H·y néi tiÕp trong ®êng trßn cho tríc mét tam gi¸c cã diÖn tÝch lín nhÊt... TÝnh diÖn tÝch S cña tam gi¸c ABC vµ chiÒu cao ha.[r]
(1)Các hệ thức lợng tam giác và giải tam giác
Chỳng ta ó bit tam giác hoàn toàn đợc xác định biết số yếu tố, chẳng hạn biết ba cạnh, hai cạnh góc xen hai cạnh
Nh cạnh góc tam giác có mối liên hệ xác định mà ta gọi hệ thức lợng tam giác Trong phần nghiên cứu hệ thức ứng dụng chúng
A Lý thuyÕt
Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c, đờng cao AH = đờng trung tuyến AM = ma, BN = mb, CP = mc
1 Định lí cosin: A 2 2 cos
a b c bc A
2 2 2 cos
b a c ac B
2 2 2 cos
c a b ab C c ma b * HƯ qu¶: P N 1) cos A =
2 2
2 b c a
bc
B H a M C cos B =
2 2
2
a c b
ac
( H×nh 1)
cos C =
2 2
2
a b c ab
2) Trong ABC
A nhän a2 b2 c2 A tï a2 b2 c2
3) Định lý Pitago trờng hợp đặc biệt định lý côsin, A= 900 2 Định lí sin:
2
sin sin sin
a b c
R
A B C ( R bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác ABC)
(2)
2 2
2 2
2 2
cot
4 cot
4 cot
4
b c a
A
S
a c b
B
S
a b c
C
S
4 Tổng bình ph ơng hai cạnh công thức đ ờng trung tuyến tam giác:
1 Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I
Víi M bÊt k× ta cã: M
2 2
2
AB
MA MB MI
A / I / B (H×nh 2)
2 Gọi ma, mb, mc lần lợt độ dài trung tuyến xuất phát từ đỉnh A, B, C tam giác ABC (Hình 1) Ta có:
2 2 2
2 2( ) ;
2 4 4
a
b c a b c a
m
2 2 2
2 2( ) ;
2 4 4
b
a c b a c b
m
2 2 2
2 2( ) ;
2 4 4
c
a b c a b c
m
5 Các công thức tính diện tích tam giác:
Diện tích S tam giác ABC đợc tính theo công thức: S =
2 ab sin C =
2bc sin A =
2ca sin B ;
S = 4 abc
R với R bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác ABC ; S = pr với p =
2(a +b +c) r bán kính đờng trịn nội tiếp tam giác ABC;
= (p - a)ra = (p - b)rb = (p - c)rc
S = p p a p b p c( )( )( ) víi p =
2(a +b +c) ( công thức Hê-rông)
6 Bỏn kớnh ng trũn ni tiếp, bàng tiếp
( ) tan ( ) tan ( ) tan
2 2
A B C
r p a p b p c tan
2
a
(3)tan
b
B r p
tan
c
C r p
7 Cơng thức tính độ dài phân giác 4 2 ( )
( )
a
bc
l p p a
b c
4 2 ( ) ( )
b
ac
l p p b
a c
4 2 ( ) ( )
c
ab
l p p c
a b
* C¸c vÝ dơ:
VD 1:
Cho tam giác ABC, trung tuyến ma xuất phát từ đỉnh A Chứng minh góc A nhọn cà
2
a
a
m
Gi¶i: Ta cã:
2 2
2
2 4
a
b c a
m , từ A nhọn
2 2
2 2
2
2
2 2
2 4 2
a a
b c a b c a
a a a
m m
VD2:
Chøng minh r»ng tam gi¸c ABC ta cã:
2 2
2 2
9 4
a b c
m m m
a b c
Gi¶i:
Theo c«ng thøc trung tuyÕn, ta cã:
2 2
2
2 4
a
b c a m
2 2
2
1
2 4
a
m b c
a a
T¬ng tù:
2 2
2
1
2 4
b
m c a
b b
(4)
2 2
2
1
2 4
c
m a b
c c
Từ :
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
1 3 1 3 9
.6 ( )
2 4 2 4 4
a b c
m m m b a c a c b
cauchy
a b c a b a c b c
VD3:
Cho tam gi¸c ABC cã diƯn tÝch S CMR:
2 2
cot cot cot
4
a b c
A B C
S
Chøng minh: Ta cã:
2 2
cos
2 b c a A
bc
Mặt khác, từ 1 sin sin 2 2
S
S bc A A
bc
Do đó:
2 2 2
cos
cot (1)
sin 2 sin 4
A b c a b c a
A
A bc A S
T¬ng tù:
2 2
2 2
cot (2)
4
cot (3)
4
c a b
B
S
a b c
C
S
Cộng vế đẳng thức (1), (2), (3) ta đợc:
2 2
cot cot cot
4
a b c
A B C
S
()
VD4:
Tính góc lớn tam giác có độ dài 3, 5, Đáp số: A = 1200
VD5 :
Chứng minh tam giác ABC nếu: 3
2
2 cos
a b C
b c a
a
b c a
Gi¶i:
Theo gi¶ thiÕt:
2 2 2
2 2 2
2 cos 2
2
a b c a b c
a b C b
ab a
a a b c b c b c
(5)Mặt khác:
3 3
2 3
2 2
( )
( ) ( )( )
b c a
a a b c a b c a
b c a
a b c b c b c bc
=> a2 = b2 + c2 - bc KÕt hỵp a2 = b2 + c2 - 2bc cosA Suy cos 60 (2)0
2
A A
Từ (1) (2) suy tam giác ABC
VÝ dô 6:
Chøng minh r»ng tam giác ABC ta có: cot AcotBcotC 0
Gi¶i:
- Nếu ABC nhọn vng bất đẳng thức hiển nhiên
- Bây giả sử, chẳng hạn A tù Kẻ đờng cao CH H nằm ngồi đoạn A, phớa
A ( hình bên) C Ta có:
sin ;(2)
2 2
sin ;(3)
2 2
B b
ca
C b
ab
B A H Suy cot A cot B BH AH
CH
Ta cßn cã cotC > ( gãc nhän) VËy: cotA + cotB + cotC >
NhËn xÐt: Trêng hỵp gãc A tï, ta cã c¸ch chøng minh kh¸c nh sau:
A > 900 => B + C < 900 => 00 < B < B + C < 900 => cotB > cot(B + C)= - cotA => cot A + cot B > Vì góc c nhọn nên cotC > 0,
cotA + cotB + cotC >
VÝ dơ 7:
Cho tam gi¸c ABC
Chøng minh r»ng: sin sin sin
2 2
A B C
Giải:
Vẽ phân giác AD, hạ BH, CK vuông gãc víi AD Ta cã:
sin sin
2
A BH BD BD
BA BA c
A CK CD CD
CA CA b
(6)( )sin 2
sin .
2 2
A
b c BD CD a
A a a
b c bc
(1) T¬ng tù
sin ; (2)
2 2
sin ; (3)
2 2
B b
ca
C b
ab
Vế trái bất đẳng thức (1), (2), (3) dơng, nhân vế bất đẳng thức ta đợc:
sin sin sin
2 2
A B C
Dấu “=” xảy a = b = c, tức tam giác ABC
* áp dụng tích vơ hớng để chứng minh bất đẳng thức:
C¬ së lý thuyÕt:
1 a2 0, a a , 0 a0
2 a b . a b . Đẳng thức xảy hai vect¬ cïng híng
VÝ dơ 8:
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn (O; R) Chứng minh rằng: )( , ) ;
3 ) cos 2 cos 2 cos 2
2 a OB OC A
b A B C
Gi¶i:
a) HiĨn nhiªn (OB OC , )BOC 2A( tÝnh chÊt cña gãc néi tiÕp) b) Ta cã:
2
2 2
( ) 0
2( . . . ) 0
OA OB OC
OA OB OC OA OB OB OC OC OA
2
3 2 (cos 2 cos 2 cos ) 0
3 cos 2 cos 2 cos 2
2
R R C A B
A B C
Đẳng thức xảy khi: OA OB OC 0
<=> O trọng tâm ABC <=> ABC
VÝ dơ 9:
Cho tam gi¸c ABC có trọng tâm G Chứng minh với điểm M ta cã:
2 2
(7)Giải:
Ta có: MA.GA MB.GB MC.GC GA2 GB2 GC2
8 (2 3)
P
VËy MA.GA MB.GB MC.GC GA2 GB2 GC2 Đẳng thức xảy ra:
MA GA
MB GB M G
MC GC
VÝ dơ 10:
Cho tam gi¸c ABC, diƯn tÝch S Chøng minh r»ng:
a2 b2 c2 4 3.S CM:
C¸ch 1: Ta cã:
2 2
2 2 2
2 cos
2( ) cos
a b c bc A
a b c b c bc A
4 2 cos
4 2 (cos 3 sin ) 2 3 sin
4 2 (cos 3 sin ) 3.
bc bc A
bc bc A A bc A
bc bc A A S
Vì: (cosA 3 sin )A (1 3)(cos2 Asin2 A) 4 (BĐT Bu-nhia-cốp-xki) Nên : cosA 3 sin A2 đó:
4bc 2 (cosbc A 3 sin ) 4A bc 4bc0 VËy: a2 b2 c2 4 3.S
Đẳng thức xảy vµ chØ khi:
sin
3 tan 3
cos
60
b c b c
A
A A
b c
ABCdeu A
C¸ch 2:
(8)3
3
4
2 2
4 3 4 3 ( )( )( )
4 3
3
3 ( )
4 3
3
4 ( )
4 3
27 3 3
S p p a p b p c
p a p b p c p
p a b c
p
p a b c
p a b c
Vậy a2 b2 c2 4 3S
Đẳng thức xảy p a p b p c a b c ABC a b c
(đều) Nhận xét: a2 b2 c2 4 3S
2 2
3 cot cot cot
a b c
A B C
S
VÝ dơ 11
Cho tam gi¸c ABC, diÖn tÝch S Chøng minh r»ng:
cotAcotBcotC 3
HD Tõ vÝ dô 10 ta suy điều phải chứng minh Ví dụ 12: Cho tam gi¸c ABC Chøng minh r»ng:
3
2 a
a
b c l Gi¶i:
Theo cơng thức tính độ dài đờng phân giácn bất đẳng thức cơ-si ta có: 3( )
( )
2 3( ) 2
3
2 a 2
p a p
b c bc p a p
a a a
l
b c b c
4 3 2( )
2 2 2 2
a p a a b c a
b c
VËy 3
2 a
a
l b c
Đẳng thức xảy
3( ) b c
a b c ABC
p a p
(đều) Nhận xét: Nhờ ví dụ 12, ta có BĐT sau:
3
( )
2
a b c
(9)VÝ dô 13:
Cho tam gi¸c ABC Chøng minh r»ng: 1
2
r
R
Gi¶i:
2
4 4 ( )( )( )
. .
4
1( )( )( )
2 S
r p S p p a p b p c abc
R p abc p abc
S
b c a c a b a b c abc
(1)
Theo bất đẳng thức cơsi ta có:
( )( )
2
c a b a b c
c a b a b c a
T¬ng tù, ( )( )
( )( )
a b c b c a b
b c a c a b c
Suy b c a a c b a b c abc (2) Tõ (1), (2) => 1
2 r R Đẳng thức xảy
b c a a c b a b c b c ABC
(đều)
VÝ dơ 14
Cho tam gi¸c ABC Chøng minh r»ng:
ra rb rc ha hb hc. Gi¶i:
a b c a b c r r r h h h
2 2 2
1 1 1 1 1
2
1 1 1 1 1
S S S S S S
p a p b p c a b c p a p b p c a b c
b c a a c b a b c a b c
(10)1 1 2
( )( )
2 2
( )( )
2
a c b a b c a c b a b c a c b a b c a
T¬ng tù,
2 2
2 2 2
2 2
3a b c
a MA b MB c MC
a b c
1 1 1
a b c b c a a c b a b c
(®pcm)
VÝ dơ 15
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O; R) Chứng minh rằng: 3 3
a b c R
Chøng minh: Ta cã:
2
2 2 2
2
2 2
2
0
3 2 . . . 0
9 2 . 2 .
2 .
9 9
OA OB OC
R OA OB OB OC OA OC
R OB OC OB OC OC OA OB OC
OA OB OA OB
R OB OC OC OA OA OB
R
2
2 2 ( )
3 3 3
a b c
a b c
R a b c
Đẳng thức xảy OA OB OC 0 <=> O trọng tâm tm giác ABC <=> ABC tam giác
Hệ quả: Trong tam giác nội tiếp đờng trịn, tam giác có chu vi nhỏ
Nhận xét: Có thể chứng minh bất đẳng thức nhờ kết quả:
2 2 2
2 2 2
( )
3
( )
4
a b c
MA MB MC GA GB GC choM O
m m m a b c
VÝ dơ 16:
Cho tam gi¸c ABC Chøng minh r»ng:
(11)Theo kÕt qña VD15, ta cã: 3
a b c R
3 3
2 2 2 2
a b c
R R R
áp dụng định lí sin, ta có: 3 3
sin sin sin
2
A B C
Đẳng thức xảy tam giác ABC Ví dụ 17
Hãy nội tiếp đờng tròn cho trớc tam giác có diện tích lớn Giải:
Giả sử đờng trịn cho trớc có bán kính R ABC tam giác nội tiếp Theo bất đẳng thức Cơ-si VD 15, ta có:
2
3
2
( ) 3 3
3
4 4 4 4
3 3 4
a b c
abc R R
S
R R R
R S
Đẳng thức xảy a b c ABC(đều)
Vậy, tam giác nội tiếp đờng tròn cho trớc, tam giác có diện tích lớn
VÝ dơ 18
Hãy ngoại tiếp đờng trịn cho trớc tam giác có diện tích nhỏ Giải:
Giả sử đờng tron cho trớc có bán kính r ABC tam giác ngoại tiếp Ta có:
3 ( )( )( )
3
p a p b p c pr S p p a p b p c p
4
27 3
p p
Suy 3 3r p 3 3r2 S
Đẳng thức xảy p a p b p c ABC (đều)
Vậy, tam giác ngoại tiếp đờng trịn cho trớc, tam giác có diện tích nhỏ
VÝ dơ 19;(*)
Cho tam giác ABC Tìm M cho: 2 cos
2
A
MA MB MC
(12)2 cos 2
A
MA MB MC
S . . 2cos 2
A MB AB MC AC
MA
AB AC
B C
. .
2 cos 2
A MB AB MC AC
MA AB AC . . 2cos 2
MA AB AB MA AC AC
A MA AB AC 2 cos 2
A AB AC
MA MA AB AC
AB AC
LÊy E, F trªn AB, AC cho AE = AF = Dùng h×nh thoi AESF ta cã: 2cos
2
2cos 2
2cos 0
2
A AS
AB AC A
AE AF AS
AB AC
A AB AC
MA MA AB AC
Tãm l¹i, 2cos 2
A
MA MB MC AB AC
Dấu đẳng thức xảy
, 1800
MB AB
MC AC M A
MA AS VÝ dô 20;(*)
Cho tam giác ABC; M điểm tam giác, đặt , ,
BMC CMA AMB
Chøng minh r»ng víi mäi ®iĨm M ta cã:
sin sin sin sin sin sin
NA NB NC MA MB MC Gi¶i: A
(13)
sin sin sin
sin sin sin
sin sin sin
sin sin si
NA NB NC
NA MA NB MB NC MC
MA MB MC
NA MA NB MB NC MC
MA MB MC
AB AB MA NM MB MB NM MC MC
MA MB MC
n C
sin sin sin ( sin sin sin )
2
. . .
. .
( sin sin sin )
( sin sin sin )( . .
MBC MCA MAB
MBC MCA
MA MB MC
NM MA MB Mc
MA MB MC
MN
S MA S MB S MC
MA MB MC
MA MB Mc
MA MB Mc viS MA S
. 0)
MAB
MB S MC
Đẳng thức xảy N M VÝ dô: 21(*)
Cho tam gi¸c ABC Chøng minh r»ng: 3
cos cos cos ( )
2 2 2 4
a b c
A B C
m m m a b c
Gọi I tâm đờng trịn nội tiếp tam giác ABC, ta có: A
P N B
M
(14)
0
0
0
sin sin 90 cos
2 2
sin sin 90 cos
2 2
sin sin 90 cos
2 2
A A
BIC
B B
CIA
C C
AIB
Gọi G trọng tâm tam giác ABC Theo kÕt qu¶ cđa VD 20, ta cã: cos cos cos cos cos cos
2 2 2
A B C A B C
GA GB GC IA IB IC
2
cos cos cos
3 2 2 2
3
cos cos cos ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
3 3
( )
2 4
a b c
a b c
A B C
m m m AN BP CM
A B C
m m m p a p b p c
p a b c
Đẳng thức xảy G I ABC(đều) Ví dụ 22.(*)
Cho tam gi¸c ABC Chøng minh r»ng víi mäi ®iÓm M ta cã: 2
2 2 2
2 2
3a b c a MA b MB c MC
a b c
CM: Ta cã:
2 2
4 4 2 2 2
4 4 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
( )
2( )
( )
( ) ( )
( )(
a MA b MB c MC
a MA b MB c MC b c MB MC a c MA MC a b MA MB a MA b MB c MC b c MB MC a
c a MC MA b a b MA MB c
a b c a MA b
2MB2 c MC2 2) 3a b c2 2
2 2
2 2 2
2 2
3a b c a MA b MB c MC
a b c
Đẳng thức xảy (a MA b MB c MC2 ) 0 <=> M điểm Lơ-moan tam giác ABC
Ví dụ 23(*)
Cho tam giác ABC Các điểm X, Y, Z theo thứ tự chạy đờng thẳng BC, CA, AB Tìm vị trí X, Y, Z cho (YZ2+ZX2+XY2) nhỏ nhất
(15)A
Z I K Y
G
B X H C
Gọi G trọng tâm tam giác XYZ; H, I, K lần lợt hình chiếu G trªn BC, CA, AB
Ta cã YZ2+ZX2+XY2 = 3(GX2 +GY2 + GZ2)3(GH2 GI2 GK2) (1)
Theo bất đẳng thức Bu-nhia-cốp-xki ta có
2 2
2 2 2 2
2 2
4
LZ LX LY
12
Z X Y
ABC
ABC S a b c
S
Y Z X
a b c
2 2 2 2
(GH GI GK )(a b c ) ( aGH bGI cGK ) 4SABC (2)
Tõ (1) vµ (2) suy
2 2
2 2
12
YZ ZX XY SABC
a b c
- Nếu đẳng thức xảy
GX BC GY; CA GZ; AB
G điểm Lơ- moan tam giác ABC
=> X, Y, Z hình chiếu điểm Lơ- moan tam giác ABC Bc, CA, AB - Ngợc lại, X, Y, Z hình chiếu điểm Lơ- moan L tam giác ABC L trọng tâm tam giác XYZ
=> YZ2+ZX2+XY2 = 3( LZ2+LX2+LY2 )
Cịng v× L điểm Lơ- moan tam giácABC nên
2 2
2 2 2 2
2 2
4
LZ LX LY
12
Z X Y
ABC
ABC S a b c
S
Y Z X
a b c
Tóm lại, (YZ2+ZX2+XY2) nhỏ X, Y, Z lần lợt hình chiếu điểm Lơ- moan tam giác ABC ng thng BC, CA, AB
B Dạng toán b¶n
I Vấn đề 1:
Tính yếu tố tam giác theo yếu tố cho trớc( có cạnh)
1, Ph ơng pháp:
S dng trc tip nh lí sin định lý cosin
Chọn hệ thức lợng thích hợp tam giác để tính số yếu tố trung gian cần thiết để việc giải toán thuận lợi
(16)2.1 VÝ dơ 1. Cho tam gi¸c ABC cã b = cm, c = cm vµ cos A = 3
5
a TÝnh a, sin A diện tích S tam giác ABC
b Tính đờng cao xuất phát từ đỉnh A bán kính R đờng trịn ngoại tiếp tam giác ABC
Gi¶i:
a Theo định lí cơsin ta có:
2 2 2 cos
a b c bc A = 72 + 52 - 2.7.5.35 = 32 => a = 4 2 (cm)
sin2 A = - cos2 A = -
25 = 16 25
=> sin A =
5 (v× sin A > 0)
S =
2bc sin A = 2.7.5
4
5 = 14 (cm
2).
b 2. 28 7 2 ( )
2 4 2
a
S
h cm
a
Theo định lí sin:
4 2 5 2
2 ( ).
4
sin 2sin 2. 2
5
a a
R R cm
A A
2.2 VÝ dơ 2:
Cho tam gi¸c ABC biÕt A60 ,0 b8cm c, 5cm.
Tính đờng cao bán kính R đờng trịn ngoại tiếp tam giác ABC Giải:
Theo định lí cơsin ta có:
2 2 2 cos
a b c bc A
=82 52 2.8.5.cos 600 49 VËy a = (cm)
Theo c«ng thøc tÝnh diƯn tÝch tam gi¸c S =
2 bc sin A, ta cã:
0
1 1 3
.8.5.sin 60 .8.5 10 3( ).
2 2 2
S cm
Mặt khác:
1
2 a
S a h 20 ( ).
7
a
S
h cm
a
Tõ c«ng thøc S = abc
R ta cã :
7.8.5 7 3
( ).
4 40 3 3
abc
R cm
S
(17)2.3 VÝ dô 3:
Tam gi¸c ABC cã AB = cm, BC = cm, CA = cm a TÝnh AB AC ;
b TÝnh gãc A Gi¶i:
Ta cã: BC (AC AB )2AC 2 AB2 2AC AB.
Do 1( 2 2) 1(52 82 ) 202
2
AC AB AB AC BC
VËy AC AB. 20.
b Theo định nghĩa: AB AC. AB AC. cosA Ta có:
. 20 1
cos
5.8 2
.
AB AC A
AB AC
VËy A 600
2.4 VÝ dơ 4: Cho tam gi¸c ABC biÕt: a = 21 cm, b = 17 cm, c = 10 cm a TÝnh diƯn tÝch S cđa tam giác ABC chiều cao
b Tớnh bán kính đờng trịn nội tiếp r tam giác
c Tính độ dài đờng trung tuyến ma xuất phát từ đỉnh a tam giác Giải:
a ta cã: 21 17 10 24( )
2
p cm
Theo c«ng thức Hê-rông ta có:
2 24(24 21)(24 17)(24 10) 84( )
S cm
Do 2 2.84 8( ) 21
a
S
h cm
a
b Ta cã:
.
84
3,5( ) 24
S p r S
r cm
p
c Độ dài trung tuyến ma đợc tính theo cơng thức:
2 2
2
2 4
a
b c a
m
(18)2 2
2 17 10 21 337 84, 25
2 4 4
84, 25 9,18( )
a
a m
m cm
2.5 Ví dụ 5: Cho tam giác ABC biết a 6cm b, 2cm c, (1 3)cm Tính góc A, B, chiều cao bán kính đờng trịn ngoại tíêp R tam giác ABC
Gi¶i:
Theo định lí cơsin ta có:
2 2 4 (1 3)2 6 1
cos
2 4.(1 3) 2
b c a
A
bc
VËy A600
T¬ng tù,
2 2 (1 3)2 6 4 2
cos
2 2 6.(1 3) 2
c a b B
ac
VËy B 450
Ta cã: sin .sin (1 3)sin 450 (1 3) 2 ( ) 2
a
a h
B h c B cm
c
áp dụng định lí sin: 2
sin
2
2( )
2sin 2
b
R B
b
R cm
B
II Vấn đề 2.
Chøng minh hệ thức mối quan hệ yếu tố tam giác
1 Ph ơng pháp:
Dùng hệ thức để biến đổi vế thành vế chứng minh hai vế biểu thức đó, chứng minh hệ thức cần chứng minh tơng đ-ơng với hệ thức biết Khi chứng minh cần khai thác giả thiết kết luận để tìm đợc hệ thức thích hợp làm trung gian cho trình biến đổi 2 Các ví dụ:
2.1 VÝ dụ 1: Cho tam giác ABC có G trọng t©m Gäi a = BC, b = CA, c = AB Chøng minh r»ng: 2 1( 2 2)
3
GA GB GC a b c
Gi¶i:
Theo tÝnh chÊt cđa t©m ta cã: 2 4
3 9
GA AM GA AM
(19)2
2 1( 2 ) 1( 2 )
2 2 2 2
BC a
AM AB AC c b
2 2 2 3. ( 2 2) 1( 2 2)
9 2 3
GA GB GC a b c a b c
T¬ng tù:
2
2 2( 2 )
9 2
b
GB a c
2
2 2( 2 )
9 2
c GC a b Do đó:
2 2 2 3. ( 2 2) 1( 2 2)
9 2 3
GA GB GC a b c a b c
2.2 VÝ dơ 2: Tam gi¸c ABC cã BC = a, CA = b, AB = c Chøng minh r»ng:
a = b cos C + c cos B Gi¶i:
Theo định lí cơsin ta có: b2 a2 c2 2 cosac B
2 2
cos
2
a c b
c B
a
(1) Ta l¹i cã: c2 a2 b2 2abcosC
2 2
cos
2
a b c
b C
a
(2) Céng tõng vÕ cña (1) vµ (2) ta cã:
2 2
cos cos
2
a
b C c C a
a
2.3 Ví dụ 3. Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c đờng trung tuyến AM = c = AB Chứng minh rằng:
a a2 2(b2 c2) ; b sin2A = 2(sin2B - sin2 C) A Gi¶i:
/ /
C M B a) Theo định lý trung tuyến ta có:
1800 ( ) 1800 (1450 20 26 ) 14 340 ' '
(20)2 2 2
2 2 2
sin sin sin
.(*) sin sin sin sin sin
a b c
A B C
a b c b c
A B C B C
Thay a2 2(b2 c2) vµo (*) ta cã:
2 2
2 2
2 2
2 2
2( )
sin sin sin
2 1
sin sin sin
sin 2(sin sin )
b c b c
A B C
A B C
A B C
2.4 Ví dụ 4: Tam giác ABC vuông A có cạnh góc vuông b c Lấy điểm M cạnh BC cho BAM Chøng minh r»ng:
cos cos bc AM
b c
C
b M
A c B
Gi¶i:
ABC MAB MAC
S S S
<=> 1 sin sin(900 )
2bc 2 AM c 2 AM b Hay: bcAM c( sin bcos )
VËy:
cos sin bc AM
b c
III Vấn 3
Giải tam giác
(21)Một tam giác thờng đợc xác định biết ba yếu tố Trong toán giải tam giác, ngời ta thờng cho tam giác với ba yếu tố sau:
- Biết cạnh hai góc kề cạnh (g, c, g) ; - Biết góc hai cạnh kề góc (c, g, c) ; - Biết ba cạnh (c, c, c)
Để tìm ba yếu tố cịn lại tam giác ngời ta thờng sử dụng định lí cơsin, định lí sin, định lí tổng ba góc tam giác 1800 đặc biệt sử dụng hệ thức lợng tam giác vuông
2 Các ví dụ:
2.1 Ví dụ 1. Giải tam giác ABC biết b14,c 10,A1450 Giải:
Ta có: a2 b2 c2 2 cosb A142 102 2.14.10.cos1450
0
0 '
196 100 280.( 0,8191) 525,35 23
.sin 14.sin145
sin 0,34913 20 26
sin sin 23
a
a b b A
B B
A B a
1800 ( ) 1800 (1450 20 26 ) 14 340 ' '
C A B
2.2 VÝ dô 2: Giải tam giác ABC biết a = 4, b = 5, c = Gi¶i:
2
'
2 2 2
0
5 7 4 58
cos 0,8286
2 2.5.7 70
34 3
b c a A
bc A
2
'
2 2 2
0
0 ' ' '
4 7 5 40
cos 0,71428
2 2.4.7 56
44 25
180 (34 44 25 ) 101 32
a c b
B
ac B
C
1 Các giá trị lợng giác gãc (00 180 )0 A
(22)sin ;cos
tan ;cot
HB HA
AB AB
HB HA
HA HB
H B
2 Các hệ thức lợng giác:
a) Giá trị góc lợng giác bù
0 0 sin sin(180 ) cos cos(180 ) tan tan(180 ) cot cot(180 )
b) Giá trị góc lợng giác phô
0 0
0 0
( ;90 , 90 ) sin(90 ) cos
cos(90 ) sin tan(90 ) cot cot(90 ) tan
c) C¸c hệ thức lợng giác
2
0 0
2
2
sin cos
sin cos
tan ( 90 ); cot ( ,180 )
cos sin
1
cot ; tan
tan cot
1
1 tan ;1 cot
cos sin
3 Giá trị lợng giác góc đặc biệt
Giá trị lợng giác
00 300 450 600 900 1800
sin 1
2
2 2
3
(23)cos 3 2
2 2
1
2 -1
tan 1
3 3
cot 3 1
3
4 Bất đẳng thức có chứa giá trị lợng giác
Víi 00 1800 ta cã sin 1; cos 1;
nhän cos 0 tan 0
tï cos 0 tan 0
5 Bất đẳng thức yếu tố tam giác Các toán cực trị
Để chứng minh bất đẳng thức yếu tố tam giác, ta cần sử dụng hệ thức lợng tam giác, kết hợp với bất đẳng thức thông dụng: Cơ-si, Bu-nhia-cốp-xki,…
Bµi tËp:
Bµi 1: Cho tam gi¸c nhän ABC
Chøng minh r»ng: cos cos cos
A B C
Bài Cho tam giác ABC có trọng tâm G; là đờng thẳng cố định qua G, d đờng thăng ln phơng với Gọi T T, d lần lợt tổng bình phơng khoảng cách từ A, B, C đến và d
Chøng minh r»ng: T Td
Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC, điểm M di động cạnh BC Hạ
,
MP AB MQ AC Xác định vị trí M để tam giác MPQ có diện tích lớn
Bài 4: Cho tứ giác ABCD; E, F, G, H theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA
CMR: . .
2 2
ABCD
AB CD AD BC
S EG FH
Bài 5: Cho tam giác ABC cã diÖn tÝch b»ng 4, A 300
, tìm tam giác có cạnh BC nhỏ Hỏi chu vi tam giác bao nhiêu?
Hớng dẫn đáp số:
áp dụng định lý Cơsin cơng thức tính diện tích tam giác Suy ra: a2 16(2 3)
Đẳng thức xảy vµ chØ khi: b = c =
VËy tam giác có cạnh Bc nhỏ tam giác cân A, có b = c = 4,
4 (2 3)
(24)Bài 6: Cho đờng tròn (O; R), điểm A M cố định thuộc đờng trịn Một góc xAy = 600
quay xung quanh A cho cạnh cắt đờng tròn M N Xác định vị trí A
gãc xAy cho tam giác AMN có diện tích lớn
Giải:
Theo định lý sin ta có;
MN 2 sinR A R
Theo định lý côsin ta có:
2 2 2
2 cos
3
MN AM AN AM AN A
R AM AN AM AN AM AN AM AN AM AN
(1)
1
.sin
2
AMN
S AM AN A AM AN (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra:
2
3
4
AMN
R S AM AN
Đẳng thức xảy vµ chØ
300
AM AN OAM OAN
VËy tam gi¸c AMN cã diƯn tÝch lín nhÊt b»ng
2
3
R , đạt đợc OA phân
giác góc A( Tam giác ABC tam giác đều)
Nhận xét: Có thể giải tốn trờng hợp A (khơng đổi).
Bài 7: Cho tứ giác ABCD; E, F, G, H theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chøng minh r»ng:
2
ABCD
AB CD AD BC S EG FH
HD: Chøng minh SABCD=2 SEFGHEG FH
Vµ 1( ), 1( )
2
EG AD BC HF AB CD
Bài 8: Cho tam giác nhọn ABC, điểm M di động cạnh BC Hạ MP vng góc với AB, MQ vng góc với AC Xác định vị trí M để tam giác MPQ có diện tích lớn
HD: Đặt MP = x, MQ = y ta có cx + by = SABC, áp dụng công thức
sin
MPQ
S xy A bất đẳng thức Cơ-si Bài 9: Cho tam giác ABC có a4 + b4 + c4 CMR: a Tam giác ABC tam giác nhọn b 2sin2A = tanB tanC
HD:
a a4 + b4 + c4 < (b2 + c2)2 => a2 < b2 + c2 => Góc A nhọn
Mặt khác, a4 + b4 + c4 > b4=> a > b =>A B ;
4 4
a b c c A B
VËy ABC tam giác nhọn
Bài 10 Cho tam giác ABC cã träng t©m G Chøng minh r»ng: a) NÕu
90
BGC th× b + c > 3a
b) NÕu BGC 900
th× cos
A
c) NÕu BGC 900
th× b c a 10
(25)Bài 11 Cho hình thang ABCD ( AB // CD), hai đờng chéo cắt O Chứng minh rằng:
a) AC2 + BD2 = AD2 + BC2 + 2AB.CD b) SOAD SOBC = SOAB SOCD
c) SOAD SOBC SABCD