Với yêu cầu “Lập pt đường phân giác trong của góc A”, ta có thể chọn 1 trong các cách sau: Cách 1: Thực hiện theo các bước sau.. Bước 1: Gọi I là chân đường phân giác trong góc A lên cạn[r]
(1)VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
I.Phương pháp
Để vị trí tương đối đường thẳng (d) mặt phẳng (P) ta thực bước: Bước 1: Xét hệ phương trình tạo (d) (P)
Bước 2: Biện luận:
- Nếu hệ vơ nghiệm, d P d // P
- Nếu hệ có nghiệm nhất, d P {A}có tọa độ nghiệm hệ - Nếu hệ có vơ số nghiệm, d P
II Bài tập.
Bài 1: Xét vị trí tương đối đường thẳng (d) mặt phẳng (P) biết: : 2 1 0 , : 2 3 12 0
3 2 1 0
x y
d P x y z
y z
Bài 2: Chứng tỏ d P , biết: : 3 2 12 , :1 6
3 3
y z
P x y z d
x
Bài 3: Cho mặt phẳng (P) đường thẳng (d) có phương trình: : 0 : 3 0
3 2 7 0
x y
P x y z d
x z
a.Tìm tọa độ giao điểm A (d) (P) b Lập ptđt d1 qua A vng góc với (d) nằm (P) Bài 4: Biện luận theo hàm số m vị trớ tương đối mặt phẳng (P) đường thẳng (d) biết:
: 2 1 3 0 : 1 0 , . 2 0 x y
P m x y z m d t R
x y z
Bài 5: Cho mặt phẳng (P) đường thẳng (d) có phương trình: : 2 5 0 : 3 2 4 0
2 7 0
x y z
P x my z d
x y z
Tìm M đê: a/ (d) // (P) b d (P)
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
I.Phương pháp
Với đờng thẳng (d1) (d2) có phương trình:
1
1
1 1
:x x y y z z
d
a b c
có vtcp u 1(a1,b1,c1) qua M1(x1,y1,z1),
2
2
2 2
:x x y y z z
d
a b c
có vtcp u2(a2,b2,c2) qua M2(x2,y2,z2), để xét vị trí tương đối (d1) (d2) ta sử dụng kết sau:
a.(d1) (d2) đồng phẳng u u1, 2.M M1 0
- (d1) (d2) cắt
1 2
1 1 2
, . 0
: : : :
u u M M
a b c a b c
-(d1) (d2) song song với nhau a b c1: :1 1a b c2: 2: x1 x2 : y1 y2 : x1 x2 - (d1) (d2) trùng nhau a b c1: :1 a b c2: 2: x1 x2 : y1 y2 : x1 x2 b (d1) (d2) chéo u u1, 2.M M1 0
Như vậy, với yêu cầu “ xét vị trí tương đối đường thẳng (d1) (d2)” thuật toán thực theo bước: Bước 1: Thực hiện:
- Với đường thẳng (d1) vtcp u1
điểm M1(d1) - Với đường thẳng (d2) vtcp u2
điểm M2(d2) Bước 2: Kiểm tra:
- Nếu u u M M 1, ,2 1 2 phương kết luận (d1) (d2) trùng
- Nếu u1,u2 phương không phương với M M 1 2 kết luận (d1) (d2) song song với - Nếu u1,u2 không phương thực bước
Bước 3: Xác định u u1, 2.M M1
, đó: - Nếu u u1, 2.M M1 0
(2)- Nếu u u1, 2.M M1 0
thì kết luận (d1) (d2) chéo
II Bài tập.
Bài 1: Xác định vị trí tương đối đường thẳng (d1) (d2), biết:
a 1 2
1
2 5 7
: 2 , , :
1 3 4
3
x t
x y z
d y t t R d
z t
b. 1 2
1 0
1 1 2
: , :
4 1 0
1 1 4
x y
x y z
d d y z
Bài 2: Xác định vị trí tương đối đường thẳng (d1) (d2), biết:
a 1 2
1
1 2 4
: , :
2 1 3
2 3
x t
x y z
d d y t
z t
b. 1 2
2 1 2
: 2 , : 3 2
3 1
3 3
x t x u
d y t d y u
z u z t
Bài 3: Chứng minh đường thẳng (d1) (d2) chéo nhau, biết: 1 2
2 1 2
: 2 , : 1 2,
1 3 1
x t x u
d y t t R d y u R
z u z t
Bài 4: Cho đường thẳng (d1) (d2) có phương trình: 1 2
1
1 2 4
: : ,
1 1 3
2
x t
x y z
d d y t t R
z t a Chứng minh (d1) (d2) cắt
b Lập phương trình tổng quát mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d1) (d2) Bài 5: Cho đường thẳng (d1) (d2) có phương trình: 1 2
2 1 0 3 3 0
: :
1 0 2 1 0
x y x y z
d d
x y z x y
a.Chứng minh (d1) (d2) cắt
b.Lập phương trình tổng quát mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d1) (d2)
Bài 6: Cho đường thẳng (d1) (d2) có phương trình: 1 2
0 2
: 1 , , : 1 ,
1 0
x x u
d y t R d y u R
z t z
a.Chứng minh (d1) (d2) cắt
b.Lập phương trình đường phân giác góc tạo (d1) (d2)
Bài 7: Cho đường thẳng (d1) (d2) có phương trình: 1 2
7 5 9 4 18
: , :
3 1 4 3 1 4
x y z x y z
d d
a Chứng tỏ (d1) (d2) song song với b Lập phương trình đường thẳng chứa (d1) (d2) c Tính khoảng cách (d1) (d2)
Bài 8: Cho đường thẳng (d1) (d2) có phương trình: 1 2
3
2 3 0
: 1 , , :
4 0 5
x t
x y
d y t t R d
y z z t
a Chứng tỏ (d1) (d2) song song với b.Lập phương trình đường thẳng chứa (d1) (d2) c Tính khoảng cách (d1) (d2)
Bài 9: Cho đường thẳng (d1) (d2) có phương trình: 1 2
2 0
1 2 3
: , :
2 3 5 0
1 2 3
x y z
x y z
d d
x y z
a Chứng minh đường thẳng (d1) (d2) chéo b Lập ptmp (P) song song cách (d1) (d2) Bài 10:Cho đường thẳng (d1) (d2) có phương trình: 1 2
1
2 3 9 0
: 4 , , :
2 3
x
x y
d y t t R d
z z t
a Chứng minh đt (d1) (d2) chéo b Lập phương trình đường vng góc chung (d1) (d2) Bài 11: Cho đường thẳng (d1) (d2) có phương trình: 1 2
3 0 2 2 9 0
: :
1 0 1 0
x y z x y z
d d
y z y z
a Chứng minh đường thẳng (d1) (d2) chéo vng góc với b Lập phương trình mặt phẳng (P) song song cách (d1) (d2)
(3)CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐIỂM - ĐƯỜNG THẲNG- MẶT PHẲNG ĐIỂM VÀ MẶT PHẲNG
I PPháp:
Để tìm điểm M thuộc mp (P) thỏa mãn đk K ta lựa chọn cách sau: * Sử dụng pt ban đàu mp
* Sử dụng điều kiện K khẳng định M thuộc đường (d), (P) cắt (d) M
II.Bài tập:
1/ Cho điểm A(0;0;-3) B(2;0;-1) mp (P) có pt: 3x – 8y + 7z – = a Tìm tọa độ giao điểm I đt qua điểm A, B với (P)
b Tìm tọa độ điểm C nằm (P) cho tam giác ABC tam giác đều.
2/Cho điểm A(3;3;0) (P) có pt: x + 2y – z – = Xác định tọa độ hình chiếu vng góc A lên (P)
3/ Lập pt hình chiếu vng góc đt (d) lên mp (P), biết (d): 2 0 ; ( ) : 4 7 0
4 2 0
x y
P x z
y z
4/ Lập pt hình chiếu vng góc đt (d) lên mp (P), biết
2 4 3
( ) : ; ( ) : 3 2 6 0
3 1 3
x y z
d P x y z
5/ Cho đt (d) (P): ( ) : 2 1 1 ; ( ) : 2 8 0
2 3 5
x y z
d P x y z
a/ Chứng tỏ (d) cắt (P) khơng vng góc với (P), từ xác định tọa độ giao điểm I (d) (P)
b/ Lập pt đt (d1) hình chiếu vng góc (d) lên (P).
