10 Bài Toán bồi dưỡng HSG 9 và Luyện thi lên lớp 10 Chuyên (Chuyên đề: Số học)

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễ[r]

Câu 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2

2x 4x 3 y  19 0

Câu 2: Cho a, b số nguyên dương thỏa mãn a1 b2019 chia hết cho Chứng minh 4a + a + b chia hết cho

Câu 3: Có số nguyên dương có chữ số abc ed cho abc(10de) chia hết

cho 101?

Câu 4: (PHNK- ĐHQG Tp Hồ Chí Minh 2013-2014)

Cho

3a

M a   với a số nguyên dương a) Chứng minh ước số M số lẻ

b) Giả sử M chia hết cho 5, tìm a Với giá trị a M lũy thừa 5?

Câu 5: Cho x, y, z số tự nhiên thỏa 2

x y z Chứng minh xyz chia hết cho

60

Câu 6: (KHTN- ĐHQG Hà Nội 2013-2014)

Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn: 2

5x 8y 20412

Câu 7: Cho *

1.2 2.3 3.4 ( 1);( )

n

S     n n n

Chứng minh .(Sn n 3) 1 số phương

Câu 8: Giải hệ phương trình nghiệm nguyên sau:

3

x y z

x y z

   

 



Câu 9: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2

3 2x 2x 10

x  y  y  y 

Câu 10: Chứng minh tổng 2018 2019

1 2 2

S      chia hết cho 31

10 Bài Toán bồi dưỡng HSG Luyện thi lên lớp 10 Chuyên

Câu 1:

Theo đề x y,  nên:

2

2x 4x 3 y 190

2

2x 4x+2 3y 21

   

2

2(x 1) 3y 21

   

Vì x y,  nên 2

3y 21y  7 |y| 2

2

2

2 2( 1) 9( )

0 2( 1) 21( )

2

y 2( 1) 18

4

y x l

y x l

x x

x



     



    



         

   



Vậy cặp nghiệm ( ; )x y {(2;1),(2; 1),( 4;1),( 4; 1)}   

Câu 2:

Vì (a1) 6, a  a 5

Từ giả thiết a1 6;b2019 6  a b 2020   (a b 336.6) Vậy ta cần chứng minh (4a4)

Mặc khác:

4 4(4 1) (4 1) 255

4

a

a   a        

 

 

Vậy 4a + a + b chia hết cho

Câu 3:

Ta có:

(10d ) 101 101 [ (10d )] 101 100 10d 101 101

abc e  abc abc e  abc e abcde Vậy số cần phải tìm số tự nhiên có chữ số chia hết cho 101

10000 100 101x100   10100 số tự nhiên có chữ số nhỏ chia hết cho 101 99999 101x990   99990 số tự nhiên có chữ số lớn chia hết cho 101 Vậy số số có chữ số chia hết cho 101 99990 10100 891

101 

Câu 4:

2 2

3a ( 2a 1) 5a ( 1) 5a

M a    a     a  Ta có: M 5;(5a) Do

(a1) Nên a1 Nên : a chia dư 1, tức a5k1(k )

Đặt * *

3a (n )(

a    n n a1 nên

3a 5)

a    Ta có: 5n theo ta có : a5k1(k )

Ta có : 2

(5k1) 3(5k  1) 5n 25k 10k 1 15k  3 5n

25 ( 1) 5 (*)n

k k

   

Nếu n2 ta có

5 5n , mà

25 (k K1) ; không chia hết cho

5  vơ lý Vậy với n1, ta có 25 (k k 1) 0;k Do k 0nên a1

Câu 5:

Ta chứng minh số bổ đề sau

Một số phương chia dư 1, chia dư 0; 3, chia dư 0,

Thật vậy, trước tiên ta chia số nguyên thành dạng: ,3k k1,3k2

Mà

2

(3 )k 9k 0(mod3)

2

(3k1) 9k 6k 1 1(mod3)

2

(3k2) 9k 12k 4 1(mod3)

Do đó, số phương chia dư 0, Tương tự, ta có điều nói Ta chứng minh xyz chia hết cho thông qua việc sử dụng bổ đề

Trước tiên, ta chứng minh

Giả sử không chia hết cho Do đó, 2 , ,

x y z chia dư Mà 2

( d3)

x y z mo hay nói cách khác:

1 3( d3)

1 1( d3)

1 1( d3)

1 3( d3)

mo mo mo mo

             

(vô lý)

Vậy, xyz

Câu 6:

Trước hết ta nhận thấy tổng viết dạng hai số phương Ta cần chứng minh số phương chia cho dư 0.(có thể tham khảo chứng minh câu 5)

Vậy tổng hai số phương chia hết cho hai số chia hết cho Đặt ;( , )

y

x a a b b

 

  



pt cho 2 2 2 2

6x 9y 20412 x y 3(2x 3y 6804) x y (1)

         

Thay vào (1), ta có 2 2 2 2

3(2.9a 3.9b 6804)9a 9b 3(2a 3b 756)a b (2)

2

2

2

3

a

3 3d 9d

a a c a c

b

b b b



 

  

    

  

  

Thay vào (2), ta có 2 2 2 2

3(2.9c 3.9d 756)9c 9d 3(2c 3d 84)c d (3)

2

2

2

3

3

3 3f 9f

c c e c e

c d

d d d



 

  

    

  

  

Thay vào (3), ta có

2 2 2 2 2

3(2.9e 3.9f 84)6e 9f 286e 9f 28 e f (3)5e 8f 28(4)

2

8f 28 f 3,5 | f | f { 1;0;1}

        

Dễ thấy f=0 khơng thỏa tốn

Thay f= vào toán ta suy e 2 Thay f=-1 vào toán ta suy e 2

Với giá trị e, f ta dễ dàng suy c, d a, b suy nghiệm x ;y

Vậy phương trình nhận nghiệm ( ; )x y  {(54; 27), (54; 27), ( 54; 27), ( 54; 27)}   

Câu 7:

Ta có:

1.2 2.3 ( 1)

n

S    n n

3Sn 1.2.3 2.3.3 n n( 1).3

     

3Sn 1.2.(3 0) 2.3.(4 1) n n( 1).[(n 2) (n 1)]

          

3Sn 1.2.3 2.3.4 1.2.3 n n( 1)(n 2) (n 1) n(n 2)

          

3Sn n n( 1)(n 2)

   

3 .(Sn n 3) n n( 1)(n 2)(n 3)

       

2

3 .(Sn n 3) (n )(n n 3n 2)

       

2

3 .(Sn n 3) (n 3n 1)

Câu 8:

3

x y z

x y z

   

 



2 2

( )( )

x y z

x y x xy y z

          ( )[( ) 3x ] x y z

x y x y y z

    

   



Thế x y z vào pt dưới, ta :

2

2 ( 3x )

( 3x )

z z y z

z z y z

      2 3x

z x y

z z

z y z xy

    

 

     



Áp dụng định lý Vi-èt đảo ta có :

2

X

3 z z X z   

2

2 4( )

( )

3 z z

z 

   

2

4z 0

z z

      

0

3 3

2 ; ( )

3

2;

1;

4

z x y

z x y l

x y

z

x y

z x y

                                

Vậy hệ phương trình nhận nghiệm ( ; ; ) {(0;0;0),(2;1;3),(1;2;3),(2;2;4)}x y z 

Câu 9:

2

3 2x 2x 10

x  y  y  y 

2

3x 3

x xy xy y y x y

         

(x 3) ( 3) ( 3)

x y y x y x y

          

(x y 3)(x y 1)

      

3

3

3

3

3

3 1

3

3 1

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

    

    

 

         

     

     

    

 

   

 

1 3 3 x y x y x y x y  

   

         

    

   



 

 

(thỏa)

Vậy phương trình nhận nghiệm ( ; )x y  {(1;-3),(3;1),(7;-3),(-3;1)}

Câu 10:

Ta có :

2 2018 2019

1 2 2

S     

2 2015 2016 2017 2018 2019

(1 2 2 ) (2 2 2 )

S

           

2 2015

(1 2 2 ) (1 2 2 )

S

           

2 2015

(1 2 2 )(1 )

S

        

5 2015 31.(1 )

S

    

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh

nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học

trường chuyên danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chuyên dành cho em HS THCS

lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần

Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt

thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia

Khoá Học Nâng Cao HSG