Chung minh bang phuong phap phan chung

Chúng tôi chọn đề tài “ Những bài toán chứng minh bằng phương pháp phản chứng trong phổ thông” với mong muốn các bạn sinh viên sư phạm và học sinh thấy được cái hay và sự quan trọng củ[r]

TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM NHA TRANG KHOA TỰ NHIÊN

BỘ MƠN TỐN 



Mai Vũ Huy

Nguyễn Thị Thúy Lam

Lớp: Toán – Tin K29

Đề tài nghiên cứu khoa học

NHỮNG BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẰNG PHƯƠNG PHÁP

PHẢN CHỨNG TRONG PHỔ THÔNG

Hướng dẫn khoa học: Thầy Nguyễn Chính

LỜI GIỚI THIỆU

Một tốn có nhiều cách giải, ta phải chọn cách tiếp cận, cách giải hợp lí

Để tiến tới cách giải hay đơi phải trải qua q trình thử sai nhiều cách giải, kết hợp nhiều phương pháp giải khác Q trình khơng đơn giản, địi hỏi người giải tốn phải nắm vững kiến thức có hướng cho tốn cụ thể

Mỗi phương pháp có hay mạnh riêng lớp tốn định Trong đề tài chúng tơi trình bày “Những tốn chứng minh phương pháp phản chứng phổ thông” Đây phương pháp hay dùng lập luận toán học, thể chặt chẽ, lý luận hợp lơgic người giải tốn Điều quan trọng phương pháp tìm mệnh đề phủ định điều cần chứng minh, từ dẫn đến vơ lý với giả thiết toán hay mâu thuẫn với kiến thức toán học biết

Trong q trình nghiên cứu tốn giải phương pháp phản chứng, phân thành dạng sau:

1 Suy luận loại trừ

2 Sự vô lý suy từ kiến thức biết Sự vô lý suy từ giả thiết toán

MỞ ĐẦU

I.Tên đề tài: Tên đề tài:

“Những toán chứng minh phương pháp phản chứng phổ thông”

2 Người thực hiện: Sv Mai Vũ Huy

Sv Nguyễn Thị Thúy Lam

II Lý chọn đề tài:

Phương pháp phản chứng phương pháp hay, vận dụng để giải nhiều tốn phổ thơng Nhưng SGK số lượng tập giải phương pháp khơng nhiều

Trong q trình giảng dạy, giáo viên thường trọng đến phương pháp phản chứng việc giải tốn

Chúng tơi chọn đề tài “ Những toán chứng minh phương pháp phản chứng phổ thông” với mong muốn bạn sinh viên sư phạm học sinh thấy hay quan trọng phương pháp giải tốn phổ thơng Từ đó, vận dụng phương pháp chứng minh phản chứng phổ biến giải tốn THCS

III Mục đích đề tài:

Chúng nghiên cứu đề tài nhằm đánh giá số lượng toán áp dụng phương pháp chứng minh phản chứng SGK Ngoài ra, việc nghiên cứu tập tài liệu khác nhằm thể hay quan trọng phương pháp việc giải tốn phổ thơng IV Đối tượng phạm vi nghiên cứu:

1 Đối tượng nghiên cứu:

Những toán chứng minh phương pháp phản chứng Phạm vi nghiên cứu:

- Bộ SGK 6, 7, 8,

- Một số sách tham khảo khác V Nhiệm vụ đề tài:

1 Tìm hiểu sở lơgic phương pháp chứng minh phản chứng Phân loại toán chứng minh phương pháp chứng minh phản chứng thành dạng

3 Nghiên cứu tập SGK 6, 7, 8, chứng minh phương pháp phản chứng số tập sách tham khảo khác

4 Khai thác số toán, dự đốn sai lầm học sinh mắc phải rút số kinh nghiệm cho bạn sinh viên sư phạm

VI Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu lý luận:

a Mục đích:

Chúng tơi sử dụng phương pháp nhằm tìm hiểu sở lơgic phương pháp chứng minh phản chứng

b Cách tiến hành:

Chúng tiến hành đọc sách, tài liệu tham khảo có liên quan đến đề tài này, chúng liệt kê phần “ Tài liệu tham khảo” Phương pháp nghiên cứu thực tiễn:

a Mục đích:

Chúng tơi sử dụng phương pháp nhằm tìm hiểu mức độ vận dụng phương pháp chứng minh phản chứng việc giải tốn phổ thơng

b Cách tiến hành:

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÔGIC CỦA PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG.

I Cơ sở lôgic:

Dựa vào hiểu biết lôgic mệnh đề Trong sử dụng phép liên kết lôgic chủ yếu

* Phép liên kết lôgic gì?

