1. Trang chủ
  2. » Mẫu Slide

ung dung dao ham de giai pt hpt bpt hbpt

7 10 0

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 7
Dung lượng 547,5 KB

Nội dung

[r]

(1)

ỨNG DỤNG SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH

VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Một số lưu ý chung:

Để học sinh có kiến thức vững để giải toán dạng yêu cầu học sinh nắm vững số kiến thức sau:

1) phương trình f(x) = m có nghiệm m thuộc tập giá trị hàm số y = f(x) số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y = f(x) với đường thẳng y = m

2) Xét bất phương trình f(x)  m với f(x) liên tục [a; b] Khi đó: m = minf(x)  f(x)  maxf(x) = M

*) f(x)  m có nghiệm thuộc [a; b]  m  maxf(x) *) f(x)  m vô nghiệm thuộc [a; b]  m > maxf(x) *) f(x)  m có nghiệm x [a; b]  m  minf(x)

Các ví dụ :

A) Phương trình:

Ví dụ 1:

Xác định m để phương trình sau có nghiệm :

m( 1 x2 1 x2 2) 2 1 x4 1 x2 1 x2

        

 (

1)

Điều kiện: x 1

Đặt t =

1x - 1 x2  1 x4 = – t2

Vậy phương trình (1) có nghiệm  f(

 

 (0)

2 m f  1m 

Ví dụ 2:

Tìm m để phương trình: 3 x 1 m x 1 24 x2 1

    

(1) có nghiệm

Điều kiện: x 

(1)  1 24 1

1 1

x x

m

x x

 

 

 

Đặt: t = 1 1 x x   =

41 2

1 x

 điều kiện: 0 t 

Khi phương trình trở thành:

Ví dụ 3:

Chứng minh với m > phương trình sau có hai nghiệm phân biệt

x2 + 2x – = m x ( 2) (1) Vậy m > phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Ví dụ 4:

Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc [1; 3]

2

3

log x log x1 - 2m – = (1)

Vậy phương trình (1) có nghiệm thuộc [1; 3] 2  2m +  0  m  1,5

Ví dụ 5:

Tìm m để phương trình sau có nghiệm :

(m + 1) tg4x – 3m(1 + tg2x)tg2x +

4 4 cos

m

x = (1)

Điều kiện: x

2 k

 

Dựa vào bảng biến thiên pt có nghiệm  -0,5 < m 

Ví dụ 6:

Tìm m để pt sau có nghiệm: 9x – m 33 + 2m + = (1) Dựa vào bảng biến thiên phương trình có nghiệm m < - 0,5 m 4 5

Ví dụ 7:

Tìm a để phương trình:

2

3 1

2 1

2 1

x

x x

 

 + a (1) coù

nghiệm

Dựa vào bảng biến thiên ta có đường thẳng y = a cắt đồ thị hàm số f(x) điểm a Vậya phương trình

(1) có nghiệm

Ví dụ 8:

Giải phương trình: x + x2 2x 2

  = 3x-1+1 (1)

(1)  x – + x2 2x 2

  = 3x –

2 1

1 3a

a x

a a

    

  

 

 

1

ln 1 ln 3

a x

a a a

    

  

 

(*) Xeùt f(a) = ln(a a2 1

  ) – aln3

f ’(a) = 12

1

a  - ln3 < , a

Vậy f(a) nghịch biến R f(0) = nên (*) nghiệm a = Do phương trình (1) có nghiệm x =

Ví dụ 9

Giải phương trình : 4x 1 + 4x 2 1 = (1)

Do f liên tục đồng biến (0,5; +) , f(0,5) = nên (1)  f(x) = f(0,5) x = 0,5

Ví dụ 10:

Giải phương trình: 3x + 5x = 6x + (*) Xeùt: f(x) = 3x + 5x – 6x –

Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = , x =

III) Các tập:

1) Định m để phương trình có nghiệm thuộc tập hợp cho trước

a) x3 – 3x = m với

 x 

(2)

c) 4sin6x + cos4x – a = 0

2) Biện luận số nghiệm phương trình: a) 3x4 – 10x3 + 6x2 = m

b) x 1 + 5 x = m

c) X3 + mx + m = 0

3) Tìm điều kiện m để phương trình sau có nghiệm:

1

x  + 3 x - x1 (3  x) = m

4) Tìm điều kiện m để phương trình sau có nghiệm ( đề dự bị ĐH 2007)

a) x4 13x m

  + x – =

b) x 2 1 - x = m

5) Tìm m để pt sau có nghiệm:

2 3

sin x + tg

2x + m(tgx + cotgx) = 1 6) Tìm m để phương trình sau có nghiệm 7) Tìm m để phương trình sau có nghiệm 4(sin4x + cos4x) – 4(sin6x + cos6x) – sin24x = m 8) biện luận theo k số nghiệm x ;

4 4   

 

 

  phương

trình: 4k(sin6x + cos6x – 1) = 3sin6x

9) Tìm tất giá trị m để phương trình có nghiệm đoạn 0;

2 

 

 

 

2cosx cos2x.cos3x m = cos2x

10) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: a) x +3 = m x 2 1

b) x + m = m x 2 1

c) x 1 + 4m4 x2 3x 2

  + (m + 3) x  2 =

11) xác định m để phương trình sau có nghiệm:

a) 2

4x  2x 1 4x 2x1 = 2m

b) 4

4 4

xx m  xx m =

12) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt :

a) 1x 8 x 1x(8 x) = m

b) 2x 2x24 6 x2 6 x = m 13) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: a) tan2x + cot2x +m(tanx + cotx) + = b) x xx12 m( 5 x 4 x)

c) 2x + x x x2 7x

 

 = m

14) Tìm m để phương trình : sinx + cos

2

x

= m( cosx + 2sin

2

x

) có nghiệm đoạn {0 ;

2 

}

B) Bất phương trình: 1) Ví dụ 1:

Tìm m để bất pt m( x2 2x 2

  + 1) + x(2- x)  có

nghiêm thuộc [0; 1+ 3]

Vậy bất phương trình có nghiệm x  [0; 1+ 3] 

m  M[1;2]ax ( )f t = f(2)  m  2 3

Ví dụ 2:

Vớùi giá trị m bất pt sin3x + cos3x

 m , x (1)

Đặt t = sinx + cosx = 2 cos( ) 4

x  , điều kieän : t  2

Dựa vào bảng biến thiên ta có : Bất phương trình (1) có nghiệm x  2m  -2  m  -

Ví dụ 3:

Tìm m để bất phương trình mx4 – 4x + m

 , x (1)

Dựa vào bảng biến thiên ta có bất phương trình có nghiệm x  m  Maxf(x)  m  27

Ví dụ 4:

Cho bất phương trình x3 -2x2 + x – + m < (1)

a) Định m để bất phương trình (1) có nghiệm thuộc [0; 2]

b) Định m để bất phương trình (1) thoả x [0; 2] ĐS:

a/ (1) có nghiệm thuộc [0; 2]  Maxf(x) > m  m < b/ (1) có nghiệm x [0; 2]  Minf(x) > m  m < -1 Ví dụ 5:

Tìm điều kiện p, q để bất phương trình sau có nghiệm thoả x [0; 1]

px +

3

3 1

3 1

x x x

x

  

  qx + (1)

Dựa vào bảng biến thiên ta có: p  minf(x)

q  maxf(x) p  2 1 vaø q  Ví dụ 6:

Cho bất phương trình: x a  x b  x c (1) với

a > b > c

a) chứng minh bất phương trình ln có nghiệm b) Giải bất phương trình: x 4 x1 x4

(2)

Đs: đTa coù f(5) = 5 4  5 1  5 4 = VaÄy baát

phương trình (2) có nghiệm ( 5; +)

Ví dụ 7:

Tìm tất giá trị m để bất phương trình sau nghiệm với x >

(3m +1)12x + (2 – m)6x + 3x < (1)

Dựa vào bảng biến thiên ta có bất phương trình (1) có nghiệm với x >

 bất phương trình (2) có nghiệm với t > 1 m  -2 Ví dụ 8:

Giải bất phương trình :

2

(3)

Điều kiện:

2

7 7 0

7 6 0

49 7 42

x x x x           

 x 6

7 

Đặt: f(x) = 7x 7 7x 6 49x2 7x 42

      + 4x

f ’(x) = 7 7 982 7

2 7 7 2 7 6 49 7 42

x

x x x x

 

    + >

, x 6 7 

Vậy f(x) đồng biến (6

7 ; +) f(6) = 181

Khi x < f(x) < f(6)  f(x) < 181

Vậy nghiệm bất phương trình S = [6

7 ; 6)

Ví dụ 9:

Giải bất phương trình:

2x 3x 6x16 > 2 3 4 x

Điều kiện:

3

2 3 6 16 0

4 0

x x x

x

    

 

2 (2 8) 0

4 0

x x x

x            

 -  x 

Xét hàm số f(x) =

2x 3x 6x16 - 4 x

f ’(x) =

2

3

6( 1) 1

2 4

2 2 3 6 16

x x

x

x x x

 

