- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn[r]
(1)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
TRƯỜNG THCS NHÂN CHÍNH ĐỀ THI HSG LỚP
MƠN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 120 phút) Đề số
Bài (5 điểm)
1): Rút gọn biểu thức sau: M = – 32 + 33 – 34 + … + 32015 – 32016 Bài (3 điểm): Tìm số tự nhiên x biết:
1 + + + + + … + (2x – ) = 225 Bài 3: (5 điểm)
a) Cho 3a + 2b 17 (a , b N) Chứng minh 10a + b 17 b) Tìm số x,y nguyên biết xy + x – y =
Bài 4: (4 điểm)
Cho 30 điểm phân biệt có a điểm thẳng hàng qua điểm ta vẽ đường thẳng Tìm a, biết số đường thẳng tạo thành 421 đường thẳng
Bài (3 điểm)
Tìm số tự nhiên a nhỏ cho: a chia cho dư 1, a chia cho dư 1, a chia cho dư 4, a chia cho dư
ĐÁP ÁN Bài
M = – 32 + 33 – 34 + … + 32015 – 32016
Ta có :3M = 32 – 33 + 34 – 35 + … + 32016 – 32017
3M + M = + (32 – 32) + (33 – 33)+ … + (32016 – 32016) – 32017 4M = + + + + – 32017
4M = – 32017
M = (3 – 32017) : Bài
Với x N ta có 2x – số lẻ Đặt A = + + + + + … + (2x – 1)
A tổng số lẻ liên tiếp từ đến 2x – Số số hạng A là: (2x – – 1) : + = x (Số hạng)
A = [(2x – 1) + 1] x : = x2 Mà A = 225 x2 = 225 = 152
x = 15 Vậy x = 15 Bài
(2)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
(30a + 20b) 17
(30a + 3b + 17b) 17
[3(10a + b) + 17b] 17 Vì 17b 17
3(10a + b) 17
10a + b 17 (vì 17 nguyên tố nhau) b) xy + x – y =
x(y + 1) – y =
x(y + 1) – y – + = x(y + 1) - ( y + ) + 1= ( y + )( x – 1) + = ( y + 1)( x – 1)=
Vì x, y số nguyên nên y + 1,x – ước Nếu x -1 = y + = x = y = Nếu x -1 = -1 y + = -3 x = y = -4 Nếu x -1 = y + = x = y = Nếu x -1 = -3 y + = -1 x = -2 y = -2
Vậy x = y = x = y = -4 x = y = x = -2 y = -2
Bài
Giả sử 20 điểm khơng có điểm thẳng hàng Gọi 20 điểm A1, A2, A3, ,A20
Vì qua điểm ta vẽ đường thẳng nên
Qua điểm A1 điểm 19 điểm lại A2, A3, ,A20 ta vẽ 19 đường thẳng Qua điểm A2 điểm 18 điểm lại A3, A4, ,A20 ta vẽ 18 đường thẳng … …
Qua điểm A19 điểm A20 ta vẽ đường thẳng
Do số đường thẳng tạo thành là: + + + + 19 + 20 = ( 1+ 20).20 : = 190 ( đường thẳng)
Với a điểm khơng có điểm thẳng hàng ta có số đường thẳng tạo thành + + + +( a – 1) = (a- 1) a:
Với a điểm thẳng hàng ta vẽ đường thẳng
Vậy 20 điểm mà có a diểm thẳng hàng sổ đưởng thẳng giảm ( a- 1).a: - = 190 – 170
(3)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | ( a- 1).a = 42
( a- 1).a = 6.7
Mà a-1 a số tự nhiên liên tiếp a -1 < a nên a -1 = a =7 Vậy a =
Bài
Gọi số phải tìm a
a = 2k + a = 3q + a = 5m + a = 7r + (k, q, m, r N)
a + 11 = 2k + 12 a + 11 = 3q + 12 a + 11 = 5m + 15 a + 11 = 7r + 14
a + 11 BC(2; 3; 5; 7) Mà a số tự nhiên nhỏ
a + 11 = BCNN(2; 3; 5; 7) Mà 2; 3; 5; nguyên tố
BCNN(2; 3; 5; 7) = 2.3.5.7 = 210
