Luận văn thạc sĩ biểu diễn tự đẳng cấu và phân tích phổ của biểu diễn chính quy của một số lớp nhóm lie reductive

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỖ THỊ PHƯƠNG QUỲNH BIỂU DIỄN TỰ ĐẲNG CẤU VÀ PHÂN TÍCH PHỔ CỦA BIỂU DIỄN CHÍNH QUY CỦA MỘT SỐ LỚP NHĨM LIE REDUCTIVE THỰC THẤP CHIỀU Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số : 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH ĐỖ NGỌC DIỆP 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, hướng dẫn GS TSKH Đỗ Ngọc Diệp, luận án tiến sĩ chun ngành tốn giải tích với tên đề tài "Biểu diễn tự đẳng cấu phân tích phổ biểu diễn quy số lớp nhóm Lie reductive thực thấp chiều" cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các kết nghiên cứu trình bày luận án trung thực, khách quan chưa để bảo vệ học vị Tôi xin cam đoan thông tin trích dẫn luận án rõ nguồn gốc tuân thủ quy tắc Tác giả Đỗ Thị Phương Quỳnh i LỜI CẢM ƠN Trong trình thực đề tài “Biểu diễn tự đẳng cấu phân tích phổ biểu diễn quy số lớp nhóm Lie reductive thực thấp chiều” Tôi nhận nhiều giúp đỡ, tạo điều kiện tập thể lãnh đạo, nhà khoa học, cán bộ, chuyên viên Khoa Sau Đại học, Khoa Tốn, giảng viên, cán phịng, ban chức Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành giúp đỡ Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới GS TSKH Đỗ Ngọc Diệp người thầy trực tiếp hướng dẫn bảo tận tình cho tơi hồn thành luận án Tơi xin chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp tơi gia đình động viên, khích lệ, tạo điều kiện giúp đỡ tơi suốt q trình thực hồn thành luận án Thái Nguyên, ngày 01 tháng 02 năm 2017 Nghiên cứu sinh Đỗ Thị Phương Quỳnh ii Mục lục Trang bìa phụ i Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt v Mở đầu Chương Từ công thức Poisson cổ điển đến công thức vết Arthur-Selberg 1.1 Công thức tổng Poisson cổ điển 1.2 Nhóm nhân số phức biến đổi Fourier-Laplace 11 1.3 Công thức vết Arthur-Selberg 12 1.3.1 Công thức vết 12 1.3.2 Công thức vết ổn định 14 Chương Nhóm hạng 15 2.1 Nhóm nội soi SL(2, R) 16 2.2 Biểu diễn tự đẳng cấu 2.2.1 Tương ứng Langlands hình học 18 20 2.2.2 Lượng tử hóa hình học 21 2.3 Công thức vết Arthur-Selberg 24 2.3.1 Công thức vết 2.3.2 Công thức vết ổn định 24 28 2.4 Nội soi 28 iii 2.5 Công thức tổng Poisson 2.5.1 Vế hình học công thức vết 32 32 2.5.2 Vế phổ công thức vết 2.5.3 Công thức tổng Poisson 33 33 Chương Nhóm hạng 35 3.1 Công thức tổng Poisson nội soi cho SL(3, R) 35 3.1.1 Biểu diễn unita bất khả quy 3.1.2 Cảm sinh chỉnh hình 35 40 3.1.3 Dãy phổ Hochschild-Serre 3.1.4 Nội soi 41 42 3.1.5 Tích phân quỹ đạo ổn định 3.1.6 Công thức tổng Poisson 47 49 3.2 Công thức tổng Poisson nội soi cho SU(2, 1) 3.2.1 Biểu diễn unita 49 49 3.2.2 Cảm sinh chỉnh hình 3.2.3 Dãy phổ Hochschild-Serre 52 54 3.2.4 Trường hợp chỉnh hình khơng chỉnh hình 3.2.5 Công thức vết 54 55 3.2.6 Nội soi tổng Poisson 56 3.3 Công thức tổng