 

   > , 

x (-2; 4)

Suy f đồng biến khoảng (-2; 4) Do x > f(x) > f(1) = 2 3

2x 3x 6x16 - 4 x > 2 3

2x 3x 6x16 > 4 x + 2 3

Vậy khoảng nghiệâm bất phương trình : (1; 4)

2) Bi tập:

1) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: 32x+1 – (m + 3) 3x – 2(m + 3) <

2) Xác định m cho x nghiệm bất phương trình:

22+cos2x + 1 cos2 sin2 2 x 2 x

  m

3) Xác định m để bất phương trình sau có nghiệm

2 2

sin cos sin

2 x 3 x .3 x

m

  (1)

Hướng dẫn: Đặt t = sin2

2 x điều kiện1 t 2 sin2

3 x =

 

2

log log sin

2 x t

(1)có dạng: t + log 32 3 t log . m t

Xeùt f(t) = 2 log log 3 t t

 với 1 t 2)

C Hệ phương trình 1) Hệ phương trình dạng:

(1) (2) ( ) ( ) ( , ) 0

f x f y

g x y

      

Hướng dẫn học sinh tìm lời giải theo hai hướng sau: Hướng 1: (1)  f(x) – f(y) = (3)

Tìm cách đưa (3) phương trình tích

Ví dụ 1: Giải hệ :

(1) (2) 1 1 2 1 x y x y y x          

Ví dụ 2:

Giải hệ:

2

2

2 2 3 1

2 2 3 1

y x

x x x y y y

                

với x, y

 R

Do hệ có nghiệm nhât x = y =

Ví dụ 3:

Chứng minh hệ phương trình sau có hai nghiệm (x, y) thoả x > 0, y >

2 2008 1 2008 1 x y y e y x e x             

(*) ( đề dự bị 2007)

Điều kiện: 2 1 0 1 1 0 1 0, 0 x x y y x y                  (*) 2 2008 (1) 1 (2) 1 1 x x y y e y x y e e x y               

Xét hàm số: f(t) = 2 1

t t

e t

 , t >

f ’(t) =

 

2

2

2 2 2

1

1 1

1 1 1

t t

t t

t

e e

t t t

  

  

  

>

t >

Vậy f(t) đồng biến (1; +)

Từ (2) ta có f(x) = f(y)  x = y Thay vào (1) ta có:

(4)

Xét hàm số : g(x) = 2 2008 1

x x

e x

 

 = (*)

g’(x) = ex -

 13

x x 

g”(x) = ex +

 152

x

x  > , x >

 g’(x) đồng biến liên tục (1; +) đổi dấu Vì xlim '( )1g x   g’(2) = e

2 – 1

3 3 >

Nên g’(x) = có nghiệm x = 

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g(x) cắt trục hồnh tối đa lần

 phương trình (*) có tối đa nghiệm

 hệ phương trình có nghiệm (x, y) thoả x > 0, y >

Ví dụ4:

Giải hệ : 1

1

x y

e ey x

e ex y

   

 

  

 

Vậy hệ có hai nghiệm ( (0; 0) ( 1; 1)

Ví dụ 5:

Giải hệ phương trình:

2

ln(1 ) ln(1 )

12 20 0

x y x y x xy y

    

 

  

(*) ( Đề dự bị khối D 2006) Nếu xy < vế trái (1) ln dương, phương trình khơng thoả mãn

Nếu x = y thay vào (1) ta nghiệm hệ x = y =

Ví dụ 6:

Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm

1 3

1 3

x y m

y x m

    

 

   

 

(I)

Dựa vào bảng biến thiên phương trình (*) có nghiệm  

m  2

Do hệâ có nghiệm  m  2 Ví dụ 7:

Chứng minh m hệ phương trình sau có nghiệm

nhaát

2

2

3 2 0 (1)

3 2 0 (2)

x y y m y x x m

   

 

  

 

(I) Dựa vào bảng biến thiên phương trình f(x) = có nghiệm x >  m > Do hệ có nghiệm m >

Ví dụ 8:

Tìm m để hệ sau có nghiệm: cos cos 2sin 3cos

x y x y x y m

  

 

 

vậy hệ có nghiệm  phương trình (*) có nghieäm  - 13  m  13

Bài tập luyện tập:

1) Giải hệ phương trình: ln ln

2 3 36

x

x y y

x y x y

 

  

  

 

2) Tìm m để hệ phương trình cos cos 1 cos3 cos 3

x y

x y m

 

 

 

 có

nghiệm: 3) Giải hệ :

2

2

cos 1 2 cos 1

2

y x

x y

  

