BẤT ĐẲNG THỨC I. Biến đổi tương đương 1. CMR: ,x y∀ ta có : 2 2 2 2 6 10x y xy y+ + > − − 2. CMR: 2a∀ ≠ ta có: 2 3 1 3 4 4 8a a a > − + − 3. CMR: ( ) 2 2 4 2a b ab a b+ + ≥ + + 4. CMR: ( ) ; 0, 0, 0a b c ab bc ca a b c+ + ≥ + + ≥ ≥ ≥ 5. , ,a b c∀ CMR: a) 2 2 2 a b c ab bc ca+ + ≥ + + b) ( ) ( ) 2 3ab bc ca abc a b c+ + ≥ + + 6. Cho 0 x y z< ≤ ≤ . CMR: ( ) ( ) 1 1 1 1 1 y x z x z x z y x z + + + ≤ + + ÷ ÷ 7. CMR: 2 2 1 1 2,a a a a a+ + + − + ≥ ∀ ∈ ¡ 8. , , , ,a b c d e∀ hãy CMR: ( ) 2 2 2 2 2 a b c d e a b c d e+ + + + ≥ + + + 9. CMR: 0, 0a b> > thì a b a b b a + ≥ + 10.CMR: ,a b∀ ta có 1 1 a b a b a b a b + + ≤ + + + + 11. , ,a b c là ba cạnh của một tam giác CMR: a. ( ) 2 2 2 2a b c ab bc ca+ + < + + b. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 3 a b c b c a c a b a b c− + − + + > + + c. 1 a b c a c b b c a c b a + + − − − < 12. Các cạnh của tam giác ABC có tính chất a b c< < CMR: ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 2 2 3 2 2 0a b c b c a c a b− + − + − < 13. Tam giác ABC có tính chất a b c≤ ≤ CMR: ( ) 2 9a b c bc+ + ≤ 14. Tam giác ABC có A B C≥ ≥ . Hãy CMR: a b c b a c b c a a c b h h h h h h h h h h h h + + ≥ + + 15. Cho 0a b c d≥ ≥ ≥ ≥ hãy CMR: a. ( ) 2 2 2 2 a b c a b c− + ≥ − + b. ( ) 2 2 2 2 2 a b c d a b c d− + − ≥ − + − 16. Cho các số dương , , ,a b c d hãy CMR: a. 1 2 a b c d a b c b c d c d a d a b < + + + < + + + + + + + + b. 2 3 a b b c c d d a a b c b c d c d a d a b + + + + < + + + < + + + + + + + + 17. , ,a b c là ba cạnh của một tam giác CMR: 1 2 a b c b c c a a b < + + < + + + 18. a. Cho 1ab ≥ hãy CMR: 2 2 1 1 2 1 1 1a b ab + ≥ + + + b. Cho 1, 1, 1a b c≥ ≥ ≥ hãy CMR: 3 3 3 1 1 1 3 1 1 1 1a b c abc + + ≥ + + + + 19. Cho a, b, c dương CMR: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 a b c a b c a ab b b bc c c ca a + + + + ≥ + + + + + + 20.a. CMR: ( ) * 1 1 1 2 , 1 1 k k k k k < − ∀ ∈ ÷ + + ¥ b. CMR: ( ) 1 1 1 1 . 2 2 3 2 4 3 1n n + + + + < + 21. a. Cho , 2k k∈ ≥¥ hãy CMR: 3 1 1 1 1k k k < − − b. CMR: 3 3 3 3 1 1 1 1 . 2 1 2 3 n + + + + < 22. CMR: a) 2 2 2 2 1 0; ,x y xy y x y+ + + + > ∀ b) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 ; ,x y xy x y x y− ≥ − ∀ 23. Cho ( ) ( ) 2 2 , 0; 1 1 0x y y y x x > + + − = . Hãy CMR: 2 2 1x y+ < 24. Cho , ,x y z thỏa mãn 1x y z+ + = . Hãy CMR: 4 4 4 x y z xyz+ + ≥ II. Bất đẳng thức Côsi 1. Tìm GTNN của hàm số a. ( ) 1 1 2 f x x x = + + + với 2x > − ; b. ( ) ( ) 2 1 2 1 f x x x = + − với 1x > ; 2. Tìm max của ( ) ( ) ( ) 3 4 2 3A x y x y= − − + với 0 3;0 4x y≤ ≤ ≤ ≤ 3. Cho 0; 0p q≥ ≥ . CMR: ( ) ( ) ( ) 2 2 16p q p q pq+ + + ≥ 4. Cho , , 0a b c ≥ . CMR: a. ( ) ( ) ( ) 8a b b c c a abc+ + + ≥ b. ( ) ( ) ( ) 6ab a b bc b c ca c a abc+ + + + + ≥ 5. CMR: ( ) ( ) 2 2 1 1 2 ; , 0x y x y x y x y + + + ≥ + > 6. Tìm min của ( ) ( ) 2 2 2 2 1 , 1 1 a y x x x x = + + + ≠ − + 7. Tìm tập giá trị của hàm số 1 y x x = + 8. Cho , , 0a b c > . CMR: 2 ab bc ca a b c a b b c c a + + + + ≤ + + + 9. , ,a b c∀ CMR: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 6a b b c c a abc+ + + + + ≥ 10. Cho 0a ≥ CMR: 2 3 3 1a a a+ ≤ + 11. Cho 1, 1a b≥ ≥ CMR: 1 1a b b a ab− + − ≤ 12. Cho 0xyz ≠ CMR: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 9 x y z x y z + + ≥ + + 13. Cho , , 0x y z ≥ . CMR: 3 5 3 2 4xy yz zx x y z+ + ≤ + + 14. Cho 2, 3, 4c a b≥ ≥ ≥ . Tìm max của 2 3 4ab c bc a ca b A abc − + − + − = 15. Cho , , 0a b c > . CMR: a. 6 a b b c c a c a b + + + + + ≥ b. ( ) 1 1 1 9a b c a b c + + + + ≥ ÷ c. ( ) 1 1 1 9 2 a b c a b b c c a + + + + ≥ ÷ + + + d. 3 2 a b c b c c a a b + + ≥ + + + 16. Cho , , 0; 1x y z x y z> + + = . CMR: 18 2 xyz xy yz zx xyz + + ≥ + 17. Cho , , 0a b c > . CMR: 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 a b abc b c abc c a abc abc + + ≤ + + + + + + 18. Cho , , 0a b c > . CMR: 2 2 2 1 1 1 2 a b c a bc b ca c ab abc + + + + ≤ + + + 19. Cho , , 0a b c > và 2 2 2 1a b c+ + = . CMR: 2 2 2 2 2 2 3 3 2 a b c b c c a a b + + ≥ + + + 20. , ,a b c là ba cạnh của một tam giác CMR: a. ( ) 2 3 36 S a b c≤ + + b. ( ) ( ) ( ) 8 abc p a p b p c− − − ≤ c. ( ) ( ) ( ) a b c b c a c a b abc+ − + − + − ≤ d. 2R r ≥ e. 1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c + + ≥ + + ÷ − − − f. 3 a b c b c a c a b a b c + + ≥ + − + − + − g. 2 2 2 2 1 1 1 1 4r a b c ≥ + + h. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0ab a b c bc b c a ca c a b+ − + + − + + − ≥ i. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 3a b c S b c c a a b+ + ≥ + − + − + − 21. CMR 0; 2 x π ∀ ∈ ÷ ta có: 1 1 cos sinx tanx cotx 6 sinx cos x x + + + + + > 22. CMR tam giác ABC đều nếu : 2 9 abc p ab bc ca = + + 23. Cho 0, 0a b≥ ≥ CMR: 3 3 2 3 7 9a b ab+ ≥ 24. ( ) , , 0;1a b c∈ CMR ít nhất một trong ba BĐT sau là sai: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 ; 1 ; 1 4 4 4 a b b c c a− > − > − > 25. a. Cho , , 0a b c > và 1 1 1 2 1 1 1a b c + + ≥ + + + . CMR: 0,125abc ≤ b. Cho , , , 0a b c d > và 1 1 1 1 3 1 1 1 1a b c d + + + ≥ + + + + . CMR: 1 81 abcd ≤ 26. Cho , , 0a b c ≥ . CMR: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 1 1 1 1a b c abc+ + + ≥ + 27. Cho , , 0a b c > và 1 8 abc ≤ . Tìm min của 1 1 1 1 1 1P a b c = + + + ÷ ÷ ÷ 28. Cho 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 0, ,x x x z y x z y> ≥ ≥ CMR: ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 2 x x z z y y+ + ≥ + 29.a. CMR: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 2 2 1 1 a b ab a b + − − ≤ ≤ + + b. Cho 0, 0x y≥ ≥ Tìm max, min của ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 x y xy P x y − − = + + 30. Cho , , 0a b c > . CMR: 3 3 3 3 3 3 a b c a b c b c a b c a + + ≥ + + 31. Mọi tam giác ABC hãy CMR: ( ) 2 3 3 3 3 2 sin sin sinS R A B C≤ + + 32. Tam giác ABC có 1R = CMR: sin sin sin 3 a b c A B C m m m + + ≥ 33. Cho , , 0x y z ≥ và 3x y z+ + ≤ . CMR: 2 2 2 3 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 x y z x y z x y z + + ≤ ≤ + + + + + + + + 34. Cho , , 0x y z > . CMR: 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 y x z x y y z z x x y z + + ≤ + + + + + 35. Cho , , 0a b c > . CMR: 3 3 3 2 2 2 a b c a b c b c a + + ≥ + + 36. Cho , , , 0a b c d > . CMR: 2 2 2 2 5 5 5 5 3 3 3 3 1 1 1 1a b c d b c d a a b c d + + + ≥ + + + HD: 2 2 2 5 5 5 3 3 3 1 1 5a a a b b b a a b + + + + ≥ 37. Ba số , , 0x y z > và 1xyz = ; CMR: * 1 1 1 3; 2 2 2 n n n x y z n + + + + + ≥ ∀ ∈ ÷ ÷ ÷ ¥ 38. CMR: 1 2 1 2 , , ., , , , ., 0 n n a a a b b b∀ > ta có : ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 2 2 . . . n n n n n n n a a a b b b a b a b a b + ≤ + + + 39. Tam giác ABC nhọn có các đường cao 1 1 1 , ,AA BB CC và trực tâm H CMR: 1 1 1 6 AH BH CH A H B H C H + + ≥ 40. Cho , , 0x y z > và 3 2 x y z+ + ≤ . Tìm min của 1 1 1 A x y x x y z = + + + + + 41. Xét PT: 2 1 . 0 2 x a x− − = có các nghiệm 1 2 ,x x . Hãy tìm min của ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 A x x x x x x = − + − + − ÷ 42. x, y thỏa mãn các pt: ( ) ( ) 2 2 2 . 9 0, 3 . 2 9 0, 3x a x a y by b+ + = ≥ − + = ≥ Tìm min của biểu thức ( ) 2 2 1 1 3A x y x y = − + − ÷ 43. Cho HPT: 1 9 x y z xy yz zx m xyz m + + = + + = = . Tìm m để hệ có nghiệm x, y, z dương 44. Giả sử 1 2 ,x x là các nghiệm của pt ( ) 2 . 0, 1a x bx c+ + = và 1 2 ,y y là các nghiệm của pt ( ) ( ) 2 0, 2 ; 0cy dy a ac+ + = ≠ CMR: 2 2 2 2 1 2 1 2 4x x y y+ + + ≥ 45. Cho , ,x y z dương và 1xyz = . CMR: 3 3 3 3 3 3 1 1 1 3 3 x y y z z x xy yz zx + + + + + + + + ≥ 46. Cho a, b, c dương . CMR: 1 2 2 2 a b c b c c a a b + + ≥ + + + 47. Cho , ,x y z dương và 1 1 1 4 x y z + + = . CMR: 1 1 1 1 2 2 2x y z x y z x y z + + ≤ + + + + + + 48. Cho , ,a b c dương và 3 4 a b c+ + = .CMR: 3 3 3 3 3 3 3a b b c c a+ + + + + ≤ 49. Cho , ,a b c dương. CMR: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 16a b a c b c abc+ + + + ≥ 50. Cho , ,a b c dương. CMR: 2 2 2 1 1 1 1 2 a b c a b b c c a a b c + + ≤ + + + + + 51. Cho , ,x y z dương và 1xyz = .Tìm min của ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 x y z y z x z x y P y y z z z z x x x x y y + + + = + + + + + 52. Cho , ,x y z dương .Tìm min của 1 1 1 2 2 2 x y z P x y z yz zx xy = + + + + + ÷ ÷ ÷ 53. Cho , ,x y z dương và 1x y z+ + ≤ . CMR: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 82x y z x y z + + + + + ≥ 54. Cho , ,x y z dương .Tìm min của ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 4 4 4 2 x y z P x y y z z x y z x = + + + + + + + + ÷ 55. Tam giác ABC có diện tích bằng 3 2 . CMR: 1 1 1 1 1 1 3 a b c a b c h h h + + + + ≥ ÷ ÷ 56. Cho , ,x y z dương và 1xyz = . CMR: 2 2 2 3 1 1 1 2 x y z y z x + + ≥ + + + 57. Cho , ,x y z dương. CMR: ( ) 4 4 4 3 3 3 1 2 x y z x y z y z z x x y + + ≥ + + + + + 58. Các số dương x, y thay đổi thỏa mãn đk: 1x y+ = . Tìm min của 1 1 x y P x y = + − − III. Bất đẳng thức Bunhia 1. Cho , ,a b c dương và 1a b c+ + = . CMR: 6a b b c c a+ + + + + ≤ 2. Các số a, b thỏa mãn đk: 2 3 5.a b+ = CMR: 2 2 2 3 5a b+ ≥ 3. , ,x y z thỏa mãn 2 2 2 1x y z+ + = . CMR: 2 3 14x y z+ + ≤ 4. Cho x, y thỏa mãn đk: 5 7 20x y+ = a. Tìm max của P xy= b. Tìm min của 2 2 2 2 ; 5 7Q x y R x y= + = + 5.GPT:a. 2 2 4 6 11x x x x− + − = − + b. 2 2 3 5 2 4 6 0x x x x− + − − + − = 6. Cho 2 2 2 2 1x y u v+ = + = . CMR: ( ) ( ) 2 2u x v x y− + + ≤ 7. Cho 0abc ≠ . CMR: 2 2 2 2 2 2 a b c a b c b c a b c a + + ≥ + + 8. Cho a, b là hai hằng số dương . x, y là hai biến số dương thỏa mãn đk: 1 a b x y + = Tìm min của P x y= + 9. Cho 2a b+ ≥ CMR: 4 4 2a b+ ≥ 10. Cho , ,x y z thỏa mãn đk: 4xy yz zx+ + = . Tìm min của 4 4 4 P x y x= + + 11. Cho , ,x y z thỏa mãn đk: 2 2 2 1x y z+ + = . CMR: 1 1 2 xy yz zx− ≤ + + ≤ 12. Cho 2 2 0, 0, 1x y x y≥ ≥ + = . Tìm max, min của 1 2 1 2y x y= + + + 13. Biết 2 2 36 16 9x y+ = . Tìm max, min của 2 5A y x= − + 14. Phân tích số 16 thành tổng của hai số dương sao cho tổng các bình phương của chúng là bé nhất 15. CMR nếu pt: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x a y b x y c+ + + + + = có nghiệm thì ( ) 2 2 3a b c+ ≤ 16. Cho 4 sô , , ,x y z t thỏa mãn đk: 2 2 2 2 0 1 x y z t x y z t + + + = + + + = Tìm max, min của P xy yz zt tx= + + + 17. , ,a b c là ba cạnh của một tam giác CMR: a. 3p p a p b p c p< − + − + − ≤ b. 2 2 2 4 3a b c S+ + ≥ c. 4 4 4 2 16a b c S+ + ≥ 18. Trong tam giác ABC . CMR: nếu 2 2 2 a b c+ ≤ thì 0,4 0,5 c r h < < 19. M là điểm bất kỳ trong tam giác ABC . Gọi x, y, z lần lượt là khoảng cách từ M đến các cạnh BC, CA, AB CMR: 2 2 2 2 a b c x y z R + + + + ≤ 20. Cho , ,a b c dương và ab bc ca abc+ + = CMR: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 b a a c c b ab ac cb + + + + + ≥ 21. GHPT: 4 4 4 2 3 2 1 2 7 x y z x y z + + = + + = 22. GPT: a. 2 1 3 2 1x x x x+ + − = + b. ( ) 2 1 3 2 3 2 2x x x x− + − ≥ − + − IV. Bất đẳng thức khác 1. Cho 2 2 1x y+ = Tìm max, min của ( ) 2 2 2 6 1 2 2 x xy P xy y + = + + 2. Cho ( ) 2 2 0;xy x y xy x y xy≠ + = + − . Tìm max của 3 3 1 1 A x y = + 3. Cho 2 0, 12y x x y≤ + = + . Tìm max, min của 2 17A xy x y= + + + 4. Cho 2 2 2x y+ = Tìm max, min của ( ) 3 3 2 3P x y xy= + − . a, b là hai hằng số dương . x, y là hai biến số dương thỏa mãn đk: 1 a b x y + = Tìm min của P x y= + 9. Cho 2a b+ ≥ CMR: 4 4 2a b+ ≥ 10. Cho , ,x y z. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 6a b b c c a abc+ + + + + ≥ 10. Cho 0a ≥ CMR: 2 3 3 1a a a+ ≤ + 11. Cho 1, 1a b≥ ≥ CMR: 1 1a b b a ab− + − ≤ 12. Cho 0xyz