m«n to¸n ┼ 6tài liệu ôn tập thi tốt nghiệp thpt năm 2009 môn toán ┼ ┼ tài liệu ôn tập thi tốt nghiệp thpt năm 2009 môn toán ┼ ¤n tëp m«n to¸n thi tốt nghiệp thpt năm 2009 a cấu trúc đề thi tốt nghiệ

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng (d). Viết p/trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm M và N.. 5. Góc, khoảng cách.[r]

THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2009

A CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu Nội dung kiến thức Điểm

I

 Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số

Các toán liên quan đến ứng dụng đạo hàm đồ thị

của hàm số: Chiều biến thiên hàm số Cực trị Tiếp tuyến, tiệm cận (đứng ngang) đồ thị hàm số Tìm đồ thị điểm có tính chất cho trước; tương giao hai đồ thị (một hai đồ thị đường thẳng);

3,0

II

 Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ lơgarit  Giá trị lớn nhỏ hàm số

Tìm ngun hàm, tính tích phân.

 Bài tốn tổng hợp

3,0

III

Hình học khơng gian (tổng hợp): Tính diện tích xung quanh hình nón trịn xoay, hình trụ trịn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón trịn xoay, khối trụ trịn xoay; tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu

1,0

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)

Thí sinh học chương trình làm phần dành riêng cho chương trình (phần phần 2)

Câu Nội dung kiến thức Điểm

IV.a

Phương pháp toạ độ trong không gian:

 Xác định toạ độ điểm, vectơ  Mặt cầu

 Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng

 Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Vị trí

tương đối đường thẳng, mặt phẳng mặt cầu

2,0

V.a

 Số phức: Mơđun số phức, phép tốn số phức

Căn bậc hai số thực âm Phương trình bậc hai hệ số thực có biệt thức  âm

 Ứng dụng tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích

khối trịn xoay

1,0

2 Theo chương trình Nâng cao:

Câu Nội dung kiến thức Điểm

IV.b

Phương pháp toạ độ trong không gian:

 Xác định toạ độ điểm, vectơ  Mặt cầu

 Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng

 Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt

phẳng; khoảng cách hai đường thẳng Vị trí tương đối đường thẳng, mặt phẳng mặt cầu

2,0

V.b

 Số phức: Môđun số phức, phép toán số phức

Căn bậc hai số phức Phương trình bậc hai với hệ số phức Dạng lượng giác số phức

 Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ dạng

2

 





ax bx c

y

px q một số yếu tố liên quan.

 Sự tiếp xúc hai đường cong.  Hệ phương trình mũ lơgarit.

 Ứng dụng tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích

khối tròn xoay

┼

Chuyên đề I:

Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số Các toán liên quan đến ứng dụng đạo hàm đồ thị hàm số.

1 Chiều biến thiên hàm số.

Lý thuyết: Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số yf x 

1 Tìm tập xác định

2 Tính đạo hàm yf x  Giải phương trình f x  0 để tìm nghiệm x ii 1, ,n

3 Sắp xếp nghiệm xi theo thứ tự tăng dần từ trái sang phải

và lập bảng biến thiên hàm số

4 Kết luận (hàm số đồng biến khoảng mà f x  0 ngược lại)

Ví dụ: Xét chiều biến thiên hàm số y 4 x2

 

Gợi ý giải:

 Đ/k xác định: 4 x2 0 x2   4 2 x 2

Tập xác định hàm số D  2;2

 Đạo hàm:  

2

2

4

2 4

x x

y

x x



 

  

 

0

y   x thuộc 2;2

Dấu y dấu với biểu thức  x

 Ta có bảng biến thiên

x 2

y + 

y

0

2

0

 Căn vào bảng biến thiên ta thấy, hàm số đồng biến khoảng

2;0 nghịch biến rtreen khoảng 0;2

Một lưu ý quan trọng tập xác định khoảng a b; 

hoặc hàm số gián đoạn x0 ta cần tính giới hạn lim

x a y, x blim  y

0

lim

x x y,

0

lim

x x  y để điền vào bảng biến

thiên

Bài tập:

Câu 1: Tìm khoảng đơn điệu hàm số sau tập xác định chúng:

1) 3

5

y x  x  x ;

2)

1

y x x  

 ;

3) Chứng minh bất đẳng thức sau: a) tan sin ,

2

x x x

b) 1 ,

2

x

x x

    

Câu 2 (Đề TN 2007, Lần 2, Ban KHTN): Xét đồng biến, nghịch biến hàm số yx4 8x22

Câu 3 (Đề TN 2007, Lần 2, Ban KHXH): Xét đồng biến, nghịch biến hàm số yx3 3x1

Đáp số: Câu 2: H/số đồng biến khoảng 2;0 , 2;  

H/số nghịch biến khoảng   ; , 0;2  

┼

2 Cực trị hàm số.

Lý thuyết:

- Định lý 1, định lý SGK Giải tích 12

Dạng 1: Tìm m để hàm số yf x m ,  đạt cực đại (hoặc cực tiểu) x x

Cách giải:

 Tính yf x m , 

 Điều kiện cần để hàm số đạt cực đại (hoặc cực tiểu)

x x y x 0 f x m 0,  0

Giải phương trình tìm m

 Thử lại (Điều kiện đủ)

Với giá trị m tìm được, ta tính y x 0

- Nếu y x 0 0 hàm số đạt cực tiểu x x

- Nếu y x 0 0 hàm số đạt cực đại x x

Căn vào yêu cầu đề để chọn giá trị m thỏa mãn

 Kết luận

Cịn có cách khác để thử lại lập bảng biến thiên để kiểm tra xem hàm số đạt cực đại hay cực tiểu x x

Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y x2 mx

x m   

 đạt cực đại x2.

Gợi ý giải:

Để dễ tính đạo hàm ta chia tử cho mẫu y x

x m  

  Đ/k xác định x m  0 xm

 Đạo hàm

 2

1

1

y x

x m x m



 

      

  

 

 2

1

2

y

m   



 Đ/k cần để hàm số đạt cực đại x2 y 2 0

   

2

1

1

2 m m

     



2 1

2

m m

m m

  

 

   

  

 

 Thử lại (đ/k đủ)

Ta có

 2  3

1

1

y

x m x m



 

     

   

   

3

x m 



- Với m1, ta có  

 3

2

2

2

y   

 nên trường hợp

hàm số đạt cực tiểu x2 (không thỏa đề bài) - Với m3 ta có  

 3

2

2

2

y   

 nên trường hợp

hàm số đạt cực đại x2 (thỏa đề bài)

 Kết luận: Giá trị m phải tìm m3

Dạng 2: Chứng minh hàm số yf x m ,  ln có cực trị với giá trị tham số m

Cách giải:

Chứng tỏ fy x m ,  0 ln có nghiệm đổi dấu x chạy qua nghiệm

- Với hàm số bậc ba, chứng tỏ y có delta dương;

┼

Ví dụ 2: Chứng minh hàm số yx3 mx 2x1 ln có

một điểm cực đại điểm cực tiểu với giá trị m.

Gợi ý giải:

 Tập xác định hàm số: D

 Đạo hàm y 3x2 2mx tam thức bậc hai có

2m2 4.3 2  4m2 24

      0,  m

Suy y 0 có hai nghiệm phân biệt y đổi dấu (có thể lập bảng xét dấu với hai nghiệm x x1, 2) x qua hai nghiệm  Vậy hàm số ln có cực đại, cực tiểu với m

Bài tập:

Câu (Đề TN 2006, KPB): Cho hàm số yx3 6x29x có đồ

thị (C) Với giá trị tham số m, đường thẳng

2

y x m  m qua trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm

cực đại cực tiểu đồ thị (C)

Câu 2: Tìm m để hàm số 2

3

y x  mx m x

  có cực trị

tại x1 Khi hàm số đạt cực đại hay cực tiểu ? Tính cực trị tương ứng ?

