Đang tải... (xem toàn văn)
Đị nh lý Viét.. Vµi bµi to¸n øng dông ®Þnh lý ViÐt a) TÝnh nhÈm nghiÖm... T×m nghiÖm thø hai.[r]
(1)ƠN TẬP TỐN
CHUN ĐẾ: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI A.Kiến thức cần ghi nhớ
1 Để biện luận có nghiệm phương trình : ax2 + bx + c = (1) a,b ,c phụ
thuộc tham số m, ta xét trường hợp
a)Nếu a = ta tìm vài giá trị m, thay giá trịđó vào (1) Phương trình (1) trở thành phương trình bậc nên :
- Có nghiệm
- Hoặc vô nghiệm
- Hoặc vô số nghiệm
b)Nếu a ≠0
Lập biệt số ∆= b2 – 4ac ∆/ = b/2 – ac
* ∆ < (∆/ < ) phương trình (1) vơ nghiệm
* ∆ = (∆/ = ) : phương trình (1) có nghiệm kép x1,2 = -
a b
2 (hoặc x1,2 =
-a b/ )
*∆ > (∆/ > ) : phương trình (1) có nghiệm phân biệt: x1 =
a b
2 ∆ −
− ; x2 =
a b
2 ∆ + − (hoặc x1 =
a b/ − ∆/
− ; x =
a b/ + ∆/
− )
2 Định lý Viét
Nếu x1 , x2 nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) S = x1 + x2 = -
a b
p = x1x2 =
a c
Đảo l¹i: Nếu cã hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S x1x2 = p th× hai số nghiệm (nếu cã ) cđa ph−¬ng tr×nh bËc 2: x2 – S x + p =
3.Dấu nghiệm số phơng trình bậc hai
Cho phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Gọi x
1 ,x2 nghiệm phơng trình Ta có kết sau:
x1 x2 trái dấu( x1 < < x2 ) ⇔ p < Hai nghiÖm dơng( x1 > x2 > ) ⇔
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧
> > ≥ ∆
0 0
(2)Hai nghiệm âm (x1 < x2 < 0) ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧
< > ≥ ∆
0 0
S p
Mét nghiƯm b»ng vµ nghiƯm d−¬ng( x2 > x1 = 0) ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧
> = > ∆
0 0
S p
Mét nghiÖm nghiệm âm (x1 < x2 = 0) ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧
< = > ∆
0 0
S p
4 Vài toán ứng dụng định lý Viét a) Tớnh nhm nghim
Xét phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0)
• NÕu a + b + c = phơng trình có hai nghiệm x1 = , x2 =
a c
• NÕu a b + c = phơng trình có hai nghiÖm x1 = -1 , x2 = -
a c
• NÕu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn phơng trình cã nghiƯm x1 = m , x2 = n hc x1 = n , x2 = m
b) LËp phơng trình bậc hai biết hai nghiệm x1 ,x2 Cách làm : - Lập tổng S = x1 + x2
- LËp tích p = x1x2
- Phơng trình cần tìm : x2 S x + p =
c) Tìm điều kiện tham số để ph−ơng trình bậc có nghệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện cho tr−ớc (Các điều kiện cho tr−ớc th−ờng gặp cách biến đổi):
*) x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p *) (x1 – x2)2 = (x
1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p *) x13 + x
2 3 = (x
1 + x2)
3 – 3x
1x2(x1 + x2) = S
3 – 3Sp *) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22
*)
2
2
1
x x
x x x x
+ =
+ =
p S
*)
2
2 2 1 2
x x
x x x x x
x +
=
+ =
p p S2 −2
*) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2
*) 2
2
2
1
2 )
)( (
2
1
a aS p
a S a
x a x
a x x a x a
x − +
− = − −
− + = − + −
(3)d) Tìm điều kiện tham số để ph−ơng trình bậc hai có nghiệm x = x1 cho tr−ớc .Tỡm nghim th
