Các kiến thức cần nhớ về - HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11 • Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và khơng có điểm chung • Đường và mặt gọi là song song với nhau nếu chúng khơng có điểm chung • Hai mặt phẳng gọi là song song nếu chúng khơng có điểm chung Cách chứng minh: Đường // đường Đường // mặt Mặt // mặt - Các cách đã học ở cấp 2 (đường trung bình, ta-let, …) - Dùng quan hệ: 2 đường thẳng cùng // đường thứ ba thì // với nhau. - Dùng cách 2 – xác định g. tuyến - Dùng cách 3 – xác định g. tuyến - Dùng cách 4 – xác định g. tuyến - Đường // với một đường trên mặt P a b - Mặt này chứa 2 đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường trên mặt kia. - Hoặc dùng quan hệ: 2 mp cùng song song với mp thứ ba thì song song với nhau. Cách xác định giao tuyến của hai mặt phẳng: Cách 1 Cách 2 Cách 3 Cách 4 Q P d A B Tìm 2 điểm chung phân biệt của 2 mp P Q d a b 2 mp lần lượt đi qua 2 đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) sẽ song song hoặc trùng với 2 đường thẳng đó. d//a (//b) Q P d a Cho a // (P); (Q) qua a và cắt (P) theo giao tuyến d thì d//a P Q a b Cho 2 mp song song; nếu mp nào cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mp kia và các giao tuyến song song với nhau. a//b • Hai đường thẳng gọi là vng góc nếu góc giữa chúng bằng 90 0 • Đường vng góc mặt khi và chỉ khi đường vng góc với mọi đường trên mặt • Hai mặt phẳng gọi là vng góc nếu góc giữa chúng bằng 90 0 Các cách chứng minh đường ⊥ đường - Dùng các cách học từ cấp 2 (như pi-ta-go, trung tuyến trong tam giác cân, góc nội tiếp…) - Góc giữa chúng bằng 90 0 hoặc tích hai vecto chỉ phương bằng 0. - Dùng quan hệ: “(a//b; c ⊥ a) ⇒ c ⊥ b”; “(a//(P); b ⊥ (P) ⇒ b ⊥ a” - Đường ⊥ với mặt chứa đường kia - Dùng định lý 3 đường vng góc… Các cách chứng minh đường ⊥ mặt - Chứng minh đường ⊥ với hai đường cắt nhau trên mặt - Dùng quan hệ: “(a//b; a ⊥ (P)) ⇒ b ⊥ (P)”; “(a ⊥ (P); (P) // (Q)) ⇒ a ⊥ (Q)”… - Dùng: laoconghuong@gmail.com “((P) ⊥ (Q); (P) ∩ (Q) = d; a⊂(P); a ⊥ d) ⇒ a ⊥ (Q)” “((P)∩(Q)=d; (P)⊥ (R); (Q)⊥(R)) ⇒ d ⊥ (R)” Q P d a R P Q d Các cách chứng minh mặt ⊥ mặt - Chứng minh mặt này chứa (đi qua) một đường vuông với mặt kia d ⊥ (R); bất cứ mp nào qua d cũng vuông góc với (R) R P Q d - Góc giữa chúng bằng 90 0 … Góc giữa hai đường thẳng: D1 D2 D'1 D'2O - Nếu D1 cắt D2, khi đó tạo thành 4 góc; góc có số đo nhỏ nhất là góc giữa D1 và D2 - Nếu D1 //(≡) D2 thì góc giữa chúng bằng 0 0 - Nếu D1 chéo D2, lấy O tùy ý. Qua O kẻ D’1 //(≡) D1; D’2 //(≡) D2, khi đó góc giữa D’1 và D’2 là góc giữa D1 và D2. Cách xác định góc giữa đường và mặt: P a A K H Giả sử cần tìm góc giữa a và (P) - Tìm giao điểm A của đường và mặt (điểm chung của a và (P)) - “Lấy” điểm K trên A - Tìm hình chiếu H vuông góc của K trên (P) ⇒ (a, (P)) = KAH Cách xác định giao điểm của đường thẳng a và mp(P): - Chính là giao điểm của a với một đường thẳng b nào đó trên (P) (nếu có sẵn b) - Trường hợp không có sẵn b, ta phải tìm một mp(Q) đi qua a, khi đó b chính là giao tuyến của (Q) và (P) và tiếp tục tìm như trường hợp 1. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng: Cách 1 Cách 2 Q P p q d I Cần xác định góc giữa (P) và (Q) - Tìm giao tuyến d của (P) và (Q) - “Chọn” trên d điểm I mà từ đó có thể “kẻ” được 2 đường p ⊂ (P) và q ⊂ (Q) vuông góc với d ⇒ ((P),(Q)) = (p,q): “nghi ngờ” góc I 1 R P Q p q d Cần xác định góc giữa (P) và (Q) - Tìm giao tuyến d của (P) và (Q) - “Dựng” mp(R) ⊥ d - (R) cắt (P); (Q) lần lượt theo giao tuyến p,q ⇒ ((P),(Q)) = (p,q): “nghi ngờ” góc I 1 Cách xác định hình chiếu vuông góc của một điểm trên một mặt: P ? A Q P A Chọn mp(Q) qua A và vuông góc với (P) Q P a A Tìm giao tuyến a của (P) và (Q) Q P a H A Trong (Q), kẻ AH ⊥ a ⇒ H là hình chiếu của A Cách xác định (dựng) mặt phẳng qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước: P d a b O H Khoảng cách điểm → đường điểm → mặt Đường → mặt Mặt → mặt 2 đường chéo nhau d M H H là hình chiếu ⊥ của M trên d P M H H là hình chiếu ⊥ của M trên (P) d(M,(P)) = MH P a A H a//(P); A ∈ a d(a,(P)) = d(A,(P)) =AH P Q A H (P)//(Q); A ∈ (P) d((P),(Q)) = d(A, (Q)) =AH P Q b a M N (Q) qua b và // a (P) qua a và // b d(a,b)= d(a,(Q)) Cần dựng mp(P) qua O và vuông góc với d - Qua O kẻ (tìm) đường thẳng a vuông góc và “cắt” d - “Cũng” qua O (hoặc một điểm khác trên a), “tìm” đường thẳng b vuông góc với a (nhưng không cắt d) ⇒ mp(a,b) là mp(P) cần dựng. d(M,d) = MH = d(b,(P)) = d((P),(Q)) Chóp Chóp đều E D A B C S H Tứ diện Tứ diện đều Chóp tam giác đều Chóp tứ giác đều C D B A 4 mặt là tam giác O C D B A 4 mặt là tam giác đều ⇒ cạnh bên bằng cạnh đáy O B C A S - Đáy là tam giác đều - Đỉnh chiếu xuống trùng với tâm của đáy O B A C D S - Đáy là hình vuông - Đỉnh chiếu xuống trùng với tâm của đáy Hình lăng trụ Hình lăng trụ đứng Hình lăng trụ đều C' B' A C B A' - Các cạnh bên // và = C' B' A C B A' - Cạnh bên vuông góc với đáy C' B' A C B A' - Đáy là đa giác đều - Cạnh bên vuông góc với đáy Hình hộp Hình hộp chữ nhật Hình lập phương - Đáy là đa giác đều - Các cạnh bên bằng nhau (Đỉnh chiếu xuống trùng với tâm của đáy) C D B A A' B' C' D' - Lăng trụ có đáy là hình bình hành C D B A A' B' C' D' Hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật C D B A A' B' C' D' 6 mặt là hình vuông . thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường trên mặt kia. - Hoặc dùng quan hệ: 2 mp cùng song song với mp thứ ba thì song song với nhau. Cách xác. song song nếu chúng đồng phẳng và khơng có điểm chung • Đường và mặt gọi là song song với nhau nếu chúng khơng có điểm chung • Hai mặt phẳng gọi là song