6/ Cho họ đt (d): mx y mzx my z m 1 00
Viết pt hình chiếu vuong góc (d1) đt (d) lên mp(xOy).
7/ Cho điểm A(2;3;-1) mp (P) (Q) có pt: (P): 2x – y – z – = (Q): x + y + z – = 0
a/ Xác định tọa độ điểm B, C theo thứ tự điểm đối xứng A qua (P) (Q) b/ Tìm diện tích tam giác ABC
8/Cho (P): 2x+y-z+4=0 Lập pt dt d1 đối xứng với d qua (P) biết
a/ (d): xy z 2y 2 04 0
b/(d):
3 2
5
x t
y t
z t
c/ (d): 3 1 5
5 0 4
x y z
9/ Cho điểm A(1;1;2); B(2;1;-3) mp (P) có pt: 2x+y-3z-5=0 Tìm điểm M thuộc (P) cho AM+BM nhỏ nhất.
11/ Cho điểm A(-1;3;-2); B(-9;4;9) mp (P) có pt: 2x-y+z+1=0 Tìm điểm M thuộc (P) cho AM+BM nhỏ nhất.
12/ Cho điểm A(1;2;3); B(4;4;5).
a Viết pt đt (AB) Tìm giao điểm P với mp (xOy) CMR với điểm Q(xOy), biểu thức QA QB có giá trị lớn Q trùng P.
b Tìm điểm M mp xOy cho tổng độ dài MA+MB nhỏ nhất. ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG
I Phương pháp
Để tìm điểm M thuộc đường thẳng (d) thỏa mãn điều kiện K, ta lựa chọn cách sau: Cách 1: thực theo bước
Bước 1: chuyển pt đt (d) dạng tham số:
0
0
0
: ,
x x at
d y y bt t R
z z ct
(4)Bước 2: Điểm M (d), suy M(x0+at;y0+bt;z0+ct) Bước 3: Thiết lập tính chất K cho điểm M.
Cách 2: Sử dụng đk K khẳng định M thuộc đường (L), d L {M}.
Bài tập
1/ Tìm điểm M Oy cách mp (P1) (P2), biết:
(P1): x+y-z+1=0 (P2): x-y+z-5=0.
2/ Cho đt (d) có pt: : 2 1 2
1 2 1
x y z
d
3/ Cho điểm A(1;2;-1) đt (d) có pt: : 3 0 1 0 x y z d
y z
Xác định tọa độ hình chiếu vng góc
của A lên đường thẳng (d).
4/Cho điểm A(2;3;-1) đt 1 , 2 có pt: 1 2
1
2 4 0
: ; : 2
2 2 4 0
1 2
x t
x y z
y t
x y z
z t
a Lập pt mp (P) chứa 1và song song với 2 .
b Cho điểm M(2;1;4) Tìm tọa độ H thuộc 2 cho độ dài MH ngắn nhất.
5/Cho điểm A(2;3;-1) đt(d) có pt: : 3
2 4 1
x y z
d Lập pt đt qua A vng góc với (d) cắt (d).
6/ Cho đt (d1), (d2): 1 2
3
2 1 0
: ; : 1 ,
1 0
0
x t
x y
d d y t t R
x y z
z
a (d1), (d2) có cắt hay khơng?
b Gọi B,C điểm đối xứng A(2;-4;-2) qua (d1), (d2) Tính diện tích ABC.
7/ Cho đt (d) (d1) có pt: 1
2 4 0
1
: ; :
1 0
2 1 1
x y
x y z
d d
y z
Lập pt đt (d2) đối xứng với (d1)
qua (d).
8/ Cho điểm A(1;1;0); B(3;-1;4) đt (d) có pt: : 1 1 2
1 1 2
x y z
d
Tìm điểm M đt (d)
(5)GĨC TRONG KHƠNG GIAN I.Kiến thức
1 Góc vectơ Cho vectơ a(a1,a2,a3),b
(b1,b2,b3) khác
Gọi góc tạo vectơ a , b , ta có: 1 2 3
2 2 2
1 3
a. os =
a .
a b a b a b
b c
b a a a b b b
2 Góc đường thẳng
Cho đt (d1),(d2), theo thứ tự có vtcp a
(a1,a2,a3),b
(b1,b2,b3).Gọi góc tạo đt (d1) (d2) 0
2
, ta có:
1 2 3
2 2 2
1 3
a. os =
a .
a b a b a b
b c
b a a a b b b
Chú ý: Đk cần đủ để (d1) (d2)là: cos =0 ya1 1b a b2 2a b3 0
2 Trong nhiều toán ta lại áp dụng kết sau hình khơng gian, cách thực theo bước: Bước 1: Tìm góc, ta tìm điểm I thỏa mãn:
2
// //
IA d
IB d
Khi g((d1), (d2)=AIBnếu góc nhọn Bước 2: Tính góc: - Nếu biết tọa độ IA IB sử dụng công thức
- Sử dụng tỉ số lượng giác góc tam giác vng dùng định lí cosin tam giác thường Góc đường thẳng mặt phẳng
Cho: - Mặt phẳng (P) có vtpt n(n1,n2,n3) - Đường thẳng (d) có vtcp a(a1,a2,a3)
Gọi góc tạo (d) (P), là góc đt (d) đt chứa vtpt n 0 ,
2
+=
2
sin cos
, ta
có: 2 12 22 2 32 2
1 3
sin
.
a n a n a n
a a a n n n
Chú ý: Đk cầnd để (d)//(P) (hoặc thuộc (P)) sin =0 Góc mặt phẳng
Cho: - Mặt phẳng (P1) có vtpt n
(n1,n2,n3) - Mặt phẳng (P2) có vtpt m
(m1,m2,m3) Gọi là góc tạo mp (P1) (P2) 0
2
, ta có:
1 2 3
2 2 2
1 3
os
.
m n m n m n
c
m m m n n n
Chú ý: Đk cần đủ để (P1) (P2) là: cos =0 , hay m1n1+m2n2+m3n3=0 1/ Xác định số đo góc đt (d1), (d2) có pt cho bởi:
a 1 2
1
1 2 4
: ; : ,
2 1 3
2 3
x t
x y z
d d y t t R
z t
b 1 2
2 1 2
: 2 ; : 3 ,
3 3 3 1
x t x u
d y t d y u u R
z t z u
2/ Xác định số đo góc đt (d) mp (P) biết:
1
; ( ) : 1 0
2 3
x t
y t P x y z
z t
3/ Xác định số đo góc mp (P) (Q) biết: (P): x+y+2z+4=0 (Q): 2x+y+z+1=0
4/ Cho điểm A(a,0,0), B(0,a,0),C(0,0,d), với a,d>0 Gọi A1,B1 theo thứ tự hình chiếu vng góc O xuống đt DA, DB
(6)b Tính d theo a để gócA OB1 1 có số đo 450 5/Cho điểm H(1
2,0,0); K(0, 1
2,0); I(1,1, 1 3)
a Viết pt giao tuyến (HIK) với mp x+z=0 dạng tắc b Tính cosin góc phẳng tạo mp (HIK) với mặt tọa độ Õy 6/ Cho mp (P) với đt (d) có pt:
(P): x+2y-z+5=0 : 3 1 3 2
x
d y z
a Tính tọa độ giao điểm (d) (P) b Tính góc (d) (P)
c, viết pt hình chiếu vng góc (d) lên (P)
d Viết pt đt , nằm (P) qua giao điểm (d) (P) vng góc với (d) 7/ Cho đt (d) mp (P) có pt: : 4 2 7 0 ; ( ) : 3 1 0
3 7 2 0
x y z
d P x y z
x y z
a Tính sin góc (d) (P)
b Hãy viết pt hình chiếu vng góc (d1) (d) lên (P) TAM GIÁC TRONG KHÔNG GIAN
I Phương pháp
Với ABC không gian, yêu cầu thường đặt là:
a Lập pt đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A b Lập pt đường cao kẻ từ đỉnh A
c Lập pt đường phân giác góc A Để thực yêu cầu thực hiện:
1 Với yêu cầu “ Lập pt đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A” ta thực theo bước sau: Bước 1: Xác định tọa độ đỉnh A trung tuyến E cạnh BC
Bước 2: Khi pt trung tuyến (AE) qua A E
2 Với yêu cầu “ Lập pt đường cao kẻ từ đỉnh A”, ta lựa chọn cách sau: Cách 1: Thực theo bước sau:
Bước 1: Xác định tọa độ hình chiếu vng góc H A lên BC Bước 2: Khi pt đường cao (AH) qua A H
Cách 2: Thực theo bước sau: Bước 1: Lập pt mp (ABC)
Bước 2: Lập pt mp (P) qua A vuông góc với BC Bước 3: Khi đường cáo (AH)= (ABC)(P)
3 Với yêu cầu “Lập pt đường phân giác góc A”, ta chọn cách sau: Cách 1: Thực theo bước sau
Bước 1: Gọi I chân đường phân giác góc A lên cạnh BC, ta có:
1
. :
1 1
B C
B C
B C
x kx
x
k
y ky
AB
IB IC k I y
AC k
z kz
z
k
Bước 2: Pt đường phân giác (AI) xác định bởi:AI: qua A vtcp AI
Cách 2: Thực theo bước sau:
Bước 1: (Phân tích): Trên AC lấy điểm C1 thỏa mãn: AB=AC1 (1)
C,C1 phía với A
1
AC k AC
AB k
AC
(2)
Suy ABC1 cân tai A, đường phân giác góc A ABC cắt BC1 M trung điểm BC1 Vậy đường phân giác góc A đờng cao (AM)
Bước 2: (Dựng): Điểm C1(AC), có tọa độ C1 thỏa mãn pt tham số AC Giải (2) (1) C1 M AM
(7)Bước 3: Pt đường phân giác (AM) xác định bởi: AM: qua A vtcp AM
Cách 3: Lấy ,
AC
AB AC
u v
AB
Bước 1: Khi u v vtcp phân giác góc A
Bước 2: Viết (d), d : qua A vtcp u v
1/ Cho ABC, biết A(1,2,-1), B(2,-1,3), C(-4,7,5)
a Lập pt đường trung tuyến kể từ đỉnh A b Lập pt đờng cao kẻ từ đỉnh A
c Lập pt đường phân giác góc B
2/ Cho ABC, biết C(3,2,3) pt đường cao AH, đường phân giác BM góc B có pt
2 3 3 1 4 3
;
1 1 2 1 2 1
x y z x y z
Tính độ dài cạnh ABC
KHỐI ĐA DIỆN I Phương pháp
Để thực toán khối đa diện cho dạng tọa độ, việc sử dụng thành thạo kiến thức hình giải tích khơng gian cần sử dụng thêm số kiến thức hình học khơng gian để có lời giải ngắn gọn
1/Cho hình tứ diện ABCD, biết tọa độ đỉnh A(2;3;1), B(4;1;-2), C(6;3;7), D(-5;-4;8) Tính độ dài đường cáo hình tứ diện xuất phát từ D
2/ Cho tứ diện ABCD, biết A(4,1,4); B(3,3,1), C(1;5;5), D(1,1,1)
a Tìm hình chiếu vng góc D lên (ABC) tính thể tích tứ diện ABCD b Lập pt tham số đt vng góc chung AC BD
