toán cao cấp – lien giao

Hệ phương trình thuần nhất chỉ có hai trường hợp nghiệm: có nghiệm tầm thường hoặc có vô số nghiệm.. Sinh viên có thể kiểm tra đây là hệ Cramer do det A = -16 nên áp dụng phương pháp [r]

(1)

Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH I.Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm:

Ví dụ:

Xét xem hệ phương trình sau có nghiệm:

ax by e

cx dy f

 

 

 

 có nghiệm

Hướng dẫn:

Nếu ad bc 0, tức hạng ma trận hệ số 2, hệ có nghiệm

Nếu ad - bc = 0 có số a, b, c, d khác để hệ có nghiệm ta phải có

0 af ce bf   de

Trường hợp a b c d   0thì để hệ có nghiệm ta phải có ef 0 - Sinh viên cho ví dụ minh họa

Bài 1: Tìm điều kiện để hệ phương trình sau có nghiệm:

ax y z a x by z b x y cz c

   



  



    

Hướng dẫn:

Dựa vào định lý Cronecker Capelli để suy điều kiện có nghiệm hệ Bài 2:

Cho hệ phương trình

+ (1 ) (1 )

mx y z m

x m y m z m

x y mz

 

 

     



   



Tìm giá trị m để hệ có nghiệm Hướng dẫn:

- Nếu m = hệ có vơ số nghiệm

- Nếu m1,m2 hệ có nghiệm II Giải hệ phương trình tuyến tính

1 Phương pháp Cramer:

Ví dụ: Giải hệ phương trình sau phương pháp Cramer:

1

2 6; ) 16;

5 16

x x x

a x x x

x x x

  

 

  



   



Hướng dẫn

(2)

1 2

A



 

 

 

 

 

Ta có: detA = Đây hệ Cramer

Áp dụng phương pháp Cramer ta có:

1

6 1

16 ; 16 ; 16

16 16 16

A A A

 

     

     

    

     

     

Khi hệ phương trình có nghiệm

1

2

3

det det det

1 det det

1 det

A x

A A x

A



  

  

  

 

 

  

 

Bài 1: Giải hệ phương trình sau: a)

1

2 6; 10;

5 16

x x x

  

 

  



   



b)

1

7 15; 15; 10 11 36

x x x

  

 

  



   

 c)

1

2 1;

2 4;

4

x x x

  

 

  



   



d)

1

3 5;

2 1;

2 11

x x x

  

 

  



   



e)

1

2; 2;

2 2;

2

x x x x

   

 

   

 

   



    



f)

1

2 5;

3 1;

3 2;

2 2

x x x x

   

 

   

 

   



    



g)

1

5; 3;

4 7;

3 2;

x x x x

   

 

   

 

   



    



h)

1

2 2;

4 3;

8 6;

3 2 3;

x x x x

   

 

   

 

   



    

 Hướng dẫn:

(3)

Bài Kiểm tra xem hệ phương sau có phải hệ Cramer hay khơng? Giải hệ phương trình

1

2 5;

3 1;

3 8;

2 2

x x x x

   

 

   

 

   



    



Hướng dẫn

Xét ma trận hệ số hệ phương trình ta có: :=

B



       



       

2 1 -3 -4 -2 2 -3 Ta có: detB = -192

Suy ra, hệ Cramer

Áp dụng phương pháp Cramer để giải hệ phương trình trên:

:=

B1



       



       

5 -1 -3 -4 -2 2 -3

:=

B2



       



       

2 5 -1 -3 -4 -2 2 -3

:=

B3



       



       

2 1 -1 -4 2 -3

:=

B4



       



       

2 5 1 -3 -1 -2 2 2 Khi hệ phương trình có nghiệm sau:

1

2

3

4

det 96 det 192 det 204 17

det 192 16 det 36

det 192 16 det 96

det 192

B x

B B x

B

 

  

 





   

 





   

 

   

 

(4)

Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận hệ số mở rộng hệ phương trình dạng bậc thang rút gọn, sau áp dụng định lý Cronecker Capelli để tìm trường hợp nghiệm hệ

Ví dụ: Giải hệ phương trình sau:

1

2; 2;

2 2;

2

x x x x

   

 

   

 

   



    