Poisson nội soi cho Sp(4, R) 63 3.3.1 Biểu diễn cảm sinh chỉnh hình 3.3.2 Cảm sinh đối đồng điều 67 69 3.3.3 Dãy phổ Hochschild-Serre 3.3.4 Nội soi 72 73 3.3.5 Công thức tổng Poisson 76 Kết luận kiến nghị 80 Danh mục công trình cơng bố tác giả 81 Tài liệu tham khảo 82 iv Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt C N Tập số phức Tập số tự nhiên R Tập số thực Z R∗+ Tập số nguyên Tập số thực dương C∗ tập số phức khác khơng Tích nửa trực tiếp phải Tích nửa trực tiếp trái Tổng trực tiếp ⊕ ∼ = K\G/K Đẳng cấu G chia thương trái phải cho K diag(λ1 , λ2 , , λn ) L2 Ma trận đường chéo Khơng gian hàm bình phương khả tích o L2 Phần rời rạc khơng gian hàm L2cont bình phương khả tích Phần liên tục khơng gian hàm tr A bình phương khả tích Vết ma trận A det A Dk Định thức ma trận A Biểu diễn chuỗi rời rạc π1 ( Θ⊥ ) Nhóm khơng gian tơpơ Phần bù trực giao Θ L2 (G) H(SL(2, R)) Đại số Hecke SL(2, R) gồm hàm lớp C0∞ K- bất biến phía ||f | | ˆ G Chuẩn hàm f S1 C0∞ (R) Đường trịn đơn vị Lớp hàm trơn có giá compact Nhóm đối ngẫu G, gồm lớp tương đương biểu diễn unita bất khả quy G v ⊕ R IndG Bχ Tích phân trực tiếp biểu diễn Biểu diễn cảm sinh từ B lên G {Γ} V ol Tập phần tử đại diện lớp liên hợp Thể tích O(f ) Gal(C/R) Tích phân quỹ đạo hàm f Nhóm Galois mở rộng C/R G Phủ phổ dụng nhóm G Sk (Γ) Không gian dạng modular trọng k nhóm rời rạc Γ vi Mở đầu Lý chọn đề tài Giải tích điều hịa ngành toán nghiên cứu biểu diễn hàm hay phân tích, tổng hợp sóng nghiên cứu tổng quát khái niệm lý thuyết chuỗi Fourier biến đổi Fourier Trong kỷ qua, giải tích điều hịa trở thành lĩnh vực lớn với ứng dụng nhiều lĩnh vực đa dạng xử lý tín hiệu, học lượng tử, phân tích thủy triều thần kinh học Biến đổi Fourier cổ điển Rn lĩnh vực nhiều nhà nghiên cứu "khai thác" đặc biệt vấn đề có liên quan đến biến đổi Fourier đối tượng tổng quát hàm suy rộng điều hịa Giải tích điều hịa trừu tượng (xem [18]) bao gồm lý thuyết biểu diễn (xem [14], [25]), sử dụng sở thay vai trò hàm mũ phân tích Fourier cổ điển Nói cách khác giải tích điều hịa trừu tượng mở rộng phân tích Fourier cổ điển lên nhóm G tùy ý Trong vấn đề này, có khác biệt lớn trường hợp nhóm Aben nhóm khơng Aben Phân tích Fourier nhóm Aben G xác định số hạng đặc trưng nhóm tương ứng Tuy nhiên đặc trưng bội khơng phù hợp để mở rộng phân tích Fourier nhóm khơng Aben Do trường hợp biểu diễn nhóm (xem [24]) cho câu trả lời phù hợp (chú ý nhóm Aben biểu diễn bất khả quy chiều) Trong giải tích điều hịa cổ điển R, cơng thức Poisson cho hàm suy rộng là: +∞ +∞ e−inx , δ(x − n) = 2π n=−∞ n=−∞ δ hàm Dirac Cơng thức đóng vai trị quan trọng với hàm f ∈ C0∞ (R) viết dạng +∞ +∞ fˆ(m), f (m) = 2π m=−∞ m=−∞ fˆ(m) = 2π π f (x)e−imx dx −π biến đổi Fourier f Vế trái công thức xem phân tích biểu diễn quy thành tổng thành phần bất khả quy vế phải xem tổng giá trị biến đổi Fourier Chính cơng thức cho phân tích khơng gian hàm bình phương khả tích sau: ⊕ L (R/πZ) = Cn , n∈Z với Cn = C Mặt khác, công thức dễ dàng phát triển ngơn ngữ nhóm cho nhóm sau: R, R∗+ , C∗ Nếu ta xét G = S1 nhóm Lie compact giao hốn, lý thuyết chuỗi Fourier cho câu trả lời thỏa đáng cho nhiều vấn đề giải tích Fourier biến đổi Fourier biến đổi Fourier ngược, công thức Plancherel Nếu có hàm R lấy trung bình điểm nguyên để chuyển đến hàm S1 Công thức tổng Poisson cho ta mối quan hệ tổng điểm nguyên giá trị hàm R với giá compact tổng ảnh Fourier tương ứng Cơng thức cơng cụ quan trọng cho giải tích phổ khơng gian hàm bình phương khả tích đường trịn đơn vị L2C (S1 ; 2π dθ) Chính xác hơn, khơng gian L2 (S1 ; C) phân tích thành tổng trực tiếp trực giao rời rạc vô hạn lần C : ⊕ C1n ; C1n ∼ = C L (R/2πZ) = n∈Z Cịn trường hợp G nhóm cộng R có kết tương tự lý thuyết biến đổi Fourier Nhóm nhân R∗+ vi phơi với R tích phân Fourier tương ứng gọi biến đổi Mellin Công thức nghịch đảo Mellin cơng thức Plancherel có dạng phân tích khơng gian L2 (R∗+ ; dx x ) thành tích phân trực tiếp C1λ dλ, C1λ ∼ = C L2 (R∗+ ) = R Nhóm nhân C∗ số phức khác khơng đồng phơi với tích trực tiếp nhóm compact S1 nhóm khơng compact R∗+ dr có phân tích phổ L2 (C∗ ; dθ), theo I.M Gelfand, thành tổng trực 2π r tiếp rời rạc tích phân trực tiếp liên tục ⊕ ∗ L (C /2πZ × {1}) = ⊕ C1λ Cn ⊕ n∈Z R Bài toán đặt nghiên cứu để tìm cơng thức tổng Poisson tương tự cơng thức Poisson nói khn khổ giải tích điều hịa trừu tượng nhóm nửa đơn reductive Cơng thức Poisson trừu tượng tổng quát chưa tồn nên tiếp cận đến tốn lớp nhóm Lie có hạng nhóm SL(2, R) phủ phổ dụng SU(1, 1) cần nghiên cứu trường hợp SL(2, R) đủ Các nhóm hạng SL(3, R), SU(2, 1) Sp(4, R), trường hợp chúng tơi tính tốn tích phân quỹ đạo cụ thể Khi nhóm G nhóm tuyến tính đặc biệt SL(2, R), tác động nửa mặt phẳng Poincaré H = SL(2, R)/ SO(2, R) biến đổi phân tuyến tính, chọn nhóm Fuchsian kiểu I, Γ ⊆ SL(2, Z) cho thể tích hữu hạn V ol(Γ\G) < +∞ tương ứng với độ đo Haar tự nhiên SL(2, R) Khi nhóm tuyến tính đặc biệt tồn nhất, xác đến liên hợp, nhóm Cartan H [27] xuyến T (C) = GL1 (C) = C ∗ Mặt khác L2 (Γ\ SL(2, R)) phân tích phổ thành tổng trực giao hai phần phần liên tục L2cont (Γ\ SL(2, R)) phần rời rạc o L2 (Γ\ SL(2, R)) Phần rời rạc phân tích thành tổng trực tiếp trực giao biểu diễn tự đẳng cấu, tức biểu diễn thu từ biểu diễn chuỗi rời rạc G, sau tính vết cho biểu diễn chuỗi rời rạc ta nhận vế giải tích (hay vế phổ) cơng thức tổng Xét nhóm parabolic Q ⊂ Sp(4, C), mà đại số Lie q = l + u = Z, Z , P± + X+ , N+ , P0− Trong nhóm Levi liên kết L = {g ∈ G| Ad(g)q ⊂ q}, l = Lie L lC = l ⊗ C ∼ = su(1, 1) = sl(2, C) Đại số Lie q phân cực phương pháp quỹ đạo Nhóm unita U (2) nhúng nhóm compact cực đại K nhóm Sp(4, R) ánh xạ j : U(2) → K ⊂ Sp(4, R) A = X + iY ∈ U(2) → X −Y Y X ánh xạ tương ứng cho phép nhúng đại số j : u(2) = α β + iγ −β + iγ iδ V1 = U1 + U2 = j (U1 ) = j(U1 ) = j j (U2 ) = −j(U2 ) = j j (V3 ) = j −1 i = V1 , V2 , V3 , V4 , , V2 = U1 − U2 = i 0 −i   0 −1   0 0 0 i  = iZ = G − F =  1 0 0 , 0   0 0   0 0   0 0 −1 0 , = −iZ = R − R =    i 0 0  0   0   −1 0   = N+ + N− = P − P =   0 ,   0 −1 i 70  j (V4 ) = j  −1 = −i(N+ − N− ) = Q − Q =  0  i i 0 0   −1 0  0  0 Ký hiệu T nhóm Cartan compact, t đại số Lie T , dễ thấy t = l ∩ k = u(1, 1) ∩ u(2) tC = t ⊗ C = Z, Z = h Vì T = L ∩ K có hai phân thớ K/T Y = G/T X = H = G/K L/T Y D = G/L với thớ tương ứng K/T ∼ = U (2)/(U (1) × U (1)) ∼ = SU (2)/U (1) ∼ = P1 (C) L/T ∼ = U (1, 1)/(U (1) × U (1)) ∼ = D2 (đĩa mở) Theo cảm sinh đối đồng điều, xét đối đồng điều Dolbeault dạng phức trơn (0,p) với giá trị phân thớ đường thẳng Lχ giá trị hệ số Cχ Lχ Ap (D; Lχ ) = {C ∞ (G) ⊗ Cχ ⊗ ∧p u} Định lý 3.10 Đặt s = dimC K/(K ∩ L) = chiều đa tạp compact cực đại D χ đặc trưng T , cho χ + ρ, β > 0, ∀β ∈ ∆(u) H p (D; Lχ ) = 0, ∀p = s Trong điều kiện phân bố Định lý 3.10, Zierau mô tả biến đổi P : H s (D; Lχ ) → C ∞ (G/K, Eχ ) 71 nội xạ, Eχ phân thớ G/K liên kết với K-biểu diễn Eχ thớ Theo định lý Borel-Weil-Bott cho H s (K/(K ∩ L); Lˇχˇ ), Lˇχˇ kéo ngược phép nhúng chìm đẳng cấu K/(K ∩ L) → G/L, có mệnh đề triệt tiêu Trong trường hợp này, K-kiểu cực tiểu τΛ σk− λ = (k − 1, − k), k ≥ 3, λ = λ − (2, −2) = (k − 3, − k) χ = λ + 2ρ(u) = λ + (3, −3) = (k, −k) nên ta có s = 1, χ = (k, −k), χ = (k − 1, − k) Chi tiết chứng minh định lý xem [3] 3.3.3 Dãy phổ Hochschild-Serre Với cách xây dựng dãy phổ Hochschild-Serre hoàn toàn tương tự cách xây dựng dãy phổ Hochschild-Serre nhóm SL(3, R), SU(2, 1), cần thay đổi cách lấy đại số sau: h+ = C(Y + iX) ⊕ C(S − iZ/2): e = p+ ⊕ kC = h+ ⊕ kC , vậy, có e ∩ b1 = h+ , e ∩ b = h+ ⊕ mC Sau để xây dựng dãy phổ Hochschild-Serre xét trọng trội λ + α31 biểu diễn Vλ∗ kC , biểu diễn tầm thường p+ mở rộng thành biểu diễn ξ e = p+ ⊕ kC Tác động h+ V λ+α31 ξ + 12 tr adb1 Ký hiệu H± không gian biểu diễn T± ∞ B Ω± ký hiệu H± không gian gồm vec tơ trơn Vì dimC (pC ) = nên có ∧q (h+ ) = với q ≥ Cũng với điều kiện việc xác định toán tử đối biên Hochschild-Serre dễ dàng ∞ ∞ → ∧q+1 (h+ )∗ ⊗ V λ+α31 ⊗ H± (δ± )λ,q : ∧q (h+ )∗ ⊗ V λ+α31 ⊗ H± cơng thức tốn tử liên hợp đối ngẫu chúng (δ± )∗λ,q Khi dãy phổ Hochschild-Serre nhóm hội tụ đến H q (B; b1 , Vλ ) 72 r+s=q ∞ H r (e1 ; H s (M ; V λ+α31 ⊗ H± )) 3.3.4 Nội soi Để tính cơng thức vết biểu diễn chuỗi rời rạc, trước tiên cần tính tích phân quỹ đạo nhóm nội soi nhóm Sp(4, R) a Tích phân quỹ đạo Ta xét tích phân quỹ đạo trường hợp có nhóm nội soi Trường hợp 1: −1 γ = diag(a1 , a2 , a−1 , a2 ) Trong trường hợp này, phân tích Iwasawa, tích phân quỹ đạo : Gγ \G = f R   0  0  f (u−1 γu)du f (x−1 γx)dx = Oγ (f ) = −1  x −y z a1    y  0  x  0 0 U a2 0 a−1 0      0    0 a−1  x −y z  y  x  0 dsdxdydz −1 −1 −1 = |a1 − a−1 | |a2 − a2 | Oγ (f ) Tích phân hội tụ hội tụ tuyệt đối hàm trơn a ∈ R∗+ Vì hàm f H (γ) = ∆(γ)−1 Oγ (f ), −1 ∆(γ) = |a1 − a−1 ||a2 − a2 | hàm trơn nhóm nội soi H = (R∗ )2 Trường hợp  2:  cos θ1 sin θ1     cos θ sin θ 2  Chúng ta lại có phân γ = kθ1 kθ2 =  − sin θ cos θ1    − sin θ2 cos θ2 tích Iwasawa cho phần tử thuộc nhóm x = mauk nên tích phân quỹ đạo tính sau: f (k −1 u−1 a−1 m−1 k(θ)mauk)dmdudadk Ok(θ) (f ) = Gk(θ) \G = f u−1 a−1 m−1 k(θ)mau Gk(θ) \G 73 dmduda −1   a−1 0     0 y   a−1  0    f  =  0 x  0 a1  Gk(θ) \G     0 0 a2   cos θ1 sin θ1     cos θ sin θ 2   − sin θ cos θ1    − sin θ2 cos θ2    a1 0 x −y z     a2  0 y    ×  0 a−1  0 x dudadk(θ1 )dk(θ2 )    −1 0 a2 0   cos θ1 t1 sin θ1   ∞   cos θ t sin θ 2 −1 dti  f  |t −t i i | −t−1 sin θ  ti cos θ 1   i=1 −t−1 cos θ2 sin θ2  ∞ = 1 x −y z +∞ +∞ sign(t1 − 1) sign(t2 − 1) = 0  f  cos θ1 t1 sin θ1    cos θ t sin θ 2 2   −t−1 sin θ  cos θ 1   −1 −t2 sin θ2 cos θ2 dt Khi f phần tử đại số Hecke, tức f thuộc lớp C0∞ (G) tích phân hội tụ hội tụ tuyệt đối Vì kết tích phân hàm số F (sin θ) Vì hàm f có giá compact, nên tích phân hội tụ +∞ Tại điểm khác 0, khai triển hàm F thành dạng Taylor-Lagrange cấp tương ứng với λ = sin θ → là: F (λ) = A(λ) + λB(λ), A(λ) = F (0) B(λ) số hạng chỉnh lỗi F (τ ) vài giá 74 trị trung gian τ, ≤ τ ≤ t Chú ý rằng:   0  √  0  − λ tλ   √ 0 −t−1 λ − λ 0   0     0 0 0    √  0 t1/2 0 0  0 t−1/2 0 − λ tλ    = 0 t−1/2 0 0 −t−1 λ √1 − λ2 0 0 t1/2 0     0 0 0 nên có   d  dF (τ )  = B(λ) = dλ dλ    +∞ 0 0  √ 0 − λ2 tλ  √ sign(t − 1)f ( −1 − λ2 0 −t λ  +∞ sign(t − 1)g = 0  √ 0 − λ2 tλ  √ 0 −t−1 λ − λ2  0   0  0       0 )dt  0   dt , t −1 −1 ∞ ∼ g ∈ Cc(N ) g(λ) = O(−t λ) B A = F (0) = |λ|−1 B(λ) ∼ = ln(|λ|−1 )g(1)   0   ∞ 0 sign(λ)u 0  f  0 0   0 du − 2f (I3 ) + o(λ) Do hàm G(λ) = |λ|(F (λ) + F (λ)), H(λ) = λ(F (λ) − F (−λ)) có phân tích Fourier là: N (an |λ|−1 + bn )λ2n + o(λ2N ) G(λ) = n=0 75 t=τ N hn λ2n + o(λ2N ) H(λ) = n=0 Tóm lại, thấy trường hợp γ = k(θ), tồn hàm liên tục f H cho f H (γ) = ∆(γ)(Oγ (f ) − Owγ (f )) = ∆(k(θ))SOγ (f ), ∆(k(θ)) = 4i sin θ1 sin θ2 b Tích phân quỹ đạo ổn định Chúng ta nhắc lại tích phân quỹ đạo định nghĩa sau f (x−1 γx)dx ˙ Oγ (f ) = Gγ \G Và có tính tốn hồn tồn tương tự hai nhóm SL(3, R) SU(2, 1), với fµ giả hệ số (xem [22]) biểu diễn chuỗi rời rạc πµ κ- tích phân quỹ đạo phần tử quy γ T (R) tính cơng thức (3.2) có song ánh tự nhiên lớp kề trái lớp kề phải 3.3.5 Công thức tổng Poisson Để tính cơng thức tổng Poisson nhóm Sp(4, R) trước tiên ta cần tính phép chuyển nội soi a Phép chuyển nội soi Với cách làm hồn tồn tương tự nhóm trước ta có nhân tử chuyển ∆(γ, γH ) nhóm nội soi H nhóm Sp(4, R) cho hệ thức −1 −1 ) ∆(γ, γH ) = (−1)q(G)+q(H) χG,H (γ)∆B (γ −1 ).∆BH (γH với đặc trưng χG,H xác định sau Cho ξ đặc trưng h1 h, χG,H (γ −1 ) = eγ ρ−ρH +ξ xác định đặc trưng H, tương ứng với h Khi sign(w) = w = 1, có κ(w) = −1 ∆(γ −1 −1 , γH )ΘG wµ (γ) wµ+ξ w0 wµ+ξ γH − γH =− γ ρH ∆BH γH 76 H −1 −1 −1 ∆(γ, γH )ΘG wµ (γ ) = κ(w) SO ν (γH ), ν = wµ + ξ chạy L- gói tương ứng biểu diễn chuỗi rời rạc cho nhóm nội soi H Vì có cơng thức sau −1 SOH ν (γH ) ∆(γ, γH )Oγκ (fµ ) = ν=wµ+ξ sign(w)=1 hay ∆(γ, γH )Oγκ (fµ ) = SOγH (gν ), ν=wµ+ξ sign(w)=1 gν giả hệ số biểu diễn chuỗi rời rạc nhóm nội soi H L gói µ Cho fH = a(w1 , w2 µ) = κ(w2 )κ(w2 w1 )−1 , a(w, ν)gν , ν=wµ+ρ sign(w)=1 có cơng thức tr Σν (f H ) = a(w, ν) tr πwµ (f ) w Dựa vào tính tốn phía trước phần thu cơng thức tổng Poisson nhóm b Tổng poisson nội soi Định lý 3.11 Tồn song ánh ε : Π → {±1} cho nhóm Grothendieck biểu diễn chuỗi rời rạc có: σG = ε(π)π, π∈Π ánh xạ σ → σG ánh xạ đối ngẫu biến đổi hình học, tức cho f G = Sp(4, R) tồn f H nhóm nội soi H Sp(4, R) cho ta hệ thức sau: tr σG (f ) = tr σ(f H ) 77 Chứng minh: Chứng minh định lý hoàn toàn giống chứng minh Định lý 3.7 ✷ Cũng tương tự nhóm trước mà xét, nhóm Sp(4, R) tính trường hợp có nhóm nội soi H = S1 × S1 × {±1} hay SL(2, R) × {±1} Cho tương ứng với nhóm nội soi phép nhúng η : L H → L G Cho ϕ : DWR → L G tham số Langlands, tức đồng cấu từ nhóm Weil-Deligne DWR = WR R∗+ nhóm đối ngẫu Langlands đến L G, S ϕ tập lớp liên hợp tham số Langlands liên thông với ánh xạ ˇ s = Cent(s, G) ˇ ◦ thành phần liên thông đồng Cho s ∈ S ϕ , H ˇ s liên hợp với H Theo Shelstad tâm hóa s ∈ S ϕ có H phép lập cặp s, π : Sϕ × Π(ϕ) → C ε(π) = c(s) s, π Vì ta có hệ thức vết sau: tr σ(f H ) = σ∈Σs ε(π) tr π(f ) π∈Π viết sau Σs (f H ) = s, π tr π(f ) s∈Π Σs (f H ) = c(s)−1 tr σ(f H ) σ∈Σs Cuối có kết cho nhóm Sp(4, R) cơng thức vết công thức tổng poisson thể qua định lý sau: Định lý 3.12 Cho π(f ) biểu diễn chuỗi rời rạc nhóm Sp(4, R) ta có cơng thức vết xác định sau tr π(f ) = #S ϕ s, π Σs (fˇ) s∈S ϕ 78 Định lý 3.13 Cho R(f ) biểu diễn chuỗi rời rạc nhóm Sp(4, R) ta có cơng thức tổng Poisson cho nhóm sau tr R(f )o L2 (Γ\ Sp(4,R)) = m(π)SΘπ (f ) = Πµ π∈Πµ ∆(γ, γH )SO(fµ ), Πµ SΘπ (f ) = κ(π)Θπ (f ) π∈Π tổng đặc trưng chuỗi rời rạc chạy lớp liên hợp ổn định π SO(fµ ) = κ(πλ )O(fλ ) λ∈Πµ tổng tích phân quỹ đạo có trọng đặc trưng κ : Πµ → {±1} Kết luận chương Trong chương đạt kết sau: • Mơ tả biểu diễn tự đẳng cấu nhóm SL(3, R), SU(2, 1), Sp(4, R) • Mơ tả chi tiết nhóm nội soi tính phép chuyển cho nhóm hạng xét • Tính tốn tích phân quỹ đạo nhóm nội soi nhóm từ dẫn đến cơng thức Poisson nhóm hạng 79 Kết luận kiến nghị Kết luận Trong luận án đề cập đến số vấn đề sau: Vấn đề mà chúng tơi nghiên cứu nhóm Lie thực thấp chiều SL(2, R), SL(3, R), SU(2, 1), Sp(4, R) đại số Lie chúng sau chúng tơi biểu diễn nhóm Lie Thơng qua biểu diễn cảm sinh, lượng tử hóa trường nghiên cứu đến công thức vết biểu diễn tự đẳng cấu, tính tốn cơng thức vết nhóm nội soi nhóm Lie Từ cơng thức vết Arthur-Selberg chúng tơi tìm hệ thức thể công thức tổng Poisson nhóm Lie Kết đạt luận án bao gồm Cơng thức tường minh tích phân quỹ đạo