3/ Cho hình tứ diện có đỉnh: O(0,0,0), A(6,3,0), B(-2,9,1), S(0,5,8) a CMR SB vng góc với OA
b CMR hình chiếu cạnh SB lên mp(OAB) vng góc với cạnh OA.Gọi K giao điểm hình chiếu với OA Hãy xác định tọa đô9j K
c Gọi P,Q điểm cạnh SO,AB Tìm tọa độ điểm M SB cho PQ KM cắt
4/ Cho tứ diện SOAB, với OAB thuộc mp (xOy) có cạnh a, đt AB song song với trục Oy, điểm A thuộc góc phần
tư thứ mo (xOy) điểm S(0,0,
3 a
)
a Hãy xác định tọa độ điểm A,B trung điểm E đoạn OA, sau viết pt mp (P) chứa SE song song với Ox
b Tính khoảng cách từ O đến (P), từ suy khoảng cách Ox SE MẶT CẦU VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
I Định nghĩa
Tập hợp tất điểm không gian cách điểm I cố định 1khoảng R, gọi mặt cầu tâm I bán kính R II Phương trình tắc mặt cầu
Định lí 1: Trong khơng gian Oxyz, mặt cầu (S) có tâm I(a,b,c) bán kính R có pt:
(S): (x-2)2+(y-b)2(z-c)2=R2 Vậy: S : tam I a b c , , C : x a2 y b2 z c2 R2
Bkinh R
Chú ý: ta có:- mặt cầu tâm O bán kính R có pt x2+y2+z2=R2. - Mặt cầu đơn vị có pt x2+y2+z2=1
III Phương trình tổng qt mặt cầu
Định lí 2: Trong khơng gian Oxyz, mặt (S) có pt:x2+y2+z2-2xy-2by-2cz+d=0 với a2+b2+c2-d>0. Là pt mặt cầu tâm I(a,b,c) bán kính R= a +b +c -d2 2
Mở rộng: pt A(x2+y2+z2)-2Bx-2Cy-2Dz+E=0 với đk A0 B2+C2+D2-AE>0 pt mặt cầu. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
I Phương pháp
Ta thực theo bước:
Bước 1: Chuyển pt ban đầu dạng x2+y2+z2-2xy-2by-2cz+d=0 (1) Bước 2: Để (1) pt mặt cầu điều kiện a2+b2+c2-d0.
Bước 3:Khi (S) có thuộc tính: Tam I a b c( , , )2 2 2
Bkinh R a b c d
(8)a x2+y2+z2-2x-4y+9=0 b x2+y2+z2-2x-2y-2z+2=0 c 2x2+2y2+2z2-4x+6y-8z+4=0 d x2+y2+2z2-2x-2y-2=0
2/ Cho họ mặt cong (Sm) có pt: (Sm): x2+y2+z2-4mx+4y+2mz+m2+4m=0 a Tìm đk m để (Sm) họ mặt cầu
b CMR tâm (Sm) nằm đt cố định c Tìm mặt cầu có bán kính nhỏ họ (Sm)
3/ Cho họ mặt cong (Sm) có pt: (Sm): x2+y2+z2-2m2x+4my+8m2-4=0 a.Tìm đk m để (Sm) họ mặt cầu
b CMR tâm họ (Sm) nằm parabol (P) cố định mp Oxy, m thay đổi
c Trong mp Oxy, goi F tiêu điểm (P) Giả sử đt (d) qua F tạo với chiều dương trục Ox góc cắt (P) điểm M,N
- Tìm tọa độ trung điểm E đoạn MN theo - Từ suy quỹ tích E thay đổi LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU I Phương pháp
Gọi (S) mặt cầu thỏa mãn đk đầu Chúng ta lựa chọn pt dạng tổng qt dạng tắc - Muốn có pt dạng tổng quát, ta lập hệ pt với ẩn a,b,c,d, đk a2+b2+c2-d0.