 Phép liên kết lơgic hay cịn gọi phép tốn lơgic, cho phép

từ mệnh đề sơ cấp cho trước xây dựng mệnh đề ngày phức tạp

 Các phép liên kết bao gồm:

1 Phép phủ định (  )

2 Phép tuyển (  )

3 Phép hội (  )

4 Phép kéo theo (  )

*Phương pháp chứng minh phản chứng mơ tả q trình lập luận

như sau:

Cần chứng minh mệnh đề A  B

Để chứng minh A  B đúng, ta xây dựng giả thiết : A đúng,

nhưng A  B sai

Bởi A  B sai, mà A nên B phải có giá trị sai nghĩa B

đúng

Từ B thông qua số phép biến đổi tương đương dẫn đến A

Từ giả thiết qua q trình lập luận ta có A A đồng thời

đúng, dẫn đến mâu thuẫn

Điều chứng tỏ giả thiết B sai Vậy B Hay A  B

(điều phải chứng minh)

II Các bước suy luận phản chứng:

1 Phương pháp chứng minh phản chứng sử dụng nào?

Gặp toán khẳng định hệ thức đúng, khẳng định nghiệm phương trình, hệ phương trình bất đẳng thức… đại số, hình học, số học người ta hay dùng phương pháp phản chứng

2 Các bước suy luận phản chứng:

Bước 1: Giả sử điều cần chứng minh sai ( phủ định lại mệnh đề cần

chứng minh )

Bước 2: Từ điều giả sử ta suy số tính chất quan hệ mới,

mà tính chất mâu thuẫn với điều cho trái với tính chất ta biết

Bước 3: Ta kết luận điều giả sử ban đầu sai Vậy toán

Chú ý: Trong hai bước suy luận phản chứng nêu trên, bước rất quan

trọng cần tạo mệnh đề phủ định điều cần chứng minh phải xác III Tìm mệnh đề phủ định điều cần chứng minh:

1 Tìm mệnh đề phủ định:

* C ác dạng mệnh đề:

1.1 Mệnh đề tồn tại:

Một mệnh đề ký hiệu P(x) xác định miền X Mệnh đề tồn thường có dạng:

 Tồn x  X cho T(x) Hay thường viết:  x X: T(x).

Mệnh đề tồn có mệnh đề mệnh đề sai Ví dụ:

 Mệnh đề tồn đúng:

“ Tồn số thực x cho x chia hết cho 3.”

 x  R: (1)

 Mệnh đề tồn sai:

“ Tồn số thực x nghiệm phương trình x2+x+1= 0.”  x0 R: x02 +x0 +1= (2)

1.2.Mệnh đề tổng quát:

Một mệnh đề ký hiệu P(x) xác định miền X Mệnh đề tổng quát thường có dạng:

 Với số thực x thuộc X cho T(x)..

Hay thường viết: x X, T(x).

Mệnh đề tổng quát có mệnh đề mệnh đề sai Ví dụ:

 Mệnh đề tổng quát sai:

“Với số thực x chia hết cho 3.”

x  R, (3)

 Mệnh đề tổng quát đúng:

“Với số thực x không nghiệm phương trình: x2+x+1= 0.”

 x  R, x2+x+1 (4) * Phủ định mệnh đề tồn mệnh đề tổng quát:

 (  x X: T(x))  x X,  T(x)  ( x X, T(x))   x X:  T(x)

Như hai mệnh đề (x X, T(x))và ( x X: T(x)) phủ

định Ví dụ:

 Mệnh đề phủ định (1) là:

“Với số thực x x khơng chia hết cho 3.”  x  R, x không

chia hết cho

 Mệnh đề phủ định (2) (4)

2 Mệnh đề phủ định điều cần chứng minh:

3



x

3



Ở phần ta xét số ví dụ cụ thể quan tâm đến việc lập mệnh đề phủ định

Ví dụ 1: Chứng minh với số tự nhiên n, ta có n5 - n chia hết cho  Mệnh đề cần chứng minh: n N, n5 - n chia hết cho  Mệnh đề phủ định điều cần chứng minh: n N: n5 - n không

chia hết cho

Ví dụ 2: Chứng minh không tồn số nguyên m, n cho : m2 – n2 =2002.

 Mệnh đề cần chứng minh: (m, n Z: m2-n2 = 2002)  Mệnh đề phủ định điều cần chứng minh:

CHƯƠNG II: NỘI DUNG

Trong phần nội dung, chúng tơi vào dạng tốn cụ thể Trong dạng, khảo sát tập tiêu biểu SGK, ngồi chúng tơi chọn thêm toán tiêu biểu sách khác

I.Dạng 1:Suy luận loại trừ.

1.Bài tập 1:

Trong mặt phẳng cho năm điểm, khơng có ba điểm thẳng hàng Mỗi cặp điểm năm điểm nối với đoạn thẳng tô màu xanh đỏ cho ba cạnh tạo thành tam giác khơng màu

Chứng minh: Qua điểm có hai cạnh màu xanh hai cạnh màu đỏ

1.1 Phân tích tìm lời giải:

Với năm điểm cho trước A, B,C, D, E qua điểm có bốn đường thẳng nối điểm với điểm cịn lại Ta cần bốn đường có hai đường màu xanh hai đường màu đỏ Với đặc điểm tốn ta khơng thể chứng minh trực tiếp, mà ta xét trường hợp xảy toán Bằng suy luận ta trường hợp đỉnh có hai đường màu xanh hai đường màu đỏ

1.2 Lời giải:

Khơng tính tổng qt ta xét đỉnh A

Qua A ta kẻ bốn đường thẳng AB, AC, AD, AE có màu xanh màu đỏ Các trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1: Cả bốn đường thẳng màu xanh (hoặc đỏ)

Vì ba cạnh tạo nên tam giác không màu nên cạnh tạo từ bốn đỉnh lại ( trừ đỉnh A) màu đỏ (hoặc xanh)

Nhận thấy ba bốn cạnh tạo nên tam giác màu đỏ (hoặc xanh) Điều trái với giả thiết toán

Vậy trường hợp xảy

Trường hợp 2: Trong bốn đường thẳng có ba đường màu xanh

đường màu đỏ ( ba đường màu đỏ đường màu xanh ) Xét ba đỉnh tạo với A ba đường thẳng màu xanh

Vì ba cạnh tam giác không màu nên ba cạnh tạo từ ba đỉnh nói phải màu đỏ Do hình thành tam giác màu đỏ từ ba đỉnh Khơng với giả thiết tốn

Vậy trường hợp khơng thể xảy

Trường hợp 3: Tại đỉnh có hai đường màu xanh hai đường màu

đỏ

Kết luận:Trường hợp trường hợp xảy ra, xảy trường hợp

1.3 Bài học kinh nghiệm: 1.3.1 Khó khăn học sinh:

- Tiếp xúc với tốn, nhiều học sinh khơng rõ đề tốn khơng tìm hướng giải

- Học sinh không đưa đầy đủ trường hợp, không chia thành trường hợp cụ thể mà lý luận chung chung

- Học sinh gặp khó khăn cách diễn đạt 1.3.2 Kinh nghiệm giảng dạy:

Qua toán này, người dạy cần:

- Làm cho học sinh hiểu rõ yêu cầu toán hướng học sinh tới việc lựa chọn cách giải cho phù hợp

- Khái quát toán thành dạng xây dựng phương pháp chung để giải tốn

- Rèn luyện cho học sinh khả suy luận chặt chẽ, hợp lôgic

2.Bài tập 2: Người ta đồn ngơi đền thiêng có ba vị thần

ngự vị: thần thật (ln nói thật), thần dối trá (ln nói dối) thần khơn ngoan (lúc nói thật, lúc nói dối) Các vị thần ngự bệ thờ sẵn sàng trả lời câu hỏi có người thỉnh cầu Nhưng hình dạng ba vị thần giống hệt nên người ta vị thần trả lời để tin hay không tin

Một hơm có học giả từ phương xa đến đền xin thỉnh cầu Bước vào miếu học giả hỏi vị thần ngồi bên phải:

-Ai ngồi cạnh ngài? - Đó thần dối trá Tiếp hỏi vị thần ngồi giữa: - Ngài thần gì?

- Tơi thần khơn ngoan

Cuối ông ta quay sang hỏi vị thần ngồi bên trái: - Ai ngồi cạnh ngài?

- Đó thần thật

Nghe xong học giả khẳng định vị thần Bạn cho biết học giả suy luận nào?

2.1 Phân tích tìm lời giải:

Nhận thấy ba câu hỏi học giả nhằm xác định thông tin : Thần ngồi thần gì? Dựa vào câu hỏi học giả ta suy luận vị thần thật Sau từ lời thần thật thà, ta biết đâu thần dối trá, đâu thần khôn ngoan

2.2 Lời giải:

Từ câu trả lời thần ngồi “ Tôi thần khôn ngoan”, nên thần ngồi thần thật

Vậy ngồi bên phải thần thật

Câu trả lời thần thật cho câu hỏi “ Ai ngồi bên cạnh ngài?” “Đó thần dối trá.”Nên ngồi thần dối trá

Vậy ngồi bên trái thần khôn ngoan 2.3 Bài học kinhnghiệm:

- Khi dạy toán người dạy nên khái quát thành dạng xây dựng hướng chung

- Tập cho học sinh suy luận chặt chẽ hợp lơgic

- Một tốn có nhiều cách suy luận nên cần chọn cách suy luận hay Điều quan trọng kiên nhẫn đọc nhiều lần để phân tích, hiểu rõ u cầu tốn

3 Một số toán khác:

Bài 1: Tổ Tốn trường phổ thơng trung học có năm người: thầy Hùng, thầy Qn, Vân, cô Hạnh, cô Cúc.Kỳ nghỉ hè tổ hai phiếu nghỉ mát.Mọi người nhường nhau, thầy hiệu trưởng đề nghị người đề xuất ý kiến Kết sau:

1 Thầy Hùng thầy Quân Thầy Hùng cô Vân Thầy Quân cô Hạnh Cô Cúc cô Hạnh Thầy Hùng cô Hạnh

Cuối thầy hiệu trưởng định chọn đề nghị Cúc, theo đề nghị đề nghị thỏa mãn phần bác bỏ phần

Bạn cho biết nghỉ mát kỳ nghỉ hè đó?

Hướng dẫn:

Nếu chọn đề nghị thứ đề nghị thứ tư bị bác bỏ hồn tồn Vậy khơng thể chọn đề nghị thứ đề nghị thứ tư

Nếu chọn đề nghị thứ hai đề nghị thứ ba bị bác bỏ hồn tồn Vậy khơng thể chọn đề nghị thứ hai đề nghị thứ ba

Nếu chọn đề nghị thứ năm đề nghị bốn đề nghị lại thỏa mãn phần bác bỏ phần

Vậy đề nghị thứ năm chọn

Bài 2: Có ba cam ba quýt đựng vào ba hộp khác nhau: hộp đựng hai cam ( CC ), hộp đựng cam quýt ( CQ ), hộp đựng hai quýt ( QQ )

Khi dán nhãn sơ xuất, người ta dán nhầm nhãn cho ba hộp khơng hộp dán nhãn Một người nói: “ Tơi cần mở hộp lấy hộp tơi nói xác hộp đựng gì.”

Bạn cho biết người mở hộp suy luận

Ta mở hộp CQ

Nếu lấy qt hộp đựng hai quýt Hộp dán nhãn CC đựng cam quýt Hộp dán nhãn QQ đựng hai cam

Nếu lấy cam hộp đựng hai cam Hộp dán nhãn CC đựng hai quýt Hộp dán nhãn QQ đựng cam quýt Bài 3: Thầy Nghiêm nhà trường cử đưa bốn học sinh Lê, Huy, Hoàng, Tiến thi đấu điền kinh Kết có ba em đạt giải nhất, nhì, ba em không đạt giải Khi trường người hỏi kết em trả lời sau:

Lê: Mình đạt giải nhì ba Huy: Mình đạt giải

Hồng: Mình đạt giải Tiến: Mình khơng đạt giải

Nghe xong thầy Nghiêm mỉm cười nói: “ Chỉ có ba bạn nói thật, cịn bạn nói đùa.”

Bạn cho biết học sinh nói đùa, đạt giải khơng đạt giải?

Hướng dẫn:

Nếu Lê nói đùa ba bạn Huy, Hồng, Tiến nói thật Như Lê Hoàng đạt giải Điều vơ lý, Lê nói thật

II Dạng 2: Sự vô lý suy từ kiến thức biết.

Bài tập 1:

a.Vẽ d’ // d d” // d ( d’ d” phân biệt )

b Suy d’ // d” cách trả lời câu hỏi sau:

- Nếu d’ cắt d” M M có nằm d khơng? Vì sao?

- Qua điểm M nằm ngồi d vừa có d’ // d, vừa có d” // d có trái với tiên đề Ơclit khơng? Vì sao?

- Nếu d’ d” khơng thể cắt ( trái với tiên đề Ơclit ) chúng nào?

( Bài 45 trang 98 SGK tập I)

Lời giải:

a.Bạn đọc tự vẽ

b Nếu d’ d” cắt điểm M, M khơng thể nằm d d // d’ d // d”

Khi qua điểm M nằm ngồi d, ta vừa có d’ // d vừa có d” // d ( d’ d” phân biệt ) Điều trái với tiên đề Ơclit

Để không trái với tiên đề Ơclit d’ d” khơng giao hay d’ //d” Vậy d // d’ d // d” d’ // d”

Bài tập 2: Vẽ hai đường thẳng a, b cho a // b Vẽ đường thẳng c

cắt a điểm A Hỏi c có cắt b khơng?

a.Vẽ hình, quan sát trả lời câu hỏi

b Hãy suy : Nếu a song song b c cắt a c cắt b

( Bài 29 trang 79 SBT tập I ) ( Bài 29 trang 79 SBT tập I )

Lời giải:

a

A

d "

d '

d

a

b

c

P

1

B

A

a Bạn đọc tự làm b Giả sử c không cắt b Suy c // b

Khi qua A ta vừa có a // b, vừa có c // b Điều trái với tiên đề Ơclit

Suy c cắt b

Vậy : Nếu a // b c cắt a c cắt b

Bài tập 3: Hai đường thẳng a b song song với nhau, đường thẳng c

cắt a A, cắt b B

a Lấy cặp góc so le ( chẳng hạn cặp Â4 ) đo xem hai

góc có khơng ? b Chứng minh Â4 =

( Bài 30 trang 79 SBT tập I )

Lời giải:

a.Bạn đọc tự kiểm tra b Giả sử Â4

Qua A vẽ tia AP cho

Mà PAB B1 nằm vị trí so le nên AP // b

Khi qua A ta vừa có a // b, vừa có AP // b Điều trái với tiên đề Ơclit đường thẳng song song

Vậy đường thằng AP a Nói cách khác = Â4, nghĩa Â4

= (điều phải chứng minh)

Bài tập 4:

a Vẽ ba đường thằng a, b, c cho b // a c // a b Kiểm tra xem b c có song song với không? c Lý luận a // b a //c b // c

( Bài 34 trang 80 SBT tập I)

Lời giải: a,b Bạn đọc tự giải

c Giả sử b không song song với c Khi b cắt c điểm O



1

B



B



B



B



Như qua O ta vừa có b // a, vừa có c // a Điều trái với tiên đề Ơclit Suy b // c

Vậy b // a c // a b // c

Bài tập 5: Chứng minh góc tứ giác khơng thể

góc nhọn, khơng thể góc tù

(Bài trang 61 SGK tập I)

Lời giải:

Giả sử bốn góc tứ giác góc nhọn tổng số đo bốn góc nhỏ 3600 Điều trái với tính chất tổng góc tứ giác

bằng 3600.