Câu 3: (TN BTTH 2006)

Chứng minh hàm số 2 3

3

y x  mx  m x ln có cực trị với giá trị tham số m ?

Gợi ý – đáp số:

Câu 1: Tìm tọa độ hai cực trị hàm số A3;0, B1;4

Trung điểm hai cực trị M2;2 Cho M2;2 thuộc đường

thẳng y x m2 m , ta có 2 2 m2 m Giải tìm m.

Câu 2: m73 Hàm số đạt cực tiểu x1.

3 Tiếp tuyến, tiệm cận đồ thị hàm số.

Lý thuyết:

Cho hàm số yf x  có đồ thị  C M x y 0; 0 điểm  C Tiếp tuyến với đồ thị  C M x y 0; 0 có:

- Hệ số góc: k f x 0

- Phương trình: y y k x x  0

Hay y y f x  0 x x 0

Vậy để viết PT tiếp tuyến M x y 0; 0 cần đủ ba

yếu tố sau:

- Hoành độ tiếp điểm: x0

- Tung độ tiếp điểm: y0 {Nếu đề chưa cho ta phải tính

cách thay x0 vào hàm số y0 f x 0 }

- Hệ số góc kf x 0

Dạng 1: Viết p/trình tiếp tuyến biết tọa độ tiếp điểm M x y 0; 0,

hoặc hoành độ x0, tung độ y0

Ví dụ: Viết p/trình tiếp tuyến đồ thị hàm số yx4 2x21

tại điểm M2;9.

Gợi ý giải:

 Ta có (đạo hàm): y 4x3 4x  T/tuyến M2;9 có:

- Hệ số góc k y2 4 2 3 2  24

- P/trình: y 924x  2

Hay y24x 39

┼

0

x  , y0 9 tọa độ M (đề cho)

Ví dụ 2: Viết p/trình tiếp tuyến với độ thị hàm số

1

x y

x  



a) Tại điểm có hồnh độ 2.

b) Tại điểm có tung độ 3.

Gợi ý giải:

a) Ta có        

 2

1 1

1

x x x x

y

x

 

    

 

  2

2

x 



Gọi tọa độ tiếp điểm x y0; 0 Theo giả thiết có x0 2  Tung độ tiếp điểm: 0

0

1 1

x y

x

 

  

 

 Hệ số góc tiếp tuyến 2;1

2

   

  :

 

 2

2

2

9

k y  

  P/trình tiếp tuyến: 2 2

3

y  x Hay

9

y x

Với dạng này, đề cho x0 2, ta cần tính 0

1

x y

x  

 tính

đạo hàm, suy hệ số góc t/tuyến ky x 0 y 2

b) Ta có        

 2

1 1

1

x x x x

y

x

 

    

 

  2

2

x 



Gọi tọa độ tiếp điểm x y0; 0 Theo giả thiết có y0 3

 Vậy 0

1

x y

x 

 

  x0 3 x01  x0 2  Hệ số góc tiếp tuyến x y0; 0  2;3 là:

 

 2

2

2

2

k y   

 

 P/trình tiếp tuyến cần tìm: y 2 x  2

Hay y2x7

Dạng 2: Viết p/trình tiếp tuyến biết hệ số góc Dấu hiệu:

- Tiếp tuyến song song với đường thẳng  d ax by c:   0

- Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng  d ax by c:   0

Cách giải:

 Cần biết (rút y theo x)

 d :y ax c

b b

  nên  d có hệ số góc k a b  

 Khi t/tuyến song song với  d hế số góc t/tuyến

hệ số góc  d k k a b 

 

 Khi t/tuyến vng góc với  d hế số góc k t/tuyến

hệ số góc kcủa  d thỏa mãn k k  1 k a

b     

 

Lời giải (Các bước):

 Tính đạo hàm hàm số yf x 

Tính hệ số góc tiếp tuyến k (theo dấu hiệu trên)

┼ - Giải ph/trình tìm x0

- Thay vào y0 f x 0 để tính tung độ tiếp điểm  Viết p/trình t/tuyến

Ví dụ 3: Viết p/trình t/tuyến với đồ thị hàm số

1

x y

x 

 , biết:

a) Hệ số góc t/tuyến 2.

b) T/tuyến song song với đường thẳng  d : y 12x.

c) T/tuyến vng góc với đường thẳng   :y92x1

Gợi ý giải:

a)  Ta có  

 2  2

2 2

1 x x y x x        

 Gọi x y0; 0 tọa độ tiếp điểm, ta có hệ số góc tiếp tuyến

x y0; 0  

  2 y x x    

Theo giải thiết ta có y x 0 2

 2

2 x    

x0 12

   0

0

1

1

x x x x              

 Với x0 2, ta có 0

2 2.2

4

x y

x

  

 

Tr/hợp ta có p/trình t/tuyến 2;4

 

4 2

y  x hay y2x8

 Với x0 0, ta có 0

2 2.0

0 1

x y

x

  

 

Tr/hợp ta có p/trình t/tuyến 0;0

 

0

y  x hay y2x

 Kết luận: Vậy có hai t/tuyến thỏa đề có p/trình

2

y x ; y2x

Lưu ý: Hệ số góc t/tuyến k y x 0 2 (đề cho)

b) T/tuyến song song với  d nên hệ số góc t/tuyến hệ số góc  d , k  12

 Gọi x y0; 0 tọa độ tiếp điểm, ta có hệ số góc tiếp tuyến

x y0; 0  

  2 y x x    

Vậy y x 0 k

 2

2 x      

0 1

4 x    0 0

1 2 2

1

1 2 2

x x x x                

 Với 0

2

x  , ta có 0

0 2 2

1 2

x y

x

  

 

Tr/hợp ta có p/trình t/tuyến 3;6

2

     

1

6

2

y  x 

  hay

1 27

2

y x

 Với 0

2

x  , ta có 0

0 2 2

1 2

x y

x

  

┼ Tr/hợp ta có p/trình t/tuyến 1;

2

 



 

 

 2 1

2

y   x 

  hay

1

2

y x

Kết luận: Vậy có hai t/tuyến thỏa đề có p/trình

1 27

2

y x ;

2

y x

c) Đường thẳng   :y92x1 có hệ số góc

2

k 

 Gọi k hệ số góc t/tuyến Biết t/tuyến vng góc với   nên

ta có

2

k k   k 

9

k

  Đến làm tương tự câu a) câu b)

 Đáp số: Có hai tiếp tuyến có p/trình

2 32

9

y x ;

9

y x

Bài tập:

Câu (Đề TN 2006, Ban KHXH):

Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số

1

x y

x  



điểm thuộc đồ thị có hồnh độ x0 3

Câu (Đề TN 2007, Bổ túc): Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số yx3 3x2 điểm A(2;4)

Câu (Đề TN 2007, Lần 2, Phân ban):

Cho hàm số

2

x y

x  

 , gọi đồ thị hàm số (C)

1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) giao điểm (C) với trục tung

Câu (Đề TN 2008, Lần 2, Phân ban):

Cho hàm số

1

x y

x  

 , gọi đồ thị hàm số (C)

1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho

2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm có tung độ y0 2

Đáp số: Câu 1:

4

y x ; Câu 2: y9x 14

Câu 3:

3

y x ; Câu 4: y5x

4 Tương giao hai đồ thị.

Lý thuyết:

Dạng 1: Dựa vào đồ thị hàm số yf x để biện luận theo m số nghiệm phương trình f x  m

Ví dụ: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C hàm số

3 3

yx  x Dựa vào đồ thị  C , biện luận theo m số nghiệm

của phương trình x3 3x 1 m 0

    (1).

Gợi ý giải:

 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C (2 điểm)

┼

x y

3 -

-2 -1

2 0 1

 Viết lại (1) dạng

(1) x3 3x m 1

    (2)

Đây PT hoành độ giao điểm đồ thị  C hàm số

3 3

yx  x với đường thẳng  d :y m  (song song với trục

hoành) nên số nghiệm (2) số giao điểm  d  C

 Dựa vào đồ thị ta có kết biện luận sau:

* Với

1

m m

m m

    

 



 

  

  , ta thấy  

d  C khơng có điểm chung Suy (2) vơ nghiệm

* Với

1

m m

m m

  

 



    

  , ta thấy  

d cắt  C điểm tiếp xúc điểm Suy (2) có hai nghiệm (một nghiệm đơn nghiệm kép)

Nói đơn giản  d  C có hai điểm chung nên (2) có hai nghiệm

* Với

1

m m

m m

    

 



 

  

  , ta thấy  

d cắt  C ba điểm phân biệt Suy (2) có nghiệm phân biệt

 Kết luận:

* Với m 1 m3, p/trình (1) vơ nghiệm * Với m1 m3, p.trình (1) có hai nghiệm * Với  1 m3, p/trình (1) có nghiệm phân biệt

Dạng 2: Chứng tỏ đường thẳng  d :ax by c  0 cắt đồ thị hàm số y f x  mx n

cx d 

 

 hai điểm phân biệt, không cắt

Cách giải:

 Viết lại  d :y ax c

b b

 

 Lập p/trình hồnh độ giao điểm  d  C :

mx n a c

x

cx d b b



 

 (1)

Quy đồng khử mẫu đưa p/trình bậc hai dạng

 , 

f x m Ax Bx C  với cx d x d

c    

Tính B2 4AC

  

 Đến cần chứng tỏ  0 với m và f d,m c

 



 

  0

kết luận (1) ln có hai nghiệm phân biệt Suy  d cắt  C

tại hai điểm phân biệt

- Tương tự, kết luận cho tr.hợp  0; 0.

Ví dụ: (Bài 11/tr46-SGK GT12, Cơ bản) Chứng minh với

mọi giá trị thực m, đường thẳng  d :y2x m cắt

đồ thị  C hàm số

1

x y

x  

 hai điểm phân biệt M, N

┼

 P/trình hồnh độ giao điểm  d  C

3

x

x m x



 

 (1)

     

3 ,

x x m x x

      

 

2

2x m x m

      , x1 (2)

 P/trình (2) p/trình bậc hai có   1 m2 4.2.m 3

 2

2 6 25 3 16

m m m

       0 với m (a)

Mặt khác, thay x1 vào vế trái (2) ta

 2  

2 1  1m m 32 0 với m (b)

 Kết hợp (a) (b) suy p/trình (2) ln có hai nghiệm phân biệt

thỏa x1 Do (1) ln có hai nghiệm phân biệt

Vậy đ/thẳng  d cắt đồ thị  C hai điểm phân biệt với giá trị m

Ví dụ (Bài 8.b/tr44- GT12, bản) Tìm m để đồ thị Cm của

hàm số yx3m3x2 1 m cắt trục hoành điểm có

hồnh độ x2.

 Phân tích tốn:

- Nhưng điểm nằm trục hồnh có tung độ y0 - Vậy Cm cắt trục hoành điểm x y;   2;0

- Điểm thuộc Cm nên tọa độ thỏa mãn p/trình Cm

Lời giải:

 Từ giả thiết ta suy Cm cắt trục hoành điểm 2;0 , thay

tọa độ điểm vào p/trình Cm ta được:  3    2

0 2  m3 2  1 m

 

8 m m

        3m 5

3

m  

 Vậy

3

m giá trị cần tìm

Bài tập:

Câu (Đề TN 2008, L1, Phân ban): Cho hàm số y2x33x2

1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2) Biện luận theo m số nghiệm thực phương trình

3

2x 3x  1m

Câu (Đề TN 2008, L2, KPB): Cho hàm số yx3 3x2

1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2) Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt

3 3 0

x  x  m

Câu (Đề TN 2006, Phân ban):

1 Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y x33x2

2 Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình x3 3x2 m 0

   

3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) trục hoành

5 Điểm đặc biệt đồ thị hàm số.

Lý thuyết:

- Một số dạng tốn: Tìm điểm đồ thị có tọa độ ngun;

Ví dụ: Tìm điểm đồ thị hàm số

1

x y

x  

 có tọa độ là

những số nguyên.

Giải:

┼

 Chia tử cho mẫu ta có

1

y

x  



Xét điểm x y;  thuộc đồ thị hàm số cho, ta có

y

x  

  Với x  ta có

1

y

x

  

 

4

x

 

   x1

ước số nguyên Các trường hợp xảy ra:

1

x   x3, ta có 3

3

y  



1

x   x5, ta có y2

1

x   x , ta có y1

1

x   x , ta có y3

1

x   x , ta có y3

1

x   x , ta có y5

 Vậy có sáu điểm thuộc đồ thị hàm số có tọa độ nguyên là:

3;0 ,5;2 , 1; , 3;3 , 0; , 2;5          

Bài tập:

Tìm điểm đồ thị hàm số 2

2

x y

x  

 có tọa độ số

nguyên

6 Khảo sát hàm số

Sơ đồ:

 Tập xác định

 Đạo hàm yf x 

Giải p/trình f x  0

 Tính giới hạn xlim y; tiệm cận với hàm hữu tỷ y ax b cx d

 



Và x lim d 

c

y

  



để suy tiệm cận đứng đ/t xac;

lim

x

a

y c

   , suy tiệm cận ngang đ/t

a

y c

 Bảng biến thiên (điền đầy đủ thông tin, ý giá trị các

giới hạn tính)

 Dựa vào bảng biến thiên suy ra:

- Các khoảng đơn điệu (đồng, nghịch biến) hàm số; - Cực trị hàm số (nếu có)

 Vẽ đồ thị:

- Xác định giao điểm với trục hồnh: Cho y0, tìm x - Xác định giao điểm với trục tung: Cho x0, tìm y

┼

Chuyên đề II:

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số. Lý thuyết:

Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số yf x  liên tục

trên đoạn a b; 

 Tính đạo hàm yf x 

Giải phương trình f x  0 tìm nghiệm x0 thuộc

đoạn a b;  (các nghiệm nằm ngồi đoạn khơng lấy )

 Tính f a f b f x ,  ,  0  So sánh số kết luận

 ;          0 

min , ,

a b f x  f a f b f x

 ;          0 

max max , ,

a b f x  f a f b f x

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số

2

1

x y

x

   đoạn 1;3.

Gợi ý- Giải:

 Đạo hàm 22

2

y x   

 22

2

y x x

x

         

Trên đoạn x1;3 ta lấy x2

 Ta có  1 1

1 2

y     ;  2 2

2

y    

 3 19

3

y    

 So sánh số ta suy 1;3  

minyy 3;

1;3  

7

max

2

yy 

Bài tập

Câu (Đề TN 2008, Lần 1, Ban KHTN): Tìm GTLN, GTNN hàm số f x  x cosx đoạn 0;

2



     

Câu (Đề TN 2008, Lần 1, Ban KHXH): Tìm GTLN, GTNN hàm số yx4 2x21 đoạn 0;2

Câu (Đề TN 2008, L2, KPB): Tìm GTLN, GTNN hàm số

2

x y

x  

 đoạn 0;2

Câu (Đề TN 2008, L2, Ban KHTN): Tìm GTLN, GTNN hàm số y2x44x23 đoạn 0;2

Câu (Đề TN 2008, L2, Ban KHXH): Tìm GTLN, GTNN hàm số y2x3 6x21 đoạn 1;1

Chuyên đề III:

Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ lơgarit.

1 Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ.

Lý huyết

- Ghi nhớ phép toán với lũy thừa, mũ (Với 0a1)

x y x y

a  a a

 ;    

y x

x x y y

a a  a

x x y

y

a a

a



 ; 1x a x a





Ghi nhớ công thức khử số: af x  ag x   f x  g x    1   0

f x

┼

    log

f x

a

a  c f x  c

Dạng 1: Phương trình mũ bậc hai m a 2x n a x  p0 (1)

Cách giải:

 Đặt t a x,t 0, t2  ax a2x

Ta có p/trình m t 2n t p  0, t 0 (2)

 Giải p/trình (2), tìm nghiệm t 0  Giải p/trình ax  t xlogat  Kết luận, nghiệm (1)

Ví dụ: Giải phương trình sau

1) 32 1x 4.3x

  

2) 2 2   x  1 x 0

Lời giải :

1) 32 1x 4.3x 1 0

    3.32x  4.3x 1

Đặt t 3 ,x t 0 , t2 32x



Ta có p/trình 3t2 4t 1 0

   , t 0

Giải p/trình 1;

t  t  (thỏa mãn đ/k t 0)

 Với t 1, ta có 3x 1 3x 30 x 0

    

- Với

3

t  , ta có 3 1

3

x x  x

    

 Vậy p/trình cho có hai nghiệm x0;x1

Chú ý: 32 1x 32x 3.32x

 

2) Để ý  1 2  2 2 2  

Đặt t  1 x, t 0,

Khi      

2

2 2

3 2 2

x

x x

t

   

       

   

 P/trình cho trở thành 2t2 t 1 0 , t 0

Giải p/trình ta t 1 (nhận);

t   (loại)

 Với t 1, ta có  1 x  1 x0

 Vậy p/trình cho có nghiệm x0 Dạng 2: m a x n a x p

   hay m a x nx p

a

  

Cách giải:

 Đặt t a x,t 0, a x 1x

t a



 

Thay vào p/trình cho, giải tìm nghiệm t 0 Rồi tìm x

 Kết luận

Ví dụ : Giải phương trình sau

1) 6x 61x 5 0

  

2) 5 11 26

5

x x 



  

Lời giải:

1) Ta có 6x 61x 5 0

    6x  6.6x  0  Đặt t 6x, t 0 ta có 1

6

x

x t



   Ta có p/trình t 6.1

t

   , t 0

2 5 6 0

t t

   

Giải p/trình t 6 (thỏa); t  1 (không thỏa)

┼ Kết luận: P/trình cho có nghiệm x1

2) Để ý : 5x1 5x 5.5x

  ; 1

1

5x 5 5x  5x

Ta có 11 26

x x 



   5.5 26

5

x x

   

Đặt t 5 ,x t 0 ta có p/trình

 

5

5.t 26 0, t

t

     5t2 26t 5

Giải p/trình 5;

t  t  (thỏa mãn đ/k t 0)

 Với t 5, ta có 5x  5 x1

- Với

5

t  , ta có 5 1

5

x x  x

    

 Tóm lại, p/trình cho có hai nghiệm x1;x1

Dạng 3: Bất phương trình mũ af x  ag x 

 , 0a1

Cách giải:

 Nếu 0a1 ta có f x  g x  (đổi chiều BPT)

 Nếu a1 ta có f x g x  Với BPT af x  c



- Nếu 0a1, ta có f x  logac (Đổi chiều BPT) - Nếu a1, ta có f x logac

Ví dụ : Giải bất phương trình

a) 2x23x 14

 b)  

2

2

1 9

3

x  x



Giải:

a) Ta có 2x23x 14

 2x23x 22

   x2 3x2

2 3 2 0

x x

    1 x

Vậy BPT cho có tập nghiệm T 1;2

Vì số a 2 1 nên 2x23x 22

  x2 3x2 (hai BPT

có chiều) Để giải BPT x2 3x 2 0

   , ta tìm nghiệm tam

thức x2 3x 2

  xét dấu chọn miền nghiệm.

b)  1 2

3

x  x

    

2

2

1

3

x  x

 

2

2x 3x

   (đổi chiều BPT số a131)

2

2x 3x

   

2

x    

Vậy BPT cho có tập nghiệm 2;1

2

T   

 

Bài tập:

Câu (Đề TN 2006, Phân ban): Giải phương trình

2

2 x 9.2x

  

Câu (Đề TN 2007, Lần 2, Phân ban): Giải phương trình 7x 2.71x

  

Câu (Đề TN 2008, L1, Phân ban): Giải phương trình 32 1x 9.3x 6 0

  

Câu 4: Giải bất phương trình sau a)  1  1

2

x  x x

 b) 32x x 37x6



2 Hàm số, phương trình, bất phương trình lơgarit.

Lý huyết

Ghi nhớ: Với 0a1,b0,c0 Tính tốn: logaa 

┼

1

logab logab





Cộng, trừ logarit : logablogaclog ab c;

logab logac logab

c

 

Đổi số: log log

log

a c

a

b b

c

 ; log

log

a

b

b

a   Cách khử logarit:

     

   

0 loga f x loga g x f x

f x g x

 



  

 



   

loga f x  c f x ac

Chú ý: log10alogalga; logealna

Dạng 1: Biến đổi phương trình loga f x logag x 

Cách giải:

- Dùng công thức tính tốn, cộng trừ logarit để biến đổi - Cần ý đến đ/k với biểu thức dấu logarit Ví dụ: Giải p/trình sau:

1) log 93 xlog9x5

2) log2x 2 log2x 3 log 122

Lới giải:

1)  Đ/k xác định: 0

9

x

x x

 

  

 

Khi ta có

 

3

log 9x log x5  log log3  3xlog32 x5

3

1

2 log log

2

x x

    3log3

2 x

 

2

log x x x

      (thỏa mãn đ/k)

 Vậy p/trình có nghiệm x9

2)  Đ/k xác định 2

3

x x

x

x x

  

 

  

 

  

 

Khi ta có log2x 2 log2x 3 log 122

   

2

log x x log 12

   

x 2 x 3 12

     x2 5x 6 0

Giải p/trình dược x6 (thỏa đ/k); x1 (khơng thỏa đ/k)

 Vậy, p/trình cho có nghiệm x6 Dạng 2: P/trình bậc hai chứa lôgarit

   

2

.loga loga

m f x n f x  p

Cách giải:

 Đ/k xác định: f x  0  Đặt t loga f x , t 

Ta có p/trình m t 2nt p0 Giải p/trình tìm t

 Giải p/trình loga f x   t f x  at để tìm x

 Kết luận

Ví dụ : Giải ph/trình log2 22x  3log2x 10 0

Giải:

Đ/k xác định: x0

Ta có log2 22x log2x22 2log2x2 4log22x  Đặt t log2x, ta có log2 22x 4t2

 P/trình cho trở thành 4t2 3 10 0t 

Giải p/trình 2;

┼

 Với t 2, ta có log2x 2 x22  x4

- Với t  54, ta có 54

2

log x 4 x2

 Kết luận: P/trình cho có hai nghiệm 4;

4

x x

Dạng 3: Bất p/trình loga f x logag x , 0a1

Điều kiện xác định:  

 

0

f x g x

 

 

 



- Nếu 0a1, ta có f x  g x  (BPT đổi chiều) - Nếu a1, ta có f x g x  (BPT chiều)

 Với BPT loga f x c

- Nếu 0a1, ta có f x ac (BPT đổi chiều)

- Nếu a1, ta có f x  ac (BPT chiều)

Ví dụ: Giải bất p/trình:

a) log2xlog 32 x 1 b) log132x 1 log13x2

Giải:

a)  Đ/kiện xác định:

3

x

x x

 

  

  

 Với

3

x ta có :

 

2

log xlog 3x  x3x 1

2

x x

   

{ Cơ số a 2 nên có BPT chiều}

 Vậy tập nghiệm bất p/trình cho 1;

3

T  

 

b)  Đ/kiện xác định: 1

2

x

x x

  

  

  

 Với

2

x ta có :

   

1

3

log 2x1 log x2  2x 1 x 2  x3

{ Cơ số a121 nên BPT đổi chiều}

 Vậy tập nghiệm bất p/trình cho 1;3

2

T  

 

Bài tập:

Câu (Đề TN 2007, Lần 1, Phân ban): Giải phương trình log4xlog 42 x 5

Câu (Đề TN 2008, Lần 2, Phân ban):

Giải phương trình log3x2 log3x 2 log 53 x 

Câu 3: Giải bất phương trình

a) 5 

5

log x log x log

b) log23x 4log3x 3

Chuyên đề IV:

Hình học khơng gian (tổng hợp).

 Tính diện tích, Tính thể tích

Lý huyết

Thể tớch hỡnh chúp đáy

V  S h (h chiều cao)

Thể tích khối cầu bán kính R: 3

cÇu

V   R

┼ Thể tích khối nón trịn xoay : Vnãn 13R h2

Thể tích khối trụ trịn xoay: Vtrơ R h2

 Diện tích xung quanh hình nón trịn xoay: SXq-nãn R l

Diện tích xung quanh hình trụ trịn xoay: SXq-trơ 2R l

Một số hình cần ý:

- Hình chóp có đáy tam giác, hình vng

- Hình chóp có cạnh vng góc với đáy (hình chữ nhật, hình vng, tam giác vng)

- Hình nón trịn xoay, biết chiều cao, đường sinh, bán kính đường trịn đáy, góc phẳng đỉnh.

- Hình nón bị cắt mặt phẳng qua đỉnh giao với đường tròn đáy hai điểm A, B, biết AB giả thiết khác.

Yêu cầu: Giải lại toán SGK HH12 có dạng trên, ghi nhớ cách tính yếu tố cần thiết mối quan hệ các yếu tố dựa vào hình vẽ, tính chất hình.

Bài tập:

Câu (Đề TN 2006, Phân ban) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy

ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy, cạnh bên SB a

1 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

2 Chứng minh trung điểm cạnh SC tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Câu (Đề TN 2007, Lần 2, Phân ban): Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy SA =AC Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Câu (Đề TN 2008, Lần 1, Phân ban):

Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Gọi I trung điểm

của cạnh BC

1) Chứng minh SA vuông góc với BC 2) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a

Câu (Đề TN 2008, L2, Phân ban):

Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vuông B, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết AB=a, BC=a

và SA=3a

1 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

2 Gọi I trung điểm cạnh SC, tính độ dài đoạn thẳng BI theo a

Chuyên đề V:

Phương pháp toạ độ trong không gian.

1 Tọa độ điểm, vectơ.

Lý huyết

Yêu cầu nắm được:

- Tính độ dài vecto u a b c ; ;  : u  a2b2c2

- Cho A x y z A; A; A, B x y z B; B; B, C x y z C; C; C

Tính tọa độ trung điểm I đoạn AB, trọng tâm G tam giác

ABC

2 2

A B

I

A B

I

A B

I

x x

x

y y

I y

z z

z

 

  

 

  

 

  

;

3 3

A B C

G

A B C

G

A B C

G

x x x

x

y y y

G y

z z z

z

  

  

  

  

  

  

- Tính tọa độ vecto AB: ABxB  x yA; B  y zA; B  zA

- Độ dài đoạn AB:

 B A2  B A2  B A2

ABAB  x  x  y  y  z  z

┼

, b c c; a a; b

u v

b c c a a b

 

   

       

 

 

 

, ; '

u v bc b c ca c a ab a b

          

 

- Tính tích vơ hướng vecto u a b c ; ;  , v a b c   ; ; 

u v aa  b bc c

- Tính góc hai vecto u a b c ; ;  , v a b c   ; ; 

 

cos ,

u v u v

u v 

   

 

2 2. 2

aa bb cc

a b c a b c

   

  

   

- Nắm được: Cách tính tọa độ điểm, tọa độ vecto thỏa mãn môt hệ thức vecto

Ví dụ:

2 Mặt cầu.

Lý huyết

 Mặt cầu tâm I a b c ; ;  bán kính R có ph/trình

x a 2 y b 2z c 2 R2

 Dạng thứ hai: x2 y2z2 2ax 2by 2cz d 0 (2)

Với đ/kiện a2 b2 c2 d 0

    , (2) p/trình mặt cầu tâm

 ; ; 

I a b c , bán kính R a2 b2 c2 d

   

Một số dạng thường gặp: Mặt cầu có tâm I a b c ; ;  qua một

điểm tiếp xúc với mặt phẳng; mặt cầu đí qua điểm không đồng phẳng

Chú ý: Khoảng cách từ điểm M x M;yM;zM đến đường thẳng

  :Ax By Cz D   0 tính theo công thức

 

; 2 2 2

M M M

M

A x B y C z D

d

A B C



 

 

  



 

Dạng 1: Mặt cầu qua điểm M và có tâm cho trước I a b c ; ; 

Cách giải:

- Bán kính mặt cầu R MI

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt cầu tâm A1;2; 3  qua

điểm M0;2;2 .

Lời giải:

 Mặt cầu qua điểm M0;2;2 nên có bán kính

1 02 2 22  22 26

R MA          P/trình mặt cầu (tâm A1;2; 3  ):

x12 y 22z  32  262

Hay x 12y 22z32 26

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu đường kính AB biết

1; 2; 1

A   B3;0; 3 .

Giải:

 Mặt cầu đường kính AB có tâm trung điểm I đoạn AB

Tọa độ tâm I

 

1

2

2

2

1

2

2

A B

I

A B

I

A B

I

x x

x

y y

y

z z

z

 



  

 

  



  

 

    

  

 

┼

 Bán kính mặt cầu

1 22   12   22

R IA             P/trình mặt cầu cần tìm:

x 22 y  12z  22  3

Hay x 22 y12z22 3

Dạng 2: Mặt cầu có tâm I a b c ; ;  tiếp xúc với mặt phẳng

 P Ax By Cz D:    0

Cách giải:

- Bán kính mặt cầu khoảng cách từ tâm I đến mp P

Ví dụ 3: Viết ph/trình mặt cầu có tâm M0; 1;1  tiếp xúc với

mặt phẳng  P x y:   2z 1 0.

Lời giải:

 Mặt cầu tiếp xúc với mp P nên bán kính m/cầu khoảng

cách từ tâm M đến mp P :

 

 

 

, 2 2 2

0 2.1

1

M P

R d 

 

   

 

  

2

6



 

 P/trình mặt cầu cần tìm (tâm M0; 1;1 ):

      

2

2 2

0 1

6

x  y   z  

 

Hay  12  12

x  y  z 

Bài tập:

Câu (Đề TN 2007, L2, Ban KHTN): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm E(1;-4;5) F(3;2;7)

1 Viết phương trình mặt cầu qua điểm F có tâm E Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng EF

3 Phương trình mặt phẳng.

Lý huyết

Dạng 1: Mặt phẳng qua điểm M x M;y zM M có vecto pháp

tuyến nA B C; ; 

PTTQ mp A x x  M B y y  M C z z  M 0

Một số dấu hiệu:

- Mặt phẳng  P vng góc với đường thẳng AB¸ đường thẳng

 d Khi vecto AB vecto phương ud  d vecto pháp tuyến mp P

- Mặt phẳng  P song song với mặt phẳng  Q , vecto pháp tuyến nQ mp Q vecto pháp tuyến mp P

Ví dụ 1: Viết phương trình tổng quát mặt phẳng  P qua

điểm A1;2; 3  :

a) vng góc với đường thẳng  :

2

x y z

d    



b) song song với mặt phẳng  Q x y:   3z0

c) vng góc với đường thẳng AB với A0;1;1 , B1;2;0

Lời giải:

a) Đ/thẳng  d có vecto phương u2; 1;3 

  P  d nên  P nhận u2; 1;3  làm vecto pháp tuyến Mặt khác  P qua điểm A1;2; 3 

 Vậy p/trình tổng quát  P :

┼ Hay 2x y 3z 9

b)     P || Q nên vecto pháp tuyến  Q , n1; 1; 3   vecto pháp tuyến  P

 Mặt khác  P qua điểm A1;2; 3   Vậy p/trình tổng quát  P :

       x 1 y  z 3 0

Hay x y  3z 0

c)  P AB nên  P nhận AB  1;1; 1  làm vecto pháp tuyến Mặt khác  P qua điểm A1;2; 3 

 Vậy p/trình tổng quát  P :

       x 1 y z

       

Hay  x y z   0  x y z   4

Dạng 2: Mặt phẳng  P xác định hai vecto u, v khơng phương có giá song song nằm  P {Ôn thi ĐH-CĐ} Cách giải:

Vecto pháp tuyến  P nu v,      

, tích có hướng hai vecto u, v

Một số dấu hiệu thường gặp:

- Mp P song song với hai đường thẳng   d1 , d2 không

phương

- Mp P vng góc với hai mặt phẳng     ,  không song song

Bài tập:

Câu (Đề TN 2008, Lần 1, Ban KHXH):

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1;4;-1), B(2;4;3) C(2;2;-1)

1) Viết phương trình mặt phẳng qua A vng góc với đường thẳng BC

2) Tìm toạ độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành

Câu (Đề TN 2006, Ban KHXH): Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A(-1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(1; 0; 4)

1 Chứng minh tam giác ABC vng Viết phương trình tham số đường thẳng AB

2 Gọi M điểm choMB2MC

 

Viết phương trình mặt phẳng qua M vng góc với đường thẳng BC

4 Phương trình đường thẳng.

Lý huyết

 Đường thẳng   qua điểm M x M;yM;zM có vecto

phương ua b c; ; 

- P/trình tham số   :

M M M

x x at

y y bt

z z ct

  



  

   

, t 

- P/trình tắc   : x xM y yM z zM

a b c

  

 

Yêu cầu: Từ p/trình tham số p/trình tắc đ/thẳng phải biết lấy vecto phương điểm thuộc đường thẳng

Dạng 1: Đường thẳng qua điểm M x M;yM;zM có vecto phương xác định trước

Một số dấu hiệu thường gặp:

- Đường thẳng   qua hai điểm M N, , vecto MN vecto phương  

┼ - Đường thẳng   song song với đường thẳng  d , vecto phương  d vecto phương  

Ghi nhớ: Nên vẽ hình minh họa để dễ xác định yếu tố giải

thiết cho liên hệ tới mối quan hệ chúng

Ví dụ 1: Viết phương trình tham số đường thẳng   , biết:

a)   qua hai điểm A1;2; 3  , B0;1; 2 

b)   qua điểm M1; 1;1  vng góc với mặt phẳng

  :x 3y z 0.

c)   qua điểm N0;0;2 song song với đường thẳng

 d có p/trình  

2

:

2

x t

d y t

z   

  

  

Lời giải:

a)  Đường thẳng   qua hai điểm A, B nên nhận vecto

 

0 1;1 2; 

AB      

 1; 1;1

   làm vecto phương   Mặt khác   qua A1;2; 3  nên có p/trình tham số

1

3

x t

y t

z t

   

  

   

, t 

b)  Đường thẳng   vng góc với mp P nên nhận vecto pháp

tuyến n1; 3;1   P làm vecto phương  

 Mặt khác   qua điểm M1; 1;1  nên có p/trình tham số

1

x t

y t

z t

   

  

   

, t 

c) Đ/thẳng  d có vecto phương u2;1;0

 Đ/thẳng   song song với  d nên nhận u2;1;0 

làm vecto phương

 Mặt khác   qua điểm N0;0;2 nên có p/trình tham số

0 2

x t

y t

z   



  

  

, t 

Bài tập:

Câu (Đề TN 2007, Bổ túc):

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm E(1;0;2) , M(3;4;1) N(2;3;4)

Viết phương trình tắc đường thẳng MN

Viết phương trình mặt phẳng qua điểm E vng góc với đường thẳng MN

Câu (Đề TN 2007, Lần 2, Ban KHXH):

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(1;0;2),N(3;1;5)và đường thẳng (d) có phương trình

 

1

:

6

x t

d y t

z t

  



  

   

1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M vng góc với đường thẳng (d)

2 Viết p/trình tham số đường thẳng qua hai điểm M N

5 Góc, khoảng cách.

┼

 Khoảng cách từ điểm M x M;yM;zM đến đường thẳng

  :Ax By Cz D   0 tính theo công thức

 

; 2 2 2

M M M

M

A x B y C z D

d

A B C



 

 

  



 

Bài tập:

Câu (Đề TN 2008, Lần 1, Ban KHTN):

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; -2;-2) mặt phẳng (P) có phương trình 2x-2y+z-1=0

1) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A vng góc với mặt phẳng (P)

2) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt phẳng (Q) cho (Q) song song với (P) khoảng cách (P) (Q) khoảng cách từ điểm A đến (P)

Câu (Đề TN 2008, Lần 2, Ban KHTN):

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;-2;0), N(-3;4;2) mặt phẳng (P) có phương trình2x2y z  0 Viết phương trình đường thẳng MN

2 Tính khoảng cách từ trung điểm đoạn thẳng MN đến mp(P)

Câu (Đề TN 2008, L2, Ban KHXH):

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A2; 1;3  , mặt phẳng  P x:  2y 2z 10 0

1) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(P)

2) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A vng góc với mặt phẳng (P)

6 Tương giao đường thẳng, mặt pẳng, mặt cầu. Bài toán tổng hợp

Lý huyết Bài tập:

Câu 1 (Đề TN BTTH 2006): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(4; 3; 2), B(3; 0; 0), C(0; 3; 0) D(0; 0; 3)

Viết phương trình đường thẳng qua điểm A trọng tâm G tam giác BCD

Viết phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng qua ba điểm B, C, D

Câu (Đề TN 2006, Ban KHTN):

Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 6)

1 Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C Tính diện tích tam giác ABC

2 Gọi G trọng tâm tam giác ABC Viết phương trình mặt cầu đường kính OG

Câu 3 (Đề TN 2006, KPB):

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1; 0; -1), B(1; 2; 1), C(0; 2; 0) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Viết phương trình đường thẳng OG

Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm O, A, B, C Viết phương trình mặt phẳng vng góc với đường thẳng OG tiếp xúc với mặt cầu (S)

Câu 4 (Đề TN 2007, L1, Ban KHXH):

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm E1;2;3 mặt phẳng   :x2y 2z 6

1) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm gốc tọa độ tiếp xúc với mp 

2) Viết phương trình tham số đường thẳng   qua điểm

┼

Chuyên đề VI:

Nguyên hàm-Tích phân, ứng dụng tích phân

1 Tích phân

Lý huyết

- F x  nguyên hàm hàm số yf x  liên tục đoạn

a b;  Khi        

b

b a a

f x dx F x F b  F a



- Ghi nhớ tính chất cộng, trừ tích phân cơng thức tính nguyên hàm hàm số thường gặp

 k f x dx k f x dx       , (k số)

 dx x C  ; dx2 C

x

x  

 ; dx x C

x  



- Cách tính vi phân hàm số y g x   là: d g x   g x dx 

Ví dụ 1: Với u3x 5, ta có

3 5 3 

du d x   x dx 3dx

Với t x2 1

  , ta có t2 x2

Lấy vi phân hai vế (theo biến tương ứng), ta

 2  1

d t d x 

 t2 dt x2 1dx

    t dt 2 x dx  tdtxdx

Ví dụ 2:

a)  

