Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp cách là ngược lại tỏ ra khá hiệu quả, bằng những tính chất của hàm lượng giác ta sẽ đưa các bài toán đại số về bài toán lượng giác và giải quyết bài toá[r]
(1)PHƯƠNG TRÌNH-BÂT PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ
A Phương trình - bất phương trình chứa thức I Phương pháp biến đổi tương đương
1 Kiến thức cần nhớ:
2
2
2
2
1
2
3 ,
4
5 ,
n n
n n
n n
n n
n n
a a
a b a b ab
a b a b a b
a b a b
a b a b a b
2 Các dạng bản:
* Dạng 1:
2
g x f x g x
f x g x
(Không cần đặt điều kiện f x 0)
* Dạng 2: f x g x xét trường hợp:
TH1:
0
g x f x
TH2:
2 ( )
g x
f x g x
* Dạng 3:
2 ( )
0
f x f x g x g x
f x g x
Lưu ý: + g(x) thường nhị thức bậc (ax+b) có số trường hợp g(x) tam thức bậc hai (ax2+bx+c), tuỳ theo ta mạnh dạn đặt điều kiện cho g x 0 bình phương vế đưa
phương trìnhbất phương trình dạng quen thuộc
+ Chia đa thức tìm nghiệm: Phương trình
0
n n n
n n
a x a x a x a x a
có nghiệm x=
thì chia vế trái cho cho x– ta
0
n n
n n
x b x b x b x b
, tương tự cho bất phương trình
* Phương trìnhbất phương trình bậc 3: Nếu nhẩm nghiệm việc giải theo hướng đúng, khơng nhẩm nghiệm ta sử dụng phương pháp hàm số để giải tiếp phương pháp hàm số khơng ta phải quay lại sử dụng phương pháp khác
* Phương trìnhbất phương trình bậc 4, lúc ta phải nhẩm nghiệm việc giải phương trình theo hướng đúng, cịn nhẩm nghiệm sử dụng phương trìnhbất phương trình bậc không ta phải chuyển sang hướng khác
“Cũng khơng ?!”
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2
x x
x (ĐH Khối D – 2006)
Biến đổi phương trình thành: 2x 1 x2 3x 1
(*), đặt điều kiện bình phương vế ta được:
0 11
6
4
x x x
x ta dễ dạng nhẩm nghiệm x = sau chia đa thức ta được: (*) (x – 1)2(x2 – 4x + 2) =
Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 4x12 2x10 1 2 x2, ĐK:
2
x
2 2 1 5 2 3 2 ( 5) 2 9 5
pt x x x x x x x x (1), Với
x hai vế (1) khơng âm nên ta bình phương vế: x3 – x2 – 5x – 0
x 3 x 12
b) Tương tự với dạng: * f x g x * f x g x
Ví dụ 1: Giải bất phương trình 2x2 6x 1 x 2 1
Giải
1 2x2 6x 1 x 2
(2)2
2
3 7
2
2 2
2 1 3
x x
x x x x x
x x x x
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình x2 2mx 1 m 2
có nghiêm
Giải
* Nếu m < phương trình vơ nghiệm
* Nếu m phương trình x22mxm2+4m3=0 Phương trình có =2m24m+3>0 với m.
Vậy với m phương trình cho có nghiêm Ví dụ 3: Tìm m để phương trình
2x mx 3 x có hai nghiệm phân biệt Giải:
Cách 1:
2
1
2 0, (*)
x PT
x m x
, phương trình (*) ln có nghiệm:
2
1
2 20 20
0,
2
m m m m m m
x x Phương trình cho có nghiệm (*) có
2 nghiệm x1
2
2
2
4
1 4 20
4 20
m
x m m m m
m m m
Chú ý: + x1 > 0, x2 < x1 > x2 a.c < nên pt có nghiệm trái dấu
+ Cách thường dùng hệ số a dương âm + Cách 2: Đặt t = x + suy x = t – 1, với x 1 t0
(*) trở thành: t 12 m 2 t 1 0 (**) Để (*) có nghiệm x1thì (**) phải có nghiệm t 0 Ví dụ 4: (ĐH Khối B – 2006) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt:
2
x mx x , (1)
Giải:
2
2
3 0,
x pt
x m x
để (1) có hai nghiệm thực phân biệt (2) có hai nghiệm lớn
bằng
hay
42 12
1
0
2
1
2
m
f m
S
Chú ý : Cách 2: đặt
t x , để (2) có hai nghiệm lớn
2
2
1
3
2
t m t
có hai nghiệm thực lớn
3 Các kỹ năng:
a Để bình phương vế phương trình – bất phương trình ta biến đổi cho vế không âm hai đặt điều kiện cho vế khơng âm.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình: 5x 1 x 1 2x (ĐH Khối A – 2005)
Vế phải không âm, vế trái chưa nhận xét ta phải biến đổi thành: 5x 1 x 1 2x ta bình phương vế đưa dạng để giải
Ví dụ 2: Giải phương trình: x x 1 x x 2 2 x2 1
Giải
Điều kiện:
2 *
x x x
2 2
2
2 2
2
1 2 2
4 2
8
x x x x x x x x x x x
x x x x x
x x
Vậy phương trình cho có hai nghiệm x=0,
(3)(Hãy tìm thêm cách giải khác)
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình 2x2 mx x2 4 0
có nghiệm
HD: Chuyển vế, đặt điều kiện, bình phương hai vế tìm 1,2 16
m m
x Kết hợp với điều kiện ta tìm
được |m|
b Chuyển phương trình – bất phương trình tích:
- Đặt nhân tử chung, đẳng thức
Lưu ý: Để sử dụng phương pháp ta phải ý đến việc thêm, bớt, tách, phân tích
Ví dụ 4: Giải phương trình: x2 x 7 7
HD:
Bình phương hai vế
Dùng đẳng thức a2b2=0.
Nghiệm 2, 29
x x Ví dụ 5: Giải bất phương trình: a
2
2
1
x
x x
b
2 3 2 3 2 0
x x x x
ĐS: a 1x<8, b ; 2 3;
2
Ví dụ 6: (Khối B – 2007): Chứng minh với giá trị dương tham số m, phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x2 2x 8 m x 2
(1)
Giải: ĐK: x2, m >
)2( , 32 6 2 2 4
2 3 2
m x x x x m x x
pt Để chứng minh m 0, phương trình (1) có nghiệm phân biệt cần chứng minh phương trình (2) có nghiệm khác
Thật vậy: đặt
6 32,
f x x x x , ta có f(2) = 0, xlim f x , f x' 3x2 12x0, x
nên f(x) hàm liên tục 2; đồng biến khoảng suy m0 phương trình (2) ln có nghiệm x0 mà < x0 <
Một số dạng chuyển thành tích:
- Dạng: ax b cx d a c x- b d- m
Ta biến đổi thành: m ax b( cx d )ax b cx d
Ví dụ: Giải phương trình: 3
x
x x ĐS: x=2
- Dạng: u+v=1+uv (u-1)(v-1)=0
Ví dụ: Giải phương trình: x 1 x 2 1 3x2 3x 2
ĐS: x=0, x=1
Ví dụ: Giải phương trình: x 1 x 1 4x3 x2 ĐS: x=0, x=1
- Dạng: au+bv=ab+uv (ub)(va)=0
Ví dụ 1: Giải phương trình:
3 2
x x x x x x ĐS: x=0, x=1 Ví dụ 2: Giải phương trình: x3 x2 3x 3 2x x2 3 2x2 2x
ĐS: x=0
- Dạng: a3b3 (ab)(a2+ab+b2)=0 a=b
Ví dụ: Giải phương trình: 2 9 x x2 2 2x3 33 x x 22 ĐS: x=1
c Chuyển dạng: A1 + A2 + + An = với Ai0 1, i n pt tương đương với:
, ,
1 0 2 0 n 0
A A A . Ví dụ 1: Giải phương trình:
4x 3x 3 4x x3 2 x1
HD: Phương trình tương đương 4x2 4x x3x3 2 x 2 x10 ĐS: x=1
Ví dụ 2: Giải phương trình: 4x y2 y 2 4x2 y
(4)Giải
Bình phương hai vế ta 2 12 22 2 2 4 0 1, 2.
x y y x y x y d Sử dụng lập phương:
Với dạng tổng quát 3a 3b 3c
ta lập phương hai vế sử dụng đẳng thức
3 3
3
a b a b ab a b phương trình tương đương với hệ
3 3
3
3
a b c
a b abc c
Giải hệ ta có nghiệm phương trình
Ví dụ: Giải bất phương trình 3x 1 3x 2 32x 3
ĐS: 1; 2;
2
x x x e Nếu bất phương trình chứa ẩn mẩu:
- TH1: Mẩu ln dương ln âm ta quy đồng khử mẩu: Ví dụ 1: Giải bất phương trình:
2
2 16 7
3
3
x x
x
x x
(ĐH Khối A2004)
Giải
ĐK: x4 1 2 16 3 7 2 16 10 2
x x x x x
2
5 10
10
10 34
2 16 10
x
x x
x
x
x x
Vậy tập nghiệm bất phương trình là: x10 34
- TH2: Mẩu âm dương khoảng ta chia thành trường hợp: Ví dụ 2: Giải bất phương trình: a x 3 x2 4 x2 9
b
2
51
1
x x x
HD: a Xét ba trường hợp x=3, x>3 x<3 ĐS:
6
x x
b Xét hai trừng hợp x1 ĐS: 1 52 x x1
Bài tập
Bài 1: Giải phương trình sau: a x 2 x 1 x x 1 x2 x 0
HD: Bình phương vế biến đổi thành: 2x x2 x 4 x2 x x3 4x2 6x 4 0
2
(x 2)(2 x x x 2x 2)
b 2
4x 5x 1 x x 9 x3 HD: Nhân lượng liên hợp Bài 2: Giải bất phương trình sau: 1 2x 1 2x 2 x2.
HD: Cách 1: Đặt 1 2 1 2 4
16
t t
t x x x Cách 2: Bình phương đưa dạng:A1+A2 = 0, với
A1, A2 0
Bài 3: Giải phương trình 10 3 x x (HD: Bình phương hai lần phương trình bậc đầy đủ_nhẩm nghiệm (x=3) chia đa thức)
Bài 4: Giải phương trình 1 2 1
3 x x x x
Bài 5: Giải phương trình 2x 6x2 1 x 1
Bài 6: Giải phương trình sau: x2 1 x 1
x 232x 1
3 32x23 x 2 39x 4 3 x13x 1 x32
5 1 2
4
x
x x
3
4
(5)7 5x 3 3x 1 x (HD:Bình phương sử dụng dạng: A1+A2 = 0, với A1, A2 0 )
Bài 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: m x m x m
Bài 8: Tìm m cho phương trình: 4x x2 x m
a Có nghiệm
b Có hai nghiệm phân biệt Bài 9: Giải bất phương trình sau:
a 1 4x2 3
x
b x2 3x 2 x2 6x 5 2x2 9x 7
c x2 x 2 x2 2x 3 x2 4x 5
Bài 10: Giải phương trình: a 3x 1 3x2 3x 3x2 x
b 4
3
x
x x
x
c x 4x x
d x3 9 x2 x e 2x x2 x 1 3x 1 2x2 2x 6
II Phương pháp đặt ẩn phụ:
Dạng 1: Fn f x 0, đặt tn f x (lưu ý n chẵn ta phải thêm điều kiện t 0).
Ví dụ 1: Giải phương trình: a x2 x2 11 31
b x5 2 x3 x23x
HD: a Đặt t x2 11, t 0
ĐS: x=5
b Đặt t x2 3 ,x t 0
ĐS: 109
2
x
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x2 2x 2m 5 2x x2 m2
Giải
Đặt: t 5 2x x2 6 x 12 t 0; 6
Khi phương trình trở thành t2 2mt m * t m Phương trình cho có nghiệm (*) có nghiệm t0; 6 hay 6
0 6
m m
m m
Ví dụ 3: Tìm m để bất phương trình: m( x2 2x 2 1) x2 x 0
, (1) có nghiệmx0;1 3
Giải: Đặt t x2 2x 2 x2 2x t2 2
Nếu x0;1 3 t x 12 11;2
BPT trở thành: m t 1 2 t2 0, 2
Khi ta có 2
t
m t
, với 1 t Đặt
2 2
1
t f t
t
, dùng đồ thị ta tìm
2
m Dạng 2:
m f x g x n f x g x n f x g x p , đặt t f x g x , bình phương hai vế để biểu diễn đại lượng lại qua t
Ví dụ 1: Cho phương trình 3x 6 x m 3x 6 x a Giải phương trình m=3
b Tìm m để phương trình cho có nghiệm Giải
Đặt: t 3 x 6 x t2 9 3 x 6 x *
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
2 3x 6 x 9 nên từ (*) ta có 3 t Phương trình cho trở thành t22t9=2m (1).
