Tài liệu SKKN: dạy học phân số cơ bản và nâng cao

A. Đặt vấn đề I. Lí do chọn đề tài - Trong chơng trình môn Toán ở Tiểu học hiện nay, nội dung dạy về phân số, các phép tính về phân số đợc đa vào giảng dạy, trong chơng trình Toán 4. Đây là nội dung dạy học toán mới trong chơng trình Toán 4. Phân số, các phép tính về phân số là một nội dung khó đối với học sinh lớp 4, hơn thế nữa là các bài toán có kiến thức nâng cao bồi dỡng cho học sinh khá, giỏi ở lớp 4 lại là những bài toán mang tính trừu tợng cao. Đòi hỏi học sinh phải t duy và sáng tạo mới có thể giải đợc các bài toán đó. - Trong các nội dung bồi dỡng toán cho học sinh giỏi lớp 4 hiện nay thì nội dung bồi dỡng về phân số, các phép tính về phân số, các bài toán có nội dung về phân số là một nội dung khó, hai nữa các nội dung này thờng xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi. Các bài tập này hầu hết học sinh đều khó khăn trong cách giải hoặc nhiều học sinh không giải quyết nổi. - Qua thực tế là kết quả của bài kiểm tra định kỳ, kết quả kiểm tra chất l- ợng học sinh giỏi, các đề thi học sinh giỏi của nhiều năm trở lại đây. Bài toán về phân số thờng xuyên xuất hiện với nhiều dạng loại khác nhau. Nhng số em giải quyết tốt các bài toán về phân số cha nhiều, kết quả bài kiểm tra, bài thi cha cao. - Chính vì vậy trong năm học năm 2009 - 2010 này, Tôi đã đi sâu tìm tòi và nghiêm cứu cách dạy các bài toán về phân số để bồi dỡng cho những học sinh khá và giỏi toán ở lớp 4, nhằm giúp các em có kiến thức một cách hệ thống các dạng toán về phân số, giúp các em tháo gỡ khó khăn khi gặp các bài toán về phân số trong các đề thi học sinh giỏi II. Phạm vi đề tài Học sinh khá, giỏi lớp 4 - Trờng tiểu học Xuân Lộc 1. III.Thời gian thực hiện Năm học 2009 - 2010 1 B. Quá trình thực hiện đề tài I. Khảo sát thực tế 1. Về học sinh - ở chơng trình môn toán lớp 4, nội dung phân số và các phép tính về phân số đợc đa vào dạy học kỳ II. Vừa làm quen, học khái niệm phân số các em phải học ngay các phép toán về phân số, rồi giải các bài toán về phân số cho nên các em cảm thấy đây là một nội dung khó, khi bồi dỡng các bài toán khó về phân số nhiều em cảm thấy " sợ "giải các bài toán về phân số. - Việc vận dụng các tính chất của phân số, các qui tắc tính chậm. - Các tính chất của các phép tính về phân số trừu tợng nhiều học sinh khó nhận biết, mối quan hệ giữa các thành phần trong các phép tính về phân số nhiều học sinh không phát hiện đợc do khả năng quan sát cha nhanh. - Qua nhiều đề thi kiểm tra chất lợng học sinh giỏi của trờng, của huyện, của tỉnh (những năm trớc), phần nhiều học sinh không giải quyết đợc bài toán có nội dung về phân số, giải sai về cách giải, không chính xác về kết quả. Gần đây nhất là trong đề thi kiểm tra định kỳ lần 1 (giữa kỳ 1 ) ở lớp 4 có một bài tập số 5 : Tính nhanh : (1điểm) - Bài tập phát hiện học sinh giỏi 128 1 64 1 32 1 16 1 8 1 4 1 2 1 ++++++ Thực tế số em giải đợc và đúng bài tập này rất ít, phần nhiều giải sai hoặc bỏ giấy trắng, nhiều em giải dài dòng cha nhanh. Tìm hiểu nguyên nhân thấy rằng các em không biết quan sát, so sánh, các phân số trong tổng, không phân tích đợc qui luật có trong dãy phân số đó để tính nhanh. 2. Về giáo viên Trong các bài dạy về phân số giáo viên không mở rộng kiến thức cho học sinh. Không phân định đợc rõ dạng bài, để khắc sâu cách giải cho học sinh. 3. Kết quả 2 Với 20 học sinh lớp 4 năm học trớc 2009 - 2010 và đề kiểm tra khảo sát học sinh giỏi của khối năm học này. Bài toán về phân số đợc học sinh giải quyết với kết quả nh sau : G : 1 em =5% TB : 8 em =40% K : 5 em = 25% y : 6 em = 30% Trớc thực trạng trên tôi rất băn khoăn và trăn trở. Vì vậy, tôi đã nghiên cứu các tài liệu và tìm ra cho mình 1 số biện pháp để dạy cho học sinh giải các bài toán về phân số nhằm nâng cao chất lợng học sinh giỏi ở lớp 4 tạo nền tảng cho các em học tốt toán ở lớp 5 và các lớp trên. II. Biện pháp thực hiện đề tài Trong quá trình bồi dỡng nội dung về phân số cho học sinh giỏi toán ở lớp 4, tôi phân thành các dạng bài nh sau: Dạng 1: Các bài toán về cấu tạo phân số : A. Các kiến thức cần ghi nhớ : 1. Thơng của phép chia số tự nhiên cho số tự nhiên (khác 0) có thể viết thành phân số, tử số là số bị chia, MS là số chia a : b = b a ( với b 0 ) - Mẫu số b chỉ số phần = nhau lấy ra từ 1 đơn vị, tử số a chỉ số phần lấy đi. 2. Mỗi số tự nhiên có thể viết thành phân số mẫu số là 1 : a = 1 a 3. Phân số nào có tử số nhỏ hơn mẫu số thì nhỏ hơn 1; phân số nào có tử số lớn hơn mẫu số thì lớn hơn 1,àphan số nào có tử số bằng mẫu số thì bằng 1. 4. Nếu nhân cả tử số và mẫu số của 1 phân số với một số tự nhiên khác 0 thì đợc phân số bằng phân số đã cho : n b a nxb nxa ( = 0 ) 5. Nếu chia cả tử số và mẫu số của phân số đã cho với 1 số tự nhiên 0 ( gọi là rút gọn phân số ) thì đợc phân số bằng phân số đã cho. b a mb ma = : : ( m 0 ) 3 6. Nếu cộng cả tử số và mẫu số của phân số với cùng 1 số (hoặc trừ cả tử số và mẫu số ) cùng một số thì hiệu giữa mẫu số và tử số không thay đổi.(với phân số < 1 ) B. Các ví dụ : Ví dụ 1 : Rút gọn các phân số sau : a. 2525 2323 = 25 23 10125 10123 = x x b. 345345 123123 = 115 41 345 123 001345 1001123 == x x Ví dụ 2 : Cho phân số 7 3 , cộng thêm vào tử số và mẫu số của phân số đó với 1 số tự nhiên ta đợc phân số bằng 9 7 . Tìm số đó Giải : Hiệu của mẫu số và tử số của phân số 7 3 là : 7 - 3 = 4 ( đơn vị ) Khi cộng vào tử số và mẫu số với cùng 1 số thì hiệu của mẫu số và tử số vẫn không thay đổi. Nếu coi tử số của phân số mới là 7 phần thì mẫu số của nó là 9 phần. Ta có sơ đồ : Số phần bằng nhau của mẫu số hơn số phần bằng nhau của tử số là : 9 - 7 = 2 ( phần ) Tử số của phân số mới là : 4 : 2 x 7 = 14 Số cộng thêm vào là : 14 -3 =11 Đáp số : 11 Ví dụ 3 : Cho phân số 14 11 .Tìm phân số bằng phân số đã cho biết rằng mẫu số của phân số đó lớn hơn tử số của nó là 1995 đơn vị. Giải 4 ? ? 4 Tử số Mẫu số Nếu ta coi mẫu số của phân số phải tìm là 14 phần thì tử số của phân số đó là 11 phần nh thế. Hiệu số phần bằng nhau là : 14 - 11 = 3 (phần) Tử số của phân số phải tìm là : 1995 : 3 x 11 = 7315 Mẫu số là : 1995 + 7315 = 9310 Vậy phân số phải tìm là : 9310 7315 C. Các bài tập luyện tập Bài 1: Rút gọn các phân số sau : a. 363363 123123 b. 471947194719 961996199619 c. 8181818181 1818181818 Bài 2 : Tìm phân số biết tổng của tử số và mẫu số bằng 40 và rút gọn phân số đó thì đợc 5 3 . Gợi ý - Coi tử số của phân số phải tìm là 3 phần thì mẫu số là 5 phần - áp dụng toán tìm 2 số khi biết tổng và tỷ số của 2 số đó để tìm tử số và mẫu số của phân số mới. Đáp số : 25 15 Bài 3 : Cho phân số 313 211 . Trừ cả tử số và mẫu số của phân số đó cho cùng 1 số tự nhiên ta đợc phân số bằng 5 3 . Tìm số đó. Gợi ý : - Khi trừ cả tử số và mẫu số của phân số 313 211 đi cùng 1 số thì hiệu của mẫu số và tử số không thay đổi. - Tìm hiệu của mẫu số và tử số của phân số 313 211 - Coi tử số của phân số mới là 3 phần thì mẫu số là 5 phần . áp dụng bài toán tìm 2 số khi biết hiệu và tỷ số của 2 số để tìm tử số (hoặc mẫu số). Lấy tử số cũ trừ đi tử số mới ta đợc số phải tìm Đáp số : 28 5 Bài 4 : Cho phân số 49 35 . Cộng vào tử số 1 số nào đó và mẫu số trừ đi số đó ta đợc phân số bằng 4 3 . Tìm số đó ? Đáp số : 1 Bài 5 : Hãy tìm một số nào đó sao cho khi tử số và mẫu số của phân số 64 29 cùng trừ đi số đó thì đợc phân số mới bằng 9 2 . Đáp số : 19 Bài 6 : Tìm một số sao cho cả tử số và mẫu số của phân số 49 35 cùng trừ đi số đó thì đợc phân số mới bằng 3 1 . Đáp số : 28 Bài 7 : Tìm 1 phân số bằng 13 7 sao cho mẫu số của nó lớn hơn tử số 114 đơn vị . (Giải tơng tự ví dụ 3) Đáp số : 247 133 = 13 7 19:247 19:133 Bài 8 : Tìm 1 phân số bằng 16 9 sao cho tổng của tử số và mẫu số của phân số ấy bằng 1000. (HD tơng tự bài 2) Đáp số : 640 360 = 16 9 40:640 40:360 Bài 9 : Tìm 1 phân số bằng 23 21 ; biết rằng khi ta cộng thêm vào tử số và mẫu số của phân số đó với cùng 1 số tự nhiên ta đợc phân số 72 66 . HD : Nhận xét 72 66 là phân số cha tối giản ta phải rút gọn 12 11 36 33 72 66 == áp dụng giải nh ví dụ 2 Đáp số : 1 6 Bài 10 : Tìm phân số bằng phân số 19 15 , biết rằng khi ta trừ cả tử và mẫu của phân số đó đi cùng 1 số tự nhiên ta đợc phân số bằng 37 21 . Gợi ý : Xét hiệu của mẫu số và tử số của phân số 19 15 bằng 4 Xét hiệu số phần bằng nhau giữa mẫu số và tử số của phân số mới là : 37 - 21 = 16. Ta thấy hiệu của mẫu số và tử số của phân số 19 15 nhỏ hơn hiệu số phần số lần là : 16 : 4 = 4 ( lần ) Vậy phân số phải tìm là : 67 60 419 415 = x x Số trừ đi là : 60 - 21 =39 hoặc 76 - 37 = 39 Dạng 2 : Các bài toán về so sánh phân số A. Kiến thức cần ghi nhớ : 1. Muốn quy đồng mẫu số của 2 phân số, ta nhân cả tử số và mẫu số của phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ 2. Nhân cả mẫu số và tử số của phân số thứ hai với mẫu số của phân số thứ nhất. 2. Quy đồng tử số: Nhân cả mấu số và tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai. Nhân cả mẫu số và tử số của phân số thứ hai với tử số của phân số thứ nhất. 3. Khi so sánh 2 phân số : - Có cùng mẫu số : Ta so sánh 2 tử số, phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn. - Không cùng mẫu số : Trớc hết ta qui đồng mẫu số rồi so sánh nh trờng hợp trên. 4. Các phơng pháp sử dụng so sánh phân số - Vận dụng quy tắc so sánh ở phần 3. - Nếu 2 phân số có cùng tử số phân số nào có mẫu số nhỏ hơn thì lớn hơn. - So sánh qua 1 phân số trung gian. 7 b a < d c và d c < f e thì b a < f e - So sánh hai phần bù với 1 của mỗi phân số 1- b a <1- d c thì b a > d c - So sánh " phần hơn " với 1 của 1 phân số 1 b a < 1 d c thì b a < d c B. Các ví dụ VD1 : So sánh 2 phân số 7 5 và 9 7 Giải :Cách 1: Quy đồng mẫu 2 phân số 63 45 7 5 = ; 63 49 9 7 = ; 63 45 < 63 49 . Vậy : 7 5 < 9 7 Cách 2: Quy đồng tử số 2 phân số: 7 5 = 49 35 ; 9 7 = 45 35 ; 49 35 < 45 35 Vậy : 7 5 < 9 7 Cách 3: Tìm và so sánh phần bù tới 1của hai phân số; 1 - 7 5 = 7 2 ; 1 - 9 7 = 9 2 mà 7 2 > 9 2 nên 7 5 < 9 7 VD 2 :Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự từ nhỏ đén lớn: 2 1 ; 7 3 ; 4 3 Cách 1: Quy đồng mẫu số: 2 1 = 56 28 ; 7 3 = 56 24 ; 4 3 = 56 42 56 24 < 56 28 < 56 42 nên 7 3 < 2 1 < 4 3 . Cách 2: Quy đồng tử số: 2 1 = 18 9 ; 7 3 = 21 9 ; 4 3 = 12 9 Mà 21 9 < 18 9 < 12 9 nên 7 3 < 2 1 < 4 3 . Cách 3: 1- 2 1 = 2 1 ; 1- 7 3 = 7 4 ; 1- 4 3 = 4 1 Mà 4 1 < 2 1 < 7 4 nên 7 3 < 2 1 < 4 3 8 Cách 4: Lấy phân số 2 1 làm phân số trung tâm : Ta có: 7 3 < 2 1 ; 4 3 > 2 1 nên 7 3 < 2 1 < 4 3 Ví dụ 3: Hãy tìm 5 phân số khác nhau nằm giữa hai phân số : a. 5 2 và 5 3 b. 1997 1995 và 1996 1995 Giải : a. Ta có : 5 2 = 30 12 , 5 3 = 30 18 Vậy 5 2 = 30 12 < 30 13 < 30 14 < 30 15 < 30 16 < 30 17 < 30 18 = 5 3 b. Ta có : 1997 1995 = 61997 61995 x x = 11982 11970 ; 1996 1995 = 61996 61995 x x = 11976 11970 Vậy : 1997 1995 = 11982 11970 < 11981 11970 < 11980 11970 < 11979 11970 < 11978 11970 < 11977 11970 < 11976 11970 = 1996 1995 C. Các bài luyện tập: Bài 1. Hãy so sánh các phân số sau bằng nhiều cách: a. 4 3 và 5 4 b. 7 6 và 9 8 Bài 2 . Hãy so sánh các phân số sau bằng cách nhanh nhất: a. 27 16 và 29 15 ; b. 1996 1995 và 1997 1996 ; c. 326 327 và 325 326 Bài 3. Xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần: a. 2 1 ; 10 9 ; 3 2 ; 5 4 ; 9 8 ; 6 5 ; 8 7 ; 4 3 ; 8 7 . b. 1991 1992 ; 1992 1993 ; 1993 1994 ; 1994 1995 ; 1995 1996 . c. 8 7 ; 18 17 ; 58 57 ; 98 97 . 9 Bài 4. Xếp các phân số sau theo thứ tự giảm dần: a. 7 5 ; 9 6 ; 9 7 . b. 10 7 ; 100 80 . 1000 750 . Bài 5. Hãy chứng tỏ các phân số sau đều bằng nhau: a. 31 23 ; 3131 2323 ; 313131 232323 ; 31313131 23232323 b. 1996 1995 ; 19961996 19951995 ; 961996199619 951995199519 ; c. 5678 1234 ; 11356 2468 ; 39746 8638 . Bài 6. Hãy viết 10 phân số khác nhau nằm giữa hai phân số: a. 101 100 và 102 101 b. 1995 1996 và 1992 1993 Bài 7. Hãy tìm 5 phân số có tử số chia hết cho 5 và nằm giữa hai phân số : a. 1001 999 và 1003 1001 b. 10 9 và 13 11 Dạng 3: Thực hành các phép tính trên phân số. A. Kiến thức cần ghi nhớ : 1. Phép cộng : Muốn cộng hai phân số có cùng mẫu số, ta cộng hai tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số. b a + b c = b ca + Muốn cộng hai phân số khác mẫu số, ta quy đồng mẫu số rồi cộng hai phân số đó . b a + d c = dxb cxbad + 2. Phép trừ (tơng tự nh phép cộng) 3. Phép nhân: Muốn nhân hai phân số, ta nhân tử số với tử số, mẫu số nhân với mẫu số b a x d c = dxb cxa 10 [...]... và phân số thứ ba là 7 24 Tìm 3 phân số đó Hd giải: Vận dụng kiến thức về số trung bình cộng để giải Tổng của 3 phân số là 13 39 13 x3 = = 36 36 12 Tổng của phân số thứ nhất và phân số thứ hai là: Phân số thứ 3 là: 13 12 1 = 12 12 4 Tổng của phân số thứ hai và phân số thứ ba là: Phân số thứ nhất là: Phân số thứ hai là: 7 70 x 2= 22 12 13 7 1 = 12 12 2 7 3 1 = 12 12 3 Đáp số: 1 2 , 1 1 và 4 3 Vd... bài luyện tập 1/ Trung bình cộng của 3 phân số bằng lần thì trung bình cộng bằng bình cộng bằng 13 9 41 30 Nếu tăng phân số thứ nhất lên hai Nếu tăng phân số thứ hai lên hai lần thì trung Tìm 3 phân số đó ? Đáp số: phân số thứ nhất: ba: 7 6 3 5 5 6 , phân số thứ hai: , phân số thứ 31 15 2/ Một ngời bán vịt, lần thứ nhất bán 1 5 số vịt, , lần thứ hai bán 2 7 số vịt, , lần thứ ba bán 36 con thì vừa... phân tích các mẫu số thành tích 2 số tự nhiên liền nhau: Chẳng hạn: 30 = 5 x 6; 42 = 6 x 7; 56 = 7 x 8 13 c/ 2 2 2 2 2 2 2 + + + + + + 1 x 3 3 x 5 5 x 7 7 x 9 9 x 11 11x 13 13 x 15 Gợi ý: 2 1 =1 1x 3 3 2 1 1 = 3x 5 3 5 ; Dạng 4: Các bài toán điển hình về phân số: Vd 1: Trung bình cộng của 3 phân số = nhất và phân số thứ hai là 5 , 12 13 36 Trung bình cộng của phân số thứ của phân số thứ hai và phân. .. đạt học sinh giao lu học tốt cấp trờng, 10 em đạt học sinh giỏi Toán Tiếng Việt cấp trờng 19 Qua kết quả trên tôi thấy việc dạy cho học sinh giỏi các bài toán về phân số thực sự đã góp phần nâng cao chất lợng học môn toán của các em học sinh giỏi C Bài học kinh nghiệm và những kiến nghị sau khi thực hiện đề tài Muốn truyền đạt cho học sinh nắm đợc cách giải các bài toán về phân số, ngời giáo viên phải... Ta có: 1 3 tổng số điểm 10 của 4 khối còn lại Khối Một có số điểm 10: Số điểm 10 của 4 khối còn lại: 16 Vậy số điểm 10 của khối Một = 1 4 tổng số điểm 10 của toàn trờng Tơng tự nh vậy ta có: 1 5 Số điểm 10 của khối Hai bằng Số điểm 10 của khối Ba bằng 1 6 Số điểm 10 của khối Bốn bằng số điểm 10 của toàn trờng số điểm 10 của toàn trờng 1 7 số điểm 10 của toàn trờng Phân số chỉ tổng số điểm 10 của 4... tổng số điểm 10 của 4 khối còn lại và khối Năm đạt 101 điểm 10 Hỏi toàn trờng đạt bao nhiêu điểm 10 và mỗi khối đạt bao nhiêu điểm 10 ? Hd giải: - Tìm số phần điểm 10 của mỗi khối so với tổng số điểm 10 của toàn trờng (dùng sơ đồ đoạn thẳng) - Tìm tổng số phần điểm 10 của 4 khối: 1, 2, 3, 4 - Tìm phân số chỉ số điểm 10 của khối Năm - Tìm số điểm 10 của 5 khối tìm số điểm 10 của mỗi khối Giải: Số điểm... bồi dỡng học sinh giỏi để tôi đợc giao lu học hỏi với những sáng kiến hay, những kinh nghiệm quý báu của đồng nghiệp giúp cho việc bồi dỡng học sinh giỏi tốt hơn, đáp ứng đợc với sự phát triển của KH, sự kì vọng của cha mẹ học sinh và nhà trờng Trên đây là một vài biện pháp của tôi trong việc dạy bồi dỡng học sinh giỏi toán với nội dung về phân số ở lớp 4 Do còn ít kinh nghiệm giảng dạy nên đề tài không...4 phép chia: Muốn chia một phân số cho một phân số, ta lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai đảo ngợc a b c d : = a b d c x = axd bxc 5 Các tính chất của phép tính trên phân số a Tính chất giao hoán a b + c d c d = + a b a b ; x c d c d = x a b b.Tính chất kết hợp: a c + b d + e f a b = c e + d f + a c e a c e x x = x x b d f b d f ; c Tính chất phân phối của phép nhân đối... vải Đáp số: tấm vải: 44 m; sáng :12m ;chiều : 12m Vd 5: Trong phong trào thi đua lập thành tích chào mừng ngày 20/ 11, học sinh một trờng tiểu học đạt số điểm 10 nh sau: Số điểm 10 của khối Một bằng tổng số điểm 10 của 4 khối còn lại Số điểm 10 của khối Hai bằng điểm 10 của 4 khối còn lại Số điểm 10 của khối Ba bằng của 4 khối còn lại Số điểm 10 của khối Bốn bằng 1 6 1 5 1 4 1 3 tổng số tổng số điểm... (tổng số điểm 10 của cả trờng) Phân số chỉ số điểm 10 của khối Năm là: 1 319 101 = 420 420 (tổng số điểm 10 của cả trờng) Số điểm 10 của toàn trờng là: 101 : 101 =420 420 Số điểm 10 của khối Một là: 420 x Số điểm 10 của khối Hai là: Số điểm 10 của khối Ba là: 420 x 420 x 1 4 Số điểm 10 của khối Bốn là: 420 x = 105 (điểm 10) 1 = 84 5 1 = 70 6 (điểm 10) (điểm 10) (điểm 10) 1 = 60 7 (điểm 10) Đáp số: Toàn . mẫu số và tử số của phân số thứ hai với mẫu số của phân số thứ nhất. 2. Quy đồng tử số: Nhân cả mấu số và tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số. tử số và mẫu số của phân số mới. Đáp số : 25 15 Bài 3 : Cho phân số 313 211 . Trừ cả tử số và mẫu số của phân số đó cho cùng 1 số tự nhiên ta đợc phân số