 

  

  4) Giải hệ

3

3

1 2( )

1 2( )

x x x y

y y y x

    

 

   

 

2) Hệ phương trình có ẩn khơng thay đổi hốn vị vịng quanh

Khi giải hệ cần ý:

Không tính tổng quát ta giả thiết x = max (x, y, z)  x  y, x  z

Ví dụ1:

Giải hệ phương trình:

3

3

3

3 5 1 4

3 5 1 4

3 5 1 4

x x x y y y y z z z z x

    

   

 

   

Xét hàm số f(t) = t3 - 3t2 + 5t + f ’(t) = 3t2 – 6t + > ,

t Do f(t) đồng biến

Hệ phương trình có dạng

( ) 4 ( ) 4 ( ) 4

f x y

f y z

f z x

 

 

 

Vì hệ khơng đổi hốn vị vịng quanh x, y,z nên ta giả thiết x  y, x  z

Neáu x > y  f(x) > f(y)  4y > 4z  y > z 

f(y) > f(z)  z > x mâu thuẫn

Nếu x > z  f(x) > f(z)  y > x mâu thuẫn Vậy x = y = z

Từ phương trính hệ ta có: x3 – 3x2 + x + =

 (x – 1)( x2 – 2x – 1) =  1

1 2

x x

  

  

Do nghiệm hệ là: 1

1 2

x y z

x y z

   

(5)

Nhận xét : Xét hệ có dạng:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f x g y

f y g z

f z g x

       

Nếu hàm số f(t), g(t) đồng biến (hoặc nghịch biến) lý luận ta có x = y =z

Ví dụ 2:

Giải hệ :

3

3

3

6 12 8 (1) 6 12 8 (2) 6 12 8 (3)

y x x z y y x z z

              (I)

(I) 

3 3 ( ) ( ) ( )

y f x

z f y

x f z

       

Từ phương trình (1) ta có y3 = 6(x2 – 2x +8

6) = 6(x – 1)

2 +

1

3   y  32

Tương tự ta có: x  2, z 2

Xét hàm số f(t) = 6t2 – 12t + 8

f ’(t) = 12x – 12 > , t  32

Vậy f(t) đồng biến [3 2; +)

Vì hệ khơng thay đổi hốn vị vịng quanh x, y,z giả thiết x  y, x  z

Neáu x > y  f(x) > f(y)  y3 > z3  y > z  f(y) > f(z)  z3 > x3  z > x mâu thuẫn

Nếu x > z  f(x) > f(z)  y3 > x3  y > x mâu thuẫn

Suy x = y = z

Từ phương trình hệ ta có: x3 – 6x2 + 12 x - =

 (x – 2)3 =  x = Vaäy hệ có nghiệm x = y = z =

Bài tập luyện tập:

1) Giải hệ :

3

3

3

3 3 ln( 1) (1)

3 3 ln( 1) (2)

3 3 ln( 1) (3)

x x x x y y y y y z x z z z x

                      

2) Giaûøi heä:

3

3

3

2 7 8 2

2 7 8 2

2 7 8 2

x x x y

y y y z

x z z x

                

3) Giải hệ:

3 3 2 4

x x y y y z z z x

              

4) Chứng minh a hệ sau có nghiệm :

2 3 x y y a y z z a z x x a

             

5) Tìm a để hệ:

2

2

x y a

y z a

z x a

          

chỉ có nghiệm dạng x = y =z

6) Chứng minh a > hệ phương trình:

ln(1 ) ln(1 )

x y

e e x y

y x a

     

 

có nghiệm

7) Tìm m đệ hệ phương trình sau có nghiệm thực:

3 3 1 1 15 10 x y x y

x y m

x y                

8) Giải hệ:

( 1) ln ( 1) ln ( 1) ln

x y y y y z z z z x x x

          

9) Giải hệ:

2

log 1 3sin log (3cos ) log 1 3cos log (3sin )

x y y x         

10) Giải hệ:

2

2

2

2

log (1 tan 2 log (1 tan ) log (1 tan 2 log (1 tan )

x y y x                Hướng dẫn:

1) Nếu ba số x, y, z Giả sử x = y – = ylny

Xeùt f(y) = y – – ylny

f ’(y) = - lny; f ’(y) =  y = vaø f(1) = 0< y < f’(y) > suy f(y) > y > f’(y) < suy f(y) < vaäy y = nghiệm

Nếu x  theo y, z  hệ cho 

ln ln ( 1) ln ( 1) y y x y z z y z x x z x               

(6)(7)

Ngày đăng: 22/04/2021, 02:08

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w