Tính theå tích vaø dieän tích toaøn phaàn cuûa hình choùp.[r]
(1)1
A
B
C S
a a a
BT theå tích hình chóp (giải)
1) Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC) , SA=a 2, đáy ABC tam giác vuông B, cạnh AB=a; AC=a Tính VSABC =?
Giải : BC= 2
AC AB =a
+ Diện tích đáy Sđáy =
2BA.BC = a
2 + Thể tích hình chóp : Vh/chóp =
3h.Sđáy =
3SA.Sđáy =1
3a 2 a
2 = a
3
2) Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC) , SA=a 3, đáy ABC tam cạnh a Tính VSABC =?
Giải : Đáy tam giác cạnh a; + Diện tích đáy Sđáy =
2 a
4 + Thể tích hình chóp : Vh/choùp =
3h.Sđáy =
3SA.Sđáy =1
3a a
4 = a
4
3) Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC) , SA=a 5, đáy ABC tam giác vng A, cạnh AB=a; AC=a Tính VSABC =?
Giải:
+ Diện tích đáy Sđáy =
2AB.AC = a
2 + Thể tích hình chóp :
Vh/chóp =
3h.Sđáy =
3SA.Sđáy= 3a
2 a
2 =
3 a 10
6
4) Cho hình chóp S.ABC có SB (ABC) , SB=2a, đáy ABC tam giác vuông C, cạnh AB=a 3; AC=a Tính VSABC =?
Giải : BC= 2 AC AB =a
a
A S
C
a
a
(2)A
B
C
S
a
a H
+ Diện tích đáy Sđáy =
2CA.CB = a
2 + Thể tích hình chóp : Vh/choùp =
3h.Sđáy =
3SB.Sđáy = 32a
2 a
2 = a
3
5) Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC) , SA=a 2, đáy ABC tam giác có BAC = 600, cạnh AB=a; AC=a Tính VSABC =?
Giải : + Diện tích đáy Sđáy =
2AB.AC sin
BAC=1
2a.a 3 =
2 3a
4 + Thể tích hình chóp : Vh/chóp=1
3h.Sđáy =
3SA.Sđáy = 3a
2 3a
4 = a
4
6) Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=a 2, đáy ABC tam giác
đều cạnh a Tính VSABC =?
Giải : Gọi H hình chiếu S lên mp(ABC)
Vì S.ABC hình chóp => H trực tâm tam giác ABC SH mp(ABC)
+ AH =
3đường cao =
a =
a 3 +SA = a => SH = 2
SA AH =
2 3a 2a
9 Hay SH = a 15
3 ; + Diện tích đáy Sđáy = a
4 + Thể tích hình chóp : Vh/chóp=
3SH.Sđáy =
a 15
2 a
4 = a
12
7) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a; cạnh bên SA tạo với đáy góc 300 Tính VSABC ?
Giải : Gọi H hình chiếu S lên mp(ABC)
Vì S.ABC hình chóp => H trực tâm tam giác ABC SH mp(ABC)
+ AH =
3đường cao =
a =
a 3 + Diện tích đáy Sđáy =
2 a
4
A
B
C
S
300
(3)3
B
A
C
S
D
Hình chiếu SA lên mp (ABC) HA => góc tạo cạnh bên SA đáy góc tạo SA HA góc SAH =30
=> SH = AH.tanSAH = a 3
1 3=
a + Thể tích hình chóp : Vh/choùp=
3SH.Sđáy =
a
2 a
4 = a
36
8) Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC) , SA=a 2, đáy ABC tam giác vuông cân A, mặt phẳng (SBC) tạo với đáy góc 600 Tính VSABC =?
Giải : Gọi M trung điểm BC Vì ABC cân A => BC AM Mà BC SA ( SA (ABC) Suy : BC (SAM) => BC SM
+ Góc tạo mp(SBC) đáy (ABC) góc tạo SM AM ( vng góc giao tuyến BC) góc SMA =60
=> AM= SA 0 tan 60 =
a
3 ; BC =2AM= 2a
3 + Diện tích đáy Sđáy =1
2AM.BC= 2a
3 + Thể tích hình chóp : Vh/choùp=
3SA.Sđáy = 3a
2 2a
3 = 2a
9
9) Cho hình chóp S.ABCD có SA(ABCD) , đáy ABCD hình vng cạnh a SA=BD Tính VS.ABCD ?
Giải : + Đáy hình vng Sđáy = a2 + Đường chéo AC=BD=a
=> SA= a
+ Thể tích hình chóp: VS.ABCD =
3SA.Sđáy VS.ABCD =
3SA.Sđáy=
3a 2.a
= a
3
A
B
C S
a 600
(4)10) Cho hình chóp S.ABCD có SA(ABCD) , đáy ABCD hình chữ nhật , AB=a , AD= a SA=BD Tính VS.ABCD ?
Giải : + Đáy hình chữ nhật Sđáy =AB.AD= a2 + Đường chéo AC=BD= 2
AB AD =a => SA= a + Thể tích hình chóp: VS.ABCD =
3SA.Sđáy VS.ABCD =
3SA.Sđáy=
3a 2.a
2 = 2a
3
11) Cho hình chóp S.ABCD có SA(ABCD) , đáy ABCD hình vng cạnh a cạnh SC tạo với đáy góc 450 Tính VS.ABCD ?
Giải : SC chiếu lên mp(ABCD) AC => Góc tạo SC mp(ABCD) góc tạo SC AC góc SCA =45
=> SA=AC =a
+ Đáy hình vng Sđáy = a2 + Thể tích hình chóp:
VS.ABCD =
3SA.Sđáy=
3a 2.a
= a
3
12) Cho hình chóp S.ABCD có SB(ABCD) , đáy ABCD hình thoi cạnh a ; BAC = 600 SA=a Tính VS.ABCD ?
Giải :Vì BAC=600 Và ABCD hình thoi Suy ABD tam giác ; cạnh BD =a
AC = đường cao tam giác ABD => AC =a
+ Diện tích đáy Sđáy = BD.AC = a2 + Đường cao : SB = 2
SA AB =2a + Theå tích hình chóp: VS.ABCD =
3SA.Sđáy= 3.2a
2
a = 2a
3
13) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, cạnh bên b Tính thể tích khối chóp ?
B
A
C
S
D 450
A
B
D
S
C
a
B
A C
D
(5)5 Giải: Gọi H hình chiếu S lên mp(ABCD)
Vì SA=SB=SC=SD => HA=HB=HC=HD => H tâm hình vuông
+ HA= a
2 ; SH=
2
SA HA =
2 a b
2 + Đáy hình vng Sđáy = a2
+ Thể tích hình chóp: VS.ABCD =
3SH.Sđáy=
2 a b
2 a2
14) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc tạo mặt bên mặt đáy 300 Tính thể tích khối chóp theo a ?
Giải :Gọi H hình chiếu S lên mp(ABCD)
Vì tính chất hình chóp => H tâm hình vng Gọi M trung điểm CD
+ Tam giác SCD cân => SM CD + Tam giác HCD cân => HM CD
+ Góc tạo mặt bên (SCD) đáy (ABCD) Là góc tạo SM HM => SMH =30 Với HM =a
2; SH =HM.tan30 0 = a
2 + Đáy hình vng Sđáy = a2 + Thể tích hình chóp: VS.ABCD =
3SH.Sđáy=
a 3.a
2 = a3
15) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên 2a, góc tạo cạnh bên đáy 600 Tính thể tích hình chóp S.ABCD ?
Giải Gọi H hình chiếu S lên mp(ABCD)
Vì tính chất hình chóp => H tâm hình vng + Hình chiếu cạnh SA lên mp đáy HA
+ Góc tạo cạnh bên SA đáy (ABCD) Là góc tạo SA HA => SAH =60 Với HA =a
2 ; SH =HA.tan60
=a + Đáy hình vng Sđáy = a2
H A
C S
D
B
b
a
H A
C S
D
B
300
M
H A
C S
D
B
600
(6)+ Thể tích hình chóp: VS.ABCD =
3SH.Sđáy=
a a
2 =a3 6
16) Cho tứ diện ABCD có AB,AC,AD đơi vng góc nhau, biết AB=a; AC=a 2; AD=a Tính thể tích VABCD ; Gọi H hình chiếu
vuông góc A lên mặt phẳng (BCD) Tính AH
Giải :+ Từ giả thiết : AD AB; AD AC => AD mp(ABC)
+ Diện tích đáy : SABC =
2AB.AC= a
2 + Thể tích hình choùp : VABCD =
3AD.SABC VABCD =1
3a a
2 = a
6
+ Gọi H hình chiếu vuông góc A lên mặt phẳng (BCD) Ta có AH (BCD) Kéo dài DH cắt BC M
Vì AH BC, AD BC => (DAH) BC màAM (DAH)=> BC AM C1: Tính đường cao AM : 2
AM =
1
AB +
1
AC => AM = a
3 + DM = 2
AD AM =a 11
3 ; BC =
2
AB AC =a
SBCD =
2DM.BC =
a 11
3 a 3= a 11
2
Thể tích : VABCD =
3AH.SBCD <=> AH =
ABCD BCD 3V
S =
2
a
2
a 11
2
=a 11
C2 : Tính AM =
a
3 Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng DAM có AH đường cao : 2
AH =
1
AM +
1
AD =
11
6a => AH= a
11
Chú ý :Khi AB,AC,AD đôi vuông góc VABCD =1
6AD.AB.AC
B
A
D
C
a
a
a
H
(7)7
M S
K
N
17) Cho hình chóp S.ABC có SA=BC=a 2;SB=CA=a 5;SC=AB=2a
Gọi M,N,K điểm mp(ABC) cho A trung điểm MN; B trung điểm NK; C trung điểm MK Chứng minh SM,SN,SK đôi vuông góc Tính VSABC?
Giải:
Theo cách dựng MN=2BC=2a ; NK =2AC=2a ; MK =2AB=4a + Xét tam giác SMN có SA trung tuyến SA =1
2MN (cuøng = BC) => tam giác SMN vuông S hay SM SN
+ Xét tam giác SNK có SB trung tuyến SB =1
2NK (cùng= AC) => tam giác SNK vuông S hay SN SK
+ Xét tam giác SMK có SC trung tuyến SC =1
2MK ( =AB) => tam giác SMK vuông S hay SM SK
Vậy SM,SN,SK đôi vuông góc p dụng Pi tago : SM2 +SN2 =MN2 = 8a2
SN2 +SK2 =NK2 = 20a2 SK2 +SM2 =MK2= 16a2 Cộng vế theo veá : SM2 +SN2 +SK2 = 22a2 Suy : SK2 =14a2 <=> SK =a 14 ;
SM2 =2a2 <=> SM= a SN2 = 6a2 <=> SN =a Vaø SABC =
4SMNK , hình chóp S.ABC S.MNK có đỉnh B
A
M C
S
N
(8)A
B
C
D
a
a H
=> VS.ABC =
4VS.MNK =
1
6SM.SN.SK= 24a
3 168
18) Cho tứ diện cạnh a Tính thể tích tứ diện
Giải : Cho tứ diện ABCD
Gọi H hình chiếu D lên mp(ABC)
Vì ABCD tứ diện => H trực tâm tam giác ABC DH mp(ABC)
+ AH =
3đường cao =
a =
a 3 + DA = a => DH = 2
DA AH =
2 3a a
9 Hay DH = a
3 ; + Diện tích đáy Sđáy = a
4 + Thể tích hình chóp : VABCD=
3DH.Sđáy =
a
2 a
4 = a
12
19) Cho hình chóp tứ giác có cạnh a Tính thể tích khối chóp
Giải: Gọi H hình chiếu S lên mp(ABCD) Vì SA=SB=SC=SD => HA=HB=HC=HD => H tâm hình vuông
+ HA= a
2 ; SH=
2
SA HA =
2 a a
2
=a 2 + Đáy hình vng Sđáy = a2
+ Thể tích hình chóp: VS.ABCD =
3SH.Sđáy=
a 2 a
2 =a3
20) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a a) Tính thể tích khối chóp AB’CD’
b) Tính thể tích khối chóp A.B’C’D’ Giải :
a) Tứ diện AB’CD’ có AB’=AC=AD’=CD’=CB’=B’D’=a Suy AB’CD’ tứ diện cạnh a
H A
C S
D
B
a
(9)9 p dụng tập 18 ta có : VAB’CD’ =
3 a 2
12 = a
3 Cách khác : gọi O giao AC BD
Ta có : VAB’CD’= VA OB’D’ + VC.OB’D’
Hình chóp A.OB’D’ có đường cao AO, đáy OB’D’ Hình chóp C.OB’D’ có đường cao CO, đáy OB’D’ Mà SOB’D’ =1
2OO’.B’D’ =
2a.a = a
2 + VA OB’D’ =1
3AO.SOB’D’ =
a 2
2 a
2 = a
6 + VC.OB’D’ =1
3CO.SOB’D’ =
a 2
2 a
2 = a
6 Vaäy VAB’CD’= VA OB’D’ + VC.OB’D’ =
3 a
3 b) Thể tích VA.B’C ’D’ =
3h.SB’C’D’ Maø h = AA’ =a vaø SB’C’D’ =
1
2SA’B’C ’D’ = 2a
2 Vaäy : VA.B’C ’D’ =
3a 2a
2 =a3
21) Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC) tam giác SBC cạnh a, góc BAC =1200 tính thể tích diện tích tồn phần hình chóp
Giải : SA (ABC) Và SB=SC => AB=AC Hay tam giác ABC cân tai A BC=a ; BAC=1200
+ Kẻ đường cao AM , M trung điểm BC + Góc ABM =30 ; AM = BM.tan300 =a
2
3= a + Tam giác SBC => SM= a
2
C B
A
C’ B’
A’
a a
D’ D
O
S
A C
a
B
a
M A
B C
M
(10)Suy SA= 2
SM AM =
2 3a a
4 12 = a
3 + Diện tích đáy SABC =
1
2AM.BC =
a 3.a=
2 a + Thể tích hình chóp : Vh/choùp =
1
3SA.SABC =
a
2 a =
3 a
36
22) Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC) tam giác SBC cạnh a 3, SA= a Tính thể tích diện tích tồn phần hình chóp
Giải : SA (ABC) SB=SC => AB=AC Hay tam giác ABC cân tai A
+ Gọi M trung điểm BC => AM BC + Tam giác SBC cạnh a
=> SM= (a 3) =
3a Suy AM= 2
SM SA =
2 9a
a =
a + Diện tích đáy SABC =
2AM.BC =
a
2 a 3= a 15
4 + Thể tích hình chóp : Vh/chóp =
3SA.SABC = 3a
2 a 15
4 = a 15
12 + AB=AC = a ; SSAB = SSAC =1
2.SA.AB = a
2 ; SSBC =
a 3
2 + Stp = SSAB + SSAC + SSBC + SABC = a2 +2 3a
4 + a 15
4
23) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a SA=h vng góc với đáy Gọi H, K trực tâm tam giác ABC SBC Chứng minh HK (SBC) tính thể tích tứ diện HKBC theo a h
Giải : + Kéo dài AH cắt BC M, M trung điểm BC + BC AH , BC SA => BC SM
Vì K trực tâm tam giác SBC => S,K, M thẳng hàng
S
A C
B
a
M
a
(11)11 Suy BC (SAM) vaø HK (SAM) => HK BC (1)
+ CH AB , CH SA => CH SB Mà K trực tâm => CK SB Suy : HK SB (2)
Từ (1) (2) Suy HK (SBC) AM = a
2 ; HM =
a =
a ;
SM= 2
SA AM =
2 3a h
4
SAM đồng dạng HKM => SA HK =
SM HM=
AM KM Suy HK= SA.HM
SM =
2
3a h
4
; KM =AM.HM
SM =
2
2
a 3a h
4 Diện tích SKBC =
2KM.BC=
2
2
a 3a h
4
.a=
3
2
a 3a h
4 VHKBC =1
3.HK.SKBC =
3
2
3a h
4
3
2
a 3a h
4
=
2 a h
3a 144 h
4
S
A C
B h
M
a