a + 11 = 210 a = 210 – 11 a = 199 Vậy a = 199 Đề số
Bài 1( điểm)
a) Cho A = - 52 + 53 - 54 + …- 598 + 599 Tính tổng A
b) Chứng tỏ (2n + 1).( 2n + 2) chia hết cho với n số tự nhiên Bài ( điểm)
a) Tìm số nguyên x, y biết : (x - 2)2.(y - 3) = - b) Tìm n ∈ Z để (4n - 3) (3n – 2)
Bài ( điểm)
Chứng minh 2 2 2
1 1 1 1 1 1 3
1
1 2 3 4 99 100 4
(4)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Bài ( điểm)
Trong buổi tham quan, số nữ đăng kí tham gia
4 số nam Nhưng sau có bạn nữ xin nghỉ, bạn nam xin thêm nên số nữ tham quan
5 số nam Tính số học sinh nữ nam tham quan
Bài 5: (5 điểm)
Cho tia chung gốc theo thứ tự Ox, Oy, Oz, Ot cho 1 2
xOy zOt
= ; 1
2
yOz xOy
= , biết số đo góc zOt 600
a) Tính số đo góc xOy; yOz; tOx?
b) Vẽ tia Om cho số đo góc mOt 200 Tính số đo góc zOm?
Vẽ thêm 10 tia phân biệt chung gốc với tia Ox, Oy, Oz, Ot, Om Hỏi có góc tạo thành từ tất tia trên?
ĐÁP ÁN Câu
Câu a( điểm)
A = – 52 + 53 – 54 + …- 598 + 599
5A = 52 – 53 + 54 - …+ 598 – 599 + 5100 Tính rút gọn 6A = + 5100
100 5 5
6
A= +
Câu b ( điểm)
Ta có: 2n (2n +1).( 2n + 2) tích số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho Mà 2n không chia hết cho
nên (2n + 1).( 2n+ 2) n N Câu
Câu a( điểm)
Ta có : -4 = 12.(-4) = 22.(-1) nên ta có trường hợp sau: TH1: ( x - 2)2 = 12 y - = -4
x - = ; y = -1 x - = -1; y = -1 x = 3; y = -1 x = 1; y = -1
TH2: ( x - 2)2 = 22 y - = -1
x - = ; y = x - = -2; y =
(5)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | x = 4; y = x = 0; y =
KL: Vậy ta có cặp (x, y) nguyên thỏa mãn là: (3; -1); (1; -1); (4; 2); (0; 2)
Câu b( điểm) Ta có: 4n – + 3n – Mà 3n + + 3n +
→ 3(4n – 3) – 4(3n – 2) + 3n – → ( 12n - - 12n + ) + 3n – → - + 3n – → 3n – Ư(-1)
+) 3n – = suy n = +) 3n – = -1 suy n = 1/3
Kết hợp điều kiện n nguyên ta n = Câu
Giữ nguyên 2
1 1 1 +2
Ta có: 12 ; 12 ; ; 12 2.3 3.4 100 99.100
2 2 2
2
1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 99 100
1 1 1 1 1 1 1
( ) ( ) 1 '
1 2 2.3 3.4 4.5 99.100 4
1 1 1 1
( ' )
2.3 3.4 4.5 99.100
A
A A
= + + + + + +
+ + + + + + = + + = + + + +
Chứng minh A’ = 1 2−100
Do 1 1 13
4 100 100
A + + − = + −
Câu
Tổng số học sinh nam nữ dự định tham quan tham quan nhau, ta lấy làm đơn vị Số nữ dự định tham quan
4 số nam nên
5 tổng số nam nữ Số nữ tham quan
5 số nam nên
6 tổng số nam nữ
(6)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Số nữ dự định nhiều số nữ là: 1
5− =6 30 ( tổng số học sinh) hay
30 tổng số học sinh tương ứng với học sinh
Tổng số học sinh là: :
30 = 30 ( học sinh) Số học sinh nữ tham quan là: 30
6 = (học sinh) Số học sinh nam tham quan là: 30 – = 25 ( học sinh) Vậy có học sinh nữ 25 học sinh nam tham quan Câu
Câu a ( điểm)
Vì
Mà nên
Tính Tính
Câu b ( 2,5 điểm) Ta có trường hợp:
TH1: Tia Om nằm tia Oz tia Ot Tính
TH2: Tia Ot nằm tia Om Oz Câu c ( điểm)
1 1
;
2 2
xOy zOt yOz xOy
= =
0 60 zOt
= 0 0
1 1 1
60 30 ; 30 15
2 2 2
xOy yOz xOy
= = = = =
0 0
30 15 60 105
xOt xOy zOy zOt
= + + = + + =
0 0
60 20 40
zOm zOt tOm
= − = − =
0 0
20 60 80
zOm mOt tOz
= + = + =
x
O
y
z
t
0
(7)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Từ hai tia chung gốc ta vẽ góc
Vẽ thêm 10 tia phân biệt gốc O không trùng với tia Ox, Oy, Oz, Ot, Om Tất hình vẽ có 15 tia phân biệt
Cứ tia 15 tia tạo với 14 tia cịn lại thành 14 góc Có 15 tia nên tạo thành 15.14 ( góc)
góc tính lần
Đề số
Câu 1: Tìm x biết: a, 2x.2012
18 = 184
b, (x - 5)4 = (x - 5)6
Câu 2: Cho A= 18 + 19 + 20 + + 42012 a) Thu gọn A
b) Tìm x để 2A + = 4x
Câu 3: Cho hai dãy số, dãy có 2012 số 1; 4; 7; 9; 16; 23; thoả mãn: Số liền sau số liền trước tương ứng với dãy Hỏi có số thuộc hai dãy trên?
Câu 4: Cho góc xOy có số đo 1200 Điểm A nằm góc xOy cho gócAOy 750 Điểm B năm ngồi góc xOy mà: góc BOx 1350 Hỏi ba điểm A, O, B có thẳng hàng khơng? Vì sao?
Câu 5: Người ta thả số bèo vào ao sau ngày bèo phủ kín mặt ao Biết sau ngày diện tích bèo tăng lên gấp đôi Hỏi:
a) Sau ngày bèo phủ kín nửa ao?
b) Sau ngày thứ bèo phủ phần ao?
ĐÁP ÁN Câu
a, 2x.2012
18 = 184
x = 414/503
b, (x - 5)4 = (x - 5)6 x =
Câu
a, Thu gọn A
A = 18 + 19 + 20 + + 42012 = (1+2+ +42012) – (1+2+3+ +17) = ((42012(42012+1))/2) – (17(17+1)/2) = 882524925
b, Tìm x để 2A + = 3x x= 588349951
Câu
Ta liệt kê số số dãy cho:
(8)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 16 23 30 37 44 51 58 65 72 79 86 93
Ta thấy: số 16 số thuộc dãy số
Trong dãy số thứ số liền sau số liền trước tương ứng Trong dãy số thứ hai số liền sau số liền trước tương ứng
Nên từ số trùng (số 16) sau số liền sau dãy thứ xuất số trùng với số liền sau thứ số trùng dãy thứ hai
Khi số số thuộc dãy phần nguyên kết phép tính: (2012 - 5)/7 Thực ta kết 286 số thuộc hai dãy
Câu
TH1:Ta có: điểm A nằm góc xOy nên:
0
45
xOA AOy xOy
xOA xOy AOy
+ =
= = − =
Ta có: điểm B nằm ngồi góc xOy nên: tia Ox nằn tia OA OB
=> xOA BOx+ =BOA = 1800 Và góc xOA kề với góc BOA
Từ suy điểm A, O, B thẳng hàng
TH2: không thẳng hàng OB phí với Oy Câu
Gọi số bèo phủ ao ngày x Khi đó: lượng bèo phủ mặt ao qua ngày
Ngày thứ
Số phần bèo phủ 2x 4x 8x 16x 32x
a, Ta thấy sau ngày bào phủ kín ao 32x Như để phủ kin nửa ao cần ngày
b, Theo bảng kiệt kế thấy số bèo phủ mặt ao ngày thứ x, phủ kín ao 32x Vậy sau ngày thứ bào phủ kín 1/32 mặt ao
Đề số
Câu 1: (2,5 điểm)
1350
750
y
O x
A
(9)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Có số có chữ số có chữ số 5?
Câu 2: Tìm 20 chữ số tận 100!
Câu 3: Người ta thả số Bèo vào ao sau ngày bèo phủ kín đầy mặt ao Biết sau ngày diện tích bèo tăng lên gấp đơi Hỏi :
a/ Sau ngày bèo phủ nửa ao?
b/ Sau ngày thứ bèo phủ phần ao?
Câu 4: Tìm hai số a b ( a < b ), biết: ƯCLN( a , b ) = 10 BCNN( a , b ) = 900
Câu 5: Người ta trồng 12 thành hàng, hàng có Hãy vẽ sơ đồ vị trí 12 ĐÁP ÁN
Câu 1: (2,5 điểm) Chia loại số:
* 5ab Trong số a có cách chọn ( từ đến 9, trừ số ) Số b vậy.Nên số thuộc loại có
: 9.9 = 81 ( số ) (1 điểm)
* 5a b Trong số a có cách chọn ( từ đến 8, trừ số ).Số b có cách chọn Nên số thuộc loại có: 9.8 = 72 ( số ) (0,5 điểm)
* ab5 Trong số a có cách chọn , số b có cách chọn.Nên số thuộc loại có : 8.9 = 72 ( số ) (0,5 điểm) Vì dạng bao gồm tất dạng số phảI đếm dạng phân biệt.Nên số lượng số tự nhiên có chữ số có chữ số là: 81 + 72 + 72 = 225 ( số )
Đáp số: 225 ( số ) (0,5 điểm) Câu 2: ( 2,5 điểm)
* Các thừa số 100! ( phân tích thừa số chia hết cho ) là: 100 100 24
5 + 25 = ( thừa số) (1 điểm)
* Các thừa số có 100! là:
100 100 100 100 100 100
2 16 32 64
+ + + + +
= 50 + 25 + 12 + + +
= 97 ( số ) (1 điểm)
Tích cặp thừa số tận chữ số Do đó: 100! Có tận 24 chữ số Vậy 20 chữ số tận 100! 20 chữ số
Câu 3: (1,5 điểm)
a/ Vì ngày bèo phủ kín ao sau ngày diện tích bèo tăng lên gấp đơi nên để phủ kín nửa ao phải sau ngày thứ (0,5 điểm)
(10)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10 Với x = 5, ta có: : =
2 (ao) Với x = 4, ta có:
2 : =
4 (ao) Với x = 3, ta có:
4 : =
8 (ao) Với x = 2, ta có:
8 : =
16 (ao) Với x = 1, ta có:
16 : =
32 (ao) (0,5 điểm)
Vậy sau ngày thứ bèo phủ được:
32 (ao) (0,5 điểm) Câu 4: (1,5 điểm)
Vì ƯCLN( a, b)= 10, suy : a = 10x ; b = 10y
(với x < y ƯCLN(x, y)= ) (0,5 điểm) Ta có : a.b = 10x 10y = 100xy (1)
Mặt khác: a.b = ƯCLN(a, b) BCNN(a, b)
a.b = 10 900 = 9000 (2) Từ (1) (2), suy ra: xy = 90
Ta có trường hợp sau:
X
y 90 45 30 18 10 Từ suy a b có trường hợp sau:
a 10 20 30 50 90 y 900 450 300 180 100
(11)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 11 Đề số
Câu 1: (3đ)
a Kết điều tra lớp học cho thấy: Có 20 học sinh thích bóng đá, 17 học sinh thích bơi, 36 học sinh thích bóng chuyền, 14 học sinh thích đá bóng bơi, 13 học sinh thích bơi bóng chuyền, 15 học sinh thích bóng đá bóng chuyền, 10 học sinh thích ba mơn, 12 học sinh khơng thích mơn Tính xem lớp học có học sinh?
b Cho số: A = 10 11 12 …….58 59 60 - Số A có chữ số?
- Hãy xóa 100 chữ số số A cho số lại là: + Nhỏ
+ Lớn Câu 2: (2đ)
a Cho A = + 52 + … + 596 Tìm chữ số tận A b.Tìm số tự nhiên n để: 6n + chia hết cho 3n +
Câu 3: (3đ)
a Tìm số tự nhiên nhỏ biết chia số cho dư 2, cho dư 3, cho dư cho 10 dư
b Chứng minh rằng: 11n + + 122n + Chia hết cho 133
Câu 4: (2đ) Cho n điểm khơng có điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đường thẳng Biết có tất 105 đường thẳng Tính n?
ĐÁP ÁN Câu 1: (3đ)
a Vẽ sơ đồ cho (1,5đ)
- Số học sinh thích mơn bóng đá bơi: 14 – 10 = (hs)
- Số học sinh thích hai mơn bơi bóng chuyền: 13 – 10 = (hs) - Số học sinh thích hai mơn bóng đá bóng chuyền: 15 – 10 = (hs) - Số học sinh thích bóng đá: 20 – (4 + 10 + 5) = (hs)
- Số học sinh thích bơi: 17 – (4 + 10 + 3) = (hs)
- Số học sinh thích bóng chuyền: 36 – (5 + 10 + 3) = 18 (hs)
Vậy: Số học sinh lớp là: + + 18 + + 10 + + + 12 + = 53 (hs) b (1,5 đ)
A = 10 11 12 …… 58 59 60 * Từ đến có : chữ số
Từ 10 đến 60 có: 51 = 102 chữ số Vậy: Số A có + 102 = 111 chữ số (0,5đ)
(12)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 12
Trong số nhỏ có chữ số đứng trước số nhỏ số có chữ số
Số nhỏ 00000123450 = 123450 (0,5đ)
* Trong số A có chữ số Nếu số lớn có chữ số đứng liền số là: 99999960
Số có chữ só khơng thỏa mãn
Số lớn có chữ số liền số có dạng 99999…
Các chữ số lại 78 59 60 Vậy số lớn nhất: 99999785860 Câu 2: (2,5đ)
a.(1,5đ)
A = + 52 + …… + 596 5A =52 + 53 + …… + 596 + 597
5A – A = 597 - A =
97
5 -
Tacó: 597 có chữ số tận → 597 – có chữ số tận Vậy: Chữ số tận A
b (1đ)
Có: 6n + = 2(3n + 6) – 6n + chia hết 3n +
2(3n + 6) – chia hết 3n +
chia hết 3n +
3n + = 1 ; ; 9
3n + - - - 1
n - - - 7/3 - 5/3 - 1
Vậy; Với n = 6n + chia hết cho 3n + Câu 3: (2,5đ)
a (1đ)
Gọi số tự nhiên cần tìm a (a > 0, a N) Theo ta có:
- a chia cho dư a – chia hết cho - a chia cho dư a – chia hết cho - a chia cho dư a – chia hết cho - a chia cho 10 dư a – chia hết cho 10
a = BCNN(3, 4, 5, 10) = 60 b.(1,5đ)
11n + + 122n + = 121 11n + 12 144n
(13)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 13 Tacó: 133 11n chia hết 133; 144n – 11n chia hết (144 – 11)
144n – 11n chia hết 133 11n + + 122n + Câu 4: (2đ)
Số đường thẳng vẽ qua n điểm: ( 1) 105
n n−
=
n (n – 1) = 210 = = 10 14
n (n – 1) = 35 = 15 14
Vì n n – số tự nhiên liên tiếp nên: n = 14 Vậy n = 14
(14)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 14 Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng
I.Luyện Thi Online
-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học -Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao HSG
-Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG
-Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III.Kênh học tập miễn phí
-HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí
I.Luyện Thi Online - - II.Khoá Học Nâng Cao HSG III.Kênh học tập miễn phí -