Vậy bốn góc tứ giác khơng thể góc nhọn

Giả sử bốn góc tứ giác góc tù tổng số đo bốn góc lớn 3600 Điều trái với tính chất tổng góc tứ giác

bằng 3600.

Vậy bốn góc tứ giác khơng thể góc tù

Bài tập 6: Khơng vẽ đường trịn qua ba điểm thẳng hàng

( Chú ý trang 98 SGK tập I)

Lời giải:

Giả sử có đường trịn (O) qua ba điểm thẳng hàng A, B, C tâm O giao điểm đường trung trực d AB (vì OA = OB) đường trung trực l đoạn BC ( OB = OC )

Ta có : d  AB,

l  BC

Mà A, B, C thẳng hàng, suy d // l Do khơng tồn giao điểm d l, mâu thuẫn với giả thiết

Vậy không vẽ đường tròn qua ba điểm thẳng hàng

Bài tập 7: Chứng minh tam giác góc đối diện với cạnh

nhỏ góc nhọn Lời giải:

?3

l d

Trong tam giác, giả sử góc đối diện với cạnh nhỏ có số đo lớn 900.

Theo tính chất mối quan hệ góc cạnh tam giác hai góc cịn lại có số đo lớn 900 Do tổng số đo ba góc tam

giác lớn 1800 Điều trái với tính chất tổng ba góc

tam giác 1800.

Vậy góc đối diện với cạnh nhỏ tam giác phải góc nhọn

8 Bài tập 8: Cho hai đường tròn tâm O O’ giao A B Một

cát tuyến qua A giao với hai đường tròn C D Vẽ hai đường kính CC’ DD’ hai đường tròn Chứng minh:A, C’, D’ thẳng hàng 8.1 Lời giải:

(O) (O’) giao A, B; GT cát tuyến CAD ( C(O),D(O’))

CC’, DD’ hai đường kính

KL A, C’, D’ thẳng hàng

Giả sử A, C’, D’ không thẳng hàng hay AC’ AD’ hai đường thẳng phân biệt

Vì DD’ đường kính (O’) nên góc DAD’ = 900.

CC’ đường kính (O) nên góc CAC’ = 900.

Như qua A ta vừa có AD’ AC’ vng góc với CD Điều trái với tiên đề Ơclit Do AC’ AD’ phải trùng hay A, C’, D’ thẳng hàng

8.2 Khai thác:

A O

O ' B

D C

O A O ' C ' C D ' D O ' O A C C ' D D '

1 Bài tốn cịn hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc với đỉnh A

2 Bài toán: Cho hai đường tròn giao A Một cát tuyến thay đổi qua A, giao hai đường tròn C D Vẽ đường kính CC’ DD’ hai đường trịn Chứng minh C’D’ ln qua điểm cố định

Bài tập 9: Chứng minh định lý đảo định lý góc tạo tia tiếp

tuyến dây cung, cụ thể là:

Nếu góc BAx ( với đỉnh A nằm đường tròn, cạnh chứa dây cung AB ), có số đo nửa số đo cung AB dây cung nằm bên góc đó, cạnh Ax tiếp tuyến đường tròn

9.1 Lời giải:

Hình Hình

Giả sử Ax khơng tiếp tuyến đường trịn A Ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: Ax cắt đường trịn C1 thuộc cung lớn AB (hình1)

Ta có: Suy ra: Hay x A O B C 1 x C 2 O B A  

 sd AB

x BA (Gt)    1 BC sd AB

C (Góc nội tiếp chắn cung) )

(

x 1   1



 

C AB sd AB sdBC

BA    1 2

x sd ABC A

a

b c B

A

1800 =

Suy ra:

Trường hợp 2: Ax cắt đường tròn C2 thuộc cung nhỏ AB

Ta có:

Suy ra:

Vậy Ax tiếp tuyến đường tròn A 9.2 Sai lầm học sinh:

-Thông thường, học sinh đưa hai trường hợp

- Học sinh bỏ qua giả thiết trực quan Ax cát tuyến (giả sử )

- Sau giải toán nhiều học sinh dễ nhầm tưởng: cho Ax cát tuyến suy (điều xảy Ax tiếp tuyến )

9.3 Đề xuất giảng dạy:

- Người dạy phải thể đầy đủ trường hợp ( lời giải nhiều sách đưa trường hợp )

- Nhắc nhở học sinh sử dụng hết giả thiết toán

- Người dạy khắc phục sai lầm thứ ba học sinh cách nhấn mạnh tính chất tiếp tuyến dây cung cho học sinh

10 Bài tập 10: Hãy chứng minh định lý:

Nếu đường thẳng cắt hai đường thẳng song song hai góc đồng vị

10.1 Lời giải Giả sử

Qua B kẻ đường c cho

Theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song, suy a // c

Như vậy, qua B ta vừa có c // a, vừa có b // a Điều trái với tiên đề Ơclit Vậy c phải trùng b Hay Vậy (điều phải chứng minh )

