T«i thÊy häc sinh lÜnh héi kiÕn thøc mét c¸ch tho¶i m¸i, râ rµng, cã hÖ thèng.[r]
(1)A Đặt vấn đề:
Giá trị tuyệt đối số phạm trù kiến thức hẹp, tơng đối trừu tợng Đây vấn đề mà học sinh đợc học chơng trình lớp (đối với số nguyên) tiếp tục đợc học lớp (đối với số thực) nhng vấn đề đơn giản học sinh Khi gặp tốn có giá trị tuyệt đối khơng học sinh lúng túng khơng biết phải đâu đặc biệt xoay sở Điều dễ hiểu đợc học phần lý thuết song số tập để củng cố để khắc sâu, để bao qt hết dạng lại khơng nhiều, khơng có sức thuyết phục để lôi kéo hăng say học tập học sinh
Qua giảng dạy phần “Giá trị tuyệt đối số” tự rút số vấn đề trọng tâm sau:
1 Một số vấn đề lý thuyết liên quan đến giá trị tuyệt đối Phơng pháp giải tốn có chứa giá trị tuyệt đối Một số dạng toán giá trị tuyệt đối
4 Một số tốn có liên quan đến giá trị tuyệt đối
Để học sinh nắm bắt đợc kiến thức cách chặt chẽ lơ gíc, giúp học sinh có khiếu nâng cao kiến thức cách có hệ thống theo chơng trình đợc tiếp thu lớp học hàng ngày
B Néi dung:
I Một số vấn đề lý thuyết liên quan đến giá trị tuyệt đối.
Trớc đa dạng toán giá trị tuyệt phơng pháp giải giáo viên phải cho học sinh hiểu sâu sắc nhớ đợc định nghĩa giá trị tuyệt đối, từ định nghĩa suy số tính chất để vận dụng vào làm tập
1 Định nghĩa:
Với a R a = a nÕu a - a nÕu a 2 TÝnh chÊt:
Từ định nghĩa suy tính chất sau: * a = < = > a =
* a = - a víi a R
* a víi a R DÊu “=” x¶y < = > a =
* a a víi a R DÊu “=” x¶y < = > a
* a - a víi a R DÊu “=” x¶y < = > a
* a +b a +b víi a,b R
DÊu “=” x¶y < = > ab
II Phơng pháp giải tốn có chứa giá trị tuyệt đối.
(2)khơng cịn chứa dấu giá trị tuyệt đối để tiến hành phép tính đại số quen thuộc
III Một số dạng toán giá trị tuyệt đối số. 1 Dạng 1: Tính giá trị biểu thức:
Đối với dạng toán giáo viên phải cho học sinh thấy đợc giống khác tốn tính giá trị biểu thức đơn với toán tính giá trị biểu thức có dấu giá trị tuyt i
a Ví dụ 1: Tính giá trị biÓu thøc.
A = 3x2 - 2x + với x = x = x = -2 từ có giá trị biu
thức A tơng ứng Bài giải:
Vì x = => x = x = -2
* Víi x = ta cã : A = 3.22 - 2.2 + = 9.
* Víi x = -2 ta cã : A = 3.(-2)2 - 2.(-2) + = 17.
VËy víi x = th× : A = 9; A = 17 b Ví dụ 2: Tìm giá trị biÓu thøc.
B = x - 2 - 1- x t¹i x =
Đối với toán học sinh phải biết thay x = vào biểu thức B sau bỏ giá trị tuyệt đối để tính giá trị biểu thức B
Bài giải:
Với x = ta có:
B = 4 - 2 - 1 - 4 = 2.2 - 3.3 = -
2 Dạng 2: Rút gọn biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Đối với dạng toán giáo viên cần khắc sâu cho học sinh: Giá trị tuyệt đối biểu thức (nếu biểu thức không âm) biểu thức đối (nếu biểu thức âm) Vì bỏ dấu giá trị tuyệt đối biểu thức cần xét giá trị biến làm cho biểu thức dơng hay âm Dấu biểu thức thờng đợc viết bảng xét dấu
a VÝ dơ 1: Rót gän biÓu thøc A = 3(2x - 3) - x - 8
ở toán bỏ dấu giá trị tuyệt đối cần phải xét trờng hợp biến x làm cho x - 0; x - <
x - 8 = x - víi x - 0; <=> x
- (x -8) = - x + víi x - < <=> x <8 * Víi x th× A = 3(2x - 3) - (x - 8)
(3)* Víi x < th×:
A = 3(2x - 3) - (-x + 8) = 6x - + x - = 7x - 17 VËy A = 5x - nÕu x
7x - 17 nÕu x <
3 Dạng 3: Tìm giá trị biến đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt i.
ở dạng giáo viên cần lu ý cho học sinh dạng sau: 3.1 f(x) = a (a 0) < => f(x) = a
f(x) = - a 3.2 f (x) = g(x) <= > f(x) = g(x)
f(x) = - g(x) 3.3 f(x) + g(x) = a
Ph¶i xÐt trờng hợp:
* f(x) f(x) = f(x) * f (x) < th× f(x) = - f(x) 3.4 f(x) + g(x) = a
ở dạng phải lập bảng xét dấu để xét hết trờng hợp xảy (lu ý học sinh số trờng hợp xảy số biểu thức chứa đấu giá trị tuyệt đối cộng thêm 1)
a VÝ dơ 1: T×m x biÕt: 2x - 1 = 3. Bài toán thuộc dạng 3.1
Cách giải: 2x - 1 =
=> 2x - = = > 2x = = > x = 2x - = - 2x = - x = -1 VËy x - 1;
b VÝ dơ 2: T×m x biÕt: x - 3,5 = 4,5 - x Bài toán thuộc dạng 3.2
Cách giải:
x - 3,5 = 4,5 - x
=> x - 3,5 = 4,5 - x => x + x = 4,5 +3,5 x - 3,5 = x - 4,5 x - x = - 4,5 + 3,5 => 2x = => x =
ox = -1,5 v« lý VËy x =
(4)Bài toán thuộc dạng 3.3 Cách giải.
x - + x - = (1) XÐt trêng hỵp
* NÕu x - < => x th× x - 7 = x - Tõ (1) => x - + x - =
= > 2x - 12 = => 2x = 15
=> x = 7,5 > Thoả mÃn điều kiện * Nếu x - < < => x < th× x - 7 = - x Tõ (1) = > - x + x - =
=> ox + = => ox = v« lý VËy: x = 7,5
d VÝ dô 4: T×m x biÕt: x - 3 + 4 - x = 6.
4 Dạng 4: Tìm giá trị biến bất đẳng thức có chứa giá trị tuyt i.
ở dạng giáo viên lu ý quy t¾c sau: f(x) = f(x) nÕu f(x)
- f(x) nÕu f(x) <
Sau lần lợt giải tìm giá trị biến bất đẳng thức khơng cịn chứa dấu giá trị tuyệt đối cuối tổng hợp kết đạt đợc để có tồn giá trị biến
a VÝ dơ 1: T×m x biÕt: 3x - 2 < (1).
ë d¹ng cần vận dụng với a số dơng
NÕu f(x) < a th× - a < f(x) < a; (f(x) (Nằm khoảng) Cách giải:
Cách 1: 3x - 2 < 4.
<= > - < 3x - < < <= > - < 3x <
< => -
< x <
C¸ch 2: 3x - 2 = 3x - nÕu x Error! Not a valid link - 3x + nÕu x <
(5)* NÕu x (*)
th× (1) trë thµnh 3x - < => x < (**)
Tõ (*) (**) =>
x < (2)
* NÕu x < (3)
th× (1) trë thµnh - 3x + < <=> x > -
(4)
Tõ (3) vµ (4) => -
< x <
(5)
Tõ (2), (5) => -
< x <
b VÝ dơ 2: T×m x biÕt x + 5 >7.
Với toán giáo viên hớng dẫn học sinh làm theo cách sau:
Cách giải. Cách 1:
Ta cã: x + 5 = x + nÕu x - 5.n - x - nÕu x < -
* Víi x - (1) trở thành x + > 7; x > (Thoả mÃn điều kiện xÐt) * Víi x < - th× (1) trë thµnh - x - >
x < 12 (Thoả mÃn điều kiện xét) Vậy: x < -12 hc x >
Qua cách làm giáo viên cho học sinh vấn đề sau: Với a số dơng
NÕu f(x) > a th× f(x) > a f(x) < - a (f(x) nằm khoảng) Cách 2: x + 5 > 7.
<=> x + > <=> x > x + < -7 x < - 12 VËy x < - 12 hc x >
5 Dạng 5: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt i
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ cña biÕn thøc: A = 53x - 2 - 1.
ở học sinh phải biết vận dụng đợc kiến thức a với a R gii
Cách giải.
(6)= > A = 3x - 2 - = - víi x R
DÊu “=” x¶y < = > 3x - = < => hay x =
Min A = - <= > x =
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc B = x - 5 + x - 7 Dạng giáo viên giới thiệu cho học sinh cách giải sau: Cách 1: Bài toán phụ:
Chøng minh r»ng: a+b a + b DÊu “=” x¶y < = > ab
Giáo viên hớng dấn cho học sinh chứng minh dựa vµo a > a ; a > - a CM ta cã: a > a
a > b a > - a b > - b
Tõ (1) vµ (2) => - ( a + b ) < a + b < a + b => a + b < a + b
DÊu “=” x¶y <=> ab >
áp dụng toán phụ, ta có:
B = x - + x - = x - + - x > x - + - x B > =
DÊu “=” x¶y ra: <=> (x - 5) (7 - x) > < => < x < (LËp b¶ng xÐt dÊu)
VËy Min B = <=> < x <
Cách 2: Ta có trờng hợp sau (dựa vào bảng xét dấu). * Nếu x < thì
B = - x + - x + = - 2x + 12
V×: x < <=> -2x > -10 <=> -2x + 12 > Ta cã: x - + x - >
* NÕu < x < 7, ta cã: B = x - - x + = * NÕu x > 7, ta cã:
B = x - + x -7 = 2x - 12
V× x > <=> 2x >14 nªn 2x - 12 >
=> a + b > a+b (1)
(7)Do đó: x - + x - > Vậy Min B = <=> < x <
6 Dạng 6: Hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ 1: Vẽ đồ hàm số y = x
Gi¶i:
x nÕu x > - x nÕu x <
+ Với x > đồ thị hàm số y = x tia phân giác góc phần t thứ I + Với x < đồ thị hàm số y = -x tia phân giác góc phần t thứ II
Qua ví dụ giáo viên cho học sinh thấy đợc vẽ đồ hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối phải khử dấu giá trị tuyệt đối để đa dạng đồ thị hàm số học
IV Một số toán liên quan đến giá trị tuyệt đối: Bài 1: Tìm số nguyên x, y cho x + y = 2. Giải:
ở x y có vai trị bình đẳng
Ta xét x chẳng hạn ta có: < x < x Z nên x N Do đó: x {0; 1; 2}
+ Nếu x = y = => x = 0; y = + + Nếu x = y = => x = + 1; y = + + Nếu x = y = => x = + 2; y = Vậy có tất cặp số thoả mãn đề là:
( x = 0; y = 2); ( x = 0; y = -2); ( x = 1; y = 1) ( x = 1; y = -1); ( x = -1; y = 1); ( x = -1; y = -1) ( x = 2; y = 0); ( x = -2; y = 0);
III KÕt qu¶:
Với cách đặt vấn đề giải vấn đề nh truyền thụ cho học sinh Tôi thấy học sinh lĩnh hội kiến thức cách thoải mái, rõ ràng, có hệ thống Học sinh phân biệt nhận dạng đợc dạng tốn có liên quan đến giá trị tuyệt đối từ giải đợc hầu hết tập phần này, xoá cảm giác khó phức tạp ban đầu khơng có quy tắc giải tổng quát, cảm thấy lý thú với chủ đề qua thấy đợc dạng tốn thật phong phú không đơn điệu
Kết cụ thể: Với tập giáo viên đa học sinh giải đợc 90% một cách tự lập tự giác
VI Bµi häc kinh nghiƯm:
- Hầu hết học sinh nắm đợc cách trình bày, số cịn tỏ lúng túng số cịn làm tắt, bỏ qua bớc lập luận (nhất dễ)
- Khi dạy, phải cho học sinh hiểu sâu sắc lý thuyết, nắm đợc dạng để nhận đợc dạng trớc tốn có chứa dấu giá trị tuyệt đối Cần rèn luyện cách lập luận trình bày học sinh
(8)- Với bài, giáo viên phải để lại cho học sinh ấn tợng, bớc để gặp tốn tơng tự học sinh liên hệ đợc
Trên số vấn đề kiến thức phơng pháp mà rút đợc dạy phần giá trị tuyệt đối Trong trình thực đề tài chắn cha đợc hồn hảo, khơng thể tránh khỏi thiếu sót cấu trúc, ngơn ngữ hình thức khoa học Tơi mong đợc góp ý chân tình bạn đồng nghiệp để năm học tới đợc tốt hơn, đáp ứng với yêu cầu đổi giáo dục