Khái niệm dấu “=“ xảy ra khi hai số bằng nhau trong một số bài toán sẽ không thực hiện được Phương pháp BĐT Cauchy cho chúng ta các phương thức đối mặt với một số bài toán thực tế.. [r]
(1)VÀ ÁP DỤNG
BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ
(2)Chương
(3)Từ chương trình PTTHCS ta làm quên với BĐT sau:
Dấu đẳng thức xảy
(4)
Tại Việt Nam nước Đơng Âu:
-BĐT giá trị trung bình cộng trung bình nhân
BĐT Cauchy
-BĐT Cauchy
Bunhiacovski, Cauchy - Bunhiacovski hoặc Cauchy - Schwarz
Theo chuyên gia BĐT thơng lệ quốc tế:
-BĐT tích phân dạng tương tự Cauchy có tên
DẪN CHƯƠNG
(5)Xét hai số dương a, b
Nếu tổng a + b = const a.b đạt max a = b
Nếu tích a.b = const (a+b) đạt a = b Hai nhận xét tương đương với:
(6)DẪN CHƯƠNG
Với số ta ln có bất đẳng thức sau
Bất đẳng thức (1.4) thường gọi bất đẳng thức Cauchy (đơi cịn đ ợc gọi bất đẳng thức Bunhiacovski, bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacovski bất đẳng thức Cauchy – Schwarz)
(7)Ta có nhận xét bất đẳng thức Cauchy dạng sơ đẳng
có thể xem bất đẳng thức tam thức bậc hai trường hợp dấu đẳng thức xảy
Khi đó, ta dễ dàng mở rộng cho tam thức bậc để có bất đẳng thức tương tự (1.8) cách thay số số Thật vậy, ta cần thiết lập bất đẳng thức dạng
Sao cho dấu đẳng thức xảy
(8)Đây bất đẳng thức Bernoulli quen biết
Bất đẳng thức Bernoulli dạng (1.10) sử dụng trường hợp đảm bảo chắn dấu đẳng thức xảy
Trong trường hợp, dấu đẳng thức xảy cho trước, ta cần chuyển đổi số số cho cách: -Tịnh tiến
- Đồng dạng (tốt với Bernoulli)
(9)Tiếp theo ta lại có nhận xét bất đẳng thức Cauchy dạng sơ đẳng
có thể xem bất đẳng thức tam thức bậc (2,1) (ứng với luỹ thừa luỹ thừa ), trường hợp dấu đẳng thức xảy
Khi đó, ta dễ dàng mở rộng cách tự nhiên cho tam thức bậc
để có bất đẳng thức tương tự (1.12) cách thay luỹ thừa số luỹ thừa Ta có:
(10)Nhận xét từ đẳng thức cho số thực ta mở rộng (theo nhiều cách thức khác nhau) thành đẳng thức cho số phức Chẳng hạn, ta coi số thực cho phần thực số phức
Ta nêu số đồng thức sau cần sử dụng
DẪN CHƯƠNG
(11)(12)Định lý Với số phức ta ln có đẳng thức sau
Hệ thức (1.6) cho ta bất đẳng thức Cauchy sau số phức
(13)Hệ Với số phức ta có bất đẳng thức sau
(14)Khi đó, theo định lý đảo tam thức bậc hai
hay
Từ suy
(15)Theo bất đẳng thức Cauchy,
Vậy nên
(16)
VD1: Xét số nguyên dương x, y có tổng x + y = Khi đó, tích (x.y) đạt max x = y = 9/2 (theo Cauchy) Tuy nhiên x, y nguyên dương điều không xảy
Khái niệm dấu “=“ xảy hai số số toán không thực Phương pháp BĐT Cauchy cho phương thức đối mặt với số toán thực tế
DẪN CHƯƠNG
(17)VD2: Xét số x, y, z thoả mãn: xy + yz + zx = Tìm x2 + y2 + z2 hay x4 + y4 + z4
Ta cần biến đổi thông qua x + y + z, xy + yz + zx, x.y.z tường minh Tuy nhiên tìm x2 + 2y2 + 3z2 kỹ thuật thơng thường bị đổ vỡ
(18)Độ gần thứ tự dãy cặp điểm Từ bất đẳng thức
Ta suy với cặp số không âm với tổng cho trước tích đạt giá trị lớn
Tuy nhiên x, y biến đổi miền miền x khác y chúng đạt vị vị trí x y gần khái niệm độ gần
(19)Xét cặp số không âm Ta gọi hiệu
là độ lệch cặp số độ gần cặp số Nếu ρ(x,y) = x = y cặp
(20)(21)Khi ta có cặp số a, b dương có tổng
Ta có loạt số: (1,8), (2,7), (3,6), (4,5) có tổng Tất có chung đặc trưng:
(x.y) ≤ (9/2)2
Nếu xem xét kỹ ta thấy tích: 1.8 < 2.7 < 3.6 < 4.5
(22)Định lý Xét cặp số không âm với tổng không đổi (để đơn giản, ta chọn ) Khi
Khi cặp gần cặp
(23)Định lý Xét cặp số không âm với tích khơng đổi (để đơn giản, ta chọn ) Khi
(24)Định lý (H W Melaughlin, F T Metcalf) Với cặp dãy số dương cho
ta có
đây dạng nội suy bất đẳng thức Cauchy [0,1]
(25)Kỹ thuật tách ghép số
Thông thường xem xét BĐT Cauchy BĐT số Tuy nhiên thực tế, đa số số xuất phát từ số (1 số cố định số thu từ biến đổi số cố định này)
Đây toán dùng nhiều phân tích cấu trúc Thực chất kỹ thuật tách ghép cách thứ tự điều chỉnh số theo trình gần theo nhóm
(26)(27)Thứ tự lại thứ tự số
Cho số gồm số a,b, c thoả mãn a < b < c Khi gọi:
a min(x,y,z); c max(x,y,z); b med(x,y,z), ta có:
(28)Cho Δ ABC Dưới góc độ bất biến, khơng kể độ lớn ta khẳng định:
Ba góc A, B, C > A + B + C = π
Trong tam giác ta có: A = B = C = π/3
Như cho Δ Δ xa Δ hiệu max tam giác lớn khơng, cịn hiệu giưa max tam giác không
Do tốn BĐT thường ta so sánh BĐT cho với BĐT tam giác
(29)Khơng tính tổng qt coi A góc lớn nhất, góc C góc nhỏ nhất, hiển nhiên ta có:
A ≥ π/3 max ≥ (A+B+C)/3 C≤ π/3
Thứ tự số đó: A ≥ π/3
A + B ≥ π/3 + π/3
A + B + C = π/3 + π/3 + π/3 = π
(30)Xét Δ ABC không nhọn (tù vng), A > B > C, ta có: A ≥ π/2
C ≤ π/4 B + C ≤ π/2 Ta thấy rằng:
Trong tam giác khơng nhọn tam giác vng cân tam giác gần Vì ta có BĐT liên quan đến tam giác so sánh với tam giác ta có BĐT liên quan đến tam giác không nhọn so sánh với tam giác vuông cân
(31)Ứng dụng BĐT Cauchy nhiều
Đặc biệt liên quan đến tam thức bậc hai, ứng dụng lớn tìm max dạng phân thức
Dạng phân thức có cấu trúc trặt gặp nhiều toán thi Olympic quốc gia quốc tế dạng phân thức mà tử số mẫu số đa thức bậc không hai
(32)1.1 TAM THỨC BẬC HAI
• BÀI GIẢNG
1.1 Tam thức bậc hai
Ta cã bất đẳng thức bản:
Dấu đẳng thức xảy
Gần với bất đẳng thức (1.1) bất đẳng thức dạng sau:
hay
(33)Xét tam thức bậc hai:
Khi
(34)Định lý 1.1 Xét tam thức bậc hai:
i) Nếu
ii) Nếu Dấu đẳng thức xảy
1.1 TAM THỨC BẬC HAI
(35)iii) Nếu với
Trong trường hợp này,
(36)1.1 TAM THỨC BẬC HAI
• BÀI GIẢNG
Định lý (Định lý đảo) Điều kiện cần đủ để tồn số cho
là:
(37)(38)
1.1 TAM THỨC BẬC HAI
• BÀI GIẢNG
(39)1.1.2 Phươngưpháp:
Xét đa thức bậc hai hai biến (xem tam thức bậc hai )
Khi đó,
Vậy hiển nhiên
(40)1.1 TAM THỨC BẬC HAI
• BÀI GIẢNG
1.1.3 Áp dụng lý thuyết:
Ví dụ Cho số thực cho Tìm giá trị nhỏ biểu thức
Ví dụ Cho Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức
(41)1.1.4 Tam thức bậc tam thức bậc Bất đẳng thức Cauchy dạng sơ đẳng
Khi xem bất đẳng thức tam thức bậc hai Ta cần thiết lập bất đẳng thức dạng
sao cho dấu đẳng thức xảy
(42)Bất đẳng thức Cauchy dạng sơ đẳng
có thể xem bất đẳng thức tam thức bậc (2,1) (ứng với luỹ thừa luỹ thừa ), dấu đẳng thức xảy
Mở rộng cho tam thức bậc
bằng cách thay luỹ thừa số luỹ thừa Thật vậy, ta cần thiết lập bất đẳng thức dạng
sao cho dấu đẳng thức xảy
1.1 TAM THỨC BẬC HAI
(43)Sử dụng phép đổi biến ta đưa (1.13) dạng
So sánh với (1.8), ta thấy cần chọn Vậy nên
Hay
(44)Định lý Giả sử cho trước cặp số thỏa mãn điều kiện
Khi
Dấu đẳng thức xảy
1.1 TAM THỨC BẬC HAI
(45)Định lý Tam thức bậc dạng
(46)Hệ Tam thức bậc dạng
Trong có tính chất sau
1.1 TAM THỨC BẬC HAI
(47)(48)1.2.1.DạngưthuậnưcủaưbấtưđẳngưthứcưCauchy:
Tiếp theo thực ý tưởng Cauchy (Augustin-Louis Cauchy 1789 – 1857) tổng
Ta nhận tam thức bậc hai dạng
nên
1.2 BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
(49)Với số ta ln có bất đẳng thức sau
Dấu đẳng thức (1.4) xảy số tỷ lệ với nhau, tức tồn cặp số thực không đồng thời 0, cho
(50)1.2.2 Dạng phức bất đẳng thức Cauchy
Nhận xét từ đẳng thức cho số thực ta mở rộng (theo nhiều cách thức khác nhau) thành đẳng thức cho số phức Chẳng hạn, ta coi số thực cho phần thực số phức
Ta nêu số đồng thức sau cần sử dụng
1.2 BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
(51)(52)Định lý Với số phức ta ln có đẳng thức sau
Hệ thức (1.6) cho ta bất đẳng thức Cauchy sau số phức
1.2 BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
(53)1.2.3 Dạng đảo bất đẳng thức Cauchy
Hệ Với số phức ta ln có bất đẳng thức sau
(54)Khi đó, theo định lý đảo tam thức bậc hai
hay
Từ suy
1.2 BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
(55)Theo bất đẳng thức Cauchy,
Vậy nên
(56)
Bạn hoàn thành Mục 1.2 Chương 1
1.2 BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
(57)Định lý 1.(H W Mclaughlin) Với số thực ta có
Dấu đẳng thức xảy
(58)ứng với
Tương tự, ta mở rộng bất đẳng thức Cauchy cho bốn số
Sử dụng kỹ thuật bất đẳng thức Cauchy ta thu
1.3.MỘT SỐ BĐT LIÊN QUAN
(59)Định lý (A M Ostrowski) Cho hai dãy không tỷ lệ dãy số thực thỏa mãn điều kiện
(60)Dấu đẳng thức xảy
1.3.MỘT SỐ BĐT LIÊN QUAN
(61)Định lý (K Fan and J Todd) Với dãy số thực
(62)Bạn hoàn thành Mục 1.3 Chương 1
1.3.MỘT SỐ BĐT LIÊN QUAN
(63)1.4.1 Độ gần thứ tự dãy cặp điểm Từ bất đẳng thức
Ta suy với cặp số khơng âm với tổng cho trước tích đạt giá trị lớn Vậy
(64)1.4 PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
• BÀI GIẢNG
Định nghĩa (i) Xét cặp số không âm với tổng không đổi (để đơn giản, ta chọn ) Ta gọi hiệu
là độ lệch cặp số độ gần cặp số
(65)Định nghĩa (i) Xét cặp số dương với tích khơng đổi (để đơn giản ta chọn ) Ta gọi hiệu
là độ lệch cặp số độ gần cặp số
(66)1.4 PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
• BÀI GIẢNG
Định lý Xét cặp số không âm với tổng không đổi (để đơn giản, ta chọn ) Khi
(67)Định lý Xét cặp số không âm với tích khơng đổi (để đơn giản, ta chọn ) Khi
(68)Định lý (H W Melaughlin, F T Metcalf) Với cặp dãy số dương cho
ta có
đây dạng nội suy bất đẳng thức Cauchy [0,1]
1.4 PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
(69)1.4.2 Kỹ thuật tách ghép số
Trong năm gần đây, nhiều dạng bất đẳng thức đề kỳ thi Olympic quốc tế, vô địch quốc gia nhiều nước giới Rất nhiều toán bất đẳng thức xuất phát từ phép biến đổi biểu thức đối xứng theo kiểu (đặc thù) khác
Trong mục đưa số dạng bất đẳng thức giải dựa chủ yếu vào kỹ thuật tách, ghép điều chỉnh hệ số bất đẳng thức
(70)1.4 PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
• BÀI GIẢNG
Để minh hoạ để tính tốn đơn giản, ta chủ yếu xét ví dụ với cặp ba biến Thực chất kỹ thuật cách thứ tự điều chỉnh số theo trình gần theo nhóm
(71)Bài tốn 1.14 Cho Chứng minh
Nhận xét 1.3 Bằng phương pháp tương tự, ta dễ dàng chứng minh bất đẳng thức sau:
Với cặp số dương số dương với tổng ta có
(72)1.4 PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
• BÀI GIẢNG
Bài toán 1.16 (APMO 1991) Cho hai số dương có chung tổng
Chứng minh
(73)Bài toán 1.18 (Japan MO – 2004) Cho Chứng minh
Bài toán 1.19 (MO Romanian 2004) Chứng minh với ta có
Bài tốn 20 (MO USA) Xét số dương thỏa mãn điều kiện
(74)1.4 PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
• BÀI GIẢNG
Bài tốn 21 Chứng minh rằng, với số dương thỏa mãn điều kiện ta có
Bài toán 22 Chứng minh với số dương ta có
(75)Bài toán 24 Cho hai số dương Chứng minh rằng
(76)1.4 PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
• BÀI GIẢNG
1.4.3 Thứ tự lại thứ tự số
Kỹ thuật để phù hợp với đặc thù tốn đóng vai trị tích cực việc định hướng sáng tác tập định hướng cách chứng minh bất đẳng thức
Chú ý rằng, sau lại thứ tự số, chẳng hạn ta thấy ngay cặp số gần cặp
(77)hay
Một cách tổng quát với số
(78)1.4 PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
• BÀI GIẢNG
1.4.4 Điều chỉnh lựa chọn tham số
