Đại số lie thu gọn và môđun nửa đơn

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– ĐINH PHÚ HỒNG ĐẠI SỐ LIE THU GỌN VÀ MƠĐUN NỬA ĐƠN Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60.46.01.04 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Đà Nẵng - 2020 Cơng trình hồn thành Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn thạc sĩ Khoa học họp Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN vào ngày tháng năm 2019 Có thể tìm hiểu luận văn : - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng MỤC LỤC Lời nói đầu CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 Đại số Lie đồng cấu Đồng cấu biểu diễn đại số Lie Dạng Killing đại số Lie Đại số Lie lũy linh Đại số Lie giải Đại số Lie đơn đại số Lie nửa đơn CHƯƠNG Môđun nửa đơn đại số Lie thu gọn 12 2.1 Môđun nửa đơn 12 2.1.1 Môđun đại số Lie đồng cấu 12 2.1.2 Môđun đơn môđun nửa đơn 13 2.2 Đại số Lie thu gọn 16 2.2.1 Định nghĩa Tính chất 16 2.2.2 Đại số Lie thu gọn 19 Kết luận 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO 22 LỜI NÓI ĐẦU Một cấu trúc lý thuyết Lie đại số đại đại số Lie, xét không gian véctơ với ánh xạ song tuyến tính phản xứng thỏa đồng thức Jacobi Các lớp đại số Lie tiêu biểu đại số Lie lũy linh, đại số Lie giải được, đại số Lie đơn, đại số Lie nửa đơn, với nhiều đặc trưng thú vị khảo sát mối liên hệ mật thiết với cấu trúc nhóm Lie lý thuyết biểu diễn Đại số Lie g gọi đại số Lie thu gọn (reductive Lie algebra) với idean a g tồn idean b g cho g = a ⊕ b Lớp đại số Lie thực mở rộng lớp đại số Lie nửa đơn đồng với lớp đại số Lie có tâm trùng với radical chúng Hơn nữa, xét đại số Lie thu gọn môđun nửa đơn cảm sinh từ biểu diễn liên hợp chúng Với mong muốn tìm hiểu thêm đại số Lie thu gọn mối liên hệ đại số Lie thu gọn với môđun nửa đơn, với gợi ý PGS TS Trần Đạo Dõng, chọn đề tài "Đại số Lie thu gọn môđun nửa đơn"làm đề tài nghiên cứu cho luận văn 2 CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này, giới thiệu số khái niệm, tính chất đại số Lie biểu diễn liên hợp, đại số Lie đơn, đại số Lie nửa đơn dạng Killing đại số Lie Các nội dung trình bày chương tham khảo từ tài liệu [1], [2], [4], [8] 1.1 Đại số Lie đồng cấu Định nghĩa 1.1.1 Cho g không gian vectơ trường K Khi đó, g gọi đại số Lie trường K tồn phép toán [ , ] : g × g −→ g (A, B) −→ [A, B] cho (1) [ , ] tuyến tính theo biến; (2) [A, A] = 0, ∀A ∈ g; (3) [ , ] thỏa mãn đồng thức Jacobi, tức [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0, ∀A, B, C ∈ g Số chiều không gian vectơ g, kí hiệu dimK (g), gọi số chiều đại số Lie g [ , ] gọi tích Lie Đại số Lie g gọi giao hoán [A, B] = 0, ∀A, B ∈ g Ví dụ 1.1.2 Nhận xét 1.1.3 Định nghĩa 1.1.4 Cho g đại số Lie trường K tập h ⊂ g Khi đó, h gọi đại số Lie g nếu: (1) h khơng gian vectơ g; (2) h bảo tồn tích Lie, tức ∀A, B ∈ h, ta có [A, B] ∈ h 3 Với a, b ⊂ g, kí hiệu [a, b] = {[A, B]|A ∈ a, B ∈ b} ⊂ g không gian vectơ sinh tập hợp {[A, B]|A ∈ a, B ∈ b} Khi đó, điều kiện (2) có dạng [h, h] ⊂ h Ví dụ 1.1.5 Ví dụ 1.1.6 Cho g đại số Lie trường K a khơng gian vectơ g Khi đó: Zg (a) = {X ∈ g | [X, Y ] = 0, ∀Y ∈ a} đại số Lie g, gọi tâm hóa a g Định nghĩa 1.1.7 Cho đại số Lie g a ⊂ g Ta gọi a iđêan g nếu: (1) a không gian vectơ g; (2) [a, g] ⊂ a Nhận xét 1.1.8 Ví dụ 1.1.9 Mệnh đề 1.1.10 Cho a, b iđêan g Khi a ∩ b, a + b, [a, b] iđêan g Hệ 1.1.11 [g, g] iđêan g Mệnh đề 1.1.12 Cho g đại số Lie , a iđêan g Khi khơng gian véctơ thượng g/a = {X + a | X ∈ g} đại số Lie với tích Lie [X + a, Y + a] = [X, Y ] + a Định nghĩa 1.1.13 Đại số Lie g/a mệnh đề 1.1.12 gọi đại số Lie thương đại số Lie g theo iđêan a 1.2 Đồng cấu biểu diễn đại số Lie Định nghĩa 1.2.1 Cho g h đại số Lie trường K Khi đó, ánh xạ ϕ : g −→ h gọi đồng cấu đại số Lie a) ϕ ánh xạ tuyến tính; b) ϕ bảo tồn tích Lie, tức ϕ([X, Y ]) = [ϕ(X), ϕ(Y )], ∀X, Y ∈ g 4 Đồng cấu ϕ gọi đơn (toàn, đẳng) cấu ϕ đơn (toàn, song) ánh Đại số Lie g gọi đẳng cấu với h , ký hiệu g ∼ = h, tồn ϕ : g −→ h đẳng cấu đại số Lie Khi đó, Kerϕ = {X ∈ g|ϕ(X) = 0} gọi nhân ϕ Imϕ = {ϕ(X)|X ∈ g} ảnh ϕ Nhận xét 1.2.2 Định nghĩa 1.2.3 Cho V không gian vectơ hữu hạn chiều g đại số Lie trường K Khi đó, biểu diễn g V đồng cấu đại số Lie π : g → gl(V ), gl(V ) đại số Lie tự đồng cấu tuyến tính V Ví dụ 1.2.4 Mệnh đề 1.2.5 Ký hiệu ad g = {adX | X ∈ g} tập đại số Lie gl(g) Khi đó, ad g đại số Lie gl(g) Ví dụ 1.2.6 Định nghĩa 1.2.7 Cho V khơng gian véc-tơ hữu hạn chiều g đại số Lie trường K Xét biểu diễn ̺ g V W không gian véc-tơ V Khi đó, W gọi bất biến ̺ ̺(X)(W ) ⊂ W với X ∈ g Điều thể công thức sau: ̺: g −→ gl(V ) X −→ ̺(X) : V −→ V W ⊂ V −→ ̺(X)(W ) ⊂ W Định nghĩa 1.2.8 Cho ̺ : g −→ gl(V ) biểu diễn đại số Lie g không gian véc-tơ hữu hạn chiều V Xét W không gian véc-tơ bất biến V Khi đó, ta có biểu diễn g sau: ̺W : g −→ gl(W ) X −→ ̺(X) : W −→ W v −→ ̺(X)(v) ̺∗ : g −→ gl(V /W ) X −→ ̺∗ (X) : V /W −→ V /W v + W −→ ̺(X)(v) + W 5 ̺W ̺∗ gọi biểu diễn biểu diễn thương ̺ Định nghĩa 1.2.9 Biểu diễn ̺ đại số Lie g không gian vectơ V gọi đơn hay bất khả quy V = {0} có khơng gian véc-tơ bất biến {0} V Định nghĩa 1.2.10 Cho V1 , V2 không gian véc-tơ hữu hạn chiều g đại số Lie trường K Xét biểu diễn g V1 V2 ̺1 : g −→ gl(V1 ), ̺2 : g −→ gl(V2 ) Khi đó, ta xác định biểu diễn g lên tổng trực tiếp V = V1 ⊕ V2 không gian vectơ sau: ̺: g −→ gl(V ) X −→ ̺(X) : V −→ V v = v1 + v2 −→ ̺(X)(v) = ̺1 (X)(v1 ) + ̺2 (X)(v2 ) với X ∈ g v1 ∈ V1 , v2 ∈ V2 Biểu diễn ̺ = ̺1 ⊕ ̺2 gọi tổng trực tiếp biểu diễn ̺1 ̺2 Định nghĩa mở rộng cho họ biểu diễn đại số Lie g sau: Định nghĩa 1.2.11 Cho V1 , , Vn n không gian véc-tơ hữu hạn chiều, V = V1 ⊕ ⊕ Vn Gọi ̺i biểu diễn đại số Lie g Vi với i = 1, n Khi ta có biểu diễn ̺ g V xác định ̺ : g −→ gl(V ) X −→ ̺(X) : V −→ V v −→ ̺(X)(v) = ̺1 (X)v1 + + ̺n (X)vn , v = v1 + + Biểu diễn ̺ gọi tổng trực tiếp biểu diễn ̺1 , , ̺n ký hiệu ̺ = ̺1 ⊕ ⊕ ̺n Trong trường hợp ̺1 , , ̺n biểu diễn bất khả quy, biểu diễn ̺ gọi nửa đơn hay khả quy hoàn toàn 1.3 Dạng Killing đại số Lie Định nghĩa 1.3.1 Cho g đại số Lie hữu hạn chiều trường K Khi đó, ánh xạ B : g × g −→ K (X, Y ) −→ B(X, Y ) = Tr(adX ◦ adY ) dạng song tuyến tính g gọi dạng Killing g Từ định nghĩa dạng Killing ta thu số tính chất sau: Mệnh đề 1.3.2 Với X, Y, Z ∈ g, ∀α ∈ K ta có B(X, Y ) = B(Y, X); B(αX, Y ) = αB(X, Y ); B(X + Y, Z) = B(X, Z) + B(Y, Z) Mệnh đề 1.3.3 Với X, Y, Z ∈ g ta có B([X, Y ], Z) = −B(Y, [X, Z]) Mệnh đề 1.3.4 Cho g đại số Lie trường K a iđêan đại số Lie g Đặt a⊥ = {X ∈ g | B(X, Y ) = 0, ∀Y ∈ a} Khi đó, a⊥ iđêan g Một tính chất quan trọng dạng Killing không thay đổi giá trị qua đẳng cấu đại số Lie Điều thể mệnh đề sau: Mệnh đề 1.3.5 Mọi đẳng cấu đại số Lie ϕ : g → g bảo toàn dạng Killing, tức với X, Y ∈ g, ta có B(X, Y ) = B(ϕ(X), ϕ(Y )) Phép chứng minh mệnh đề tham khảo tài liệu [1] Định nghĩa 1.3.6 Cho g đại số Lie hữu hạn chiều B dạng Killing tương ứng Ký hiệu rad B = {X ∈ g | B(X, Y ) = 0, ∀Y ∈ g} Ta có rad B iđêan g Dạng Killing B gọi không suy biến rad B = {0} Ví dụ 1.3.7 1.4 Đại số Lie lũy linh Định nghĩa 1.4.1 Cho g đại số Lie hữu hạn chiều trường K Khi đó, ta định nghĩa g0 = g, g1 = [g0 , g], g2 = [g1 , g], , gk = [gk−1 , g], Dãy giảm g0 ⊇ g1 ⊇ g2 ⊇ ⊇ gk ⊇ gọi chuỗi tâm g Đại số Lie g gọi lũy linh tồn k ∈ N cho gk = 7 Kết cho điều kiện cần đủ đại số Lie lũy linh Mệnh đề 1.4.2 Cho g đại số Lie trường K Khi đó, điều kiện sau tương đương: i) g đại số Lie lũy linh ii) Tồn số nguyên dương l thỏa mãn [[ [[X0 , X1 ], X2 ] , Xl−1 , Xl ] = 0, ∀X0 , X1 , , Xl ∈ g iii) Tồn dãy giảm C g, C g, , C l g iđêan g thỏa mãn C g = g, C l g = 0, [C i g, g] ⊆ C i+1 g, i < l Ví dụ 1.4.3 Mệnh đề 1.4.4 Cho g đại số Lie lũy linh Khi đó, đại số Lie đại số Lie thương g lũy linh Mệnh đề đảo Mệnh đề 1.4.4 nói chung khơng Tuy nhiên, với trường hợp tâm đại số Lie g ta có kết sau Mệnh đề 1.4.5 Cho g đại số Lie lũy linh Khi đó, i) Nếu g đại số Lie khác khơng Z(g) khác ii) Nếu g/Z(g) đại số Lie lũy linh g đại số Lie lũy linh Định nghĩa 1.4.6 Cho V không gian vectơ hữu hạn chiều trường K End V không gian vectơ tự đồng cấu tuyến tính V Khi đó, tự đồng cấu f ∈ End V gọi lũy linh tồn n ∈ N cho f n = f ◦ f ◦ ◦ f = Định lí Engel cho ta mối liên hệ mật thiết đại số Lie tự đồng cấu lũy linh V với đại số Lie ma trận có dạng tam giác với đường chéo khơng Phép chứng minh định lí tham khảo tài liệu [1, Định lý 1.5.9] Định lý 1.4.7 (Định lí Engel) Cho V khơng gian vectơ hữu hạn chiều trường K, g đại số Lie gồm tự đồng cấu lũy linh V Khi đó, i) g lũy linh ii) Tồn phần tử v khác không V cho với X ∈ g, X(v) = iii) Tồn sở V cho ma trận X ∈ g có dạng tam giác ngặt Mệnh đề sau cho thấy vai trò biểu diễn liên hợp việc xác định tính lũy linh đại số Lie Mệnh đề 1.4.8 Cho g đại số Lie Xét ad g = {adX | X ∈ g} Khi đó, g đại số Lie lũy linh đại số Lie ad g lũy linh Từ định lí Engel mệnh đề ta thu điều kiện cần đủ cho đại số Lie lũy linh Mệnh đề 1.4.9 Cho g đại số Lie hữu hạn chiều Khi đó, g lũy linh adX lũy linh với X ∈ g Ví dụ 1.4.10 1.5 Đại số Lie giải Định nghĩa 1.5.1 Cho g đại số Lie hữu hạn chiều trường K Đặt g0 = g, g1 = [g, g], , gk+1 = [gk , gk ], Ta có dãy giảm g0 ⊃ g1 ⊃ ⊃ gk ⊃ gọi chuỗi hoán tử g Khi đó, g gọi giải ∃k ∈ N : gk = {0} Ví dụ 1.5.2 Bằng phép chứng minh qui nạp ta có tính chất sau: Mệnh đề 1.5.3 Cho g đại số Lie hữu hạn chiều Với k ∈ N ta có gk ⊆ gk Từ Mệnh đề 1.5.3 ta suy rằng: Nếu g đại số Lie lũy linh g giải Mệnh đề 1.5.4 Cho ϕ : g → h toàn cấu đại số Lie Khi đó, ϕ(gk ) = hk , ∀k ∈ N 9 Hệ 1.5.5 Nếu g đại số Lie giải ϕ : g → h đồng cấu đại số Lie ϕ(g) đại số Lie giải Các mệnh đề sau cho ta số tính chất đại số Lie giải Mệnh đề 1.5.6 Cho g đại số lie giải Khi đó, đại số Lie con, đại số Lie thương g giải Mệnh đề 1.5.7 Cho g đại số Lie Nếu a iđêan giải g cho g/a giải g giải Định lí cho tiêu chuẩn để kiểm tra tính giải Phép chứng minh định lí tham khảo tài liệu [3, Theorem 1.43] Định lý 1.5.8 (Tiêu chuẩn Cartan thứ nhất) Cho g đại số Lie hữu hạn chiều trường K (K ⊂ C) Khi đó, g đại số Lie giải với X ∈ g, Y ∈ [g, g] ta có B(X, Y ) = hay B(g, [g, g]) = Ví dụ 1.5.9 Mệnh đề 1.5.10 Cho g đại số Lie hữu hạn chiều Khi tồn iđêan giải r g chứa tất iđêan giải khác Ký hiệu r = rad(g) gọi g Nhận xét 1.5.11 Định lý 1.5.12 Giả sử K trường đóng đại số với đặc số Cho g đại số Lie giải gl(V ), với V không gian véc-tơ hữu hạn chiều Khi đó, V = {0}, ta có V chứa véc-tơ riêng cho tự đồng cấu X g 1.6 Đại số Lie đơn đại số Lie nửa đơn Định nghĩa 1.6.1 Cho g đại số Lie hữu hạn chiều trường K a) g gọi đơn g khơng giao hốn không tồn iđêan khác không thực g b) g gọi nửa đơn g khơng có iđêan giải khác khơng nào, tức rad(g) = {0} Nhận xét 1.6.2 10 Kết cho thấy từ đại số Lie hữu hạn chiều ta thu đại số Lie nửa đơn dạng đại số Lie thương Mệnh đề 1.6.3 Cho g đại số Lie hữu hạn chiều Khi đó, g/ rad(g) nửa đơn Đối với đại số Lie số chiều thấp, ta có mối liên hệ đại số Lie đơn đại số Lie giải thể mệnh đề sau: Mệnh đề 1.6.4 Mỗi đại số Lie 3-chiều đơn giải Ví dụ 1.6.5 Định lí cho tiêu chuẩn để kiểm tra tính nửa đơn Phép chứng minh định lí tham khảo tài liệu [1, Định lí 1.6.15] Định lý 1.6.6 (Tiêu chuẩn Cartan thứ hai) Đại số Lie g nửa đơn dạng Killing g khơng suy biến Ví dụ 1.6.7 Định lí cho mối liên hệ đại số Lie đơn đại số Lie nửa đơn Về phép chứng minh định lí tham khảo tài liệu [1, Định lí 1.6.17] Định lý 1.6.8 Đại số Lie hữu hạn chiều g nửa đơn g = g1 ⊕ g2 ⊕ ⊕ gn , g1 , g2 , , gn đại số Lie đơn Hệ 1.6.9 Cho g đại số Lie nửa đơn trường K Khi đó, ta có [g, g] = g Giả sử a iđêan g đặt a⊥ = {X ∈ g | B(X, Y ) = 0, ∀Y ∈ a} Ta suy a⊥ iđêan g g=a ⊕ a⊥ Định lý tính chất quan trọng đại số Lie nửa đơn Định lý 1.6.10 ([5], Theorem 1.6.9) Cho g đại số Lie hữu hạn chiều r g Khi đó, tồn đại số Lie nửa đơn h cho g = h ⊕ r Cho g đại số Lie xét biểu diễn ̺ : g −→ gl(V ) g không gian vectơ V Ta có định nghĩa sau 11 Định nghĩa 1.6.11 a) Cho g đại số Lie Phần tử X đại số Lie g gọi nửa đơn (t.ư lũy linh) ̺(X) tự đồng cấu nửa đơn (t.ư lũy linh) biểu diễn (V, ̺) g b) Phân tích X = Xs + Xn gọi khai triển Jordan X ∈ g ta có ̺(X) = ̺(Xs ) + ̺(Xn ) khai triển Jordan tự đồng cấu ̺(X) biểu diễn (V, ̺) g Nhận xét 1.6.12 Định lý 1.6.13 Cho g đại số Lie nửa đơn Khi đó, phần tử đại số Lie g có khai triển Jordan; nữa, X = Xs +Xn khai triển Jordan X ̺(X) = ̺(Xs )+̺(Xn ) khai triển Jordan ̺(X) biểu diễn đơn ánh (V, ̺) Từ định lý suy phần tử X đại số Lie nửa đơn g nửa đơn (t.ư lũy linh) tự đồng cấu adX nửa đơn (t.ư lũy linh) Hơn nữa, ta có kết sau cho đại số Lie giao hoán Mệnh đề 1.6.14 Một đại số Lie h đại số Lie g giao hoán adX nửa đơn với X ∈ h Đặc biệt, đại số Lie g giao hoán phần tử g nửa đơn 12 CHƯƠNG MÔĐUN NỬA ĐƠN VÀ ĐẠI SỐ LIE THU GỌN Trong chương này, trình bày mơđun nửa đơn đại số Lie, đại số Lie thu gọn thể số đặc trưng đại số Lie thu gọn theo ngôn ngữ mơđun nửa đơn Các nội dung trình bày chương tham khảo từ tài liệu [4], [5], [6], [9] 2.1 Môđun nửa đơn 2.1.1 Môđun đại số Lie đồng cấu Cho g đại số Lie V không gian từ vectơ hữu hạn chiều trường K Theo mục 1.2 chương 1, xét đến đồng cấu đại số Lie từ g vào đại số Lie gl(V ) tự đồng cấu tuyến tính khơng gian vectơ V, gọi biểu diễn đại số Lie g V Khi đó, với biểu diễn đại số Lie g không gian vectơ V, xét V mơđun đại số Lie g theo định nghĩa Định nghĩa 2.1.1 Cho g đại số Lie V không gian từ vectơ hữu hạn chiều trường K Không gian véc tơ V với phép tốn g × V −→ V, (X, v) −→ X.v gọi môđun đại số Lie g (hay g-môđun) điều kiện sau thỏa mãn với X, Y ∈ g; v, w ∈ V ; a, b ∈ K : (i) (aX + bY ).v = a(X.v) + b(Y.v); (ii) X(av + bw) = a(X.v) + b(X.w); (iii) [X, Y ].v = X.(Y.v) − Y.(X.v) Phép toán định nghĩa gọi phép nhân (hay tác động) đại số Lie g không gian vectơ V Để đơn giản, với X ∈ g; v ∈ V, ta thường ký hiệu Xv thay cho X.v Nhận xét 2.1.2 Mỗi g-môđun V xác định biểu diễn ̺ : g −→ gl(V ) theo công thức ρ(X)(v) = XV (v) = X.v, với X ∈ g, v ∈ V Đảo lại, cho 13 ̺ : g −→ gl(V ) biểu diễn đại số Lie g không gian vectơ V Khi đó, xét V g-mơđun với phép tốn nhân ngồi cho X.v = ̺(X)(v), với X ∈ g, v ∈ V Nói cách khác, lớp g-mơđun V có tương ứng 1-1 với lớp biểu diễn ̺ : g −→ gl(V ) đại số Lie g V Ta thường ký hiệu (V, ̺) cho g-môđun V xác định biểu diễn ̺ g Định nghĩa 2.1.3 Cho W ⊂ V không gian vectơ g-mơđun V Khi đó, W gọi g-mơđun V W bảo tồn phép tốn nhân ngoài, tức X.u ∈ W, ∀X ∈ g, u ∈ W Trong trường hợp W g-môđun g-môđun V , không gian véctơ thương V /W với phép toán X.(v + W ) = X.v + W g-môđun, gọi g-môđun thương V theo g-môđun W Nhận xét 2.1.4 Nhận xét 2.1.5 Cho g đại số Lie ad : g −→ gl(g) biểu diễn liên hợp g Khi đó, xét g g-mơđun qua tác động liên hợp X.Y = adX (Y ) = [X, Y ], ∀X, Y ∈ g Hơn nữa, tập I ⊂ g g-môđun môđun g I iđêan đại số Lie g Ngoài ra, biểu diễn liên hợp ad đơn cấu, ta xét g adg-môđun qua việc đồng g với đại số Lie adg Định nghĩa 2.1.6 1) Cho g đại số Lie, V W gmôđun Một đồng cấu g-môđun định nghĩa ánh xạ tuyến tính f : V −→ W cho f (X.v) = X.f (v), ∀X ∈ g, v ∈ V Trường hợp đồng cấu g-môđun f song ánh, ta nói f đẳng cấu g-mơđun 2) Hai g-mơđun V W gọi đẳng cấu, ký hiệu V ∼ = W , tồn đẳng cấu g-môđun f : V −→ W Nhận xét 2.1.7 Cho f : V −→ W đồng cấu g-môđun Khi đó, hạt nhân Kerf g-mơđun g-môđun V ảnh Imf g-môđun g-môđun W 2.1.2 Môđun đơn môđun nửa đơn Định nghĩa 2.1.8 14 1) g-môđun V gọi đơn (hay bất khả quy) V có hai g-môđun {0} V 2) Cho g-mơđun V1 , V2 , , Vn Khi đó, không gian vectơ tổng trực tiếp V = V1 ⊕ V2 ⊕ ⊕ Vn với phép toán X.(v1 , v2 , , ) = (X.v1 , X.v2 , , X.vn ), với X ∈ g, vi ∈ Vi , i = 1, 2, , n lập thành g-môđun, gọi g-môđun tổng trực tiếp g-môđun V1 , V2 , , Vn 3) g-môđun V gọi nửa đơn (hay khả quy hồn tồn) gmơđun V tổng trực tiếp g-môđun đơn Bổ đề 2.1.9 ([4], Lemma 8.4) Cho V g-môđun hữu hạn chiều Khi đó, V g-mơđun nửa đơn g-mơđun W V có phần bù V , tức tồn g-môđun W ′ V cho V = W ⊕ W ′ Bổ đề 2.1.10 ([9], lemma 3.3) Cho V W g-môđun đơn, ψ : V → W đồng cấu g-mơđun Khi đó, ψ đẳng cấu ψ = Định nghĩa 2.1.11 Cho V g-môđun xác định đồng cấu đại số Lie ̺ : g → gl(V ) Khi đó, g-mơđun V gọi trung thành đồng cấu ̺ đơn cấu Bổ đề 2.1.12 ([4], Lemma 8.5) Cho g đại số Lie đơn V g-mơđun Khi đó, V g-môđun trung thành X.v = 0, ∀X ∈ g, v ∈ V Nhận xét 2.1.13 Xét g đại số Lie nửa đơn β dạng song tuyến tính, đối xứng, khơng suy biến g Khi đó, {X1 , , Xn } sở g tồn sở {Y1 , , Yn } g cho β(Xi , Yj ) = δij Cơ sở {Y1 , , Yn } gọi sở đối ngẫu sở {X1 , , Xn } g tương ứng với dạng song tuyến tính β Định nghĩa 2.1.14 Cho g đại số Lie nửa đơn n-chiều, V g-môđun trung thành ̺ : g −→ gl(V ) đơn cấu tương ứng Xét dạng song tuyến tính đối xứng βV (X, Y ) := T r(̺(X)̺(Y )), 15 với ̺(X)̺(Y ) ký hiệu hợp thành tự đồng cấu ̺(X) ̺(Y ) Do g nửa đơn nên β không suy biến Cố định sở {X1 , , Xn } g xét sở đối ngẫu {Y1 , , Yn } tương ứng với βV (tồn theo nhận xét trên) Khi đó, n CV := ̺(Xi )̺(Yi ) i=1 tự đồng cấu tuyến tính V gọi phần tử Casimir g-môđun V Bổ đề 2.1.15 Cho g đại số Lie nửa đơn n-chiều, V g-môđun trung thành ứng với đơn cấu ̺ : g −→ gl(V ) Khi đó, phần tử Casimir CV V giao hoán với tự đồng cấu ̺(X), X ∈ g Bổ đề 2.1.16 (Bổ đề Schur) Cho V g-môđun đơn ứng với biểu diễn ̺ : g −→ gl(V ) Khi đó, tự đồng cấu V giao hoán với đồng cấu ̺(X), X ∈ g tốn tử vơ hướng Hệ 2.1.17 Cho g đại số Lie V g-mơđun đơn hữu hạn chiều Khi đó, ta có T rCV = dimg Hơn nữa, CV = λId tốn tử vơ hướng V , với λ = dimg/dimV Ký hiệu sl(V ) đại số Lie gồm tự đồng cấu tuyến tính V có vết khơng Ta có kết sau Bổ đề 2.1.18 Cho g đại số Lie nửa đơn V g-môđun hữu hạn chiều ứng với biểu diễn ̺ : g −→ gl(V ) Khi ̺(g) ⊂ sl(V ) Đặc biệt, g tác động tầm thường lên g-môđun chiều Bây chứng tỏ môđun đại số Lie nửa đơn môđun nửa đơn Định lý 2.1.19 (Định lý Weyl) Cho g đại số Lie nửa đơn V g-môđun hữu hạn chiều Khi đó, V g-mơđun nửa đơn Hệ 2.1.20 Cho g đại số Lie nửa đơn a đại số Lie giao hoán Xét (V, ̺) biểu diễn hữu hạn chiều đại số Lie tổng trực tiếp g ⊕ a Khi đó, điều kiện sau tương đương: (i) (V, ̺) g-môđun nửa đơn (ii) Với A ∈ a, AV = ̺(A) tự đồng cấu nửa đơn 16 2.2 Đại số Lie thu gọn 2.2.1 Định nghĩa Tính chất Định nghĩa 2.2.1 Đại số Lie g gọi đại số Lie thu gọn (reductive Lie algebra) với iđêan a g tồn iđêan b g cho g = a ⊕ b Nói cách khác, đại số Lie g đại số Lie thu gọn g xét g-môđun qua biểu diễn liên hợp nửa đơn Nhận xét 2.2.2 Kết cho thấy đại số Lie thu gọn xác định từ đại số Lie nửa đơn đại số Lie giao hoán Định lý 2.2.3 Tổng trực tiếp đại số Lie nửa đơn đại số Lie giao hoán đại số Lie thu gọn Định lý 2.2.4 Mỗi đại số Lie thu gọn g có dạng g = [g, g] ⊕ Z(g), [g, g] iđêan nửa đơn Z(g) tâm đại số Lie g Như vậy, từ phép chứng minh định lý suy đại số Lie thu gọn g tổng trực tiếp iđêan đơn Z(g) = {0} Nói cách khác, ta có hệ quả: Hệ 2.2.5 Mỗi đại số Lie thu gọn g nửa đơn tâm Z(g) g không Bây giờ, xét lớp đại số Lie thu gọn đại số Lie nửa đơn, lớp đại số Lie thực gồm ma trận có hệ số trường số thực R trường số phức C, gọi đại số Lie ma trận cổ điển Định lý cho điều kiện đủ để đại số Lie thực nêu đại số Lie thu gọn Định lý 2.2.6 Cho g đại số Lie thực gồm ma trận có hệ số R C cho g ổn định qua phép toán lấy chuyển vị ma trận liên hợp, tức X ∗ = t (xij )n ∈ g, với X = (xij )n ∈ g Khi g đại số Lie thu gọn Nhận xét 2.2.7 Định nghĩa 2.2.8 Cho ̺ biểu diễn g V Dãy (V0 , V1 , , Vn ) g-môđun V cho V = V0 ⊃ V1 ⊃ ⊃ Vn = {0} gọi dãy hợp thành g-môđun V Dãy hợp thành 17 (V0 , V1 , , Vn ) cho g-môđun Vi /Vi+1 (0 ≤ i < n) đơn gọi dãy Jordan-Holder Nhận xét 2.2.9 Nếu (V0 , V1 , , Vn ) (V0′ , V1′ , , Vp′ ) dãy JordanHolder V p = n tồn hoán vị σ {0, 1, , n − 1} ′ /V ′ cho hai g-môđun Vi /Vi+1 Vσ(i) σ(i)+1 đẳng cấu (với ≤ i < n) Bổ đề 2.2.10 Cho a ideal g, V không gian vectơ hữu hạn chiều ̺ biểu diễn đơn g V cho phần tử ̺(a) lũy linh Khi ̺(a) = Bổ đề 2.2.11 Cho a ideal g, V không gian vectơ hữu hạn chiều, ̺ biểu diễn đơn g V (V0 , V1 , , Vn ) dãy Jordan-Holder g-mơđun V Khi đó, điều kiện sau tương đương: (i) Với X ∈ a, ̺(X) lũy linh (ii) Với X ∈ a, ta có: ̺(X)(V0 ) ⊂ V1 , ̺(X)(V1 ) ⊂ V2 , , ̺(X)(Vn−1 ) ⊂ Vn Mệnh đề 2.2.12 Cho V không gian vectơ hữu hạn chiều, ̺ biểu diễn đơn g V , βV dạng song tuyến tính kết hợp với ̺ Khi đó: (i) Trong số ideal a g cho ̺(X) lũy linh với X ∈ a, tồn ideal chứa tất iđêan lại, ký hiệu n (ii) Nếu (V0 , V1 , , Vn ) dãy Jordan-Holder g-modun V ̺i biểu diễn g Vi /Vi+1 cảm sinh từ ̺, ta có n = Ker̺0 ∩ Ker̺1 ∩ ∩ Ker̺n−1 (iii) Iđêan n trực giao với g theo dạng song tuyến tính βV Định nghĩa 2.2.13 Iđêan n mệnh đề gọi iđêan có tính lũy linh lớn g-môđun V (hay biểu diễn ̺) Mệnh đề 2.2.14 Cho n iđêan có tính lũy linh lớn biểu diễn liên hợp g Khi đó, n ideal lũy linh lớn g Hơn nữa, n trực giao với g ứng với dạng Killing g 18 Từ định lý 2.2.3 định lý 2.2.4 ta suy đại số Lie g thu gọn g tổng trực tiếp đại số Lie nửa đơn đại số Lie giao hoán Bây tìm hiểu thêm số đặc trưng khác đại số Lie thu gọn liên quan đến môđun nửa đơn, lũy linh đại số Lie Trước hết, xét mệnh đề sau Mệnh đề 2.2.15 Đại số Lie g đại số Lie thu gọn tồn g-môđun nửa đơn trung thành Mệnh đề 2.2.16 ([5], Proposition 1.7.1) Cho g đại số Lie r g Ký hiệu a1 giao hạt nhân biểu diễn đơn hữu hạn chiều đại số Lie g a2 giao iđêan có tính lũy linh lớn g-mơđun hữu hạn chiều Khi đó: (i) a1 = a2 = [g, g] ∩ r = [g, r] (ii) Iđêan a1 lũy linh (iii) Đặc biệt, đại số Lie g giải được, ta có [g, g] lũy linh Định nghĩa 2.2.17 Iđêan s = a1 mệnh đề gọi lũy linh đại số Lie g Trong trường hợp g đại số Lie giải được, ta có s = [g, g] Định lý 2.2.18 Cho g đại số Lie, r s lũy linh g Khi đó, mệnh đề sau tương đương: (1) g adg-môđun nửa đơn (2) g tổng trực tiếp đại số Lie nửa đơn đại số Lie giao hoán (3) Tồn g-môđun V hữu hạn chiều cho dạng song tuyến tính đối xứng tương ứng βV khơng suy biến (4) Tồn g-môđun trung thành nửa đơn hữu hạn chiều (5) s = (6) r tâm g 19 2.2.2 Đại số Lie thu gọn Định nghĩa 2.2.19 Cho h đại số Lie g Ta nói h thu gọn g biểu diễn X −→ adX h nửa đơn Khi đó, biểu diễn X −→ adX h nửa đơn h đại số Lie thu gọn Mệnh đề 2.2.20 Giả sử g nửa đơn Cho B dạng Killing g m đại số Lie g thỏa mãn điều kiện sau: (a) B |m × m không suy biến (b) Nếu X ∈ m, thành phần nửa đơn lũy linh X tương ứng với g thuộc vào m Khi m thu gọn g Mệnh đề 2.2.21 Giả sử g nửa đơn Cho a đại số Lie g cho a thu gọn g, m tâm hóa a g B dạng Killing g Khi ta có: (i) Thu hẹp B lên m không suy biến (ii) Nếu X ∈ m, thành phẩn nửa đơn lũy linh X tương ứng với g thuộc vào m (iii) Đại số Lie m thu gọn g (iv) g = m ⊕ [a, g] [a, g] không gian trực giao m Mệnh đề 2.2.22 Cho g đại số Lie trường B (V1 , ̺1 ), (V2 , ̺2 ) g-môđun nửa đơn hữu hạn chiều g Khi (V, ̺1 ⊗ ̺2 ) g-môđun nửa đơn Mệnh đề 2.2.23 Giả sử h đại số Lie g đồng thời thu gọn g, ̺ biểu diễn g V (i) Cho W tổng môđun đơn hữu hạn chiều h Khi W môđun đơn g V (ii) Nếu ̺ nửa đơn hữu hạn chiều, ta có ̺|h nửa đơn Mệnh đề 2.2.24 Cho a đại số Lie giao hoán, b đại số Lie nửa đơn, g = a ⊕ b, A ∈ a, B ∈ b X = A + B ∈ g (a) Các điều kiện sau tương đương: (i) B nửa đơn b; 20 (ii) Tồn g-môđun trung thành nửa đơn hữu hạn chiều (V, ̺) cho XV = ̺(X) nửa đơn (iii) Với g-môđun nửa đơn hữu hạn chiều (V ′ , ̺′ ), ta có XV ′ = ̺′ (X) nửa đơn (b) Các điều kiện sau tương đương : (i) A = B lũy linh b; (ii) Tồn g-môđun trung thành nửa đơn, hữu hạn chiều (V, ̺) cho XV = ̺(X) lũy linh; (iii) Với g-môđun nửa đơn hữu hạn chiều (V ′ , ̺′ ), ta có XV ′ = ̺′ (X) lũy linh Định nghĩa 2.2.25 Trong đại số Lie thu gọn g, phần tử X gọi nửa đơn (tương ứng lũy linh) X thỏa mãn điều kiện tương đương (a) (tương ứng (b)) mệnh đề 2.2.24 Trường hợp X ∈ g có dạng phân tích X = S + N, với S nửa đơn, N lũy linh cho [S, N ] = 0, ta gọi S N thành phần nửa đơn thành phần lũy linh X Mệnh đề 2.2.26 Cho g đại số Lie thu gọn, h đại số Lie g đồng thời thu gọn g, X ∈ h Y (hoặc Z ) thành phần nửa đơn (hoặc lũy linh) X h Khi Y (hoặc Z ) thành phần nửa đơn (hoặc lũy linh) X g 21 KẾT LUẬN Trong luận văn này, chúng tơi tập trung tìm hiểu môđun nửa đơn, lớp đại số Lie thu gọn đại số Lie thu gọn thể qua việc tổng quan, làm rõ số kết môđun nửa đơn, đại số Lie thu gọn đặc trưng chúng mối liên hệ với môđun nưa đơn đại số Lie cảm sinh từ biểu diễn liên hợp Các kết luận văn sau: 1) Trình bày khái niệm mơđun đại số Lie thể tường minh định lý Weyl số định lý khác theo ngôn ngữ mơđun 2) Trình bày khái niệm kết liên quan đến đại số Lie thu gọn, đồng thời khảo sát lớp đại số Lie thu gọn 3) Làm rõ mối liên hệ lớp đại số Lie thu gọn môđun nửa đơn đại số Lie thông qua đặc trưng đại số Lie thu gọn Các kết đạt luận văn khiêm tốn góp phần giúp thân hiểu thêm đại số Lie thu gọn môđun nửa đơn Mặc dù cố gắng nhiều trình làm luận văn, nhiên thời gian lực hạn chế nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Do đó, mong quý thầy cô bạn đọc góp ý để luận văn hồn thiện Xin chân thành cảm ơn! 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Trần Đạo Dõng (2017), Đại số Lie nhóm Lie, Bài giảng sau đại học, Đại học Huế [2] Trương Công Quỳnh, Lê Văn Thuyết (2013), Giáo trình Lý thuyết Vành Mơđun, Nhà xuất Đại học Huế Tiếng Anh [3] E P Van den Ban (2010), Lie Groups, Lecture Notesian, University of Utrecht, Holland [4] G Bellamy (2016), Lie Groups, Lie Algebras and their Representations, Lecture Notes, University of Glasgow, UK [5] J Dixmier (1996), Enveloping Algebras, Graduate Studies in Mathematics, Volume 11, AMS [6] J E Humphreys (1980), Introduction to Lie algebras and representation theory, Springer- Verlag New York Heidelberg Berlin [7] A Kirillov (2008), An introduction to Lie Groups and Lie Algebras, Lecture Notes in Math., Cambridge University Press, New York [8] A W Knapp (2002), Lie Groups beyond an introduction, Progress in Math, New York [9] J.S Milne (2013), Lie Algebras, Algebraic Groups and Lie Groups, Lecture Notes, University of Michigan, USA [10] A Shrestha (2011), Representations of Semisimple Lie Algebras, Research Project, Preprint, 1-15  ... ta suy đại số Lie g thu gọn g tổng trực tiếp đại số Lie nửa đơn đại số Lie giao hốn Bây tìm hiểu thêm số đặc trưng khác đại số Lie thu gọn liên quan đến môđun nửa đơn, lũy linh đại số Lie Trước... Nói cách khác, đại số Lie g đại số Lie thu gọn g xét g -môđun qua biểu diễn liên hợp nửa đơn Nhận xét 2.2.2 Kết cho thấy đại số Lie thu gọn xác định từ đại số Lie nửa đơn đại số Lie giao hoán Định... nửa đơn với X ∈ h Đặc biệt, đại số Lie g giao hoán phần tử g nửa đơn 12 CHƯƠNG MÔĐUN NỬA ĐƠN VÀ ĐẠI SỐ LIE THU GỌN Trong chương này, chúng tơi trình bày mơđun nửa đơn đại số Lie, đại số Lie thu