Cách giải:
• Tìm điều kiện để ph−ơng trình có nghiệm x= x1 cho tr−ớc có hai cách làm +) Cách 1:- Lập điều kiện để ph−ơng trình bậc cho có nghiệm:
∆≥0 (hc ∆/ ≥0
) (*)
- Thay x = x1 vào ph−ơng trình cho ,tìm đ−ợc giá trị tham số
- Đối chiếu giá trị vừa tìm đ−ợc tham số với điều kiện(*) để kết luận
+) C¸ch 2: - Không cần lập điều kiện0 (hoặc / 0
) mà ta thay x = x1 vào ph−ơng trình cho, tìm đ−ợc giá trị tham số - Sau thay giá trị tìm đ−ợc tham số vào ph−ơng trình giải ph−ơng trình
Chú ý : Nếu sau thay giá trị tham số vào ph−ơng trình cho mà ph−ơng trình bậc hai có ∆ < kết luận khơng có giá trị tham số để ph−ơng trình có nghiệm x1 cho trc
ã Đê tìm nghiệm thứ ta có cách làm
+) Cách 1: Thay giá trị tham số tìm đợc vào phơng trình giải phơng trình (nh cách trình bầy trên)
+) Cách 2 :Thay giá trị tham số tìm đợc vào công thức tổng nghiệm tìm đợc nghiÖm thø
+) Cách 3: thay giá trị tham số tìm đ−ợc vào cơng thức tích hai nghiệm ,từ tìm đ−ợc nghiệm thứ
Bµi tập mẫu :
Bài 1: Giải biện luận phơng trình : x2 2(m + 1) +2m+10 =
Gi¶i
Ta cã ∆/ = (m + 1)2 – 2m + 10 = m2 –
+ Nếu ∆/ > ⇔ m2 – > ⇔ m < - m > Ph−ơng trình cho có nghiệm phân biệt:
x1 = m + - −9
m x2 = m + + −9
m + NÕu ∆/ = ⇔m =
- Với m =3 phơng trình cã nghiƯm lµ x1.2 = - Víi m = -3 phơng trình có nghiệm x1.2 = -2 + NÕu ∆/ < ⇔ -3 < m < phơng trình vô nghiệm
Kết kuận:
ã Với m = phơng trình có nghiƯm x = • Víi m = - phơng trình có nghiệm x = -2
ã Với m < - m > phơng trình có nghiệm phân biệt x1 = m + - −9
m x2 = m + + −9
(4)ã Với -3< m < phơng trình vô nghiệm
Bài 2: Giải biện luận phơng trình: (m- 3) x2 2mx + m =
H−íng dÉn
• Nếu m – = ⇔ m = ph−ơng trình cho có dạng
- 6x – = ⇔ x = -
* Nếu m – ≠0 ⇔ m ≠ Ph−ơng trình cho ph−ơng trình bậc hai có biệt số ∆/ = m2 – (m – 3)(m – 6) = 9m – 18
- NÕu ∆/ = ⇔9m – 18 = m = phơng trình có nghiệm kép x1 = x2 = -
3
2
/
− =
a b
= -
- NÕu ∆/ > ⇔ m >2 Phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1,2 =
3
− − ±
m m m
- NÕu ∆/ < m < Phơng trình vô nghiệm Kết luận:
Với m = phơng trình có nghiệm x = - Víi m = ph−¬ng tr×nh cã nghiƯm x1 = x2 = -2 Víi m > m phơng trình có nghiệm x1,2 =
3
− − ±
m m m
Víi m < ph−¬ng trình vô nghiệm
Bài 3: Giải phơng trình sau b»ng c¸ch nhÈm nhanh nhÊt a) 2x2 + 2007x – 2009 =
b) 17x2 + 221x + 204 = c) x2 + ( 3− 5)x - 15 = d) x2 –(3 - 7)x - =
Gi¶i
a) 2x2 + 2007x – 2009 = cã a + b + c = + 2007 +(-2009) = Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = , x2 =
2 2009 − =
a c
b) 17x2 + 221x + 204 = cã a – b + c = 17 – 221 + 204 = Vậy phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt: x1 = -1 ,
x2 = -
17 204 − =
a c
= - 12 c) x2 + ( 3− 5)x - 15 = cã: ac = - 15 <
Do ph−ơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 áp dụng hệ thức Viet ta có : x1 + x2 = -( 3− 5) = - +
(5)Vậy phơng trình có nghiệm x1 = - , x2= (hc x1 = , x2 = - 3) d ) x2 –(3 - 2 7)x - 6 7 = cã : ac = - 6 7 <
Do ph−ơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 áp dụng hệ thức Viét ,ta có
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧
= =
= +
) 3(-2 x x
7 -3 x x
2
2
VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiƯm x1 = , x2 = -
Bài 4 : Giải phơng trình sau cánh nhẩm nhanh (m tham sè) a) x2 + (3m – 5)x – 3m + =
b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + =
H−íng dÉn :
a) x2 + (3m – 5)x – 3m + = cã a + b + c = + 3m – – 3m + = Suy : x1 =
Hc x2 =
1 +
m
b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + = (*)
* m- = ⇔ m = (*) trë thµnh – 4x – = ⇔ x = - * m – ≠ ⇔ m ≠ (*)
⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡
− − =
− = ⇔
3 2
1
2
m m x
x
Bµi 5: Gäi x1 , x2 nghịêm phơng trình : x2 – 3x – = a) TÝnh:
A = x12 + x22 B = x1−x2 C=
1 1
2
1 −
+ − x
x D = (3x1 + x2)(3x2 + x1)
b) lËp phơng trình bậc có nghiệm 1
1 −
x vµ
1
2
x
Giải ;
Phơng trình bâc hai x2 3x = cã tÝch ac = - < , suy phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2
Theo hÖ thøc ViÐt ,ta cã : S = x1 + x2 = vµ p = x1x2 = -7 a)Ta cã
+ A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = – 2(-7) = 23 + (x1 – x2)2 = S2 – 4p => B = x1 −x2 = −4 = 37
p
S
+ C =
1 1
2
1 −
+ − x
x =
1 )
1 )( (
2 ) (
2
2
1 =−
+ −
− = − −
− +
S p
S x
x x x
(6)= 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = -
b)Ta cã : S =
9 1 1
2
− = − + − x
x (theo c©u a)
p =
9 1 )
1 )( (
1
2
− = + − = −
− x p S
x
VËy 1
1 −
x vµ
1
2
x nghiệm hơng trình :
X2 – SX + p = ⇔X2 +
X -
= ⇔9X2 + X - =
Bài 6 : Cho phơng trình :
x2 – ( k – 1)x - k2 + k – = (1) (k lµ tham sè)
1 Chứng minh ph−ơng trình (1 ) ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị k Tìm giá trị k để ph−ơng trình (1) có nghiệm phân biệt trái dấu Gọi x1 , x2 nghệm ph−ơng trình (1) Tìm k để : x13 + x23 >
Giải Phơng trình (1) phơng trình bậc hai cã:
∆ = (k -1)2 – 4(- k2 + k – 2) = 5k2 – 6k + = 5(k2 -
k +
) = 5(k2 –
5
k + 25
9 +
25 36
) = 5(k -
) + 36
> víi mäi gi¸ trị k Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt
2 Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu p < ⇔- k2 + k – < ⇔ - ( k2 –
2
k +
+
) < ⇔ -(k -
2
)2 -
< với k.Vậy ph−ơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu với k
3 Ta cã x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2)
Vì phơng trình có nghiệm với k Theo hệ thøc viÐt ta cã x1 + x2 = k – vµ x1x2 = - k2 + k –
Ö x13 + x23 = (k – 1)3 – 3(- k2 + k – 2)( k – 1) = (k – 1) [(k – 1)2 - 3(- k2 + k – 2)] = (k – 1) (4k2 – 5k + 7)
= (k – 1)[(2k -
)2 +
16 87
] Do x13 + x23 > ⇔ (k – 1)[(2k -
4
)2 + 16 87
(7)⇔ k – > ( v× (2k -
)2 + 16 87
> víi mäi k) k >
Vậy k > giá trị cần tìm
Bài 7:
Cho phơng tr×nh : x2 – 2( m + 1) x + m – = (1) (m lµ tham sè) Giải phơng trình (1) với m = -5
2 Chứng minh ph−ơng trình (1) ln có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với m Tìm m để x1 −x2 đạt giá trị nhỏ (x1 , x2 hai nghiệm ph−ơng trình (1) núi
trong phần 2.)
Giải
1 Với m = - phơng trình (1) trở thµnh x2 + 8x – = vµ cã nghiƯm lµ x1 = , x2 = -
2 Cã ∆/ = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + – m + = m2 + m + = m2 + 2.m.
2
+
+ 19
= (m +
)2 +
4 19
> víi mäi m Vậy phơng trình (1) có nghiệm phân biệt x1 , x2
3 Vì phơng trình có nghiệm víi mäi m ,theo hƯ thøc ViÐt ta cã: x1 + x2 = 2( m + 1) vµ x1x2 = m –
Ta cã (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4( m + 1)2 – (m – 4) = 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m +
2
)2 + 19
] => x1−x2 =
4 19 ) ( + +
m
4 19
≥ = 19 m +
= ⇔m = - Vậy x1 −x2 đạt giá trị nhỏ 19 m = -
2
Bµi 8 : Cho phơng trình (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – = (m lµ tham số) 1) Giải phơng trình m = -
2
2) Chứng minh ph−ơng trình cho có nghiệm với m
3) T×m tất giá trị m cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt nghiệm gấp ba lần nghiệm
Giải:
1) Thay m = -
vào ph−ơng trình cho thu gọn ta đ−ợc 5x2 - 20 x + 15 =
ph−¬ng tr×nh cã hai nghiƯm x1 = , x2=
2) + Nếu: m + = => m = - ph−ơng trình cho trở thành; 5x – = ⇔ x =
+ Nếu : m + ≠ => m ≠ - Khi ph−ơng trình cho ph−ơng trình bậc hai có biệt số :
(8)Do ph−ơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 =
) (
5
+ + −
m m
=
4
4
2 =
+ +
m m
x2 =
2 )
2 (
) ( ) (
5
+ − = + − = +
− −
m m m
m m
m
Tóm lại ph−ơng trình cho ln có nghiệm với m
3)Theo câu ta có m ≠ - ph−ơng trình cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm gấp lần nghiệm ta sét tr−ờng hợp
Tr−êng hỵp 1 : 3x1 = x2 ⇔ = + −
m m
giải ta đợc m = -
(đã giải câu 1)
Tr−êng hỵp 2: x1 = 3x2 ⇔ 1= 3 + −
m
m ⇔
m + = 3m – ⇔ m = 11
(thoả mÃn điều kiện m - 2)
KiĨm tra l¹i: Thay m = 11
vào ph−ơng trình cho ta đ−ợc ph−ơng trình : 15x2 – 20x + = ph−ơng trình có hai nghiệm
x1 = , x2 = 15
5 =
3
(thoả mÃn đầu bài)
Bài 9: Cho phơng trình : mx2 2(m-2)x + m – = (1) víi m lµ tham sè BiÖn luËn theo m sù cã nghiệm phơng trình (1)
2 Tỡm m (1) có nghiệm trái dấu
3 Tìm m để (1) có nghiệm Tìm nghiệm thứ hai
Gi¶i
1.+ NÕu m = thay vµo (1) ta cã : 4x – = ⇔ x = + NÕu m ≠0 LËp biÖt sè ∆/= (m – 2)2 – m(m-3) = m2- 4m + – m2 + 3m = - m +
/
∆ < ⇔ - m + < ⇔ m > : (1) v« nghiƯm /
∆ = ⇔ - m + = ⇔ m = : (1) cã nghiÖm kÐp x1 = x2 =
-2
2
/
= − = − =
m m a b
/
∆ > ⇔ - m + > ⇔ m < 4: (1) cã nghiƯm ph©n biƯt x1 =
m m
m−2− − +4
; x2 =
m m
m−2+ − +4
Vậy : m > : phơng trình (1) v« nghiƯm
m = : phơng trình (1) Có nghiệm kép x =
≠ m < : ph−¬ng trình (1) có hai nghiệm phân biệt:
x1 =
m m
m−2− − +4
; x2 =
