Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.[r]
(1)SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 LẦN ĐỀ THI MƠN: TỐN - KHỐI B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y= −4x3+3x ( )C Khảo sát biến thiên vẽđồ thị ( )C hàm số
2 Tìm tất giá trị của m để phương trình 3x−4x3−3m+4m3 =0 có nghiệm thực phân biệt Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình: sin sin 2 cos cos2 sin cos
x x= π −x− x x x
2 Giải hệ phương trình:
3 2
6
2 x x y xy y
x y x y
− + − =
− + + =
Câu III (1,0 điểm) Tính giới hạn:
3
cos lim
x
x
e x
x →
−
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy tam giác cạnh a , SA⊥(ABC);
SA= a Gọi M N l, ần lượt hình chiếu vng góc của A lên SB SC Tính thể tích khối chóp
A BCNM theo a
Câu V (1,0 điểm) Cho ba số , ,x y z thuộc đoạn [ ]0; x+ + =y z Tìm giá trị lớn
2 2
A=x +y + − − −z xy yz zx II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉđược làm một hai phần (phần A hoặc B) A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có C(4; 1− ), đường cao đường trung tuyến hạ
từ đỉnh có phương trình d1: 2x−3y+ =12 0;d2: 2x+3y=0 Viết phương trình cạnh tam giác ABC
2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3x+4y+ =5 0; d2: 4x−3y− =5 Viết
phương trình đường trịn có tâm nằm đường thẳng ∆ −:x 6y− =10 tiếp xúc với d d1,
Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm hệ số
x khai triển biểu thức
n
x x
−
, biết n số tự nhiên thỏa mãn hệ thức
4 454
n
n n
C −− +nA = B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Cho ABC∆ biết A(2; 1− ) hai đường phân giác góc B C l, ần lượt có phương trình
: 0; :
B C
d x− y+ = d x+ + =y Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh BC
2 Cho hai điểm M( ) (1; , N 3; 4− ) đường thẳng d có phương trình x+y– 3=0 Viết phương trình đường trịn đi qua M, N tiếp xúc với đường thẳng d
Câu VII.b (1,0 điểm) Cho tập hợp X ={0, 1, 2, 4, 5, 7, 8} Ký hiệu G tập hợp tất số có chữ
sốđơi khác lấy từ tập X, chia hết cho Tính số phần tử của G Lấy ngẫu nhiên số tập G, tính xác suất để lấy số không lớn 4000
-Hết -
(2)SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 LẦN HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN; KHỐI B
——————————— I LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa
- Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn
- Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN:
Câu Ý Nội dung trình bày Điểm
I 1 1,0 điểm TXĐ: D=ℝ
Giới hạn: lim ; lim ;
x→−∞y= +∞ x→+∞y= −∞
SBT
