Chuyen de ve so phuc on thi DH nam 2010

Do vËy mµ c¸c em häc sinh kh«ng thÓ tr¸nh khái lóng tóng khi gÆp c¸c bµi to¸n vÒ sè phøc... Suy ra ®pcm.[r]

Một số dạng toán số phức

Lê xuân đại (GV THPT Chuyên Vĩnh Phúc)

Số phức vấn đề ch-ơng trình tốn giải tích lớp 12 Do mà em học sinh tránh khỏi lúng túng gặp toán số phức Bài viết giới thiệu số dạng toán số phức nhằm giúp bạn ôn thi ĐH-CĐ tốt Do khuôn khổ viết nên tác giả nêu số dạng toán liên quan đến dạng đại số số phức

Dạng 1: Bài toán liên quan đến phép biến đổi số phức Thí dụ 1: Gọi z z1, hai nghiệm ph-ơng trình

2

2 10

  

z z TÝnh z12 z2 2;

4

1 

z z

Lời giải Giải ph-ơng trình tìm hai nghiệm z1  1 ;i z2  1 3i, suy z1  z2  10 Do

2

1  20

z z vµ

4

1  200

z z

ThÝ dô 2: Cho hai sè phøc z z1, tho¶ m·n z1  z2 1; z1z2  TÝnh z1z2

Lời giải Đặt z1a1b i z1; a2b i2 Tõ gi¶ thiÕt ta cã

2 2

1 2

2

1 2

1

( ) ( )

    

 

   

 

a b a b

a a b b

Suy 2(a b1 1a b2 2) 1 (a1a2)2(b1b2)2 z1z2

Bài toán t-ơng tự: Cho hai sè phøc z z1, tho¶ m·n z1 3;z2 4; z1z2  37 T×m sè phøc  z z

z Dạng 2: Bài toán liên quan đến ph-ơng trình nghiệm phức

ThÝ dơ 3:Gi¶i ph-ơng trình nghiệm phức: z28 1( i z) 63 16 i 0 Lêi gi¶i Ta cã  ' 16 1( i)2 (63 16 i) 63 16 i (1 8 i)2

Từ ta tìm hai nghiệm z15 12 i; z2 3 4 i

ThÝ dơ 4: T×m hai sè thùc x,y tho¶ m·n: x(3 5 i)y(1 2 i)3 9 14 i

Lời giải Ta có x(3 5 i)y(1 2 i)3 x(3 5 i)y(11 2 i)(3x11y)(5x2y i) Do x,y thoả mãn hệ

3 11

5 14

x y

x y

  



  

Giải hệ ta đ-ợc 172 61

x vµ

61  

y

Thí dụ 5: Giải ph-ơng trình z32(1i z) 24(1i z) 8i0 biết ph-ơng trình có nghiệm ảo Lời giải Gọi nghiệm ảo lµ zbi b ( ) Ta cã:

2

3

3

2

( ) 2(1 )( ) 4(1 )( )

2

  



        

    

 

b b

bi i bi i bi i b

b b b

Khi phân tích PT cho t-ơng đ-ơng: 2

( )

2 



 

      

  



z i

z i z z

z z

Lời giải Đặt zabi a b ( , ), ta cã:

z  z

2

2

2

a b a

a bi a bi

ab b

   

     

  



( )

Giải hệ ta tìm đ-ợc

1

0

2

a b    

 

 

( ; ) ( ; );( ; ); ; VËy

1

0

2

z ; z ; z  i

Thí dụ 7: Tìm số nguyên x,y cho số phức zxyi thoả mÃn z3 1826i

Lêi gi¶i Ta cã

3

3

2

3 18

18 26

3 26

x xy

x yi i

x y y

  



    

  



( ) 18 3( x y2 y3)26(x33xy2)

Giải PT cách đặt ytx x ( 0) ta đ-ợc

 

t x=3,y=1 VËy z 3i

Trong nhiỊu tr-êng hỵp, dïng sè phức giải đ-ợc hệ ph-ơng trình khó, ta xÐt thÝ dơ sau:

ThÝ dơ 8: Gi¶i hệ ph-ơng trình:

2

2

3

3

0

x y

x

x y

x y

x y

y

x y

 

 



 

 



  

 



 ( , )

Lêi gi¶i Tõ hƯ suy ra: x yi 3x y2 x2 3y i x yi 32x yi2 i x2 yi2

x y x y x y

    

       

  

( ) ( ) ( ) ( )

Đặt zxyi ta đ-ợc PT ẩn z:

2

3

3

i z i

z z

z z

 

( )   ( )

Giải PT bậc hai tìm đ-ợc z2i z 1 i Từ tìm nghiệm hệ ( , )x y ( , );( ,2 1 )

Dạng 3: Tìm tập hợp điểm biĨu diƠn sè phøc tháa m·n ®iỊu kiƯn cho tr-íc

Thí dụ 9: Tìm tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng phức số phức z tho¶ m·n:

a) z  z3 4 i b)

z i

z i

  Lời giải a) Đặt zx yi x y ( , ), ta cã z  z3 4 i

x2y2 (x3)2(4y)2 6x8y25

Vậy tập hợp điểm cần tìm đ-ờng thẳng có ph-ơng trình 6x8y25

b) Đặt zx yi x y ( , ), ta cã 1

z i

z i z i x y i x y i

z i



          

 ( ) ( )

2 12 12 0

x y x y y

Ta cã z12(a1)2b2 4 (1)

Tõ  (1i 3)z2

3

1

3

x a b

x yi i a bi

y a b

    

       

 

 

( )( )

3

3

x a b

y a b

     

 

   



 ( )

Từ x3 2 y 4 a12 b216

 

( ) ( ) ( ) (do (1))

Vậy tập hợp điểm cần tìm hình trịn (x3)2(y 3)2 16, tâm I( ;3 3), bán kính R=4 Dạng 4: Số phức bất đẳng thức

Thí dụ 11: Chứng minh với số phức z, có hai bất đẳng thức sau xảy ra:

1

z  hc z2 1 1

Lời giải Giả sử ta có đồng thời

1

2

z  z211 Đặt zabi a b ( , )

Ta cã:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

1

1 2 4 1 1

2

2

1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

 

      

 



 

   

 

   



a b a b a

a b a b

a b a b

Céng tõng vÕ (1) với (2) ta đ-ợc (a2 b2 2) (2a1)2 (vô lý) Suy ®pcm

ThÝ dơ 12: Cho sè phøc z 0 tho¶ m·n 3

2 z

z

  Chøng minh r»ng:

2 z

z  

Lời giải Dễ chứng minh đ-ợc với hai số phøc z z1, 2 ta cã z1z2  z1  z2

Tõ

3

3

1 1

3

z z z

z z z

   

    

   

   

, suy

3

3

1 1

3

z z z z

z z z z

       

Đặt a z z

ta ®-ỵc a33a20(a2)(a1)2 0a2 (®pcm)

ThÝ dơ 13: Cho sè phức z thoả mÃn z2 i Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z Lời giải Đặt zabi a b ( , ) Ta cã z2 2 i 1

2

7 4( )

   

a b a b

Ðãt t z  a2b2 , ta cã a b  2(a2b2) 2.t Suy t274 2.t2 1  t 2 1

*

2

4

2 ;

2

2

  

  

        



  



a b

t a b a b

a b

Khi 4

2

 

 

z i

*

2

4

2 ;

2

2

  

  

        



  



a b

t a b a b

a b

Khi 4

2

 



z i

Vậy giá trị lớn z 2 giá trị nhỏ nhÊt cđa z b»ng 2 1

Bµi t-ơng tự: Cho số phức z thoả mÃn z 2i Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z Dạng 5: Tính toán biểu thức tổ hợp

Thí dụ 14: Tính giá trị AC20100 C20102 C20104 C20102008C20102010 Lời giải Xét khai triÓn:

   

2010

2010 2008 2010 2009

2010 2010 2010

2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010

0

1

( )



   k k           

k

i C i C C C C C C C C C i

MỈt kh¸c

1005

2010 1005 1005

1 2

(  ) (  )  ( ) 

 

i i i i

So sánh phần thực phần ảo (1i)2010 ta đ-ợc A0

+ Từ cịng suy kÕt qu¶ sau: BC12010C20103 C20105  C2010200921005 + B©y giê, ta xÐt khai triĨn

2010 2010

2010

1

( )



   k k

k

x C x (*)

Trong (*) lần l-ợt thay x=1 x=-1 ta đ-ợc:

0 2009 2010 2010

2010 2010 2010 2010 2010

0 2009 2010

2010 2010 2010 2010 2010

2

      

 

     

 

C C C C C

C C C C C

Suy

0 2008 2010 2009

2010 2010 2010 2010 2010

1 2007 2009 2009

2010 2010 2010 2010 2010

2

       

 

      

 

C C C C C C

D C C C C C

Từ kết A C ta suy tæng sau: PC20100 C20104 C20108  C20102004C2010200822008

Từ kết B D ta suy tæng sau: QC12010C20105 C20109  C20102005C20102009 2100422008 Cuèi số tập cho bạn luyện tập

Bài 1: Giải ph-ơng trình sau tËp sè phøc z3  z

Bài 3: Tìm tất số phức z thỏa mãn đồng thời điều kiện: |z| =   z

i z

số thực Bài 4: Cho n nguyên d-ơng Chøng minh r»ng: 81 83 (8 1) 88 24



    n  n

n n n

C C n C n

Bài 5: Giải hệ ph-ơng tr×nh:

1

3

1

7

x

x y

x y y

x y

  

 

  



  

 

 



 

 

 

 



 ( , )