[r]
(1)SỞ GD&ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT PHAN ĐĂNG LƯU
ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC LẦN I NĂM HỌC 2012−−−−2013 MƠN: TỐN − KHỐI A, B
Thời gian làm bài: 180 phút
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu (2 điểm) Cho hàm số
3
y= x −x 1) Khảo sát vẽđồ thị (C) hàm số;
2) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy tương ứng A, B phân biệt thỏa mãn OB = 3OA
Câu (1 điểm) Giải phương trình: 3−tanx(tanx+2sinx)+6cosx=0 Câu (1 điểm) Giải hệ phương trình:
2
1
2
1 3
y x
x y x
y x x x
+ = +
+ = + +
Câu (1 điểm) Tính tích phân
2
2
sin cos sin
x x
I dx
x
π
π −
+ =
+
∫
Câu (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, mặt bên SAB tam giác
đều nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M trung điểm SC Tính thể tích khối chóp S.ABM khoảng cách hai đường thẳng SA, BC
Câu (1 điểm) Cho a,b, c số thực không âm thỏa mãn a2 + b2 + c2 = Chứng minh:
1 1
a b c
bc+ ca+ ab≥
+ + +
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉđược làm một hai phần (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7a (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho ∆ABC vuông B, AC = Đường phân giác góc A có phương trình (d): 3x− =y Tìm toạđộ đỉnh A, C biết khoảng cách từ C đến (d) hai lần khoảng cách từ B đến (d); C nằm trục tung A có hồnh độ dương
Câu 8a (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
3
x
y t
z t
= −
= − +
= −
, mặt phẳng (P): x + 2y − 2z + = điểm A(−3; −1; 2) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua A, vng góc với (P) cắt d điểm M thỏa mãn: khoảng cách từ M đến (P) MA
Câu 9a (1 điểm) Tìm hệ số x6 khai triển (x2 + x – 2)n, biết n số nguyên dương thỏa mãn:
2
0 2 121
3 1
n n
n n n n n
C C C C C
n n
+ + + + + =
+ +
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7b (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E):
2
x y
+ = điểm (A − 3; 0), ( 3; 0)B Tìm điểm M thuộc (E) cho AMB=600
Câu 8b (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
2 1
x+ y z−
= = , mặt phẳng (P): x + y − 2z + = điểm A(1; −1; 2) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A song song với mặt phẳng (P), đồng thời vng góc với d
(2)……… Hết ………
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC LẦN NĂM HỌC 2012 −−−− 2013
Câu Nội dung Điểm
1
(2 điểm)
1) • TXĐ: ℝ
• SBT:
− CBT: y’ = x2 − 2x = ⇔ x = hoặ
c x =
Hàm sốĐB (−∞; 0) (2; +∞); hàm số NB (0; 2)
0,25 − Cực trị: CĐ(0;0); CT(2;
3 − ) − Giới hạn: lim
x→−∞y= −∞, limx→+∞y= +∞
0,25
− BBT:
0,25
• Đồ thị
0,25
2) Ta có: tanOAB OB
OA
= = ⇒ hệ số góc tiếp tuyến ±3
0,25 Gọi x0 hoành độ tiếp điểm
y’(x0) = ±3 ⇔ x02−2x0 = ±3 ⇔ x0 = −1 x0 = 0,25 • PT tiếp tuyến (C) điểm ( 1;
3
− − ): 3( 1)
y= x+ + hay 13
y= x+
0,25 • PT tiếp tuyến (C) điểm (3; 0): y = 3(x − 3) hay y = 3x − 0,25 2
(1 điểm)
ĐK: cosx ≠
⇔
3(1 cos x)+ −tan x(1 cos x)+ =0 ⇔ (1 + 2cosx)(3 − tan2
x) =
0,5
⇔ cos
x= − tanx= ± ⇔ 2
x= ± π +k π
3
x= ± +π kπ
Đối chiếu ĐK, phương trình có nghiệm
0,5 3
(1 điểm)
ĐKXĐ: x > 0, y ≠
PT đầu hệ ⇔ y = 2x hoặc y= − x
0,25
1
3
3
−
O
x y
−3 x
y’ y
−∞ +∞
0
+ − +
0
4
− −∞
(3)• Với y = 2x, ta có: 2
2x x + =1 2x+ 3x +3 (*) ⇔
2
1
1
2
1 x
x
= +
+ 0,25
Dễ thấy hàm số
2
1
( )
2
f x
x x
= +
+ nghịch biến (0; +∞) Mặt khác ( 3) 1f =
Vậy (*) có nghiệm dy x= ⇒ y=2
0,25
• Với y= − x ta có: − x x2+ =1 2x+ 3x2+3: PT vơ nghiệm vế trái khơng dương, vế phải dương
Tóm lại hệ có nghiệm x= 3; y=2
0,25
4
(1 điểm) 2
2
2
sin cos sin cos
3 sin (sin cos )
x x x x
I dx dx
x x x
π π
π π
− −
+ +
= =
+ − −
∫ ∫ 0,25
Đặt sinx − cosx = t, ta có:
1
2
1
1 1
4 2
dt
I dt
t t t
− −
= − = + + −
∫ ∫ 0,5
= 1(ln | | ln | |)11 + −t −t − =
1 ln
0,25 5
(1 điểm)
• Do M trung điểm SC nên
( , ( )) ( , ( ))
d M SAB = d C SAB
⇒
2
SABM SABC
V = V
Vì (SAB) ⊥ (ABC) nên gọi SH đường cao ∆SAB SH ⊥ (ABC)
∆SAB cạnh a ⇒
a SH =
0,25
2
1 3
3
SABC ABC
a a a
V = SH S = =
Vậy
3
16
SABM a
V =
0,25
• Gọi D điểm cho ACBD hình bình hành ⇒ (SAD) chứa SA song song BC ⇒ d(SA, BC) = d(BC, (SAD)) = d(B, (SAD))= SABD
SAD V S
Ta có:
3
8
SABD SABC
a
V =V =
∆SHC vuông cân H ⇒
a SC=SH = BM đường cao tam giác cân SBC
⇒ BM =
2
2 2 10
4
a a
SA −SM = a − =
0,25
2
1 10 15
2
SAD SBC
a a a
S =S = BM SC= = 0,25
S
D
A H
B
(4)⇒ d(SA, BC) = 3 15 SABD
SAD
V a
S =
6
(1 điểm) Ta có: 2 2
1
1
a a a
b c
bc≥ + = a
+ + − 0,25
Mặt khác dễ thấy 2
a a a ≥
− (*)
Thật (*) ⇔ a(a − 1)2(a + 2) ≥ đ
úng
0,25
Suy
1
a a bc≥
+ , tương tự
2
b b ca≥
+ ,
2
c c b≥
+
0,25
Do đó: 2
1 1
a b c
a b c bc+ ca+ ab ≥ + + =
+ + + (đpcm)
0,25 7a
(1 điểm)
Gọi M điểm đối xứng B qua d ⇒ M ∈ AC
Gọi H, K hình chiếu C, B d
Vì CH = 2BK nên CH = BM = 2KM ⇒ M trung điểm AC