- Muốn có pt hệ tắc, ta lập hệ pt có ẩn a,b,c, R, đk R0 Chú ý:
- Cần phải cân nhắc giả thiết toán thật kĩ để lựa chọn dạng pt thích hợp
- Trong nhiều trường hợp đặc thù sử dụng phương pháp quỹ tích để xác pt mặt cầu 1/Lập pt mặt cầu trường hợp sau:
a Tâm I(2,2,-3) bán kính R=3
b Đường kính AB với A(a1,b1,c1), B(a2,b2,c2 ) c Tâm I(1,2,-1) qua điểm A(3,1,-1)
2/ Lập pt mặt cầu qua điểm A(3,1,0), B(5,5,0) tâm I Ox
3/ Lập pt mặt cầu qua điểm A(0,1,0), B(1,0,0) C(0,0,1) tâm I nằm mp: (P): x+y+z-3=0 4/ Cho ABC có pt cạnh là: (AB): 5 2 0
0
x y
z
; (BC): 2
0 x t
y t
z
; (AC): 8
1 1 0
x y z
a Xác định tọa độ đỉnh ABC
b Lập pt mặt cầu (S) qua điểmA,B,C có tâm I thuộc mp(P): 18x-35y-17z-2=0 5/ Lập pt mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC, biết S(3,1,-2), A(5,3,-1); B(2,3,-4); C(1,2,0) 6/ Cho diện tích ABCD với A(1,-4,3), B(1,0,5), C(0,3,-2), D(6,-1,-2)
a Lập pt đường vng góc chung AB CD, từ tính khoảng cách AB CD b Lập pt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
7/ Cho mp (P) có pt: (P): 16x-15y-12z+75=0
a Lập pt mặt cầu (S) có tâm góc toạn độ, tiếp xúc với mp (P) b Tìm tọa độ tiếp điểm H mp (P) mặt cầu (S)
c Tìm điểm đối xứng gốc tọa độ O qua mp (P)
8/Cho đt (d) mp (P) có pt: : 1 2 ,( ) : 2 2 2 0
3 1 1
x y z
d P x y z
a Lập pt mặt cầu (S) có tâm nằm đt (d), tiếp xúc với mp (P) có bán kính
b Gọi M giao điểm (P) với (d), T tiếp điểm mặt cầu (S) mp (P) Tính độ dài đoạn MT 9/ Lập pt mặt cầu có tâm I thuộc (d) tiếp xúc với mp (P1),(P2), biết:
: 0 , ; 1 : 3 4 3 0, 2 : 2 2 39 0
1 x t
d y t R P x y P x y z
z
10/ Lập pt mặt cầu có tâm I thuộc (d) tiếp xúc với mp (P1),(P2), biết:
1 2
2 4 7 0
: ; : 2 2 0, : 2 2 4 0
4 5 14 ,
x y z t
d P x y z P x y z
x y z t R
11/ Lập pt mặt cầu có bán kính R=3 tiếp xúc với mp(P) có pt: (P): 2x+2y+z+3=0 điểm M (-3,1,1) 12/ Cho hình chóp SABCD, biết tọa độ S(0,0,2); A(4,2,0); B(-4,2,0); C(-1,-2,0) D(1,-2,0)
a Lập pt mặt bên hình chóp
b CMR điểm O cách tất mặt bên hình chóp c Lập pt mặt cầu nội tiếp hình chóp
(9)14/ Cho điểm A(1,0,0); B(0,b,0);C(0,0,c), với a,b,c>0 1 1
a b c =2
a CMR a,b,c thay đổi mp (ABC) ln qua điểm cố định Tìm diểm cố định b Xác định tâm I bán kính r mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC
c CMR
1 3
4 r 2 3 1
15/ Lập pt mặt cầu có tâm thuộc đt (d) cắt mp (P) theo diện tích đường trịn lớn có bán kính 4, biết:
: 1 0,( ) : 0
2 0 x z
d P y z
y
16/ Cho mp (P) có pt: (P): 2x+2y+z=0 Lập pt mặt cầu qua điểm A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,3,2) cắt mp (P) theo thiết diện đường trịn có bán kính
17/ Cho đt (d) 2mp (P),(Q) có pt:
1
: 3 , ; : 2 3 0, : 2 2 1 0
2
x t
d y t t R P x y z Q x y z
z t
