Câu 1: (4 điểm). Cho ∆ABC có Â = 90 0 , phân giác BD, trung tuyến AM và trọng tâm là G. Cho biết GD ⊥ AC tại D. Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng AG. a. Chứng minh: DE // BC b. Tính số đo · ACB . Giải: D E G A B M C a)*∆ADG vuông tại D có DE là trung tuyến nên DE = 2 1 AG = AE = EG ⇒ ∆ADE cân tại E ⇒ DA ˆ EAD ˆ E = . * AM là trung tuyến của ∆ABC vuông nên MA = MB = MC ⇒ ∆AMC cân ⇒ ˆ ˆ C MAC= . *Vậy C ˆ = AD ˆ E , chúng ở vị trí đồng vị nên ED // MC (đpcm) b) *Áp dụng định lý Talét vào ∆AMC cân ta có: AD AE DC EM = . *BD là phân giác của ∆ABC nên AD BA DC BC = . Suy ra BA AE BC EM = mà AE 1 EM 2 = nên BA 1 BC 2 = ⇒ BC = 2BA ⇒ ∆ABM đều B ˆ = 60 0 và C ˆ = 30 0 (đpcm) Câu 2: Cho đường tròn tâm (O; R) đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trong đoạn AB lấy điểm M khác 0. Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến với đường tròn (O) tại N ở điểm P. Chứng minh rằng: a) Các điểm O, M, N, P cùng nằm trên một đường tròn. b) Tứ giác CMPO là hình bình hành. c) CM.CN = 2R 2 d) Khi M di chuyển trên đoạn AB thì P di chuyển ở đâu ? Giải: C a) A B N E P D F * Tam giác OMP vuông tại M nên O, M, P thuộc đường tròn đường kính OP. * Tam giác ONP vuông tại N nên O, N, P thuộc đường tròn đường kính OP. M O K D H C G E F I J B O A M * Vậy O, M, N, P cùng thuộc đường tròn đường kính OP. b) MP//OC (vì cùng vuông góc với AB) · · NMP NCD= (hai góc đồng vị) · · ONC OCN = (hai góc đáy của tam giác cân ONC) · · NMP NOP = (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NP) Suy ra · · MNO NOP= ; do đó, OP//MC. Vậy tứ giác MCOP là hình bình hành. c) ( . )CND COM g g ∆ ∆ : Nên OC CM CN CD = hay CM.CN = OC.CD = 2R 2 d) Vì MP = OC = R không đổi. Vậy P chạy trên đường thẳng kẻ từ D //AB. Do M chỉ chạy trên đoạn AB nên P chỉ chạy trên EF thuộc đường thẳng song nói trên. Câu 3: Cho đường tròn (O, R), đường kính AB. C là điểm trên đường tròn (O, R). Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = CB. Khi C chuyển động trên đường tròn (O, R) thì D chuyển động trên đường nào? Giải: * · 90 o ACB = (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => AC vuông góc với BD CD = CB (gt) Tam giác ABC cân tại A AD = AB = 2R (không đổi) AD = AB = 2R (không đổi) và A cố định. Do đó D chuyển động trên đường tròn (A; 2R). Câu 4:. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đường kính AB lấy hai điểm I và J đối xứng nhau qua O. M là một điểm (khác A và B) trên (O); các đường thẳng MO, MI, MJ thứ tự cắt (O) tại E, F, G; FG cắt AB tại C. Đường thẳng đi qua F song song AB cắt MO, MJ lần lượt tại D và K. Gọi H là trung điểm của FG. a) Chứng minh tứ giác DHEF nội tiếp được. b) Chứng minh CE là tiếp tuyến của đường tròn (O). Giải: a) Ta có: OI OJ= DF DK=Þ //DH GKÞ · · HDE GME=Þ mà · · GME GFE= · · HDE GFE=Þ DHEFÞ nội tiếp được. b) Từ câu a suy ra · · DEH DFH= A B D C O m ã ã DFH OCH= OHECị ni tip c ã ã 0 90OEC OHC= =ị . Vy CE l tip tuyn ca (O). Cõu 5 : Cho õổồỡng troỡn (O , R) vaỡ õióứm A vồùi OA = 2R. Tổỡ A veợ 2 tióỳp tuyóỳn AE vaỡ AF õóỳn (O). (E, F laỡ 2 tióỳp õióứm). ổồỡng thúng OA cừt (O) taỷi C vaỡ D (O nũm