Luận văn Thạc sĩ Khoa học vật chất: Các kích thích Ripplon trên bề mặt của ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần

Trên cơ sở lý thuyết về ngưng tụ Bose - Einstein nghiên cứu các kích thích Ripplon trên bề mặt của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần trong vật lý thống kê và cơ học lượng tử nói riêng trong vật lý lý thuyết nói chung.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI ====== PHÙNG MINH NGỌC CÁC KÍCH THÍCH RIPPLON TRÊN BỀ MẶT CỦA NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết vật lý toán Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN THỤ HÀ NỘI - 2017 LỜI CẢM ƠN Trƣớc trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Thụ ngƣời định hƣớng chọn đề tài tận tình hƣớng dẫn để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phịng Sau đại học, thầy giáo giảng dạy chun ngành vật lí lí thuyết vật lí tốn trƣờng Đại học sƣ phạm Hà Nội giúp đỡ tơi suốt q trình học tập làm luận văn Cuối cùng, xin đƣợc gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình bạn bè động viên, giúp đỡ tạo điều kiện mặt q trình học tập để tơi hồn thành luận văn Hà Nội, ngày tháng năm 2017 Tác giả Phùng Minh Ngọc LỜI CAM ĐOAN Dƣới hƣớng dẫn TS Nguyễn Văn Thụ luận văn Thạc sĩ chuyên ngành vật lí lí thuyết vật lí tốn với đề tài“Các kích thích Ripplon bề mặt ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần ” đƣợc hồn thành nhận thức thân, không trùng với luận văn khác Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, ngày tháng năm 2017 Tác giả Phùng Minh Ngọc DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT BEC (Bose – Einstein condensate) BdG DPA (Double – parabola approximation) GPE (Gross – Pitaevskii equation) Ngƣng tụ Bose – Einstein Bogoliubov-de Genns Gần parabol kép Phƣơng trình Gross – Pitaevskii MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chƣơng TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN 1.1 Thống kê Bose – Einstein 1.2 Tổng quan nghiên cứu ngƣng tụ Bose – Einstein 10 1.2.1 Thực nghiệm ngƣng tụ Bose – Einstein 10 1.2.2 Một số ứng dụng ngƣng tụ Bose – Einstein 16 Chƣơng2 LÝ THUYẾT GROSS - PITAEVSKII 24 2.1 Gần trƣờng trung bình 24 2.2 Trạng thái ngƣng tụ Bose – Einstein hai thành phần 27 CHƢƠNG SÓNG MAO DẪN TRÊN MẶT PHÂN CÁCH CỦA NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN 31 3.1.Hệ phƣơng trình Bogoliubov-de Gennes 31 3.2 Gần parabol kép 32 3.2.1 Sơ lƣợc gần parabol kép 32 3.2.2 Trạng thái gần parabol kép 33 3.3 Sóng mao dẫn gần parabol kép 34 KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Albert Einstein (1897 -1955) nhà vật lý ngƣời Đức Ông đƣợc coi nhà khoa học có ảnh hƣởng kỉ 20 cha đẻ vật lý đại Nói tới Einstein khơng thể khơng nhắc tới hàng loạt cơng trình nghiên cứu ơng, số ngƣng tụ Bose – Einstein (Bose – Einstein condensate – BEC) đƣợc tạo giới từ nguyên tử lạnh năm 1995 Bắt đầu từ năm 1924 nhà lý thuyết Ấn Độ Satyendra Nath Bose suy định luật Planck cho xạ vật đen lúc xem photon nhƣ chất khí nhiều hạt đồng Satyendra Nath Bose chia sẻ ý tƣởng với Einstein hai nhà khoa học tổng quát hóa lý thuyết Bose cho khí lý tƣởng nguyên tử tiên đoán nguyên tử bị làm đủ lạnh, bƣớc sóng cùa chúng trở thành lớn đến mức chồng lên Các nguyên tử nhận dạng nhân tạo nên trạnh thái lƣợng tử vĩ mơ hay nói cách khác siêu ngun tử tức BEC Trong BEC, kích thích bề mặt có vai trị quan trọng ứng dụng nó, đặc biệt cơng nghệ điện tử Để nghiên cứu kích thích này, phải giải hệ bốn phƣơng trình vi phân bậc hai liên kết với Hiện việc thực đƣợc cách tính số.Với mục đích đƣa gần giải giải tích đƣợc hệ phƣơng trình này, tơi chọn đề tài “Các kích thích Ripplon bề mặt ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần ” làm đề tài nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Trên sở lý thuyết ngƣng tụ Bose - Einstein nghiên cứu kích thích Ripplon bề mặt ngƣng tụ Bose - Einstein hai thành phần vật lý thống kê học lƣợng tử nói riêng vật lý lý thuyết nói chung Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu kích thích Ripplon bề mặt ngƣng tụ Bose - Einstein hai thành phần sở thống kê Bose – Einstein, phƣơng trình Bogoliubov-de Gennes tổng quát Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Phƣơng trình Bogoliubov-de Gennes Các kích thích Ripplon bề mặt ngƣng tụ Bose - Einstein hai thành phần Những đóng góp đề tài Các kích thích Ripplon bề mặt ngƣng tụ Bose - Einstein hai thành phần có đóng góp quan trọng vật lý thống kê học lƣợng tử nói riêng, vật lý lý thuyết nói chung Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng gần parabol kép Chƣơng TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN 1.1 Thống kê Bose – Einstein Đối với hệ hạt đồng nhất, cần biết trạng thái đơn hạt có hạt mà khơng cần biết cụ thể hạt trạng thái Từ công thức phân bố tắc lƣợng tử [1], , (1.1) độ suy biến Nếu hệ gồm hạt không tƣơng tác ta có (1.2) với lƣợng hạt riêng lẻ hệ số chứa đầy tức số hạt có lƣợng Ta thấy số hạt hệ nhận giá trị từ Độ suy biến với xác suất khác (1.1) tìm đƣợc cách tính số trạng thái khác phƣơng diện Vật lý ứng với giá trị , số hạt hệ bất biến nên tƣơng tự nhƣ trƣờng hợp thống kê cổ điển thay cho phân bố tắc lƣợng tử ta áp dụng phân bố Gibbs suy rộng hay phân bố tắc lớn lƣợng tử Ta có phân bố tắc lớn lƣợng tử có dạng , với , hóa, Ta thấy thừa số (1.3) nhiệt động lớn xuất cơng thức (1.3) có kể đến tính khơng phân biệt trạng thái tính đồng hạt mà ta thu đƣợc hốn vị hạt Kí kiệu (1.4) Lúc (1.4) đƣợc viết lại nhƣ sau (1.5) Chúng ta có hai nhận xét cơng thức (1.5) là: Thứ vế phải (1.5) ta coi hàm nhận thấy công thức nhƣ xác suất có