0 360



ABC

sd (vơ lý số đo cung ABC1<3600)

) (

1

x sd AB gt A

B   

 

 sdC B

BAx 2

2

(Góc nội tiếp chắn cung ) 



 sdC B

AB

sd 2

2

(Vô lý C2 thuộc cung AB)

 

 sd AB

2 BAx   A B   A ABc   ABc B   B A  

 sd AB

10 Một số toán khác:

Bài 1: Chứng minh đa giác có số trục đối xứng tất chúng cắt điểm đa giác

Hướng dẫn:

Giả sử hai số trục đối xứng đa giác ( có ) nằm ngồi đa giác Ta có: S1 = S2 +S3

S3 = S1 + S2

Như : S2 = ( vơ lý d1 d2 phân

biệt )

Bài 2: Có hay khơng tam giác mà trung điểm đường phân giác nằm đường thẳng?

Hướng dẫn:

Giả sử tồn tam giác mà trung điểm đường phân giác nằm đường thẳng

Ta điều vô lý

Bài 3: Cho hai đường thẳng x’x y’y giao O Ta nhận thấy chúng tạo thành bốn góc, góc xOy kề bù với góc x’Oy, góc x’Oy’ kề bù với góc y’Ox Như ta có:

Chứng minh bốn góc phải có góc khơng lớn 900

Hướng dẫn:

Giả sử bốn góc lớn 900 tổng số đo bốn góc lớn 3600.

Điều vơ lý

360 180

x ' ' '

' 0

 

 



 

 

III Dạng 3: Sự vô lý suy từ giả thiết toán

1 Bài tập 1: Cho x số hữu tỷ khác 0, y số vô tỷ Chứng tỏ

rằng x+y x.y số vô tỷ

(Bài 115 trang 19 Sách tập tập I)

1.1 Lời giải:

Giả sử x + y =z số hữu tỷ

Ta có: y = z - x Nhưng hiệu hai số hữu tỷ số hữu tỷ hay z - x = y số hữu tỷ Điều trái với giả thiết y số vô tỷ

Vậy x + y số vô tỷ Giả sử x.y = z số hữu tỷ

Ta có: y = z  x Nhưng thương số hữu tỷ số hữu tỷ

một số hữu tỷ hay z  x = y số hữu tỷ Điều trái với giả thiết y

một số vô tỷ

Vậy x.y số vô tỷ

2 Bài tập 2: Cho góc nhọn xOy, tia Ox lấy hai điểm A A’ Trên tia

Oy lấy điểm B Lấy điểm C thuộc miền góc xOy Qua A’ kẻ đường song song với AB cắt Oy B’ Đường thẳng song song với AC kẻ qua A’ cắt đường thẳng song song với BC kẻ qua B’ C’ Chứng minh ba đường AA’, BB’, CC’ đồng quy

2.1 Phân tích tìm lời giải:

Từ giả thiết tốn AA’ BB’ cắt O Muốn giải toán ta cần CC’ qua O

Để làm điều ta giả sử CC’ giao với Ox điểm O’ khác O Qua q trình lập luận ta điều vơ lý Nên O’ trùng O, hay AA’, BB’ CC’ đồng quy O

2.2 Lời giải:

Góc nhọn xOy, A, A’ Ox, B Oy,

GT C thuộc miền góc xOy, AB//A’B’(B’ Oy),AC//A’C’,

BC//B’C’

KL AA’, BB’, CC’ đồng quy Ta có: AB//A’B’

AC//B’C’ AC//A’C’

Suy ra:  ABC  A’B’C’

y

x z

O

A '

A B '

B

Vậy ta được: (1)

Vì AB//A’B’ nên Giả sử CC’ giao Ox điểm O’ khác O

Vì AC//A’C’ nên

Từ (1), (2), (3) suy ra:

Áp dụng tính chất dãy tỷ số cho (4) ta được:

hay

Suy OA’ = O’A’

Hai điểm O O’ nằm phía A’ tia Ox Kết hợp với (5) ta suy O trùng O’ Hay CC’ qua O Vậy AA’, BB’, CC’ đồng quy O

1.3 Khai thác:

1 Ta giữ lại giả thiết toán thay đổi cách hỏi:

 Chứng minh ba điểm O, C, C’ thẳng hàng  Chứng minh tỷ số

2 Ta thay đổi giả thiết để có tốn mới:

Bài 1: Cho góc nhọn xOy, cạnh Ox lấy hai điểm A A’ Trên Oy

lấy điểm B Lấy C thuộc miền góc xOy Qua A’ kẻ A’B’ song song với AB (B’ Oy), kẻ A’C’ song song với AC (C’

OC) Chứng minh B’C’ song song với BC

Bài 2: Cho góc nhọn xOy.Tia Oz nằm góc xOy.Trên cạnh Ox

lấy hai điểm A A’ Trên Oy lấy hai điểm B B’ Trên Oz lấy hai điểm C C’ Gọi H, T, L giao điểm cặp cạnh AB A’B’; AC A’C’; BC B’C’ Chứng minh H, T, L thẳng hàng 1.3 Bài học kinh nghiệm:

