Chuyên đề khảo sát hàm số – Trương Ngọc Vỹ | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Tìm m để hàm số có 3 cực trị, đồng thời các điểm cực trị A, B, C của đồ thị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.. Tương tự ta được phương trình (2).[r]

(1)

ÔN TẬP NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ ĐỂ VẬN DỤNG GIẢI TOÁN

Vấn đề

CƠNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM   x '.x1  u ' .u1 'u

  ' 1  ' '

2 2 u x u x u     ' ' 2

1 1 1 u'

x x u u

   

       

   

 

   

  ex ' ex  eu ' u e' u

  ax 'ax.lna  au 'u a' .lnu a

  u v ' u v'. v u'. 

'

2

'. '

u u v v u

v v              sinx'cosx sinu'u'.cosu

 (cos )'x  sinx (cos )'x  u'.sinu  tan ' 12 tan ' 2'

cos cos

u

x u

  

 cot ' 12 cot ' 2'

sin sin

u

x u

    

 lnx' lnu' u'

x u

  

 ln x' lnu' u'

x u

  

 log ' log ' '

ln ln

a a

u

x u

x a u a

  

Vấn đề

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Hê ̣ thức lượng bản Công thức nhân đôi – nhân ba – ̣ bâ ̣c

2

sin x cos x 1 tan cotx x 1 sin tan cos x x x

 cot cos

sin x x x  os 2 1 tan x

c x

 

2 1 cot sin x x  

sin 2x 2 sin cosx x

2 2

cos 2xcos xsin x 2 cos x  1 sin x

2 cos

sin

2 x

x 

  ; cos2 cos

2 x

x  

3

sin 3x 3 sinx4 sin x (3sin – 4sı̉n)

cos 3x 4 cos x3 cosx (4cổ – cô) Công thức cô ̣ng cung Công thức biến đổi tổng thành tı́ch

 

sin a b sin cosa bcos sina b

 

cos a b cos cosa bsin sina b

  tan tan

tan

1 tan tan

a b a b a b    

  tan tan

tan

1 tan tan

a b a b a b    

cos cos cos cos

2

a b a b

a b  

cos cos sin sin

2

a b a b

a b   

sin sin sin cos

2

a b a b

a b  

sin sin cos sin

2

a b a b

a b  

Công thức biến đổi tổng thành tı́ch Công thức tı́nh sin , cos  theo tan

t  

   

1

cos cos cos cos

2

a b  a b  ab 

   

1

sin cos sin sin

2

a b  a b  ab 

   

1

sin sin cos cos

2

a b  a b  ab 

Đă ̣t tan

t  

(2)

Mô ̣t số công thức khác Mô ̣t số công thức khác

4 cos

cos sin sin

4

3 x

x  x   x  

6 cos

cos sin sin

8

5 x

x x  x  

2 tan cot sin x x x  

cotxtanx 2 cot2x

sin cos sin cos

4

x x  x x

   

sin cos sin cos

4

x x  x x 

   

Vấn đề

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1

1 PPhhươươnngg ttrrììnnhh llượượnngg ggiiáácc ccơ bbảnản::

a

a PPhhưươơnnggttrrı̀ı̀nnhh:: sin sin

u v k

u v

u v k



 

   

     

 Đă ̣c biê ̣t:

sin

2

sin

2

x x k

                         b

b PPhhưươơnnggttrrı̀ı̀nnhh::

cos cos

2

u v k

u v

u v l

     

     

 Đă ̣c biê ̣t:

cos

2

cos

x x k

                        c

c PPhhưươơnnggttrrı̀ı̀nnhh::

tan tan

: ,

u v u v k

Ðk u v k



 

   

  Đă ̣c biê ̣t:

tan

4

x x k

                d

d PPhhưươơnnggttrrı̀ı̀nnhh::

cot cot

: ,

u v u v k

Ðk u v k

 

   

 Đă ̣c biê ̣t:

cot

2

cot

4

x x k

                  

2 PPhhưươơnnggttrrı̀ı̀nnhhllưượợnnggggiiááccccổổđđiiểểnndda ̣a ̣nngg:: asinxbcosx c  1  Điều kiê ̣n có nghiê ̣m: a2 b2 c2

 Chia hai vế cho a2b2 , ta được: 

2 2 2

1 a sinx b cosx c

a b a b a b

  

  

 Đă ̣t sin 2a 2 , cos 2b 2  0, 

a b a b

       

  Phương trı̀nh trở thành:

2 2

sin sinx cos cosx c cos(x ) c cos

a b a b

        

 

2 ( )

x   k  k

    

3

3 PPhhưươơnnggttrrı̀ı̀nnhhllưượợnnggggiiááccđđẳẳnnggccấấppbbâ ̣â ̣cchhaaiidda ̣a ̣nng:g asin2xbsin cosx xccos2x d  2  Kiểm tra xem cosx  c0 ó phải là nghiê ̣m hay không ? Nếu có thı̀ nhâ ̣n nghiê ̣m này  Khi cosx 0, chia hai vế phương trı̀nh  2 cho cos x2 , ta được:

2

.tan tan (1 tan )

a x b x  c d  x

(3)

3

3 PPhhưươơnnggttrrı̀ı̀nnhhđđốốiixxứứnnggdda ̣a ̣nngg: asinx cosxbsin cosx x  c 3   Đă ̣t cos sin 2.cos ;

4

t  x  x  x  t 

2 1 sin cos sin cos 1( 1)

2

t x x x x t

      

 Thay vào phương trı̀nh  3 , ta được phương trı̀nh bâ ̣c hai theo t t x

4 PPhhưươơnnggttrrı̀ı̀nnhhđđốốiixxứứnnggdda ̣a ̣nng:g a sinx cosx bsin cosx x  c 4 

 Đă ̣t cos sin 2 cos ; : 0 2 sin cos 1( 1)

4

t  x  x  x  ÐK  t  x x   t 

 Giải tương tự da ̣ng Khi tı̀mxcần lưu ý phương trı̀nh chứa dấu tri ̣ tuyê ̣t đối Vấn đề

PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 1

1 PPhhươươnngg ttrrı̀ı̀nhnh bbâ ̣â ̣c c hhaaii: ax2 bx  c 0  1 a

a// GGiiảảiipphhưươơnnggttrrı̀ı̀nnhhbbậậcchhaaii

Nếu b là số lẻ Nếu b là số chẳn Tı́nh  b2 4ac

 Nếu   0 Phương trı̀nh vô nghiê ̣m  Nếu   0 Phương trı̀nh có nghiê ̣m

kép:

2 b x

a  

 Nếu   0 Phương trı̀nh có hai

nghiê ̣m phân biê ̣t:

2 b x

a b x

a

   

   

   

  

Tı́nh  ' b'2ac với b ' b2

 Nếu   ' 0 Phương trı̀nh vô nghiê ̣m  Nếu   ' 0 Phương trı̀nh có nghiê ̣m

kép: x b' a  

 Nếu   ' 0 Phương trı̀nh có hai nghiê ̣m

phân biê ̣t:

' '

b x

a b x

a

   

   

   

   b

b// ĐĐi ̣i ̣nnhhllı́ı́VViiéétt

Nếu phương trı̀nh  1 có hai nghiê ̣m phân biê ̣t x x1, 2 thı̀:  Tổng hai nghiê ̣m:

b

S x x

a

   

 Tı́ch hai nghiê ̣m: P x x1. 2 c a

 

c

c// DDấấuuccááccnngghhiiệệmmccủủaapphhưươơnnggttrrı̀ı̀nnhh

 Phương trı̀nh có hai nghiê ̣m phân biê ̣t 0 0 a     

  Phương trı̀nh có hai nghiê ̣m trái dấu a c. 0

 Phương trı̀nh có hai nghiê ̣m phân biê ̣t cùng dấu 0 0 P      



2 '

x x

a a

 

(4)

 Phương trı̀nh có hai nghiê ̣m âm phân biê ̣t

0 0 P S      

    Phương trı̀nh có hai nghiê ̣m dương phân biê ̣t

0 0 P S      

   d

d// SSoossáánnhhhhaaiinngghhiiệệmmccủủaapphhưươơnnggttrrı̀ı̀nnhhbbậậcchhaaii g x( )ax2 bx  c 0 vvớớii11ssốố ββbbấấttkkı̀ı̀

 2 1  

0

. 0

2

x x a g

S

 

     

   

   

  

0

. 0

2

x x a g

S

 

 

   

   



 



 x1   x2 a g.   0

2

2 PPhhươươnngg ttrrı̀ı̀nhnh bbậcậc 33:: ax3 b x' c x' d'0  2

   

2

( ) 0

0 3 x

x ax bx c

ax bx c 

  

      

  



Đă ̣t g x( )ax2 bx c ,  b2 4ac

 Phương trı̀nh  2 có nghiê ̣m phân biê ̣t  3 có nghiê ̣m phân biê ̣t

0

( ) 0

x

g 

   

   



 Phương trı̀nh  2 có nghiê ̣m phân biê ̣t  3 có nghiê ̣m kép x  hoă ̣c  3 có hai nghiê ̣m

phân biê ̣t đó có nghiê ̣m x  

0

( )

0

( )

g g

   



 

   

  

 Phương trı̀nh  2 có nghiê ̣m  3 vô nghiê ̣m hoă ̣c  3 có nghiê ̣m kép x 

0

( )

0 g   



 

     3

3 PPhhươươnngg ttrrı̀ı̀nhnh bbâ ̣â ̣c c bbốnốn ttrrùùngng pphhươươnngg : ax4 bx2  c 0  4 Đă ̣t t x ÐK t2. : 0

Phương trı̀nh  4 at2   bt c 0 5  

 Phương trı̀nh  4 có nghiê ̣m phân biê ̣t  5 có nghiê ̣m dương phân biê ̣t

0 0 P S      

    Phương trı̀nh  4 có nghiê ̣m phân biê ̣t  5 có nghiê ̣m t  và nghiê ̣m

0

0 c

t b

a      

(5)

dương

0 0 0 ac

S       

   4

4 PPhhươươnngg ttrrı̀ı̀nhnh cchhứứa a ccăănn tthhứứcc : + 2 0 B

A B

  

   

 +

 

0 0

A hay B

A B

  



   

 5

5 PPhhươươnngg ttrrı̀ı̀nhnh cchhứứa a ddấuấu ggiiáá ttrri ̣i ̣ ttuuyyê ̣ê ̣t tđđốốii:: ++

0 B

A B

  

    

 ++ A  B A B

6

6 BBấấtt pphhươươngng ttrrı̀ı̀nhnh cchhứứa a ccăăn n tthhứứcc:: ++

2 0 B A

A B

B

A B

     

   

  

 + +

2 0 B

A B A

A B

   

  

   7

7 BBấtất pphhươươnngg ttrrı̀ı̀nhnh cchhứứa a ddấuấu ggiiáá ttrri ̣i ̣ ttuuyyê ̣ê ̣t tđốđốii::++ A B    B A B ++

A B

  

    

 Vấn đề

HÌNH HỌC PHẲNG Trong mă ̣t phẳng Decac Oxy cho:

o Bốn điểm: A x y A, A, B x y B, B, C x y C, C và M x y o, o o Đường thẳng :ax by c

o Đường tròn  Cm : (x a)2 y b 2 R hay C  m :x2 y22ax2by c 0 có tâm là

 , 

I a b và bán kı́nh là R  a2 b2c  Véctơ AB xB xA; yB yA



Đô ̣ dài đoa ̣n thẳng  2  2

B A B A

AB  x x  y y

(khoảng cách giữa hai điểm A, B)

 Để ba điểm A x y A, A; B x y B, B C x y C, Cthẳng hàng B A C A

B A C A

x x x x

y y y y

 

 

 

 Khoảng cách từ điểm M x y o, o đến đường thẳng :axby c là:  

2

, axo bxo c

d M

a b

 

 

  Để A và B đối xứng qua đường thẳng    là đường thẳng trung trực của đoa ̣n thẳng AB  Diê ̣n tı́ch ΔABC: . .sin 2.  . 2

2

ABC

S  AB AC A AB AC  AB AC 

   

2 a b c

abc

p p a p b p c a h b h c h pr

R

        

Trong đó: R r p, , lần lượt là bán kı́nh đường tròn ngoa ̣i tiếp, bán kı́nh đường tròn nội tiếp và nửa chu vi  Để A B nằm phía (khác phía) so với đường thẳng  axA byAc ax . B byB c0  Để A và B nằm về cùng phı́a so với đường thẳng  axA byAc ax . B byB  c 0

 Để A B nằm đường tròn hay nằm ngồi đường trịn

 2  2 

/( ). /( ) 0 2 2 2 2 0

A Cm B Cm A A A A B B B B

P P x y ax by c x y ax by c

           

 Để A và B nằm về hai phı́a khác đối với đường tròn (1 điểm phı́a trong, một điểm phı́a ngoài)

 2  2 

/( ). /( ) 0 2 2 2 2 0

A Cm B Cm A A A A B B B B

P P x y ax by c x y ax by c

(6)

CHƯƠNG I

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

BÀI

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Cơ sở lý thuyết 1 Định nghĩa:

+ Hàm số y  f x( ) đồng biến K  x x1, K x1 x2  f x( )1 f x( )2 + Hàm số y  f x( ) nghịch biến K  x x1, K x1 x2  f x( )1  f x( )2 2 Điều kiện cần: Giả sử y  f x( ) có đạo hàm khoảng I

+ Nếu y  f x( ) đồng biến khoảng I f x'( )0,  x I + Nếu y  f x( ) nghịch biến khoảng I f x'( )0,  x I 3 Điều kiện đủ: Giả sử y  f x( ) có đạo hàm khoảng I

+ Nếu y' f x'( )0,  x I [f x '( ) 0tại số hữu hạn điểm] y  f x( ) đồng biến I + Nếu y' f x'( )0,  x I [f x '( ) 0tại số hữu hạn điểm] y  f x( ) nghịch biến I + Nếu y' f x'( )0, y  f x( ) không đổi I

Chú ý: Nếu khoảng I thay đoạn nửa khoảng y  f x( )phải liên tục

DẠNG

XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU (tìm khoảng tăng - giảm) CỦA HÀM SỐ y= f x( )

1 Phương pháp giải

+ Bước 1: Tìm tập xác định hàm số Thường gặp trường hợp sau:

- ( ) : ( ) 0

( ) P x

y TXÐ Q x

Q x

  

- y  Q x( ) TXÐ Q x: ( )0

- ( ) : ( ) 0

( ) P x

y TXÐ Q x

Q x

  

+ Bước 2: Tìm điểm y' f x'( ) y' f x'( )không xác định, nghĩa là: tìm đạo hàm

' '( )

y  f x Cho y' f x'( )0 tìm nghiệm xi với i 1; 2; n

+ Bước 3: Sắp xếp điểm theo thứ tự tăng dần lập bảng biến thiên để xét dấu y' f x'( )

+ Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên, kết luận khoảng đồng biến nghịch biến hàm số - f x'( )y' 0 Hàm số đồng biến (tăng) khoảng……và……

- f x'( )y' 0 Hàm số nghịch biến (giảm) khoảng…và…… 2 Một số lưu ý giải toán

(7)

• Đối với hàm dạng: y ax b cx d  

 hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) TXĐ, nghĩa ln tìm y ' (hoặc y ' 0) TXĐ

• Đối với hàm dạng:

' '

ax bx c y

a x b

 



 ln có hai khoảng đơn điệu

• Đối với hàm dạng: y ax4 bx3 cx2 dxe có khoảng đồng biến khoảng nghịch biến

• Cả ba hàm số không thể đơn điệu 

+ Lưu ý 3: Bảng xét dấu số hàm thường gă ̣p

a) Nhị thức bậc nhất: y f x( )axb ,a 0 x −∞ b

a

 +∞

ax b trái dấu với a dấu với a

b) Tam thức bậc hai : y  f x( )ax2 bxc ,a 0 • Nếu  0, ta có bảng xét dấu:

x −∞ +∞ f x( ) dấu với a

• Nếu   0, ta có bảng xét dấu: x −∞

2 b a

 +∞ ( )

f x dấu với a dấu với a

• Nếu  0, go ̣i x x1, là hai nghiê ̣m của tam thức f x ( ) 0, ta có bảng xét dấu:

x −∞ x1 x2 +∞ f x( ) dấu với a trái dấu với a dấu với a

c) Đối với hàm mà có y'  f x'( ) 0 có nhiều nghiệm, ta xét dấu theo nguyên tắc: (phương pháp chung)

• Thay điểm lân cận xo gần xn bên ô phải bảng xét dấu vào f x'( ) [Thay sốxo cho dễ tìm

'( ) f x ]

• Xét dấu theo nguyên tắc: Dấu củaf x'( )đổi dấu qua nghiệm đơn không đổi dấu qua nghiệm kép

+ Lưu ý 4: Xem la ̣i số cách giải phương trình lượng giác thường gặp ta đưa hàm số lượng giác dạng đa thức số trường hợp

+ Lưu ý 5: Cách tính đạo hàm hàm số dạng hữu tı̉ (phân thức)

 2  2

'

a b c d

ax b ad cb

y y

cx d cx d cx d

 

   

   Cách nhớ: Tı́ch đường chéo chı́nh trừ tı́ch đường chéo phụ

 

     

 

2

2 2 2

2 ' '

' ' ' ' ' ' 2 ' ' ' '

'

' ' ' ' ' ' ' ' '

a c

a b b c

x a c x

a b b c b a a b x c a a c x c b b c

ax bx c

y y

a x b x c a x b x c a x b x c

 

    

 

   

     

Bài Tìm khoảng đơn điệu các hàm số:

a/ y   x4 4x2 3 b/ y x46x2 8x 1 c/ y x4 4x 6 d/ y   x3 6x2 9x 4 e/ y x3 3x2 3x 2 f/ y  x22x

(8)

g/ 2 1 1 x y

x  

 h/

3 1

1 x y

x  

 i/

3 2 7

x y

x  

 Bài Tìm khoảng đơn điệu các hàm số:

a/

2 2 1 2

x x

y

x

  



 b/

2 8 9 5

x x

y

x

 



 c/

2 x

y

x x

 

 

d/ y 43x 6x2 1 e/ y   x 1 2 x2 3x 3 f/ y  3x22x Bài Tìm khoảng đơn điệu các hàm số:

a/ y  x2 5x 6 b/ y   x 1 2x25x7 c/ y  4x x2 d/ y  x2 2x 3 e/ y  x37x2 7x 15 f/

2

2 3

3 2

x x y

x   



Bài Tìm các khoảng đơn điê ̣u của các hàm số sau:

a/ y  x sin ,x x   0; b/ y 2 sinx cos ,x x   0; c/ y sin2x cos , 0;x   d/ y sin3xcos 2x sinx 2 e/ sin2 cos , 0;

2 y  x  x  x   

  f/  

3

2 sin sin , 0;

3

y  x  x x  

Bài Chứng minh rằng:

a/ Hàm số y x3  x cosx4 đồng biến 

b/ Hàm số y 2 sinx tanx 3x đồng biến nửa khoảng 0;  2  



DẠNG

Tìm điều kiện tham số để hàm số y= f x( ) đồng biến nghịch biến I Cơ sở lý thuyết

Cho hàm số y  f x m ,  với mlà tham số, có tập xác định D • Hàm số y  f x m ,  đồng biến D  y '  x D • Hàm số y  f x m ,  nghịch biến D  y ' 0,  x D

• Hàm số y  f x m ,  đồng biến  ' '( , ) 0, '

x

y f x m x y



      



• Hàm số y  f x m ,  nghịch biến  ' '( , ) 0, max '

x

y f x m x y



      



 • Hàm số đồng biến  phải xác định 

II Phương pháp giải

Dạng 1: Nếu y' f x m'( , )ax2 bx c thì:

• Để hàm sớ y  f x m ,  đồng biến (tăng) ' '( , ) 0; 0 0 a

y f x m x  

       



 

• Để hàm số y  f x m ,  nghi ̣ch biến (giảm) ' '( , ) 0; 0 0 a

y f x m x  

       



 

Chú ý: Đối với hàm phân số hữu tỉ dấu “=” khơng xảy

Dạng 2: Nếu y'ax b ;  x  ;  thì:

• Để hàm sớ y  f x m ,  đồng biến  ;   

'( ) 0

' 0 ; ;

'( ) 0 y

y x

y   



 



     





(9)

• Để hàm sớ y  f x m ,  nghi ̣ch biến  ;   

'( ) 0

' 0 ; ;

'( ) 0 y

y x

y   



 



     

 

Dạng 3: Nếu y' f x'( )ax2 bx c y' f x'( ) hàm khác, mà ta cần

' '( )

y  f x  hay y' f x'( )0 khoảng  a b, đoạn a b,  (hoặc nửa đoạn hay nửa khoảng đó) Thì ta làm theo bước sau:

• Bước 1: Tìm miền xác định y' f x'( )

• Bước 2: Độc lập (tách) m (hay biểu thức chứa m) khỏi biến x chuyển m vế Đặt vế lại g x( ) Lưu ý chuyển vế thành phân thức phải để ý điều kiện xác ̣nh của biểu thức để xét dấu g x'( ) ta đưa vào bảng xét dấu g x'( )

• Bước 3: Tính g x'( ) Cho g x '( ) tìm nghiệm • Bước 4: Lập bảng biến thiên g x'( )

• Bước 5: Kết luận: “Lớn số lớn – Bé số bé” Nghĩa là:

+ ta đặt mg x  dựa vào bảng biến thiên ta lấy giá trị m  số lớn bảng biến thiên + ta đặt mg x  dựa vào bảng biến thiên ta lấy giá trị m  số nhỏ bảng biến thiên

Dạng 4: Tìm m để hàm số y ax3 bx2 cxd có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) l Ta giải sau:

• Bước 1: Tính y' f x'( )

• Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến nghịch biến:  

0 1 0 a    



• Bước 3: Biến đổi x1 x2 l thành x1x22 4 x x1 2 l2  2 • Bước 4: Sử dụng định lý Viét đưa (2) thành phương trình theo m • Bước 5: Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm III Một số lưu ý giải tốn

• Lưu ý 1: Cần sử dụng thành tha ̣o ̣nh lı́ Viét và so sánh nghiê ̣m của phương trı̀nh bâ ̣c hai với sớ β

• Lưu ý 2: Ta dùng dạng toán loại để giải toán tìm tham số mcủa bất phương trình tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, vơ nghiệm 1, 2, …n nghiệm, …

Bài Tìm tham sốmđể hàm số:

a/ y x3 3x2 3(m2)x 3m1 đồng biến  b/ y x3 2m1x2  2 m x 2 đồng biến 

c/ y x3 m3x2 2mx 2 đồng biến tâ ̣p xác ̣nh của nó d/ y   x3 3x2 3m2 1x 3m21 giảm

e/ 13   3  2 3

y  m x  m x  m x  tăng  f/ y  13m2 1x3 m 1x2 3x 5 đồng biến 

Đáp số: a/ m  1 b/ 1 5

4 m

   c/ m  6 3;63 3

 

d/ m 0 e/ 3 1

2 m

    f/ m     ; 1 2; Bài Tìm tham sớmđể hàm số:

a/ y mx 3 2m x m

  

(10)

b/ 2 1 mx y

x m  

  đồng biến từng khoảng xác ̣nh của nó c/ y 2mx 1

x m  

 nghi ̣ch biến từng khoảng xác ̣nh của nó

d/  

2

2 2 3 1

1

x m x m

y

x

    



 nghịch biến từng khoảng xác ̣nh của nó

Đáp số: a/  3 m 1 b/  1 m 2 c/ 1 1

2 m 2

   d/ 1

2 m  Bài Tìm tham sớmđể hàm số:

a/ y x3 2mx2 m1x 1 đồng biến đoạn 0;2 b/ y x3 3x2 m1x 4m nghi ̣ch biến khoảng 1;1 c/ y x3 3x2 mx4 đồng biến khoảng 0;

d/ 2 1

3

y  x mx  m x m nghi ̣ch biến khoảng 2;0 e/ y mx 4

x m  

 nghi ̣ch biến khoảng;1 f/

2 6 2 2

mx x

y

x

 



 nghi ̣ch biến nửa khoảng 1;  g/ y  x mcosx đồng biến trên

Đáp số: a/ m  1 b/ m  10 c/ m 0 d/ 1

2 m 

e/ 2 3 2 m

   f/  2 m 1 g/ 14

5

m   h/  1 m1 Bài Tìm tham sớmđể hàm số:

a/ y x3m1x22m23m2x 2m2 m đồng biến nửa khoảng 2;  b/ ( 1). ( 4 3).

3 2

m x m m x m x

y= + + + + + − đồng biến nửa khoảng 1;  c/ ( 1). .( 2). 7

3

1 − + + + +

= x m x m m x

y đồng biến đoạn 4;9

d/ y=x3 −mx2 −(2m2 −7m+7).x+2(m−1).(2m−3) đồng biến nửa khoảng 2;  Bài Tìm giá trị thực mđể hàm số:

a/ y x3 3x2 mx m giảm đoạn có độ dài b/ y   x3 x2  2 m x 1 tăng đoa ̣n có độ dài bằng Đáp số: a/ 9

4

m  b/ 14

3 m 

DẠNG

Ứng dụng tính đơn điệu chứng minh bất đẳng thức

• Bước 1: Chuyển bất đẳng thức dạngf x( )0 hay   , ,  Xét hàm số y  f x( ) tập xác định

do đề định miềm xác định toán mà ta phải tı̀m

• Bước 2: Xét dấu y' f x'( ) Suy hàm số đồng biến (hay nghịch biến) • Bước 3: Dựa vào định nghĩa đồng biến (hay nghịch biến) để kết luận Tức là:

(11)

+ Hàm số y  f x( ) nghịch biến K  x x1, 2 K x1 x2  f x( )1  f x( )2

2 Một số lưu ý giải toán

• Lưu ý 1: Trong trường hợp ta chưa xét dấu củaf x'( )thì ta đặt h x( ) f x'( ) quay lại tiếp tục xét dấu h x'( )… xét dấu thơi

• Lưu ý 2: Nếu bất đẳng thức có hai biến ta đưa bất đẳng thức dạngf a( )f b( ) Xét tính đơn điệu hàm sốf x( )trong khoảng a b,

Bài Chứng minh a/ sin , 0,

2 x    x x  

  b/ tanx x,  x 0; 2  c/ tan sin , 0;

2

x  x x   d/ ,

sin 0;

3! 2

x

x  x  x  

 

e/ tan sin , 0;

x  x  x x   f/ ,

tan 0;

3 2

x

x  x  x   Bài Chứng minh

a 2sin 1tan , 0;

3 x x x x

   

     b ,

3

sin

6 120

x x

x  x   x

c sinx 2x,  x 0; 2  d sin1 12, 0; 

x x

x   x   

e 12 12 42, 0;

sin x x x

 

  

      f

2

1

1 1 ,

2

x

x x x x

       

g x 1, x 1;  x

     h 28/  

2

sin , 0;

2 x

x  x x 



  

    

DẠNG

Ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình – bất phương trình có chứa tham số m

Bài toán 1. Tı̀m m để phương trı̀nh f x;m 0 có nghiê ̣m D ?

• Bước 1 Đô ̣c lâ ̣p (tách) m khỏi biến số x và đưa về da ̣ng f x A m 

• Bước 2 Lâ ̣p bảng biến thiên của hàm số f x  D

• Bước 3 Dựa vào bảng biến thiên xác ̣nh giá tri ̣ của tham số m để đường thẳng yA m  nằm ngang cắt đồ thi ̣ hàm số y f x 

• Bước 4 Kết luâ ̣n những giá tri ̣ cần tı̀m của m để phương trı̀nh f x A m  có nghiê ̣m D Lưu ý:

+ Nếu hàm số y f x  có GTLN và GTNN D thı̀ giá tri ̣ m cần tı̀m là những m thỏa mãn:

     

D D

min f x A m max f x

+ Nếu bài toán yêu cầu tı̀m tı̀m tham số để phương trı̀nh có k nghiê ̣m phân biê ̣t, ta chı̉ cần dựa vào bảng biến thiên để xác ̣nh cho đường thẳng yA m  nằm ngang cắt đồ thi ̣ hàm số yf x  ta ̣i k điểm phân biê ̣t

Bài toán 2. Tı̀m m để bất phương trı̀nh f x;m 0 hoă ̣c f x;m 0 có nghiê ̣m D ?

• Bước 1. Đơ ̣c lâ ̣p (tách) m khỏi biến số x và đưa về da ̣ng f x A m  hoă ̣c f x A m 

(12)

• Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên xác ̣nh giá tri ̣ của tham số m để bất phương trı̀nh có nghiê ̣m:

+ Với bất phương trı̀nh f x A m  đó là những m cho tồn ta ̣i phần đồ thi ̣ nằm đường thẳng yA m ,  tức là    

D

A m max f x    

D

khi max f x 

+ Với bất phương trı̀nh f x A m  đó là những m cho tồn ta ̣i phần đồ thi ̣ nằm dưới đường thẳng yA m ,  tức là    

D

A m min f x    

D

khi f x 

Bài toán 3. Tı̀m tham số m để bất phương trı̀nh f x A m  hoă ̣c f x A m  nghiê ̣m đúng  x D ? + Bất phương trı̀nh f x A m  nghiê ̣m đúng    

D

x D min f x A m

   

+ Bất phương trı̀nh f x A m  nghiê ̣m đúng     D

x D max f x A m

   

Lưu ý:

+ Các bài toán liên quan ̣ phương trı̀nh, ̣ bất phương trı̀nh  ta cần biến đổi chuyển về các phương trı̀nh và bất phương trı̀nh

+ Khi đổi biến, cần quan tâm đến điều kiê ̣n của biến mới

LOẠI

Ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình có chứa tham số m Bài Tìm tham số thựcmđể phương trình:

a/ x  3x2  1 m có nghiệm thực

b/ m x2   2 x m có đúng nghiê ̣m thực phân biê ̣t

c/ x24x  5 x2 4x m có nghiê ̣m thực đoa ̣n 2;3

Đáp số: a/ 3 1

2 6

m   b/  2m 2. c/ m  1 Bài Tìm tham số thực mđể phương trình:

a/ x2+mx+ =2 2x+1 có hai nghiệm phân biệt b/ x+ 9− = − +x x2 9x+m có nghiệm c/ 3 x− +1 m x+ =1 24 x2−1 có nghiệm d/ 6− +x x+ =3 mx có nghiệm

Đáp số: a/ 9

2

m≥ b/ 9 10

4 m

− ≤ ≤ c/ 1 1

3 m

− < ≤ d/

1 1 2 m

m ≤ −    ≥  Bài Tìm tham số thực mđể phương trình:

a/ 3+x+ 6−x− (3+x)(6−x)=m có nghiệm b/ x2 +x+1− x2 −x+1=m có nghiệm

LOẠI

Ứng dụng tính đơn điệu để giải bất phương trình có chứa tham số

Bài Tìm m để bất phương trình 4x− +2 4− <x m có nghiệm Đáp số: m> 14

(13)

Đáp số:

m≤ +

Bài Tìm m để bất phương trình (4+x)(6−x)≤x2−2x+m (1) nghiệm với x∈ −[ 4; 6] Đáp số: m≥6

Bài Tìm m để bất phương trình m 2x2+ < +9 x m có nghiệm với x

Đáp số: 3

4 m< −

BÀI

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Cơ sở lý thuyết

1 Khái niệm cực trị hàm số:Giả sử hàm sốy  f x( )xác định tậpD D vàx o D

+ xo điểm cực đại hàm số y  f x( )  a b, D xo  a b, cho f x( )f x o ,    ; \ o

x a b x

  Khi đó: f x o gọi giá trị cực đại y  f x( )

+ xo điểm cực tiểu hàm số y  f x( ) nếu a b, D xo  a b, cho f x   f xo ,    ; \ o

x a b x

  Khi đó: f x o gọi giá trị cực tiểu y  f x( )

+ Nếu xo điểm cực trị hàm số y  f x( ) điểm x f xo; ( )o  gọi điểm cực trị đồ thị hàm

số y  f x( )

2 Điều kiện cần để hàm số có cực trị (Đi ̣nh lý Ferman)