giổợa A vaỡ C) a) Tờnh dióỷn tờch tổù giaùc AECF theo R. b) Tổỡ O veợ õổồỡng thúng vuọng goùc vồùi OE cừt AF taỷi M. Tờnh tyớ sọỳ dióỷn tờch hai tam giaùc OAM vaỡ OFM. c) ổồỡng thúng keớ tổỡ D vuọng goùc vồùi OE cừt EC taỷi Q. Chổùng minh caùc õổồỡng thúng AC, EF vaỡ QM õọửng qui. Gii I M Q O C D G E F a) Ta coù AE = AF (t/c tióỳp tuyóỳn) vaỡ OE = OF = R nón OA laỡ õổồỡng trung trổỷc cuớa õoaỷn thúng EF. Goỹi I laỡ giao õióứm cuớa AC vaỡ EF taỷi I thỗ OA EF vaỡ IE = IF OEA coù ã OEA = 90 0 (t/c tióỳp tuyóỳn) vaỡ EI OA nón OE 2 = OI . OA 2 2 OE R R ịOI = = = OA 2R 2 OIE ( ã OIE = 90 0 ) nón EI 2 = OE 2 - OI 2 = R 2 - 2 2 R 3R 3.R = ị EI = 4 4 2 EF = 2EI = 3 .R vaỡ AC = AO + OC = 2R + R = 3R S AECF = 1 2 . AC . EF = 1 2 . 3R . 3 . R = 2 3 3 R 2 b) Ta coù OM // AE ( OE) nón ã ã MOA = OAE maỡ ã ã OAE = OAM Do õoù ã ã MOA = OAM Suy ra OMA cỏn taỷi M MO = MA OAM OFM S AM OM = = S FM FM = ã 1 cos OMF maỡ ã ã ã OMF = EAF = 2EAO sin ã EAO = ã EAO 0 OE R 1 = = ị = 30 OA 2R 2 Do õoù ã OMF = 60 0 nón OAM OFM S S = 0 1 cos60 = 1 2 1 2 = c) - Chổùng minh DEQ = OFM Suy ra: QD = OM . N E F K M D I C B A - Chổùng minh QDMO laỡ hỗnh bỗnh haỡnh Suy ra QM vaỡ DO giao nhau taỷi trung õióứm cuớa mọựi õổồỡng Maỡ I laỡ trung õióứm cuớa OD (OI = ID = R 2 ) nón I laỡ trung õióứm cuớa QM Vỏỷy AC, EF vaỡ QM õọửng quy taỷi I. Cõu 6: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A. Gi I l trung im ca cnh BC v D l mt im bt k trờn cnh BC. ng trung trc ca AD ct cỏc ng trung trc ca AB v AC theo th t ti E v F. Chng minh rng nm im A, E, I, D, F cựng thuc mt ng trũn. Gii: -Gi M, N, K l trung im ca AC ; AB ; AI. ABC vuụng ti A nờn ng trung trc ca AB ; AC phi i qua trung im I ca BC. ABC vuụng ti A cú IA l trung tuyn nờn IA=IC => ã ã IAC ICA= ; NI // AM (cựng vuụng gúc vi AC) Suy ra ã ã EIA IAC= . Ta li cú KM l ng trung bỡnh ca AIC => KM // IC => => ã ã IAC KMA= . T giỏc AKMF ni tip c nờn ã ã KMA KFA= . T nhng iu kin trờn, suy ra: ã ã AFK EIA= m chỳng cựng nhỡn nhỡn on AE. Vy t giỏc AEIF ni tip vỡ ã 1AIF v = (AMIN l hỡnh ch nht) nờn EF l ng kớnh ca ng trũn ngoi tip m EF l trung trc ca AD nờn D nm trờn ng trũn ngoi tip t giỏc AEIF. Hay nm im A, D, E, I, F nm trờn ng trũn. Cõu 7: Cho ng trũn tõm O ng kớnh AB, v mt si dõy AC bt kỡ. Trờn tia AC ly im D sao cho: AD = 2AC. a) Xỏc nh v trớ ca im C BD l tip tuyn ca ng trũn tõm O. b) Tỡm tp hp tt c cỏc im D khi C di chuyn trờn ng trũn tõm O. Cõu 8: Gi H l chõn ng vuụng gúc h t nh A lờn ng chộo BD ca hỡnh ch nht ABCD. Gi P v Q ln lt l trung im ca cỏc on BH v CD. Chng minh rng 4 im A, P, Q v D cựng nm trờn mt ng trũn. Gii: Gi ý gii: Gi I l trung im ca AH. Chng minh IP AD t ú suy ra I l trc tõm ca tam giỏc APD. Suy ra DI AP (1). Chng t c t giỏc DIPQ l hỡnh bỡnh hnh, suy ra DI // PQ (2). T (1) v (2) suy ra AP PQ suy ra .p.c.m. . nửa đường tròn) => AC vuông góc với BD CD = CB (gt) Tam giác ABC cân tại A AD = AB = 2R (không đổi) AD = AB = 2R (không đổi) và A cố định. Do đó. kính AB và CD vuông góc với nhau. Trong đoạn AB lấy điểm M khác 0. Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N. Đường thẳng vuông góc với AB tại