8 Bài tập bồi dưỡng Toán nâng cao lớp 6

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn[r]

8 BÀI TẬP BỒI DƯỠNG TOÁN NÂNG CAO LỚP Bài toán 1: So sánh giá trị biều thức 15 9999

4 16 10000

A     với số 98 99

Ta có: 1 1 1 1 12 12 12 12

4 16 10000 100

A                            

               =

2 2

1 1

99 99

2 100 B

 

      

  với B = 2 2

1 1

2 3 4  100 > Nên A

< 99 Ta có

 1 11

k k  k k với k 1 nên

2 2

1 1 1 1 1 1 1 1

1

2 100 1.2 2.3 3.4 99.100 2 3 99 100 100

B                     

Do A99 B 99 98  Vậy 98 A 99

Tổng quát:  2 15 21  1 16

n

n n

n 

       

Bài toán 2: Viết số 999 1000

1 2  3   999 1000 trong hệ thập phân Tìm ba số bên trái số đó?

Giải: Ta có 999 1000

1 999 1000

A       ; Đặt 1000 3000

3000 1000 10 100000 0000

B   gồm

có 3001 chữ số mà chữ số đầu bên trái 1000 (1)

Đặt C 999 1000 2997 3000

1000 1000 1000 1000 1000 10 10 10 10

           =100100100 1000

gồm 3001 chữ số mà chữ số đầu bên trái 1001 (2) Vì B < A < C B, C có 3001 chữ số nên từ (1) (2) suy A có 3001 chữ số nên ba chữ số ầu tiên bên trái A 100 Bài toán 3:

Cho

  2 2

2

1 1

14 29 1 2 1877

A

n n n

     

    Chứng minh 0,15 A 0, 25 Giải : Ta có

  2 2

2

1 1

14 29 1 2 1877

A

n n n

     

  2 2

2 2 2 2 2

1 1

1 3 n n 1 n 2 24 25 26

     

         

  2 2

2

1

Bn  n  n  n  n (1)

 Với n1 từ (1) ta có: B3n29n 6 3n23n23n1n2 Từ :

  

1 1 1 1

3 2.3 3.4 24.25 25.26

A C

n n

 

        

 

 

Với C

  

1 1 1 1 1 1 1

2.33.4  n1 n2  24.2525.26     2 3 2526  2 26 13

Suy 0,15 13 13

A  

 Với n1 từ (1) ta có: B2n26n 4 2n23n22n1n2 Từ :

  

1 1 1 1

2 2.3 3.4 24.25 25.26

A C

n n

 

        

 

 

Với C

  

1 1 1 1 1 1 1

2.33.4  n1 n2  24.2525.26     2 3 2526  2 2613

Suy 0, 25 13 13

A   Vậy 0,15 A 0, 25

Tổng quát:  

  2 2  

2 2 2 2

1 1 1 1

63 k2 1 2 3 2  3  k  k1  k2  4 k2

Bài tốn 4: Tính A

B biết :

 

1 1

2.32 3.33 30 1979.2009

A

n n

     

 ;  

1 1

2.1980 3.1981 1978 31.2009

B

n n

     



Giải:

Với số nguyên dương n k ta có

     

1 n k n k

n n k n n k n n k n n k



   

   

Với k = 30 ta có :

30 30 30 1 1 1

30

2.32 3.33 1979.2009 32 33 1979 2009

1 1 1 1 1 1

(1)

2 1979 32 33 2009 31 1980 1981 2009

A           

       

                   

Với k = 1978 ta có : 1978 1978 1978 1978 1 1 1

2.1980 3.1981 31.2009 1980 1981 31 2009

B          

1 1 1

(2)

2 31 1980 1981 2009

   

         

   

Từ (1) (2) suy 30 1978 1978 989

30 15

A

A B

B

   

Bài tốn 5: Tính tổng sau:

  2 2  2

3 4017

1 2 2008 2009

n

S    

  

Giải:

Với n1

   

 

 

 

     

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2

1

2 1

1 1 1

n n n

n n n n n

n

n n n n n n n n n n n

  

         

     

Do

  2 2  2 2

3 4017 1 1 1

4 2008 2009 2009

1 2 2008 2009

n

S             

  

Bài tốn 6: Tính tổng sau:

 

1.2 2.3 98.99

A   n n   (*) ; B1.99 2.98   n100  n 98.2 99.1

Giải:

Ta có:3A1.2.3 2.3.3 3   n n   1 3.98.99 1.2 0    2.3 1    98.99 100 97  

  970200

1.2.3 2.3.4 98.99.100 1.2.3 2.3.4 97.98.99 98.99.100 970200 323400

A

            

       

 

1.99 99 99 98 99 97 99 99 98 1.99 2.99 3.99 99.99 1.2 2.3 3.4 98.99

B          

         

    99

99 99 99 99 99.99.50 323400 166650

A A

           

Từ toán (*) suy 3 98.99.100 98.99.100

A  A

Nếu A1.2 2.3 3.4    n n 1 Tính giá trị B = 3A với B = 3A B = (n-1)n(n+1) với n

= 100

 

1.2 2.3 3.4 .3 0.1 1.2 2.3 3.4  1 .3

B     n n       n n 

         

1 97 96 98 99 98 100

 

   2 2 2 1.1.2 3.3.2 5.5.2 7.7.2 99.99.2 2.3 99

           

 2 2

6 99

    Do  2 2

6    3 99 99.100.101 hay

2 2 99.100.101

1 99 166650

6

     Vậy 2 2   2 2 2 3

1

6

n n n

P    n    

Cơng thức tính tổng bình phương n số tự nhiên 2 2  2 1

1

6

n n n

P    n   

Bài tốn 7: Tính B

A biết:

 

1 1

1.2 2.3 2008.2009

A

n n

     



  

1 1 1

1.2.3 2.3.4 3.4.5 2008.2009.2010

B

n n n

     

 

Ta có

 1 11

n n  n n        

2 1

1 1

n n n n n  n n Nên:

 

1 1 1 2008

1.2 2.3 2008.2009 2009 2009

A

n n

        



  

2 2 2 1 2019044

2

1.2.3 2.3.4 3.4.5 2008.2009.2010 1.2 2009.2010 2009.2010

B

n n n

         

 

1 2019044 1009522

2 2009.2010 2009.2010

B

  

Do 1009522 :2008 1009522.2009 5047611 2009.2010 2009 2008.2009.2010 2018040

B

A  

1011531

2018040



Bài tốn 8: Goi A tích số ngun liên tiếp từ đến 1001 B tích số nguyên liên tiếp từ 1002 đến 2002 Hỏi A + B chia hết cho 2003 không?

Giải:

Ta có: A1.2.3.4 1001 B1002.1003.1004 2002

Ta viết B dạng: B2003 1001 2003 1000 2003 1       Khai triển B có tổngngồi

số hạng 1001.1000 2.1 Tất số hạng khác tổng chứa thừa số 2003 Nên 2003 1001.1000 2.1 2003

B n  nA với n số tự nhiên Do đó: A B 2003n số chia

Ta có cặp số nguyên sau có số dư chia cho 2003 ;

1002; 1001 ; 1003;1000 ; 2002;1      Do B1002.1003 2002   A 1001.1000 2.1 có

cùng số dư chia cho 2003 Nên A B   B  A chia hết cho 2003

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh

nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹnăng sư phạm đến từcác trường Đại học

trường chuyên danh tiếng

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG:Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây

dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên

khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho

học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần

Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia