Đang tải... (xem toàn văn)
Ở đây, trong bài viết này, chúng tôi xin được giới thiệu cùng các bạn một tính chất khá đặc biệt của tam thức bậc 2 mà từ tính chất này với một cách sử dụng khéo léo, ta có thể giải được[r]
(1)MATHANDYOUTHMAGAZINE
TAM THỨC BẬC HAI - TỪ MỘT
KẾT QUẢ ĐƠN GIẢN ĐẾN CÁC BÀI THI HỌC SINH GIỎI
Tam thức bậc hai khơng cịn xa lạ với học sinh phổ thơng học mơn tốn Những tính chất đẹp đặc trưng sử dụng hiệu nhiều lĩnh vực khác toán học Những tính chất giới thiệu nhiều viết khác tạp chí tốn học tuổi trẻ, toán tuổi thơ, Ở đây, viết này, xin giới thiệu bạn tính chất đặc biệt tam thức bậc mà từ tính chất với cách sử dụng khéo léo, ta giải bất đẳng thức thi Olympic toán quốc tế dễ dàng Tính chất
Định lý 1 Trong tam thức f(x) =ax2+bx+c;
a) Nếua 0thì với mọix2[x1;x2];ta có
f(x) maxff(x1);f(x2)g:
b) Nếua 0thì với mọix2[x1;x2];ta có
f(x) maxff(x1);f(x2)g:
Chứng minh kết dễ dàng nên dành cho bạn đọc Kết có ý nghĩa quan trọng bất đẳng thức, chẳng hạn, để chứng minh rằngf(x) =ax2+bx+c m
với mọix2[x1;x2]thì theo kết trên, ta cần xét bất đẳng
thức tạix=x1vàx=x2là đủ Tính chất
ứng dụng nhiều phương pháp dồn biến để chứng minh bất đẳng thức, phương pháp mà không cịn xa lạ với nhiều bạn đọc u tốn Bây đến số ví dụ để minh họa cho tính chất đẹp
Ví dụ 1 Cho sốa;b;c2[1;2]:Chứng minh rằng
a3+b3+c3 5abc:
(Tốn học tuổi trẻ)
LỜI GIẢI Khơng tính tổng qt, giả sửa b c;thế từ giả thiết, ta có2c a b c:Suy
a3+b3+c3 5abc 2ca2+b3+c3 5abc=f(a): Ta thấy f(a)là tam thức bậc với hệ số cao là2c>
0;nên theo định lý1avới ý rằng2c a b;ta có f(a) maxff(2c);f(b)g:Lại có
f(2c) = (b c)(b2+bc 9c2) (b c)(4c2+2c c 8c2) = 2c2(b c) 0;
và
f(b) =b3+c3 3b2c=b2(b 2c) +c(c2 b2)<0: Vậy nên f(a) 0và bất đẳng thức ta chứng minh
Ví dụ 2 Cho số không âma;b;c;dthỏa mãna+b+c+
d=1:Chứng minh rằng
abc+bcd+cda+dab
27+ 176
27abcd:
(Nguyễn Minh Đức, IMO Shorlist)
LỜI GIẢI Đặtx=ab;thì ta có0 x (a+b)2
4 ;và bất đẳng
thức ta trở thành
f(x) = c+d 176
27cd x+cd(a+b) 27 0:
Đây tam thức bậc với hệ số cao là0nên theo kết trên, ta có
f(x) max f(0);f (a+b)
2
4 :
Do đó, ta đặtP(a;b;c;d) =abc+bcd+cda+dab 271
176
27abcdthì ta thấy kết tương đương với
P(a;b;c;d) max P(a+b;0;c;d);P a+b
2 ;
a+b
2 ;c;d :
Và vậy, ta cần chứng minh
max P(a+b;0;c;d);P a+b
2 ;
a+b
2 ;c;d 0;
hay nói cách khác, ta cần xét bất đẳng thức cho trường hợpa=bhoặcab=0là đủ Bằng cách lập luận tương tự, ta suy ta cần xét bất đẳng thức cho trường hợpc=dhoặccd=0:Từ đó, cách kết hợp lập luận trên, ta đến ta cần xét trường hợp sau
Trường hợp 1.Nếub=d=0;khi bất đẳng thức hiển nhiên
abc+bcd+cda+dab 176
27 abcd=0< 27: Trường hợp 2.Nếua=b;d=0;thì ta có
abc+bcd+cda+dab 176
27abcd=abc
a+b+c
3
3
= 27: Trường hợp 3. Nếua=b;c=d;thì ta có c=1 22a; bất đẳng thức cho trở thành
a2(1 2a) +1
2a(1 2a)
2
27+ 44 27a
2
(1 2a)2; hay
(4a 1)2(22a2 11a+2) 0:
Bất đẳng thức hiển nhiên do22a2+2 4p11a 11a:Vậy toán cho giải
Ví dụ 3 Choa;b;clà độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng
a2b(a b) +b2c(b c) +c2a(c a) 0:
(IMO 1983)
(2)MATHANDYOUTHMAGAZINE
LỜI GIẢI Do tính hốn vị vịng quanh, ta giả sử a c b(nhưng ta lại giả sử ngược lại làa b c!);khi ta có
a2b(a b) = b(a b)(a c)2+bc(2a c)(a b)
bc(2a c)(a b): Như vậy, ta cần chứng minh
b(2a c)(a b) +b2(b c) +ca(c a) 0; hayf(a) = (2b c)a2 (2b c)(b+c)a+b3 0:Nếuc 2b; thìf(a)là tam thức bậc với hệ số cao không dương, nên theo định lý1b;ta có f(a) minff(b+c);f(c)g:Lại có f(b+c) =b3>0;vàf(c) =b(b c)2 0nên bất đẳng thức trường hợp Nếu2b c;thì ta có
(2b c)a2 = (2b c)(a c)2+c(2b c)(2a c)
c(2b c)(2a c): Nên ta cần chứng minh
c(2b c)(2a c) (2b c)(b+c)a+b3 0: Nhưng bất đẳng thức hiển nhiên
c(2b c)(2a c) (2b c)(b+c)a+b3 = (2b c)(c b)a+c3 2bc2+b3
(2b c)(c b)c+c3 2bc2+b3 = b(b c)2 0:
Vậy ta có đpcm Đẳng thức xảy khia=b=c:
Ví dụ 4 Choa;b;clà độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng
a2 b
c +b
2 c
a +c
2 a
b 0:
(Moldova TST, 2006)
LỜI GIẢI Do tính hốn vị vịng quanh, ta giả sử a c b;khi ta viết bất đẳng thức cho dạng tương đương sau
a2 b
c +
c3 b c + c 2a b +
b2c
a b
2 c3
b 0;
(c b)(c3 a2b)
bc +
(a c)(c2a b3)
ab 0;
(c b)(c3 a2b)
c +
(a c)(c2a b3)
a 0:
Bây giờ, ta để ý
(a c)(c2a b3)
a = (a c) c
2 b3
a
(a c) c2 b3 c
= (a c)(c
3 b3)
c :
Nên ta cần chứng minh
(c b)(c3 a2b)
c +
(a c)(c3 b3)
c 0;
hay
f(a) =c3 a2b+ (a c)(b2+bc+c2) 0: Ta thấy f(a) tam thức bậc với hệ số cao b <0; mà c a b+c; nên theo định lý 1b; ta có
f(a) minff(c);f(b+c)g:Lại có f(c) =c2(c b) 0;
f(b+c) =c3 b(b+c)2+b(b2+bc+c2) =c(c2 b2) 0: Nên f(a) 0và bất đẳng thức ta chứng minh Đẳng thức xảy khia=b=c:
Lời kết.Các bạn thấy đấy, có thật đơn giản ta biết áp dụng chúng cách sáng tạo khéo léo biến đơn giản thành phương pháp, kỹ thuật giúp ta giải tốn khó mà trước mắt phục vụ cho kỳ thi học sinh giỏi Bài viết cịn nhiều thiếu sót cần hồn thiện thêm, chúng tơi mong nhận trao đổi góp ý bạn đọc gần xa! Cuối cùng, để kết thúc viết này, xin nêu lên số tập mà ta áp dụng tính chất đẹp để giải
1 Choa;b;c;d2[0;1]:Chứng minh
a2b+b2c+c2d+d2a ab2 bc2 cd2 da2
27:
2 Choa;b;clà độ dài cạnh tam giác Chứng minh a b+ b c+ c a b a+ c b+ a
c +1:
(Vasile Cirtoaje, Old And New Inequalities I) Choa;b;clà độ dài cạnh tam giác Chứng
minh
3 a2
b2+
b2
c2+
c2
a2 a2+b2+c2
1
a2+
1
b2+
1
c2 :
(Walker, American Monthly Magazine) Cho số không âma;b;c;dthỏa mãna+b+c+d=4
Chứng minh
(1+3a)(1+3b)(1+3c)(1+3d) 125+131abcd:
(Phạm Kim Hùng) Cho số không âmx;y;z:Tìm sốklớn
cho bất đẳng thức sau
x3+y3+z3+k(xy2+yz2+zx2) (k+1)(x2y+y2z+z2x): (Mongolia TST, 2008)
(3)MATHANDYOUTHMAGAZINE
Võ Quốc Bá Cẩn
Sinh viên lớp YY0647A1, trường ĐHYD Cần Thơ
Địa chỉ: C65 khu dân cư Phú An, phường Phú Thứ, quận Cái Răng, thành phố Cần Thơ
Điện thoại: 01687 149 971