Nếu hàm số y  f x( ) có đạo hàm xo đạt cực trị điểm f x ' o 0 Nghĩa hàm số

( )

y  f x đạt cực trị điểm mà đạo hàm khơng có đạo hàm 3 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

a Định lý 1: Giả sử hàm số y  f x( ) liên tục khoảng  a b; xovà có đạo hàm a b, \  xo

+ Nếu f x'( ) đổi dấu từ âm sang dương x qua xo y f x( )đạt cực tiểu xo + Nếu f x'( ) đổi dấu từ dương sang âm x qua xo y f x( )đạt cực đại xo x a xo b

'( )

f x – +

( )

y  f x f(a) f(b) cực tiểu f(xo)

x a xo b '( )

f x + –

( )

y  f x f(x cực đa ̣i o) f(a) f(b)

b Định lý 2: Giả sử hàm số y  f x( )có đạo hàm a b; xo; f x ' o 0 f x '' o 0

+ Nếu f x '' o 0 y  f x( ) đạt cực đại xo

(14)

DẠNG

TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

1.Phương pháp giải

 Qui tắc 1: Dùng định lý

• Bước 1: Tìm miền xác định Tính y' f x'( )

• Bước 2: Tìm các điểm x ii 1,2, ,n ta ̣i đó y' f x'( )0 hoă ̣c y' f x'( )khơng xác ̣nh • Bước 3: Xét dấu f x'( ), từ đó suy điểm cực tri ̣ dựa vào ̣nh lý

 Qui tắc 2: Dùng định lý

• Bước 1: Tìm miền xác định Tính y' f x'( )

• Bước 2: Tìm các điểm x ii 1,2, ,n ta ̣i đó y' f x'( )0 hoă ̣c y' f x'( ) khơng xác ̣nh • Bước 3: Xét dấu f x''( ) f x''( )i

- Nếu f x ''( )i hàm số đạt cực đại xi

- Nếu f x ''( )i hàm số đạt cực tiểu xi

2 Một số lưu ý giải toán

 Có qui tắc tı̀m cực tri ̣ dựa vào ̣nh lı́ (qui tắc 1) và ̣nh lı́ (qui tắc 2): • Nếu viê ̣c xét dấu của đa ̣o hàm bâ ̣c nhất dễ dàng, thı̀ nên dùng qui tắc

• Nếu viê ̣c xét dấu ấy khó khăn (vı́ dụ bài toán mà hàm số đã cho có da ̣ng lượng giác, hoă ̣c bài toán có chứa tham số), thı̀ nên dùng qui tắc

 Nếu y' không đổi dấu qua nghiệm (nghiê ̣m kép) hàm số khơng có cực trị

 Đối với hàm bậc y ' có nghiệm phân biệt điều kiện cần đủ để hàm có cực trị

 Không cần xét hàm số y  f x( ) có hay không có đa ̣o hàm ta ̣i điểm x xo không thể bỏ qua điều kiê ̣n “hàm số liên tục tại điểm xo”

 Hàm số đa ̣t cực tri ̣ ta ̣i '( ) 0 ''( ) 0

o o

o

y x x

y x

 



  



 Đối với hàm số thức ta không xét dấu bậc 1, bậc chọn điểm để xét dấu Bài Tìm cực tri ̣ của các hàm số sau:

a/ y x3 3x2 3x 5 b/ y x3 3x2 9x 4 c/ 2 5 2

3 2

y   x  x  x d/ 4 6 9 1

3

y  x  x  x e/ y   x4 6x2 8x 1 f/ y x4 2x23 Đáp số:a/ Hàm số khơng có cực trị b/ yCÐ y  3 31; yCT y 1  1 c/  2 2

3

CÐ

y y  ; 11

2

CT

y y     

  d/ hàm số không có cực tri ̣

e/ yCD y  2 25; Hàm số khơng có cực tiểu f/ yCÐ y 0  3; yCT y 1 y   1 4 Bài Tìm cực tri ̣ của các hàm số sau:

a/ 3 2 1

x y

x  

 b/

3 1

1 x y

x  

 c/

2 2 1

x x

y

x

  



 d/

2 8 9

x x

y

x

 



 Đáp số: a/ Hàm số không có cực tri ̣ b/ Hàm số không có cực tri ̣

c/ yCÐ y 1 0; yCT y  5 12 d/ Hàm số không có cực tri ̣ Bài Tìm cực tri ̣ của các hàm sớ:

(15)

a/ yCÐ y 2 2; yCT y 0 0 b/ yCT y  2  2; yCÐ y 2 2 c/ Hàm số không có cực đa ̣i d/ yCT y 2 2 3 21.Hàm số không có điểm cực đa ̣i e/ yCÐ y  1 1; yCT y 0 0 f/ yCÐ y 0 0 ; yCT y 1  2

Bài Tìm cực tri ̣ của các hàm sớ:

a/ y sin 2x x b/ y 2 sin 2x 3

c/ y  3 cosx cos 2x d/ cos sin 0;

2 y  x x trên  

 

Đáp số:

a/ 1

6 2 6

CÐ

y y k  k

   

1

6 2 6

CT

y y  k    k

 

b/

4

CÐ

y y k 

  yCT y 2k 12

 

 

 

     

 

c/ 2

3

CÐ

y y  k 

 yCT y k  2 cos  k

d/ Hàm số đa ̣t cực đa ̣i ta ̣ix  ;  

412 3

y   với sin 1 3  

DẠNG

TÌM THAM SỐ m ĐỂ HÀM SỐ CĨ CỰC TRỊ TẠI x0

Bài tốn 1: Cho hàm số y  f x m( , ) Tìm tham số mđể hàm số đạt cực trị điểm x x0

Phương pháp giải

+ Tìm tập xác định + Tính y' f x m'( , )

+ Để hàm số đa ̣t cực trị ta ̣i x x0 thì: f x m'( , )0  0 m

Bài toán 2: Cho hàm số y  f x m( , ) Tìm tham số mđể hàm số đạt cực đại điểm x x0

+ Tìm tập xác định

+ Tính y' f x m y'( , ); '' f x m''( , )

+ Để hàm số đa ̣t cực đại ta ̣i x x0 thì:    00 

' , 0

'' , 0

f x m

m f x m

 

 

 



Bài toán 3: Cho hàm số y  f x m( , ) Tìm tham số mđể hàm số đạt cực tiểu điểm x x0

+ Tìm tập xác định

+ Tính y' f x m y'( , ); '' f x m''( , )

+ Để hàm số đa ̣t cực tiểu ta ̣i x x0 thì:    00 

' ,

'' ,

f x m

m f x m

 

 

 

 Bài Tìm tham sớ để hàm số:

(16)

d/ y mx3 3x2 12x 2 đa ̣t cực đa ̣i ta ̣i điểm x 2 e/

2 1

x mx y

x m

 



 đa ̣t cực đa ̣i ta ̣i x 2

Đáp số a/ m 3 b/ m  2 c/ m 1 d/ m  2 e/ m  3 Bài Tìm tham sớ mđể hàm sớ:

a/  1

3

y  x mx  m m x  đa ̣t cực tri ̣ ta ̣i x 1 Khi đó hàm số đa ̣t cực đa ̣i hay cực tiểu Tı̀m cực tri ̣ tương ứng

b/ y   x3 mx24 để hàm số nhâ ̣n điểm M2;0 làm điểm cực đa ̣i c/ y 2m2 3 sin x 2 sin 2m x 3m1 đa ̣t cực tiểu ta ̣i

3 x  

Đáp số a/ m 2 b/ m 3 c/ m 1

Bài Tìm tham sớ a b, để hàm số: a/

4

x

y  ax b có cực tri ̣ ta ̣i x  1 và giá tri ̣ cực tri ̣ tương ứng của hàm số bằng 2 b/ 2

3

y  a x  ax  x b có giá tri ̣ cực tri ̣ là những số dương và

o

x   là điểm cực đa ̣i

Đáp số:a/ 1; 9

2 4

a   b  b/ 9 ; 128

25 27

a   b   hoă ̣c 9; 140

5 27

a  b   Bài Tìm giá tri ̣ của tham số để hàm số :

a/ y x3 mx2 m1x 1 có cực tri ̣ ta ̣i x 2 Khi đó hàm số đa ̣t cực đa ̣i hay cực tiểu ? Tı́nh giá tri ̣ cực tri ̣ tương ứng

b/ y 2x3  4 2m x m5x 4 có cực tri ̣ x 0 Khi đó hàm số đa ̣t cực đa ̣i hay cực tiểu Tı́nh giá tri ̣ cực tri ̣ tương ứng

c/

2 2 2

1

x mx

y

x

 



 có điểm cực tri ̣ x  2 Khi đó hàm số đa ̣t giá tri ̣ cực tiểu hay cực đa ̣i Tı́nh giá tri ̣ cực tri ̣ tương ứng

d/ 2

3

y x mx m x  đa ̣t cực tri ̣ ta ̣i x 1 Khi đó, nó là điểm cực đa ̣i hay cực tiểu, tı́nh giá tri ̣ cực tri ̣ còn la ̣i (nếu có)

Bài Tìm giá tri ̣ của tham số a b; để hàm số : a/ 2 

4

y  x  a b x  a b đa ̣t giá tri ̣ cực đa ̣i bằng ta ̣i x 1 b/ y   x4 a 3b x 3ab đa ̣t giá tri ̣ cực tiểu bằng ta ̣i x 0 c/ 3  2

4

y  x  a b x  a b có giá tri ̣ cực tri ̣ bằng x 0 Khi đó hàm số đa ̣t cực tiểu hay cực đa ̣i

d/

2

ax bx ab y

bx a

 



 đạt cực trị x 0 x 4 e/

2

ax x b

y

x

 



 đạt cực đại x 1 d/

2

x ax b

y

x

 



 để hàm số đạt cực trị –6 x  1 Bài Tìm giá tri ̣ của tham số a b c; ; để hàm số :

(17)

c/ y ax4 bx2 c để đồ thị qua gốc tọa độ O đạt cực trị 9 x  Bài Tìm giá tri ̣ của tham số a b c d; ; ; để hàm số :

a/ y ax3 bx2 cx d đa ̣t cực tiểu ta ̣i điểm x 0, 0f 0 và đa ̣t cực đa ̣i ta ̣i x 1, có giá tri ̣ cực

đa ̣i bằng

b/ y ax3 bx2 cx d đạt cực tiểu x 0 đạt cực đại 27

1

x 

DẠNG

BIỆN LUẬN HOÀNH ĐỘ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Hàm số y  f x( ) có n cực tri ̣ ⇔ y’ = có n nghiê ̣m phân biê ̣t

Mô ̣t số lưu ý giải toán

• Lưu ý 1: Hồnh độ cực trị thường nghiệm phương trình bậc Do đó, ta cần phải nắm vững kiến thức phương trình bậc như: Định lý Viét, so sánh nghiệm phương trình bậc với số β bất kỳ, điều kiện có nghiệm phương trình, … đồng thời, nó liên quan đến một số tı́nh chất của hı̀nh học phẳng

• Lưu ý 2: Hàm số bâ ̣c ba y ax3 bx2 cx d và hàm hữu tı̉

2

ax bx c y

dx e

 



 có cực đa ̣i và cực tiểu (2 cực tri ̣) y'0 có hai nghiê ̣m phân biê ̣t

0 0 a     



• Lưu ý 3: Để A B thuộc hai nhánh đồ thị dạng y ax b cx d  



2

ax bx c

y

ex d

 



 điểm A và B phải nằm hai phía so với đường tiệm cận đứng tương ứng đồ thị

• Lưu ý 4:Cực trị củahàm bâ ̣c bốn : yax4 bx3 cx2 d

y

A

B

x

O

A

– d/c B

y

x

O

y

x

O

x1 x2

A B

A

B

d

I (C):

2

ax bx c

y

ex d

 





(C): y ax b cx d

 

 TCĐ: x = – d/c

TCN: y = – a/c

(18)

+ Ta có:

   

3

2

' '

4 2

x

y ax bx cx y

ax bx c g x

 



      

   



+ Hàm số có cực trị (2) có hai nghiệm phân biệt khác    2

0

0 0

g     

 

Khi đó: Hàm số có cực tiểu, cực đại a 0 Hàm số có cực đại, cực tiểu a 0

+ Hàm số có cực trị (2) có nghiệm kép vơ nghiệm có nghiệm

x 

 

0

g   

  



Khi đó: Hàm có cực tiểu a  0 (nghı̃a là có cực tiểu mà không có cực đa ̣i) Hàm số có cực đại a 0 (nghı̃a là có cực đa ̣i mà không có cực tiểu)

Loại

Tìm giá trị tham số m để hàm số n cực trị , khơng có cực trị Hàm bâ ̣c 3

 

3 0

y ax bx cx d a 

Hàm bâ ̣c 3: yax3 bx2 cx d a 0   * Phương pháp giải:

- Ta có: y'3ax2 2bx  c y' 0 3ax2 2bx  c 0  1 + Hàm số  * có cực trị ⇔  1 có hai nghiệm phân biệt

 

0 0 a       + Hàm số  * khơng có cực trị ⇔  1 có nghiệm kép vơ nghiệm

 

0 0 a       Bài Tìm giá trị tham số m để hàm số có cực trị

a/ y x33mx2 (m2)x 3m4 b/ y   x3 m1x23x

c/ y m2x3 3x2 mx5 d/ 3 3  2

m

y   x  m x  x

e/ (2 3)

3

y  x mx  m x  f/ y 4m x 2m8x2  x 3

Bài Tìm giá trị tham số m để hàm số có cực trị

a/ y x3 m2x2 m2x 3 b/ y 2x3(m2)x2  (6 )m x  m 1 c/ y x33(m1)x2(2m23m2)x m m  1 d/ y 1 m x m2x2m1x m 2 e/ y    x3 3 m x  9 3m x 2m f/ 3 3  2

3 m

y    x  m x  x Bài Tìm giá trị tham số m để hàm số khơng có cực trị

a/ y x3 3mx2 3mx 3m4 b/ y x3 m1x2 3x 2 c/ y 4m x 2m8x2  x 3 d/ y x3 2m1x2 3x 2 Bài Chứng minh rằng hàm số:

a/

3

(19)

b/ y 2x33 2 m1x2 6m m 1x 1 đa ̣t cực tri ̣ ta ̣i x x1, 2 với mọi giá tri ̣ mvà biểu thức

x x không phụ thuô ̣c vào m

Hàm bâ ̣c trùng phương

 

4 0

y ax bx c a 

Hàm bâ ̣c trùng phương : y ax4 bx2 c a 0  * Phương pháp giải:

• Ta có:  

   

3

2

0

' 4 '

4

x

y ax bx x ax b y

ax b g x

 



       

  



• Hàm số  * có cực trị ⇔  1 có hai nghiệm phân biệt khác  

 

0 0

0 g

 



    Khi đó: Hàm số có cực tiểu, cực đại a 0

Hàm số có cực đại, cực tiểu a 0

• Hàm số có cực trị  1 có nghiệm kép vơ nghiệm có nghiệm x 0  

   

1 0 0 . 0

0

0 0

a b b g

g

     

  

      

  



Khi đó: Hàm số có cực tiểu a  0 (nghı̃a là có cực tiểu mà không có cực đa ̣i) Hàm sớ có cực đại a 0 (nghı̃a là có cực đa ̣i mà không có cực tiểu)

Chú ý:Hàm bâ ̣c trùng phương:

• Ln có cực trị

• Nếu có cực trị cực trị ln tạo thành tam giác cân đỉnh thuộc trục oy

a/ y x4 2m4x22m5 b/ y x4 2m1x21 c/ y x4 m24x2 3 d/ y mx4 m29x2 10 Bài Tìm giá trị tham số m để hàm số có cực trị

a/ y x4 2m1x21 b/ y mx4 (m1)x2 1 2m c/ y x4mx2 4x m d/ 1 1 2

4

y  x  m x m m

a/ y 2x4 8mx3 8m1x2 b/ y x4 m1x2 2

c/ y x42mx2 2m1 d/ y m2x4 2mx2  m 1 Bài Chứng minh hàm số ln có cực đại cực tiểu  m D

a/  3

y   x mx  m x m b/ 2 1  3

y   x  m x  m m x 

c/ y x3 m2x2 m2x 3 d/ y x3 3mx2 3m21xm3

Hàm phân thức

2

( ) ax bx c

y f x

dx e

 

 



Hàm phân thức:

2

( ) ax bx c

y f x

dx e

 