(6)b PT cho có nghiệm (1) có nghiệm t3; 2
Xét hàm số
2 2 9
f t t t với 3;
t , ta thấy f(t) hàm đb nên: 6f(3)f t f3 2 9 với t3; 2 Do (1) có nghiệm t3; 2
6
6
2
m m
Chú ý: Để tìm miền giá trị t ta có cách thương dùng sau:
Cách 1: dùng BĐT trên 2: dùng pp hàm số ( xem phần PP hàm số ).
Ví dụ 2: Giải phương trình x335 x3x335 x330 HD: đặt: 335 335 3 35
3
t
t x x x
t
ĐS: x=2, x=3
Ví dụ 3: Giải bất phương trình 7x 7 7x 6 49x2 7x 42 181 14x
HD: Đặt t 7x7 7x 0 … 6
7 x
Dạng 3:
n ,n
F f x g x , F(t) phương trình đẳng cấp bậc k TH1: Kiểm tra nghiệm với g x 0
TH2: Giả sử g x 0 chia hai vế phương trình cho gk x
đặt
n f x t
g x
Ví dụ 1: Giải phương trình 5 x3 1 2x2 2
ĐK: x1 x3 1 2x2 2 x1x2 x1 2x2 x12x1
2 2
1
x x
x x x x
Đặt 2 ,
1
x
t t
x x
Phương trình trở thành
2
2
2 1
2
t t t
t
Với t=2: Phương trình cho vơ nghiệm Với
2
t : Phương trình cho có nghiệm 37
x
Ví dụ 2: Giải phương trình 2
5x 14x9 x x 20 5 x1 Giải
ĐK: x5 5x2 14x 9 x2 x 20 5 x 1 5x2 14x 9 5 x 1 x2 x 20
Bình phương hai vế: 2x2 4x 53x45 x2 4x 5x4 Đặt 5,
4
x x
t t
x
phương trình trở thành
2
2 1,
2
t t t t
Với t = 1: Phương trình cho có nghiệm 61 5, 61
2
x x Với
2
t : Phương trình cho có nghiệm 5,
5
x x
Vậy phương trình cho có hai nghiệm: 61,
x x
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
3 x 1m x 1 x
HD: ĐK x1 Xét hai trường hợp x = x ≠ 1, Chia hai vế phương trình cho x2 1
đặt
4 41
1
x t
x x
0 t 1 ĐS
1
3
m
(7)
af x g x f x h x Đặt t f x , phương trình trở thành at2 g x t h x 0 Ví dụ: Giải phương trình 2 1 x x2 2x 1 x2 2x 1
HD
Đặt t x2 2x 1 x 1 6
(Phương pháp áp dụng cho phương trình, bất phương trình lượng giác, mũ, logrit,…rất hay!)
Bài tập
Giải phương trình sau:
1 2x2 5x 2 2x3 21x 20
ĐS: 193, 17 73
4
x x
2 x3 3x2 2 x 23 6x 0
Đặt y x2, ĐS: x2, x 2
3 2x2 3x 2 3 x3 8
ĐS: x 3 13
4 2x x 1 x
x x x
Đặt t 1
x
, ĐS:
2
x Dạng 5: (Đặt ẩn phụ với hàm lượng giác)
Khi giải phương trình, bất phương trình lượng giác thường tìm cách đặt ẩn phụ để chuyển phương trình, bất phương trình đại số Tuy nhiên, nhiều trường hợp cách ngược lại tỏ hiệu quả, tính chất hàm lượng giác ta đưa toán đại số toán lượng giác giải tốn lượng giác
Lưu ý vài tính chất bản:
* sina 1, cosa 1 * sin2a cos2a 1
*
2
1 tan
cos
a
a
*
2
1 cot
sin
a
a
Ví dụ 1: Giải phương trình 2
1 1 x 2x
Giải
ĐK x 1 Đặt xcos ,t t0; Khi phương trình trở thành
2 2
1 cos t2 cos t sin tsint 0. Ta tìm được: sint12 Khi
2
cos sin
2
x t t
Nhận xét: * Nếu tốn có tập xác định u x a Ta nghĩ đến cách đặt sin , ; 2
u x a t t
hoặc đặt u x acos ,t t0;
* Nếu u x 0;a ta đặt sin ,2 0;
2
u x a t t
Ví dụ 2: Giải phương trình x3 1 x23 x 2 1 x2
HD: Đặt xcos ,t t0; dưa phương trình lượng giác sintcost 1 sin cos t t sin cost t Để gải
phương trình ta lại đặt usintcos ,t u
ĐS: 2, 2
2
x x
Ví dụ 3: Giải phương trình 1 x2 4x3 3x
ĐS: , 2
4
x x Dạng 6: (Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình)
(8)Đặt una f x v , mb f x Khi ta hệ phương trình sau: ,
n m
F u v
u v a b
Giải hệ tìm u,
v ta lại tìm x Khi tìm x ta giải hai phương trình una f x vmb f x .
Ví dụ 1: Giải phương trình: 3x 6 x 3 3x 6 x ĐS: x0, x3 Ví dụ 2: Giải phương trình: 324 x 12 x 6
ĐS: x24, x88, x3
Ví dụ 3: Giải phương trình: x 417 x 3
ĐS: x1, x16
Ví dụ 4: Giải phương trình: 3 2 3 2
2 x 7x 2 x 7x 3 ĐS: x1, x6 Ví dụ 5: Giải phương trình: x13x 332, đặt u3 x1,v3x 3, pt trở thành:
3
3
2
u v u v
Ví dụ 6: Giải phương trình: 1
2x 2 x , đặt
1
,
2
u x v x
Ví dụ 7: Với giá trị a phương trình: 31 x31x acó nghiệm
Đặt u31 x,v31x Phương trình trở thành:
2 2
a u v uv u v a
TH1: a = hệ phương trình vơ nghiệm
TH2: a0, hệ phương trình trở thành 2
u v a uv a
a
Hệ có nghiệm S2 4P 0 0 a 2
Vậy
phương trình có nghiệm 0a2
* Khi gặp phương trình có dạng fn x b a af xn b
.
Đặt tf x , ynaf x b ta có hệ
n
n
t b ay y b at
Ví dụ 1: Giải phương trình 2x3 1 23 x 1
ĐS: 1,
2
x x
Ví dụ 2: Giải phương trình 2 4
2
x x x
Giải
ĐK x3 2 2 12 1 12 1 1
2 2
x
x x
x x x x
Đặt 1, 1 1 1
2 2
x t t
t x y y Ta hệ phương trình
2
2
1
2 1
2
t y
y t
Giải thêm chút
ta kết quả! ĐS: 17, 13
4
x x
Chú ý: khơng thể sử dụng phương pháp bình phương không nhẩm nghiệm, nên ta phải biến đổi để xuất biểu thức giống từ ta đặt ẩn phụ
Ví dụ 3: Giải phương trình 4x2 7x 1 2 x 2
ĐS: 1, 7,
4
x x x Chú ý: Bài sử dụng phương pháp bình phương.
Bài tập:
Bài 1: Giải phương trình sau:
1 3x 2 x 1 4x 9 3x2 5x 2
x2 x2x2 x
3 x2 x 4 x2 x 1 2x2 2x 9
4 x x 2x
x x x
(9)1 5x2 10x 1 2x x2
324x 12 x6
3 2x2 x2 5x 6 10x 15
2
1
4
x
x x
Bài 3: Giải phương trình sau: 312 x 314 x 2
x1 x 332
3 1 x2 2 13 x2 3
x22 2 x
5 1 2
4
x
x x
(đặt t 1x 1 x) III Phương pháp hàm số
Các tính chất:
Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) khoảng (a;b) phương trình f(x)=k (kR) có khơng q
nghiệm khoảng (a;b)
Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) khoảng (a;b) u, v(a,b) ta có f u( )f v u v Tính chất 3: Nếu hàm f tăng g hàm giảm khoảng (a;b) phương trình f(x)=g(x) có nhiều nghiệm thuộc khoảng (a;b)
Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục đoạn [a;b] tồn F'(x) khoảng (a;b) ca;b:
' F b F a
F c
b a
Khi áp dụng giải phương trình: có F(b) – F(a) =
; : ' '
c a b F c F x
có nghiệm thuộc (a;b)
Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoăc lõm miền D phương trình f(x)=0 khơng có q hai nghiệm thuộc D
Từ tính chất ta có phương án biến đổi sau:
Phương án 1: Biến đổi phương trình dạng: f(x) = k, nhẩm nghiệm chứng minh f(x) đồng biến (nghịch biến) suy phương trình có nghiệm
Phương án 2: Biến đổi phương trình dạng: f(x) = g(x), nhẩm nghiệm dùng lập luận khẳng định f(x) đồng biến g(x) nghịch biến hàm suy phương trình có nghiệm
Phương án 3: Biến đổi phương trình dạng: f(u) = f(v) chứng minh f(x) đơn điệu ta có: u = v Ví dụ: Giải phương trình:
4x1 4x 1
ĐK:
x Đặt f x 4x1 4x2 1 Miền xác định:
x , ' 42
4
x f x
x x
Do hàm số đồng biến với
x , nên phương trình có nghiệm nghiệm Thấy
x nghiệm phương trình
Đối với phương trình chứa tham số ta thực sau:
Xét phương trình f(x,m) = g(m), (1)
B1: Lập luận số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đồ thị (C ): y = f(x,m) đường thẳng
d: y = g(m)
B2: Lập bảng biến thiên cho hàm số y = f(x,m)
B3: Kết luận: * phương trình có nghiệm: minx D f x m , g m maxx D f x m , .
* phương trình có k nghiệm: d cắt (C) k điểm * phương trình vơ nghiệm khi: d khơng cắt (C ) Ví dụ 1: Tìm m để phương trình: x2 x 1 x2 x 1 m
có nghiệm TXĐ: R
Xét hs: y f x x2 x 1 x2 x 1
, Df = R, 2 2
2
'
1
x x
y
x x x x
' 2
2 2
2
0 1 1
2 1 1
x x
y x x x x x x
x x x x x x (v.nghiệm)
(10)Giới hạn:
2
2
2
lim lim
1
2
lim lim
1
x x
x x
x
x x x x
x
x x x x
BBT: x
y’ +
y
1
Vậy phương trình có nghiệm 1 < m <
Chú ý: Trong tốn khơng thực việc xác định giới hạn hàm số, ngộ nhận tập giá trị hàm số R dẩn đến việc kết luận sai lầm phương trình có nghiệm với m Do việc tìm giới hạn toán khảo sát cần thiết để tìm tập giá trị
Ví dụ 2: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: mx x 3m1, ĐK: x3
1
1
x
bpt m
x
, xét hs 2
1
'
1 2 3 1
x x
y y
x x x
' 0 5
y x limx y0 f(3) = 1
2 BBT:
x
y’ +
y y(5)
1
0
Vậy bất phương trình có nghiệm 5
y m m
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình: x x x12m 5 x 4 x có nghiệm Giải: ĐK: 0 x
( 12)
pt x x x x x m xét hs yf x (x x x12) 5 x 4 x Miền xác định: D0; 4
Nhận xét: Hàm số h x x x x12 đồng biến D Hàm số g x 5 x 4 x đồng biến D
Suy y = f(x) = h(x).g(x) hàm đồng biến D Vậy phương trình có nghiệm
0 4
f mf
Ví dụ 4: Biện luận theo m số nghiệm phương trình:
3
x m x
Giải: Phương trình viết lại dạng: 2
x
m x
Số nghiệm phương trình số giao điểm (C): 2
x y
x
đường thẳng: y = m
Lập BBT :
x 1/3
y’ +
y 10
1
1
(11)1 m
m 10: phương trình có nghiệm
1m 10: phương trình có nghiệm phân biệt
Ví dụ 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x1 3 x x1 3 xm, (1) Giải: ĐK: 1 x Đặt t x 1 3 x, lập BBT t(x) với 1 x 3 ta có 2 t Khi phương trình (1) trở thành:
2
t2 + t + = m, lập bảng biến thiên hàm số vế trái với 2 t từ kết luận: 1m
Bài tập:
Bài 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x 9 x x2 9x m
Bài Giải phương trình sau: x2 x 1 x2 x 1 3 1
2 x 1 3 x x 3 x 1
3 x x x12 12 5 x 4 x
B Hệ phương trình - hệ bất phương trình chứa căn. 1 Phương pháp biến đổi tương đương:
Ta thực theo bước sau:
B1: Đặt điều kiện (nếu có)
B2: Biến đổi phương trình – bất phương trình hệ phương trình đơn giản mà ta biết cách giải cách: thế, khử biến
B3: Kết luận (chú ý điều kiện biến đổi tương đương hay hệ quả) Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
2
x y
x y
Giải
Điều kiện: 2
x y
Bình phương vế trừ vế theo vế ta có: x5 y 2 x 2 y5 xy
Thay x = y vào phương trình, giải ta x = y = 11
Ví dụ 2: Giải hệ bất phương trình:
2
x y y x
Giải
Điều kiện: x,y 0.
cộng vế theo vế ta được: 2 x y x y2 x 1 2 y 12 0 x y Ví dụ 3: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm nhất:
1
x y m x xy
2
2
2
2
2 (*)
1
1 , 1, 0
y x m
y x m x
hpt x x m x m x
x
xy x y x x
x
Phải tìm m để (*) có nghiệm thoả: x1,x0 TH1: xét x = 1:
TH2: (*) có nghiệm kép x1: TH3: (*) có nghiệm x1 1 x2:
Chú ý: Có thể dùng đồ thị
2
1
, 1,
x
y x x
x
Ví dụ 4: giải:
2 2
2 2
( ) 185
( ) 65
x xy y x y x xy y x y
(12)Giải: Cộng vế phương trình ta được:
2 2 23 2
2 x y x y 250 x y 125 x y 5 Ví dụ 5: Giải hệ phương trình: 2, 1
1, (2)
x y x y
y x y x
Giải: ĐK: y x ,x y 1 2
4
x
x y x
x y
2 2
4
y
y y x
x y
KQ: 17 5; 12
Bài tập: Giải hệ: phương trình sau:
3 x y y x
2
3
x y xy x y
3
2 3 3
x y x y xy x y 2 420 280
x y xy y x xy
2 2
1
x y x y
x y x y
2 2
2
x y x y
x y x y
2 2 2
x y x y a
x y x y a
(a > 0)
2
2
x y x y
x y x y
9
2 3 3
x y x y y x y x
10 30
35
x y y x x x y y
11 2 1 1 x y y x
Bài 2: Tìm a để hệ phương trình có nghiệm: x y xy a
x y a
Bài Tìm m để hệ phương trình có nghiệm:
x y m
x y m
2 Phương pháp đặt ẩn phụ:
Ta thực theo bước sau:
B1: Điều kiện (nếu có)
B2: Lựa chọn ẩn phụ, tìm đk cho ẩn phụ
B3: Giải hệ nhận được, từ suy nghiệm x, y B4: Kiểm tra tính hợp lệ cho nghiệm từ kết luận Ví dụ 1: Giải hệ bất phương trình:
1 1
3 x y x y
điều kiện: ,x y1 Đặt u 1 x v, 1 y ĐK: ,u v0, hệ biến đổi dạng:
2 2
1 0 1
0 0
3
1 4
2
u v u
u x x
u v u u
Vậy nghịêm hệ cặp nghiệm (x; y) thoả:
2
0
1 1
(13)Ví dụ 2: (ĐH Khối A – 2006) Giải hệ phương trình: ( , )
1
x y xy
x y R
x y
Điều kiện: xy0,x1,y1 Đặt t xy x y 3 t Bình phương phương trình 2, thay ẩn phụ vào,
giải tìm được t = Giải thêm chút xíu ta nghiệm
Bài tập: Giải hệ phương trình sau: 3
9
x y xy
xy
2
2 2 8 2
4
x y xy
x y
3
1 2
x y
x y
4
3
3 4
x y x y x y x y
5
1
3
2
x x y
y x y
y
6 2 2 14
84
x y xy x y xy
`
BỔ SUNG
PHƯƠNG PH P LÁ ƯỢNG GI C HÁ Ố:
1) MỘ T SỐ V DÍ Ụ
Ví dụ 1:Giải phương trình: 1 1 x2 x1 1 x2
Giải:Điều kiện: 1 x 1 Đặt sin , ;
2 2
x t t
Ta được: 3 1 cos sin (1 2cos ) sin sin 2 2 cos 2cos sin
2 2 2
t t t
t t t t t
Vì ; cos 0
2 2 2
t
t
,ta được:
1
2 3 6
sin 2
2 2 1
2
t x
t
x t
Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 1 x25 x5 1.
Giải:Điều kiện:0 x 1 Đặt x=cost với 0
2
t
Ta có sin5t cos52t 1
.
Do sin5t sin ;cos2t 52t cos2t
nên
5
5 2 2
sin cos sin cos 1. 0;
2
t t t t t
bất PT có
http://kinhhoa.violet.vn phương trình: