Đang tải... (xem toàn văn)
Giả sử diện tích rừng trồng mới của tỉnh A mỗi năm tiếp theo đều tăng 6% so với diện tích rừng trồng mới của năm liền trước... Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a, SA vuôn[r]
(1)Nhóm Tốn LATEX
LỜI GIẢI CHI TIẾT MÃ ĐỀ GỐC MƠN TỐN
MƠN TOÁN
KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT
(2)(3)Mục lục
Đề thi tốt nghiệp THPT 2020 mơn Tốn - Mã đề 101
Đề thi tốt nghiệp THPT 2020 mơn Tốn - Mã đề 102 21
Đề thi tốt nghiệp THPT 2020 mơn Tốn - Mã đề 103 39
(4)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Nhóm Tốn LATEX
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT-QG 2020 Bài thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút
ĐÁP ÁN THAM KHẢO MÃ ĐỀ 101
1 C 2 B 3 B 4 D 5 D 6 A 7 C 8 A 9 D 10 D 11 B 12 C 13 D 14 B 15 B 16 A 17 B 18 C 19 B 20 B 21 C 22 C 23 C 24 B 25 C 26 A 27 C 28 A 29 B 30 A 31 C 32 C 33 C 34 B 35 A 36 C 37 A 38 A 39 B 40 B 41 A 42 A 43 A 44 B 45 C 46 A 47 A 48 B 49 C 50 C
Câu 1. Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình bên?
A. y = x3− 3x2+ 1. B. y = −x3+ 3x2 + 1.
C. y = −x4+ 2x2+ 1. D. y = x4− 2x2+ 1.
O
x y
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Từ đồ thị suy hàm số có dạng y = ax4+ bx2+ c, a 6= lim
x→±∞y = −∞ nên có hệ số a <
Trong hàm số cho, hàm số y = −x4+ 2x2+ thỏa mãn.
Chọn đáp án C
Câu 2. Nghiệm phương trình 3x−1 =
A. x = −2 B. x = C. x = D. x = −3
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Ta có: 3x−1 = = 32 ⇔ x − = ⇔ x = 3.
Chọn đáp án B
Câu 3. Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên sau: x
f0(x)
f (x)
−∞ +∞
+ − +
−∞ −∞
2
−5 −5
+∞ +∞
Giá trị cực tiểu hàm số cho
(5)-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Dựa vào bảng biến thiên hàm số cho, suy giá trị cực tiểu hàm số −5
Chọn đáp án B
Câu 4. Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên sau: x
f0(x)
f (x)
−∞ −1 +∞
− + − +
+∞ +∞
−1 −1
4
−1 −1
+∞ +∞
Hàm số cho đồng biến khoảng đây?
A. (−∞; −1) B. (0; 1) C. (−1; 1) D. (−1; 0)
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Dựa vào bảng biến thiên hàm số cho, suy khoảng (−1; 0) hàm số đồng biến
Chọn đáp án D
Câu 5. Cho khối hộp chữ nhật có ba kích thước 3; 4; Thể tích khối hộp cho
A. 10 B. 20 C. 12 D. 60
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Ta tích khối hộp × × = 60
Chọn đáp án D
Câu 6. Số phức liên hợp số phức z = −3 + 5i
A. z = −3 − 5i B. z = + 5i C. z = −3 + 5i D. z = − 5i
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Số phức liên hợp số phức z = −3 + 5i z = −3 − 5i
Chọn đáp án A
Câu 7. Cho hình trụ có bán kính đáy r = độ dài đường sinh ` = Diện tích xung quanh hình trụ cho
A. 24π B. 192π C. 48π D. 64π
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Ta có Sxq = · π · r · ` = 48π
Chọn đáp án C
Câu 8. Cho khối cầu có bán kính r = Thể tích khối cầu cho
A. 256π3 B. 64π C. 64π
3 D. 256π
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Ta có Vkc =
4 · π · r3
3 =
256π
3
(6)Câu 9. Với a, b số thực dương tùy ý a 6= 1, loga5b
A. logab B.
5 + logab C. + logab D.
1
5logab
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Ta có: loga5b =
1
5logab
Chọn đáp án D
Câu 10. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2+ y2+ (z + 2)2 = Bán kính (S)
bằng
A. B. 18 C. D.
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Bán kính (S) là√9 =
Chọn đáp án D
Câu 11. Tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = 4x +
x −
A. y =
4 B. y = C. y = D. y = −1
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Do lim
x→±∞y = limx→±∞
4x +
x − = nên y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số y =
4x +
x −
Chọn đáp án B
Câu 12. Cho khối nón có bán kính đáy r = chiều cao h = Thể tích khối nón cho
A. 10π3 B. 10π C. 50π
3 D. 10π
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Thể tích khối nón cho V =
3 · πr
2· h = 50π
3
Chọn đáp án C
Câu 13. Nghiệm phương trình log3(x − 1) =
A. x = B. x = C. x = D. x = 10
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
log3(x − 1) =
⇔ x − = ⇔ x = 10 Vậy nghiệm phương trình x = 10
(7)Câu 14. Z x2dx
A. 2x + C B.
3x
3+ C. C. x3 + C. D. 3x3+ C.
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Ta có: Z
x2dx =
3x
3
+ C
Chọn đáp án B
Câu 15. Có cách xếp học sinh thành hàng dọc?
A. 36 B. 720 C. D.
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Số cách xếp học sinh thành hàng dọc 6! = 720
Chọn đáp án B
Câu 16.
Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị đường cong hình bên Số nghiệm thực phương trình f (x) = −1
A. B. C. D.
O x y
2 −2 −1
1
y = f (x)
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Số nghiệm thực phương trình f (x) = −1 số giao điểm đường thẳng y = −1 đồ thị hàm số y = f (x)
Dựa vào đồ thị, ta thấy đường thẳng y = −1 cắt đồ thị hàm số y = f (x) điểm
Vậy số nghiệm thực phương trình f (x) = −1
O x y
2 −2 −1
1
y = f (x) y = −1
Chọn đáp án A
Câu 17. Trong khơng gian Oxyz, hình chiếu vng góc điểm A(3; 2; 1) trục Ox có tọa độ
A. (0; 2; 1) B. (3; 0; 0) C. (0; 0; 1) D. (0; 2; 0)
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Tọa độ hình chiếu vng góc điểm A(3; 2; 1) lên trục Ox (3; 0; 0)
(8)Câu 18. Cho khối chóp có diện tích đáy B = chiều cao h = Thể tích khối chóp cho
A. B. C. D. 12
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Ta có V =
3Bh =
1
3 · · =
Chọn đáp án C
Câu 19. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d : x −
2 =
y −
−5 =
z +
3 Véc-tơ
dưới véc-tơ phương d?
A. #»u2 = (3; 4; −1) B. #»u1 = (2; −5; 3) C. #»u3 = (2; 5; 3) D. #»u4 = (3; 4; 1)
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Đường thẳng d : x −
2 =
y −
−5 =
z +
3 có véc-tơ phương #»u = (2; −5; 3)
Chọn đáp án B
Câu 20. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(3; 0; 0), B(0; 1; 0) C(0; 0; −2) Mặt phẳng (ABC) có phương trình
A. x
3 +
y
−1 +
z
2 = B.
x
3 +
y
1 +
z
−2 = C.
x
3 +
y
1+
z
2 = D.
x
−3+
y
1+
z
2 =
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Phương trình đoạn chắn mặt phẳng (ABC) x
3 +
y
1 +
z
−2 =
Chọn đáp án B
Câu 21. Cho cấp số nhân (un) với u1 = công bội q = Giá trị u2
A. B. C. D.
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Ta có u2 = u1· q = · =
Chọn đáp án C
Câu 22. Cho hai số phức z1 = − 2i z2 = + i Số phức z1+ z2
A. + i B. −5 + i C. − i D. −5 − i
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Ta có z1+ z2 = (3 − 2i) + (2 + i) = − i
Chọn đáp án C
Câu 23. Biết
3
Z
1
f (x) dx = Giá trị
3
Z
1
2f (x) dx
A. B. C. D.
(9)Ta có
3
Z
1
2f (x) dx =
3
Z
1
f (x) dx = · =
Chọn đáp án C
Câu 24. Trên mặt phẳng tọa độ, biết M (−3; 1) điểm biểu diễn số phức z Phần thực z
A. B. −3 C. −1 D.
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Số phức z = −3 + i nên phần thực z −3
Chọn đáp án B
Câu 25. Tập xác định hàm số y = log5x
A. [0; +∞) B. (−∞; 0) C. (0; +∞) D. (−∞; +∞)
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Hàm số y = log5x xác định x >
Suy tập xác định hàm số D = (0; +∞)
Chọn đáp án C
Câu 26. Số giao điểm đồ thị hàm số y = x3+ 3x2 và đồ thị hàm số y = 3x2+ 3x là
A. B. C. D.
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Hoành độ giao điểm hai đồ thị nghiệm phương trình
x3+ 3x2 = 3x2+ 3x ⇔ x x2− 3 = ⇔ñx =
x = ±√3
Do phương trình có nghiệm suy hai đồ thị có giao điểm
Chọn đáp án A
Câu 27.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, AB = a, BC = 2a; SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA =
a√15 Góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy
A. 45◦ B. 30◦ C. 60◦ D. 90◦
A C
B S
(10)Ta có SA ⊥ (ABC) nên AC hình chiếu vng góc SC lên mặt phẳng (ABC) suy góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABC)
là ’SCA
Do tam giác ABC vuông B nên theo định lý Pi-ta-go ta có
AC2 = AB2 + BC2 = a2+ 4a2 = 5a2 ⇒ AC = a√5
Xét tam giác 4SAC vng A có tan ’SCA = SA
AC =
√
3 ⇒ ’SCA =
60◦
A C
B S
Chọn đáp án C
Câu 28. Cho hàm số F (x) = x2 là nguyên hàm hàm số f (x) R Giá trị của
2
Z
1
[2 + f (x)]dx
A. B. C. 13
3 D.
7
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Ta có:
2
Z
1
[2 + f (x)]dx = 2x + x2
2
=
Chọn đáp án A
Câu 29. Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y = x2− y = 2x −
A. 36 B.
3 C.
4π
3 D. 36π
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Phương trình hoành độ giao điểm
x2− = 2x − ⇔ñx =
x =
Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y = x2− y = 2x − là
S =
2
Z
0
|x2 − − (2x − 4)| dx
=
2
Z
0
|x2 − 2x| dx
=
2
Z
0
(2x − x2) dx
=
3
Vậy diện tích hình phẳng cho
3
(11)Câu 30. Trong không gian Oxyz cho điểm M (2; −2; 3) đường thẳng d : x −
3 =
y +
2 =
z −
−1 Mặt phẳng qua M vng góc với d có phương trình
A. 3x + 2y − z + = B. 2x − 2y + 3z − 17 =
C. 3x + 2y − z − = D. 2x − 2y + 3z + 17 =
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Gọi (α) mặt phẳng cần tìm Vì mặt phẳng (α) vng góc với d nên #»ud= (3; 2; −1) véc-tơ
pháp tuyến (α) Suy phương trình mặt phẳng (α) 3x + 2y − z + =
Chọn đáp án A
Câu 31. Gọi z0 nghiệm phức có phần ảo dương phương trình z2 + 6z + 13 = Trên
mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức − z0
A. N (−2; 2) B. M (4; 2) C. P (4; −2) D. Q(2; −2)
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Ta có z2+ 6z + 13 = ⇔ñz = −3 + 2i
z = −3 − 2i
Vì z0 nghiệm phức có phần ảo dương nên z0 = −3 + 2i
Số phức − z0 = − (−3 + 2i) = − 2i
Vậy điểm biểu diễn số phức − z0 P (4; −2)
Chọn đáp án C
Câu 32. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; 1), B(1; 1; 0) C(3; 4; −1) Đường thẳng qua A song song với BC có phương trình
A. x −
4 =
y
5 =
z −
−1 B.
x +
2 =
y
3 =
z +
−1
C. x −
2 =
y
3 =
z −
−1 D.
x +
4 =
y
5 =
z +
−1
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Ta có BC = (2; 3; −1).# »
Khi đó, đường thẳng qua A(1; 0; 1) có vec-tơ phương BC = (2; 3; −1) có phương trình# »
x −
2 =
y
3 =
z −
−1
Chọn đáp án C
Câu 33. Cho hàm số f (x) liên tục R có bảng xét dấu f0(x) sau: x
f0(x)
−∞ −1 +∞
+ − + − −
Số điểm cực đại hàm số cho
A. B. C. D.
(12)Nhìn vào bảng xét dấu f0(x) ta thấy, hàm số có đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm qua x = −1, x = hàm số liên tục R Vậy hàm số có hai điểm cực đại x = −1 x =
Chọn đáp án C
Câu 34. Tập nghiệm bất phương trình 3x2−13< 27
A. (4; +∞) B. (−4; 4) C. (−∞; 4) D. (0; 4)
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Ta có 3x2−13 < 27 ⇔ 3x2−13< 33 ⇔ x2− 13 < ⇔ x2 − 16 < ⇔ −4 < x < 4.
Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm (−4; 4)
Chọn đáp án B
Câu 35. Cho hình nón có bán kính đáy góc đỉnh 60◦ Diện tích xung quanh hình nón cho
A. 8π B. 16 √
3π
3 C.
8√3π
3 D. 16π
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Ta có ’ASO =
2ASB =’
1
2· 60
◦ = 30◦.
4OSA vuông O có
sin ’ASO = AO
SA ⇒ SA =
AO
sin ’ASO
=
sin 30◦ = = `
Diện tích xung quanh hình nón
Sxq = πr` = π · · = 8π
2 `
S
A B
O
60◦
Chọn đáp án A
Câu 36. Giá trị nhỏ hàm số f (x) = x3− 24x đoạn [2; 19]
A. 32√2 B. −40 C. −32√2 D. −45
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Ta có f0(x) = 3x2− 24; f0(x) = ⇔ñx =
√
2 ∈ [2; 19]
x = −2√2 /∈ [2; 19]
f (2) = −40; f (19) = 6043; f (2√2) = −32√2
Vậy
[2;19]
f (x) = −32√2
Chọn đáp án C
Câu 37. Cho hai số phức z = + 2i w = + i Mô-đun số phức z · w
A. 5√2 B. √26 C. 26 D. 50
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Ta có w = − i nên z · w = (1 + 2i) · (3 − i) = + 5i Do |z · w| =√52+ 52 = 5√2.
(13)Câu 38. Cho a, b hai số thực dương thỏa mãn 4log2(a2b) = 3a3 Giá trị ab2
A. B. C. 12 D.
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
4log2(a2b) = 3a3
⇔ (a2b)log24 = 3a3
⇔ (a2b)2 = 3a3
⇔ a4b2 = 3a3
⇔ ab2 = 3.
Chọn đáp án A
Câu 39. Cho hàm số f (x) = √ x
x2+ 2 Họ tất nguyên hàm hàm số g(x) = (x +
1)f0(x)
A. x2+ 2x −
2√x2+ 2 + C B.
x − √
x2+ 2 + C C.
2x2+ x +
√
x2+ 2 + C D.
x +
2√x2+ 2 + C
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Ta có
Z
g(x) dx = Z
(x + 1)f0(x) dx
= (x + 1)f (x) − Z
f (x) dx
= x(x + 1)√
x2+ 2 −
Z x √
x2+ 2dx
= x(x + 1)√
x2+ 2 −
1
Z
d(x2+ 2)
√
x2+ 2
= x(x + 1)√
x2+ 2 −
1
2 ·
√
x2+ + C
= √x −
x2+ 2 + C
Chọn đáp án B
Câu 40. Tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x +
x + m đồng biến
khoảng (−∞; −7)
A. [4; 7) B. (4; 7] C. (4; 7) D. (4; +∞)
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Tập xác định: D = R \ {−m}
Ta có y0 = m −
(x + m)2 Hàm số đồng biến khoảng (−∞; −7)
y0 > 0, ∀x ∈ (−∞; −7) ⇔®m − >
− m /∈ (−∞; −7) ⇔
®m >
− m ≥ −7 ⇔
®m >
m ≤ ⇔ < m ≤
Vậy m ∈ (4; 7]
(14)Câu 41. Trong năm 2019, diện tích rừng trồng tỉnh A 600 Giả sử diện tích rừng trồng tỉnh A năm tăng 6% so với diện tích rừng trồng năm liền trước Kể từ sau năm 2019, năm năm tỉnh A có diện tích rừng trồng năm đạt 1000 ha?
A. Năm 2028 B. Năm 2047 C. Năm 2027 D. Năm 2046
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
• Giả sử diện tích rừng trồng tỉnh A năm 2019 T0 = 600
• Diện tích rừng trồng tỉnh A sau năm T1 = T0+ T0· 6% = T0(1 + 6%)
• Diện tích rừng trồng tỉnh A sau hai năm T2 = T1+ T1· 6% = T0(1 + 6%)2
•
• Diện tích rừng trồng tỉnh A sau n năm Tn= T0(1 + 6%)n= 600(1 + 6%)n
Do diện tích rừng trồng đạt 1000 nên ta có
600(1 + 6%)n> 1000 ⇔ n > log1+6% 1000
600 ≈ 8,77
Do đó, năm tỉnh A có diện tích rừng trồng năm đạt 1000 2019 + = 2028
Chọn đáp án A
Câu 42. Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh 4a, SA vng góc với mặt phẳng
đáy, góc mặt phẳng (SBC) mặt đáy 60◦ Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp S.ABC
A. 172πa2
3 B.
76πa2
3 C. 84πa
2. D. 172πa
2
9
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Gọi M trung điểm BC G trọng tâm tam giác ABC, dựng đường thẳng d qua G song song với SA Gọi N trung điểm SA, qua N dựng đường thẳng N I vuông góc với SA với I ∈ d Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
Góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) góc ’SM A =
60◦ có AM = 2a√3
Ta có SA = AM · tan ’SM A = 6a
Suy IG = N A = SA
2 = 3a
Lại có AG =
3AM =
4a√3
3 A C
S
G
M N
(15)Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC R = IA =√IG2+ GA2 =
√ 129a
3
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC S = 4πR2 = 172πa
2
3
Chọn đáp án A
Câu 43.
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có tất cạnh a Gọi M
là trung điểm CC0 (tham khảo hình bên) Khoảng cách từ M đến
mặt phẳng (A0BC)
A.
√ 21a
14 B.
√ 2a
2 C.
√ 21a
7 D.
√ 2a
4 A
B C C0 A0
B0 M
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Đặt I giao điểm AM A0C Suy AM ∩ (A0BC) = I Do
d(M, (A0BC))
d(A, (A0BC)) =
M I
AI
Mà M C k AA0 nên M I
AI =
M C
AA0 =
1
Suy d(M, (A0BC)) =
2d(A, (A
0BC)).
Kẻ AH ⊥ BC H Kẻ AK ⊥ A0H K Ta có
A
B
C C0 A0
B0
M H K I
• ®AA
0 ⊥ BC
AH ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (A
0AH) Mà AK ⊂ (A0AH) nên suy AK BC.
ã đAK BC
AK ⊥ A0H ⇒ AK ⊥ (A
0BC) K Suy d(A, (A0BC)) = AK.
• AH đường cao tam giác cạnh a nên AH = √
3a
2
• Tam giác A0AH vng A có đường cao AK nên
AK = AA
0· AH
√
AA02+ AH2 =
√ 21a
7
Suy d(M, (A0BC)) = AK
2 =
√ 21a
14
Chọn đáp án A
(16)x y0 y
−∞ −1 +∞
− + − +
+∞ +∞ −2 −2 3 −2 −2 +∞ +∞
Số điểm cực trị hàm số g(x) = x4[f (x + 1)]2
A. 11 B. C. D.
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Giả sử f (x) = ax4+ bx3+ cx2+ dx + e ⇒ f0(x) = 4ax3+ 3bx2+ 2cx + d với a 6=
Từ bảng biến thiên hàm số f (x) ta có hệ phương trình
d = e =
a + b + c + d + e = −2 a − b + c − d + e = −2 4a + 3b + 2c + d =
⇔
e = d = b = a = c = −10
⇒ f (x) = 5x4− 10x2+ 3.
Hàm số g(x) xác định liên tục R, có
g0(x) = 4x3[f (x + 1)]2+ 2x4f (x + 1) · f0(x + 1)
= 2x3f (x + 1) [2f (x + 1) + xf0(x + 1)] (∗)
g0(x) = ⇔
x = (nghiệm bội ba)
f (x + 1) = (1)
2f (x + 1) + xf0(x + 1) = (2)
• Ta có (1) ⇔ 5(x + 1)4− 10(x + 1)2+ = ⇔
(x + 1)2 = +
√ 10
(x + 1)2 = −
√ 10 ⇔
x = −1 ±
5 +√10
5 x = −1 ±
5 −√10
5
• Đặt x + = t, phương trình (2) trở thành (5t4− 10t2+ 3) + (t − 1) (20t3− 20t) = 0
⇔ h(t) = 15t4− 10t3− 20t2 + 10t + = 0. (3)
Xét h0(t) = 10 (6t3− 3t2− 4t + 1) = 10(t − 1) (6t2+ 3t − 1).
Phương trình h0(t) = có nghiệm t1 =
−3 −√33
12 , t2 =
−3 +√33
12 , t3 = Do ta có
bảng biến thiên h(t) sau: t
h0(t)
h(t)
−∞ t1 t2 +∞
− + − +
+∞ +∞
h(t1)
h(t1)
h(t2)
h(t2)
−2 −2
(17)Do h(t1) < 0, h(t2) > nên phương trình h(t) = có nghiệm phân biệt t = 1, t =
±
5 +√10
5 , t = ±
5 −√10
5 khơng nghiệm phương trình (3) Do phương trình g
0(x) = 0
có nghiệm phân biệt nghiệm đơn nghiệm bội ba Vậy hàm số g(x) có điểm cực trị
Chọn đáp án B
Câu 45.
Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a, b, c, d ∈ R) có đồ thị là
đường cong hình bên Có số dương số a, b, c, d?
A. B. C. D.
x y
O
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Dựa vào đồ thị ta thấy a < đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ dương nên d >
Ta có y0 = 3ax2+ 2bx + c.
Hai điểm cực trị hàm số dương nên
−2b
3a >
c
3a >
⇒® − b <
c < ⇒
®b > c < Vậy b, d >
Chọn đáp án C
Câu 46. Gọi S tập hợp tất số tự nhiên có chữ số đôi khác chữ số thuộc tập hợp {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} Chọn ngẫu nhiên số thuộc S, xác suất để số khơng có hai chữ số liên tiếp chẵn
A. 2542 B.
21 C.
65
126 D.
55
126
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Số số có chữ số đơi khác tạo thành từ tập hợp {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} A4
9 = 3024
Gọi không gian mẫu Ω tập hợp cách lấy số từ tập S ⇒ |Ω| = 3024
Gọi A biến cố “lấy số có chữ số từ tập S cho khơng có chữ số liên tiếp chẵn” Các khả xảy
• Số tạo thành có chữ số lẻ, có A4
5 = 120 số
• Số tạo thành có chữ số lẻ chữ số chẵn
– Lấy chữ số lẻ từ chữ số lẻ có C35 cách
– Lấy chữ số chẵn từ chữ số chẵn có C1
4 cách
– Xếp chữ số vừa lấy có 4! cách
Vậy số số có chữ số lẻ chữ số chẵn lấy từ tập S C35 · C1
4· 4! = 960 số
• Số tạo thành có chữ số lẻ chữ số chẵn
– Lấy chữ số lẻ từ chữ số lẻ có C25 cách
– Lấy chữ số chẵn từ chữ số chẵn có C2
4 cách
(18)Vậy số số có chữ số chẵn chữ số lẻ cho chữ số chẵn không đứng cạnh
12 · C2
5· C24 = 720 số
Do |A| = 120 + 960 + 720 = 1800
Xác suất cần tìm P (A) = |A|
|Ω| =
1800
3024 =
25
42
Chọn đáp án A
Câu 47. Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên 2a O tâm đáy Gọi M , N , P , Q điểm đối xứng với O qua trọng tâm tam
giác SAB, SBC, SCD, SDA S0 điểm đối xứng với S qua O Thể tích khối chóp
S0.M N P Q
A. 20
√
14a3
81 B.
40√14a3
81 C.
10√14a3
81 D.
2√14a3
9
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
B C
D
S0
I0 H0
S
M P
Q
I N
G0
A G
K K0 H
O
Gọi G0, H0, I0 K0 trung điểm cạnh AB, BC, CD DA
Ta có SG0H0I0K0 =
1
2SABCD =
1
2a
2.
Gọi G, H, I K trọng tâm tam giác SAB, SBC, SCD SDA
Hai hình vng GHIK G0H0I0K0 đồng dạng tỉ số
3 nên SGHIK =
4
9· SG0H0I0K0 =
9a
2.
(19)Tam giác SAO vuông O nên SO =√SA2− AO2 =
…
4a2−2a
2
4 =
√ 14
2 a
Ta có d(O, (M N P Q)) = · d(O, (GHIK)) =
3SO ⇒ d(S
0, (M N P Q)) =
3SO =
5√14
6 a
Vậy thể tích khối chóp S0.M N P Q
VS.M N P Q =
1
3 · SM N P Q· d(S
0
, (M N P Q)) =
3 ·
8
9a
2·5
√ 14
6 a =
20√14a3
81
Chọn đáp án A
Câu 48. Xét số thực không âm x y thỏa mãn 2x + y · 4x+y−1 ≥ Giá trị nhỏ của
biểu thức P = x2+ y2+ 4x + 6y
A. 33
4 B.
65
8 C.
49
8 D.
57
8
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Ta có
2x + y · 4x+y−1 ≥ (*)
Đặt t = 2(x + y − 1) Do x, y không âm nên t ≥ −2 Khi (∗) trở thành
(t − 1) + y · (2t− 2) ≥ ⇒ t ≥ hay x + y ≥
2
Từ suy
P = x2+ y2+ 4x + 6y
= (x + 2)2+ (y + 3)2− 13
≥
2(x + + y + 3)
2− 13
≥
2 Å
2 +
ã2
− 13 = 65
8
Đẳng thức xảy
x + y =
2 x + = y +
⇔
x =
4
y =
4
Vậy P = 65
8
Chọn đáp án B
Câu 49. Có số nguyên x cho ứng với x có khơng q 728 số nguyên y thỏa
mãn log4(x2+ y) ≥ log
3(x + y)?
A. 59 B. 58 C. 116 D. 115
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Điều kiện ®x
2+ y > 0
x + y >
Đặt k = x + y, suy k ∈ Z+ Ta có x2 ≥ x, ∀x ∈ Z.
Suy hàm số f (y) = log4(x2+ y) − log
(20)Ta xét bất phương trình f (y) ≥ (*)
Ta có f0(y) =
(x2+ y) ln 4 −
1
(x + y) ln ≤ (vì x
2 ≥ x ⇒ x2+ y ≥ x + y hay
x2+ y −
1
x + y ≤
và ln > ln > 0)
Suy f (y) nghịch biến trênD
Xét g(k) = f (k − x) = log4(x2+ k − x) − log
3k xác định (0; +∞)
Do f nghịch biến trênD nên g nghịch biến (0; +∞)
Ta có g(1) = log4(x2− x + 1) ≥ 0, ∀x ∈ Z.
Do với x ∈ Z, xét tập số thực phương trình g(k) = ln có nghiệm
k0 ∈ [1; +∞),
• lim
k→0+g(k) = +∞
lim
k→0+log4(x
2− x + k) = log
4(x
2− x) > 0 (hằng số theo x nguyên)
lim
k→0+log3k = −∞
• lim
k→+∞g(k) = limk→+∞[(log4(x
2 − x + k) − log
4k) + (log4k − log3k)] = −∞ Vì
lim
k→+∞log4(x
2− x + k) − log
4k = lim
k→+∞log4
Å x2− x
k +
ã
= log41 =
lim
k→+∞(log4k − log3k) = limk→+∞
Å
1 −
log43
ã
log4k = −∞
Khi với k ∈ Z mà ≤ k ≤ k0 g(k) ≥ g (k0) ≥ 0, nên bất phương trình (∗) có k0
nghiệm
Suy yêu cầu toán tương đương với
g(728) ≤
⇔ log4 x2− x + 728 ≤ log3728
⇔ x2− x + 728 ≤ 4log3728
⇔ −57 ≤ x ≤ 58 (vì x nguyên)
Vậy x ∈ {−57; −56; ; 58}
Khi có 116 giá trị x thỏa mãn toán
Chọn đáp án C
Câu 50.
Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị đường cong hình
bên Số nghiệm thực phân biệt phương trình f (x3f (x)) + =
là
A. B. C. D.
x y
O −1
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Từ đồ thị (C) hàm số f (x), ta suy
• Phương trình f (x) = −1 ⇔
x = x = a > x = b > • Phương trình f (x) = ⇔ x = c > b
x y
O −1
(21)Do đó, ta có
f (x3f (x)) + = ⇔
x3f (x) = (1)
x3f (x) = a (2)
x3f (x) = b (3)
Khi
• Phương trình (1) ⇔đx =
f (x) = ⇔
ñx = x = c
• Phương trình (2) ⇔ f (x) = a
x3 Số nghiệm phương trình (2) số giao điểm đồ thị
(C) với đồ thị (C1) : g(x) =
a x3
Với a > ta có g0(x) = −3a
x4 < 0, ∀x 6=
Từ suy bảng biến thiên hàm số g(x) = a
x3
x
g0(x)
g(x)
−∞ +∞
− −
0
−∞ +∞
0
Từ bảng biến thiên hàm số g(x) đồ thị (C), ta suy – Trên khoảng (−∞; 0), ta thấy
x g(x)
f (x)
−∞
0
−∞
−∞ −∞
−1 −1
Suy phương trình (2) có nghiệm x = x1 ∈ (−∞; 0)
– Trên khoảng (0; c), ta thấy ®f (x) <
g(x) > nên phương trình (2) vơ nghiệm
– Trên nửa khoảng [c; +∞), ta thấy x g(x)
f (x)
c +∞
a c3
a c3
0
0
+∞ +∞
Suy phương trình (2) có nghiệm x = x2 ∈ (c; +∞)
(22)• Phương trình (3) ⇔ f (x) = b x3
Tương tự trên, ta có phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm phương trình (1) (2)
Vậy phương trình f (x3f (x)) + = có nghiệm phân biệt
(23)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Nhóm Tốn LATEX
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT-QG 2020 Bài thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút
ĐÁP ÁN THAM KHẢO MÃ ĐỀ 102
1 D 2 C 3 D 4 B 5 A 6 B 7 C 8 C 9 D 10 C 11 B 12 B 13 C 14 D 15 C 16 A 17 C 18 B 19 A 20 A 21 D 22 B 23 C 24 D 25 B 26 B 27 C 28 B 29 A 30 A 31 D 32 D 33 B 34 C 35 C 36 A 37 A 38 D 39 B 40 D 41 D 42 B 43 C 44 D 45 D 46 C 47 A 48 A 49 D 50 A
Câu 1. Biết
5
Z
1
f (x) dx = Giá trị
5
Z
1
3f (x) dx
A. B.
3 C. 64 D. 12
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Ta có:
5
Z
1
3f (x) dx =
5
Z
1
f (x) dx = · = 12
Chọn đáp án D
Câu 2. Trong khơng gian Oxyz, hình chiếu vng góc điểm A(1; 2; 5) lên trục Ox có tọa độ
A. (0; 2; 0) B. (0; 0; 5) C. (1; 0; 0) D. (0; 2; 5)
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Áp dụng cơng thức hình chiếu điểm M (a; b; c) lên trục Ox có tọa độ Mx(a; 0; 0)
Hình chiếu điểm A(1; 2; 5) lên trục Ox có tọa độ (1; 0; 0)
Chọn đáp án C
Câu 3. Cho hình trụ có bán kính đáy r = độ dài đường sinh l = Diện tích xung quanh hình trụ cho
A. 48π B. 12π C. 16π D. 24π
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Diện tích xung quanh hình trụ Sxq = 2πrl = 24π
Chọn đáp án D
Câu 4. Trên mặt phẳng tọa độ, biết điểm M (−1; 3) điểm biểu diễn số phức z Phần thực z
A. B. −1 C. −3 D.
(24)Điểm M (−1; 3) biểu diễn số phức z = −1 + 3i Do phần thực z −1
Chọn đáp án B
Câu 5. Cho cấp số nhân (un) với u1 = công bội q = Giá trị u2
A. B. C. D.
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Do (un) cấp số nhân nên ta có: u2 = q · u1 =
Chọn đáp án A
Câu 6. Cho số phức z1 = + 2i z2 = − i Số phức z1+ z2
A. − i B. + i C. −5 − i D. −5 + i
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Ta có z1+ z2 = + 2i + − i = + i
Chọn đáp án B
Câu 7. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + (y − 2)2 + z2 = Bán kính (S)
A. B. 18 C. D.
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Bán kính mặt cầu (S) R =√9 =
Chọn đáp án C
Câu 8. Nghiệm phương trình log2(x − 1) =
A. 10 B. C. D.
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Ta có log2(x − 1) = ⇔ (x − 1) = 23 ⇔ x = 9.
Vậy nghiệm phương trình cho x =
Chọn đáp án C
Câu 9. Tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = 5x +
x −
A. y = B. y =
5 C. y = −1 D. y =
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Ta có lim
x→±∞
5x +
x − = limx→±∞
5 +
x
1 −
x =
Vậy tiệm cận ngang đồ thị hàm số cho y =
Chọn đáp án D
Câu 10. Cho khối nón có bán kính đáy r = chiều cao h = Thể tích khối nón cho
A. 8π
3 B. 8π C.
32π
(25)-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Thể tích khối nón V =
3· π · r
2· h =
3· π ·
2 · = 32π
3
Chọn đáp án C
Câu 11.
Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị đường cong hình bên Số nghiệm thực phương trình f (x) =
A. B. C. D.
x y
O
−1 −1
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Nhận thấy đồ thị hàm số y = f (x) cắt đường thẳng y = điểm nên phương trình f (x) = có nghiệm phân biệt
Chọn đáp án B
Câu 12. Với a, b số thực dương tùy ý a 6= 1, loga2b
A.
2+ logab B.
1
2logab C. + logab D. logab
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Ta có biến đổi loga2b =
1
2logab
Chọn đáp án B
Câu 13. Nghiệm phương trình 3x−2 =
A. x = −3 B. x = C. x = D. x = −4
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Phương trình viết lại sau: 3x−2 = ⇔ x − = ⇔ x = 4.
Chọn đáp án C
Câu 14. Z x3dx
A. 4x4+ C. B. x4+ C. C. 3x2+ C. D.
4x
4+ C.
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Ta có: Z
x3dx =
4x
4+ C.
Chọn đáp án D
Câu 15. Cho khối chóp có diện tích đáy B = chiều cao h = Thể tích khối chóp cho
A. B. 12 C. D.
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Ta có: Vchóp =
3 · B · h =
1
(26)Chọn đáp án C
Câu 16. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(−2; 0; 0), B(0; 3; 0) C(0; 0; 4) Mặt phẳng (ABC) có phương trình
A. −2x +y
3+
z
4 = B.
x
2 +
y
3 +
z
4 =
C. x
2 +
y
−3+
z
4 = D.
x
2 +
y
3 +
z
−4 =
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Đây phương trình đoạn chắn có dạng: x
a +
y
b +
z
c = 1, với mặt phẳng (ABC) qua ba điểm
A(a; 0; 0), B(0; b; 0) C(0; 0; c)
Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) x
−2 +
y
3 +
z
4 =
Chọn đáp án A
Câu 17. Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên sau: x
f0(x)
f (x)
−∞ −1 +∞
+ − + −
−∞ −∞
4
1
4
−∞ −∞ Hàm số cho đồng biến khoảng ?
A. (1; +∞) B. (−1; 1) C. (0; 1) D. (−1; 0)
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Dựa vào bảng biến thiên, ta có f0(x) > với x ∈ (0; 1) (−∞; −1)
Chọn đáp án C
Câu 18. Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên sau: x
f0(x)
f (x)
−∞ −2 +∞
− + −
+∞ +∞
−3 −3
2
−∞ −∞ Giá trị cực đại hàm số cho
A. B. C. −2 D. −3
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Dựa vào bảng biến thiên, ta có f0(x) đổi dấu từ dương sang âm qua x = nên yCĐ =
Chọn đáp án B
Câu 19. Trong không gian (Oxyz), cho đường thẳng d : x −
3 =
y +
4 =
z −
(27)dưới véc-tơ phương d ?
A. #»u2 = (3; 4; −1) B. #»u1 = (2; −5; 2) C. #»u3 = (2; 5; −2) D. #»u4 = (3; 4; 1)
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Đường thẳng d có phương trình x −
3 =
y +
4 =
z −
−1
Đây dạng phương trình tắc nên véc-tơ phương #»u2 = (3; 4; −1)
Chọn đáp án A
Câu 20.
Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình bên?
A. y = −x4+ 2x2. B. y = −x3+ 3x.
C. y = x4− 2x2. D. y = x3− 3x. x
y O
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Nhìn dạng đồ thị hàm số bậc bốn hệ số a < nên ta chọn y = −x4 + 2x2
Chọn đáp án A
Câu 21. Cho khối cầu có bán kính r = Thể tích khối cầu cho
A. 64π B. 64π
3 C. 256π D.
256π
3
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Ta có V = 4πr
3
3 =
256π
3
Chọn đáp án D
Câu 22. Có cách xếp học sinh thành hàng dọc ?
