1. TÌM CAÙC TIEÄM CAÄN CUÛA HAØM SOÁ Bài toán 4 : Caùch xaùc ñònh tieäm caän :.. BIEÄN LUAÄN SOÁ NGHIEÄM CUÛA PHÖÔNG TRÌNH DÖÏA VAØO ÑOÀ THÒ.. c) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ([r]
(1)ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP CHƯƠNG – GIẢI TÍCH 12 CƠ BẢN Ph
ần bổ sung kiến thức Giới hạn hàm số
Một số phương pháp khử dạng vô định: 1 Dạng 0
0
a) L =
0
( ) lim
( )
x x P x Q x
với P(x), Q(x) đa thức P(x0) = Q(x0) = 0
Phân tích tử mẫu thành nhân tử rút gọn.
VD: 32 2
2 2
8 ( 2)( 4) 12
lim lim lim
( 2)( 2)
4
x x x
x x x x x x
x x x
x
b) L =
0
( ) lim
( )
x x P x Q x
với P(x0) = Q(x0) = P(x), Q(x) biểu thức chứa bậc
Sử dụng đẳng thức để nhân lượng liên hợp tử mẫu.
VD:
0 0
2 4 1
lim lim lim
4
2
2
x x x
x x x
x x x x
c) L =
0
( ) lim
( )
x x P x Q x
với P(x0) = Q(x0) = P(x) biêåu thức chứa không đồng bậc
Giả sử: P(x) = mu x( ) nv x với u x( ) m ( )0 nv x( )0 a
Ta phân tích P(x) = mu x( ) a a nv x( ).
VD: 3
0
1 1 1
lim lim
x x
x x x x
x x x
= lim0 3 2 13 1 11 1 53 6
( 1) 1
x x x x
2 Daïng
: L =
( ) lim
( )
x
P x Q x
với P(x), Q(x) đa thức biểu thức chứa căn.
– Nếu P(x), Q(x) đa thức chia tử mẫu cho luỹ thừa cao x.
– Nếu P(x), Q(x) có chứa chia tử mẫu cho luỹ thừa cao x hoặc nhân lượng liên hợp.
VD: a)
2 2
2
2
5
2
lim lim
6
6 1
x x
x x x x
x x
x x
b) 2
2
3
2
lim lim
1
1 1 1
x x
x x
x x
(2)3 Dạng – : Giới hạn thường có chứa căn
Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp tử mẫu.
VD: lim lim lim
1
x x x
x x x x
x x
x x x x
4 Daïng 0.:
Ta thường sử dụng phương pháp dạng trên.
VD: 2
2
2
lim ( 2) lim
2
4
x x
x x x
x
x x
Bài t ậ p áp d ụ ng tính giới hạn sau:
2
2
1
3 3 7 15
) lim ) lim ) lim ) lim
1 1
x x x x
x x x x x x x
a b c d
x x x x x
tính giới hạn:
2
2
3
1
) lim ) lim ) lim ) lim
3 x
x x x
x x x x x
a b c d
x x x x x x
(3)Một số công thức đạo hàm bản: / / / / / / / / / / / / / ) ( v v C v C v v u v v u v u v C v C v u v u v u v u v u / / / 1 / / / / / / / / / / 1 10 11 .ln 12 13 log ln 14 ln
15 sin cos 16 cos sin
1 17 tan cos 18 cot sin x x x x a C x x x x x x x
a a a
e e x x a x x x x x x x x x x
Đạo hàm hàm hợp sin cot cos tan sin cos cos sin ln ln log ln / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / u u u u u u u u u u u u u u u a u u u u e e u a a a u u u v v v u x u a u u u u d cx b ax y
19 ta coù
/
)
(cx d
bc ad y 2 2 1 20 c x b x a c x b x a y
ta coù
2
2 2 2 1 2 1 2 1 / c x b x a c b c b x c a c a x b a b a y
Bài t ậ p áp d ụ ng
tính đạo hàm hàm số sau:
4
5
3 2
2 2 1
) ; ) 0,5 ; )
4
) (2 3) ; ) ( ) ; ) ( 1)(5 )
2 2
) ; ) ; )
1 1
4
) (2 1)(3 2) ; ) ( 1) ; )
4
) ( 2) ; ) ;
2
x x x
a y x x x x b y x x x c y x
d y x x e y x x f y x x
x x x x
g y h y i y
x x x x
x
j y x x x k y x l y
x x
m y x n y p
x
3
)y 1 2 x
(4)2
3
sin cos
) 5sin 3cos ; ) ; ) tan ; ) cot
sin cos
sin
) ; ) tan ; ) sin( 2); ) cos
sin
) tan cot ; ) tan ; ) 2s?n cos5 ; ) tan cot
x x x
a y x x b y c y d y x x
x x
x x
e y f y x g y x x h y x
x x
i y x x j y x k y x x l y x x
Ph
ần kiến thức lớp 12
I XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Bài tốn 1: xét tính đơn điệu
Phương pháp xác định khoảng tăng, giảm hàm số : + MXĐ: D= ?
+ Đạo hàm : y/ = ?
cho y/ = ( có ) xét dấu y/
+ BXD (sắp xếp nghiệm PT y/ = giá trị không xác định hàm số từ trái
sang phải tăng dần)
* y/ > hàm số tăng ; y/ < hàm số giảm
+ Kết luận : hàm số đồng biến , nghịch biến khoảng Định lý (dùng để tìm giá trị m):
a) f(x) tăng khoảng (a;b) f/(x) x (a;b)
b) f(x) giảm khoảng (a;b) f/(x) x (a;b).
Bài t ậ p áp d ụ ng
Xét đồng biến, nghịch biến hàm số
3
)
3
x
a y x x b y x) 4 2x23
3
1
)
3
x x
c y x
3
2
)
3
x
d y x x e y) x4 x22 f y x) 2 4x1 Tìm khoảng đơn điệu hàm số sau:
2 2
)
1
x x a y
x
2 3 1
)
2
x x
b y
x
5 )
2
x c y
x
1
)
2
d y x x
)
2
x e y
x
5
)
3
f y x x
II TÌM CỰC TRỊ CỦA HAØM SỐ Bài tốn 2: Cực trị hàm số
Dấu hiệu I :
+ MXĐ D=?
+ Đạo hàm : y/ = ?
cho y/ = ( có ) xét dấu y/
+ BBT : (sắp nghiệm PT y/ = giá trị không xác định hàm số từ trái sang
phải tăng dần)
+ Tính yCĐ ; yCT ; kết luận cực trị ?
Chú ý:
(5)3) x0 cực trị hàm số /
( 0)
/ ( )
y x y x
Dấu hiệu II:
+ MXĐ
+ Đạo hàm: y/ = ? y// = ?
cho y/ = ( có ) => x
1 , x2 …
+ Tính y//(x
1); y//(x2)…….
Nếu y//(x
0) > hàm số đạt CT x0 , yCT= ?
Nếu y//(x
0) < hàm số đạt CĐ x0 , yCĐ= ?
Tìm m để hàm số đạt cực trị xo:
+ xo điểm cực trị
/ / /
0
( ) ( )
f x f x
+ xo điểm cực đại <=>
/ / /
0
( ) ( )
f x f x
+ xo điểm cực tiểu <=>
/ / /
0
( ) ( )
f x f x
Hàm số đạt cực trị y0 x0
Hàm số đạt cực trị y0 x0 khi
) (
) (
0 ) (
0 //
0
0 /
x f
y x f
x f
Chú ý : dấu hiệu II dùng cho h/s mà y/ khó xét dấu (như hàm lượng
giác,mũ,logarit,luỹ thừa,… )
* Nếu y = f(x) đa thức đường thẳng qua điểm cực trị là: y = phần dư phép chia f(x) cho f/(x).
Dạng 2: Cực trị hàm hữu tỉ : Cho h/s y = u
v u(x) ; v(x) đa thức có MXĐ: D Và y/ = u v v u
2 v
=g(x)2
v dấu y
/ dấu g(x)
Nếu hàm số đạt cực tri x0 y/(x0)= => g(x0) = <=> u/vv/u =
=> u u
v v
Do giá trị cực trị y(x0) =
u (x )0 v (x )0
Một số dạng tập cực trị thường gặp
- Để hàm số yf x có cực trị ' ó nghiêm
0
a
f x c
- Để hàm số yf x có hai cực trị nằm phía tung
CD CT
y y
(6)- Để hàm số yf x có hai cực trị nằm phía trục tung
CD CT
x x
- Để hàm số yf x có hai cực trị nằm trục hoành
0
CD CT CD CT
y y
y y
- Để hàm số yf x có hai cực trị nằm trục hoành
0
CD CT CD CT
y y
y y
- Để hàm số yf x có cực trị tiếp xúc với trục hồnh
CD CT
y y
Bài t ậ p áp d ụ ng
Tìm cực trị hàm số (dấu hiệu I) ) 3 1
3
a y x x x )
4
b y x x e y) 3x 10 x2
) 2
x x c y
x
4
)
1
d y x
x
2
)
f y x x
Định m để hàm số:
a y x) 3mx2 3m2 1x m
Đạt cực trị x = b y x) 3m1x2 mx5 Đạt cực tiểu x = c y) x2 mx
x m
Đạt cực đại x = Tìm a,b để hàm số :
a y x) ax2 bx 1
Đạt cực trị x =
)
4
x
b y ax b Đạt cực tiểu x =
Cho hàm số y = (m tham số)
a) Chứng minh với giá trị m hàm số có cực đại, cực tiểu b) Tìm giá trị m để hàm số đạt cực đại x =
c) Tìm giá trị m để hàm số có giá trị cực tiểu
Cho hàm số y = x3 – 3x2 + m Với giá trị m hàm số có cực đại cực tiểu cho
yCĐ yCT trái dấu
Cho hàm số y =
a) Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu b) Xác định m để yCĐ yCT dấu
(7)* Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 4m3 Xác định m để điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm
số đối xứng qua đường thẳng y = x
III TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HAØM SỐ Bài tốn 3: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
1 Phương pháp tìm GTLN GTNN h/s y = f(x) [a;b]:
xét hàm số y = f(x)=… [a;b] Đạo hàm : y/ = ?
cho y/ = ( có ) _ x
1 , x2 … chọn nghiệm thuộc [a;b]
Tính f(x1) ; f(x2) ……… So sánh KL
f(a) ; f(b)
Kết luận: max y[a;b] ? min y[a;b] ?
2 P/pháp tìm GTLN GTNN h/s (a;b) MX Đ :
Miền xét (a;b) TXĐ Đạo hàm : y/ = ?
cho y/ = ( có ) xét dấu y/
Lập BBT:
Từ BBT kết luận
* Nếu toàn miền xét h/s có CT GTNN giá trị CT min y[a;b] yct
* Nếu tồn miền xét h/s có CĐ GTLN giá trị CĐ max y[a;b] yCĐ
* Nếu hàm số tăng (giảm) (a;b) khơng có cực trị khoảng (a;b).
Chú ý : Khi gặp h/s không cho miền xét ta tìm TXĐ hàm số :
Nếu TXĐ đoạn [a;b] khoảng ta dùng cách Nếu TXĐ khoảng dùng cách 2
Đôi khi: Đặt ẩn phụ t=u(x) Biến tốn tìm GTLN,NN hàm số y = f(x) trên khoảng thành tốn tìm GTLN,NN hàm số y = g(t) đoạn khác
Bài t ậ p áp d ụ ng
Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sau a y) 4x3 3x4
2
1
) ;
2
x
b y x
x
c y x) 6x2 8x 1
) 4 ; 1
1
d y x x
x
Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sau a y x) 3x3 2x2 9 ;x x 2, 2
b y x) 3x 2
đoạn 0;10 c y) 3x 10 x2
d y) x 2 4 x2
(8) Tiệm cận đứng : lim f (x)
x x0
=> x = x0 tiệm cận đứng
Chú ý : tìm x0 điểm hàm số khơng xác định
Tiệm cận ngang : xlim f (x)y0
=> y = y0 tiệm cận ngang
Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( đưa dạng phân thức ) bậc tử bậc mẫu có tiệm cận ngang
Tiệm cận xiên (ban khơng có phần này):
Cách 1: + viết hàm số dạng : f(x) = ax + b + (x) limx [f(x) –(ax + b)] = lim (x)
x
= y = ax + b laø tiệm cận xiên
Cách 2: ta tìm hai hệ số a b ; a lim f (x) x x
;
b lim f (x) ax x
y = ax + b tiệm cận xieân Bài t ậ p áp d ụ ng
Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số: )
1
x a y
x
3 )
2
x b y
x
)
1
x c y
x
)
x d y
x
)
2
e y x
4
) x
f y x
V KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VAØ VẼ ĐỒ THỊ HAØM SỐ Bài tốn 5: Khảo sát hàm số
SƠ ĐỒ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1.Tìm tập xác định: D=…
2 Tính đạo hàm: y’= cho y’=0 tìm nghiệm 3.Tính giới hạn:
lim lim
o
x x x
y y
với x
o nghiệm mẫu
4.Tìm phương trình tiệm cận (nếu có) 5.Lập bảng biến thiên
6.Chỉ khoảng đồng biến,nghịch biến 7.Chỉ rõ điểm CỰC ĐẠI,CỰC TIỂU
8.Xét tính lồi lõm điểm uốn (Đối với hàm số bậc hàm trùng phương) Tính y’’ cho y’’=0 tìm nghiệm lập bảng xét dấu y’’
9.Nhận xét đồ thị:
Chỉ rõ tâm đối xứng(trục đối xứng đồ thị) Chỉ rõ giao điểm (C) với trục Oy Ox Cho thêm điểm đặt biệt để vẽ
10 Vẽ đồ thị.
1.Haøm số bậc : y = ax3 + bx2 + cx + d ( a )
(9)+ Đạo hàm: y/ = 3ax2 + 2bx + c với / = b2 3ac
/ / 0
y/ cùng dấu với hệ số a
KL: haøm số tăng trên? (giảm trên?)
y/ = có hai nghiệm x 1; x2
KL: hàm số tăng? Giảm? Hàm số khơng có cực trị Cực tri ̣ cực đại? Cực tiểu?
+ Giới hạn: lim (ax3 bx2 cx d)
x =
) (
) (
a a
lim (ax3 bx2 cx d)
x =
) (
) (
a a
+ Bảng biến thiên:
x + x x1 x2 +
y/ + y/ + +
y + -
y CÑ + - CT
x +
x x1 x2 +
y/ y/ +
y +
y + CÑ CT
Chú ý : dù y/ = có nghiệm kép việc xét dấu đúng
+ Vẽ đồ thị : xác đinh Cực trị ?
; điểm đặc biệt
a>0 ; có CT a<0; có CT a>0,không CT a<0,khoâng CT Bài t ậ p áp d ụ ng
Khảo sát , vẽ đồ thị hàm số sau: a y x) 3x2 3x 2
b y) x3 2x1 c y x) 3 3x1
a > 0
a < 0
(10)
)
d yx x ) 3
4
e y x x f y x) 3 6x29x g y) x3 x2 x 1
h y) 2x3 3x21 ) 2
3
i y x x x
j y) 3x2 2x3
2 Hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c ( a )
+ TXĐ : D = R
+ Đạo hàm: y/ = 4ax3 + 2b.x =2x.(2a x2+ b)
a,b dấu a, b trái daáu
y/ = x =
KL: tăng? Giảm?
y/ = 2x (2ax2 + b) = x= 0; x 1,2=
a b
2
KL: tăng? Giảm? Giá trị cực trị : y(0) = c
có cực trị Giá trị cực trị: y(0)= c ; y( a b
2
) =
a
Có cực trị + Giới hạn : lim (ax4 bx2 c)
x =
) (
) (
a a
+ Baûng biến thiên : x +
x x1 x2 +
y/ + y/ + +
y
+ +
y + CÑ +
CT CT
x + x x1 x2 +
y/ + y/ + +
y
y
CĐ CĐ
- CT -
+ Vẽ đồ thị : cực đại , cực tiểu ; y = > x= ? giải pt trùng phương
a> 0
b>0 a< 0
b <0
a< b>0
a> 0 b <0
C a < 0
a > 0
(11)Bài t ậ p áp d ụ ng
Khảo sát , vẽ đồ thị hàm số sau: a y x) x2 3
b y) 2x2 x4 e y x) 4x2 ) 2
g y x x
)
2
c y x x d y x) 4 4x21 f y) x4 2x23
3.Hàm phân thức : y = cxax db
( c 0; ad bc ) + TXÑ : D = R\
c d
+ Đạo hàm : y/ =
2
) (cx d
bc ad
adbc < 0 adbc > 0
y/ < x D y/ > x D
Hàm số khơng có cực trị
Hàm số nghịch biến D Hàm số đồng biến D + Tiệm cận: x = dc là tiệm cận đứng limd
x c
ax b cx d
=
y = ca laø tiệm cận ngang limx ax b cx d
= c
a
+Bảng biến thiên :
x d/c + x d/c + y/ y/ + +
y a/c + a/c
y + a/c
a/c
+ Vẽ đồ thị : Vẽ tiệm cận , điểm đặc biệt
Cho điểm phía tiệm cận đứng vẽ nhánh , lấy đối xứng nhánh qua giao điểm hai tiệm cận
Bài t ậ p áp d ụ ng
x=
d
/ c
y= a/c
x=
d
/ c
(12) Khảo sát , vẽ đồ thị hàm số sau:
)
a y
x
;
2 )
1
x b y
x
;
1 )
1
x c y
x
;
1 )
2
x d y
x
;
1 )
1
x e y
x
;
1 )
1
x f y
x
2
)
1
x g y
x
;
2 )
2
x h y
x
;
2
)
3
x i y
x
;
2 )
4
x j y
x
;
4 )
2
k y x
; )
x l y
x
3
) x
m y x
; )
2
x n y
x
VI BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH DỰA VÀO ĐỒ THỊ Bài tốn 6: Biện luận số nghiệm phương trình đồ thị :
Giả sử phải biện luận số nghiệm Pt : F(x; m) =
Biến đổi phương trình F(x; m) = dạng f(x) = g(x) Trong đồ thị hàm số y =
f(x) vẽ y=g(x) đường thẳng song song với Ox
Chú ý: Ở mức độ khó đồ thị y=g(x) // với đường thẳng cố định quay quanh điểm cố định)
Vẽ đồ thị:y = g(x) ; đồ thị (C): y =f(x)
Dựa vào đồ thị xét tương giao đồ thị (C) với đồ thị y = g(x) Bài t ậ p áp d ụ ng
Cho hàm số: y x3 3x 2
có đồ thị (C) a) Khảo hàm số
b) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phưong trình:
3
x x m Cho hàm số:
3
yx x có đồ thị (C) : a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
b) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phưong trình : x3 3x2 m 0
cho hàm số: y x4 x2
a) Khảo sát vã vẽ đồ thị hàm số
b) Biện luân đồ thị số nghiệm phương trình:
1
x x m VII PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
Bài tốn 7: Phương trình tiếp tuyến : Yêu Cầu Viết PTTT (C): y=f(x) biết
1 Tiếp tuyến M(x0; f(x0))
TT có phương trình : y - f(x0)= f/(x0)(x x0)
Từ x0 tính f(x0) ; Đạo hàm : y/ = f/(x) => f/(x0) = ?
P.trình tiếp tuyến M là: y = f/(x0)(x x0) + f(x0)
2 Tiếp tuyến có hệ số góc k :
Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a tiếp tuyến đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a1
Giả sử M(x0; f(x0)) tiếp điểm => hệ số góc tiếp tuyến f/(x0).
Giải phương trình f/(x0) = k => x0 = ? > f(x0) = ?
(13)Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc : k1.k2 = 1
+ Hai đường thẳng song song : k1 = k2
3 Tiếp tuyến qua(kẻ từ) điểm A(x1; y1) đồ thị h/s y =f(x) (nâng cao)
Gọi k hệ số góc đường thẳng (d) qua A
Pt đường thẳng (d) : y = k(x x1) + y1
Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp xúc với Đồ thị (C) là
hệ phương trình : (1)
f(x) k(x x ) y1 1
/f(x) k (2) có nghiệm Thay (2) vào (1) giải tìm x => k = ? Kết luận
Bài t ậ p áp d ụ ng Cho haøm soá :
3
yx x có đồ thị (C):
a) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M(2,-1)
b) Tìm phương trình tiếp tuyến (C ), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : y = -9x +
Cho hàm số : y x3 4x2 4x
có đồ thị (C):
a) Tìm phương trình tiếp tuyến (C ) giao điểm (C ) với trục hồnh b) Tìm phương trình tiếp tuyến (C ) qua điểm A(3,3)
Cho hàm số : y x3 3x2 2
có đồ thị (C) a) Khảo sát hàm số
b) Viết phươnt trình tiếp tuyến (C) tâm đối xứng (C) c) Tìm phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm A (0,3) d) Tìm phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm B(-2,-2) Cho hàm số : 3
2
y x x có đồ thị (C)
a) Tìm phương trình tiếp tuyến (C ) giao điểm (C) với trục tung b) Tìm phương trình tiếp tuyến (C ) xuất phát từ điểm A(0,3/2)
Cho hàm số y f(x) x x2 x
(C)
a) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M(2; 4)
b) Viết phương trình ttiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = Cho hàm số y f(x) 3x
1 x
(C)
a) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm A(2; –7)
(14)d) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với d: y 1x 100