m m
m−2+ − +4
(9)2 (1) cã nghiƯm tr¸i dÊu ⇔
a c
< ⇔
m
m−3
< ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ > < − ⎩ ⎨ ⎧ < > − 0 0 m m m m ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ > < ⎩ ⎨ ⎧ < > 3 m m m m
Tr−êng hỵp ⎩ ⎨ ⎧ < > m m
không thoả mÃn
Trờng hợp ⎩ ⎨ ⎧ > < m m
⇔ < m <
3 *)Cách 1: Lập điều kiện để ph−ơng trình (1) có hai nghiệm /
∆ ≥ ⇔ ≠m ≤ (*) (ở câu a có) - Thay x = vào ph−ơng trình (1) ta có :
9m – 6(m – 2) + m -3 = ⇔ 4m = -9 ⇔ m = -4 Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m =
-4
tho¶ m·n
*) Cách 2: Không cần lập điều kiện ∆/ ≥ mà thay x = vào (1) để tìm đ−ợc m = -4
9
.Sau thay m = -4
vào phơng trình (1) :
-4
x2 – 2(-4
- 2)x -
- = ⇔ -9x2 +34x – 21 =
cã ∆/ = 289 – 189 = 100 > => ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = x x
VËy víi m = -4
phơng trình (1) có nghiệm x= *)Để tìm nghiệm thứ ,ta có cách làm
Cách 1: Thay m = -
vào ph−ơng trình cho giải ph−ơng trình để tìm đ−ợc x2 = (Nh− phần làm)
C¸ch 2: Thay m = -4
vào công thức tính tổng nghiÖm:
x1 + x2 =
9 34 ) ( ) ( = − − − = − m m
Ö x2 = 34
- x1 = 34
(10)C¸ch 3: Thay m = -
vµo c«ng trøc tÝnh tÝch hai nghiƯm
x1x2 =
9 21
9
= −
− − = −
m m
=> x2 = 21
: x1 = 21
: =
Bài 10: Cho ph−ơng trình : x2 + 2kx + – 5k = (1) với k tham số 1.Tìm k để ph−ơng trình (1) có nghiệm kép
2 Tim k để ph−ơng trình (1) có nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện : x12 + x22 = 10
Gi¶i
1.Phơng trình (1) có nghiệm kép / = ⇔ k2 – (2 – 5k) = ⇔ k2 + 5k – = ( cã ∆ = 25 + = 33 > )
Ö k1 =
33 5− −
; k2 =
33 5+ − Vậy có giá trị k1 =
2 33 5− −
hc k2 =
33 5+
phơng trình (1) Có nghiệm kép 2.Có cách giải
Cỏch 1: Lp iu kiện để ph−ơng trình (1) có nghiệm: /
∆ ≥ ⇔ k2 + 5k – ≥ (*) Ta cã x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 Theo bµi ta cã (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 10
Víi ®iỊu kiƯn(*) , ¸p dơng hƯ trøc vi Ðt: x1 + x2 = - =
a b
- 2k vµ x1x2 = – 5k VËy (-2k)2 – 2(2 – 5k) = 10 ⇔ 2k2 + 5k – =
(Cã a + b + c = 2+ – = ) => k1 = , k2 = -
Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần l−ợt k1 , k2 vào ∆/ = k2 + 5k – + k1 = => ∆/ = + – = > ; thoả mãn
+ k2 = -
=> ∆/=
8 29
8 70 49 2 35
49− − = − − =−
không thoả mÃn Vậy k = giá trị cần tìm
Cách 2 : Không cần lập điều kiện / Cách giải là: Tõ ®iỊu kiƯn x12 + x
22 = 10 ta tìm đợc k1 = ; k2 = -
2
(cách tìm nh trên) Thay lần lợt k1 , k2 vào phơng trình (1)
+ Víi k1 = : (1) => x2 + 2x – = cã x1 = , x2 = + Víi k2 = -
2
(1) => x2- 7x +
2 39