Đang tải... (xem toàn văn)
Chứng minh rằng dãy số u xác định như trên là một dãy số bị chặn.. Đẳng thức xảy ra khi nào?[r]
(1)SỞ GD&ĐT QUẢNG TRỊ KỲ THI CHỌN HSG VĂN HÓA LỚP 10, 11 TRƯỜNG THPT THỊ XÃ QUẢNG TRỊ Khóa thi ngày 03 tháng năm 2019
Mơn thi: Tốn lớp 11
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu I (5,0 điểm).
1 Giải phương trình: sin cos 22 x x sin2x 0.
2 Cho x1 x2là hai nghiệm phương trình: x2 3x a , x 3 x hai nghiệm của4 phương trình: x2 12x b 0
Biết x x x x theo thứ tự lập thành cấp số nhân Hãy1, , ,2 tìm ,a b
Câu II (3,0 điểm).
1 Cho k số tự nhiên thỏa mãn: 5 k 2014
Chứng minh rằng: 1 5
5 2014 2014 2014 2019
k k k k
C C C C C C C
2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:
m 1x2 1 x2 2 2 1 x4 1x2 1 x2 . Câu III (3,0 điểm)
Cho dãy số u xác định bởi: n 1
sin sin1; n n
n
u u u
n
, với n ,n2 Chứng minh dãy số u xác định dãy số bị chặn.n
Câu IV (3,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC cạnh a tam giác BCD cân tại D với
2 a
DC
1 Chứng minh rằng: ADBC.
2 Gọi G trọng tâm tam giác BCD , tính cosin góc hai đường thẳng AG CD , biết góc hai mặt phẳng (ABC () BCD ) 30 0
Câu V (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC với (2;1)A , (1; 2)B , trọng tâm G tam giác nằm đường thẳng x y 0 Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác
ABC 27
Câu VI (3,0 điểm) Cho số dương , ,a b c thỏa mãn: a2 b2 c2 3
Chứng minh rằng:
2
2 2 2
4 4
1 1 3 a b c
a b b c c a
Đẳng thức xảy nào?
-HẾT -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu MTCT Cán coi thi không giải thích thêm.
Họ tên thí sinh:……….Số báo danh:……… ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(2)Huớng dẫn chấm – Toán 11
Câu Nội dung Điểm
Câu I.
(5đ) Giải phương trình:
2
sin cos 2x xsin x0
1 (3đ) sin cos 22 x x sin2 x 0
(1)
Ta có: sin 3x (1 2cos )s inx.x
2
2
(1) ((1 2cos ) cos2 1)sin
(1 os2x)(1+4cos )sin
sin
cos2x=-1
x x x
c x x
x k
x
1.0đ 1.0đ 1.0đ 2 (2đ) Cho x1 x2là hai nghiệm phương trình: x2 3x a 0, x3 x4là hai
nghiệm phương trình: x2 12x b 0
Biết x x x x1, , ,2 theo thứ tự lập thành cấp số nhân Hãy tìm a b, .
Gọi q công bội CSN
2 ; ;
x x q x x q x x q
Theo viet ta có: 1
1 2
2
3
3 4
(1 )
3
12 (1 ) 12
x q
x x
x x a
x x a
x x x q q
x x b x x b
Suy q 2 4
+ q = 2 x11 , giải a = 2, b = 32 +q = -2 x1 3, giải a = -18, b = -288
1.0đ
1.0đ Câu II.
(3đ)
1 (1.5đ) Cho k số tự nhiên thỏa mãn: 5 k 2014
Chứng minh rằng: 1 5
5 2014 2014 2014 2019
k k k k
C C C C C C C
Ta có: (1 x) (15 x)2014 (1 x)2019
5 2 3 4 5
5 5 5
2014 2013 2013 2014 2014 2014 2014 2014 2014 2014 2019 2018 2018 2019 2019
2019 2019 2019 2019 2019
(1 )
(1 )
(1 )
k k k k
M x C C x C x C x C x C x
N x C C x C x C x C x
P x C C x C x C x C x
Ta có hệ số xk P
2019k
C , P = M.N
Mà số hạng chứa xk M.N :
0 1 2 2 3 3 4 4 5 5
5 2014k k 2014k k 2014k k 2014k k 2014k k 2014k k
C C x C xC x C x C x C x C x C x C x C x C x
Vậy : 1 5
5 2014 2014 2014 2019
k k k k
C C C C C C C
0.5đ
0.5đ
0.5đ 2 (1.5đ) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:
m 1 x2 1 x2 2 2 1 x4 1 x2 1 x2
ĐK: 1 x , Đặt t 1 x2 1 x2
, t liên tục 1;1 t 0
2 2 1 2 0; 2
t x t
Pttt: ( 2) 2 2
2
t t
m t t t m
t
Xét ( ) 2; 0; 2
t t
f t t
t
, f t( ) liên tục 0;
2
4
'( ) 0, 0;
( 2)
t t
f t t
t
0.5đ
(3)( )
f t
nghịch biến 0; 2
Vậy pt cho có nghiệm thực f( 2) 1 m 1 f(0)
0.5đ
Câu III.