 

(20)

• Ta có:       2 0

. 2

' '( ) '( ) 0

. 2 0 1

dx e ad x ae x bc dc

y f x f x

ad x ae x bc dc g x dx e                     

• Hàm số  * có cực trị ⇔  1 có hai nghiệm phân biệt khác x e

d     0 0 e g d                     

• Hàm số  * khơng có cực trị ⇔  1 có nghiệm kép vơ nghiệm

  0 0 ad       Bài Tìm giá trị tham số m để hàm số có cực trị

a/

2 1

1

x x m

y

x

  



 b/

 

2 2 1

2

mx m x

y

x

  



 c/  

2 1 2

1

x m x m

y x       d/ 2 x mx y mx     Bài Tìm giá trị tham số m để hàm số có cực trị

a/  

2 1 4 2

1

x m x m m

y

x

    



 b/

2 1

x x m

y x     c/ 2 x mx y x     d/  

2 1

1

x m x m

y

x

  



 Bài Tìm giá trị tham số m để hàm số khơng có cực trị

a/

2 2 3

x mx y x m     b/ 5 x mx y x      c/  

2 1 4 2

1

x m x m m

y

x

    



 Bài Chứng minh hàm số ln có cực đại cực tiểu  m D

a/  

2 1 1

x m m x m

y x m       b/  

2 1 1

x m m x m

y x m       c/

2 1

1

x x m

y

x

  



 d/

2 2

1 x mx m y x m       Loại

Tìm giá trị tham số m để hàm số có n cực trị thỏa điều kiện cho trước (sử dụng định lí Viét)

Hàm bâ ̣c

 

3 0

y ax bx cxd a 

Cách viết phương trı̀nh đường thẳng nối hai điểm cực tri ̣ hàm bâ ̣c ba:

 

y  f x ax bx cx d

• Bước 1: Tìm điều kiện để có cực trị là: y ' 0 có nghiệm phân biệt Khi đó, giả sử x y1, 1, x y2, 2 là các điểm cực tri ̣

• Bước 2: Chia f x( ) cho f x'( ) ta được: f x( )Q x f x( ) '( )Ax B

• Bước 3: Vì x y1, 1, x y2, 2 là các điểm cực tri ̣ nên:

   

1 1

2 2

( ) '( ) ( ) '( )

y f x Q x f x Ax B y f x Q x f x Ax B

    



    

(21)

Mặt khác: '( ) 0 '( ) 0 f x f x

 



 



   

1 1

2 2

y f x Ax B

   

   

 



⇒ Các điểm x y1, 1, x y2, 2 nằm đường thẳng y Ax B là đường thẳng nối hai điểm cực tri ̣

của hàm số bậc ba y  f x ax3 bx2 cx d

Bài Hãy viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị hàm số sau

a/ y x3 3x2 6x 8 b/ y 2x3 3x212x 10

Bài Tìm tham số m để hàm số sau có cực trị Hãy viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị hàm số sau:

a/ y x33mx2 3(m2 1)x m3

b/ y x3 3m1x2 (2m23m2)x m m 1

Bài Cho hàm số: y x32m1x2 m24m1x2m2 1 Tı̀m m để hàm số đa ̣t cực tri ̣ ta ̣i hai điểm x x1, cho:  2

1

1 1 1

2 x x

x x   Đáp số: m 1 m 5

Bài Cho hàm số:  1 3 2

3

y  mx  m x  m x  Tı̀m m để đồ thi ̣ hàm số có điểm cực tri ̣ 1;

x x , đồng thời hai điểm cực tri ̣ này thỏa: x12x2 1

Đáp số: 2

3

m  m 2

Bài Cho hàm số: 2 1

y  x mx  m x  Tı̀m m để đồ thi ̣ của hàm số có hai cực tri ̣ đều dương

Đáp số: 11

2 m m      

Bài Tìm m để đờ thi ̣ của hàm số y   x3 3m1x23m27m1x m21 có điểm cực tiểu ta ̣i mô ̣t điểm có hoành độ nhỏ

Đáp số: m 1

Bài Tìm mđể đờ thi ̣ hàm sớ y x3 3x2 2  C có điểm cực đa ̣i và điểm cực tiểu của đồ thi ̣  C nằm về hai phı́a khác của một đường tròn (phı́a đường tròn và phı́a ngoài đường tròn):

 : 2 2 4 5 1 0

m

C x y  mx my  m  

Đáp số: 3 1

5 m

Bài Tìmmđể đờ thi ̣ hàm số Cm :y2x3 mx2 12x 13 có cực đa ̣i và cực tiểu, đồng thời các điểm này cách đều trục tungOy

Đáp số: m 0

Bài Tìmmđể đờ thi ̣ hàm sớ y x33x2 m x2 m có cực đa ̣i và cực tiểu, đồng thời các điểm cực đa ̣i và cực tiểu đối xứng qua đường thẳng:x2y 5 0

Đáp số: m 0

Bài 10 Tìm tham sớmđể hàm sớ y x3 2m1x2 m2 3m2x 4

có hai điểm cực đa ̣i và cực tiểu nằm về hai phı́a so với trục tung

Đáp số: 1m2

Bài 11 Cho hàm số 1

(22)

Đáp số: m 0

Bài 12 Tìm giá tri ̣ của tham sớ m để hàm số:

a/ y x3 3mx2 7x 3 có đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu vng góc với đường thẳng

3

y  x 

b/ y x3 3x2 m x2 m có điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng

1

2

y  x 

c/ y x3 3m1x2 6(m2)x 1 có đường thẳng qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y  4x 1

d/ y x3 3m1x2 6(m2)x có điểm cực đại cực tiểu đồ thị nằm đường thẳng

y   x

Bài 13 Tìm tham số m để hàm số thỏa yêu cầu toán

a/ Cho hàm số y x33mx2m21x1 Tìm m để hàm số có cực trị thỏa:   2

1 2

2 x x x x b/ Cho hàm số y 2x3 3 2 m1x2 6 (m m1)x 1 Tìm m để hàm số ln đạt cực trị

1; x x với x2x1 không phụ thuộc vào m

c/ Cho hàm số  1 3 2

3

y  mx  m x  m x  Tìm tham số m để hàm số có cực trị thỏa: 2

x  x 

d/ Cho hàm số 1

y  mx mx mx Tìm m để hàm số có cực trị thỏa: x1x2 8

e/ Cho hàm số y (x m x) 23x  m 1 Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu thỏa:

. 1

CÐ CT

x x 

f/ Cho hàm số y x33 1 m x 29x m Tìm m để hàm số có cực trị, đồng thời hai hồnh độ cực trị thỏa mãn: x1x2 2

Bài 14 Tìm tham số m để hàm số thỏa yêu cầu toán a/ Cho hàm số 13 1 2  1

3

y  mx  m x  m m x Tìm m để hàm số có cực tri ̣ thỏa:

1 3

x x 

b/ Cho hàm số  1

3

m

y  mx mx  m  x  Tìm m để hàm số có cực trị thỏa:

 

2

1 1. 5 12 x x x  

c/ Cho hàm số y 2x3 9mx2 12m x2 1 Tìm m để hàm số có cực trị, đồng thời hồnh độ cực trị thỏa:

CÐ CT

x x

Bài 15 Tìm tham số m để hàm số thỏa yêu cầu toán a/ Cho hàm số . ( 1) ( 2) 5

3 m

y  x  m x  m x  Tìm m để hàm số có cực trị, đồng thời điểm cực trị nằm hai phía so với trục hồnh Ox

b/ Cho hàm số  1 3 1

m

y    x mx  m Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu, đồng thời hai điểm nằm hai phía so với trục tung Oy

c/ Cho hàm số y x32x2 mx1 Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị, đồng thời điểm cực trị nằm hai bên (khác phía nhau) so với đường thẳng x 3

(23)

b/ Cho hàm số y mx33mx2m1x4 Tìm m để hàm số có điểm cực tiểu điểm có hồnh độ âm

a/ Cho hàm số y x3mx2 x 5m1 Tìm m để hàm số có cực trị khoảng cách điểm cực trị bé

b/ Cho hàm số y  x3 mx24 Tìm m để hàm số có cực trị A B thỏa: 900 729

m

AB 

c/ Cho hàm số 1

y  x mx   x m Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu, đồng thời khoảng cách hai điểm ngắn

Bài 18 Tìm tham số m để hàm số thỏa yêu cầu toán a/ Cho hàm số 3 1 4 2

3

y   x  m x  x  Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị A, B cho diện tích tam giác MAB với M(0;1)

b/ Cho hàm số  1

y  x x  m x m Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị A, B cho tam giác ABO vuông cân với O gốc tọa độ

c/ Cho hàm số 3 2 m

y   x x Tìm m để hàm số có cực đại A, cực tiểu B tạo với C(–2; 3) thành tam giác ABC

d/ Cho hàm số yx33mx2 4m3 Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu đối xứng qua đường phân giác thứ

Hàm bâ ̣c trùng phương

 

4 0

y ax bx c a  • Ln có cực trị

• Nếu có cực trị cực trị ln tạo thành tam giác cân đỉnh thuộc trục oy.

Bài Cho hàm số y 3x4mx22 Tìm tham số m để hàm số có cực đại A(0;–2) đạt cực tiểu hai điểm B; C cho: 6 

C B

x x  m m

Đáp số: m 1

Bài Cho hàm số y x4 2m x2 1 Tı̀m tham sốmđể hàm số có cực tri ̣, đồng thời điểm cực tri ̣ này là đı̉nh của một tam giác vuông cân

Đáp số: m  1

Bài Cho hàm số y x42mx 2mm4 Tı̀m tham sốmđể hàm số có cực tri ̣, đồng thời điểm cực tri ̣ này lâ ̣p thành một tam giác đều

Đáp số: m  33

Bài Cho hàm số y x4 2mx2 m1 Tı̀m tham sốmđể hàm số có cực tri ̣, đồng thời các điểm cực tri ̣ A,B,C của đồ thi ̣ ta ̣o thành một tam giác có bán kı́nh đường tròn ngoa ̣i tiếp bằng

Đáp số:

1

5 1

2 m

m   

 

   

Bài Tìm tham số m để hàm số thỏa yêu cầu toán

a/ Cho hàm số y 3x4mx2 2 Tìm m để hàm số có cực đại A(0; –2) đạt cực tiểu hai điểm B; C cho: x xB. C 2m2 8m10

(24)

Bài Tìm tham số m để hàm số thỏa yêu cầu toán

a/ Cho hàm số y x4mx2 3 Tìm m để hàm số có cực trị điểm lập thành tam giác b/ Cho hàm số yx4mx2  4 m Tìm m để hàm số có điểm cực trị A, B, C tam giác ABC nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm

c/ Cho hàm số y x42m x2 1 Tìm m để hàm số có cực trị A, B, C cho tam giác ABC có diện tích

d/ Cho hàm số y x42mx2  m 1 Tìm m để hàm số có cực trị, đồng thời điểm cực trị A, B, C đồ thị tạo thành tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp

BÀI

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT (GTLN) VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT (GTNN) CỦA HÀM SỐ

1.Định nghĩa: Giả sử hàm sốy  f x xác ̣nh miềnDvới D

     

,

max

:

o o

D

f x M x D

M f x

x D f x M

   



    

 và  

 

,

min

:

o o

D

f x m x D

m f x

x D f x m

   



    



2. Tı́nh chất:

a.Tı́nh chất 1: Nếu hàm sốy  f x đồng biến trêna b, thı̀ :

   

[ , ] [ , ] max

min

a b a b

f x f b f x f a

 

 

 

 

b. Tı́nh chất 2: Nếu hàm sốy  f x nghi ̣ch biến trêna b, thı̀ :

   

[ , ] [ , ] max

min

a b a b

f x f a f x f b

 

 

 

  DẠNG

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT (GTLN) VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT (GTNN) CỦA HÀM SỐ DỰA VÀO ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT

Phương pháp 1: Dùng bảng biến thiên để tı̀m max – Phương pháp này thường dùng cho bài toán tı̀m GTLN GTNN mô ̣t khoảng  a b, hoặc nửa đoạn a b a b, , ,  

•Bước 1: Tính f x' 

•Bước 2: Xét dấuf x' và lập bảng biến thiên • Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận

(25)

•Bước 2: Giải f x '  0tìm nghiệmx ii 1,n đoạna b, (nếu có) • Bước 3: Tính f a f b f x       , , 1 ,f x2 , ,f x n

•Bước 4: So sánh giá trị vừa tính kết luận

            

1

[ , ] [ , ]

max max , , , , ,

min min , , , , ,

n n

a b a b

f x f a f b f x f x f x f x f a f b f x f x f x

 

 

 

 

Chú ý:Có thể dùng bảng biến thiên để tı̀m max – hàm số một đoạn a b, 

2 Một số lưu ý giải toán

• Lưu ý 1: Phương trình f x '  0có thể phương trình mũ, logarit, đại số, lượng giác, … Do đó đó, cần nắm vững kiến thức cách giải phương trình loại

• Lưu ý 2: Đối với hàm lượng giác dạng: 1  

2 2

sin cos

a x b x c

y

a x b x c

 

 

 

Đă ̣t tan sin 2 2; cos 1 22

2 1 1

x t t

t x x

t t

  

 

     

  

 

Thay vào  , ta được hàm hữu tı̉ đa ̣i số da ̣ng:  

2

' ' '

at bt c f t

a t b t c

 



 

• Lưu ý 3: Khi tốn u cầu tìm max – khơng nói tập ta hiểu tı̀m max – tập xác định D hàm số

• Lưu ý 4: Để tìm tham số m n, hàm số f x m n( , , ) với x biến số cho f x m n( , , ) có max ( , , )f x m n a ( , , )f x m n b Ta làm sau:

+ Bước 1: Hàm số cho xác định liên tục D mà đề cho ta tìm - Hàm số có giá trị lớn a

có nghiêm

( , , )

: ( , , )o o

f x m n a

x D f x m n a x

 



  



- Giải tìm điều kiện kết hợp đánh giá hai vế đẳng thức: A B A B A B

 

  

 

 (1)

+ Bước 2: Hàm số có giá trị nhỏ b

có nghiêm

( , , )

: ( , , )o o

f x m n b

x D f x m n b x

 



  



Tương tự ta phương trình (2) + Bước 3: Giải hệ phương trình

    1

,

2 m n

  

 cần tìm

• Lưu ý 5: Ta có thể tı̀m GTLN và GTNN của hàm số bằng cách dùng miền giá tri ̣ (đk có nghiê ̣m) Đặt vấn đề: Tìm max – hàm số y  f x( ) miền D cho trước ?

• Bước 1: Gọi yo giá trị tùy ý f x( )trên D, hệ phương trình (ẩn x) sau có nghiệm:

 

o

f x y x D

 

   

• Bước 2: Tùy theo điều kiện hệ mà ta có điều kiện tương ứng Thông thường điều kiện (sau biến đổi) có dạng: m yo M  3 Vì yo giá trị f x( )nên từ  3 ta suy được: D

D min ( ) max ( )

f x m f x M

 



 

(26)

Loại

TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN KHOẢNG Bài Tìm giá tri ̣ lớn nhất và giá tri ̣ nhỏ nhất (nếu có) của các hàm sớ sau:

a/ y x 4 , x 0 x

   b/ 2 1

1 x y x x    

c/ y x 1,x 0;2

x 

    d/  

2

1 , 0

8 x x y x x     

Đáp số:

a/    

0;

minf x 4 x 2



 

b/ max 1 0 3

xy  x  và

1

min 2

3

xy  x 

c/  



0;2

minf x 0 x 1

 

 

f/

0;  0; 

2 2 1 1 3 2 1

min ( ) ; max ( )

3 6 2 2 2 4 6 2

3

g x x f x x

      

Bài Tìm GTLN và GTNN của các hàm sớ sau

a/ y  1 8x x2 b/ y 4x33x4 c/

2 1 1 x x y x x      d/ 2

4 x y

x 

 e/

2

2 10 3

3 2 1

x x

y

x x

 



  f/

2 1 1 x y x x    

Bài Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau a/ y x 1,x 0

x

   b/ y x2 2,x 0 x

   c/ y x 3x

d/ y  x2 2 e/ 2

200 x y x    f/

2 2 3 y  x  x 

Loại

TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN ĐOẠN Bài Tìm giá tri ̣ lớn nhất và giá tri ̣ nhỏ nhất của các hàm số sau:

a/ y  f x 3x3 x2 7x 1 đoa ̣n0;2 b/ y  f x  2x4 4x2 3trên đoa ̣n0;2

c/  

3 4 1

y x  x đoa ̣n1;1 d/ y f x  x 9 x

   đoa ̣n 2;4

e/  

2 2 x y f x

x

 

 đoa ̣n 5; 3 f/  

3 1

3 x y f x

x 

 

 đoa ̣n0;2 Đáp số:

a/     khi 0;2 0;2

max

min

f x x

                       b/     khi 0;2 0;2

max

min 13

f x x

                       c/ khi 1;1 1;1

max

(27)

d/     2;4 2;4 11 max 2 2

min 6 3

f x x

                      e/     5; 5;

max 8 4

min 9 3

f x x

                              f/    

= =

0;2 0;2

1

max 0 0

3

min 2 5 2

y f x

                       Bài Tìm giá tri ̣ lớn nhất và giá tri ̣ nhỏ nhất của các hàm số sau:

a/ y  f x  x2 3x 2 đoa ̣n10;10 b/ y  x3 3x2 1trên đoa ̣n2;1 Đáp số: a/

     

   

10;10

min 1 2 0

max 10 132

f x f f

f x f                           b/     2;1 2;1 max 19 f x g x                     Bài Tìm giá tri ̣ lớn nhất và giá tri ̣ nhỏ nhất của các hàm số sau:

a/ y  x2 2x 5trên1;3 b/ y    x 1 3x2 6x 9trên1;3 c/ y  x 2x2 trên 2; 2

  d/

2

1 2 2 2 4

y   x  x  x  trên1;2 e/ y x6 x2 4trên 0;3 f/

2 1 x y x  

 1;2  

 

  Đáp số:

a/     1;3 1;3

max 2 2 1; 2

min 2 1

f x x x

f x x

                          b/     1;3 1;3

max 6 2

min 0 1

f x x

                         c/     2; 2;

max 2 1

min 2 2

f x x

                                d/     1;2 1;2

3 6 3 1 6

max 2.

2 2 2

min 0 1

f x x

                             e/ 0;3 0;3

max 3 13 3

min 12 0

y x y x                         f/     1;2 1;2

max 2 1

min 0 1

f x x

                        

Bài Tìm giá tri ̣ lớn nhất và giá tri ̣ nhỏ nhất của các hàm số sau:

a/ y  4x2 b/ y  x 4x2 c/ y  2 x 4x d/ y 3x  10x2 e/ y x 2 4x2 f/ y  32x x2 Đáp số:

a/     2;2 2;2

max 0 2

min 2 0

f x x

                         b/     2;2 2;2

max 2 2 2

min 2 2

f x x

                          c/     2;4 2;4

max 2 3 1

min 6 2; 4

f x x

f x x x

                          d/ 10; 10 10; 10

max 10 3

min 3 10 10

(28)

e/

2;2 2;2

max 3 3 1

min 0 2

y x y x                         f/ 1;3 1;3

max 2 1

min 0 1, 3

y x

y x x

                         Bài Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau

a/ y  x2 4x 3 trên 0;3 b/ y  x23x 2 trên 10;10 Loại

TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài Tìm giá tri ̣ lớn nhất và giá tri ̣ nhỏ nhất của các hàm số sau:

a/ y sin 2x x đoa ̣n ; 2 2  

 

 

 

  b/ y  2 cos 2x 4 sinx đoa ̣n 0;2 

 

 

 

c/ 2 sin 4sin3 0;

3

y  x  x trên   d) 1 1 0;

sin cos 2

y trên x x            Đáp số:

a/

; 2 max 2 2 y x                 

   và

; 2 min 2 2 y x                    

b/

0;

max 2 2

4 y x              

  và

0;

miny 2 x 0

              

c/    

0,

2 2 3

max ,

3 4 4

min 0 0,

f x x x

                           

Bài Tìm giá tri ̣ lớn nhất và giá tri ̣ nhỏ nhất của các hàm số sau:

a/ y 2 sin2x 2 sinx 1 b/ y cos 22 xsin cosx x 4 c/ y cos4x sin2x 2 d/ y sinx 3 sin 2x

e/ 2sin 1

sin sin 1

x y

x x

 

  f/

cos 2 sin 3

2 cos sin 4

x x y x x     

g/

sin cos

y

x x



 h/ y  1sinx  1cosx

Đáp số:

a/     D D 1,1 1,1

max max 3 sin 1 2

2

3 1 6

min min sin

7

2 2 2

6

f t y t x x k

x k

f t y t x

x k                                                                

(29)

b/

   

81 1 1 1

max sin 2 arcsin

16 4 2 4

7

min sin 2 1

2 4 2

f x t x x k



 

  

 

        

  

  

  



      



 

, k 

c/

max 1 1; 0

5 1

min

4 2

y t t

y t

    



   



d/

2 2

cos arccos

5 5 3 3

max

3 5 5

sin arccos

3 3

x x

y

x x

 

 

   

 

  

   

 

 

e/

     

1;1

max max 1 sin 0 ,

min min 0 sin 1 2 ,

2

t

f x f t t x x k k



 

           

 

       

 

          

 



f/

max ( ) 2 2

2 4

min ( )

11 3

f t t

  



   

 



g/

1 min

8

max 1

y y

 

 

 



h/  

 

max 4 2 2

min 1

f x f x

  



 

  BÀI

TIỆM CẬN VÀ ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

CƠ SỞ LÝ THUYẾT I Tiê ̣m câ ̣n của đồ thi ̣ hàm số

1 Đi ̣nh nghı̃a

Tâm đối xứng

Tiê ̣m câ ̣n xiên

O U

x y

•

Điểm ́n

•

O x

I

y

O I

x

y

Tiê ̣m câ ̣n đứng Tiê ̣m câ ̣n ngang

y

(30)

a Đường thẳng x xođược go ̣i là đường tiê ̣m câ ̣n đứng của đồ thi ̣ hàm số y  f x( ) nếu ı́t nhất một

trong các điều kiê ̣n sau được thỏa mãn: 2 3 4

1 lim ( ) lim ( )

: lim ( )

lim ( )

o o o o x x x x o x x x x f x f x

TCÐ x x f x f x                            

b Đường thẳng y yo được go ̣i là đường tiê ̣m câ ̣n ngang của đồ thi ̣ hàm số y  f x( ) nếu ı́t nhất

trong các điều kiê ̣n sau được thỏa mãn: 2

1 lim ( )

: lim ( )

o x

o o

x

f x y

TCN y y f x y

          

c Đường thẳng y ax b a;  0được go ̣i là đường tiê ̣m câ ̣n xiên của đồ thi ̣ hàm số y  f x( ) nếu ı́t nhất một các điều kiê ̣n sau được thỏa mãn:

 

 

 

 

2

1 lim ( ) 0

:

lim ( ) 0

x x

f x ax b

TCX y ax b f x ax b

                      

2 Lưu ý

• Trường hợp ( ) ( ) ( ) P x y f x

Q x

  là hàm số phân thức hữu tỷ

+ Nếu Q x ( ) có nghiê ̣m x0 thı̀ đồ thi ̣ có tiê ̣m câ ̣n đứng x xo (xo là điểm ta ̣i đó hàm số không xác ̣nh ⇒ x xo là tiê ̣m câ ̣n đứng)

+ Nếu bâ ̣c P x ( ) bâ ̣c Q x( ) thı̀ đồ thi ̣ có tiê ̣m câ ̣n ngang + Nếu bâ ̣c P x ( ) bâ ̣c Q x ( ) 1thı̀ đồ thi ̣ có tiê ̣m câ ̣n xiên + Số tiê ̣m câ ̣n đứng của hàm số phân thức ( )

( ) P x y

Q x

 là số nghiê ̣m của ̣

( )

Q x P x       + Đồ thi ̣ có tiê ̣m câ ̣n ngang thı̀ không có tiê ̣m câ ̣n xiên và ngược la ̣i

• Để xác ̣nh các ̣ số a b, trong phương trı̀nh của đường tiê ̣m câ ̣n xiên, ta có thể áp dụng các công

thức:

 

( )

lim ; lim ( )

( )

lim ; lim ( )

x x

f x

a b f x ax

x f x

a b f x ax

x                 

Nếu a 0 thı̀ TCX trở thành TCĐ

• Thơng thường đới với hàm da ̣ng: y ax2 bx c dx e

 



 thı̀ ta tı̀m câ ̣n xiên bằng cách chia đa thức, lấy phần nguyên là tiê ̣m câ ̣n xiên lim

x(phần dư) =

• Hàm sớ bâ ̣c ba và bâ ̣c bốn không có các đường tiê ̣m câ ̣n • Hàm sớ y  ax2 bxc; ( a 0)

+ Nếu: a  0 đồ thi ̣ hàm số không có các đường tiê ̣m câ ̣n

+ Nếu: a  0 đồ thi ̣ hàm số có tiê ̣m câ ̣n xiên 2

b

y a x khi x a

 



     

 và

2

b

y a x khi x

a

 



      



• Đồ thi ̣ hàm số y mx n p ax2 bxc; ( a 0) có tiê ̣m câ ̣n là đường thẳng 2

b y mx n p a x

a

   

(31)

1 Đi ̣nh nghı̃a: Điểm I x f x 0;  0 được go ̣i là điểm uốn của đồ thi ̣ hàm số y  f x( ) nếu tồn ta ̣i mô ̣t khoảng

a b,  chứa điểm xo cho mô ̣t hai khoảng a x, ovà x bo,  tiếp tuyến của đồ thi ̣ ta ̣i điểm U nằm về phı́a đồ thi ̣ còn điểm tiếp tuyến nằm phı́a dưới đồ thi ̣

2 Tı́nh chất

• Nếu hàm số y  f x( ) có đa ̣o hàm cấp hai một khoảng chứa điểm x f x o; '' o và f x''( ) đổi dấu x qua xo thı̀ I x f x 0;  0  là một điểm uốn của đồ thi ̣ hàm sớ

• Đờ thi ̣ hàm số bâ ̣c ba y  f x( )ax3bx2 cxd a;  0

có một điểm uốn và đó là tâm đối xứng của đồ thi ̣

DẠNG

TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bài Tìm các tiê ̣m câ ̣n của các hàm số sau

a/ x y x  

 b/ 2 x y

x 

 c/

10 x y x    d/ 1 y x   Bài Tìm các tiê ̣m câ ̣n của các hàm sớ sau

a/

2 4 1

2 1 x x y x     b/ 6 1 x x y x   

 c/

2

7 4 5

2 3 x x y x     d/ 2 2 x y x x    e/ 1 x y x 

 f/

3 2 2 1 x x y x    Bài Tìm các tiê ̣m câ ̣n của các hàm sớ sau

a/ y  x23 b/ 1 1 x y x    c/ 3

y  x  x

d/ y x 2 x

  e/

2 1 x x y x    f/ 3 1 x y x    g/ 4 2 9 x y x  

 h/

1

4 1

y

x x



  i/

2 5 1 2 x x y x     Bài Tìm giá tri ̣ của tham sớ m để đờ thi ̣ của các hàm số sau có đúng hai tiê ̣m câ ̣n đứng

a/

 

2

3

4 2 2 3 1

y

x m x m



    b/  

2

3 2 1 4

x y

x m x

 

  

c/ 2 3

2 x

y

x x m

 

   d/  

3

2 2 1

x y

x m x m

 

   

Bài Tìm m để đờ thi ̣ hàm số sau có tiê ̣m câ ̣n xiên

a/  

2 3 2 2 1

5

x m x m

y x       b/  

2 2 1 3

2

mx m x m

y

x

   





Bài Tính diê ̣n tı́ch của tam giác ta ̣o bởi tiê ̣m câ ̣n xiên của đồ thi ̣ các hàm số sau chắn hai trục tọa độ Oxy a/ 3 1 1 x x y x   

 b/

2 3 4 2 x x y x      c/ 7 3 x x y x    

Bài Tìm m để tiê ̣m câ ̣n xiên của đồ thi ̣ các hàm số sau ta ̣o với các trục tọa độ một tam giác có diê ̣n tı́ch S đã được chı̉

a/ 1 ; 8 1 x mx y S x      b/  

2 2 1 2 3

; 8

1

x m x x

y S

x

   

 



Bài Chứng minh rằng: Tı́ch các khoảng cách từ một điểm bất kỳ đồ thi ̣ của các hàm số đến hai tiê ̣m câ ̣n bằng mô ̣t hằng số

a) 1 1 x x y x     b)

2 5 4

(32)

Bài Định mđể hàm số có tiê ̣m câ ̣n đứng qua A  1; 2 với 1 2

mx y

x m  

 Bài 10 Tìm mđể hàm sớ

2 1

1

mx mx m

y

x

  



 có cực tri ̣ và khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thi ̣ hàm số đã cho đến đường tiê ̣m câ ̣n xiên của nó bằng 2

Bài 11 Cho hàm số  

2 2 4 3

1

x m x m m

y

mx

    



 Tı̀m m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến tiê ̣m câ ̣n xiên hoă ̣c ngang là nhỏ nhất ?

Bài 12 Cho hàm số      

2

1 1 2 3

,

2 m

m x m x m

y C m

x m

    

  

 

a/ Tı̀m m để góc giữa hai tiê ̣m câ ̣n của đồ thi ̣  Cm bằng 450

b/ Tı̀m m để đồ thi ̣  Cm có tiê ̣m câ ̣n xiên cắt hai trục tọa độ ta ̣i A, B cho ΔAOB có diê ̣n tı́ch bằng ? DẠNG

ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bài Tìm điểm ́n của đờ thi ̣ các hàm số sau

a/ y x36x23x 2 b/ y x33x29x 9 c/ y x46x23 d/ y x442x2 3 Bài Tìm giá tri ̣ của tham sớm n, để đồ thi ̣ của hàm số sau có điểm uốn I được chı̉

a/ yx33m1x2m3x83; 1;3I  b/ y x33x23mx 3m4; I 1;2 c/ y mx3nx21; I 1, 4 d/ y x3mx2 nx2; I23, 3 

BÀI

KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi ̣ hàm số

• Bước 1: Tı̀m tâ ̣p xác ̣nh của hàm sớ • Bước 2: Xét sự biến thiên của hàm số

+ Tı́nh y'

+ Tı̀m các điểm ta ̣i đó đa ̣o hàm y ' hoă ̣c không xác ̣nh + Tı̀m các giới ̣n ⇒ tiê ̣m câ ̣n (nếu có)

+ Lâ ̣p bảng biến thiên, ghi rõ dấu của đa ̣o hàm, chiều biến thiên, cực tri ̣ của hàm sớ • Bước 3: Vẽ đồ thi ̣ hàm số

+ Tı̀m điểm uốn của đồ thi ̣ (đối với hàm số bâ ̣c ba và hàm số trùng phương) - Tı́nh y''

- Tı̀m các điểm ta ̣i đó y '' và xét dấu y'' + Vẽ các đường tiê ̣m câ ̣n (nếu có) của đồ thi ̣

+ Xác ̣nh một số điểm đă ̣c biê ̣t của đồ thi ̣ như: giao điểm của đồ thi ̣ với trục tọa độ (trong trường hợp đồ thi ̣ không cắt các trục tọa độ hoă ̣c tı̀m tọa độ giao điểm ấy phức ta ̣p thı̀ có thể bỏ qua) Ngoài ra, ta tı̀m thêm một số điểm thuô ̣c đồ thi ̣ nhằm vẽ hı̀nh chı́nh xác

+ Nhâ ̣n xét về đồ thi ̣: Chı̉ trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thi ̣ Bài Khảo sát và vẽ đồ thi ̣ của các hàm số bâ ̣c ba sau đây:

(33)

d/ y x33 x2 x e/ y x3  x 1 f/ y  2x3  x 2 g/ y x1 4 2 x h/ y x 32x i/ y  x3 3x24x 2 Bài Khảo sát và vẽ đồ thi ̣ của các hàm số bâ ̣c bốn sau đây:

a/ y x42x21 b/ y  2x4 4x2 5 c/ 2

y  x  x 

d/ y   x4 x22 e/ y x1 2 x 12 f/ y 2x 2 x 22 Bài Khảo sát và vẽ đồ thi ̣ của các hàm số nhất biến sau đây:

a/ 1 2 x y

x  

 b/

2 1

1 x y

x  

 c/

2

1 x y

x  

 d/

2 x y

x 

 Bài Khảo sát và vẽ đồ thi ̣ của các hàm số hữu tı̉ sau đây:

a/

2 1

1 x x y

x   

 b/

2 2

1 x x y

x   

 c/

2 2

1 x x y

x   

 d/

1 1

1

y x

x    



BÀI

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BÀI TOÁN

TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ

Dạng 1: Viết phương trı̀nh tiếp tuyến của đường cong  C : y  f x  tại điểm M x y o, o: Phương pháp:

• Bước 1: Phương trı̀nh tiếp tuyến có da ̣ng Pttt : y k xtt. xoyo   vớiktt  f x' o • Bước 2: Tı́nh y' f x' ktt  f x' o

• Bước 3: Thay x y ko, ,o tt vào   Phương trı̀nh tiếp tuyến cần tı̀m

Dạng 2: Viết phương trı̀nh tiếp tuyến của đường cong  C : y  f x , biết tiếp tuyến qua điểm

 M; M

M x y cho trước:

Phương pháp: Cách 1:

(34)

Pttt cần tı̀m qua điểm M x y M; Mcó da ̣ng: y k xtt xMyM   • Bước 2:

+ Tı́nh y' f x' ktt  f x' 0

+ Vì tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị  C tạiN x y 0; 0nên:    

      

0 0

' 1

' 2

tt

M M

k f x

f x f x x x y

  

   

 • Bước 3:

+ Giải phương trı̀nh  2 tìm x0 , sau thay vào phương trı̀nh  1 tìm ktt + Thay kttvào  * ta Pttt cần tı̀m

Cách 2:

• Bước 1:: Gọi Pttt có da ̣ng Pttt y: ax m  1 • Bước 2: Áp dụng điều kiê ̣n tiếp xúc:  

 

' '

tt C

y y

a

y y

 

 

 



• Bước 3: Do Pttt qua M nên ta thay to ̣a đô ̣ M vào  1 m

Dạng 3: Viết phương trı̀nh tiếp tuyến của đường cong  C : y  f x , biết tiếp tuyến có hệ số góc kttcho trước:

Phương pháp:

• Bước 1: Gọi N x y 0; 0là to ̣a độ tiếp điểm tiếp tuyến với đồ thị  C Pttt cần tı̀m điểm N x y 0; 0có da ̣ng: y k xtt x0y0  • Bước 2: Tı́nh y' f x' ktt  f x'   0 1

• Bước 3:

+ Giải phương trı̀nh  1 tìm x0 , sau thay vào đồ thị  C tìm y0 + Thay x0, y0 vào  * ta Pttt cần tı̀m

Lưu ý: Viết Pttt là tı̀m ba thành phần x y ko, ,o tt Mô ̣t số cách tı̀m ̣ sớ góc ktt thường gă ̣p: • Nếu Pttt//:y ax  b ktt k  a f x' o xo yo

• Nếu Pttt :y ax b ktt 1 f x' o xo yo

k a

           

• Nếu M x y o, o   C Oy xo  0 yo  f x' o • Nếu M x y o, o   C Ox yo  0 xo  f x' o

• Nếu Ptttta ̣o với chiều dương Oxmô ̣t góc thı̀ ktt  f x' o tanxo yo • Nếu Pttt ta ̣o với : y ax b mô ̣t góc thı̀ tan

1 .

tt tt

k a

k a 

 

 xo yo

Bài Viết phương trı̀nh tiếp tuyến của  C ta ̣i điểm được chı̉ ra:

a/  C :y 3x3x2  7 ta ̣i điểmA 0;1 b/  C :y x4 2x2 1 ta ̣i điểm B 1;0 c/  : 3 4

2 1

x C y

x  

 ta ̣i điểm C 1;7 d/  

2

: 1

2 1

C y x

x   

(35)

a/  : 3 2 x

C y

x  

 ta ̣i điểm Acó tung độ bằng 4 b/  : 1

2 x C y

x  

 ta ̣i các giao điểm của  C với trục hoành, trục tung c/  C :y x33x 1 ta ̣i điểm uốn của đồ thi ̣  C

d/  : 1 2 9

4 4

C y  x  x  ta ̣i các giao điểm của  C với trục hoành e/  

2 3 3 :

2

x x

C y

x

 



 ta ̣i điểm Bcó hoàn độ là 4

f/  C :y2x  2x2 1ta ̣i các giao điểm của  C với trục hoành, trục tung Bài Viết phương trı̀nh tiếp tuyếncủa  C , biết rằngcó ̣ số góckđược chı̉ ra:

a/  C :y 2x3 2x2 5 ; k 12 b/  : 2 1 ; 3 2

x

C y k

x 

  



c/  

2 3 4

: ; 1

1

x x

C y k

x

 

  

 d/  

2

: ;

C y  x  x  k 

Bài Viết phương trı̀nh tiếp tuyếncủa  C , biết rằng  song song vớ i đường thẳng d cho trướ c:

a/  

3

: 2 3 1 & : 3 2

3 x

C y   x  x  d y  x 

b/  : 2 1 & : 3 2

2 4

x

C y d y x

x 

   



c/  : 1 3 3 & : 4 2015 0

2 2

C y  x  x  d x  y 

d/  

2 2 3

: & : 2 2016 0

4 6

x x

C y d x y

x

 

   



Bài Viết phương trı̀nh tiếp tuyếncủa  C , biết rằngvuông góc với đường thẳngdcho trước:

a/  

3

: 2 3 1 & : 8 999 0

3 x

C y   x  x  d x y  b/  : 2 1 &

2 x C y

x  

 đường thẳng d đường phân giác góc phần tư thứ hệ trục Oxy

c/  

2 3

: & : 3 2015

1 x

C y d y x

x 

   



d/  

2 1

: & : 2

2 x x

C y d y x

x  

  



Bài Viết phương trı̀nh tiếp tuyến của C ta ̣i các giao điểm của C với các đường được chı̉ ra: a/  C :y 2x3 3x2 9x 4 & d y: 7x 4

b/  C :y 2x3 3x2 9x 4 & d y:   x2 8x 3

c/  C :y2x3 3x2 9x 4 &  C' :y x34x2 6x 7 Bài Viết phương trı̀nh tiếp tuyếncủa  C , biết  qua điểm đươ ̣c chı̉ ra:

a/  C :y  x3 3x 2 ; A 2;4 b/  C :y x33x 1 ; B1; 6  c/  C :y 2x22 ; C 0;4 d/  : 3 ; 0;3

2 2

(36)

e/  : 2 ;  6;5 2

x

C y E

x 

 

 f/    

3 4

: ; 2;3

1 x

C y F

x  



g/    

2 3 3

: ; 1;0

2

x x

C y G

x

 



 h/    

2 2

: ; 2;2

1 x x

C y H

x   



Bài Viết phương trı̀nh tiếp tuyếncủa  C , biết  ta ̣o vớ i chiều dương tru ̣c hoành Oxmô ̣t góc:

a/  

3

: 2 4 ; 60

3

o

x

C y   x  x  b/  

3

: 2 4 ; 75

3

o

x

C y   x  x  c/  : 3 2 ; 45

1

o

x C y

x 



 



Bài Viết phương trı̀nh tiếp tuyếncủa  C , biết  ta ̣o vớ i đường thẳng d mô ̣t góc :

a/  

3

: 2 4 & : 3 7 ; 45

3

o

x

C y   x  x d y x  

b/  

3

2 1

: 2 4 & : 3 ; 30

3 2

o

x

C y   x  x d y   x   c/  : 4 3 & : 3 ; 45

1

o

x

C y d y x

x 



  



d/  : 3 7 & : 0 ; 60 5 2

o

x

C y d x y

x 



   



e/  

2 3

: & : 1 ; 60

2

o

x x

C y d y x

x 

 

    

 .

Bài 10 Tính diê ̣n tı́ch tam giác chắn hai trục tọa độ bởi tiếp tuyến của đồ thi ̣  C ta ̣i điểm được chı̉ ra: a/  : 5 11

2 3

x C y

x  

 ta ̣i điểm Acó hoành độ làx A 2

b/  C :y  x2 27x 26 ta ̣i điểm Bcó x B 2

Bài 11 Tìm mđể tiếp tuyến của đồ thi ̣  C ta ̣i điểm được chı̉ chắn hai trục tọa độ một tam giác có diê ̣n tı́ch Scho trước:

a/  : 2 1 x m C y

x  

 ta ̣i điểm A có x A 2 và

1 2 S  b/  : 3

2

x m

C y x

 

 ta ̣i điểm B có x  B 1 và

9 2 S  c/  C :x3  1 m x 1 ta ̣i điểm C có x C 0 và S 8

BÀI TOÁN

BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Bài Cho hàm số y x3 3x2 1  C

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi ̣ hàm số  C

b/ Dùng đồ thi ̣, biê ̣n luâ ̣n số nghiê ̣m của phương trı̀nh: x3 3x2 m 0 Bài Cho hàm số y   x3 3x  C

b/ Với giá tri ̣ nào của m thı̀ phương trı̀nh: 3 22 0 1 m

x x

m

  

(37)

b/ Dựa vào đồ thi ̣  C , biê ̣n luâ ̣n số nghiê ̣m của phương trı̀nh: x3 3xm2 2m 2 Bài Cho hàm số 3

4

y  x  x 

a/ Khảo sát và vẽ đồ thi ̣ (C) của hàm số đã cho

b/ Tı̀m m để phương trı̀nh x36x2 m 0 có nghiê ̣m thực phân biê ̣t Bài Cho hàm số y x3 3x2 2  C

b/ Sử dụng đồ thi ̣, biê ̣n luâ ̣n theo tham số m số nghiê ̣m của phương trı̀nh: (x 1)3 3 m3x 0 Bài Cho hàm số y x4 8x2 10  C

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi ̣ hàm số (C)

b/ Dựa vào (C), biê ̣n luâ ̣n theo m số nghiê ̣m của phương trı̀nh: x48x m 0 c/ Viết phương trı̀nh đường thẳng qua hai điểm cực tiểu của (C)

Bài Cho hàm số 3

3

y  x x  x 

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi ̣ (C) của hàm số

b/ Tı̀m k để phương trı̀nh 2x3 6x2 18x  k có nghiê ̣m phân biê ̣t

c/ Viết phương trı̀nh tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

y   x 

Bài Cho hàm số 2  

3

y  x x  C

b/ Dựa vào  C , biê ̣n luâ ̣n theo m số nghiê ̣m của phương trı̀nh: x33x2 m 0 c/ Viết phương trı̀nh tiếp tuyến của  C , biết tiếp tuyến có ̣ số góc bằng

Bài Cho hàm số 2  

y   x  x  x  C

b/ Dựa vào  C , biê ̣n luâ ̣n theo m số nghiê ̣m của phương trı̀nh: x36x2 9x m 0 c/ Viết phương trı̀nh tiếp tuyến của  C ta ̣i giao điểm của  C với trục tung

Bài 10 Cho hàm số  

3 7

2

3 2 3

x x

y     x  C a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi ̣ hàm số  C

b/ Tı̀m m để phương trı̀nh: 2x3 3x2 12x m 0 có đúng một nghiê ̣m

c/ Viết phương trı̀nh tiếp tuyến của  C , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : 4x   y Bài 11 Cho hàm số y  f x( )2x39x2 12x 4  C

b/ Tı̀m m để phương trı̀nh 2x3 9x2 12x m có đúng một nghiê ̣m dương

c/ Viết phương trı̀nh tiếp tuyến của  C ta ̣i điểm là nghiê ̣m của phương trı̀nh f x ''( ) Bài 12 Cho hàm số y 2x36x 1  C

b/ Dựa vào  C , biê ̣n luâ ̣n theo m số giao điểm của  C và đường thẳng :

2 m d y  c/ Viết phương trı̀nh tiếp tuyến của  C ta ̣i điểm có hoành độ bằng 

Bài 13 Cho hàm số y 2x33x2 1  C

(38)

b/ Tı̀m m để phương trı̀nh 2x33x2 m0 có ba nghiê ̣m phân biê ̣t c/ Xác ̣nh tọa độ các giao điểm của  C và đường thẳng y 2x 1 Bài 14 Cho hàm số    

4

2

2 1

2 x

y   x  C

b/ Dựa vào (C), biê ̣n luâ ̣n theo m số nghiê ̣m của phương trı̀nh x4 4x2 m 0 c/ Viết phương trı̀nh tiếp tuyến của (C) ta ̣i điểm A a ;2   C với a 0

Bài 15 Cho hàm số 2  

4

y   x  x  C

b/ Dựa vào  C , tı̀m m để phương trı̀nh x4 8x2 m 0 có bốn nghiê ̣m thực phân biê ̣t c/ Viết phương trı̀nh tiếp tuyến của  C ta ̣i giao điểm của  C và trục hoành

Bài 16 Cho hàm số y x4 x2 2  C

b/ Tı̀m m để phương trı̀nh x4 x2 m 0 có hai nghiê ̣m thực phân biê ̣t

c/ Viết phương trı̀nh tiếp tuyến của  C , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x 6y 1 Bài 17 Cho hàm số y 2x44x2  C

b/ Tı̀m mđể phương trı̀nh x4 2x2 m 0 có ba nghiê ̣m phân biê ̣t

c/ Viết phương trı̀nh tiếp tuyến của  C ta ̣i giao điểm của  C với trục hoành, biết giao điểm đó có hoành độ là một số âm

Bài 18 Cho hàm số  

2

2 1

4 x

y    x  C

b/ Dựa vào  C , tı̀m m để phương trı̀nh x4 8x2 m 0 vô nghiê ̣m c/ Viết phương trı̀nh tiếp tuyến của  C ta ̣i điểm có hoành độ x   Bài 19 Cho hàm số y x4 4x2 1  C

b/ Tı̀m m để phương trı̀nh x4 4x2 m có nghiê ̣m thực phân biê ̣t

c/ Xác ̣nh tọa độ các giao điểm của  C và đường thẳng y 1 Viết phương trı̀nh tiếp tuyến của  C ta ̣i các giao điểm đó

Bài 20 Cho hàm số 3 2  

2 1

x

y C

x  



b/ Biê ̣n luâ ̣n theo m số nghiê ̣m của phương trı̀nh

2

x m

x

  



c/ Viết phương trı̀nh tiếp tuyến của  C ta ̣i giao điểm của  C với trục hoành d/ Tı̀m các điểm  C cách đều hai trục tọa đợ

BÀI TỐN

GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ Cho  C1 :y f x( ),  C2 :y g x( )

(39)

• Để  C1 cắt  C2 ta ̣i nđiểm phân biê ̣t phương trı̀nh hoành độ giao điểm [phương trı̀nh( ) ] có n nghiê ̣m phân biê ̣t

Lưu ý 1: Nếu mô ̣t hai đồ thi ̣ có da ̣ng hữu tı̉ và có TXĐ D  \  Khi đó, để  C1 cắt  C2 ta ̣i

nđiểm phân biê ̣t phương trı̀nh hoành độ giao điểm [phương trı̀nh( ) ] có n nghiê ̣m phân biê ̣t  Lưu ý 2: Đi ̣nh lı́ Viét đối với phương trı̀nh bâ ̣c ba: ax3 bx2 cx  d 0,a  0

Nếu phương trı̀nh bâ ̣c ba da ̣ng ax3 bx2 cx  d 0,a 0 có ba nghiê ̣m phân biê ̣t x x x1, ,2 3 thı̀:

   

1

2

2 2

1 2 3 1 3 2 3

1

2 b

x x x

a c

x x x x x x x x x x x x x x x x x x

a d

x x x

a      



            

 

  



Lưu ý 3: Xem lại phần Ôn tập phương trình đại số

Lưu ý 4: Tı̀m tham sớ để đồ thi ̣ hàm số bâ ̣c ba da ̣ng y  f x ax3 bx2 cx d C   cắt trục hoành Ox ta ̣i nđiểm phân biê ̣t (Phương pháp cực tri ̣).

Lúc đó, phương trı̀nh hoành độ giao điểm: ax3 bx2 cx  d  

• Để  C cắt Oxta ̣i điểm phân biê ̣t  có nghiê ̣m phân biê ̣t  

. 0

CÐ CT

y f x y y     

 

• Để  C cắt Oxta ̣i điểm phân biê ̣t  có nghiê ̣m phân biê ̣t  

. 0

CÐ CT

y f x y y     

 

(lúc này đồ thi ̣  C tiếp xúc với trục hoành Ox) • Để  C cắt Oxta ̣i điểm nhất  chı̉ có nghiê ̣m

   

. 0

CÐ CT

y f x y f x y y       

 



• Để  C cắt Oxta ̣i điểm phân biê ̣t có hoành độ dương  có nghiê ̣m dương phân biê ̣t:  

   

0,

0

CÐ CT

y f x

y y

x x

a f hay a d

  

 



   



  



• Để  C cắt Oxta ̣i điểm phân biê ̣t có hoành độ âm  có nghiê ̣m âm phân biê ̣t:  

   

0,

0

CÐ CT

y f x

y y

x x

a f hay a d

  

 



   



  

 Ho ̣c sinh tự vẽ hı̀nh

Lưu ý 5: Tı̀m tham số để đồ thi ̣ hàm số bâ ̣c bốn trùng phương y ax4 bx2 c C   cắt trục hoành Ox ta ̣i điểm phân biê ̣t lâ ̣p thành cấp số cộng (cách đều nhau) ?

có cực tri ̣

có cực tri ̣ không có cực tri ̣

có cực tri ̣

(40)

Phương trı̀nh hoành độ giao điểm: ax4 bx2  c 0 1  

• Đă ̣t t x2 0

Lúc đó:  1 at2 bt  c  

• Để  C cắt trục hoành Ox ta ̣i điểm phân biê ̣t  1 có nghiê ̣m phân biê ̣t  2 có hai nghiê ̣m phân biê ̣t dương 1 2

0

0 0

0

t t S

P    

    

  

tham số  3

• Go ̣i t t1, 2là hai nghiê ̣m phân biê ̣t của  2 Lúc đó, nghiê ̣m phân biê ̣t của  1 là:  t2, t1, t1, t2 (nên sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn)

• Do nghiê ̣m này lâ ̣p thành cấp số cộng (hay cách đều)  t1  t2 2 t1 9t1 t2 Kết hợp ̣nh lı́ Viét, ta tı̀m được tham số So với  3 giá tri ̣ tham số thỏa yêu cầu bài toán

HÀM SỐ BẬC

 

y  f x ax bx cx d

Bài Cho hàm số y x33x 2  C

b/ Go ̣i d là đường thẳng qua điểm A3,20 và có ̣ số góc m Tı̀m m để đường thẳng d cắt  C ta ̣i ba điểm phân biê ̣t

ĐS: 15

m  và m 24

Bài Cho hàm số y x36x2 9x1  C a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi ̣ hàm số  C

b/ Go ̣i dlà đường thẳng qua điểm A 2,1 và có ̣ số góc m Tı̀m tham số mđể đường thẳng dcắt đồ thi ̣

 C ta ̣i ba điểm phân biê ̣t ĐS: m  3

Bài Cho hàm số y x33x2 4  C a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi ̣ hàm số  C

b/ Chứng minh rằng mọi đường thẳng qua điểm I 1,2 với ̣ số góc k k   3 đều cắt đồ thi ̣ hàm số

 C ta ̣i ba điểm phân biê ̣t I, A, B, đồng thời I là trung điểm của đoa ̣n thẳng AB

Bài Cho hàm số y x3 2x2  1 m x m  1 (Trı́ch đề thi ĐH khối A – 2010) a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi ̣ hàm số  C

b/ Tı̀m mđể đồ thi ̣ hàm số  1 cắt trục hoành ta ̣i điểm phân biê ̣t có hoành độ x x x1, ,2 3 thỏa mãn điều kiê ̣n

2 2

1 4

x x x 

ĐS: 1

4 m m

    

Bài Cho  : 2

3

m

C y x mx  x m Tı̀m m để  Cm cắt trục hoành ta ̣i ba điểm phân biê ̣t có hoành độ x x x1, ,2 3 và thỏa mãn điều kiê ̣n: x12 x22 x32 15

(41)

Bài Cho hàm số y x3 2mx2 3m1x 2 có đồ thi ̣ là  Cm , điểm M 3,1 , đường thẳng d có phương trı̀nh x   y Tı̀m các giá tri ̣ của m để đường thẳng dcắt  Cm điểm A 0,2 , ,B C cho tam giác MBC có diện tích 2 6

ĐS: m   2 m  5

Bài Tìm mđể đồ thị hàm số y x3 3x2 m2x 2m cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ âm

ĐS: 0 1 4 m

 

Bài Tìm mđể đồ thị hàm số y x3m1x22m2 3m2x 2m m2 1 cắt trục hồnh điểm phân biệt có hai điểm có hồnh độ âm

ĐS: 0 1 1

2 3

m m

   

Bài Cho hàm số: y x33x2  C a/ Khảo sát và vẽ đồ thi ̣ hàm số

b/ Go ̣i d là đường thẳng qua A 1; 2 và có ̣ số góc là m Biê ̣n luâ ̣n theo mvi ̣ trı́ tương đối giữa đường thẳng dvà đồ thi ̣ C

Bài 10 Cho hàm số: y x33(m1)x2 2(m24m1)x4 (m m1)

(Cm) Đi ̣nh giá tri ̣ của mđể hàm số cắtOxta ̣i điểm phân biê ̣t có hoành độ đều lớn

Bài 11 Cho hàm số: y x33mx2 3(m21)x m31 a/ Khảo sát và vẽ đồ thi ̣ hàm số m 1

b/ Tı̀m m để cắtOxta ̣i điểm phân biê ̣t Bài 12 Cho hàm số: y x33x22

a/ Khảo sát và vẽ đồ thi ̣ hàm số

b/ Đi ̣nh mđể y m x(  1) cắt đồ thi ̣ ta ̣i điểm A, B, C cho BC = 2 2 với A   1; 2 Bài 13 Cho hàm số: 1 (3 2)

3 m

y   x mx  m x

(Cm) a/ Khảo sát m 2

b/ Tı̀m mđể đồ thi ̣ (Cm)cắtOxta ̣i điểm phân biê ̣t Bài 14 Cho hàm số: 3

3 x

y   x  C và đường thẳng d y: m x( 3) a/ Khảo sát và vẽ đồ thi ̣ hàm số C

b/ Tı̀m mđể  C và dcó giao điểm A, B, C với A cố ̣nh và OAOC, BC  42 Bài 15 Cho hàm số: y x33x22mx  4 4m

(Cm) a/ Khảo sát m 1

b/ Tı̀mmđể (Cm)cắtOxta ̣i điểm phân biê ̣t có hoành độ đều lớn 2 c/ Tı̀mmđể (Cm)cắtOxta ̣i điểm phân biê ̣t có hoành độ cách đều d/ Tı̀mmđể (Cm) cắt y mx 2 ta ̣i điểm cách đều

Bài 16 Tìm tham số m để đồ thi ̣ của các hàm số

(42)

d/ yx3m1x2 m1x 2m1 cắt trục hoành ta ̣i điểm phân biê ̣t có hoành độ lâ ̣p thành cấp số nhân

e/ y 3x3 2m1x2 9mx 192 cắt trục hoành ta ̣i điểm phân biê ̣t lâ ̣p thành cấp số nhân Bài 17 Tìm tham sớ mđể các phương trı̀nh sau chı̉ có đúng nghiê ̣m:

a/ 2x3 3m1x2 6mx 2 0 b/ x33x2 3 1 m x  1 3m 0 c/ 2x3 3mx2 6m1x 3m120 d/ x36x2 3m4x 4m 8 e/ 2x3 3m1x2 6m2x  2 m 0 f/ x3 3mx 2m 0

Bài 18 Tìm tham sớ mđể các phương trı̀nh sau chı̉ có nghiê ̣m:

a/ x3m1x22m23m2x2 2m m  1 b/ x33mx 2m0

c/ x3 2m1x2 3m1 x  m10 d/ x33x2 3 1 m x  1 3m 0 Bài 19 Tìm tham sớ m để phương trı̀nh sau có nghiê ̣m phân biê ̣t:

a/ x3 3mx2 3m21 x  m2  1 b/ x3 6x2 3m4x 4x 8 c/ 2x3 3m1x2 6m1x  2 m 0 d/ 1 0

3x  x m  Bài 20 Tìm tham sớ m để các phương trı̀nh sau có nghiê ̣m dương phân biê ̣t

a/ 2x3 3mx2 3m2 1 x  m2 1 b/ x36x2 3m4x 4m 8 c/ 1 5 4 7 0

3x 2x  x m 6 d/  

3 2 1 2 0

x mx  m x m  Bài 21 Tìm tham số m để các phương trı̀nh sau có nghiê ̣m âm phân biê ̣t:

a/ 2x3 3m1x2 6m2x  2 m 0 b/ x33mx2 3m21 x  m2  1 0 c/ x3 3x2 9x m d/ x3x2 18mx 2m0

HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG

 

y  f x ax bx c Bài Cho hàm số y x4 3m2x2 3m có đồ thị  Cm

a/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m 1

b/ Tìm mđể đường thẳng y  1 cắt  Cm điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ

ĐS: 1 1, 0

3 m m

   

Bài Cho đồ thị hàm số y x4 2m2x2 m25m5  1 a/ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số  C m 1

b/ Tìm tham số mđể đồ thị hàm số  1 cắt trục hoành điểm phân biệt ĐS: 1 5 5

2

m 

 

Bài Cho đồ thị hàm số y x4 m1x23  1 a/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số  1 m  1

b/ Tìm tham số mđể đường thẳng y  4 cắt đồ thị hàm số  1 điểm phân biệt Bài Cho hàm số: y   x4 2mx22m1 (Cm)

(43)

b/ Đi ̣nh mđể hàm số (Cm) có cực tri ̣

c/ Đi ̣nh mđể (Cm) cắt trục hoành ta ̣i điểm phân biê ̣t Bài Cho hàm số: y x42(m1)x2 2m (Cm)

a/ Khảo sát và vẽ đồ thi ̣ hàm số (C ) m 2 b/ Đi ̣nh mđể (Cm) cắt trục hoành ta ̣i điểm phân biê ̣t

c/ Đi ̣nh mđể (Cm) cắt đường thẳngy 2ta ̣i điểm phân biê ̣t Bài Cho hàm số: y 2mx4x2 1 4m (Cm)

a/ Khảo sát và vẽ đồ thi ̣ hàm số (C ) 1 2 m  b/ Đi ̣nh mđể hàm số (Cm) có cực tri ̣

c/ Đi ̣nh mđể (Cm) cắt đường thẳng y  3 ta ̣i điểm phân biê ̣t Bài Cho hàm số: y x4 2(m1)x24 (Cm)

a/ Khảo sát và vẽ đồ thi ̣ hàm số C m 0

b/ Đi ̣nhmđể (Cm) cắt Oxta ̣i điểm phân biê ̣t mà có hoành độ lâ ̣p thành cấp số cộng (4 điểm cách đều) c/ Đi ̣nhmđể (Cm) cắt Ox ta ̣i điểm phân biê ̣t mà có hoành độ đều lớn 2

Bài Cho hàm số: y   x4 2mx22m1 (Cm) a/ Khảo sát và vẽ đồ thi ̣ hàm số  C m 1 b/ Biê ̣n luâ ̣n theo msố cực tri ̣ của hàm số

c/ Đi ̣nh mđể (Cm) cắtOx ta ̣i điểm phân biê ̣t mà có hoành độ lâ ̣p thành cấp số cộng Bài Cho hàm số: y x410mx2 9m (Cm)

a/ Khảo sát m 1

b/ Tı̀m mđể (Cm) cắt Ox ta ̣i điểm phân biê ̣t có hoành đô ̣ cách đều Bài 10 Cho hàm số: y x42mx22m1 (Cm)

a/ Khảo sát và vẽ đồ thi ̣ hàm số m 1

b/ Tı̀m mđể (Cm) có điểm cực tri ̣ lâ ̣p thành tam giác vuông cân c/ Tı̀m mđể (Cm) cắt Ox ta ̣i điểm cách đều

HÀM SỐ NHẤT BIẾN

  ax b

y f x

cx d 

 

 Bài Cho hàm số  

1 x

y C

x 



b/ Tı̀m mđể đường thẳng d y:   x m cắt đồ thi ̣  C ta ̣i hai điểm phân biê ̣t ĐS: b m  /  , 0  4,

Bài Cho hàm số  

x

y C

x  



(44)

b/ Tı̀m msao cho đồ thi ̣  C có hai điểm A x y A, A ,B x yB, Bkhác và thỏa điều kiê ̣n

2 2

A A

B B

mx y mx y

   



   



ĐS: m     , 5   6 5,\ 0  Bài Cho hàm số 2  

1 x

y C

x  



b/ Go ̣i d là đường thẳng qua điểm M  1, 3 và có ̣ số góc m Tı̀m mđể dcắt  C ta ̣i hai điểm phân biê ̣t

Bài Tìm mđể đường thẳng y mx 3 cắt  : 1 x

C y

x  

 ta ̣i hai điểm phân biê ̣t A, B cho tam giác ABC vuông ta ̣i O

ĐS: m  3

Bài Cho hàm số 2 1 1 x y

x  

 có đồ thi ̣  C Go ̣i  là đường thẳng qua điểm I2, 0 và có ̣ số góc m Tı̀m tham số m để cắt  C ta ̣i điểm phân biê ̣t A, B cho I là trung điểm của đoa ̣n thẳng AB

ĐS: m 

Bài Chứng minh rằng đường thẳng :

d y  xm cắt đồ thi ̣ hàm số  : 3 2 x C y

x  

 ta ̣i hai điểm phân biê ̣t A, B Tı̀m tham số mđể AB ngắn nhất

ĐS: ABmin  10 khi m  2 Bài Cho hàm số 2 1  

1 x

y C

x  



b/ Tı̀m tham số m để đường thẳng y  2x m cắt đồ thi ̣  C ta ̣i hai điểm phân biê ̣t A, B cho tam giác OAB có diê ̣n tı́ch bằng (với O là gốc tọa độ)

ĐS: m  2

Bài Cho hàm số: 2 2 1 x y

x  

  C a/ Khảo sát và vẽ đồ thi ̣ hàm số C

b/ Go ̣i dlà đường thẳng qua A 2;2 có ̣ số góc là k Đi ̣nh k để dcắt  C ta ̣i điểm phân biê ̣t Bài Cho hàm số: 1  

2 x

y C

x  

a/ Khảo sát và vẽ đồ thi ̣ hàm số C

b/ Tı̀m m để đường thẳng : 1

2

d y m x  

  cắt  C ta ̣i điểm phân biê ̣t Bài 10 Cho hàm số: 1 2  

1

y C

x  

 a/ Khảo sát và vẽ đồ thi ̣ hàm số  C

b/ Tı̀m m để đường thẳng d y:  x m cắt  C ta ̣i điểm phân biê ̣t Bài 11 Cho hàm số: 2 3

1 y

x  

(45)

a/ Khảo sát và vẽ đồ thi ̣ hàm số  C b/ CMR đường thẳng :

2 x

d y   m cắt  C ta ̣i điểm phân biê ̣t Bài 12 Cho hàm số: y   x3 3x2 9x 2

 C a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi ̣ hàm số  C

b/ Go ̣i A là điểm  C có x A 2 và dlà đường thẳng qua A có ̣ số góc k Tı̀mkđể (d) cắt  C ta ̣i điểm phân biê ̣t

Bài 13 Cho hàm số: 4 3

x

y   x   C a/ Khảo sát và vẽ đồ thi ̣ hàm số  C

b/ Đi ̣nh m để d mx:   y 3m 0 cắt  C ta ̣i điểm phân biê ̣t Bài 14 Cho hàm số: y   x3 mx  1 m

(Cm) a/ Khảo sát và vẽ đồ thi ̣ hàm số  C m 3 b/ Đi ̣nh mđể (Cm) cắt trục hoành ta ̣i điểm phân biê ̣t Bài 15 Cho hàm số: y 2x3 3x2mx  m 2

a/ Khảo sát và vẽ đồ thi ̣ hàm số (C ) m 1 b/ Đi ̣nh mđể (Cm) cắt trục hoành ta ̣i điểm phân biê ̣t Bài 16 Cho hàm số: y x3m4x24x m

 C a/ Khảo sát và vẽ đồ thi ̣ hàm số  C m 0

b/ Đi ̣nh kđể  C cắt đường thẳng y kx ta ̣i điểm phân biê ̣t Bài 17 Cho hàm số: 3

1 x y

x  

 a/ Khảo sát và vẽ đồ thi ̣ hàm số

b/ CMR y 2x m cắt C ta ̣i điểm phân biê ̣t M và N c/ Tı̀m mđể MNmin

Bài 18 Cho hàm số: 2 2 x y

x  

  C

a/ CMR d: y  x m cắt C ta ̣i điểm P và Q thuộc nhánh khác của đồ thi ̣ b/ Tı̀mmđể OPQ vuông ta ̣i O

c/ Tı̀mmđể PQmin d/ Tı̀mmđể PQ  14

HÀM SỐ HỮU TỈ BẬC

  ax2 bx c

y f x

dx e

 

 



Bài Tìm các giá tri ̣ của tham số mđể đường thẳng y   x m cắt đồ thi ̣ hàm số

2 1 x y

x 

 ta ̣i hai điểm phân biê ̣t A, B cho AB =

ĐS: m  2

Bài Tìm mđể đường thẳng d y: m cắt  

 

2 3 3 :

2 1

x x

C y

x

  



(46)

ĐS: 1 5 2 m 

Bài Tìm tham sớ mđể đờ thi ̣ hàm sớ  

2 :

1

m

mx x m

C y

x   

 cắt trục hoành ta ̣i hai điểm phân biê ̣t và hai điểm đó có hoành độ dương

ĐS:

2 m

  

Bài Tìm tham sớ mđể đường thẳng y  2x mcắt đồ thi ̣ hàm số

2 1

x x y

x  

 ta ̣i hai điểm phân biê ̣t A, B cho trung điểm của đoa ̣n thẳng AB thuộc trục tung

ĐS: m 1

Bài Chứng minh rằng đường thẳng d y: 3x mluôn cắt đồ thi ̣ hàm số  C :y x x

  ta ̣i hai điểm phân biê ̣t A, B Go ̣i I là trung điểm của đoa ̣n thẳng AB, tı̀m tham số mđể I nằm đường thẳng

' :

d y  x 

ĐS: m 4 Bài Cho hàm số:

2 1

1 x mx y

x

 



 (Cm)

a/ Khảo sát m 2

b/ Tı̀m mđể ( ) :d y m cắt (Cm) ta ̣i điểm A, B cho OAOB

c/ Tı̀m mđể ( ) : y 2x1 cắt (Cm)ta ̣i điểm thuô ̣c nhánh khác của đồ thi ̣ d/ Tı̀m mđể ( ) : y 2x1 cắt (Cm)ta ̣i điểm thuô ̣c cùng mợt nhánh của đờ thi ̣

BÀI TỐN

CÁC BÀI TOÁN KHÁC LIÊN QUAN ĐẾN TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ Tı̀m điều kiê ̣n để hai đường tiếp xúc

a) Điều kiê ̣n cần và đủ để hai đường  C1 :y  f x và C2 :y g x tiếp xúc là ̣ phương trı̀nh

   

     

' '

f x g x f x g x

 

 

 

 có nghiê ̣m Nghiê ̣m của ̣  là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó

b) Nếu  C1 :y px q và C2 :y ax2 bx cthı̀  C1 tiếp xúc với  C2 phương trı̀nh

ax bx  c px q có nghiê ̣m kép

Bài Tìm điều kiê ̣n của tham sớ mđể hai đường C1 và C2 tiếp xúc nhau: a/  C1 :y x3 3m x mx 2 &  C2 : trục hoành b/  C1 :y x3 2x2 m1x m &  C2 : trục hoành c/  C1 :y x3 m x  1 &  C2 :y  x d/  C1 :y x3 2x2 2x 1 &  C2 :y  x m Bài Tìm điều kiê ̣n của tham sớ mđể hai đường C1 và C2 tiếp xúc nhau:

a/  C1 :y x4 2x2 1 &  C2 :y 2mx2 m b/  C1 :y   x4 x21 &  C2 :y   x2 m c/  1 : 1 2 9 &  2 :

4 4

(47)

d/  C1 :y x 1 2 x 12 &  C2 :y 2x2 m

e/      

2

1

2 1

: & :

1

m x m

C y C y x

x

 

 



f/    

2

1

: & :

1 x x

C y C y x m

x  

  



Lâ ̣p phương trı̀nh tiếp tuyến chung của hai đồ thi ̣ C1 :y  f x và C2 :y g x 

a/ Go ̣i : y ax blà tiếp tuyến chung của  C1 và C2 với ulà hoành độ tiếp điểm của và C1 , vlà hoành độ tiếp điểm củavà C2

+ tiếp xúc với  C1 và  C2 và chı̉ ̣

   

1

' 2

3

' 4

f u au b f u a g v av b g v a

  



 



  



 



có nghiê ̣m

+ Từ  2 và 4  f u' g v'  u h v   5 + Thế atừ  2 vào 1 b  u  6

+ Thế      2 , , 6 vào 3    v a u b Từ đó viết được phương trı̀nh

b/ Nếu  C1 và  C2 tiếp xúc ta ̣i điểm có hoành độ xothı̀ một tiếp chung của  C1 và  C2 cũng là tiếp tuyến của C1 và  C2 ta ̣i điểm đó

Bài Hãy viết phương trı̀nh tiếp tuyến chung của hai đồ thi ̣ a/  C1 :y x2 5x 6 &  C2 :y   x2 5x 11 b/  C1 :y x2 5x 6 &  C2 :y   x2 x 14 c/  C1 :y x2 5x 6 &  C2 :y x3 3x 10

BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Bài Cho hàm số: 1

2 mx y

x m  



a/ Chứng minh rằng  m , hàm số luôn đồng biến mỗi khoảng xác ̣nh của nó b/ Đi ̣nhmđể đường tiê ̣m câ ̣n đứng của đồ thi ̣ qua điểm A  1; 2

c/ Đi ̣nhmđể đường tiê ̣m câ ̣n ngang của đồ thi ̣ có phương trı̀nh y  5 d/ Khảo sát và vẽ đồ thi ̣  C m 2

e/ Viết PTTT của C ta ̣i M  C có x  M 2

f/ Viết PTTT của  C ta ̣i giao điểm của  C với trục hoành g/ Viết PTTT của  C có ̣ số góc bằng 1

6

(48)

j/ Viết PTTT của  C , biết tiếp tuyến qua điểm B  1;3 Bài Cho hàm số:  1

1

m x m

y

x

  





a/ Đi ̣nhmđể hàm số để hàm số nghi ̣ch biến mỗi khoảng xác ̣nh b/ Đi ̣nhmđể đường tiê ̣m câ ̣n ngang của đồ thi ̣ qua A 3; 6 

c/ Đi ̣nhmđể đồ thi ̣ cắt trục tung ta ̣i điểm có tung độ bằng d/ Khảo sát và vẽ đồ thi ̣ C của hàm số m 0

e/ Viết PTTT của C ta ̣i B  C có tung độ là f/ Viết PTTT của C ta ̣i giao điểm của  C với trục tung g/ Viết PTTT của C có ̣ số góc bằng 1

2 

h/ Viết PTTT của  C và song song với đường thẳng: d y:  2x 3 i/ Viết PTTT của  C và vuông góc với đường thẳng: :x 8y 1 j/ Viết PTTT của  C , biết tiếp tuyến qua điểm C 2;0

Bài Cho hàm số: 2 1 x y

x m  

 

a/ Tı̀mmđể hàm số đồng biến mỗi khoảng xác ̣nh b/ Tı̀mmđể đường tiê ̣m câ ̣n đứng của đồ thi ̣ là x  5

c/ Tı̀mmđể đồ thi ̣ cắt trục hoành ta ̣i điểm có hoành độ bằng 3 d/ Khảo sát và vẽ đồ thi ̣  C m 2

e/ Viết PTTT của  C ta ̣i A  C có tung độ là f/ Viết PTTT của  C ta ̣i giao điểm của  C với trục tung g/ Viết PTTT của  C có ̣ số góc bằng 1

3

h/ Viết PTTT của  C và song song với đường thẳng d y: 3x

i/ Viết PTTT của  C và vuông góc với đường thẳng :x 9y 4 j/ Viết PTTT của  C , biết tiếp tuyến qua B3; 1 

Bài Cho hàm số: y x3ax2 bx1

a/ Tı̀m a và b để đồ thi ̣ hàm số qua điểm A 1,2 và B   2, 1 b/ Khảo sát và vẽ đồ thi ̣  C với a 1 và b  1

c/ Viết PTTT của  C ta ̣i điểm M  C có hoành độ là 1 d/ Viết PTTT của C ta ̣i giao điểm của  C với trục tung e/ Viết PTTT của  C có ̣ số góc bằng 1

f/ Viết PTTT của  C và song song với đường thẳng d y: 4x 7 g/ Viết PTTT của  C và vuông góc với đường thẳng :x 20y 0 h/ Viết PTTT của  C , biết tiếp tuyến qua C 2,2

Bài Cho hàm số: y x3m3x2 m1  Cm a/ Đi ̣nh m để hàm số có điểm cực đa ̣i là x  1

(49)

c/ Đi ̣nh m để (Cm) cắt trục tung ta ̣i điểm có tung độ bằng d/ Khảo sát và vẽ đồ thi ̣ hàm số  C với m 0

e/ Viết PTTT của  C ta ̣i điểmAtrên  C có tung độ bằng f/ Viết PTTT của  C ta ̣i giao điểm của  C với trục tung g/ Viết PTTT của  C có ̣ số góc bằng

h/ Viết PTTT của  C và tiếp tuyến song song với đường thẳng d y: 9x 8 i/ Viết PTTT của  C và tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng :x 3y 2 j/ Viết PTTT của  C , biết tiếp tuyến qua C 4,5

Bài Cho hàm số: 1  1 ( 1) 4 3

y   x  m x  m x   Cm a/ Đi ̣nhmđể hàm số có điểm cực tiểu là x  3

b/ Đi ̣nhmđể  Cm cắt trục hoành ta ̣i điểm có hoành độ bằng c/ Chứng minh rằng hàm số có cực tri ̣

d/ Khảo sát và vẽ đồ thi ̣  C m 0

e/ Viết PTTT của  C ta ̣i giao điểm của  C với trục tung f/ Viết PTTT của C ta ̣i A trên C có hoành độ bằng 3 g/ Viết PTTT của C có ̣ số góc bằng

h/ Viết PTTT của C và tiếp tuyến song song với đường thẳng d y:  5x 2 i/ Viết PTTT của  C và tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng :x 12y 1 j/ Viết PTTT của  C , biết tiếp tuyến qua điểm C  2,5

Bài Cho hàm số: 1  2 1

2 2

y  x  m x m (Cm) a/ Tı̀m mđể hàm số có điểm cực tri ̣

b/ Tı̀mmđể hàm số có điểm cực tri ̣ làx  1, ta ̣i đó là điểm cực đa ̣i hay điểm cực tiều? Tı̀m giá tri ̣ cực tri ̣ tương ứng ?

c/ Tı̀m m để (Cm) cắt trục hoành ta ̣i điểm phân biê ̣t d/ Khảo sát và vẽ đồ thi ̣  C m 1

e/ Viết PTTT của  C ta ̣i M  C có hoành độ là 1

f/ Viết PTTT của C ta ̣i điểm có hoành độ là nghiê ̣m của phương trı̀nh f x ''( ) g/ Viết PTTT của  C và song song với đường thẳng d y:  4x10

h/ Viết PTTT của  C và vuông góc với đường thẳng :x 4y 0 i/ Viết PTTT của  C , biết tiếp tuyến qua A 1,2

Bài Cho hàm số: y   x4 2mx22m1 (Cm) a/ Tı̀m m để hàm số có cực tri ̣

b/ Tı̀m m để hàm số có điểm cực đa ̣i là x 1 c/ Tı̀m m để (Cm) cắt trục hoành ta ̣i điểm phân biê ̣t d/ Khảo sát và vẽ đồ thi ̣  C m 1

e/ Viết PTTT của  C ta ̣i giao điểm của  C với trục hoành

(50)

Bài Cho hàm số: y x4ax2 b

a/ Tı̀m avà bđể hàm số có giá tri ̣ cực tri ̣ bằng 3

2 x 1 b/ Tı̀m avà bsao cho y   1 và y  '' 1

c/ Khảo sát và vẽ đồ thi ̣ (C) 1 2

a   và b 1 d/ Viết PTTT của  C ta ̣i điểm có tung độ bằng

e/ Viết PTTT của  C ta ̣i điểm có hoành độ là nghiê ̣m của phương trı̀nh f x ''  f/ Viết PTTT của  C và song song với đường thẳng d y: 3x 2

Bài 10 Cho hàm số: y   x3 3x2 9x 2 a/ Khảo sát và vẽ đồ thi ̣ hàm số  C b/ Giải bất phương trı̀nh: f x  ' 1 0

c/ Viết PTTT của  C ta ̣i điểm có hoành độ xo biết f x  ''( )o 6 d/ Viết PTTT của  C và có ̣ số góc k 9

e/ Dựa vào  C biê ̣n luâ ̣n số nghiê ̣m của phương trı̀nh: x33x29x  2 m f/ Viết phương trı̀nh đường thẳng qua điểm cực đa ̣i và cực tiểu của đồ thi ̣ hàm số Bài 11 Cho hàm số: y x33x21

a/ Khảo sát và vẽ đồ thi ̣ hàm số  C

b/ Dùng đồ thi ̣ biê ̣n luâ ̣n số nghiê ̣m của phương trı̀nh: 2x36x22m 0 c/ Đi ̣nh k để  d y: k x  2 5 cắt đồ thi ̣ ta ̣i điểm phân biê ̣t d/ Viết PTTT của  C ta ̣i điểm có hoành độ thỏa: y x ' 

e/ Viết phương trı̀nh đường thẳng qua điểm cực đa ̣i và điểm cực tiểu Bài 12 Cho hàm số: 1  1  3 4 ( )

3 m

y   x  m x  m x C a/ Tı̀m m để hàm số đồng biến tâ ̣p xác ̣nh

b/ Khảo sát và vẽ  C với m 0

c/ Dựa vào đồ thi ̣ biê ̣n luâ ̣n số nghiê ̣m của phương trı̀nh: 2x3 6x2 18x 243k 0 d/ Viết phương trı̀nh đường thẳng qua điểm cực đa ̣i và điểm cực tiểu

e/ Viết PTTT của  C ta ̣i điểm có hoành độ thỏa: y x  ''( ) f/ Tı̀m a để ( ) :d y a x 313 cắt  C ta ̣i điểm phân biê ̣t Bài 13 Cho hàm số: 1

2

y  x ax b

a/ Tı̀m avà bđể hàm số có cực tiểu bằng 7 2

 x  3 b/ Khảo sát và vẽ  C a  3và a  3

c/ Dựa vào đồ thi ̣ biê ̣n luâ ̣n số nghiê ̣m của phương trı̀nh: x46x2 2 m d/ Viết PTTT của  C ta ̣i điểm có hoành độ thỏa: y x '' o 18

Bài 14 Cho hàm số: 1 2 9

4 4

(51)

b/ Viết PTTT của  C ta ̣i các giao điểm của  C với trục hoành c/ Đi ̣nhmđể  C cắt Parabol ( ) :P y  2x2 ta ̣i điểm phân biê ̣t

d/ Viết PTTT của C ta ̣i điểm có hoành độ là nghiê ̣m của phương trı̀nh: y x ''( ) e/ Biê ̣n luâ ̣n theo ksố nghiê ̣m của phương trı̀nh: x48x2 9 4k 0

Bài 15 Cho hàm số: y   x4 2m1x2 2m1 ( Cm) a/ Đi ̣nhmđể hàm số cắt trục hoành ta ̣i điểm phân biê ̣t b/ Đi ̣nhmđể hàm số có cực tri ̣

c/ Đi ̣nhmđể hàm số có cực đa ̣i x 1 d/ Khảo sát và vẽ  C m 1

Định dạng
Số trang	51
Dung lượng	2,24 MB