[r]
(1)ỨNG DỤNG SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH
VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Một số lưu ý chung:
Để học sinh có kiến thức vững để giải toán dạng yêu cầu học sinh nắm vững số kiến thức sau:
1) phương trình f(x) = m có nghiệm m thuộc tập giá trị hàm số y = f(x) số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y = f(x) với đường thẳng y = m
2) Xét bất phương trình f(x) m với f(x) liên tục [a; b] Khi đó: m = minf(x) f(x) maxf(x) = M
*) f(x) m có nghiệm thuộc [a; b] m maxf(x) *) f(x) m vô nghiệm thuộc [a; b] m > maxf(x) *) f(x) m có nghiệm x [a; b] m minf(x)
Các ví dụ :
A) Phương trình:
Ví dụ 1:
Xác định m để phương trình sau có nghiệm :
m( 1 x2 1 x2 2) 2 1 x4 1 x2 1 x2
(
1)
Điều kiện: x 1
Đặt t =
1x - 1 x2 1 x4 = – t2
Vậy phương trình (1) có nghiệm f(
(0)
2 m f 1m
Ví dụ 2:
Tìm m để phương trình: 3 x 1 m x 1 24 x2 1
(1) có nghiệm
Điều kiện: x
(1) 1 24 1
1 1
x x
m
x x
Đặt: t = 1 1 x x =
41 2
1 x
điều kiện: 0 t
Khi phương trình trở thành:
Ví dụ 3:
Chứng minh với m > phương trình sau có hai nghiệm phân biệt
x2 + 2x – = m x ( 2) (1) Vậy m > phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Ví dụ 4:
Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc [1; 3]
2
3
log x log x1 - 2m – = (1)
Vậy phương trình (1) có nghiệm thuộc [1; 3] 2 2m + 0 m 1,5
Ví dụ 5:
Tìm m để phương trình sau có nghiệm :
(m + 1) tg4x – 3m(1 + tg2x)tg2x +
4 4 cos
m
x = (1)
Điều kiện: x
2 k
Dựa vào bảng biến thiên pt có nghiệm -0,5 < m
Ví dụ 6:
Tìm m để pt sau có nghiệm: 9x – m 33 + 2m + = (1) Dựa vào bảng biến thiên phương trình có nghiệm m < - 0,5 m 4 5
Ví dụ 7:
Tìm a để phương trình:
2
3 1
2 1
2 1
x
x x
+ a (1) coù
nghiệm
Dựa vào bảng biến thiên ta có đường thẳng y = a cắt đồ thị hàm số f(x) điểm a Vậya phương trình
(1) có nghiệm
Ví dụ 8:
Giải phương trình: x + x2 2x 2
= 3x-1+1 (1)
(1) x – + x2 2x 2
= 3x –
2 1
1 3a
a x
a a
1
ln 1 ln 3
a x
a a a
(*) Xeùt f(a) = ln(a a2 1
) – aln3
f ’(a) = 12
1
a - ln3 < , a
Vậy f(a) nghịch biến R f(0) = nên (*) nghiệm a = Do phương trình (1) có nghiệm x =
Ví dụ 9
Giải phương trình : 4x 1 + 4x 2 1 = (1)
Do f liên tục đồng biến (0,5; +) , f(0,5) = nên (1) f(x) = f(0,5) x = 0,5
Ví dụ 10:
Giải phương trình: 3x + 5x = 6x + (*) Xeùt: f(x) = 3x + 5x – 6x –
Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = , x =
III) Các tập:
1) Định m để phương trình có nghiệm thuộc tập hợp cho trước
a) x3 – 3x = m với
x
(2)c) 4sin6x + cos4x – a = 0
2) Biện luận số nghiệm phương trình: a) 3x4 – 10x3 + 6x2 = m
b) x 1 + 5 x = m
c) X3 + mx + m = 0
3) Tìm điều kiện m để phương trình sau có nghiệm:
1
x + 3 x - x1 (3 x) = m
4) Tìm điều kiện m để phương trình sau có nghiệm ( đề dự bị ĐH 2007)
a) x4 13x m
+ x – =
b) x 2 1 - x = m
5) Tìm m để pt sau có nghiệm:
2 3
sin x + tg
2x + m(tgx + cotgx) = 1 6) Tìm m để phương trình sau có nghiệm 7) Tìm m để phương trình sau có nghiệm 4(sin4x + cos4x) – 4(sin6x + cos6x) – sin24x = m 8) biện luận theo k số nghiệm x ;
4 4
phương
trình: 4k(sin6x + cos6x – 1) = 3sin6x
9) Tìm tất giá trị m để phương trình có nghiệm đoạn 0;
2
2cosx cos2x.cos3x m = cos2x
10) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: a) x +3 = m x 2 1
b) x + m = m x 2 1
c) x 1 + 4m4 x2 3x 2
+ (m + 3) x 2 =
11) xác định m để phương trình sau có nghiệm:
a) 2
4x 2x 1 4x 2x1 = 2m
b) 4
4 4
x x m x x m =
12) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt :
a) 1x 8 x 1x(8 x) = m
b) 2x 2x24 6 x2 6 x = m 13) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: a) tan2x + cot2x +m(tanx + cotx) + = b) x x x12 m( 5 x 4 x)
c) 2x + x x x2 7x
= m
14) Tìm m để phương trình : sinx + cos
2
x
= m( cosx + 2sin
2
x
) có nghiệm đoạn {0 ;
2
}
B) Bất phương trình: 1) Ví dụ 1:
Tìm m để bất pt m( x2 2x 2
+ 1) + x(2- x) có
nghiêm thuộc [0; 1+ 3]
Vậy bất phương trình có nghiệm x [0; 1+ 3]
m M[1;2]ax ( )f t = f(2) m 2 3
Ví dụ 2:
Vớùi giá trị m bất pt sin3x + cos3x
m , x (1)
Đặt t = sinx + cosx = 2 cos( ) 4
x , điều kieän : t 2
Dựa vào bảng biến thiên ta có : Bất phương trình (1) có nghiệm x 2m -2 m -
Ví dụ 3:
Tìm m để bất phương trình mx4 – 4x + m
, x (1)
Dựa vào bảng biến thiên ta có bất phương trình có nghiệm x m Maxf(x) m 27
Ví dụ 4:
Cho bất phương trình x3 -2x2 + x – + m < (1)
a) Định m để bất phương trình (1) có nghiệm thuộc [0; 2]
b) Định m để bất phương trình (1) thoả x [0; 2] ĐS:
a/ (1) có nghiệm thuộc [0; 2] Maxf(x) > m m < b/ (1) có nghiệm x [0; 2] Minf(x) > m m < -1 Ví dụ 5:
Tìm điều kiện p, q để bất phương trình sau có nghiệm thoả x [0; 1]
px +
3
3 1
3 1
x x x
x
qx + (1)
Dựa vào bảng biến thiên ta có: p minf(x)
q maxf(x) p 2 1 vaø q Ví dụ 6:
Cho bất phương trình: x a x b x c (1) với
a > b > c
a) chứng minh bất phương trình ln có nghiệm b) Giải bất phương trình: x 4 x1 x4
(2)
Đs: đTa coù f(5) = 5 4 5 1 5 4 = VaÄy baát
phương trình (2) có nghiệm ( 5; +)
Ví dụ 7:
Tìm tất giá trị m để bất phương trình sau nghiệm với x >
(3m +1)12x + (2 – m)6x + 3x < (1)
Dựa vào bảng biến thiên ta có bất phương trình (1) có nghiệm với x >
bất phương trình (2) có nghiệm với t > 1 m -2 Ví dụ 8:
Giải bất phương trình :
2
(3)Điều kiện:
2
7 7 0
7 6 0
49 7 42
x x x x
x 6
7
Đặt: f(x) = 7x 7 7x 6 49x2 7x 42
+ 4x
f ’(x) = 7 7 982 7
2 7 7 2 7 6 49 7 42
x
x x x x
+ >
, x 6 7
Vậy f(x) đồng biến (6
7 ; +) f(6) = 181
Khi x < f(x) < f(6) f(x) < 181
Vậy nghiệm bất phương trình S = [6