Đối với số bất đẳng thức đồng bậc dạng khơng đối xứng dấu đẳng thức bất đẳng thức thường xảy giá trị biến tương ứng không
Kỹ thuật giải tốn cực trị dạng khơng đối xứng xây dựng thuật tốn thứ tự gần
•Tham số tự cần thiết thường giá trị trung gian xác định sau theo cách chọn đặc biệt để tất dấu đẳng thức đồng thời xảy
(79)Bài toán 1.29 Cho số dương Xét số dương thỏa mãn điều kiện
Tìm giá trị nhỏ biểu thức
Bài toán 1.30 Cho số dương Xét số dương thỏa mãn điều kiện
(80)Nhận xét 1.5 Hai tốn hồn tồn giải theo phương pháp tam thức bậc hai thơng thường
Bài tốn 1.31 (Thi chọn đội tuyển Việt Nam dự IMO – 1994) Xét số thực
thỏa mãn điều kiện
Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức sau
1.4 PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
(81)Bài toán 1.32 Xét số thỏa mãn điều kiện
(82)Bạn hoàn thành Mục 1.4 Chương 1
1.4 PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
(83)(84)• BÀI GIẢNG
Ta có đồng thức
Để ý nên ta có
Vì coi bất đẳng thức Cauchy thực chất bất đẳng thức suy từ đẳng thức đáng nhớ
(85)Xét với
Đồng thức Lagrange
(86)• BÀI GIẢNG
Chứng minh với số ta có
Hệ quả: Từ đồng thức ta thấy VP > nên suy VT >0 Khi chia hai vế cho
(87)Các tập
(88)• BÀI GIẢNG
Bài tốn 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức
HD giải: Trường hợp thì
có thể tìm GTLN, GTNN phương pháp tam thức bậc hai Tìm giá trị y để phương trình (1) có nghiệm
có nghiệm
(89)*) phương trình có nghiệm
1) Với nên bất phương trình có nghiệm tam thức bậc hai (2) >0
(90)• BÀI GIẢNG
2) Với ta khơng áp dụng trường hợp trên, tốn tìm giá trị LN, NN trở thành tìm GTLN, NN miền
Ví dụ: Xét biểu thức đối xứng
(91)Bài toán 2: Cho số thực cho
Tìm giá trị nhỏ biểu thức
Giải: Đặt Khi xét
1) Nếu
(92)• BÀI GIẢNG
Ta nhận thấy ký hiệu
Ta cần tìm
Nhận xét:
+)
+) Khơng tính tổng qt xem (1) ta có Khi
(93)(94)• BÀI GIẢNG
Dấu “=“ đạt
Trong
(95)Bài tốn 3: Giả sử số thực thoả mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ biểu thức
Giải: Ta có
(96)• BÀI GIẢNG
Ta xét biểu thức tam thức bậc u nghĩa là:
Theo (1) ta có
(97)Bài toán Cho tam thức bậc hai thỏa mãn điều kiện
Tìm giá trị lớn với HD giải: Ta có:
(98)• BÀI GIẢNG
Ta lại có
(99)Vì nên Do
(100)• BÀI GIẢNG
(101)Xét trường hợp đặc biệt: Với
Dấu “=“ xảy
Bất đẳng thức xét bất đẳng thức chuyển đổi điểm điểm điểm đoạn
(102)• BÀI GIẢNG
thì bất đẳng thức (1) có dạng
Hỏi có xảy bất đẳng thức sau hay không?
Nếu (2) xảy ta thay 0; bất đẳng thức cho ta quy trình chuyển từ bậc sang bậc gọi tam thức bậc
(103)Bài toán 1: Cho
(104)• BÀI GIẢNG
HD giải:
(105)Bài toán 2: Cho
(106)• BÀI GIẢNG
HD giải:
Chia hai vế cho ta
Đặt Ta có
Khơng tính tổng qt ta xét Xét hàm số
(107)Ta có
Đặt
(108)• BÀI GIẢNG
Thật
vì