nên ta hạt nằm mức , hạt nằm mức , có nghĩa là, xác suất lấp đầy Vì nhờ cơng thức ta tìm đƣợc số hạt trung bình nằm mức lƣợng nhƣ sau Thứ hai đại lƣợng (1.6) xuất ta kể đến khả xuất trạng thái vật lý hoán vị (về tọa độ) hạt Đối với hệ boson fermion hệ đƣợc mô tả hàm sóng đối xứng phản đối xứng, phép hốn vị tọa độ hạt không dẫn tới trạng thái phép hốn vị làm cho hàm sóng đổi dấu khơng đổi dấu khơng làm thay đổi trạng thái lƣợng tử Chính hạt boson hạt fermion ta có (1.7) Ta tìm Ta thấy tất phép hoán vị tọa độ hạt có lƣợng phân bố Maxwell – Boltzmann Do số tổng cộng trạng thái khác phƣơng diện vật lý số hoán vị tổng cộng vị nhóm có lƣợng tức chia cho chia cho số hốn Khi ta có , ta thay giá trị (1.8) vào (1.4) thu đƣợc (1.7) Để tính trị trung bình số chứa đầy, nghĩa số hạt trung bình nằm mức lƣợng khác nhau, gắn cho đại lƣợng cơng thức (1.5) số , có nghĩa coi hệ mà ta xét có hóa học học Đến cuối phép tính ta cho mà có tập hợp hóa Ta tiến hành phép thay nhƣ viết điều kiện chuẩn hóa nhƣ sau , (1.9) với , (1.10) có nghĩa Lúc đạo hàm theo (1.11) dựa vào (1.10) (1.11) (1.12) Nếu biểu thức (1.12) ta đặt theo (1.6) vế phải cơng thức (1.12) có nghĩa giá trị trung bình số chứa đầy tức ta thu đƣợc 25 Theo cách này, cần cực tiểu hóa lƣợng tự khơng , gian hàm sóng có dạng tích tenxơ mơ tả tích tenxơ hàm sóng hạt hệ; xét tốn điều kiện chuẩn hóa Gần đƣợc thỏa mãn ngƣng tụ không thực đặc; nói cách khác, tƣơng tác hạt lân cận gần mạnh tƣơng tác hạt với hạt xa biên Bài toán ta đƣợc quy tìm cực tiểu Chúng ta tính số hạng biểu thức Đối với thành phần động ta có , đây, nhƣ xác định (2.3) tích tenxơ hàm sóng hạt hàm sóng hạt, sử dụng tính chất hàm Green để thu đƣợc kết cuối cơng thức (2.3) Thành phần dễ dàng viết đƣợc nhƣ sau Đối với số hạng mô tả tƣơng tác hạt hệ có (2.4) 26 (2.5) Đối với số hạng cuối công thức lƣợng tự , (2.6) viết biểu thức nhƣ để thuận tiện cho việc tính tốn Ta phải tìm cực tiểu chúng từ biểu thức Nói cách khác, ta xét biến thiên nhỏ hàm sóng , nhƣng phải xét biến thiên thành phần thực ảo hàm sóng coi nhƣ độc lập với biến số Do theo cách này, ta dễ dàng thu đƣợc đạo hàm cho biểu thức (2.3) (2.4) Trong trƣờng hợp công thức (2.5), ta có đạo hàm hai lần hàm sóng , nhƣng đổi vị trí nên có biểu thức nhƣ sau: (2.7) Tƣơng tự nhƣ trên, hóa ta có (2.8) Ta thay đồng thời biểu thức vào biểu thức lấy đạo hàm lƣợng tự đƣợc 27 (2.9) đó, đại lƣợng dấu ngoặc vng (2.9) bị triệt tiêu Ta chọn tƣơng tác có dạng , độ dài tán xạ sóng , sử dụng gần cuối có (2.10) Cơng thức (2.10) phƣơng trình Gross-Pitaevskii độc lập với thời gian Chiều dài tán xạ đo cƣờng độ tƣơng tác boson Dấu trừ công thức (2.10) thể tƣơng tác hút vậy, cực tiểu hóa lƣợng tƣơng tác đẩy Nhƣ tƣơng ứng với cực tiểu hóa lƣợng tự , biểu thức quan trọng vật lý thống kê 2.2 Trạng thái