Vì tam giác ABC, AHC vng cạnh huyền AC nên MH = MB = MC = HC = Giả sử C(0; y0)
⇒ CH = d(C,d) = | 0|
y
= ⇔ y0 = ±2
0,5
Giả sử ( ;A t t 3) ∈ d (t > 0) Ta có: AC= t2+(y0−t 3)2 =2 ⇔
0
4t −2 3y t=0 (do y02 =4) ⇔
0
y
t= Vì t > nên y0 = t=
Vậy ( 3;3)A , C(0; 2)
0,5
8a (1 điểm)
Giả sử M(−3; −6 + 5t; − t) ∈ d ta có:
d(M, (P)) = MA ⇔ | 2( ) 2(2 ) | 2 (5 5) 4
t t
t t
− + − + − − + = + − +
+ + ⇔ (4t − 5)2
= 26t2 − 50t + 25 ⇔ 10t2 + 10t = ⇔ t = t = ⇒ M(−3; −1; 1) M(−3; − 6; 2)
0,5
Mặt phẳng (α) cần tìm qua M, A vng góc với (P) nên có vec tơ pháp tuyến nα =[MA n, p]
, với np vec tơ pháp tuyến (P) • M(−3; −1; 1): Ta có MA=(0; 0;1)
, np =(1; 2; 2)− ⇒ nα = −( 2;1; 0) Phương trình mp (α): −2x + y − =
• M(−3; − 6; 2): MA=(0;5; 0)
, np =(1; 2; 2)− ⇒ nα = −( 10; 0; 5)− ⇒ (α): 2x + z + =
Vậy có mặt phẳng thỏa mãn (α): −2x + y − = (α): 2x + z + =
0,5
9a (1 điểm)
Từ khai triển (1+x)n =Cn0+C x C xn1 + n2 2+ + C xnn n ta có:
2
0 2
0
(1+x dx)n = (Cn +C x C xn + n + + C x dxnn n)
∫ ∫
Hay:
2
1 2
0
0
1 1
(1 )
1
n n n
n n n n
x C x C x C x C x
n n
+ +
+ = + + + +
+ +
0,5
B
H
C M
(5)⇔ 1 22 23 2
2
1
n n
n
n n n n
C C C C
n n
+ +
− = + + + +
+ +
Kết hợp giả thiết suy ra:
3 242
1
n
n n
+ − =
+ + ⇔
n +
= 243 = 35 ⇔ n = Ta có (x2 + x – 2)4 = (x − 1)4(x + 2)4 =
0 2 3 4 2 3 4
4 4 4 4 4
(C −C x C x+ −C x +C x )(C +C 2x C+ 4x +C 8x +C 16x ) Vậy hệ số x6 là: C C42 44.16−C C43 43.8+C C44 42.4= −8
0,5
7b (1 điểm)
Vì A, B tiêu điểm (E) nên ta có:
2 2
2 cos 60 ( )
2
AB =MA +MB − MA MB = MA MB+ − MA MB− MA MB
= 4a2−3MA MB =4a2−3(a+ex a ex)( − )= a2+3e x2
⇒ 2 2
2 4c a 3c x
a
= + ⇔ 2 2
2
(4 ) (4.3 4).4 32
3 3.3
c a a x
c
− −
= = =
⇒
3
x= ±
0,5
Vì M ∈ (E) ⇒
2
2 1
1
4 9
x
y = − = − = ⇒y= ± Vậy có điểm thỏa mãn với tọa độ 2;
3
± ±
0,5
8b (1 điểm)
Véc tơ phương véc tơ pháp tuyến d (P) tương ứng (2;1;1), (1;1; 2)
d p
u = n = −
0,25 Gọi u∆ vec tơ phương ∆, từ giải thiết suy u∆ vng góc với
véc tơ u nd,p ⇒ chọn u∆ =[u nd,p]= −( 3;5;1)
0,5
Vậy phương trình ∆ là: x = − 3t; y = −1 + 5t; z = + t 0,25 9b
(1 điểm)
ĐKXĐ: x >
Đặt ( 1)+ log2x = ≥u 0, ( 1)− log2x = ≥v 0 ⇒ u.v = x Ta có phương trình:
u + uv2 = + u2v2 ⇔ (u − 1)( − uv2) = ⇔ u = uv2 =
0,5
• u = ⇒ log2x = ⇔ x = (thỏa mãn PT)
• uv2 = ⇒ (2 3−2)log2x =1 ⇔ log
2x = ⇔ x = (thỏa mãn PT)
Vậy PT có nghiệm x =
0,5
Lưu ý: Hướng dẫn trình bày cách giải, học sinh giải cách khác mà cho