' 12
y = − x + ; '
y = ⇔ = ±x
0.25
BBT:
0.25
Hàm sốđồng biến 1; 2
−
, nghịch biến khoảng
1 ;
2
−∞ −
;
+∞
Hàm sốđạt cực đại
x= , yCD =1, Hàm sốđạt cực tiểu
1
x= − , yCT = −1
0.25
Đồ thị:
’’ 24 , ’’ 0
y = − x y = ⇔ =x Đồ thị hàm số có
điểm uốn O(0; 0)
Đồ thị hàm số nhận điểm O(0;0) làm tâm đối xứng
0.25
2 1,0 điểm
Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị (C) với đường thẳng
3
4
y= − m + m 0.5
x −∞ +∞
y’
y
1
−
2
0 + −
− +∞
−∞
1
−
(3)( )( ) ( )( )
2
3
1
1
4 1
2
4 1 2 1 0
1 m
m m
m m
m
m m m m
m
− < <
− + <
− − <
⇔ ⇔ ⇔ ≠ −
− + >
+ − >
≠
0.5
II 1 1,0 điểm Ta có:
sin sin 2 cos cos sin
x x= π −x− x x
( )
sin sin cos 2 cos
x x x π x
⇔ + = −
0.25
( )
sin sin sin cos cos cos sin cos
6 6
x π x π x π x x π x
⇔ + = − ⇔ − − =
0.25
cos
6
sin x x
π
− =
⇔
− =
( )
cos ;
6 x x k k
π π π
⇔ − = ⇔ = + ∈
ℤ
Vậy phương trình có nghiệm ;( )
x= π +kπ k∈Z
0.5
2 1,0 điểm
Đk
0 x y x y
− ≥
+ ≥
( ) (2 )
3 2
6 4
2
x x y xy y x y x y
x y x y x y x y
− + − = − − =
⇔
− + + = − + + =
( )
4
2 x y
x y
x y x y =
=
⇔
− + + = ∗
0.25
Với x=y, thay vào phương trình ( )∗ ta được: x= =y 0.25 Với x=4y, thay vào phương trình ( )∗ ta được: 32 15
8 15 x
y = −
= −
0.25
Vậy hệ phương trình cho có nghiệm:( )2; và(32 15;8 15− − ) 0.25 III 1,0 điểm
3
0
cos 1 cos
lim lim
3
x x
x x
e x e x
x x x
→ →
− = − + −
0.5
2
2
sin
1 2
lim 1.3 1.0
3
4
x
x
x
e x
x x
→
−
= + = + =
(4)IV 1,0 điểm
Xét SAB∆ SAC∆ có AB=AC; SA chung A=900 SAB SAC SB SC SBC
⇒∆ = ∆ ⇒ = ⇒∆ tam giác cân
Áp dụng định lý đường cao tam giác SAB∆ SAC∆ ta có:
2 2
= ;
5
AB AS a AC AS a
AM AN
AB AS AC AS
= = =
+ +
0.25
Áp dụng định lý Pytago: 2 a
SM = SA −AM = ; 2 a
SN = SA −AN = 0.25
Ta có tỷ số:
4 16
5 25
S AMN S ABC
V SM SN
SB =SC = ⇒ V = 0.25
3
16
25 75
S AMN S ABC
a
V V
⇒ = =
3 3
3 3
6 75 50
ABCNM S ABC S AMN
a a a
V V V
⇒ = − = − = (đvtt) 0.25
V 1,0 điểm
Ta có ( )2 2 ( )
2
x+ +y z =x +y + +z xy+yz+zx
2 2
9
2
x y z xy yz zx + +
⇔ + + = −
Vậy nên 3( 2 2)
2
A= x +y +z −
0.25
Khơng tính tổng quát, giả sử: x≥ ≥y z⇒3= + + ≤x y z 3x⇒x≥1⇒x∈[ ]1;
Lại có: y2+ ≤z2 (y+z)2= −(3 x)2⇒x2+y2+ ≤ −z2 (3 x)2+x2 =2x2−6x+9 0.25 Xét ( ) 2 9, [ ]1; '( ) 6, '( )
2
f x = x − x+ x∈ ⇒ f x = x− f x = ⇔ =x
3
(1) 5; (2) 5;
2
f = f = f =
0.25
Suy 2
5
x +y + ≤z , đẳng thức xảy
1
2
1
0
x
x x
y yz
z x y z
x y z =
= =
⇔ =
=
+ + = =
≥ ≥
Vậy Amax=3 x=2, y=1, z=0 hoán vị chúng
0.25
VI.a 1,0 điểm
Vì C không thuộc d d nên gi; ả sử A thuộc d d ; N
M
C
B A
(5)Phương trình cạnh AC: Điểm A= ∩d1 d2 ⇒ tọa độđiểm A nghiệm hệ: ( )
2 12
3;
2
x y A x y − + = ⇒ − + =
Phương trình cạnh AC:
3
3
4
x y
x y
+ = − ⇔ + − =
+ − −
0.25
Phương trình cạnh AB: Gọi M trung điểm BC đó M =d2∩BC, suy tọa độđiểm
M nghiệm hệ: 10 (6; 4)
2
x y M x y + − = ⇒ − + =
Tọa độđiểm B được xác định bởi:
2
B C M B
B C M B
x x x x
y y y y
+ = = ⇔ + = = − 0.25
Phương trình cạnh AB: 11
x y
x y
− = + ⇔ + + =
− − +
Vậy phương trình cạnh của ABC∆ là:
: 11 0; : 10 0; : AB x+ y+ = BC x+ y− = CA x+ y− =
0.25
2 1,0 điểm
Xét I a b tâm R bán kính ( ); đường trịn (C) Do I∈∆ ⇔ =a 6b+10 1( )
Đường tròn (C) tiếp xúc với
( ) ( )
1
3
;
4
a b R d d a b R + + = ⇔ − − = 0.25
Từ (1); (2); (3) suy 6( b+10)+4b+ =5 6( b+10)− −3b
22 35 21 35
70
22 35 21 35
43 b
b b
b b b
= + = + ⇔ + = − − ⇔ = − 0.25
Từ (1) suy
10 10 43 a a = = 7 43 R R = = 0.25 Vậy có hai đường trịn thỏa mãn:
( ) ( )2 2
1 : 10 49
C x− +y = ; ( )
2
2
10 70 49
:
43 43 1849
C x− +y+ =
0.25 VII.a 1,0 điểm
Từ hệ thức cho suy n≥6 ( )
( ) ( )
6
4
4 ! !
454 454
2! ! !
n
n n
n n
C nA n
n n
− −
−
+ = ⇔ + =
− − 0.25
3
2n − −n 9n−888= ⇔ =0 n 0.25
Với n=8, ( ) ( ) ( )
8 8 8
8
3 24
8
0
2
2 k k k
k k k k
k k
x C x x C x
x − − − − = = − = − = −
∑ ∑ 0.25
Hệ số của x4 tương ứng với 24 4− k= ⇔ =4 k Vậy hệ số của x4 C8525( )18 1792
−
− = − 0.25
(6)Lấy A A theo th1; 2 ứ tự điểm đối xứng của A qua dB;dC⇒ A A1; 2∈BC
Vậy phương trình đường thẳng A A c1 ũng
chính phương trình cạnh BC
0.25
Xác định A : 1
Gọi d 1 đường thẳng đi qua A d1⊥dB⇒d1: 2x+ − =y Gọi E= ∩d1 dB⇒E( )1;1 Vì E trung điểm A A 1 ⇒ A1( )0;3
0.25
Xác định A : G2 ọi d 2 đường thẳng đi qua A d2 ⊥dC ⇒d2:x− − =y
Gọi F =d2∩dC⇒F(0; 3− ) Vì F trung điểm A A2 ⇒ A2(− −2; 5) 0.25 Vậy phương trình cạnh BC : 4x− + =y 0.25 2 1,0 điểm
Gọi E trung điểm MN ta có E(2;-1) Gọi ∆ đường trung trực của MN Suy ∆ có phương trình x− −2 3(y+ = ⇔ −1) x 3y− =5
Gọi I tâm đường tròn đi qua M, N I nằm ∆
0.25 Giả sử I(3t+5;t)
Ta có ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
,
2 t
IM =d I d ⇔ t+ + −t = + 0.25
2
2t +12t+ = ⇔ = −18 t Từđó suy I(− −4; 3), bán kính R = IM= 0.25 Phương trình đường trịn (x+4) (2+ y+3)2 =50 0.25 VII.b 1,0 điểm
Gọi abcd số có chữ số khác đôi lấy từ chữ số chia hết cho Nếu d = abc có A63=120 cách chọn
0.25 Nếu d = a có cách chọn
b có cách chọn c có cách chọn suy có 100 số Vậy G có tất 220 số
0.25 Giả sử abcd∈Gvà abcd≤4000
Khi đó a = 1, 2, nên a có cách chọn d có cách chọn
bc có A52=20 cách chọn
Vậy nên có 120 số lấy từ G nhỏ 4000
0.25
Xác suất P = 120
220 =11 0.25
-Hết -
F E
A2 A1 C
B