ngƣng tụ Bose – Einstein hai thành phần Bằng cách tƣơng tự, ta xây dựng lý thuyết cho hệ hai thành phần Hệ ngƣng tụ BEC hai thành phần đƣợc mô tả Lagrangian L hàm tác dụng S dƣới dạng [4], S(1 ,  )   dtL   dtdr , (2.11) với hàm mật độ Lagrange gần trƣờng trung bình có dạng (1 ,  )  i (*j  t  j   j  t  *j )   (1 ,  ) j 1,2  (2.12) Đại lƣợng  (2.12) đƣợc gọi mật độ Hamilton, có dạng   ( 1 ,  )   g  j  jj  j   j 1,2   2m j  2 g12 1  ,  (2.13) đây, với thành phần j ,  j   j (r , t ) hàm sóng, đóng vai trị tham số trật 28 tự; m j khối lƣợng nguyên tử; g jj  2 a jj (1/ m j  1/ m j )  số tƣơng tác Chúng đƣợc xác định qua a jj độ dài tán xạ sóng s Bằng cách thực phép biến thiên *j  *j  *j cực tiểu hóa tác dụng S  ta thu đƣợc hệ phƣơng trình GP phụ thuộc thời gian  *j S theo điều kiện  2 i t 1    2  g11 1  g12   1 ,  2m1  (2.14a)  2 i t     2  g 22   g12 1    2m2  (2.14b) Bây ta viết hàm sóng dƣới dạng  j (r , t )    r  e i j t (2.15) Thay (2.15) vào hệ (2.14) ta thu đƣợc phƣơng trình GP khơng phụ thuộc thời gian   2   1  g11    g12    0, (2.16a) 2  2  g22    g12    (2.16b) 2m1 2 2m2 Lúc tƣơng tác hệ có dạng VGP     j 1,2  j j  g jj   j   g12    2 (2.17) Khi thành phần ngƣng tụ đƣợc phân bố dọc theo phƣơng Oz có tính chất đối xứng tịnh tiến theo phƣơng Ox , Oy (2.16) đƣợc viết lại nhƣ sau   2m1 2m2  2z   1  g11    g12    0, (2.18a)  2z  2  g22    g12    (2.18b) 2 2 Bây đƣa phƣơng trình dạng không thứ nguyên 29 đƣa số đại lƣợng sau:  Chiều dài đặc trƣng j  2m j g jj n j ,  Thời gian đặc trƣng tj  j  Hằng số tƣơng tác K g12 g11 g 22 Lúc ta sử dụng biến không thứ nguyên tọa độ  j  z  j ,thời gian  j  t t j ,hàm sóng rút gọn  j  j n j0 với n j mật độ khối thành phần j hệ (2.18) có dạng  211  1  1 1  K 2 2  0, (2.19a)  22 1  2  2 2  K 1 2  0, (2.19b) 2 2 tƣơng tác (2.17) đƣợc viết thành  GP  j    K 1 2     j   j 1,2    (2.20) Tùy thuộc vào giá trị K mà xảy hai khả khác nhau: K  thành phần khơng thể trộn lẫn vào ngƣợc lại Lƣu ý để thực phép biến đổi giới hạn khảo sát hệ trạng thái cân pha, tức áp suất hai thành phần p1  p1 với p j  g jj n j Mặt khác xét hệ theo phân bố tắc lớn, tức thành phần ngƣng tụ đƣợc nối với bể nhiệt để chúng trao đổi hạt với nhau, hóa thành phần ngƣng tụ nhận giá 30 trị không đổi  j  g jj n j Tổng quát, ta khơng thể tìm đƣợc nghiệm giải tích hệ (2.19) Tuy nhiên có ba trƣờng hợp đặc biệt sau - Khi hệ đối xứng 1   K  , Malomed cộng [3] tìm đƣợc 1  j  1  (1) j 1  j   2 - Khi hệ phản đối xứng    1  , K  , Joseph cộng [6] tìm đƣợc j  j  1 j 1 1  (1)  2 2 - Khi hệ phân tách mạnh, tức K   ,   j   1  j 1 j   2 (2.21) 31 CHƢƠNG SÓNG MAO DẪN TRÊN MẶT PHÂN CÁCH CỦA NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN 3.1 Hệ phƣơng trình Bogoliubov-de Gennes Khi hệ trạng thái BEC(s) tất hạt hệ trạng thái lƣợng tử có lƣợng nhỏ nhất, hàm sóng trạng thái nghiệm GPE(s) Tuy nhiên thực tế có số hạt trạng thái kích thích mà nguyên nhân thăng giáng lƣợng tử thăng giáng nhiệt Để mơ tả kích thích ta viết hàm sóng hệ dƣới dạng  j (r , t )  [ j (r )   j (r , t )]e i j t (3.1) Thay (3.1) vào (2.14) lấy đến bậc  j ta đƣợc        j  g jj 2j  g jj 2j    j  2m  t j    g jj 2j  *j  g jj  j j  ( j    *j  ) i  j (3.2) Giả thiết hệ phân bố dọc theo trục Oz có tính đối xứng tịnh tiến theo phƣơng x , y ta khai triển kích thích dƣới dạng  j  u jk ( z)ei ( ka t )   *jk ( z)ei ( ka t ) , (3.3) a  ( x, y) Thay (3.3) vào (3.2) ta thu đƣợc       j  g jj 2j  g jj   u jk  g jj 2j  jk  g jj  j j   u j k   j k   u jk ,   2m j       j  g jj 2j  g jj    jk  g jj 2j u jk  g jj  j j   u j k   j k    u jk   2m j  (3.4) Đƣa vào hàm  jk  u jk   jk ,  jk  u jk   jk , (3.5) đƣa đại lƣợng dạng không thứ nguyên (3.4) đƣợc viết lại dƣới dạng 32 jk 1       j , jj '   j j , jj jk jk K 1  jj '  jj K jk 2 K j j '  jj ' jk  j k   jk ,    jk , (3.6)   2j   2 j ,  j  k j Hệ phƣơng trình (3.4) (3.6) đƣợc gọi hệ phƣơng trình BdG Hàm riêng trị riêng tƣơng ứng hàm sóng lƣợng kích thích bề mặt BECs 3.2 Gần parabol kép 3.2.1 Sơ lƣợc gần parabol kép Yêu cầu đặt nghiên cứu BEC(s) phải giải GPE(s) (2.19) phƣơng trình BdG (3.6) Tuy nhiên, hệ phƣơng trình vi phân bậc hai liên kết với tổng quát, ta tìm đƣợc lời giải giải tích Một phƣơng án đƣợc áp dụng tính số Tuy nhiên phƣơng pháp địi hỏi hệ thống máy tính có cấu hình mạnh quan trọng đơn kết số, khó đƣa đƣợc phán đốn vật lý Vì lý mà có số gần đƣợc đề xuất Trong đề tài sử dụng gần parabol kép đƣợc đƣa [6] Để tìm hiểu DPA xét BEC thành phần bị giới hạn tƣờng quang (optical wall) vị trí z  Khi GP (2.20) đƣợc viết lại VGP    4 (3.7) Ở gần tƣờng, hàm sóng hệ giảm dần từ giá trị mật độ khối nên, gần bậc nhất, tham số trật tự khai triển quanh giá trị mật độ khối   1 a (3.8) với a số thực dƣơng, nhỏ Thay (3.8) vào (3.7) ta thu đƣợc VDPA  2(  1)2  (3.9) 33 3.2.2 Trạng thái gần parabol kép Trong luận văn nghiên cứu hệ BECs không gian vô hạn để thuận tiện, ta chọn gốc tọa độ z  mặt phân cách Ta giả thiết thành phần nằm phía bên phải mặt phân cách thành phần bên trái thành phần Ta quy ƣớc số  j, j  1,  bên phải mặt phân cách  j, j   2,1 phía bên trái mặt phân cách Đối với hệ vô hạn ta sử dụng điều kiện biên Dirichlet 1     0, 1     1, 2     1, 1     (3.10) Nhƣ nói trên, DPA ta khai triển tham số trật tự gần mặt phân cách nhƣ sau  j   a j ,  j  b j (3.11) thay (3.11) vào (3.7) ta thu đƣợc VDPA    j  1   2 j2  , (3.12) với   ,   K 1 Từ (3.12) ta thu đƣợc phƣơng trình Euller-Lagrange  2 j j    j  1  0,  2 j j   2 j  (3.13) Nhƣ hệ GPEs liên kết (2.19) đƣợc chuyển thành hai phƣơng trình vi phân khơng liên kết (3.13) Kết hợp (3.13) với điều kiện biên (3.10) ta tìm đƣợc nghiệm  j  1  e   j       j  e   , (3.14) j Chú ý để thu đƣợc (3.14) ta yêu cầu tham số trật tự đạo hàm bậc liên tục mặt phân cách 34 Khi hệ phân tách mạnh, tức K   tham số trật tự (3.14) có dạng  j  1 e   j ,  j   (3.15) 3.3 Sóng mao dẫn gần parabol kép Với việc đƣa vào tham số không thứ nguyên nhƣ trên, khuôn khổ DPA, ta đƣa phƣơng trình (3.4) dạng   i i j  j   2s j  j    j  e j , (3.16) i j  j   2s j  j   2 j s j  r  j  j   j ei j Trong trƣờng hợp ta xét, mặt phân cách mặt phẳng nằm z  , nhƣ đề cập, ta viết s j   j , a j    j , x j , y j  Thay (3.1) dƣới dạng không thứ nguyên vào (3.4) ta thu đƣợc  i j  j   j  j    j   e i j , (3.17) i j  j   j  j   2 j Trong lý thuyết nhiễu loạn pha  j nhỏ  j  j nên gần bậc theo  j ta viết e j   sin j  1  a j  i  j   j Với phép gần hệ phƣơng trình BdG (3.17) đƣợc đƣa dạng i j  j   j  j   j   j  a j  j   j  , i j  j   j  j   2 j (3.18) Sử dụng biến số không thứ nguyên phƣơng trình (3.3) có dạng  j   u   e  i κ j a  j j j 1,2 jκ j j    jκ j  e j   i κ j a  j j   (3.19) Thay (3.19) vào (3.17) sử dụng định nghĩa (3.5) ta có  jκ j   jκ j   j  jκ j , (3.20a) 35 jκ j  jκ j   ( j  1) jκ j   j    j κ j 2 j κ j 2   , (3.20b)   j  jκ j , (3.20c)   j  jκ j (3.20d) j κ j j κ j jκ j Xét gần bậc 0, ta có  j   để đơn giản ta quay lại với hàm u jk  jk Lúc hệ phƣơng trình (3.20) có dạng [9] 2 j u jk   κ  1 u jk   jk   u jk , (3.21a) 2 j jk   κ  1 jk  u jk   jk , (3.21b) 2 ju jk   κ    u jk   u jk , (3.21c) 2  j jk   κ    jk   jk , (3.21d) với   K 1 Các phƣơng trình (3.21) dễ dàng đƣợc giải đƣợc Dựa yêu cầu u jk  jk liên tục  j  Phân tích (3.21) ta đƣợc  Ae  1  Be  1 , 1  u1   κ   1 ( A  B ) e , 1   (3.22a)  A(    1)e   1  B (    1)e   1 ,    1   2 κ      A(    1)  B(    1)  e , 1     (3.22b)  C  D  e κ   2 ,   0; u2     2   2  De , 2  0, Ce    (3.23a)   C      D      e κ   1 ,   0;   2    C     e  1  D     e  1 ,       với A, B, C, D số    κ      (3.23b) (3.24) Bây sử dụng kết để nghiên cứu Nambu- 36 Goldstone mode, đƣợc gọi sóng mao dẫn mặt phân cách ngƣng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách mạnh Để đơn giản, ta xét thành phần z  Trong giới hạn  κ ,    , hàm  jk  jk đƣợc viết lại nhƣ sau       κ 1k 8  12  2κ 1       A   κ   1  2κ 1    4 2    B  2κ 1   2κ 1  32 e 16 2 (3.25a) 1 ,  1  κ 12  12  3  3κ 1  12    6κ  12  1   2κ 1  κ 12  jk  1    2    2κ 1  2 A  12κ   B     2κ 1  e 21  (3.25b)  Với ripplon điều kiện giới hạn đặt vào   1k 1  1k 1   điều kiện biên Robin  0 , 1k b (3.26) với b  1 để z  b  để z  Điều kiện dẫn đến M 11 A  M 22 B  0, (3.27) với hệ số κ  2   κ   1  ,  2  κ    2  κ   1   1      2 2  M 11  M 22   (3.28) Với hàm 1k yêu cầu tính liên tục đạo hàm bậc bề mặt 1k 1 1   (3.29) Kết hợp (3.25) (3.29) ta đƣợc M 21 A  M 22 B  0, với hệ số (3.30) 37  κ  2   M 21         κ , 2  κ   M 22 (3.31)  κ  2  κ   2   1    2   Để có nghiệm khơng tầm thƣờng cho (3.27) (3.30), chúng phải thoải mãn M 11M 22  M 12 M 21  (3.32) Thay (3.28) (3.31) vào (3.32) ta đƣợc 2   2κ , 2κ  4κ  10 2κ  16 chuỗi lƣợng  , 2  κ  κ  (3.33) Phƣơng trình (3.33) đƣợc hiểu thứ nguyên  k Đây đặc tính ripplon Hệ thức tán xạ có dạng  L2  κ (3.34) Đối chiếu với (3.34) thấy  L2  2 Cuối nói điều kiện biên cho hàm sóng chuỗi hạt Đầu tiên áp dụng điều kiện biên Robin (3.26) cho  1k mặt phân cách, có nghĩa ripplon truyền dọc theo phƣơng vng góc với trục Oz Cuối nhƣng không phần quan trọng, đòi hỏi liên tục cho 1k mặt phân cách, dựa thực tế vận tốc hai thành phần nhƣ mặt phân cách, liên quan đến ổn định mặt phân cách 38 KẾT LUẬN Luận văn “Các kích thích Ripplon bề mặt ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần ”đã làm đƣợc kết sau - Hệ phƣơng trình Bogoliubov-de Gennes tổng quát chuyển sang dạng gần DPA - Tìm đƣợc trạng thái ngƣng tụ Bose-Einstein hai thành phần gần parabol kép - Các kích thích Ripplon bề mặt ngƣng tụ Bose – Einstein hai thành phần 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Vũ Thanh Khiết (1988), Vật lý thống kê, NXB Giáo dục, Hà Nội [2] www.wikipedia.org Tiếng Anh [3] B.A.Malomed, A.A.Nepomnyashchy, and M.I.Tribelsky, Phys Rev A42, 7244 (1990) [4] C J Pethick, H Smith (2008), Bose – Einstein condensate in dilute gases, Cambridge University Press, New York [5] D A.Takahashi, M Kobayashi, M Nitta (2015), Nambu Goldstone modes propagating along topological defects Kelvin and ripple mode from small to large system, Phys Rev B 91, 184501 [6] J O Indekeu, C Y Lin, N V Thu, B V Schaeybroeck, T H Phat (2015), Static interfacial properties of Bose – Einstein condensate mixtures, Phys Rev A91, 033615 [7] L.Pitaevskii, S Stringari (2003), Bose – Einstein condensation, Clarendon Press Oxford, New York [8] Nguyen Van Thu, Capillary wave at the interface of two component BoseEinstein condensates in double parabola approximation, Tạp chí khoa học, Tạp chí khoa học Trƣờng Đại Học Sƣ Phạm Hà Nội 2, đƣợc chấp nhận đăng vào năm 2017 ... tài? ?Các kích thích Ripplon bề mặt ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần ” đƣợc hồn thành nhận thức thân, không trùng với luận văn khác Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành tựu nhà khoa học. .. ? ?Các kích thích Ripplon bề mặt ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần ” làm đề tài nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Trên sở lý thuyết ngƣng tụ Bose - Einstein nghiên cứu kích thích Ripplon bề mặt. .. ngƣng tụ Bose- Einstein hai thành phần gần parabol kép - Các kích thích Ripplon bề mặt ngƣng tụ Bose – Einstein hai thành phần 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Vũ Thanh Khiết (1988), Vật lý