nhóm nội soi nhóm Lie SL(2, R), SL(3, R), SU(2, 1), Sp(4, R) Cơng thức tính vết tường minh biểu diễn chuỗi rời rạc nhóm Lie Định lý cơng thức tổng Poisson cho nhóm Lie kể Kiến nghị số phương hướng nghiên cứu Chúng đề nghị số phương hướng nghiên cứu luận án sau: Tính cơng thức tích phân quỹ đạo nhóm nội soi nhóm SO(3, 1), từ đưa cơng thức tính vết cho biểu diễn nhóm Lie để dẫn đến định lí tổng Poisson cho nhóm Với cách nghiên cứu hoàn toàn tương tự ta tính tốn cơng thức vết, tổng Poisson tường minh cho nhóm có hạng cao 80 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH CƠNG BỐ CỦA TÁC GIẢ Do Ngoc Diep, Do Thi Phuong Quynh (2015), " Automorphic representations of SL(2, R) and quantization of fields", American research Journal of Mathematics, Vol - No 2, p 25- 37 Do Ngoc Diep, Do Thi Phuong Quynh (2015), "Poisson summation and endoscopy for SU(2, 1)", East-West J of Mathematics, Vol 17, No 2, p 101 - 116 Do Ngoc Diep, Do Thi Phuong Quynh (2016), "Poisson summation and endoscopy for Sp(4, R)", SEAMS Bull Math, vol 40, p.837-856 81 Tài liệu tham khảo [1] Andrey Terras (1999), Fourier analysis on finite groups and appications, United States of American, Publisher and Princeton Univ, Cambrige University [2] Baily W (1973), Introductory Lectures on Automorphic forms, Iwanami Shoten, Publisher and Princeton Univ Press, pp 262 - 277 [3] Berndt R (2001), Cohomological induction on Sp(4, R) and Maass lift, http//www.math.uni.hamburg.de/home/bernt/cohomps [4] Borel A (2008), Automorphic forms on SL(2, R), Cambrige Univ Press, Cambridge, New York, Melbourne, Madrid, Cape Town, Singapore, Sao Paulo [5] Do Ngoc Diep (2009), "A Quantization Procedure of fields based on Geometric Langlands Correspondence", Intl J Math Mathl Sci, 14 pages, doi: 10.1155/2009/749631 [6] D.N Diep, (1987), "On the Langlands type discrete group the BorelSerre compactification", ActaMath Vietnam, Vo12, No 1, pp 41 - 54 [7] Do Ngoc Diep, Do Thi Phuong Quynh (April 2015), "Automorphic representations of SL(2, R) and quantization of fields", American Research Journal of Mathematics, Vo1, No 2, pp 25 - 37 [8] Do Ngoc Diep, Do Thi Phuong Quynh (Jul 2014), "Poisson summation and endoscopy for SL(3, R)", arXiv: 1407.6912v1 82 [9] Do Ngoc Diep, Do Thi Phuong Quynh (2015), "Poisson summation and endoscopy for SU(2, 1)", East - West Journal of Mathematics, Vol 17, No 2, p.125 - 140 [10] Do Ngoc Diep, Do Thi Phuong Quynh (2016), "Poisson summation and endoscopy for Sp(4, R)", SEAMS Bull Math, Vol 40, p.837-856 [11] Frenkel E., Gaitsgory D., Kazhdan D and Vilonen K (1998), Geometric realization of Whittaker functions and the Langlands Conjecture, J Amer Math, Soc, pp 451 - 484 [12] Fulton W., Harris J (1991), Representation Theory, Spring-Verlag, London Paris [13] Gelfand I M., Graev M A., Piateski-Shapiro Y (1969), Representation Theory and Automorphic