2

3

I  x  x dx

2 2

2

1 1

3x dx xdx 2dx    

2 2

2

1 1

3 x dx xdx dx       2 2 1 3 x x x    2 2 1 2 x x x        2

3

2 2.2 2.1

2            15 

Có thể tính gộp:  

2

3

I  x  x dx

3 2 x x x         2

3

2 2.2 2.1

2                 10

  15

2  b)

J  x dx  

4 1

2

2x dx

     

4 1

2

1

2

2 x d x

   

 

4 12

0 1 1 x                 2 x     3 x  

 3  3

1

2.4 2.0             26 27 3   

Nhận xét: Với đa số học sinh trung bình nên tính tích phân phương pháp đổi biến t  2x1 t2 2x1

Lấy vi phân hai vế (theo biến tương ứng) ta

 2 2 1 2

d t d x  tdt dx tdt dx

Đổi cận: Với x1 ta có t  2.0 1  ; với x4 ta có t 3

Vậy

3

3 3

2

1 1

3

t

J t tdt t dt 

3

3 26

3  

┼

Câu (Đề TN 2008, L2, KPB): Tính

1

3

I  x dx

Câu (Đề TN 2008, L2, Ban KHXH):

Tính tích phân  

2

6

I  x  x dx

Đáp số: Câu 1: I 149; Câu 2: I 9 2 PP đổi biến số.

Lý huyết

Một số dạng thường gặp:

 1 sin cos

b a

I f x xdx Đặt t sinx, ta có dt cosxdx

 

1 cos sin

b a

I f x xdx Đặt t cosx, ta có dt  sinxdx

Khi  

sin

sin

b a

I   f t dt  

cos

cos

b a

I   f t dt

 2 tan  2

cos

b a

dx

I f x

x

 Đặt t tanx, ta có 12

cos

dt dx

x 

Khi  

tan

tan

b a

I   f t dt

 3  

b

x x

a

I f e e dx Đặt t ex

 , ta có dt e dx x

Khi  

b

a e e

I f t dt

 Tổng quát:

   

3

b a

I f u x  u x dx Đặt t u x   , dt u x dx  

Ví dụ 1: Tính  

6

3

cos sin

I x xdx





 

 Đặt t cosx, ta có dt d cosx  sinxdx

 Đổi cận: Với

6

x , ta có cos

6

t   

Với

3

x , ta có cos

t   

 Khi      

3

2

1

3 2

2

1

I   t dt   t dt

3 2

1 2

t t

 

  

 

 

2

2

3 1

2 2

2 2

  

 

  

 

 

 

     

   

   

 

3 1

8 2

 

      

 

Ghi chú: em đặt t cosx1

Ví dụ 2: Tính

0 cos sin

x

J dx

x



 

┼ Ta viết lại

0

.cos sin

J xdx

x



 

 (có dạng I1)

 Đặt t sinx, ta có dt d sinx  sinx dx cosxdx  Đổi cận: Với x0, ta có t sin 0

Với

2

x ta có sin

2

t   

 Vậy  

1

0

3

3

d t

J dt

t t



 

 

  lnt310 

   

ln ln

    ln ln ln4

 

Ghi chú: Với đặt t  3 sinx

Ta có dt d 3 sin x  3 sin x dx cosxdx  Đổi cận: x 0 t  3 sin 3

3 sin

2

x  t      

 Khi

dt J

t

 ln 34 ln ln ln4

3

t

   

Cách đặt giúp lời giải gọn phép tính tích phân dễ thực nhiều so với cách Các em lưu ý !

Ghi nhớ: Trong q trình tính tích phân dạng ln

b

b a a

du u

u 

 cần vận dụng vi phân để tính nhanh.

Chẳng hạn dx d x m    với m số.

 

1

dx d mx n

m

  với m, n số.

Ví như,

1

dx

x

 mẫu có dạng u x 1, tử chưa

phải du cần biến đổi để tử thành du: thay dx d x  1

.

Vậy  1 ln

1

d x dx

x C

x x



   

 

 

Ví dụ 3: Tính

ln3

0

x x

e

L dx

e 





Giải:

 Đặt t e x1 dt ex 1dx e dx x  Đổi cận: x 0 t e 0 1 1

ln

ln 3

x  t e      Khi

4 4

1

2

dt

L t

t

  2 2 

Chú ý: Ở sử dụng công thức dt t C

t  



Cách khác: Đặt t ex 1

   t2 ex1

2tdt e dxx

 

Đổi cận: x 0 t e0 1 1

     ;

ln

ln 3

x  t  e    

Khi

2

2

1

2

2

tdt

L dt t

t

┼

Bài tập:

Câu (Đề TN BTTH 2006):

Tính tích phân 2 

0

2sin cos

I x xdx



 

Câu 2 (Đề TN 2006, Ban KHTN): Tính tích phân ln 5 

ln

1

x x

x

e e

I dx

e  





Gợi ý: Đặt t ex 1

   t2 ex 

Suy ex t2 1

  2tdt e dx x

Câu 3 (Đề TN 2006, KPB): Tính

2

sin cos

x

I dx

x



 



Câu (Đề TN 2007, Bổ túc): Tính

0 cos sin

x

I dx

x



 



Câu (Đề TN 2008, Lần 1, Ban KHTN):

Tính tích phân  

1 4

2

1

I x x dx



 

Đáp số: Câu 1: I 4; Câu 2: 26

I  ; Câu 3: ln4

3

I 

Câu 4: I ln 2; Câu 5: 32

15

I 

3 PP tích phân phần

Lý huyết

b b

b a

a a

udv uv  vdu

 

Dấu hiệu: Tích phân có dạng

 

1 sin

b a

I f x xdx;  .cos

b a

I f x xdx;  

b

x a

I f x e dx

Cách giải: Đặt uf x  duf x dx 

Cịn dvsinxdx, ta có v cosx

cos

dv xdx, ta có vsinx

x

dv e dx , ta có v e x

Ví dụ 1: Tính 1 4 

0

2 sin

I x xdx



 

Giải:

 Đặt u2x 3 du 2x3dx2dx

Với dvsinxdx, ta có v cosx

 Khi đó:        

4

1 0

0

2 cos cos

I x x x xdx

 

     

   

1 cos 2.0 cos0

4

I          

   

4

2 cosxdx



 

 

1 0

2

3 2sin

2

I       x

   

2

3 sin sin

2

 

   

       

   

2

3

2 2

  

 

       

   

2

3

2



┼

Nhận xét: Các em tách 4

0

2 sin 3sin

I x xdx xdx

 

  

Sau tính 4

0

2 sinx xdx xsinxdx

 



  PP tích phân

từng phần với cách đặt u x .

Và tính 4

0

0

3sinxdx sinxdx 3cosx

 



 

  .

Tính xong, cộng hai kết lại.

Ví dụ 2: Tính  

2

0

5 x

I   x e dx

Giải:

 Đặt u 5 2x du 5 2 x dx 2dx

Với dv e dx x , ta có v e x

 Khi    

2

2 0

0

5 x x

I   x e  e  dx

   

2

2

2

0

5 x

I   e   e  e dx

2

0 1.e 5.1 2ex

   e2 2 e2 e0 e2 2 e21  Vậy I2 3e2

Ghi nhớ: Trong tích phân phần, có đổi biến

nhưng không đổi cận

Bài tập:

Câu (Đề TN 2006, Ban KHXH): Tính  

1

2 x

I  x e dx

Câu (Đề TN 2008, Lần 1, Ban KHXH): Tính tích phân 2 

0

2 cos

I x xdx



 

Câu (Đề TN 2008, L2, Ban KHTN): Tính  

1

4 x

I  x e dx

Đáp số: Câu 1:I  1 e; Câu 2: I   3; Câu 3: I  3 e

4 Tính diện tích hình phẳng

Lý huyết

Dạng 1: Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

 

yf x , trục hoành hai đường thẳng x a x b ;  a b 

 

b a

S f x dx

Cách tính  

b a

S f x dx:

 Giải ph/trình : f x  0 tìm các nghiệm x x1; ; ;2 xn thuộc

đoạn a b;  (Nghiệm không thuộc, ta loại bỏ)

 Phân tích

 

b a

S f x dx      

1

1

n

x x b

a x x

f x dx f x dx f x dx

     

Trên khoảng a x; 1 , x x1; 2, ,x bn;  f x  có dấu

┼

Nên      

1

1

n

x x b

a x x

S f x dx  f x dx   f x dx

{Đưa dấu giá trị tuyệt đối ngồi dấu tích phân}

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

3

yx  x, trục hoành đường thẳng x0;x2

Lời giải:

 Diện tích hình phẳng cần tìm

3

Sx  x dx

 Ta có x3 x 0 x x  1 0  x0;x1

Trên đoạn 0;2 , ta loại bỏ x1

 Suy

1

3

0

S x  x dxx  x dx

   

1

3

0

x x dx x x dx

    

1

4

0

4

x x x x

   

      

   

1 16 1

4 4

   

        

   

1

2

4

   

Nhận xét: Các em nên dùng máy tính cầm tay để tính kiểm tra đáp án !

Nếu em có kỹ xét dấu, lập bảng xét dấu để

khử dấu giá trị tuyết đối x3 x đoạn 0;2.

Dạng 2: Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

 

yf x yg x 

Cách giải:

 Giải ph/trình f x  g x  tìm nghiệm x x1; ; ,2 xn

(Giả sử x1 x2  xn)

 Diện tích hình phẳng cần tìm    

1 n x x

S f x  g x dx

Chia S thành tổng tích phân khoảng x x1; 2 , x x2; 3,

…,xn1;xn để tính cách đưa dấu giá trị truyệt đối ngồi

dấu tích phân

       

2

1

n n x x

x x

S f x g x dx f x g x dx



     

       

2

1

n n x x

x x

S f x g x dx f x g x dx



       

Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường

3

yx  x y0

Giải:

 Ph/trình hoành độ giao điểm hai đường cho :x3 x2 0

 

2 1 0 0; 1

x x x x

     

 Vậy diện tích hình phẳng cần tìm  

3

0

0

S x  x  dx

 

1

1

3

0 0

x x

S  x  x dx   

 

 1 14 3

12



Bài tập:

Câu (Đề TN BTTH 2006):

Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

3 3

┼

Câu 2 (Đề TN 2006, KPB):

Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y e x,

2

y đường thẳng x1

Gợi ý: Đề cho cận x1.

Để tìm cận cịn lại ta giải ph/trình ex 2 xlog ln 2e 

Chú ý: ln 1

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm

1 ln

2

x

S e  dx.

Các em tự tính tiếp !

Câu (Đề TN 2007, L2, Ban KHXH): Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường yx26x, y0

5.Tính thể tích khối trịn xoay (khi quay quanh trục Ox)

Lý huyết

Dạng 1: Thể tích V của khối trịn xoay thu cho hình phẳng

 H giới hạn đồ thị hàm số yf x , trục hoành hai đường thẳng x a x b ;  a b  quay quanh trục hoành

 

b a

V  f x  dx

Ví dụ: Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo thành cho hình

phẳng  H giới hạn đồ thị hàm số ycosx, trục hoành và

hai đường thẳng ;

6

x x quay quanh trục hoành.

Giải:

 Thể tích cần tìm  

2

cos

V x dx







 

 

2

2

6

1

cos cos

2

V xdx x dx

 

 

 

    

2

sin

2 x x





  

   

 

1

sin sin

2 2

   



  

      

 

 

1

.0

2 2 2

          

 

 

Bài tập:

Câu (Đề TN 2007, Lần 2, Ban KHTN): Cho hình phẳng (H) giới hạn đường ysinx,y0, 0,

2

x x

Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình (H) quanh trục hoành

Chuyên đề VII: Số phức

1 Mơ đun, phép tốn

Lý huyết

 Số phức z có dạng z a bi  , a b,  

 Mơđun số phức z  a bi  a2b2  Biết cách nhân hai số phức (Chú ý i2 1)

Chia hai số phức:

       

a bi c di a bi

c di c di c di

 

 

  

   

2

a bi c di

c d

 





Số phức nghịch đảo:

    2

1 a bi a bi

a bi a bi a bi a b

 

 

┼

Ví dụ 1: Tính mơ đun số phức z 4 5i.

Giải:

 2

2

4 36

z     

Ví dụ 2: Thực phép tính sau.

a) 3 i 5 3 i b)

 

2 2 i

Giải:

a) 3 i 5 3 i 15 9 i 5i 3i2 15 1   4i18 4 i

b)

 

2 2 i

 

    2

2 6

3 3 13

i i i

i i

  

  

  

6

13 13i

 

Ví dụ 3: Tính P 3 i3.

Giải:

  2 

P  i  i 2 2 i9i2  3 i

2 2i  3i  2i  3i

       

 2

7 21i i 18 2i

   

7 18 21 12i i

    25 9 i

Cách 2: Khải triển P (theo đẳng thức)

{a b 3a33a b2 3ab2b3}

 2 3 2 32 3 2  3

P  i i  i

2 18i 27 27i 25 9i

     

Bài tập:

Câu (Đề TN 2008, L1, Phân ban):

Tính giá trị biểu thức P 1 3i 2 1 3i2

2 Căn bậc hai số thực âm

Lý huyết

 Căn bậc hai số thực âm: Căn bậc hai số thực a0 gồm hai số i a i a

Ví dụ: Căn bậc hai 28 gồm i 28 2 7i 7i

Ghi nhớ: Chúng ta không viết 28, mà nói là

các bậc hai 28.

Bài tập:

Tìm bậc hai 27; 45

3 Phương trình bậc hai khơng có nghiệm thực

Lý huyết

 Giải phương trình bậc hai ax2bx c 0a0 tập số phức  Với b2 4ac 0

    (Delta âm)

Phương trình có hai nghiệm phức

2

b i x

a    

Ví dụ: Giải phương trình 2x2 x 5 0

   tập số phức .

Giải:

 Ta có    12 4.2.5 40  39 0

 Vậy p/trình cho có hai nghiệm  1 39

2.2

i

x  

Hay 39

4

i

x  39

4 i

┼

Bài tập:

Câu (Đề TN 2006, Phân ban): Giải phương trình sau tập số phức 2x2 5x 4 0

  

Câu (Đề TN 2007, Lần 2, Phân ban): Giải phương trình sau tập số phức x2 6x 25 0

  

Câu (Đề TN 2008, Lần 2, Phân ban): Giải phương trình sau tập số phức x2 2x 2 0

  

Lời nhắn:

- Để ôn tập có trọng tâm, em cần tập trung ôn tập bám sát

theo dạng toán mà cấu trúc đề thi đưa ra.

- Làm thêm tập tương tự dạng SGK (để đối

chiếu với đáp án SGK cho).

- Dành thời gian để giải số đề thi thử (theo cấu trúc của

Bộ GD&DDT) để rèn luyện thêm Khi làm, cần tạp trung và làm nghiêm túc theo thời gian định (150 phút).

- Sau lần giải đề, tự đánh giá xem phần đạt yêu

cầu, phần chưa, cịn yếu cố gắng rèn luyện thêm.

- Trong trình biên soạn, thời gian gấp rút nên khơng thể

tránh thiếu sót Rất mong em học sinh thông cảm, phát góp ý giúp thầy hồn thiện tài liệu này để lưu hành cho năm sau.

Chúc em ôn tập tốt !

Hãy vững tinh bình tĩnh, đọc cẩn thận đề trước làm ! Nam Đông, ngày 10 tháng 04 năm 2009

Biên soạn

Đỗ Cao Long

Địa liên hệ: