Phương pháp giải các dạng vô định Toán 11

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh , nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo vi[r]

(1)

Trang | PHƢƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG VƠ ĐỊNH TỐN 11

1 Dạng vơ định 0 Bài tốn:

Tính  

 

0 lim

x x

f x g x

    

lim lim

xx f x xx g x  , f x   ,g x đa thức thức Phƣơng pháp:

- Bước 1: Phân tích tử mẫu thành tích nhân tử

- Bước 2: Chia tử mẫu cho nhân tử chung tử mẫu - Bước 3: Tính giới hạn theo cách thơng thường

Nếu f x  g x  có chứa thức nhân tử mẫu với biểu thức liên hợp trước phân tích chúng thành tích giản ước

Đặc biệt:

0

sin

lim

x

x x

 

Ví dụ:

  

2

2 2

2 1

lim lim lim

3 2 1

x x x

x x

x x x x x

  

 

   

     

2 Dạng vô định   Bài tốn: Tính  

 

lim

x

f x g x

 xlim f x xlimg x  , f x   ,g x đa thức Phƣơng pháp:

- Bước 1: Đặt lũy thừa bậc cao tử mẫu làm nhân tử chung - Bước 2: Chia tử mẫu cho lũy thừa bậc cao x

- Bước 3: Tính giới hạn thơng thường suy kết

Ví dụ:

2

1 lim

2 x

x x





2

1 lim

2

x

x x



  

 

 



1 lim

2

x

x x x







1

1 lim

2

x

x x x



 

  

Cần xét xem x   ,x khai biểu thức có chứa bậc hai

3 Dạng vơ định 0.

Bài tốn: Tính giới hạn    

lim

(2)

Trang |

- Bước 1: Biến đổi      

 

0

lim lim

1

x x x x

f x f x g x

g x

     để đưa dạng

0

0    

   

0

lim lim

1

x x x x

g x f x g x

f x

    

để đưa dạng 



- Bước 2: Sử dụng phương pháp dạng để tính tiếp giới hạn

4 Dạng vơ định  

Bài tốn: Tính    

lim

xx f x g x  xlimx0 f x  , limxx0g x   tính limxx0f x   g x 

   

0

lim , lim

xx f x   xx g x   Phƣơng pháp:

- Bước 1: Nhận chia với biểu thức liên hợp (nếu có thức) quy đồng để đưa phân thức

- Bước 2: Thực tính giới hạn dựa theo dạng biết

5 Bài tập

Câu Tìm giới hạn

0

1

lim ( *, 0)

n

x

ax

B n a

x



 

   :

A  B  C a

n D 1

n a



Hƣớng dẫn giải Chọn C

Cách 1: Nhân liên hợp Ta có:

1

0

( 1)( (1 ) (1 ) 1)

lim

( (1 ) (1 ) 1)

n n

n n n n

n n

x n n n

ax ax ax ax

B

x ax ax ax

 



        



      

1

0

lim

(1 )n (1 )n 1

x n n n

a a

B

n

ax  ax  ax



 

      

Cách 2: Đặt ẩn phụ

Đặt 1

n

n t

t ax x

a



    x  0 t

1

lim lim

1 ( 1)( 1)

n n n

t t

t t a

B a a

t t t  t t n

 

 

   

     

0

1

lim

1

n

m x

ax A

bx



 



(3)

Trang |

A  B  C am

bn D 1

am bn

 Hƣớng dẫn giải

Chọn C

Áp dụng toán ta có:

0

1

lim lim

1

n

m

x x

ax x a m am

A

x bx n b bn

 

 

  

 

0

1

lim

m n

x

ax bx

N

x



  

 :

A  B  C a b

mn D

a b

mn

Ta có:

0

1 1

lim lim

m n

x x

ax bx a b

N

x x m n

 

   

   

0

1

lim

1

m n

x

ax bx

N

x



  



  :

A  B  C 2an bm

mn



D 0

Ta có:

0

1 1

lim

1

m n

x

ax bx x

N

x x x



     

   

 

 

2( )

.2

a b an bm

m n mn



 

   

 

0

1 1

lim

m n

x

ax bx G

x



  

 :

A  B  C a b

mn D

a b mn

Hƣớng dẫn giải Chọn D

Ta có:  

0

1 1 1 1

lim lim

m n

m

x x

ax bx ax b a

G

x x n m

 

    

   

0

(2 1)(3 1)(4 1)

lim

n

x

x x x

F

x



   

(4)

Trang |

A  B  C 9

n D 0

Đặt yn (2x1)(3x1)(4x  1) y 1 x0

Và:

0

1 (2 1)(3 1)(4 1)

lim lim

n

x x

y x x x

x x

 

      

Do đó:

 

0

1

lim

n

n n

x

y F

n x y  y  y





 

   

3

1 1

lim x

x x x

B

x

  



   

 với  0.:

A  B  C

4

B     D

4

B    

Hƣớng dẫn giải Chọn D

Ta có: 1x31x41x 1

3

1 x x( x 1) x(( x 1) ( x 1)

           

3

0

1 1

lim( 1 ) lim

x x

B x x x

x x

 

  

 

   

    

0

1

lim x

x x

 

 



Câu Tìm giới hạn   2 

0

1

lim

n m

x

mx nx

V

x



  

 :

A  B  C  

2

mn n m

D  

2

mn n m

Ta có: 2 2

0

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

lim lim

m n

x x

nx mnx mx mnx

V

x x

 

     

  ( )

2

mn n m



Câu Tìm giới hạn     

 

3 1

1

lim

1

n

n x

x x x

K

x 



  



 :

A  B  C

!

n D 0

(5)

Trang |

Ta có:

3

1

lim

!

(1 )( 1) (n n 1)

x

K

n

x x x x 



 

    

Câu 10 Tìm giới hạn    

2

0

1

lim

n n

x

x x x x

L

x



    

 :

A  B  C 2n D 0

   

 

2

0 2

1 1

lim

1

n n

n x

x x x x

L n

x x x



         

   

   

 

 

(6)

Trang |

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sƣ phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng

xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn

II. Khoá Học Nâng Cao HSG

- Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS

THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dƣỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chƣơng trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất

các môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia