Chương 1. TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƯNG TỤ BOSE –
2.1. Gần đúng trường trung bình
Để xây dựng lý thuyết, ta xét hệ ngƣng tụ Bose – Einstein thu đƣợc từ một hệ các boson ở trạng thái cơ bản tại nhiệt độ thấp. Do đó, ta có thể tìm hiểu về năng lƣợng của trạng thái cơ bản và sử dụng để nghiên cứu một hệ khí bất kì.
Toán tử Hamilton tổng quát mô tả hệ đƣợc cho bởi [6],
, (2.1)
ở đây, số hạng đầu tiên bên vế phải là động năng của hạt thứ , số hạng tiếp theo mô tả tương tác ngoài và số hạng cuối cùng mô tả tương tác giữa Nhạt trong hệ. Trạng thái cơ bản tương ứng với năng lượng cực tiểu, và ta có thể tìm năng lượng này bằng phương pháp cực trị. Lưu ý rằng, để thuận tiện ta sử dụng khái niệm thế nhiệt động và nó rất có ích trong việc xác định trạng thái cân bằng của hệ không cô lập. Sử dụng năng lƣợng tự do ta có đƣợc năng lƣợng cần làm cực tiểu , ở đây là thế hóa và là năng lƣợng.
Toán tử Hamilton và hàm sóng , ta viết lại năng lƣợng nhƣ sau
, (2.2)
chúng ta có thể sử dụng biểu thức này để tìm cực tiểu của năng lƣợng tự do . Trong ngƣng tụ đang xét có hạt, vì vậy ta có thể liên hợp hàm sóng với mọi hàm sóng của các hạt trong hệ. Tuy nhiên, để thu đƣợc nghiệm cần thiết của bài toán chúng ta dùng phương pháp gần đúng trường trung bình. Có nghĩa là đối với một hạt không phân biệt trạng thái nghỉ và trạng thái độc lập và chúng ta có thể bỏ đi chỉ số của hàm sóng.
Theo cách này, chúng ta cần cực tiểu hóa năng lƣợng tự do trong không gian hàm sóng có dạng , ở đây mô tả tích tenxơ và do đó là tích tenxơ của hàm sóng của các hạt trong hệ; chúng ta đang xét bài toán trong điều kiện chuẩn hóa . Gần đúng đƣợc thỏa mãn nếu ngưng tụ không thực sự đặc; nói cách khác, tương tác giữa các hạt lân cận gần nhất mạnh hơn tương tác của hạt với các hạt ở xa hơn về một biên.
Bài toán của ta đƣợc quy về tìm cực tiểu của .
Chúng ta đi tính từng số hạng trong biểu thức này. Đối với thành phần động năng ta có
, (2.3) ở đây, nhƣ đã xác định ở trên là tích tenxơ hàm sóng của hạt và là hàm sóng của một hạt, chúng ta đã sử dụng tính chất hàm Green để thu đƣợc kết quả cuối cùng trong công thức (2.3). Thành phần thế năng có thể dễ dàng viết đƣợc nhƣ sau
. (2.4)
Đối với số hạng mô tả tương tác giữa các hạt trong hệ chúng ta có
(2.5) Đối với số hạng cuối cùng trong công thức của năng lƣợng tự do
, (2.6)
chúng ta viết biểu thức nhƣ trên để thuận tiện cho việc tính toán.
Ta phải đi tìm cực tiểu của chúng từ các biểu thức ở trên. Nói cách khác, ta sẽ đi xét biến thiên nhỏ của hàm sóng , nhƣng đáng lẽ phải xét sự biến thiên của các thành phần thực và ảo của hàm sóng thì chúng ta coi nhƣ và độc lập với các biến số. Do đó theo cách này, ta có thể dễ dàng thu đƣợc đạo hàm cho các biểu thức (2.3) và (2.4). Trong trường hợp của công thức (2.5), ta có đạo hàm hai lần của hàm sóng , nhƣng có thể đổi vị trí nên có biểu thức nhƣ sau:
. (2.7) Tương tự như trên, đối với thế hóa ta có
. (2.8) Ta thay đồng thời các biểu thức trên vào biểu thức lấy đạo hàm của năng lƣợng tự do đƣợc
(2.9) và do đó, các đại lƣợng trong dấu ngoặc vuông của (2.9) bị triệt tiêu. Ta chọn thế năng tương tác có dạng
,
trong đó là độ dài tán xạ sóng , sử dụng gần đúng cuối cùng chúng ta có
. (2.10)
Công thức (2.10) chính là phương trình Gross-Pitaevskii độc lập với thời gian.
Chiều dài tán xạ đo cường độ của tương tác giữa các boson. Dấu trừ trong công thức (2.10) thể hiện tương tác hút hoặc tương tác đẩy . Như vậy, cực tiểu hóa năng lượng tương ứng với cực tiểu hóa năng lượng tự do
, đây là biểu thức quan trọng của vật lý thống kê.