7 ; 6)
Ví dụ 9:
Giải bất phương trình:
2x 3x 6x16 > 2 3 4 x
Điều kiện:
3
2 3 6 16 0
4 0
x x x
x
2 (2 8) 0
4 0
x x x
x
- x
Xét hàm số f(x) =
2x 3x 6x16 - 4 x
f ’(x) =
2
3
6( 1) 1
2 4
2 2 3 6 16
x x
x
x x x
> ,
x (-2; 4)
Suy f đồng biến khoảng (-2; 4) Do x > f(x) > f(1) = 2 3
2x 3x 6x16 - 4 x > 2 3
2x 3x 6x16 > 4 x + 2 3
Vậy khoảng nghiệâm bất phương trình : (1; 4)
2) Bi tập:
1) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: 32x+1 – (m + 3) 3x – 2(m + 3) <
2) Xác định m cho x nghiệm bất phương trình:
22+cos2x + 1 cos2 sin2 2 x 2 x
m
3) Xác định m để bất phương trình sau có nghiệm
2 2
sin cos sin
2 x 3 x .3 x
m
(1)
Hướng dẫn: Đặt t = sin2
2 x điều kiện1 t 2 sin2
3 x =
2
log log sin
2 x t
(1)có dạng: t + log 32 3 t log . m t
Xeùt f(t) = 2 log log 3 t t
với 1 t 2)
C Hệ phương trình 1) Hệ phương trình dạng:
(1) (2) ( ) ( ) ( , ) 0
f x f y
g x y
Hướng dẫn học sinh tìm lời giải theo hai hướng sau: Hướng 1: (1) f(x) – f(y) = (3)
Tìm cách đưa (3) phương trình tích
Ví dụ 1: Giải hệ :
(1) (2) 1 1 2 1 x y x y y x
Ví dụ 2:
Giải hệ:
2
2
2 2 3 1
2 2 3 1
y x
x x x y y y
với x, y
R
Do hệ có nghiệm nhât x = y =
Ví dụ 3:
Chứng minh hệ phương trình sau có hai nghiệm (x, y) thoả x > 0, y >
2 2008 1 2008 1 x y y e y x e x
(*) ( đề dự bị 2007)
Điều kiện: 2 1 0 1 1 0 1 0, 0 x x y y x y (*) 2 2008 (1) 1 (2) 1 1 x x y y e y x y e e x y
Xét hàm số: f(t) = 2 1
t t
e t
, t >
f ’(t) =
2
2
2 2 2
1
1 1
1 1 1
t t
t t
t
e e
t t t
>
t >
Vậy f(t) đồng biến (1; +)
Từ (2) ta có f(x) = f(y) x = y Thay vào (1) ta có:
(4)Xét hàm số : g(x) = 2 2008 1
x x
e x
= (*)
g’(x) = ex -
13
x x
g”(x) = ex +
152
x
x > , x >
g’(x) đồng biến liên tục (1; +) đổi dấu Vì xlim '( )1g x g’(2) = e
2 – 1
3 3 >
Nên g’(x) = có nghiệm x =
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g(x) cắt trục hồnh tối đa lần
phương trình (*) có tối đa nghiệm
hệ phương trình có nghiệm (x, y) thoả x > 0, y >
Ví dụ4:
Giải hệ : 1
1
x y
e ey x
e ex y
Vậy hệ có hai nghiệm ( (0; 0) ( 1; 1)
Ví dụ 5:
Giải hệ phương trình:
2
ln(1 ) ln(1 )
12 20 0
x y x y x xy y
(*) ( Đề dự bị khối D 2006) Nếu xy < vế trái (1) ln dương, phương trình khơng thoả mãn
Nếu x = y thay vào (1) ta nghiệm hệ x = y =
Ví dụ 6:
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
1 3
1 3
x y m
y x m
(I)
Dựa vào bảng biến thiên phương trình (*) có nghiệm
m 2
Do hệâ có nghiệm m 2 Ví dụ 7:
Chứng minh m hệ phương trình sau có nghiệm
nhaát
2
2
3 2 0 (1)
3 2 0 (2)
x y y m y x x m
(I) Dựa vào bảng biến thiên phương trình f(x) = có nghiệm x > m > Do hệ có nghiệm m >
Ví dụ 8:
Tìm m để hệ sau có nghiệm: cos cos 2sin 3cos
x y x y x y m
vậy hệ có nghiệm phương trình (*) có nghieäm - 13 m 13
Bài tập luyện tập:
1) Giải hệ phương trình: ln ln
2 3 36
x
x y y
x y x y
2) Tìm m để hệ phương trình cos cos 1 cos3 cos 3
x y
x y m
có
nghiệm: 3) Giải hệ :
2
2
cos 1 2 cos 1
2
y x
x y
4) Giải hệ
3
3
1 2( )
1 2( )
x x x y
y y y x
2) Hệ phương trình có ẩn khơng thay đổi hốn vị vịng quanh
Khi giải hệ cần ý:
Không tính tổng quát ta giả thiết x = max (x, y, z) x y, x z
Ví dụ1:
Giải hệ phương trình:
3
3
3
3 5 1 4
3 5 1 4
3 5 1 4
x x x y y y y z z z z x
Xét hàm số f(t) = t3 - 3t2 + 5t + f ’(t) = 3t2 – 6t + > ,
t Do f(t) đồng biến
Hệ phương trình có dạng
( ) 4 ( ) 4 ( ) 4
f x y
f y z
f z x
Vì hệ khơng đổi hốn vị vịng quanh x, y,z nên ta giả thiết x y, x z
Neáu x > y f(x) > f(y) 4y > 4z y > z
f(y) > f(z) z > x mâu thuẫn
Nếu x > z f(x) > f(z) y > x mâu thuẫn Vậy x = y = z
Từ phương trính hệ ta có: x3 – 3x2 + x + =
(x – 1)( x2 – 2x – 1) = 1
1 2
x x
Do nghiệm hệ là: 1
1 2
x y z
x y z
(5)Nhận xét : Xét hệ có dạng:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x g y
f y g z
f z g x
Nếu hàm số f(t), g(t) đồng biến (hoặc nghịch biến) lý luận ta có x = y =z
Ví dụ 2:
Giải hệ :
3
3
3
6 12 8 (1) 6 12 8 (2) 6 12 8 (3)
y x x z y y x z z
(I)
(I)
3 3 ( ) ( ) ( )
y f x
z f y
x f z
Từ phương trình (1) ta có y3 = 6(x2 – 2x +8
6) = 6(x – 1)
2 +
1
3 y 32
Tương tự ta có: x 2, z 2
Xét hàm số f(t) = 6t2 – 12t + 8
f ’(t) = 12x – 12 > , t 32
Vậy f(t) đồng biến [3 2; +)
Vì hệ khơng thay đổi hốn vị vịng quanh x, y,z giả thiết x y, x z
Neáu x > y f(x) > f(y) y3 > z3 y > z f(y) > f(z) z3 > x3 z > x mâu thuẫn
Nếu x > z f(x) > f(z) y3 > x3 y > x mâu thuẫn
Suy x = y = z
Từ phương trình hệ ta có: x3 – 6x2 + 12 x - =
(x – 2)3 = x = Vaäy hệ có nghiệm x = y = z =
Bài tập luyện tập:
1) Giải hệ :
3
3
3
3 3 ln( 1) (1)
3 3 ln( 1) (2)
3 3 ln( 1) (3)
x x x x y y y y y z x z z z x
2) Giaûøi heä:
3
3
3
2 7 8 2
2 7 8 2
2 7 8 2
x x x y
y y y z
x z z x
3) Giải hệ:
3 3 2 4
x x y y y z z z x
4) Chứng minh a hệ sau có nghiệm :
2 3 x y y a y z z a z x x a
5) Tìm a để hệ:
2
2
x y a
y z a
z x a
chỉ có nghiệm dạng x = y =z
6) Chứng minh a > hệ phương trình:
ln(1 ) ln(1 )
x y
e e x y
y x a
có nghiệm
7) Tìm m đệ hệ phương trình sau có nghiệm thực:
3 3 1 1 15 10 x y x y
x y m
x y
8) Giải hệ:
( 1) ln ( 1) ln ( 1) ln
x y y y y z z z z x x x
9) Giải hệ:
2
log 1 3sin log (3cos ) log 1 3cos log (3sin )
x y y x
10) Giải hệ:
2
2
2
2
log (1 tan 2 log (1 tan ) log (1 tan 2 log (1 tan )
x y y x Hướng dẫn:
1) Nếu ba số x, y, z Giả sử x = y – = ylny
Xeùt f(y) = y – – ylny
f ’(y) = - lny; f ’(y) = y = vaø f(1) = 0< y < f’(y) > suy f(y) > y > f’(y) < suy f(y) < vaäy y = nghiệm
Nếu x theo y, z hệ cho
ln ln ( 1) ln ( 1) y y x y z z y z x x z x
(6)(7)