kì thi vao lớp 10chuyên năm học 2009 2010 Môn thi : toán Thời gian làm bài : 150 phút Câu I: ( 2.5 điểm ) Cho phơng trình : x 2 - 2x + 3 - m = 0 , gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình. Tìm giá trị của m để : 3 2 1 2 2 ( 1) 16x m x+ + = Câu II: (2.5 điểm ) 1) Cho phân số : A = 2 4 5 n n + + Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn 1 2009n sao cho A là phân số cha tối giản. 2) Cho 2; 3; 4.a b c Tìm giá trị nhỏ nhất của : 2 2 2 1 1 1a b c P a b c + + + = + + Câu III: (2.0 điểm) Giải phơng trình : 2 2 3 3 3 3 3 2007 3 7 2008 6 2009 2008x x x x x + + = Câu IV: ( 3 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O . Vẽ tia Ax vuông góc với AD cắt BC tại E ; vẽ tia Ay vuông góc với AB cắt CD tại F. 1) Trong trờng hợp ã BAD là góc tù . Chứng minh : EF đi qua O. 2) Chứng minh : . . . . AC AB AD CB CD BD AB CB AD CD + = + sở giáo dục và đào tạo Hải Dơng kì thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2008 - 2009 Môn thi : toán Hớng dẫn chấm H ớng dẫn chấm:Đề số 2 Câu Nội dung điểm câu1 2.5 điểm Điều kiện đểphơng trình : x 2 - 2x + 3 - m = 0 có nghiệm : , 0 2 0 2m m + Theo hệ thức Viet : 1 2 1 2 2 3 S x x P x x m = + = = = Ta có : 2 1 1 2 1 1 2 1 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) (4 3 ) 2(3 ) (1 ) 6 2 x x x x x x Sx P x x x x Sx P Sx Px S Sx P Px S P x SP m x m m x m = + = = = = = = = + = + + Và 2 2 1 2 2 1 2 2 2 ( ) 2 (3 )x x x x x x Sx P x m= + = = Nên 3 2 1 2 2 ( 1) 16x m x+ + = ( ) [ ] 1 2 2 1 6 2 ( 1) 2 (3 ) 16m x m m x m + + + + = 1 2 2 1 2 2 2( 1) 12 4 2( 1) (3 )( 1) 16 2( 1)( ) 12 4 3 3 16 6 27 0 3( ) 9( ) m x m m x m m m x x m m m m m m m TM m loai + + + + + = + + + + + = + = = = Vậy m = 3 thỏa mãn điều kiện đầu bài 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 CâuII 2.5 điểm 1) Gọi d là ớc chung lớn nhất của n 2 + 4 và n+5 Vì A là phân số cha tối giản nên d > 1 Ta có (n + 5) 2 - ( n 2 + 4) chia hết cho d Hay 10(n + 5) - 29 chia hết cho d mà có n + 5 chia hết cho d Nên 29 chia hết cho d mà 29 là số nguyên tố và d > 1 d = 29 Tồn tại số m nguyên dơng sao cho : n + 5 = 29m. Khi đó: 1 2009 29 5 2009n m và m nguyên dơng nên các giá trị của m là 1;2;3 69 Vậy có tất cả 69 số tự nhiên n thỏa mãn 0.25 0.25 0.25 0.25 2)* Ta chứng minh BĐT sau : Với x , y là các số không âm ta có : 2x y xy+ ,(1)Đẳng thức xảy ra khi x = y Thật vậy : (1) ( ) 2 2 0 0x y xy x y + , (BĐT đúng ) Đẳng thức xảy ra khi x = y Có P = 1 1 1 a b c a b c + + + + + Ta có : 1 1 3 1 3.2 2 . 4 4 4 4 a a a a a a a + = + + + Hay : 1 3 5 1 2 2 a a + + = ,(2) Đẳng thức xảy ra khi a = 2 Tơng tự : 1 8 1 1 8.3 2 8 10 2 . 9 9 9 9 3 3 3 b b b b b b b + = + + + = + = , ( 3) Đẳng thức xảy ra khi b = 3 Và 1 1 15 1 15.4 2 15 17 2 . 16 16 16 16 4 4 4 c c c c c c c + = + + + = + = , (4) Đẳng thức xảy ra khi c = 4 Do đó : P 5 10 17 30 40 51 121 2 3 4 12 12 12 12 + + = + + = Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 121 12 khi 2 3 4 a b c = = = 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu III 2.0 điểm Đặt : 2 3 2 3 3 3 3 3 3 2007 3 7 2008 6 2009 2008 a x x b x x c x a b c = + = + = + + = Thay vào phơng trình và lập phơnghai vế của phơng trình ta đợc : ( ) 3 3 3 ( ) 2008 2008a b c+ + = = Nên phơng trình tơng đơng với : 3 3 3 3 3 3 3 3 ( ) ( ) ( ) 0 3( )( )( ) 0 a b c a b c a b c a b c a b b c c a + + = + + + + + + = + + + = Xét 3 trờng hợp : 1) 2 2 3 3 2 2 0 3 2007 3 7 2008 1 3 2007 3 7 2008 6 a b a b x x x x x x x x x + = = + = + + = + = 2) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 2 3 3 2 2 0 3 7 2008 6 2009 (3 7 2008) 6 2009 1 13 6 3 1 0 1 13 6 b c b c x x x x x x x x x x + = = + = + = + = = = 3) 2 3 3 2 2 0 3 2007 6 2009 3 2007 6 2009 3 7 4016 0, c a a c x x x x x x x x PTVN + = = + = + = + = Vậy phơng trình đã cho có tập nghiệm là: 1 1 13 1 13 ; ; 6 6 6 S + = 0.25 0.25 0.25 CâuIV 3 điểm 1) y x t P E F O B C A D Nối EF , gọi P là điểm đối xứng với A qua EF Trờng hợp O nằm ngoài AEP ,ta có : ã ã ,(1)EAF EPF= Gọi tia At là tia đối của tia AB , ta có ã ã EAF tAD= (cùng phụ với ã DAF ) Mà ã ã BCD tAD= ( Cùng bù với ã BAD do tứ giác ABCD nội tiếp ) ã ã ,(2)BCD EAF = Từ (1) và (2) suy ra : ã ã ã EPF BCD ECF= = Nên tứ giác EPCF nội tiếp ã ã 0 180DCP FEP + = Mà có ã ã ã FEP FEA PAD= = ( cùng phụ với ã EAP ) Nên ã ã 0 180DCP PAD+ = Tứ giác ADCP nội tiếp Hay P thuộc đờng tròn tâm O .Mà EF là trung trực của AP nên EF phải qua tâm O của đờng tròn Trờng hợp O nằm trong AEP chứng minh tơng tự 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 2)Trớc hết ta chứng minh Bài toán sau : Cho tam giác ABC nội tiếp đờng D H O A B C tròn (O;R) với AB = c; AC = b ;BC = a Chứng minh : Diện tích tam giác ABC đợc tính theo công thức : 4 ABC abc S R = .(*) Thật vậy : Kẻ đờng cao AH, đờng kính AD Ta có : ( )ABH ADC g g : . .2 . . . 4 2 ABC AB AD CB AC AH R AH AC AB AC BC AH BC S R = = = = Hay 4 ABC abc S R = Kẻ đờng chéo AC và BD của tứ giác ABCD ta có 1 ABCD ADB BCD ABCD ABC ADC S S S S S S + = = + Gọi R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD ,áp dụng công thức trên ta có : . . . . . . . . 4 4 1 1 . . . . . . . . 4 4 AB AD BD CB CD BD AB AD BD CB CD BD R R AB CB AC AD CD AC AB CB AC AD CD AC R R + + = = + + . . . . AB AD CB CD AC AB CB AD CD BD + = + ( Đpcm) 0.25 0.5 0.5 0.25 . 2009 2010 Môn thi : toán Thời gian làm bài : 150 phút Câu I: ( 2.5 điểm ) Cho phơng trình : x 2 - 2x + 3 - m = 0 , gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng. 6 2009 2008 a x x b x x c x a b c = + = + = + + = Thay vào phơng trình và lập phơng hai vế của phơng trình ta đợc : ( ) 3 3 3 ( ) 2008 2008a b c+