Hướng dẫn

Xét ma trận hệ số mở rộng hệ trên, dùng phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa ma trận dạng bậc thang rút gọn

Ta có:

1 1 0 2 0 9 0 1 0 1

A

    

   

  

    

   

   

Khi đó, hệ phương trình có nghiệm là:

2

6

x x x x

  

  

    

Bài 1: Giải hệ phương trình sau phương pháp Gauss: a)

1

2; 2;

2 2;

2

x x x x

   

 

   

 

   



    



b)

1

2 5;

3 1;

3 8;

2 2

x x x x

   

 

   

 

   



    



c)

1

5; 3;

4 7;

3 2;

x x x x

   

 

   

 

   



    



d)

1

2 2;

4 3;

8 6;

3 2 3;

x x x x

   

 

   

 

   



    

(5)

e)

1

2

5; 3;

2 8;

x x x x

x x x

   

 

   

 

   



   



1

2 2;

4 3;

)

6 6;

3 2 3;

x x x x

f

x x x x

   

 

   

 

   



    

 Hướng dẫn: Làm tương tự ví dụ. Bài 2: Giải hệ phương trình sau:

1

2; 2;

2

x x x x

   

 

   



    



III Giải hệ phương trình nhất: Hướng dẫn:

Hệ phương trình có hai trường hợp nghiệm: có nghiệm tầm thường có vơ số nghiệm

Bài 1: Giải hệ phương trình sau:

1

0; 0; 0;

x x x x

    

 

   

 

   



    



Hướng dẫn:

Xét ma trận hệ số hệ phương trình trên: :=

A



       



       

-1 1 1 -1 1 1 -1 1 1 -1

Thực phép biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận A dạng bậc thang rút gọn sau: 0

0 0 0 0 0

A

 

 



 

 

(6)

Sinh viên kiểm tra hệ Cramer detA = -16 nên áp dụng phương pháp Cramer ta có hệ phương trình có nghiệm tầm thường

1

2

3

4

5

2 0;

2

x x

x x x

x x

 

 

   



   

 

   



   



  

 

Hướng dẫn

Xét ma trận hệ số hệ phương trình trên:

:=

B



            



            

2 -1 0 0 -1 -1 0 0 -1 -1 0 0 -1 -1 0 0 -1 -1 0 0 -1 Ta có: detB = 7, nên hệ Cramer

Suy hệ phương trình có nghiệm tầm thường

Chú ý: Đối với hệ phương trình hạng ma trận hệ số r <n với n số ẩn hệ hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc vào n – r tham số

Ví dụ

Giải hệ phương trình sau:

1

2 0;

3

x x x

  

 

  



   



Hướng dẫn

Xét ma trận hệ số hệ phương trình có:

2

3 3

2

1 1 1

2 0 0

1 1 0 0

d d d

d d d d d

A

 

  

     

     

       

     

     

(7)

1

0

x t

x

x t

  

 

  

 

1

2 0;

) 0; )

6 20 0;

4

x x x x

a x x x x b

x x x x



   



   

 

   

 

   

 

   

     

 

   





IV Giải biện luận hệ phương trình tuyến tính. Hướng dẫn:

Dùng phương pháp Gauss để giải biện luận trường hợp nghiệm hệ phương trình tuyến tính dựa vào định lý Cronecker Capelli

Bài Giải biện luận hệ phương trình sau theo tham số:

1

2

1

3 3;

1;

2 5;

) ; )

6 20 11;

4

x x x x

mx x x

x x x x

a x mx x m b

x x x x

x x mx m

x x x x

   



    

   

 

  

 

   

 

  

     

 Hướng dẫn

a) Lập ma trận hệ số mở rộng hệ pt dùng phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận dạng bậc thang

1

1 3

3

2

1 1 1 1

1 1 1

1 1 1 1

1

0 1

0

d d d

d d d d md

d d d

m m m m m

A m m m m m m m m

m m m m m m

m m

m m m m

m m m m m

 

  

 

   

 

   

 

              

   

    

     

 

 

        

      

 

Ta có

2

m m m m

        Nếu m =1

1 1 0 0 0 0

A

 

 

 

 

 

(8)

1

2

3

1

x t t

x t

   



  

   

 

Nếu m = -2

1 1 3 0

A

 

 

   

 

 

hệ pt vô nghiệm

Nếu m ≠ m ≠ -2 hệ có nghiệm

 

2

(2 1)

2

m m

x

m m x

m

   

 

 

 

 

 

 

   

b) Lập ma trận hệ số mở rộng thực phép biến đổi sơ cấp dịng ta có:

2

3

1 4

3

4

2

3 1 1

2 8 5 16

1 20 11 20 11 16

4 4 16 10

1

d d d d d d

d d d d d d

d d d d d d

A

  

   

 

 

             

     

        

                 

     



     

     

   

1 16 0 0 0 0       

 

 

Nếu 0 hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc tham số

2

1 5 16 5

x t

  



  

  

   



  

 



Nếu 0thì hệ vơ nghiệm

Bài 2: Xét hệ phương trình có ma trận hệ số mở rộng sau 1 1

1 1 1 1 1 1

m m A

m m

 

 



 

 

a) Giải hệ pt với m =

(9)

Hướng dẫn: a)

Với m = hệ phương trình có vơ số nghiệm phụ thuộc tham số:

1

2

3

4

1

x t t t

x t x t x t                    

b) Làm tương tự ví dụ

Bài 3: Giải biện luận hệ phương trình sau:

a)

1

2

1

1; ;

x x x

x mx x m

x x mx m

              b)

1

2

1

3

1

1; ;

;

mx x x x

x mx x x m

x x mx x m

x x x mx m

                       c)

1

4; 3;

2

ax x x

x bx x

x x x

              d)

1

2

1

2

1

; ;

x ax a x a

x bx b x b

x cx c x c

              e)

1

( 1) 1; (4 2) 1; ( 1)

x m x x

x x m x

x m x x

                 f)

1

1; 1; 1;

x x x x

                           g)

1

( 3) ;

( 1) ; 3( 1) ( 3)

m x x x m

mx m x x m

m x mx m x

                  h)

1

2

1

(3 1) (3 1) 1;

2 (3 1) ;

( 1) ( 1) 2( 1)

m x mx m x

mx mx m x m

m x m x m x m

                    k)

1

1; 2;

x mx m x

x x x

              l)

1

2 ;

2 1;

7

x x x x m

                  m)

1

2 ;

2 2 1;

3 3

x x x x m

                  n)

1

2 0;

2 3;

3 3;

x x x x

x x x

x x m

                    o)

1

2 1;

2 2;

7 11 ;

4 16

x x x x

x x x x m

                        p)

1

2 4;

2 3;

2 2 3;

2

x x x x

x x x x m

                       q)

1

2 3;

1;

3 6;

5

x x x x x

x x x x m

(10)

Làm tương tự ví dụ

V Giải hệ phương trình phương pháp thích hợp: Bài Cho aijlà số nguyên Giải hệ phương trình sau:

1 11 12

2 21 22 2

1 2

1

;

1

;

n n

n n n nn n

x a x a x a x



   

 

    

   

    

 

Hướng dẫn

Hệ phương trình cho tương đương với

11 12

21 22 2

1 2

(2 1) 0;

(2 1) n n

n n

n n nn n

a x a x a x

a x a x a x

a x a x a x

    

 

    

  

     



Giả sử Anlà ma trận hệ số hệ phương trình đó:

11 12

21 22

1

2

2 det

n

n n

n n nn

a a a

A

a a a



 



Vì hệ số aijlà số nguyên nên phần bù đại số số An ij số nguyên, khai triển định thức theo dịng cuối ta có

11 12 1,

21 22 2,

1

1,1 1,2 1,

2 2

det (2 1) det

n

n nn n

n n n n

a a a

A k a l A

a a a

 



   



    

Suy ra, detAn detAn12llà số chẵn, detAn,detAn1có tính chẵn lẻ, mặt khác

1 11

detA 2a 1là số lẻ nên detA0(vì số chẵn)

Vậy hệ hệ Cramer có ma trận hệ số khác nên có nghiệm tầm thường Bài 2: Giải hệ phương trình sau phương pháp thích hợp

; ;

;

x y z t a x y z t b x y z t c x y z t d

     



    



    

     

(11)

Bài 1: Tìm tam thức bậc hai f(x) biết: f(1) = -1; f(-1) = 9; f(2) = -3

Bài 2: Tìm đa thức bậc ba g(x) biết: g(-1) = 0; g(1) = 4; g(2) = 3; g(3) = 16 Hướng dẫn

1) Giả sử tam thức bậc hai f x( ) ax2 bx c

   Theo giả thiết đề a, b, c cần tìm thỏa hệ phương trình:

1

9

4

a b c a

a b c c

a b c b

   

 

 

    

 

     

 

2) Giả sử đa thức bậc ba có dạng: g x( ) ax3 bx2 cx d

   

Theo giả thiết đề a, b, c, d cần tìm thỏa hệ pt:

4

8

27 16

a b c d a b c d

a b c d

     

     



   



    



Giải hệ pt pp Gauss

4 4

3 1

2

3

8

6

1 1 1 1 1 1

1 1 2 2

8 12

27 116 3 0

1 1

0 2

0

d d d d d d

d d d d d d

d d d A

   

 

 

           

     

         

      

     

   

     

     

 

    

 



4

1 1

0 2

23 0 23

7 0 30

dd d

     

   

      

       

   

   

Vậy hệ có nghiệm

2 11

1 12 30

4

a b c d

   

           

Bài 3: Xét mặt phẳng tọa độ Oxy

a) Tìm điều kiện cần đủ để điểm M x y M x y1( ; );1 2( ; );2 M x y3( ; )3 nằm đường thẳng

(12)

1 1

2 2

3 3

0 0

a x b y c a x b y c a x b y c

  

 

  



   



cắt điểm

Hướng dẫn:

a) Ba điểm M x y M x y1( ; );1 2( ; );2 M x y3( ; )3 nằm đường thẳng ax + by + c= hệ phương trình tuyến tính axibyi c 0,i1, 2,3 có nghiệm tầm thường

b) Một họ đường thẳng điểm hệ phương trình đường thẳng có nghiệm

1 1 1

2 2 2

3 3 3

2

a b a b c

r a b r a b c

a b a b c

   

   

 

   

   

Bài 4: Cho hệ phương trình: * * *

* * * * * *

x y z

  

 

  



   



Hai người điền hệ số vào dấu * Chứng minh người đầu làm cho hệ phương trình có nghiệm tầm thường Người thứ hai có đạt điều khơng?

Hướng dẫn: Người đầu điền hệ số a a a a a11, 13, 22, 31, 33

Chọn '

11 0, 22 22 12 21/ 11

a  a a  a a a  Khi đó, đưa hệ dạng: 11

' '

22 23

'

32 33

* * 0 '

a x y z

a y a z

a y a z

  

 

 

 

 



Vì a a11, '22 0, nên cần chọn a33sao cho

' ' ' '

22 33 23 32 a a  a a  Người thứ khơng đạt điều người thứ chọn hệ số

BÀI TẬP CỦNG CỐ:

1) Giải biện luận hệ phương trình sau:

a)

1

2

2 3

3

2

x x x x

x x x x x m

x x x x m

   

 

   

 

    



     



b)

1

1 1

mx x x x

x mx x x

x x mx x

   

 

   



    



c)

1

1 1

x x x mx

x x mx x

x mx x x

mx x x x

   

 

   

 

   



    



d)

1

2

1

3

1

x x x mx

x x mx x m

x mx x x m

mx x x x m

   

 

   

 

   



    

(13)

1

2 3

n

n n n

n

n n

x x x

x nx n x

 



   

 

   

 

   

  

    



3) Chứng minh hệ phương trình

11 12

21 22 2

1 2

0

n n

n n nn n

a x a x a x

   

 

   

  

    



Trong aij ajivà n lẻ có nghiệm khác 4) Xét hệ phương trình:

1

2

6

mx x x

x mx x

mx x x

  

 

   



   



a) Tìm điều kiện m để hệ pt hệ Cramer

b) Với điều kiện m tìm câu a, giải hệ pt pp Cramer

5) Cho hệ phương trình tuyến tính Ax = b. Trong đó, A ma trận vng cấp n hệ số nguyên, b n

 

a) Chứng minh | |A 1thì hệ có nghiệm nguyên b) Ngược lại, với b n

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	379,5 KB