trình mặt phẳng qua BI vµ song song víi AC
c) Gọi H trung điểm BD, G trc tâm tam giác SCD Tớnh di HG
Bài tập áp dụng:
1) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho lăng trụ đứng OAB.O1A1B1 với A(2;0;0) B(0;4;0) O1(0;0;4)
a) Tìm toạ độ điểm cịn lại Viết phơng trình mặt cầu qua điểm O,A,B,O1
b) Gọi M trung điểm AB Mặt phẳng (P) qua M vuông góc với O1A cắt OA , AA1 lần lợt N, K
Tớnh dài đoạn KN
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lập phơng ABCD A’B’C’D’ Với A(0;0;0) B(2;0;0) D’(0;2;2)
a) Xác định toạ độ đỉnh cịn lại hình lập ph-ơng Gọi M trung điểm BC CMR (AB’D’) (AMB’) vng góc với
b) CMR tỉ số khoảng cách từ điểm N thuộc đờng thẳng AC’ với N khác A tới (AB’D’) (AMB’) khơng phụ thuộc vào vị trí điểm N
3) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AC cắt BD gốc toạ độ O Biết A ( 2; 1;0) , B( 2; 1;0) , S(0;0;3)
a) Viết phơng trình mặt phẳng qua trung điểm M cạnh AB, song song với đờng thẳng AD SC b) Gọi (P) mặt phẳng qua điểm B vng góc với
SC TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn cđa h×nh chãp S.ABCD với mặt phẳng (P)
4) Trong khụng gian vi hệ toạ độ Oxyz cho đờng thẳng :
2 1
2
1 :
1
y z
x
d 2 : 12 10
3
x y z
d
a) CMR đờng thẳng song song với Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng
b) Mặt phẳng (Oxz) cắt d1, d2 A, B TÝnh diÖn tÝch
tam giác OAB 5) Cho đờng thẳng
:( )1 23 10 ( 2)
8 2
x y z x y z
d d
a) CMR đờng thẳng d1 d2 chéo
b) Viết phơng trình đờng thẳng (d) cắt đờng thẳng song song với Oz
6) Cho điểm A(2;-1;1) B(-2;3;7) đờng thẳng
1
2
2 :
y z
x d
a) CMR đờng thẳng d đờng thẳng AB thuộc mặt phẳng
b) Tìm điểm I thuộc d cho IA+IB nhỏ 7) Cho điểm A(2;4;1) B(3;5;2) đờng thẳng:
1 ( ) :
x
y t
z t
a) Xét vị trí tơng đối AB (∆)
b) T×m ®iÓm M thuéc thuéc (∆) cho MA MB
đạt GTNN
8) Cho ®iĨm A(2; 0; 1) C(1 ; ;1) B(2 ; -1; 0) đ-ờng thẳng:
( ) :
1 2 3 x y z d
Tìm điểm M thuộc thuộc (d) cho MA MB MC
đạt GTNN
9) Trong hƯ trơc Oxyz cho A(2; ; 0) C(0 ; 4; 0) S(0 ; ; 4)
a) Tìm toạ độ B thuộc Oxy cho OABC hình chữ nhật Viết phơng trình mặt cầu qua điểm O, B, C, S
b) Tìm toạ độ điểm A1 xứng A qua SC
10) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với (ABC) SA = a, E trung điểm CD Tính theo a khoảng cách từ S tới BE
11) Trong không gian Oxyz cho hai đờng thẳng:
1
2
( ) : ,( ) :
4
x t x t
y t y t
z t z t
a) LËp PT mp(P) chøa (1) vµ song song víi (2)
b) Cho M(2; 1; 4) Tìm toạ độ H ((2) cho độ dài
đoạn thẳng MH ngắn
Bi 3: H phơng trình đại số Một số loại hệ ph ơng trình th ờng gặp : I)Hệ đối xứng loi I
1) Dạng: Hệ phơng trình
0 ) ; (
0 ) ; (
y x g
y x f
hệ đối xứng
lo¹i I nÕu
) ; ( ) ; (
) ; ( ) ; (
x y g y x g
x y f y x f
2)Cách giải : - Đặt x y S xy P
§K:
(16)- Biểu thị hệ qua S P
- T×m S ; P thoả mÃn điều kiện S2 4P
Khi x; y nghiệm phơng trình :
0
2 StP
t Từ có nghiệm hệ cho Chú ý :
+) Nếu hệ có nghiệm (a;b) tính chất đối xứng hệ nên hệ có ghiệm (b; a) Vì hệ có nghiệm có x = y
+) HƯ cã nghiƯm vµ chØ hƯ S, P cã nghiÖm S, P tháa m·n S2 4P
+) Khi S2 4P
th× x = y = -S/2
VËy hÖ cã nghiÖm nhÊt chØ cã nhÊt S, P tháa m·n S2 4P
Chó ý :
Nhiều trờng hợp ta sử dụng ĐK cần để tìm giá trị tham số sau thay vào hệ kiểm tra xem có thoả mãn hay khơng - (Đ/K đủ)
II) Hệ đối xứng loại II 1)Hệ :
0 ) ; (
0 ) ; (
y x g
y x f
hệ đối xứng loại II :
) ; ( ) ;
(y x g x y
f
2)Cách giải :
+)i vi hu ht hệ dạng trừ vế ta thu đợc phơng tình :
(x-y).h(x;y) =
Khi hệ cho ( ; )
( ; ) ( ; )
x y h x y
f x y f x y
( Chú ý : Có hệ đối xứng loại II sau trừ vế cha xuất x - y = mà phải suy luận tiếp có điều này)
+) Phơng pháp điều kiện cần đủ:
Phơng pháp đ ợc áp dụng tốt cho hệ đối xứng với yêu cầu: Tìm giá trị tham số để hệ có nghiệm Đ/k cần:
Nhận xét rằng: tính đối xứng hệ nên hệ có nghiệm (x0;y0) (y0;x0) nghiệm hệ,
hƯ cã nghiƯm nhÊt x0 = y0 (1)
Thay (1) vào phơng trình hệ, tìm đ/k tham số để pt` có nghiệm x0 ,ta đợc giá trị tham
số Đó đ/k cần
/k : thay giá trị tham số vào hệ kiểm tra, kết luận
III) Hệ nửa đối xứng x y 1)Dạng hệ:
)2 (; 0 ) ; (
)1 ( ); ; ( ) ; (
y x g
x y f y x f
(Tức có phơng
trỡnh l i xứng ) 2)Cách giải:
Chuyển vế biến đổi từ (1) ta có dạng phơng trình tích: (x - y).h(x; y) = Từ có: hệ cho tơng đơng với:
)2 (; 0 ) ; (
0 ) ; ( ). (
y x g
y x h y x
0 ); (
0 ); (
0 ); (
0
yx g
yx h
yx g
y x
Chú ý:Nhiều đặt ẩn phụ có hệ đối xứng
VÝ dô :
5 5 5 5
2 2 2 2
ty yt tx xy yx
IV) Hệ đẳng cấp x y 1) Hệ phơng trình
0 ) ; (
0 ) ; (
y x g
y x f
đợc gọi hệ đẳng cấp
bậc x; y hạng tử (trừ số hạng tự do) có bậc
2) C¸ch gi¶i :
* Cách 1) Khử số hạng tự (Cách thờng dùng hệ không chứa tham số, tham số số hạng tự cho đơn giản)
* C¸ch 2) Khư x2 ( víi y ) hc y2 (víi x 0):
(Cách thờng dùng hệ có chứa tham số) VI Một số hệ ph ơng trình khác.
*) Cách giải: Để giải hệ phơng trình không mẫu mực ta thờng áp dụng số pp :
+ Phân tích thành tích có vế phải + Đổi biến (đặt ẩn phụ)
+ Đánh giá : BĐT dùng hàm số Một số vÝ dơ:
1 Hệ đối xứng I:
Giải hệ pt sau :
2
11 1)
30 xy x y x y xy
11
5; 6
30
p s
hpt s p p s
p s
ÑS : x = 2; 3; 1;
-2
3
30 35
5; (2;3) ; (3; 2)
x y xy x y
hpt s p
(17)4
2
1 3)
1
11
0; (0;1);(1;0)
( )
x y x y
p s s
hpt
p p
s p p
3
30
4) : ; 0; ;
35
30
125,
3 35
x y y x
HD x y s x y p x y
x x y y p s
hpt s s p
s sp
Vậ y Hpt có ngh ( 4;9) ; ( 9;4)
5- cho: 5(x xyy) 4xy xy1 m4
a) Tìm m để hpt có nghiệm
HD: Giải hệ S ;P ta S= 4m ;p = 5m-1 ĐK : S2-4p 0 1; 1
4
m m b) Tìm m để hệ có nghiệm ĐS: m = 1/4, m =
6) a-Cmr: Hpt có ngh với m :
2 2
2
x y xy m
x y xy m m
b) Tìm m hpt có nghiện HDĐS :
a-
1 2
2
; 1
p s m
hpt
p s m m
s m p m s m p m
ĐS:hệS1,P1 Vn ; S22 4P2 (m1)2 0
Vậy: HPt có nghiệm với m b-HPT cã ngh nhÊt
2
S P
2
(m 1) 0 m1 => x = y = Vaọy : (1;1) Hệ đối xứng loại II: Giaỷi heọ pt :
3
3
1 :
3
x x y
hpt
y y x
3
2 :
3
y
x y
x hpt
x y x
y
2
2
2
3
2
x x y
y y x
HDÑS :
1-Hpt
2
3
( )( 5)
3 8
(0;0) ( 11; 11) ( 11; 11) x y x y x y xy
x x y
x x y
2- ÑK : x ; y Hpt :
2
( )( 4)
6 4( )
x y x y
x y xy x y
(-2; -2)
3-2
2
2
2
x x y
y x x
Lấy (1)-(2) : 3(x-y)(x+y-1 ) = y=x y = 1-x Kết hợp (1) Khi y = x : (1;1) ; (2;2)
Khi y = -x VN
4-1
2
1
2 x
y x y
x y
Laáy (1) - (2) : (x - y)(2 + 4/xy ) = y = x ; y = -2/x + y = x : (1;1) ; (-1;-1)
+ y = -2/x : ( 2; 2);( 2, 2) 3) Hệ nửa đối xứng
VD Gi¶i hƯ :
1 2
1 1
3 x y
y y x x
Gi¶i:
12 0)1)( (
0. 12
0 0. 12
11
3 3
22 3
xy xyyx yx xy
yxxyy x
yx xy
y y x x
3
4
1
( ) ( )
2 2 0
x y x y
x y I y II
x
x x x x
(18)+ Ta cã I):
2 5 1
2 5 1 1 )( 0 1 2 (
0 .
3
y x
y x
y x I x x
y x
yx
+ Ta cã II) :
2 2
( )
1
( ) ( ) 0;( )
2 2
x y
II y
x
x x VN
Hệ ng cp :
VD Cho hệ phơng trình :
2
2
4 (1)
3 (2)
x xy y m
y xy
a) Gi¶i hƯ pt` víi m =
b) Tìm a để hệ có nghiệm Giải:
C¸ch 1:
Dễ thấy y = nghiệm hpt Đặt x = ty, ta có :
HÖ
2 2
2
4
3
t y ty y m
y ty
2
2
( 1)
(1 )
y t t m
y t
2
2
4
1
(1 )
t t m
t
y t
(I)
Do y nªn tõ y2(1 - 3t) = - 3t > t < 1
3 a) Víi m = ta cã hÖ :
2
2
4 1
1
(1 )
t t
t
y t
Giải hệ ta đợc kq : (1 ; 4), (-1 ; -4) b) Ta có :
(I)
2
2
4( 1) (1 )
(1 )
t t m t
y t
2
2
4 (16 ) (*)
(1 )
t m t m
y t
Đặt f(t) = 4t2 - (16 - 3m)t + - m = th×
HƯ cã nghiƯm (*) cã nghiƯm thoả mÃn t <
Ta lại có ( )1
3
af m nên hệ có nghiệm thoả mÃn t1 <
1
3 < t2 VËy hÖ có nghiệm với m Cách : Khử Èn
HÖ
2
2
4
3
x xy m y xy
2
4 2
4
2 (8 ) (4 ) (*)
x m
y
x
x m x m
(x = tho¶ m·n hƯ m = 4)
Với m đặt : f(t) = 2t2 + (8 - m)t - (4 - m)2 ta có f(0)
= -(4 - m)2 < nên phơng trình f(t) = có nghiệm
t > hay phơng trình (*) có nghiệm với m Các tập luyện tập :
Bài 1: Một số hệ dạng
1) Cho hệ phơng trình
8 )1 )( 1 (
2 y
x y x
m y
x xy
a) Giải hệ m=12 b) Tìm m để hệ có nghiệm 2) Cho hệ phơng trình
2 2
1
2 a x y
x y a
Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm phân biệt 3) Cho hệ phơng trình
2
2
1
3
x xy y
x xy y m
Tìm m để hệ có nghiệm
4)
2 2
2 2
x y
y x
5)
m y
x x
y y x
y x
1 1
1 1
3 1 1
a) Gi¶i hƯ m=6
b) Tìm m để hệ có nghiệm Bài 2:
2
2
2 3
2 3
y x x
x y y
(KB 2003)
(19)Th1 x=y suy x=y=1
TH2 chó y: x>0 , y> suy vô nghiệm Bài 3:
35 8
15 2
3
2
y x
xy y x
HD: Nhóm nhân tử chung sau đặt S=2x+y P= 2x.y Đs : (1,3) (3/2 , 2) Bài 4:
) 2 ( 1
)1 ( 3 3
6
3
y x
y y x x
HD: tõ (2) : -1 ≤ x , y ≤ hµm sè : f t t3 3t
[-1,1] áp dụng vào phơng trình
(1)
Bài 5: CMR hệ phơng tr×nh sau cã nghiƯm nhÊt
x a x y
y a y x
2
2
2 2
HD:
2
2x x a
y x
xÐt
2 )
(x x x
f lËp BBT suy KQ
Bµi 6:
2 2
2 2
x y
y x
HD Bình phơng vế, đói xứng loại
Bµi 7:
)1 (
)1 (
2
x a y xy
y a x xy
xác định a để hệ có nghiệm
duy nhÊt
HD sử dụng ĐK cần đủ a=8
Bµi 8:
)2 ( 5
)1 ( 20 10
2
y xy
x xy
HD : Rót y y y
y
x5 5
C« si 5 y 2 y
x .
20
x theo (1) 20
x suy x,y
Bµi 9:
2 )1 (
3
y x y x
y x y x
(KB 2002)
HD: từ (1) đặt nhỏ làm nhân tử chung (1;1) (3/2;1/2)
Bµi 10:
a y x
a y x
3 2 1
Tìm a để hệ có nghiệm
HD: từ (1) đặt u x1,v y2 đợc hệ dối
xøng víi u, - v
ChØ hƯ cã nghiƯm phơng trình bậc hai tơng ứng có nghiệm trái dấu.
Bài tập áp dụng
1)
49 5
56 2
6
2
2
y xy x
y xy x
2)
) (
3
2
2
y x y
x
y y x x
KD 2003
3)
0 9 5
18 ) 3 )( 2 (
2
y x x
y x x x
4)
2 ) (7
2
3
y x y x
y x y x
HD: tách thành nh©n tư nghiƯm
5)
m xy
x y xy
26 12
2
Tìm m để hệ có nghiệm
6)
19 2 . ) (
3
2
y x
y y x
dỈt t=x/y cã nghiƯm
7)
6 4
9 ) 2 )( 2 (
2 x y
x
y x x
x
(20)8)
4 )1 ( 2
2 2
2 y x y
x
y x y x
đổi biến theo v,u t
phơng trình số (1)
9)
2
3 3
6 19 1
x xy
y
x y x
Đặt x=1/z thay vào đợc hệ y,z
DS (-1/2,3) (1/3,-2)
10)
1 2
1 1
3 x y
y y x x
(KA 2003)
HD: x=y V xy=-1
CM 2 0
x
x v« nghiƯm cách tách hàm số kq: nghiệm
11)
a x y
a y x
2
)1 (
)1 (
xác định a để hệ có nghiệm
nhất HD sử dụng ĐK cần đủ
12)
3 3 2 2
xy y x
x y y
x
HD bình phơng vế
Bài 2: Phơng trình bất phơng trình Đại số
Một số dạng ph ơng trình bất ph ơng trình th ờng gặp
1) Bất phơng trình bậc hai ;
Định lý dấu tam thức bậc hai; Phơng pháp hàm số
2) Phơng trình, bất phơng trình chứa giá trị tuyệt đối
2
2
0 B
A B
A B
A B A B
A B
A B
A B
A B B A B
3) Phơng trình, bất phơng trình chứa thức *PT chứa thức:
2
0
B A B
A B
0( 0)
0
2
A hayB
A B
A B A
A B C B
A B AB C
* Bất phơng trình chứa thức:
2
2
0
* *
0
0
* *
0
A A
A B B A B B
A B A B
A A
B B
A B A B
B B
A B A B
Mét sè vÝ dơ BÀI TẬP :
Bài 1: Bình phương hai veá : a) x2 + x 1 1
Hd:
0
1
1
2
1
2 x
x
x
x x x
x
b)pt: 5x 1 3x 2 x 0 §K x Chuyển vế, bình phương hai vế : x = ;
x = 2/11( loại ) Vậy x=2
c) pt: x9 5 2x4 §K x 2 Bình phương hai lầ ta có : ĐS x = d) pt: 16 x 9x 7 §S: x = 0, x = -7 e)
2
: (4 1) 2
: 1/
pt x x x x
dk x
Bình phơng hai lần ta có :ẹS x = 4/3 Baứi : Đặt ẩn phụ:
a) x2 3x 3 x2 3x6 3 §S: x = 1, x =
b) 1 2 1 0 : 0 1
3 x x x x dk x
- Đặt : 1 ; 0 2
2
t t x x t x x
pt t2-3t +2 =0 t =1 ; t =2 Vn.
t =1 x = ; x =1
c) 2x 3 x 1 3x 2 2x2 5x 3 16
(21)2
:
2
3 2
5
DK x
t x x
t x x x
pt t x
2 2
2
) 3 19
/
5 13
1;
d x x x x x x
t x x
pt t t t t
x x
Bµi 3:
1) x 1 3 x (x1)(3 x) m
a) Giaûi pt m=2 b) Tìm m pt có nghiệm HDĐS:
ÑK: ; 2
: 2( )
t x x t
vi a b a b a b
2 0( )
1) : 1,
2
t l
m t t x x
t
2) f(t) = -t2/2 + t +2 = m (1) Lập bảng biến thiên :
Tacó : 2 2 m2
Bài Tìm m để phơng trình sau có nghiệm:
2
9
x x x xm
Bình phương : Đặt t= x(9 x) 0 t / KSHS f t( ) t2 2 ;t o t 9 / 2Ds 9 / 4 m 10
Bài Tìm m để phơng trình có nghiệm:
4 4 4 4 6
x xm x xm
HDĐS: Đặt t x4 4x m 0pt t: t 6 0
4
4
3 ( )
4
2
4 16
lo¹i
t
PT x x m
t
m x x
Laäp BBT : m>19VN; m=19: ngh ;m<19pt2ngh Baứi Giải phơng trình sau:
1) 3(2 x)2 3(7x)2 3(7 x)(2 x) 3
-Đặt :
2
3
3
3
2
9
u x u v uv
pt
u v
v x
1; 1;
2 u v
u v x
uv
2) 32 x 1 x 1
.ÑK : x1 đặt
3 2
1;
u x
v x v
3
1
0;1; 2; 1;0;3
1;2;10
u v
u v
u v x
Mét sè bµi tËp lun tËp:
Bài : Tìm m để (x1)(x3)(x2 4x6)m
Tìm m để bất phơng trình nghiệm với x
HD: sư dơng hàm số tam thức : m-2 Bài 2: Giải phơng trình, bất phơng trình sau:
1) 8 6 1 4 1 0
x x
x
2) x4 1 x 1 2x : x =
3) 2(x2 2 )x x2 2x 3 0. DS x: 1 5
4) 2
x x x
x TÝch nh©n tư b»ng
suy cách giải
5)( )
x x x
x (KD 2002)
Bài 3: Tìm m để hệ sau có nghiệm
0 1
2
0 9 10
2
m x x
x x
ĐS m
Bài 4: Giải bpt: 2 x1 2xx
nhân vế với biểu thức liên hợp VT Biến đổi v BPT tớch chỳ y K
Bài 5: Giải bất phơng trình:
7
1 2
3
3
x x x x
HD Đặt ,
2
t
x x
t AD BĐT cô si suy ĐK.
Bài 6: Giải bất phơng trình
) 1
(
2
x x
x
HD
XÐt trêng hỵp chó ý DK x -1
Trong trêng hỵp x tiến hành nhân chia cho biểu thức liên hợp mẫu VT.
Bài 7: Cho phơng trình:
m x x x
x 9 29
Tìm m phng trỡnh cú nghim HD
Bình phơng vế y ĐK Đặt t= tích thớc Tìm ĐK t Sử dụng BBT suy KQ
Bài 9: Giải bất phơng tr×nh (KA 2004)
3 3
) 16 (
2
x x x
x x
Bài tập áp dụng
1) Tỡm m để bất phơng trình sau có nghiệm
m x x 2 16
2) 4 4 2 12 2 16
x x x
x
3) x12 x 3 2x1
4) 2(1 ) 2 2
x x x x x
HD: đặt 2 1
x x
t coi lµ PT bËc hai Èn t
5) (x1)x (2x)x 2 x2
6)
2
) (
2
x x x x
(22)7) 1
2
51
x x x
8)
x x
x
9) x 2 4 x 3x2 18x 29
B i 3:à Phơng trình
hệ phơng trình lợng giác Một số kiến thức cần nhớ
1 Cỏc công thức biến đổi lợng giác a) Công thức cộng:
cos(a - b) = cosacosb + sinasinb cos(a + b) = cosacosb - sinasinb sin(a + b) = sinaccosb + cosasinb sin(a - b) = sinacosb - cosasinb
( )
1
tga tgb tg a b
tgatgb
b) Công thức nhân đôi, nhân ba
cos2a = cos2a - sin2a = 2cos2a - = 1- 2sin2a;
sin2a = 2sinacosa;
2
2
2 ,
2
1 tga
tg a a k a k
tg a
3
sin 3a3sina 4sin ; cos 3a a4 cos a 3cos ;a c) Công thức hạ bậc
2 cos 2 cos
cos ; sin ;
2
a a
a a
d) Công thức chia đôi
Đặt
2 x
t tg x k Ta cã:
2
2 2
2
sin ; cos ;
1 1
t t t
x x tgx
t t t
; e) Cơng thức biến đổi
* §ỉi tÝch thµnh tỉng
:
1
cos cos cos( ) cos( )
2
sin sin cos( ) cos( )
2
sin cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
* Đổi tổng thành tích:
cos cos 2cos cos ;
2
cos cos 2sin sin ;
2
sin sin 2sin cos ;
2
sin sin 2cos sin ;
2
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
f) Mét sè c«ng thøc hay dïng:
sin cos sin cos
4
sin cos sin cos
4
x x x x
x x x x
1
; ;
4
tgx tgx
tg x tg x
tgx tgx
2 Một số phơng trình lợng giác thờng gặp a) phơng trình lợng giác bản:
+ sinx = a
2
1 (sin )
2 PTVN
PT cã ngh a
x k
a a
x k
+ cosx = a
1
1 (cos )
PTVN PT cã ngh a
a x k a
+ tgx = a §K:
x k , x = k (tg = a) + cotgx = a, ĐK: x k , x = k (cotg = a) b) Phơng trình bậc nhất, bậc hai hàm số l-ng giỏc.
* Phơng trình bậc nhất:
( ) ( )
sin ( ) sin ( ) ;
( ) ( )
cos ( ) cos ( ) ( ) ( ) ;
( ) ( ) ( ) ( ) ;
( ) ( ) ( ) ( ) ;
sin ( ) sin ( ) sin ( ) sin ( ) ; cos ( ) cos ( ) cos (
tg tg
cotg cotg
f x g x k
f x g x
f x g x k
f x g x f x g x k
f x g x f x g x k
f x g x f x g x k
f x g x f x g x
f x g x f x
) cos ( ) ;
sin ( ) cos ( ) sin ( ) ;
g x
f x g x g x
*
Ph¬ng tr×nh bËc 2:
2
sin sin
a x b x c đặt t = sinx ( t 1)
2
cos cos
a x b x c đặt t = cosx (t 1)
2
2
0; 0; atg x btgx c
acotg x bcotgx c
c) Phơng bậc sinx cosx. asinx + bcosx = c
Cách giải:
+ Cách 1: chia hai vÕ cho a2 b2
; đặt:
2 2
cos a , sin b
a b a b
ta đợc PT:
2
sin(x ) c
a b
;
(23)+ Cách 2: Đặt tg b a
ta đợc phơng trình: sin(x ) ccos
a
d) Phơng trình đẳng cấp sinx cosx
2
sin sin cos cos a x b x x c x d Cách giải:
* Cách 1: Thử với cos2x = sinx = nÕu nghiÖm
đúng phơng trình đặt cosx làm thừa số chung Với cos2x chia hai vế cho cos2x ta đợc:
atg2x + btgx + c = d(1 + tg2x).
* Cách 2: Hạ bậc đa phơng trình bậc sin2x cos2x
e) Phơng trình đối xứng sinx cosx *) Đối xứng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c Đặt sinx + cosx = t, điều kiện t
2
2
1
2
2 t
at b c bt at b c
* Giả đối xứng: a(sinx - cosx) + bsinxcosx = c Đặt sinx - cosx = t, điều kiện t
2
2
1
2
2 t
at b c bt at b c
3 Một số phơng pháp thờng dùng giải phơng trình lợng giác:
+ ỏp dụng đẳng thức; + áp dụng công thức biến đổi; + Đổi biến số, đặt ẩn phụ;
+ Biến đổi tích 0;
+ Đánh giá: dùng BĐT, tập giá trị hàm số y = sinx; y = cosx, dùng đạo hàm;
+ Biến đổi tổng bình phơng 4 Cỏc vớ d:
Giải phơng trình sau: Bµi 1:
x x tgx
gx
2 sin
4 cos
cot
§S:
3 x k. Bµi 2:
) (sin cos
3
cos2
x x
x
§S: ; ;
6
x k x k x x k . Bµi 3:
2 sin
2 sin sin
sin
2 2
2
x x x
x
.
§S: ; 2
3
x k x x k .
Bµi 4:
1
3 cos cos
sin
sin3
x tg x
tg
x x
x x
HD:- Đặt ĐK rút gọn MS=1 AD công thức nhân 3
ĐS:
6 x k . Bµi 5:
0 cos ) sin (
3 tgx tgx x x HD: Biến đổi theo sin cos. ĐS:
3 x k . Bµi 6:
3 6sin 2sin( ) (1)
2
2sin 6sin( ) (2)
2 y
tg x y x
y
tg x y x
HD: nh©n (1) víi (2) rót gän tg2 y 4sin2 y
2 .
đặt
2 y t tg
t
= 0, t = ± 3. Bµi 7:
x x
x x x
x sin3 cos
2 sin cos
sin
cos
HD : BĐ tích thành tổng rút gọn. Bài 8:
2 cos cos cos cos
cosx x x x x
HD: nhân vế với 2.sin(x/2) ý xét trờng hợp 0.
Nhận xét: Trong toán chứa tæng
nx x
x T
nx x
x T
sin sin sin
cos cos cos
thùc hiƯn rót gọn cách trên. Bài 9:
) cos sin (cos sin sin
x x x x x
tgx
HD: BĐ dạng: (sinxcos )(sinx x 3cos2 x) 0 Bµi 10
2
9 sin
cos
log 4.log x2
x
HD:
sin sin
2 sin
1
2 log 2.log
2
log
x x
x
5 Một số phơng trình có tham số: Bài Tìm m để phơng trình: sin2x + m = sinx + 2mcosx có nghiệm [0;3 ]
4 x HD: PT (sinx - m)(2cosx - 1) = Bài Tìm m để phơng trình:
(2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + m) = 3- 4cos2x
có nghiệm x [0; ]
HD: PT (2sinx - 1)(2cos2x + m - 1) = Bài Tìm m để phơng trình:
mcos22x - 4sinxcosx + m - = 0
cã nghiÖm x [0 ; /3] HD: Đặt t = sin2x Bài 4: Cho phơng trình
0
sin cos ) cos (sin
2 4
x x x m
(24)Tìm m để phơng trình có nghiện thuộc đoạn 0;
2
HD: [-10/3;-2] Bài 5: Cho phơng trình
3 cos sin
1 cos sin
2
x x
x x
a
1) Giải phơng trình a=1/3 2) Tìm a để phơng trình cú nghim
HD: Đa dạng
(2-a)sinx+(2a+1)cosx=3a+1 ĐS [-1/2,2]
Bài 6: Tìm nghiệm khoảng (0, )
4 cos
2 cos sin
4 x x x
6 Các tập luyÖn tËp: 1)
2 sin sin sin cos cos
cosx x x x x x
2) sinx 3.cosx sinx 3.cosx 2
3)
x x
x x
cos
cos sin
1 sin
2
4)
x x x
g
2 sin
2 cos cot
1 2
5) cos2 cos (2 1)
x tg x
x
6) 3cos4 8cos6 2cos2 3 0
x
x
7)
1
cos
3 sin sin cos )
(
x
x x
x
8) 1sinxcosxsin2xcos2x0 Một số đề thi từ năm 2002
1) Tìm nghiệm thuộc khoảng 0; phơng trình
2 cos
sin
3 sin cos sin
5
x
x x x
x KA 2002
2) Giải phơng trình
x x x x
tg 4
2
cos
3 sin ) sin (
1
(DB 2002)
3) Tìm nghiệm thuộc khoảng 0; phơng trình
x x
tgx x g
2 sin
2
sin
cot KB 2003
4) Tìm x nghiệm thuộc khoảng 0;14 phơng trình cos 3x cos 2x3cosx 0 KB 2003 5) Giải phơng trình
4
sin cos 1
cot
5sin 2 8sin
x x
g x
x x
DB 2002 6) Giải phơng tr×nh
2
cos cos sin
2 x tgx x x x tgx tg
(DB 2002) 7) Cho phơng trình 2sin cos (1)
sin 2cos
x x
a
x x
a) Giải phơng trình (2) a
b) Tìm a để phơng trình có nghiệm 8) Giải phơng trình
2
1
sin
8cos x x (DB 2002) 9) Giải phơng trình
2
cos
cot sin sin
1
x
gx x x
tgx
(KA 2003)
10) Gi¶i phơng trình tgx tgx 2sinx6 cosx0 (DBKA 2003)
11) Giải phơng trình cos 2xcosx tg x2 12 (DBKA 2003)
12) Giải phơng trình 3cos 4x 8cos6x 2 cos2 x 3 0
(DBKB 2003)
13) Giải phơng trình
2
2 cos 2sin
2 1
2cos x x
x
(DBKB 2003)
14) Gi¶i phơng trình sin2 cos2
2
x x
tg x
(KD 2003)
15) Giải phơng trình
2
cos cos
2 sin cos sin
x x
x
x x
(DBKD 2003)
16) Giải phơng trình cot 2sin sin
x gx tgx
x
(DBKD
2003)
17) Giải phơng trình 5sinx sin x g xt (KB 2004)
18) Giải phơng trình :
2cosx1 2sin xcosxsin 2x sinx KB 2004
Bµi 4: HƯ thức lợng tam giác Một số kiến thức cần nhí
*Một số phép biến đổi thờng dùng + Cung liên kết
+ Các công thức biến i
*Một số hệ thức tam giác cần nhí:
+
2 2
A B C
SinA SinB SinC Cos Cos Cos
+ 4sin sin sin
2 2
A B C
CosA CosB CosC + tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC +
2 cot cot cot cot cot
cotg A gB gC g A g B gC
+
2 2 2
2
A tg C tg C tg B tg B tg A tg
+ cotgA.cotgB + cotgB.cotgC + cotgC.cotgA = +Sin2A. Sin2B Sin2C 2 2CosACosBCosC
(25)+Cos2A. Cos2B Cos2C 1 2sinAsinBsinC
+ Sin2A + Sin2B + Sin2C = 4SinA.SinB.SinC + Cos2A + Cos2B + Cos2C = -1 - 4CosACosBCosC Các ví dụ
Bài 1: Cho tam giác ABC, CMR
2 2 2
A B B C C A
tg tg tg tg tg tg
Bµi 2:Cho tam gi¸c ABC cã gãc nhän CMR: a) tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC
b) tgAtgBtgC 3
dấu = xảy nào? HD: áp dụng BĐT côsi
3 . .
3 tgAtgBtgC tgC
tgB
tgA
lập phơng hai vế thay trở lại phơng trình đầu ta đợc đpcm.
Bài 3: CMR: tam giác ABC, ta ln có : HD: Biến đổi liên tiếp tích thành tổng VP.
VP= [cos(B-C) – cos(B+C)].cosA + [cos(C-A) – cos(A+C)].cosB + [cos(A-B) – cos(A+B)].cosC =Cos(B-C).cosA + Cos2A + Cos(C-A).cosB +Cos2B + Cos(A-B).cosC + cos2C.
thực nhân phá ngoặc xuất cos2A, cos2B, cos2C… sử dụng công thức nhân đôi thay cos2A, cos2B, cos2C suy đpcm.
Bµi 4: CMR víi mäi tam gi¸c ABC ta cã
2 2
1 Cos A Cos B Cos C. 2.CosACosBCosC Từ suy tam giác ABC có góc tù
2
2
2
Sin B Sin C A
Sin
Bài 5: Cho tam giác ABC thoả mÃn đk: 2tgA = tgB + tgC
CMR : tgB.tgC = Và Cos(B - C) = 2CosA
HD: xuất phát:
tgC tgB
tgC tgB C
B tg
)
( ®pcm
Tõ tgB.tgC = vµ chØ sinA.sinB=3cosB.cosC (*)
Mà cos(B - C) =2.cos[ (B C)] khai triển suy đẳng thức (*).
Bµi 6: CMR víi mäi tam gi¸c ABC ta cã:
2 cot cot cot 2 2
sin sin
1 sin
1
A g A g A g C
tg B tg A tg
C B
A
HD: thay
2 cot cot cot cot cot
cotg A gB gC g A gB gC áp dụng cơng thức nhân đơi
Bµi 7: CMR mäi tam gi¸c ABC ta cã
C B A B
A C CCosA
B
C Sin B Sin A Sin
cos sin sin cos sin sin sin
sin
2
2
Bài 8: Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C thoả mÃn đk 4A = 2B = C CMR:
c b a
1 1
vµ
4
2
2A Cos BCos C
Cos
Bài 9: CMR tam giác ABC ta có:
C B
A R
r
cos cos
cos
1
Bài 10: Cho tam giác ABC thoả m·n ®k:
bc a A Sin
2
2 , CMR tam giác ABC cân Bài 11:Cho tam giác ABC thoả mÃn đk
2
.tgB tg A tg B
tgA
CMR tam giác ABC cân
Bài 12 CMR tam gi¸c ABC cã
a c b C Bcos
cos tam giác vuông
Bài 13: Cho tam gi¸c ABC víi BC=a, AC=b, AB=c CMR tam giác ABC vuông cân A chØ
2 C B tg c b
c
b
Bµi 14: Cho tam giác ABC có góc thoả mÃn ®k: 3(cosB+2sinC) + 4(sinB+ 2cosC) =15
CMR tam gi¸c vuông
Bài 15:Các góc tam giác ABC thoả mÃn ®k 2 sin sin sin cos cos
cos A B C A B C
CMR tam giác ABC vuông
Bài 16: Cho tam giác ABC thoả mÃn đk
2 4
2 sin
cos 1
1 )
(
2
3 3
b a
b a C
C
a c b a c b a
CMR tam giác ABC
(26)gC gB
C
A sin cot cot
1 sin
1
2
CMR tam giác ABC tam giác Bài 18: Tam giác ABC thoả mãn đk
2 sin sin sin
CosB CosC A C
CosA B CMR tam
giác ABC tam giác
Bài 19: tam giác ABC có góc thoả m·n hÖ thøc:
2
2
2
Cotg B Cotg C A
Cotg
Bµi 20:CMR nÕu tam gi¸c ABC ta cã
2 cos
cos
cos sin
sin
sinA B C A B C th×
tam giỏc u
Bài 21: Cho tam giác ABC thoả mÃn đk: 8(p-a)(p-b)(p-c)=abc
CMR tam giỏc u
Bài 22: Cho tam giác ABC thoả mÃn đk
gC gB
gA
C B
A C
g B g A g
cot cot
cot
2 cos
1 cos
1 cos
1
cot cot cot
Bµi 23: tg8A tg8B tg8C 9tgA.tg2B.tg2C
Bµi 24: 6 81
tg B tg C
A tg
Bài 25: Tìm GTNN biÓu thøc
C B
A M
2 cos
1
cos
1
cos
1
Bài 26: Tam giác ABC bÊt kú t×m GTLN cđa: P= cosA+ cosB +cosC
Bài 27: <Dùng phơng pháp BĐ Lợng giác xuất bình phơng nhị thức>
Cho tam giác ABC bÊt kú T×m GTLN cđa biĨu thøc
) cos (cos
3 cos
3 B A C
P
Bài 28: Cho tam giác ABC tho¶ m·n hƯ thøc:
4 17 ) cos cos
(sin sin
sin cos
2 B B C A B C Hái
tam giác ABC tam giác gì? CM?
Bài 12 Đại số tổ hợp - công thức nhị thức niu tơn
Một số kiến thức cần nắm v÷ng
+ Hai quy tắc đếm bản: Quy tắc cộng quy quy tắc nhân
+ C¸c khái niệm: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp + Các c«ng thøc:
1
1
! !
!; ; (0 )
( )! !( )!
;
k k
n n n
k n k k k k
n n n n n
n n
P n A C k n
n k k n k
C C C C C
+ Công thức nhị thức Niutơn
0 1
( )n n n k n k k n n
n n n n
a b C a C a b C a b C b
Một số công thức đặc biệt:
0
(1 )n k k n n
n n n n
x C C x C x C x
0 n 2 ;n
n n n
C C C
0 ( 1)k k ( 1)n n 0
n n n n n
C C C C C Đặt P(x) = (1x)n Cn0C xn1 C xnn n
P(x) đa thức bậc n nên ta tính giá trị điểm bất kì; lấy đạo hàm; tích phân đoạn Khi ta có tốn
VÝ dơ:
P(2008) = 2008 2008n n 2009n
n n n
C C C
1 2
1
'( )
(1 ) ' (1 )
n n
n n n n
n n
P x C xC x C nx C
x n x
1
'(1) n 2n
n n n n
P C C C nC n
1
'( 1) ( 1)n n
n n n n
P C C C nC
1 2 1
'( ) n n (1 )n
n n n n
P a C aC a C na C n a
1 2 3
'( ) n n (1 )n
n n n n
xP x xC x C x C nx C nx x
1 2 2
1
2
(1 ) ( 1) (1 )
n n
n n n n
n n
C xC x C n x C
n x n n x x
2
1
''( ) 3.2 4.3 ( 1) (1 ) ' ( 1)(1 )
n n
n n n n
n n
P x C xC x C n n x C
n x n n x
2
''(1) 3.2 4.3 ( 1) n ( 1)2n
n n n n
P C C C n n C n n
0
0 0
1
0
( ) ( ) (1 )
1 1 (1 )
2 1
a a a
n n n
n n n
n n n
n n n n
P x dx C C x C x dx x dx
a
aC a C a C a C
n n
Mét sè bµi tËp:
1 Các tốn phép m:
Bài 1: Có số tự nhiên chia hết cho mà số có chữ số khác
HD: Xét trờng hợp ĐS: 9.8.7 8.8.7 952
Bài 2: Đội tuyển học sinh giỏi trờng gồm 18 em Trong có học sinh khối 12, học sinh khối 11, học sinh khối 10 Hỏi có cách cử học sinh đội dự trại hè cho khối có học sinh đợc chọn
HD: C188 (C118 C128 C138) 41811
Bài 3: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập đợc số tự nhiên mà số có chữ số khác số tổng chữ số đầu nhỏ tổng chữ số cuối đơn vị
(27)Cã cặp số thoả mÃn là:
+ Cặp số đầu gồm số 1, 4, ba số cuèi gåm c¸c sè 2, 3, Cã 3!.3! = 36 số
+ Cặp số đầu gồm sè 2, 3, ba sè cuèi gåm c¸c sè 1, 4, Cã 3!.3! = 36 sè
+ Cặp số đầu gồm số 1, 3, ba sè cuèi gåm c¸c sè 2, 4, Cã 3!.3! = 36 sè
VËy cã: 3.36 = 108 sè
Bài 4: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập đợc số tự nhiên mà số có chữ số khác chữ số đứng cạnh chữ số
HD: Coi hai số cặp Xét trờng hợp: + TH1: cặp 2,3 đứng đầu, có: 2.4! = 48 số
+ TH2: cặp 2, đứng vị trí khác, có: 4.2.3.3! = 144
ĐS: 192
Bài 5: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập đ-ợc số tự nhiên, số gồm chữ số khác tổng chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn
ĐS: .3! 1440A63
Bài 6: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập đợc số tự nhiên, số gồm chữ số khác thiết phải có chữ số
§S: 5.4.A 53 1200
Bài 7: Một đội văn nghệ có 15 ngời gồm 10 nam nữ hỏi có cách lập nhóm đồng ca gồm ngời, biết nhóm phải có nữ ĐS: C C53 105 C C54 104 C C55 310
Bài 8: Một tổ gồm học sinh nữ học sinh nam cần chọn học sinh số học sinh nữ phải nhỏ Hỏi có cách chọn nh vậy?
§S:
Bài 9: Có số tự nhiên chẵn gồm chữ số đôi khác nhỏ 2158
§S:
Bài 10: Một đội niên tình nguyện có 15 ngời, gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân cơng đội niên tình ngun giúp đỡ tỉnh miền núi cho tỉnh có nam nữ
§S: (C C124 ).(31 C C84 ).(21 C C 44 ) 20790011
2 Các toán nhị thức, phơng trình bất phơng trình tổ hợp, chỉnh hỵp
1) BiÕt r»ng (2x)100 a0 a1x a100x100 CMR: a2 < a3 Với giá trị k th× ak< ak+1 (0≤ k ≤
99)
100 100 100 100
100 100
100 100
1 100 100
2 ;
2 98 32
k k k k
k k
k k
k k
a C a C
a a C C k k
2) Tìm số nguyên n >1 thoả mãn đẳng thức: 12
6
2
n
n n
n A P A
P
3) Tính giá trị cđa biĨu thøc:
( 1)!
4
n n
A 3A
M n
nN* BiÕt
r»ng: 2 149
4
3
2
1
n n n
n C C C
C
4) T×m hƯ sè cđa x7 khai triển thành đa thức
(2 - 3x)2n, n N* thoả mãn:
1024
1
1
1
1
2
n n n
n
n C C C
C
5) Gi¶ sư (1 ) x na0a x1 a xn n BiÕt r»ng:
729
1
0 a an
a Tìm n số lín nhÊt c¸c sè : a0,a1, ,an
6) Giải bất phơng trình 60 32
)! (
k n
n A
k n
P
víi Èn n, k thuéc N (TNPT 2003 - 2004)
7) Giải bất phơng trình :
1 2003
2
2
2x C x C xx
C
8) Tìm số n nguyên dơng thoả mÃn bất phơng trình:
n C
A n
n n3 2 2 9
§S n = v n =
9) Gi¶ sử n số nguyên dơng (1x)n a0a1 anxn
BiÕt r»ng k nguyªn (0< k < n) cho: 24
9
1
1
k k
k a a
a
TÝnh n ĐS n =10 10) Giả sử n số nguyên dơng
10 11 10
1 10 11
(1x) (x2)x a x a x a H·y tÝnh hƯ sè a5 §S 672
11) Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triĨn nhÞ
thøc:
n
x x
3
1 .
BiÕt r»ng: 7( 3)
1
4
C n
C n
n n
n §S 495
12) Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển nhị
thức 1x2(1 x)8 13) Tìm số tự nhiên n thoả mÃn: 22 3 n3 100
n n n n n
n
n C C C C C
C
14) Tìm số tự nhiên n biết (KA 2005):
1 2 3 2
2 2.2 3.2 4.2 (2 1).2
2005 n n
n n n n n
C C C C n C
15) T×m sè nguyên dơng n cho:
0 1 ( 1)
2 2008
n n
n n n n n
C C C C C
n
16) Tìm số nguyên dơng n cho:
1 2 3
2n 2.2n 3.2n ( 1)n n 2008
n n n n
C C C nC
17) Chøng minh r»ng
2
1
2 2
1 1
2 20
n n
n n n n
C C C C
n