Phương pháp giải: Để chứng minh một tia là tia phân giác của một góc, ta có thể sử dụng các cách sau: Cách 1. Áp dụng Định lí đảo. Chứng minh hai góc bằng nhau dựa vào hai tam giác bằn[r]
(1)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP CHỦ ĐỀ TÍNH CHẤT TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC
I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.Định lí thuận
Điểm nằm tia phân giác góc cách hai cạnh góc 2 Định lí đảo
Điểm nằm bên góc cách hai cạnh góc nằm tia phân giác góc
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng Vận dụng tính chất phân giác góc để chứng minh đoạn thẳng Phương pháp giải: Áp dụng Định lí thuận.
1A Cho ABC vng A có AB = 3cm, AC = 6cm Gọi E trung điểm AC, tia phân giác A cắt BC D
a) Tính BC
b) Chứng minh: BAD = EAD
c) Gọi H, K hình chiếu D AB, AC Chứng minh điểm D cách AB AC
1B Cho xOy khác 180° Trên tia phân giác Ot xOy lấy điểm M Chứng minh điểm M cách Ox Oy
2A. Cho ABC có A = 120° Tia phân giác A cắt BC D Tia phân giác ADC cắt AC I Gọi H, K, E hình chiếu I đương thẳng AB, BC, AD Chứng minh:
a) AC tia phân giác DAH b) IH = IK
2B. Cho ABC Hai tia phân giác góc ngồi đỉnh B đỉnh C cắt I Chứng minh điểm I cách hai cạnh AB, AC
3A. Cho ABC có trung tuyến AM đồng thời đường phân giác Trên tia AM lấy điểm D cho MD = MA Chứng minh:
a) AB = CD
b) ACD cân C
c) Chứng minh ABC cân A
3B. Cho tam giác ABC vng A Từ điểm K cạnh BC, vẽ KH ⊥AC (HAC) Trên tia đối tia HK lấy điểm I cho HI = HK Chứng minh:
(2)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Dạng Chứng minh tia tia phân giác góc
Phương pháp giải: Để chứng minh tia tia phân giác góc, ta sử dụng cách sau: Cách 1. Áp dụng Định lí đảo
Cách 2. Chứng minh hai góc dựa vào hai tam giác Cách 3 Đường trung tuyến tam giác cân đồng thời đường phân giác 4A. Cho xOy có tia phân giác Ot Trên tia Ot lấy điểm C Lấy
A Ox, B Oy cho OA = OB Gọi H giao điểm AB Ot Chứng minh: a) CA = CB CO phân giác ACB;
b) OC vuông góc với AB trung điểm AB; c) Biết AB = cm, OA = cm Tính OH
4B Cho ABC, AB = AC Trên cạnh AB lấy điểm D, cạnh AC lấy điểm E cho AD = AE Gọi M giao điểm BE CD Chứng minh:
a) BE = CD;
b) BMD = CME;
c) Đường vng góc với OE E cắt Ox, Oy M, N Chứng minh MN / / AC //BD
5A. Cho xOy Lấy điểm A,B thuộc tia Ox cho OA > OB Lấy điểm C, D thuộc Oy cho OC = OA, OD = OB Gọi E giao điểm AD BC Chứng minh.:
a) AD = BC ;
b) ABE = CDE;
c) OE tia phân giác góc xOy
5B Cho góc nhọn xOy Trên cạnh Ox lấy điểm A cạnh Oy lấy điểm B cho OA = OB Đường vng góc với Ox kẻ từ A cắt Oy điểm C Đường vng góc với Oy kẻ từ B cắt Ox D cắt AC I Đường vng góc với Ox kẻ qua D cắt Oy E Đường vuông góc với Oy kẻ qua C cắt Ox F cắt DE J
a) Chứng minh OI tia phân giác xOy
b) Chứng minh OC = OD Từ suy OJ tia phân giác xOy c) Chứng minh ba điểm O, I, J thẳng hàng
6A Cho ABC vuông A Gọi M trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A dựng tia Mx ⊥ BC Trên tia Mx lấy E cho ME = MB
a) Tam giác BEC tam giác gì?
b) Gọi H K chân đường vng góc kẻ từ E đến đường thẳng AB, AC Chứng minh BEH =CEK
(3)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 6B. Cho ABC vuông A Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A dựng BCD vuông cân D Hạ DI ⊥AB, DH ⊥AC
Chứng minh AD tia phân giác A III BÀI TẬP
7 Cho tam giác ABC vuông A có B = 60° Trên cạnh BC lấy điểm H cho HB = AB Đường thẳng vng góc với BC H cắt AC D Chứng minh:
a) BD tia phân giác ABC; b) BDC cân 8 Cho xOy khác góc bẹt
a) Từ điểm M tia phân giác xOy, kẻ đường vng góc MA, MB đến hai cạnh Ox, Oy (A Ox, BOy), OM cắt AB H Chứng minh AB ⊥ OM
b) Trên tia đối tia Ox, Oy lấy hai điểm C D, cho OC = OD Hai đương thẳng vng góc với Ox, Oy C D cắt E Chứng minh ba điểm O, H, E thẳng hàng
9 Cho hai góc nhọn xOy zO t' có cạnh cắt tạo thành hình ABCD hình vẽ Xét hình ABCD
a) Chứng minh tổng bốn góc A + B + C + D 360°
b) Cho biết A = 130°,B = 120°, C = 50°.Các tia phân giác củaA,B cắt M, tia phân giác D,C cắt N
Tính AMB DNC, c) Chứng minh tia phân giác hai góc xOy zO t'
vng góc với
HƯỚNG DẪN 1A. a) Áp dụng Định lí Pytago
trong tam giác vng ABC tính, BC 45 cm Vì E trung điểm AC nên AE =
2AC = cm => AE = AB
=> BAD =EAD (c.g.c)
c) Do DH ⊥AB nên DH khoảng cách từ D đến AB Tương tự DK khoảng cách từ D đến AC
(4)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 1B Hạ ME, MF vng góc với Ox,Oy (EOx, F Oy) Chứng
minh OME = OMF (ch-gn) => ME = MF Vậy M cách, hai cạnh Ox, Oy 2A. a) Vì BAC= 120° nên CAH = 60°
Do AD phân giác BAC nên
1
DAC= BAC = 60° => DAC=CAH
=> AC phân giác DAH b) Khi IE = IH
Mặt khác DI phân giác ADC nên IE = IK Vậy IH = IK
2B. Gọi E, F, P hình chiếu I đường thẳng AB, BC, CA
Theo Định lí thuận ta có IE = IF IF = IP => IE = IP Vậy I cách hai cạnh AB, AC
3A. a) Trên tia đối tia MA lấy D cho MA = MD => MAB = MDC (c.g.c) => AB = CD
b) AM phân giác BAC nên BAM =CAM
Lại có BAM =CDM (hai góc tương ứng nhau) Do CAM =CDM=> CAD cân C => CA = CD c) Vậy AB = AC => ABC cân A
3B a) Ta có: AB ⊥ AC, KH ⊥AC => AB // KH
b) AHK = AHI (ch-cgv) => KAH=IAH
c) AKI có AH vừa đường trung tuyến, vừa đường phân giác nên AKI cân A
4A. a) Vì Ot phân giác xOy nên AOC=BOC => AOC = BOC (c.g.c) => CA = CB, OCA=OCB => CO phân giác ACB
(5)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | => OAH =OHB = 90°, AH = BH
Vậy OC vng góc với AB trung điểm AB c) Vì H trung điểm AB => AH =
2 AB = cm
Áp dụng định lí Pytago tam giác vng OHA, tính OH = cm 4B a) ABE = ACD (c.g.c) => BE = CD
b) Do ABE = ACD => ABE=ACD=BDC=CEB Mặt khác AB = AC, AD = AE => BD = CE
Lại có: ABE = ACD => ABE=ACD=DBM =ECM => BMD = CME (g.c.g)
c) Vì BMD = CME => MD = ME => ADM = AEM(c.c.c) => MAD=MAE => AM phân giác BAC
5A. a) OAD = OCB (c.g.c) => AD = CB b) Do OA = OC, OB = OD => AB = CD
Lại có OAD = OCB (c.g.c) => OBC=ODA=ABE=CDE Mà OAD=OCB Vậy ABE = CDE (g.c.g)
c) Vì ABE = CDE (g.c g) => BOE=DOE => OE tia phân giác góc xOy
Tam giác AOC BOD cân O nên OE ⊥ BD OE ⊥ AC Suy AC // MN // BD 5B a) b) Tương tự 5A
c) Vì OI, OJ phân giác xOy nên ba điểm O, I, J thẳng hàng
6A a) BEC có trung tuyến ME =
2 BC => BEC vuông E Mặt khác
BME vuông cân M nên MBE = 45° => BEC vuông cân E
b) Từ ý (a) suy BE = CE (1) AB ⊥AC, EK ⊥AC => AB // EK
(6)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | => HEB=KEC(cùng phụ HEC) (2)
c) Từ (1) (2) suy BHE = CKE (Ch-gn) => EH - EK
Chứng minh AHE = AKE => HAE=KAE Vậy AE tia phân giác góc A 6B Tương tự 6A
Chứng minh BID = CHD => DI = DH Suy ADI = ADH =>DAI =DAH
Vậy AD tia phân giác A
7 a) Chứng minh ABD HBD => ABD = HBD =>ABD=HBD => BD tia phân giác ABC
b) 30 , 90 90 60
2
BDH = ABC = DCB = −ABC = − =
=> DBH =DCB=> DBC cân D 8 Tương tự 4A.
a) Ta có MA = MB suy OAM = OBM => OA = OB Do OAH = OBH nên OHA=OHB= 90°
Vậy AB ⊥OM H
b) OCE = ODE => EOC=EOD Vậy E thuộc đường thẳng chứa tia phân giác xOy
9. a) ABDcó tổng góc 180° Tương tự, DBC có tổng góc 180° Cộng lại ta ĐPCM b) Sử dụng kết ý a) suy D = 60°
AMB có
2
A B
+ = 125° nên AMB = 55°
Tương tự DNC = 125°
c) Gọi I giao điểm tia phân giác góc xOy với AD E giao điểm hai tia phân giác góc xOy
'
zO t Ta có:
( )
1
=
2
' z 't 180 D 35
IO E = O − −C =
(180 )
1
=
2
(7)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
180 50
OAI = − = A
Suy AIE =IOA+OAI =55
(8)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng
I.Luyện Thi Online
-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học -Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao HSG
-Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG
-Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III.Kênh học tập miễn phí
-HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh
Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia
I.Luyện Thi Online - - II.Khoá Học Nâng Cao HSG III.Kênh học tập miễn phí -