Neáu kheùo leùo choïn heä truïc toaï ñoä phuø hôïp, vaän duïng phöông phaùp vectô vaø toaï ñoä thì coù theå chuyeån thaønh baøi toaùn ñaïi soá hoaëc giaûi tích vaø tìm ra lôøi giaûi ngaé[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH BÌNH TRƯỜNG THPT TRẦN HƯNG ĐẠO
S¸ng kiÕn kinh nghiƯm
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VÉCTƠ VÀ TỌA ĐỘ
GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN SƠ CẤP THƯỜNG GẶP
Giáo viên: Vũ Thị Xuân Tổ: Toán
(2)Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Xuân THPT Trần Hưng Đạo A ĐẶT VẤN ĐỀ:
Dựa vào phương pháp toạ độ phát minh Descartes sáng lập mơn hình học giải tích Qua cho phép nghiên cứu hình học ngơn ngữ đại số thay cho ngơn ngữ hình học.Việc giúp ta bỏ thói quen tư cụ thể, trực quan, nhằm đạt tới đỉnh cao khái quát hoá trừu tượng toán học nhiều lĩnh vực khác
Trong dạy học tốn việc lựa chọn cơng cụ phù hợp để giải toán việc làm cần thiết, chọn cơng cụ thích hợp tất nhiên lời giải tốt Sau xin trình bày việc sử dụng“phương pháp vectơ toạ độ” để giải số toán sơ cấp ơ’ phổ thông
B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ PHẦN I: LÝ THUYẾT
I HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ DESCARTES VUÔNG GÓC TRONG MẶT PHẲNG.
1 Định nghĩa : Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng x’ox, y’oy vng góc với nhau.Trên Ox, Oy chọn véc tơ đơn vị e e1,
.Như ta có hệ trục toạ độ Descartes vng góc Oxy
2 Toạ độ điểm véc tơ: Cho điểm M mp Oxy Hạ MH vng góc x’Ox MK vng góc y’Oy Theo qui tắc hình bình hành, ta có:
OM OH OK
xe 1 ye 2
Bộ hai (x, y) hoàn toàn xác định điểm M gọi toạ độ điểm M, ký hiệu M(x, y)
Cho atrên hệ trục Khi tồn điểm M cho OM a
Gọi (x,y) toạ độ điểm M Khi hai (x,y) gọi toạ độ véc tơ atrên hệ trục Oxy ký hiệu a= (x,y)
3 Các phép tính véc tơ :
Cho hai véc tơ a(a a1, 2) ;b(b b1, 2)
và k số thực
Các phép tính véc tơ phép cộng, phép trừ, phép nhân số với véctơ, tích vơ hướng hai véc tơ xác định sau:
1 2
1 2
1
1 2
( , ) ( , ) . ( , )
.
a b a b a b
a b a b a b
k a ka ka a b a b a b
(3)4 Các cơng thức lượng :
Cho hai véc tô a(a a1; 2) ;b(b b1; 2)
gọi góc tạo hai véctơ
. .
a b a b
a b hai véctơ hướng
1 2 2 2 2
. .
. cos
.
a b a b a b
a b a a b b
Khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến đường thẳng (D):Ax +By +C = :
2
( , ) Axo Byo C
d M D
A B
5 Phương trình đường thẳng, đường trịn
* Phương trình đường thẳng (D) qua điểm M(x0, y0) nhận véctơ n( , )A B
làm véc tơ pháp tuyến là: A(x – x0) + B(y – y0) =
* Phương trình đường trịn tâm I (a, b) bán kính R là: (x – a)2 + (y – b)2 = R 2
II.HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ DESCARTES VUÔNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN 1 Định nghĩa :
Trong không gian cho ba đường thẳng x’ox, y’oy, z’Oz vuông góc với đơi Trên Ox, Oy, Oz chọn véc tơ đơn vị e e e1, ,2
Như ta có hệ trục toạ độ Descartes vng góc Oxyz
2 Toạ độ điểm véc tơ
Cho điểm M kh ông gian Oxyz Hạ MH vuông góc x’Ox, MK vuông góc y’Oy ML vuông góc z’Oz Theo qui tắc hình hộp, ta có :
1
OM OH OK OL xe ye ze
Bộ ba (x,y,z) hoàn toàn xác định điểm M gọi toạ độ điểm M, ký hiệu M(x,y,z)
Cho a Khi tồn điểm M cho OM a
Gọi (x, y z) toạ độ điểm M Khi ba (x, y, z) gọi toạ độ véc tơ a hệ trục Oxyz ký hiệu a= (x,y,z)
3 Các phép tính véc tơ :
Cho hai véc tơ a(a a a1, 2, ) ;3 b(b b b1, 2, )3
(4)Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Xuân THPT Trần Hưng Đạo 2
1 2
1
1 2
2 3 1
2 3 1
( , ) ( , ) . ( , )
.
. ( , , )
a b a b a b
a b a b a b
k a ka ka a b a b a b
a a a a a a a b
b b b b b b
4 Các công thức lượng :
Cho hai vectô a(a a a b1, 2, ) ;3 (b b b1, 2, )3
gọi góc tạo hai vectơ đó
. .
a b a b
ch ỉ a b hai vectơ hướng
1 2 3
2 2 2
1 3
. . .
. cos
.
a b a b a b a b
a b a a a b b b
Cho (D) đường thẳng qua A có vectơ phương a(a a a1, 2, )3
và điểm M Giả sử ta tính AM (b b b1, 2, )3
Khi khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (D) tính :
2 2
2 3 1
2 3 1 2 2
( , )
a a a a a a
b b b b b b
d M D
a a a
5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng mặt cầu.
a Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(x0,y0,z0) có cặp vectơ
phương a(a a a b1, 2, ) ;3 (b b b1, 2, )3
laø :
2 3 1
0 0
2 3 1
( ) ( ) ( ) 0
a a a a a a
x x y y z z
b b b b b b
b Phương trình tham số đường thẳng (D) qua điểm M(x0,y0,z0) v nhận
vectô a(a a a1, 2, )3
làm vectơ phương là:
0
0 x x a t y y a t z z a t
(t tham số)
c Phương trình mặt cầu t âm I (a, b,c) có bán kính R : (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R 2
PHẦN II : CÁC BÀI TỐN
(5)A CÁC BÀI TỐN TRONG ĐẠI SỐ: Bài 1: Cho số thực x1, x2, x3, x4
chứng minh (x12 +y12)(x22 +y22)(x1 x2+ y1 y2)2
Giaûi:
Trên mặt phẳng toạ độ xét vectơ : a( , );x y b1 ( , )x y2
Ta coù
2
2
. ( )
a b a b a b a b
vaäy (x12 +y12) (x22 +y22)(x1 x2+ y1 y2)2
đẳng thức xãy a b// x y1 2x y2
Bài 2: Chứng minh x, y, z >
2 2 2
x xy y x xz z y yz z
Giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
3 3
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1)
2 2 2 2
y z y z
x y x z y z
Xét điểm 3
2 2 2
( y, ) ; (0, ) ; (y z,0)
A x z B y z C
(1) AB + AC > BC
Ta có AB AC BC với điểm A, B, C
3 2
3
2
( , ) ( , )
y
AB x y
z
AC x z
Hai véctơ khơng thể ngược hướng (vì hồnh độ âm) khơng thể xãy đẳng thức AB + AC > BC
Vậy bất đẳng thức (1) chứng minh Bài Giải bất phương trình:
x 1 x 3 2(x 3)2 2x 2(1)
Giải Điều kiện x1
Xét mặt phẳng toạ độ Oxy vectơ: ( 3, 1)
(1,1)
u x x
v
(6)Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Xn THPT Trần Hưng Đạo
2
( 3)
3
u x x
v
u v x x
Suy bất phương trình (1) tương đương u v u v
2
3
6
3
7 10
3 5
u v
x x
x x x
x
x x
x x x x x
Vậy x=5 nghiệm Bài 4
Chứng minh rằng: cos4x 1 sin4x 1 cos2 ,x x R Giải
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, vectơ:
2
(cos ,1)
(cos2 ,0) (sin ,1)
a x
a b x
b x
Khi đó, từ
4
cos 1 sin 1 cos2 ( )
a b a b
x x x dpcm
Bài 5 Tìm giá trị nhỏ hàm số:
2
( ) cos 2cos 5 cos 4cos 8
y f x x x x x
Giải Trong mặt phẳng toạ độ xét véctơ:
(1 cos ,2) (2 cos ,2)
a x
b x
(7)Khi :
2 2
2 2
2
(1 cos ) 2 cos 2cos 5 (2 cos ) 2 cos 4cos 8
3 4 5
a x x x
b x x x
a b
từ a b a b
<=> y5
Dấu “=” xảy (chẳng hạn) 2
3
x
Vậy miny=5
Bài : T ìm giá trị nhỏ biểu thức
2 2 2 2 2 2 ( )
y x px p x qx q p q
Gi aûi Ta c où y (x p )2 p2 (x q )2q2
Trên mp toạ độ lấy hai điểm A(p, q) : B(q,q) Bài tốn trở thành: Tìm M(x,0) thuộc Ox cho (MA +MB) đạt giá trị nhỏ
Xét hai trường hợp:
- Nếu pq <0 A B trùng O, A,B nằm hai phía O Khi (MA + MB) nhỏ M trùng O, tức ymin 2p22q2 2(p q)đạt x =
- Nếu pq >0 A, B nằm phía O (đồng thời nằm phía Ox) Lấy A’ đối xứng với A qua Ox ta có A’(p, -p), đồng thời :
' '
MA MB MA MB A B
Đẳng thức xãy A’, M, B thẳng hàng
2
min
2
( ) ' '
( )
2
' ( ) ( ) 2( )
x p k q p A M k A B
p k q p p
k
p q pq x
p q
y A B p q p q
p q
đạt x = 2pq/(p+q)
A
A ’
B
M O
(8)Sáng kiến kinh nghieäm Vũ Thị Xuân THPT Trần Hưng Đạo
Bài 7 Giải phương trình:
x2 2x 2 4x2 12x 25 9x2 12x 29
Giaûi
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy xét vectơ: ( 1,1) (3 2,5)
(2 3, 4)
u x
u v x
v x
2
2
2
2
4 12 25
9 12 29
u x x
v x x
u v x x
Suy phương trình (1) tương đương: u v uv
( 0)
1 (2 3)
1
1
1
1 (2 3)
4
4
1 u kv k
x k x
k k
x x
k
x x
k x
Vậy phương trình (1) có nghiệm x
Bài 8:Tìm m để phương trình sau có nghiệm
(9)3 x 6 x (3x)(6 x) m Giải Đặt u 3x v; 6 x
Phương trình cho trở thành
2 2
1 10 (1)
9 9 (2)
0, 0 0, 0 (3)
u v m
u v uv m
u v u v
u v u v
(10)Hệ có nghiệm đường thẳng (1) đường trịn (2) có điểm chung thoả điều kiện (3)
Vậy Pt có nghiệm
3 1 10 2 3 2 6 9 3
2
m m
Bài 9: Chứng minh rằng:
a2 a 1 a2 a 1 2, a R
(Hướng dẫn) Xét hai vectơ
1
, 2
1
, 2
x a
y a
2
1 2cos x 1 2sin x m
Bài 10: Tìm giá trị nhỏ hàm số :
2
( ) cos 6cos 13 cos 2cos 2
yf x x x x x
treân 2004 , 2006
(Hướng dẫn) Xét hai vectơ
(3 cos , 2) (1 cos ,1)
a x
b x
Bài 1:Giải hệ phương trình
2 2
3 3
1 1 1
x y z
x y z
x y z
Giải
Xét hai véc tơ 2
0 0 0 ( , , ) ; ( , , )
u x y z v x y z u( , , )x y z0 0
Là nghiệm tuỳ ý (nếu có) hệ cho
Ta coù 3
0 0
. 1
u v x y z
Ngồi tính 2 2 2
0 0 0
1 ; 1 2( 1
u v x y y z z x
(11)Vậy u v. 1 u v. Do u v u v. .
Dấu xãy
0
0
0
0 0
1 1 1
1
x y y z z x
x y z
Từ suy
0 0
0 0
0 0
1 0 0
0 ; 1 ; 0
0 0 1
x x x
y y y
z z z
Thử lại ta hệ cho có nghiệm (1,0,0) ; (0,1,0) : (0,0 ,1) Bài 2 : Giải bất phương trình:
x 1 2x 3 50 3 x12
Giaûi
Điều kiện:
1
3 50
2
50 x
x x
x
Trong mặt phẳng Oxy xét vectơ: (1,1,1)
( 1, 3, 50 )
u
v x x x
3
1 50 48
50
u
u x x x
u v x x x
Suy ra(1) u v u v Đẳng thức
(12)Giải hệ:
3
2 2 3(1)
3 3 3 x y z
x y z
x y z
Giải Xét Không gian Oxyz vectơ:
( , , ) (1,1,1)
u x y z
v
2 2 3
0
1 1
1
u x y z
u
u v x y z
u v u v
u v
x y z
x y z
(Thoả (1) Vậy: x=y=z=1 nghiệm hệ (1)
Bài 4 : Cho a, b hai số thực tuỳ ý Chứng minh
2
1 ( )(1 ) 1 2 (1 )(1 ) 2
a b ab
a b
Giaûi
(13)2
2
(1, ,0) (1, ,0)
1 cos( , )
1 1 sin( , )
1 1
u a
v b
ab u v
a b
a b u v
a b
ta coù 2
2(1 )( ) sin 2( , ) 2sin( , ).cos( , ) 1
(1 )(1 )
ab a b
u v u v u v
a b
1 ( 2)(1 2) 1
2 (1 )(1 ) 2
a b ab
a b
B.
CÁC BAØI TỐN HÌNH HỌC :
Bài Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đơi vng góc Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách đến mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) 1, 2, Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ nhất.
Giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có:
O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c).
d[M, (OAB)] = Þ zM = 3.
Tương tự Þ M(1; 2; 3).
pt(ABC): x y z a+ + =b c
1
M (ABC)
a b c
ẻ ị + + = (1).
O.ABC
1
V abc
6
= (2).
3
1 3
(1)
a b c a b c
Þ = + + ³
1abc 27
Þ ³ .
(2)
1
V 27
a b c
Þ = Û = = = .
Bài 1: Cho tam giác ABC vng A, cạnh góc vuông bvà c, M điểm cạnh BC cho góc BAM = Chứng minh rằng:
(14)Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ Khi A(0,0) , B(b,0), C(0,c) , M9x,y) Từ định nghĩa: x = AM cos , y = AM sin
Neân M(AM cos, AM sin )
Do M thuộc BC CM phương v ới CB
cos sin 0 ( cos sin )
cos sin
AM AM
b c
AM c b bc
bc AM
c b
Bài 2: Cho tam giác ABC có độ dài trung tuyến va độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp làm m m Ra, b, c,
Chứng minh:
2
a b c
R
m m m
(Đại học y dược TPHCM năm2000) Giải
Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giac ABC.Ta có:
2
2 2
2
2 2
2 2
( )
2( )
3 (cos cos cos )
3 2(3 2sin 2sin 2sin )
9
sin sin sin
4 OA OB OC
OA OB OC OA OB OB OC OC OA
R R A B C
A B C
A B C
Do theo bất đẳng thức Bunhiacopski: ma mb mc 3(ma2mb2mc2)
X x
y c
M y
O B
A
B C
O c
a
(15)2 2
( )
4
9(sin sin sin )
9
9
4
a b c
A B C R
R R
a b c
m m m R
Dấu”=” xảy tam giác ABC Bài 3:
Cho tam giác ABC cân A Gọi H trung điểm BC, D hình chiếu H AC , M trung điểm HD Chứng minh AM vng góc BD
Giải Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ
Khi đó: H(0,0), A(0,a), B(-c,0), D(x,y)
Ta coù :
DH AC
AD cung phuong AC
( , )( , ) 0
0
x y c a x y a
c a
D x O=H
A
C M B
(16)2
2
2
2
0 x a c
cx ay a c
ax cy ac y c a
a c
Vaäy D( 2a2c 2 , 2c2a 2)
a c a c , M trung điểm HD nên:
2
2 2
2 2
2 2 2 2
4 2 4
2 2
a c
M( , )
2( ) 2( )
2a c a -c 2
. ( , )( , )
2( ) 2( ) 2a a -c 2a 0
2( ) 2( )
c a
a c a c
c c a c a a
BD AM
a c a c a c a c
c c a c
a c a c
Vậy BD Vuông góc AM (đpcm)
Bài 4 (Đề thi HSG toàn quốc – Năm 1979)
Điểm M nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh giá trị MA4 + MB4 + MC4 khơng phụ thuộc vào vị trí M.
Giải
Gọi I,R tâm bán kính đường tròn (c) ngoại tiếp tam giác ABC Dựng hệ trục hình vẽ, ta có (0,0); (3 , 3); (3 , 3); ( ,0)
2 2 2 2
R R R R
A B C I R
2 2
( , ) ( )
2
M x y C MI R
MI R x y Rx
Ta coù
2
4 4 2 2
2
2
3 3
( ) ( ) ( )
2 2
3 3
( ) ( )
2 2
R R
MA MB MC x y x y
R R
x y
2 2 2
2 2
2 2
2 4
(2 ) (3 3 ) (3 3 ) 6 6 18 12
6 ( ) 18 12 6 2 18 12 18
Rx R Rx R y R Rx R y
R x R y R R x
R x y R R x
R Rx R R x R
Vaäy giá trị MA4 + MB4 + MC4 không phụ thuộc vào vị trí M
(17)tiếp tam giác ABC, E trọng tâm tam giác ACD Chứng minh IE vng góc CD
Gi ải
Chọn hệ trục hình vẽ (O trung điểm BC)
Khi : O(0,0); A(0,a); B(-c,0); C(c,0); D(-c/2, a/2); E(c/6,a/2),(a,c>0) Gọi I(x, y)
Giaû thieát suy
2
( , ).( , ) 0 2 2
( , ).(2 , ) 0 0
2
c a
DI BA x y c a
OI BC x y c o
x
a c
y
a
V aäy (0, 2) 2
a c
I
a
2 3 2
. ( , )( , ) 0 6 2 2 2 4 4 ( )
c c c a c c
IE DC
a IE DC dpcm
Baøi 1
Cho tam diện oxyz A, B, C điểm di động ox, oy, oz cho:
1 1 1 1 2005
OA OB OC
Chứng minh rằng: (ABC)luôn qua điểm cố định Giải
x y
I O
E A
B C
D
o x
A
(18)Khi phương trình mặt phẳng (ABC) là: x y z 1
a b c Hơn nữa: 1 1 1
2005
a b c (Do giaû thiết) M(2005,2005,2005)mp ABC( ) =>mp(ABC)luôn qua điểm cố định M(2005,2005,2005)
Bài 2:Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với AB = a, BC = b, AA’ = c a/ Tính diện tích tam giác ACD’ theo a, b, c
b/ Giả sử M N trung điểm AB BC Hãy tính thể tích tứ diện D’DMN theo a, b, c
Giaûi
a/ Ta lập hệ trục toạ độ vng góc có gốc trùng với đỉnh A, trục có phương trùng với AB AD; ; AA'Khi : A(0,0,0) , C(a,b,0) , D’(0,b,c)
2 2 2
( , ,0); ' (0, , );[ , ] ( , , ) 1 [ , ]
' 2 1 2
AC a b AD b c AC AD bc ca ab
S ACD AC AD
b c c a a b
b/ Dễ dàng tính
3 8
1 '
3 8
ab S DMN
abc
V S DMNDD
Bài 3:Cho hai nửa mp (P) (Q) vng góc với theo giao tuyến (d) Trên (d) lấy AB = a (a độ dài cho trước) Trên nửa đường thẳng Ax vng góc với (d) (Q) lấy điểm N cho BN = a22
b
a/ Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BMN) theo a, b
b/ Tính MN theo a , b Với giá trị b MN có độ dài cực tiểu Tính độ dài cực tiểu
Giải
a/ Chọn hệ trục toạ độ Oxyz cho A trùng với gốc toạ độ (A(0,0,0)): B có toạ độ (0,a,0); N có toạ độ (a2, ,0a
b ) Ta coù
D D’ C’ B’
A’
B
(19)2
2 2
2
(0, , ) ( ,0,0)
0
[ , ] ( , , ) (0, , ) 0 0 0
(0,1, 1)
BM a b
a BN
b
b a b
a b
BM BN a a a a
b b
a
Do mp(BMN) qua B(0,a,0) có VTPT v(0,1, 1) Phương trình mặt phẳng là:
(y – a).1 – (z – 0) = hay y – z - a =
Khoảng cách từ A(0,0,0,) đến mặt phẳng :
1 1 2
a a
b/ Ta coù 2
4
( , ,a ) a
MN a b MN a b
b b
2 2 2
MN a a (bất đẳng thức Cơsi)
MN có độ dài cực tiểu
4 2
3
3
a
a b b a
b
MinMN a khi b a
Bài 4: Cho góc tam diện ba mặt vng góc Oxyz Lấy Ox, Oy,Oz điểm P, Q, R khác điểm O Gọi A, B, C trung điểm PQ, QR, RP Chứng minh góc nhị diện cạnh OA tứ` diện OABC góc nhị diện vng hai góc B C tam giác ABC thoả hệ thức tgB.tgC =
Giaûi
Chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vng góc Oxyz cho P(2a,0,0) ; Q(0,2b,0) ;R(0,0,2c) Khi đó:
A(a,b,0) ; B(0,b,c) ; C(a,0,c)
Pháp véc tơ mặt phẳng (OAB) (OAC) là:
2
( , , ) ( , , )
n bc ac ab
n bc ac ab
Góc nhị diện cạnh OA vuông khi:
2 2 2 1. 0
n n b c a c a b
Trong tam giác ABC ta có:
b
b Y
A z
x
(20)2 2 2
2
2 2 2 2
b c a c a b tgB
a
b c a c a b tgC
b
Vaäy tgB tgC. b c2 a c2 22 a b2 2a b2 22 2(dpcm)
a b a b
Bài 5: Cho tam giác vuông goc A.tìm quỹ tích điểm M khơng gian thoả mãn : MB2 MC2 MA2
Giaûi
Chọn hệ trục toạ độ Đề Oxyz cho A trùng O, B(b,0,.0),C(0,c,0) ( Với AB =b>0,AC=c>0)
Khi M(x, y, z) thoả :
MB2 MC2 MA2
2 2 2 2
2 2
( ) ( )
( ) ( )
0 ( , ,0)
x b y z y c z x y z
x b y c z
x b y c z M b c
Vậy quỹ tích cần tìm có điểm M(b,c,0)
x y
z
A,O
(21)Trên số tốn đại số hình học mặt phẳng không gian Nếu khéo léo chọn hệ trục toạ độ phù hợp, vận dụng phương pháp vectơ toạ độ chuyển thành tốn đại số giải tích tìm lời giải ngắn gọn, phần làm sáng tỏ vấn đề mà tơi đưa Trong q trình viết, thời gian kinh nghiệm giảng dạy có hạn nên khơng tránh khỏi nhiều thiếu sót, mong q thầy góp ý Tôi xin chân thành cảm ơn
Ninh Bình, tháng 04 năm 2010 Người Viết
Vũ Thị Xuân
(22)