Lập pt mặt cầu có tâm giao điểm I mp (P) đt (d) cho mp (Q) cắt khối cầu theo thiết diện hình trịn (C) có: a Diện tích 16
b Chu vi 2
18/ Lập pt mặt cầu có tâm I(1,2,-1) tiếp xúc vơíe đt (d) có pt: : 3 0 1 0 x y z d
y z
19/ Cho đt (d) (), biết:
1 2
3 1 0
: 2 ; :
3 7 0
3
x t
x y
d y t
x y z
z t
Lập pt mặt cầu (S) tiếp xúc với (d) điểm H(3,1,3) có tâm thuộc ()
20/ Cho đt (d1) (d2), cho bởi: 1 2
1 2
: 2 , ; : ,
3 2
x t x u
d y t t R d y u u R
z t z
a CMR (d1) (d2) chéo
b Lập pt mặt cầu tiếp xúc với (d1), (d2) có tâm thuộc đt (d), có pt: : 2
6 x v
d y v t R
z v
21/ Cho đt (d1) (d2), cho bởi: 1 2
1 1 2 1
: ; :
0 0 1 2 0 0
x y z x y z
d d
a CMR (d1) (d2) cắt
b Lập pt mặt cầu tiếp xúc với (d1), (d2) có tâm thuộc đt (d), có pt:
1
: ,
2
x t
d y t t R
z t
22/ Cho đt (d1) (d2), cho bởi: 1 2
3 2 3 2
: 1 , ; : 3 ,
5 1
x t x u
d y t t R d y u u R
z t z u
a CMR (d1) (d2) song song với
b Lập pt mặt cầu tiếp xúc với (d1), (d2) có tâm thuộc đt (d), có pt:
2 5 0
:
3 3 0
x y z d
x y z
23/ Lập pt mặt cầu tâm I(2,3,-1) cắt đt (d) có pt: : 5 4 3 20 0
3 4 8 0
x y z
d
x y z
điểm A B cho AB=16
24/ Cho mặt cầu (S) có pt: (C):x2+y2+z2-4x-2y-2z+3=0 Lập pt mặt cầu (S
1) đối xứng với mặt cầu (S) qua điểm E(1,2,3) 25/ Cho mặt cầu (S) có pt: (C):x2+y2+z2-2x-4y-2z+3=0 Lập pt mặt cầu (S
(10)26/ Cho mặt cầu (S) có pt: (C):x2+y2+z2-2x-4y+2z-3=0 Lập pt mặt cầu (S
1) đối xứng với mặt cầu (S) qua đt (d):
3 0 1 0 x y z y z
27/ Cho n điểm A1(x1,y1,z1),A2(x2,y2,z2),…,An(xn,yn,zn) n+1 số k1,k2,…,kn, k cho k1,k2,…,kn 0 Tìm tập hợp điểm M cho: k MA1 12k MA2 22 k MAn n2 k
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐIỂM VÀ MẶT CẦU I.Phương pháp
Ta thực theo bước:
Bước 1: Xác định phương tích M mặt cầu (S) PM/(S) Bước 2: Kết luận:
- Nếu PM/(S) <0 M nàm mặt cầu - Nếu PM/(S) =0 M nằm mặt cầu - Nếu PM/(S) >0 M nàm ngồi mặt cầu Chú ý: ta có kết sau:
1 Nếu M nằm (S) không tồn tiếp tuyến mp tiếp diện (S) qua M đó: - Mọi đt M cắt (S) điểm phân biệt
- Mọi mp qua M đêug cắt (S) theo giao tuyến đường tròn
2.Nếu M nằm (S) tồn mp tiếp diện (S) qua M( pt mp tiếp diện có phương pháp phân đôi tọa độ)
3 Nếu M nằm ngồi (S) tồn vơ số tiếp tuyến mp tiếp diện (S) qua M 1/ Cho mặt cầu (S) có pt: (S):x2+y2+z2-2x-2y-2z+1=0
a Xác định vị trí tương đối cuỷa điểm M(1,1,2) mặt cầu (S)
b Chứng tỏ với m, đt (d) cắt (S) điểm phân biệt, biết: : 1 0 3 0 mx y z m d
x my z m
c Chứng tỏ với m, mp (P) cắt (S) theo giao tuyến đường tròn, biết: (P): mx+my-2z-2m+4=0 2/ Cho điểm M(1,1,0) mặt cầu (S) có pt:(S):x2+y2+z2-2x-4y-2z+4=0
a Chứng tỏ điểm m (S), từ suy pt mp (P) qua M tiếp xuác với (S) b Lập pt mp qua M cắt (S) theo giao tuyến đường tròn lớn song song với đt (d), biết:
: 1 2
1 2 1
x y z
d