Functions, Nauka Press, Moscow, Generalized Functions Series, Vol [14] Gelfand I.M., Raikov D.A (1943), "Irreducible unitary representation of locally compact groups", Mat Sb, Vol 13, No 55, pp 301 - 316 [15] Harish-Chandra (1954), "The Plancharel formula for complex semisimple lie group", Trans Amer Math Soc, vol 76, No 3, pp 458 - 528 SU (2, 1)", Research Instittute for Mathematical Sciences, Vol 1002, pp 199 - 212 [16] Kirillov A (1975), Elements of Theory of Representation , Springer Ver-lag, Berlin-Heidelberg [17] Kirillov Jr A.(1994), An Introduction to Lie group and Lie Algebras, Cambridge [18] Key S.H (1994), Notes on Abstract Harmonic Analysis, Rim-Garc Lecture Ser, No 20, Seoul National University [19] Kubota T (1973), Elementary theory of Eisentein Series.Tokyo 112, Japan 83 [20] Lang S (1975), SL(2, R), Springer-Verlag, New York Berlin Heidelberg Tokyo,Addiso-Wesley [21] LangLands R.P (1966), Eisentein serries, in Algebic group and discontinuos subgoups, Summer research Istitude, Univ Calorado 1965, proc Symp Pure Math AMS Providencen [22] Labesse J.P (2006), Itroduction to Endoscopy, Snowbird Lectures, June www.institut.math.jussieu.fr/projets/fa/bpFiles/Labesse.pdf [23] Liu G (2013), Restriction of the discrete series of SU(2, 1) to a Borel subgroup (French), J Lie Theory 23, 1161 - 1189 [24] Mackey G W (1963), "Infinite-dimensional group representation", Bull Amer Math Soc, Vol 69, No 5, pp 628 - 686 [25] Mackey G M (1976), The Theory of Unitary Group representations, University of Chicago Press [26] Rosenberg J (1985), "Harmonically Induced Representations of solvable Lie groups", Journal of Functional Analysis, Vol 62, pp - 37 [27] Sugiura M (1989), Harmonic analysis and theory of unitary representation, John Wiley and Sons, Kodanska Ldt , Tokyo [28] Shelstad D (1979), "Characters and inner forms of a quasi-split group over R", composition Math, Vol 39, pp 11 - 45 [29] Shelstad D (1979), "Orbital integrals and family of groups attached to a real reductive group", Ann Sci E N S., Vol 12, pp - 31 [30] Stephen Gelbart (2009), "Langlandspicture of automorphic forms and L-functions", lecture series at Shandong University [31] Zorich Vladimir A (1938), Mathematical Analysis II, Spinger- Verlag Berlin, Germany 84 ... đoan, hướng dẫn GS TSKH Đỗ Ngọc Diệp, luận án tiến sĩ chun ngành tốn giải tích với tên đề tài "Biểu diễn tự đẳng cấu phân tích phổ biểu diễn quy số lớp nhóm Lie reductive thực thấp chiều" cơng trình... giả Đỗ Thị Phương Quỳnh i LỜI CẢM ƠN Trong trình thực đề tài ? ?Biểu diễn tự đẳng cấu phân tích phổ biểu diễn quy số lớp nhóm Lie reductive thực thấp chiều” Tơi nhận nhiều giúp đỡ, tạo điều kiện... rạc phân tích thành tổng trực tiếp trực giao biểu diễn tự đẳng cấu, tức biểu diễn thu từ biểu diễn chuỗi rời rạc G, sau tính vết cho biểu diễn chuỗi rời rạc ta nhận vế giải tích (hay vế phổ)