A. B. 5040 C. D. 49
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Ta có 7! = 5040 cách xếp
Chọn đáp án B
Câu 23. Cho khối hộp chữ nhật có ba kích thước 2; 4; Thể tích khối hộp cho
A. 16 B. 12 C. 48 D.
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Ta có V = · · = 48
Chọn đáp án C
Câu 24. Số phức liên hợp số phức z = −2 + 5i
A. z = − 5i B. z = + 5i C. z = −2 + 5i D. z = −2 − 5i
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Số phức liên hợp số phức z = −2 + 5i z = −2 − 5i
(28)Câu 25. Tập xác định hàm số y = log6x
A. [0; +∞) B. (0; +∞) C. (−∞; 0) D. (−∞; +∞)
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Tập xác định hàm số y = log6x D = (0; +∞)
Chọn đáp án B
Câu 26. Giá trị nhỏ hàm số f (x) = x3− 21x đoạn [2; 19]
A. −36 B. −14√7 C. 14√7 D. −34
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Ta có f0(x) = 3x2− 21 = 3(x2− 7) nên f0(x) = ⇔ x =√7 x ∈ [2; 19].
Ta có bảng biến thiên
x
f0(x)
f (x)
2 √7 19
− +
−34 −34
−14√7
−14√7
6403 6403
Vậy
[2;19]f (x) = −14
√
Chọn đáp án B
Câu 27.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B,
AB = 3a, BC = a√3; SA vng góc với mặt phẳng đáy
SA = 2a (tham khảo hình bên) Góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy
A. 60◦ B. 45◦ C. 30◦ D. 90◦
S A
B
C
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Do SA vng góc với đáy nên (SC; (ABC)) = ’SCA SA ⊥ AC
Do tam giác ABC vuông B nên AC =√AB2+ BC2 = 2a√3.
Suy tan ’SCA = SA
AC =
2a
2a√3 =
1 √
3 nên ’SCA = 30
◦.
Vậy góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy 30◦
Chọn đáp án C
Câu 28. Cho hàm số f (x) liên tục R có bảng xét dấu f0(x) sau: x
f0(x)
−∞ −1 +∞
− + − + −
Số điểm cực tiểu hàm số cho
(29)-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Hàm số cho xác định R
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số cho có điểm cực tiểu x = −1 x =
Chọn đáp án B
Câu 29. Trong không gian Oxyz, cho điểm M (1; 1; −2) đường thẳng d : x −
1 =
y +
2 =
z
−3 Mặt phẳng qua M vng góc với d có phương trình
A. x + 2y − 3z − = B. x + y − 2z − =
C. x + 2y − 3z + = D. x + y − 2z + =
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
d : x −
1 =
y +
2 =
z
−3 suy véc-tơ phương đường thẳng d #»ud= (1; 2; −3)
Mặt phẳng qua M vng góc với d nhận vec-tơ #»ud= (1; 2; −3) làm vec-tơ pháp tuyến nên có
phương trình
(x − 1) + 2(y − 1) − 3(z + 2) = ⇔ x + 2y − 3z − =
Chọn đáp án A
Câu 30. Cho a, b hai số thực dương thỏa mãn 4log2(ab) = 3a Giá trị ab2
A. B. C. D. 12
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
4log2(ab) = 3a
⇔ log2(ab) = log4(3a)
⇔ log2(ab) = log2(3a)12
⇔ ab = (3a)12
⇔ (ab)2 = 3a
⇔ ab2 = 3.
Chọn đáp án A
Câu 31. Cho hai số phức z = + 2i w = + i Môđun số phức z · w
A. 40 B. C. 2√2 D. 2√10
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Ta có z · w = (2 + 2i)(2 − i) = + 2i
Khi |z · w| = 2√10
Chọn đáp án D
Câu 32. Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y = x2− y = x − bằng
A. π
6 B.
13
6 C.
13π
6 D.
1
(30)Phương trình hồnh độ giao điểm x2− = x − ⇔ñx =
x =
Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y = x2− y = x −
1
Z
0
|x2− x| dx =
6
Chọn đáp án D
Câu 33. Số giao điểm đồ thị hàm số y = x3− x2 và đồ thị hàm số y = −x2+ 5x là
A. B. C. D.
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị hàm số
x3− x2 = −x2+ 5x ⇔ x3− 5x = ⇔
x = −√5
x =
x =√5
• Với x = −√5 ⇒ y = −5 − 5√5
• Với x = ⇒ y =
• Với x =√5 ⇒ y = −5 + 5√5
Vậy số giao điểm hai đồ thị
Chọn đáp án B
Câu 34. Biết F (x) = x3 là nguyên hàm hàm số f (x) R Giá trị của
2
Z
1
[2+f (x)] dx
A. 23
4 B. C. D.
15
4
-Lời giải.Nhom Toan va LaTeX
Ta có
2
Z
1
[2 + f (x)] dx =
2 Z dx + Z
f (x) dx = 2x
2
1+ F (x)
... LATEX
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT- QG 2020< /b> Bài thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút
ĐÁP ÁN THAM KHẢO MÃ ĐỀ 103
1... data-page=23>
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Nhóm Tốn LATEX
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT- QG 2020< /b> Bài thi: TOÁN
Thời gian... 39 C 40 A 41 A 42 D 43 C 44 C 45 D 46 C 47 D 48 A 49 D 50 D
Câu 1. Cho hình trụ có bán kính đáy