1.3.1 Sai lầm học sinh:

- Trong chứng minh học sinh lệ thuộc vào trực quan nên nhiều học sinh xem CC’ qua O mà chứng minh toán dễ dàng - Từ biểu thức (4) học sinh suy O trùng O’

1.3.2 Chú ý giảng dạy

- Hướng dẫn học sinh vẽ hình cách xâm nhập vào tốn để tìm hướng giải

' ' '

' A C AC B A AB  ' ' '

' A C AC A O OA  ' ' '

' O B OB A O OA  ' ' ' ' O A

A O OA OA  ' ' ' ' ' ' ' A O A O A O OA OA OA    ' ' ' ' ' A O A A OA A A  CO CC BO BB

A ' '

- Làm cho học sinh thấy đâu giả thiết cho đâu yêu cầu cần chứng minh toán

- Cần ý nhiều tới sai lầm hay mắc phải học sinh.Ví dụ cụ thể từ (4), nhiều học sinh suy O trùng O’, người dạy nên cho học sinh thấy được: Để chứng minh O trùng O’ ta cần O’A = OA O’A’ = OA’ Nhận thấy (4) tỷ lệ thức nên sử dụng tính chất tỷ lệ thức dãy tỷ số

3 Bài tập 3: Cho tam giác ABC có góc A>900

Chứng minh khơng

thể có đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc nhọn vừa đường phân giác góc

3.1 Phân tích tìm lời giải:

ABC, góc A>90

GT AM = MC ( M AC)

KL

Muốn ta có cách sau:

- Số đo hai góc (1)

- Sử dụng quan hệ cạnh góc tam giác ( thơng qua góc

trung gian ) (2)

- Giả sử B1 = B2 ta chứng minh điều giả sử vô lý (3)

Nhận thấy cách (1) không phù hợp ta chứng minh cho tam giác

Nếu áp dụng cách giải (2) ta cần phải tạo góc hai góc nằm tam giác với góc cịn lại ( hai góc ta xét nằm hai tam giác khác ) Với giả thiết đề cho cách làm phức tạp, bế tắc

Yêu cầu toán gợi cho ta nghĩ đến việc chứng minh phương pháp phản chứng Tức giả sử BM vừa trung tuyến, vừa phân giác tam giác ABC điều vô lý

3.2 Lời giải:

2 1

M

A C

B

 

 B

B

 

 B

Vì  ABC có Â >90 nên BC > AB Trên BC lấy D cho BD = BA

Giả sử BM phân giác góc B Xét hai tam giác ABM DBM có:

BM: cạnh chung, BA = DB

Suy : ABM = DBM ( c.g.c)

Suy : AM = DM,

Mà AM = MC nên MD = MC

Vậy  DMC cân M, hay (1)

Mặt khác: (vì ABM = DBM ) (2)

Ta có:

( hai góc kề bù )

Kết hợp (1) (2) ta Điều vô lý ABC tam giác

Vậy BM khơng thể phân giác góc B.( điều phải chứng minh ) 3.3.Khai thác:

- Giữ nguyên giả thiết toán thay đổi cách hỏi sau: Chứng minh khơng thể có đường phân giác xuất phát từ đỉnh góc nhọn vừa trung tuyến góc

- Bài tốn áp dụng với tam giác vng - Xây dựng toán mới:

Bài tốn: Chứng minh tam giác có đường trung tuyến vừa

phân giác xuất phát từ đỉnh tam giác cân đỉnh Lời giải:

Giả sử tam giác ABC không cân A Khơngmất tính tổng qt xem AC > AB Trên AC lấy D cho AB = AD

Gọi L giao điểm BD AH ( với AH đường trung tuyến ) Xét hai tam giác ABL ALD có:

AL: cạnh chung, AB = AD

Suy : ABL = ADL (c.g.c )

Suy : BL = DL Trong BDC có:

BL = DL,

BH= HC

Nên HL đường trung bình  BDC

Suy HL // DC hay AH // AC (vô lý) Vậy tam giác ABC cân A

3.4 Bài học kin nghiệm: 3.4.1 Sai lầm học sinh:

- Học sinh thường chứng minh sau:

ABC vừa có đường trung tuyến đường phân giác nên ABC

cân B (1)

Mặt khác ABC có Â > 900 nên BC > AB (2)

Từ (1) (2) ta suy điều vô lý

*Người dạy cần lưu ý cho học sinh điều (1) nêu tốn phải chứng minh ( trình bày trên) suy - Học sinh thường nhầm lẫn chứng minh sau:

Xét hai tam giác ABM ACM ta có: AM : cạnh chung,

BM = CM

Suy ABM = ACM (c.g.c )

3.4.2 Chú ý giảng dạy:

Trong trình giảng dạy người dạy cần phải:

- Đối với sai lầm thứ nhất, người dạy phải yêu càu học sinh chứng minh điều vừa kết luận để sai học sinh

- Đối với sai lầm thứ hai, người dạy vẽ hình ý cho học sinh vị trí góc cạnh tương ứng trường hợp tam giác 4 Một số tập khác:

Bài 1: Cho a b hai số nguyên tố Chứng minh a

a + b nguyên tố

Hướng dẫn:

Giả sử a a+b không nguyên tố Như tồn số p, q1, q2 thuộc Z thỏa:

a = p.q1 (1)

a+b = p.q2 (2)

Từ (2) ta được: b = p.q2 – a

= p.q2 –p.q1 (kết hợp (1))

= p.( q2 – q1)

= p.q (3)

M

B C

A

 

CAM,

Từ (1) (3) ta kết luận a b không nguyên tố Trài với giả thiết

Bài 2: Cô giáo chủ nhiệm phân phối 102 tập cho 50 em học sinh

lớp 6A Chứng minh có em nhận nhiếu hai tập

Hướng dẫn:

Giả sử không học sinh nhận nhiều hai tập Như tối đa có 100 tập cho 50 học sinh Trong giáo viên cần phân phối 102 tập Điều vô lý

Bài 3: Cho phân số tối giản Chứng minh phân số tối giản

Hướng dẫn: Tham khảo

Bài 4: Chứng minh : Nếu độ dài cạnh tam giác thỏa mãn bất

đẳng thức a2 + b2 > 5c2 thì c độ dài cạnh nhỏ tam giác.

Hướng dẫn:

Giả sử c cạnh nhỏ tam giác Không tínhư tổng qt, giả sử a  c, a2  c2

Theo bất đẳng thức tam giác, ta có b< a+c nên b2 < (a+c)2.

Do a  c nên (a + c)2  4c2, suy b2  4c2

Từ ta có a2 + b2

 5c2 Điều trái với giả thiết

Vậy c cạnh nhỏ tam giác

Bài 5: Tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH, trung tuyến BI,

phân giác CK cắt ba điểm phân biệt D, E, F Tam giác DEF tam giác hay khơng?

Hướng dẫn:

Giả sử DEF tam giác Ta có:

Suy ra: BI  AC

Vậy tam giác ABC Suy D, E, F trùng Điều trái với giả thiết

q p

q q p

0

30 60   



C F

0 30





KẾT LUẬN

Đề tài viết theo chương trình THCS, dùng cho học sinh, sinh viên sư phạm việc nhiên cứu tham khảo Nó bổ ích việc hình thành khả tư duy, lý luận chặt chẽ toán học ngành khoa học khác

Chứng minh toán phương pháp phản chứng dạng toán hay giúp ta giải tốn với tính đắn thấy mà cách chứng minh khác làm

Trong đề tài, đưa sở lý thuyết, phân loại dạng toán với đề xuất, học rút q trình nghiên cứu tốn Ngồi ra, cịn có tổng hợp phân loại cho khối lớp THCS Tuy nhiên, đề xuất, mở rộng mang tính cá nhân nên cịn nhiều hạn chế

Cuối cùng, chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp bổ ích, với khích lệ, động viên tinh thần thầy cơ, đặc biệt thầy hướng dẫn Nguyễn Chính, thầy Tạ Quang Sơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Hồng Xn Sính (chủ biên), Tập hợp lôgic, Nhà xuất giáo

dục, năm 1999

[2] Nguyễn Hữu Điển, Những phương pháp điển hình giải tốn

phổ thơng, Nhà xuất giáo dục

[3] Nguyễn Vĩnh Cận, Phương pháp chứng minh hình học, Nhà xuất giáo dục

[4] Vũ Dương Thụy (chủ biên), Thực hành giải toán, Nhà xuất giáo dục

[5] Vũ Dương Thụy (chủ biên), Toán nâng cao chuyên đề hình

học 7, Nhà xuất giáo dục, năm 2005

[6] Trần Diên Hiển, Các tốn suy luận lơgic, Nhà xuất giáo dục, năm 2001

[7] Nguyễn Vĩnh Cận, Tốn hình học nâng cao THCS, Nhà xuất Đại học Sư phạm, năm 2003

[8] Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Sách giáo khoa tậpI, tập II, Nhà xuất giáo dục,năm 2003

[9] Tôn Thân (chủ biên), Sách tập tập I, Nhà xuất giáo dục, năm 2003

[10] Tôn Thân (chủ biên), Sách tập tập I, Nhà xuất gióa dục, năm 2003

[11] Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Sách giáo khoa tập I, tập II, Nhà xuất giáo dục, năm 2003

[12] Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Sách tập tập II, Nhà xuất giáo dục, năm 2003

[13] Nguyễn Vũ Thanh (Chủ biên), Số học, Nhà xuất giáo dục [14] Vũ Hữu Bình, Nâng cao phát triển toán tập I, tập II, Nhà xuất giáo dục, năm 2005

MỤC LỤC

Mở đầu ………

Chương I: Cơ sở lôgic phương pháp chứng minh phản chứng ………

Chương II: Nội dung I Dạng 1: Suy luận loại trừ………

II Dạng 2: Sự vô lý suy từ kiến thức biết……….12

III Dạng 3: Sự vô lý suy từ giả thiết toán………18

Phụ lục Lớp 24

Lớp 27

Lớp 31

Lớp 34

Kết luận ……….39

Tài liệu tham khảo ……… 40