(3đ) Cho dãy số un xác định bởi: 1
sin
sin1; n n n
u u u
n
, với
,
n n Chứng minh dãy số un xác định dãy số bị chặn
Ta có: *
2 2
1 1
2,
1 2 n n N ,
2 2
1 1 1
1 1.2 2.3 ( 1)
1 1 1
1 2
2
n n n
n n n
Bằng qui nạp ta CM được: 2
sin1 sin sin
1
n
n u
n
Suy : 2 2 2 *
1 1 1
2 2,
1 n un n n N
Vậy dãy số un xác định dãy số bị chặn
1.0đ
1.0đ
1.0đ Câu IV.
(3đ)
Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC cạnh a tam giác BCD cân
D với
2
a
DC
1 (1đ) Chứng minh rằng: ADBC
Gọi M trung điểm BC, ta có:ABCđều nên AM BC, DBCcân nên
( )
DM BC BC AMD BCAD
1.0đ 2 (2đ) Gọi G trọng tâm tam giác BCD, tính cosin góc hai đường thẳng AG
CD, biết góc hai mặt phẳng (ABC) (BCD) 300.
Theo gt ta có góc MA MD 30
0
Kẻ GN//CD, nối AN +TH1: góc DAM 300, ta có: ,
3
a
MD a MG ABCđều nên
2
a
AM
Áp dụng định lí cosin cho AMG
ta có 13,
6
a CD a
AG GN ANCcó
3
a
AN Trong ANG
có cos(AGN)= 65
.Gọi góc (AG CD; )thì cos = 65
0.5đ
0.5đ
(4)+TH2: Góc AMD 1500 Tính tương tự ta có: cos = 13
0.5đ Câu V.
(3đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(2; 1), B(1;-2), trọng tâmG tam giác nằm đường thẳng x + y – = Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC 27
2
Gọi M trung điểm AB, ta có : 3; 2
M
Gọi C(a ; b),
suy 3; 0,(1)
3 3
a b a b
G d a b
,
mặt khác : ( ; )
10
a b
AB x y d C AB ,
Diện tích ( ; ) 27 10 27 27,(2)
2 2 10
a b
S AB d C AB a b
Từ (1) (2) ta có hệ:
9
9;
4 5
3 32 9
4 17;
3 22 17 2
2
a
C
a b b
a b
a a b
C a b
b
1.0đ
1.0đ
1.0đ
Câu VI.
(3đ) Cho số dương a b c, , thỏa mãn: a2 b2c2 3 Chứng minh rằng:
2
2 2 2
4 4
1 1 3 a b c
a b b c c a
Đẳng thức xảy nào?
Từ giả thiết ta có 0 a b c2, ,2 3
Áp dụng BĐT Cauchy ta có :
2
2
4
(3 )
3 a a 3 a a
Tương tự: 2
2
4
1 ;
3 b b 3 c c
Do đó: 2
2 2 2
4 4
1 1 (a 2)(b 2)(c 2),(1)
a b b c c a
Áp dụng BĐT Bun… ta có:
2 2 2 2
( 2)( 2) ( 1)( 1) ( ) ( )
2
a b a b a b a b a b
=3(( )2 2) ( 2)( 2)( 2) 3(( )2 2)( 2)
2 a b a b c 2 a b c
2
3
2( ) 3( ) ,(2)
2 a b c a b c
Từ (1) (2) ta BĐT cần chứng minh Đẳng thức xảy a=b=c=1
1.0đ
1.0đ